Libro Rojo APOL 2020.pdf

rojo
matemáticas
EL LIBRO
DE LAS
Actualización 2020
Coordenadas polares,
Límite y Derivadas

AGRADECIMIENTO
Gracias Dios
Y
Gracias Alexia

DEDICATORIA
A mi hijo y a mis alumnos

ESTRUCTURA DEL TEXTO
Este texto ha sido elaborado con el propósito de que se convierta en un instrumento de
trabajo para un curso donde se desee fundamentar nociones de MATEMÁTICAS BÁSICAS.
Se presentan teoría, ejemplos, ejercicios modelos y ejercicios propuestos, que permitirán
que los estudiantes avancen paulatinamente en su aprendizaje y se orienten de una mejor
manera para las evaluaciones.
Los Capítulos se estructuran de la siguiente manera:
 OBJETIVOS del capítulo. Estos son declarados al comenzar el capítulo para que el
estudiante conozca lo que se pretende de él. Si los objetivos son muy extensos se
los declara por temas.
 CONTENIDO. Esta estructurado por temas. Los temas responden a aspectos
pedagógicos, psicológicos e higiénicos
 EJEMPLOS ILUSTRATIVOS para consolidar la teoría. Trasladan los conceptos a
momentos prácticos. Es decir, van enlazando la teoría con la práctica.
 EJERCICIOS RESUELTOS. Para orientar al estudiante en las estrategias que puede
seguir en la consecución de la resolución de los ejercicios y problemas. Problemas
que personifican la evaluación parcial y final. El formato de los ejercicios son de
opción múltiple.
 EJERCICIOS PROPUESTOS. Parte de estos ejercicios (depende de la planificación del
instructor) deben ser resueltos en clase, por el estudiante con ayuda del profesor.
Con el objeto de que el estudiante realice la ejercitación preliminar que le va a
permitir consolidar estrategias generales en la resolución de ejercicios y
problemas. Aquí debe existir una autoevaluación del estudiante, una reflexión que
le permita caracterizar el problema; los pasos que se siguieron; las otras posibles
vías de solución; el análisis e interpretación de la respuesta.
El resto de EJERCICIOS PROPUESTOS deben ser resueltos por el estudiante, fuera
de la clase. Pueden se considerados como la tarea para el trabajo independiente.
 MISCELÁNEOS DEL CAPÍTULO. Para una autoevaluación global sobre todos los temas
tratados en la Unidad. Pueden ser enviados como tarea fuera de clase, todos o
algunos, depende de la planificación del instructor.

Pág.
1. LÓGICA MATEMÁTICA……………………………………….……1
2. CONJUNTOS……………………………………………………………..29
3. LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS…………..……….49
4. RELACIONES Y FUNCIONES…………………………………67
5. LOS NÚMEROS………………………………………………………. 91
6. ECUACIONES…………………………………………………………..125
7. INECUACIONES………………………………………………….…..155
8. NÚMEROS NATURALES………………………………………..175
9. FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL……………..201
10. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN
LOGARÍTMICA………………………………………………………..279
11. FUNCIONES POLINOMIALES……………………………….315
12. TRIGONOMETRÍA…………………….…………………………….327
13. MATRICES Y DETERMINANTES………………………...357
14. SISTEMAS ………………………………………………………………379
15. GEOMETRÍA PLANA……………………………………………...413
16. GEOMETRÍA DEL ESPACIO………………………………...453
17. VECTORES………………………………………………………….…..469
18. GEOMETRÍA ANALÍTICA……………………………………...503
19. NÚMEROS COMPLEJOS……………………………………….549
20. COORDENADAS POLARES…………………………………..567
21. INTRODUCCIÓN A LÍMITES Y DERIVADAS……..595

Moisés Villena Muñoz Cap. 1 Lógica Matemática
1
1
1.1 PROPOSICIONES
1.2 OPERADORES LÓGICOS
1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES
1.4 FORMAS PROPOSICIONALES
1.5 RAZONAMIENTOS
Cotidianamente tratamos de pensar y actuar inteligentemente.
Nuestras acciones están dirigidas a que sean o parezcan coherentes.
Pero, para situaciones formales un tanto complicadas, nuestros
argumentos elementales no nos ayudan a resolverlas. Es aquí donde entra
la necesidad de considerar mecanismos abstractos para el análisis
formal. La Lógica Matemática nos permite hacer estos análisis, haciendo
que todas las verdades de la razón sean reducidas a una especie de
cálculo.
Con la Lógica Matemática podemos precisar la equivalencia entre
expresiones abstractas, podemos analizar la validez de argumentos o
razonamientos, podemos realizar demostraciones formales,...

2
1.1 PROPOSICIONES
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
 Defina proposición.
 Conozca la notación para proposiciones.
 Reconozca proposiciones.
 Dé ejemplos de proposiciones.
 Dé ejemplos de enunciados que no sean proposiciones.
En nuestro cotidiano vivir usamos frases sencillas que nos permiten
comunicarnos. Existen interrogantes, exclamaciones, deseos, mandatos,
oraciones, con las cuales informamos o nos informan. La Lógica
Matemática, hace uso exclusivo de expresiones que manifiestan o una
verdad o una falsedad. A estas expresiones se las llaman
PROPOSICIONES; y la cualidad de estas, de manifestar una verdad o una
falsedad, la llamaremos VALOR DE VERDAD.
Entonces:
PROPOSICIONES son afirmaciones a las que
se les puede asignar o bien un valor de verdad
de VERDADERO o bien un valor de verdad de
FALSO.
Ejemplos
1. "Hoy es lunes" (suponga que efectivamente estamos en el día lunes de la semana, entonces esta expresión será
una afirmación VERDADERA).
2. "Estoy en la clase de Matemáticas" (suponga que la persona que emite esta afirmación, efectivamente está
presenciando la clase de Matemáticas; en este caso, esta expresión será una afirmación también VERDADERA).
3. "Estoy en España" (suponga ahora que la persona que emite esta frase se encuentra en Ecuador y no en
España, entonces esta afirmación será una proposición FALSA).
Otras expresiones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos o
mandatos; no son consideradas como proposiciones y por tanto no son
objetos de estudio para la Lógica Matemática.
Ejemplos
1. ¡Ojalá Llueva!
2. ¿Hiciste el deber de Matemáticas?
3. Siéntate y quédate quieto.

3
1.1.1 NOTACIÓN
Los SÍMBOLOS que se adoptan para las proposiciones suelen ser las
PRIMERAS LETRAS DEL ABECEDARIO en minúscula.
De aquí en adelante adoptaremos los siguientes símbolos para los
VALORES DE VERDAD de una proposición:
VERDADERO 1
FALSO 0
Ejercicio Propuesto 1.1
Indique ¿cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no?:
a) Esta fruta está verde.
b) ¿Estás contenta?
c) Atiende la clase
d) 10
7
3 

e) El gato subió a la mesa.
f) ¡Mañana se acabará el mundo!
g) Luís debe pagar su deuda a menos que quiera ser demandado.
h) ¿Es feo Juan?
i) La edad del universo es de unos 15 mil millones de años.
j) ¡Márchate!
Ahora bien en nuestro lenguaje común usamos frecuentemente
proposiciones más extensas como:
 No hice el deber de Matemáticas.
 Estoy en Ecuador y estoy feliz.
 Estudio ó juego fútbol.
 Si estudio, entonces sacaré buena calificación en el examen.
Surge entonces la necesidad de definir a los nexos de estas
proposiciones, los llamados Conectores u Operadores lógicos.

4
1.2 OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS
OBJETIVOS:
 Conozca la notación para los operadores lógicos.
 Deduzca, con ejemplos, la esencia de los operadores lógicos y la tabla de verdad para las
operaciones lógicas.
 Analice e interprete las condiciones suficientes y las condiciones necesarias en una
condicional.
 Comprenda e interprete la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca de una condicional.
 Traduzca del lenguaje común al lenguaje formal.
1.2.1 NEGACIÓN
La negación se presenta con los términos:
El SÍMBOLO que se emplea para traducirla es: 
Aunque también se suele emplear el símbolo: ~
Ejemplos
1. SUPONGA QUE ESTAMOS EN EL DÍA LUNES DE LA SEMANA, entonces al decir:
a : "Hoy es lunes"
(Será una proposición VERDADERA)
a
 : "Hoy no es lunes "
(En cambio esta proposición será FALSA).
2. SUPONGA QUE NO ESTÉ LLOVIENDO, entonces al decir:
a : "Está lloviendo"
(será una proposición FALSA)
a
 : "No está lloviendo"
(en cambio esta proposición será VERDADERA)
Si ubicamos estas observaciones en una tabla que nos indique todas
estas posibilidades formamos lo que llamaremos TABLA DE VERDAD
para el operador lógico. Que para la negación sería:
a a

1
0
0
1
Observe que:
El operador NEGACIÓN CAMBIA EL VALOR DE
VERDAD de una proposición.
 No
 No es verdad que
 No es cierto que

5
1.2.2 CONJUNCIÓN
Este operador lo tenemos cuando enlazamos proposiciones con el
término y.
En lenguaje formal se lo traduce con el SÍMBOLO: 
Ejemplo
CONSIDEREMOS LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES:
a : "Tengo un bolígrafo negro"
b : "Tengo un bolígrafo rojo"
LA CONJUNCIÓN DE LAS DOS PROPOSICIONES SERÍA:
b
a  : "Tengo un bolígrafo negro y uno rojo"
Entonces al suponer que:
1. Si se tienen los dos bolígrafos ( 1
;
1 
 b
a ) entonces decir "Tengo un bolígrafo negro y uno rojo", será una VERDAD.
2. Si se tiene el bolígrafo negro y no el rojo ( 0
;
1 
 b
a ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro y uno rojo ", será
FALSA.
3. Si no se tiene el bolígrafo negro y si el rojo ( 1
;
0 
 b
a ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro y uno rojo ",
será también FALSA.
4. Si no se tienen los dos bolígrafos ( 0
;
0 
 b
a ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro y uno rojo”, también será
FALSA.
Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la conjunción sería:
a b b
a 
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
Observe que:
La CONJUNCIÓN de dos proposiciones es
VERDADERA siempre y cuando ambas
proposiciones sean verdaderas.

6
1.2.3 DISYUNCIÓN INCLUSIVA
La disyunción inclusiva aparece cuando enlazamos proposiciones con
el término O.
Se la traduce formalmente con el SÍMBOLO: 
Ejemplo
Considerando las mismas proposiciones anteriores:
a : " Tengo un bolígrafo negro "
b : " Tengo un bolígrafo rojo "
LA DISYUNCION DE LAS DOS PROPOSICIONES SERÍA:
b
a  : " Tengo un bolígrafo negro o uno rojo "
Entonces al suponer que:
1. Si se tienen los dos bolígrafos ( 1
;
1 
 b
a ) entonces decir "Tengo un bolígrafo negro o uno rojo", será una
VERDAD.
2. Si se tiene el bolígrafo negro y no el rojo ( 0
;
1 
 b
a ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro o uno rojo ", será
también una VERDAD.
3. Si no se tiene el bolígrafo negro y si el rojo ( 1
;
0 
 b
a ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro o uno rojo ",
será también una VERDAD.
4. Si no se tienen los dos bolígrafos ( 0
;
0 
 b
a ), la proposición “Tengo un bolígrafo negro o uno rojo”, será una
FALSEDAD.
Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la disyunción inclusiva
sería:
a b b
a 
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Note que:
La DISYUNCIÓN INCLUSIVA de dos
proposiciones es FALSA siempre y cuando ambas
proposiciones sean falsas.

7
1.2.4 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Seguramente usted ha expresado disyuntivas en donde se admite, lo
uno ó lo otro, pero no ambas cosas.
Ejemplos
1. "Daniel está en España o Italia"
2. "Jessica tiene una altura de 1.70 .
m o 1.65 .
m "
3. "El motivo del crimen fue o bien el robo o bien la venganza"
Estos ejemplos se los interpreta de la siguiente manera:
 "Daniel está en España o está en Italia, pero no puede estar en ambos lugares a la vez"
 "Jessica tiene una altura de 1.70 .
m o una altura de 1.65 .
m , pero no puede tener ambas estaturas a la vez"
 "El motivo del crimen fue sólo el robo o sólo la venganza"
En el último ejemplo, con el término "sólo", desechamos la idea de que
el motivo del crimen sea el robo y la venganza a la vez.
Entonces el término para la disyunción exclusiva en lenguaje común
sería: "o…o…". Así como también el término "o bien……o
bien…..".
EL SÍMBOLO que se emplea para traducirla formalmente es:  .
Sin embargo, la disyunción exclusiva se la traduce en término de la
disyunción inclusiva de la forma:    
b
a
b
a 



LA TABLA DE VERDAD para la disyunción exclusiva sería:
a b b
a
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Por lo tanto, se podría decir que:
La DISYUNCIÓN EXCLUSIVA de dos
proposiciones es FALSA siempre y cuando ambas
proposiciones sean falsas y también cuando
ambas sean verdaderas.

8
1.2.5 ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA
Es el conector lógico más importante. Llamado también condicional o
implicación. Se presenta cuando enlazamos dos proposiciones a y b de
la forma: "Si a entonces b". Simbólicamente se traduce como:
b
a 
En este caso a la proposición "a " se la llama:
Y a la proposición "b " se la llama:
Otros LENGUAJES RELACIONADOS con la enunciación hipotética son:
 " a implica b "
 "Basta a para que b "
 "a sólo si b " (Sólo si b ,a )
 "a solamente si b "
 "b si a "
 "b cada vez que a "
 "b siempre que a "
 "b puesto que a "
 "b ya que a "
 "b cuando a " (Cuando a , b )
 "b debido a que a "
 "b porque a "
 "b con la condición de que a "
Ejemplo |
Supóngase que un padre le dice a su hijo:
"Si apruebas el preuniversitario, entonces te daré un premio".
Bien, ahora suponga que:
1. Efectivamente el hijo aprueba el preuniversitario, y que el padre le da el premio. Entonces el padre ha
dicho una VERDAD.
2. Si el hijo aprueba el preuniversitario y el padre no le da el premio. Entonces el padre ha dicho una
MENTIRA (FALSEDAD).
3. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y sin embargo el padre le da el premio, aunque no está obligado a
hacerlo. Entonces el padre NO ha dicho una MENTIRA.
4. Si el hijo no aprueba el preuniversitario y el padre no le da el premio. El padre tampoco ha dicho una
MENTIRA.
Antecedente
Consecuente

9
Entonces, LA TABLA DE VERDAD para la enunciación hipotética sería:
a b b
a 
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
Por lo tanto, se podría decir que:
La ENUNCIACIÓN HIPOTÉTICA es FALSA
sólo cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente falso.
Vale la pena recalcar que, no es necesario que exista relación entre las
proposiciones. El valor de verdad de la proposición resultante depende de
los valores de verdad de cada una de las proposiciones que la conforman.
1.2.5.1 Condiciones necesarias y suficientes
En ocasiones, en una enunciación hipotética verdadera donde existe
relación causal entre el antecedente a y el consecuente b , se interpreta
lo siguiente:
"a es condición suficiente para b "
"b es condición necesaria para a "
Lo cual nos indica otras dos formas de lenguaje relacionado para la
enunciación hipotética.
Ejemplo
"Si un número es divisible para 4 , entonces es divisible para 2 "
Este enunciado puede ser interpretado, parafraseándolo de la siguiente manera:
 "Es SUFICIENTE que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2 "
O también:
 "Es NECESARIO que un número sea divisible para 2 , para que sea divisible para 4 " (también: "si un número es
divisible para 4 , necesariamente será divisible para 2 ")
Es importante mencionar que si se intercambia el antecedente con
el consecuente la enunciación hipotética cambia.
Ejemplo
Considerando el ejemplo anterior, al enunciar la proposición de la siguiente forma:
“Si un número es divisible para 2 , entonces es divisible para 4 "
Es FALSA; porque es indudable que existen números divisibles para 2 que no son divisibles para 4 ( 6
por ejemplo).

10
Además, el enunciado anterior también puede ser parafraseado de las
siguientes formas:
 " La divisibilidad para 4 implica la divisibilidad para 2 "
 " Un número es divisible para 4 sólo si es divisible 2 "
 “Basta que un número sea divisible para 4 para que sea divisible para 2 ".
 " Un número es divisible para 2 siempre que sea divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 si es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 puesto que es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 ya que es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 cada vez que sea divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 cuando es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 debido a que es divisible para 4 "
 " Un número es divisible para 2 porque es divisible para 4 "
1.2.5.2 VARIACIONES DE LA CONDICIONAL
Para la implicación b
a  se define:
LA RECÍPROCA: a
b 
LA INVERSA: b
a 


LA CONTRARRECÍPROCA: a
b 


Ejemplo
Sea la proposición: “Iré a trabajar, si me pagan”
Para expresar su recíproca, su inversa y su contrarrecíproca es mejor tener la enunciación hipotética de la
forma: Si a entonces b .
Observe que la proposición dada, está de la forma " b si a "
Entonces el antecedente es a : Me pagan
Y el consecuente es b : iré a trabajar
Luego tenemos:
“Si me pagan, entonces iré a trabajar”
De aquí:
RECÍPROCA: “Si voy a trabajar, entonces me pagan”
INVERSA: “Si no me pagan, entonces no iré a trabajar”
CONTRARRECÍPROCA: “Si no voy a trabajar, entonces no me pagan”
Cuando se observa que la implicación no es sólo en un sentido, sino
que se da en ambos sentidos, hay la necesidad de expresarse de otra
forma y surge la definición de un nuevo operador lógico, la doble
implicación, llamado también BICONDICIONAL.

11
1.2.6 BICONDICIONAL
El símbolo empleado es: . Que enlazando dos proposiciones sería:
b
a  . Que significa    
a
b
b
a 

 y se lee “a sí y sólo sí b ”.
Su tabla de verdad sería:
a b b
a 
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Se observa que:
La BICONDICIONAL para dos proposiciones es
VERDADERA cuando ambas proposiciones son
verdaderas o ambas falsas, es decir cuando
tienen el mismo valor de verdad. Caso contrario
es falsa.
Ejemplo
Si se tienen las proposiciones:
a : “La matriz tiene inversa”
b : “El determinante de la matriz es diferente de cero”
Si se quiere decir que una matriz tenga inversa implica que su determinante es diferente de cero; y
recíprocamente, si el determinante de una matriz es diferente de cero entonces tiene inversa; se lo expresará
de la forma:
a b
 : “Una matriz tiene inversa, si y sólo si su determinante es diferente de cero”
Ejercicios Propuestos 1.2
1. Sean las proposiciones:
a : Te gustan las Matemáticas
b : Te gusta este deber
TRADUZCA las siguientes proposiciones al lenguaje común:
a) b
a  b) b
a 
 c) a
b 

 d)   b
a
a 


2. En las siguientes proposiciones, identifique el ANTECEDENTE y el CONSECUENTE.
a)Si no se ama a primera vista, no se ama como es debido.
b)Para ser secretaria se necesita enseñar la rodilla.
c) El que roba un dólar, roba un millón.
d)Pienso, luego existo.
e)Quien siembre vientos, cosecha tempestades.
f) Para que un polígono sea rectángulo, es suficiente que sea cuadrado.
g)No somos débiles si hacemos uso apropiado de los medios que el Dios de la Naturaleza ha puesto bajo
nuestro dominio.
h)Tendrás éxito solamente si aprecias la opinión de los demás.
i) Hay que alimentarse adecuadamente porque es una manera de evitar enfermedades.
j) Estudio siempre que tenga motivación.

12
k) Únicamente mediante el error auténtico y el trabajo espontáneo y creativo puede el ser humano superar su
angustia y soledad.
3. Considerando las proposiciones:
a : Yo terminé mi deber antes de comer. c : Hoy hace sol.
b : Yo juego tennis por la tarde. d : Hoy hay poca humedad.
Escribir en LENGUAJE SIMBÓLICO:
a) Es necesario que termine de hacer mi deber antes de comer y que haya poca humedad para que si
hace sol yo juegue tennis por la tarde.
b) Para mí es suficiente que no haya sol y haya poca humedad para que no salga a jugar tennis por la
tarde.
4. Dada la proposición:
"Un triángulo es rectángulo si está circunscrito en un semicírculo "
Escriba la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca.
5. Sea la proposición: “El autobús llega tarde, siempre que el conductor se haya desviado”. Suponiendo
que la proposición es verdadera. Entonces una proposición EQUIVALENTE a la anterior, es:
a) Que el autobús llegue tarde es una condición suficiente para que el conductor se haya desviado.
b) Una condición suficiente para que el autobús llegue tarde es que el conductor se haya desviado.
c) Una condición necesaria para que el autobús llegue tarde es que el conductor se haya desviado.
d) Si el autobús llega tarde, el conductor se ha desviado.
e) Elija esta opción sin ninguna proporción anterior corresponde.
1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES
OBJETIVOS:
 Defina proposiciones atómicas y moleculares.
 Establezca el valor de verdad de una proposición molecular.
Las PROPOSICIONES MOLECULARES son
expresiones que están compuestas por varias
proposiciones conectadas por operadores lógicos.
A las proposiciones simples, en las que no
aparecen operadores lógicos, se las denominan
PROPOSICIONES ATÓMICAS.
Ejemplo
 
   
b
a
c
b
a 




Las proposiciones atómicas para este ejemplo serían a , b y c .
El valor de verdad de una proposición molecular depende del valor de
verdad de las proposiciones atómicas que la componen.

13
Ejemplo
Para la proposición molecular anterior suponga que: 1

a ; 0

b y 1

c , entonces su valor
de verdad es VERDADERO, porque:
  

 



 



 





 

 




1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
































 b
a
c
b
a
Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones atómicas , , , ,
a b c d e y f son
respectivamente 0,0,1,1,0,1; determinar el VALOR DE VERDAD de cada una de las proposiciones moleculares
siguientes:
1.    
  c
a
b
b
a 



2.  
     
 
   
b
a
f
d
e
d
c
a
b
a 









3.  
   
   
   
 
f
a
f
d
e
d
c
a
b
a 












1.4 FORMAS PROPOSICIONALES
OBJETIVOS:
 Defina formas proposicionales.
 Defina tautologías, falacias y contradicciones.
 Aplique la definición de tautología y la de falacia para clasificar formas proposicionales
dadas.
 Defina formas Lógicamente Equivalentes
 Determine si formas proposicionales dadas son Lógicamente Equivalentes o no
Una FORMA PROPOSICIONAL es una expresión
constituida por símbolos que representan o
conectores lógicos o variables proposicionales.
Ejemplo
 
   
q
p
r
q
p 




Donde p , q y r son VARIABLES PROPOSICIONALES, que pueden
representar proposiciones atómicas o proposiciones moleculares.
Si reemplazamos a p , q y r por proposiciones los resultados son
proposiciones moleculares, por tanto, su valor de verdad está supeditado
al valor de verdad de las proposiciones atómicas que intervengan.

14
Si nos propusiéramos elaborar la tabla de verdad de una forma
proposicional, ésta tendría
n
2 filas, donde n es el número de variables
proposicionales.
Para el ejemplo anterior, como la forma proposicional tiene tres
variables proposicionales, entonces su tabla de verdad tendrá 8
23

filas, tal como se muestra a continuación:
p q r q
p  r
   r
q
p 

 q
p   
   
q
p
r
q
p 




1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
Observe que con tres variables, para no repetir casos, las dos últimas
variables q y r mantienen las cuatro combinaciones básicas (ambas
verdaderas, una de ellas verdadera mientras la otra falsa y ambas falsas)
y la primera variable p es verdadera. Luego, lo mismo para las dos
últimas variables, pero con la primera falsa.
Si hubiesen 4 variables proposicionales, se hacen las ocho
combinaciones anteriores con las últimas tres variables y la primera
variable verdadera; luego, lo mismo que lo anterior pero con la primera
falsa, es decir:
p q r s
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Para más variables repetir el proceso de forma análoga.

15
Existen formas proposicionales muy singulares que van a ser de
mucho interés para nuestras necesidades.
TAUTOLOGÍA: Forma proposicional cuya
estructura lógica da lugar a proposiciones
VERDADERAS para todos los casos de valores de
verdad de las variables proposicionales que las
componen.
CONTRADICCION: Forma proposicional cuya
estructura lógica da lugar a proposiciones
FALSAS, sin importar el valor de verdad de sus
variables.
Si las formas proposicionales no son Tautología o Contradicción se las
llama CONTINGENCIA.
Ejemplo
Al observar la tabla de verdad de la forma proposicional:
   
q
p
q
p 



p q p
 q
p  q
p 
    
q
p
q
p 



1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Notamos que el valor de verdad de las proposiciones que se generan es siempre verdadero, sin importar el valor de verdad
de las variables proposicionales intervinientes. Por tanto es una TAUTOLOGÍA.
1.4.1 IMPLICACIONES LÓGICAS
Sean A y B dos formas proposicionales.
Decimos que A implica lógicamente a B si y sólo
sí B
A  es una tautología.
En este caso se escribe B
A  .

16
Algunas implicaciones lógicas típicas son:
 
q
p
p 
 Adición
  p
q
p 
 Simplificación
 
  q
q
p
p 

 Modus Ponens
 
  p
q
q
p 



 Modus Tollens
 
  q
p
q
p 


 Silogismo Disyuntivo
 
 
q
p
q
p 


   
   
r
p
r
q
q
p 



 Silogismo Hipotético
     
 
r
q
r
p
q
p 




     
 
r
q
r
p
q
p 




     
 
r
p
r
q
q
p 




   
     
 
s
q
r
p
s
r
q
p 






   
     
 
s
q
r
p
s
r
q
p 






Dilemas constructivos
   
     
 
r
p
s
q
s
r
q
p 










   
     
 
r
p
s
q
s
r
q
p 










Dilemas destructivos
1. DEMUESTRE las Implicaciones Lógicas anteriores.
2. Escriba la TABLA DE VERDAD de las siguientes formas proposicionales:
a) )
( p
p
p 


b) )
(
)
( q
p
q
p 



c) q
q
p
q
p 



 ))
(
)
((
d) ))
(
(
)
( q
p
p
q
p 




3. ¿Cuál de las siguientes formas proposicionales NO ES TAUTOLÓGICA?
a) p
q
p 
 )
(
b) p
q
p
p 

 ))
(
(
c) )
(
)
( q
p
q
p 


d) q
q
p
p 



 ))
(
(
e) )
(
)
( q
p
q
p 





4. Una de las siguientes formas proposicionales NO ES TAUTOLÓGICA, identifíquela.
a)  
  q
q
p
p 




b)  
  p
p
q
p 





c)  
  q
q
p
p 





d)    
   
r
p
q
p
r
q 




e)  
  p
q
q
p 





5. Sean r
q
p ,
, variables proposicionales, entonces la forma proposicional que NO ES TAUTOLÓGICA es:
a)    
p
q
q
p 




b)  
  p
q
q
p 




c)  
     
 
r
q
r
p
r
q
p 





d)    
   
r
p
r
q
q
p 






e)    
   
 
r
q
p
r
q
r
p 





6. La expresión B para que la forma proposicional:  
 
 
  B
q
q
q
p
p 








NO SEA TAUTOLÓGICA es:
a)  
q
p 
 b) q
p 
 c) q d) p e) p

7. HALLAR el operador “  ” para que la forma proposicional sea tautológica:
   
     
 
r
q
s
q
s
r
q
p 










17
1.4.2 EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Sean A y B dos formas proposicionales.
Decimos que A es LÓGICAMENTE
EQUIVALENTE a B si y sólo sí B
A  es una
tautología.
En este caso se escribe B
A  . Como también B
A 
Analicemos la tabla de verdad de las siguientes dos formas
proposicionales: q
p  y q
p 

p q 

A
q
p 
p
 

B
q
p 
    









 B
A
q
p
q
p 


    









 A
B
q
p
q
p 



1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
En ambos sentidos la implicación con estas dos formas
proposicionales es tautológica, lo cual quiere decir que son formas
Lógicamente Equivalentes. Es decir, q
p   q
p 

Como conclusión se puede decir que:
Dos formas proposicionales son LÓGICAMENTE
EQUIVALENTES si tienen el MISMO VALOR
DE VERDAD bajo iguales condiciones de valores
de verdad de las variables intervinientes.
Aquí se puede observar la importancia de la lógica de símbolos. Es
muy difícil precisar con nuestros sentidos que la expresión “Si estudio
entonces aprenderé” es Lógicamente Equivalente a “ No estudio o
aprendo”.
Ahora analicemos estas otras dos formas proposicionales q
p  y
p
q 


p q p
 q
 q
p  p
q 


1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
Por lo tanto, q
p  es Lógicamente Equivalente a su contrarrecíproca
p
q 

 .

18
Investigue si las siguientes EQUIVALENCIAS SON CORRECTAS O NO:
a)  
   
 
r
q
p
r
q
p 




b)  
   
 
r
q
p
r
q
p 




c)  
   
 
r
q
p
r
q
p 




d)  
   
 
r
q
p
r
q
p 




e)  
   
 
r
q
p
r
q
p 




f)  
   
 
r
q
p
r
q
p 




1.4.2.1 ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Clasificando algunas Equivalencias Lógicas, resulta:
CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN
   
p
q
q
p 

 Conmutativa    
p
q
q
p 


   
r
q
p
r
q
p 



 Asociativa    
r
q
p
r
q
p 




  p
p
p 
 Idempotencia   p
p
p 

  p
p 
1 Identidad   p
p 
 0
  0
0 

p Absorción   1
1 

p
LEYES DISTRIBUTIVAS NEGACIÓN
     
r
p
q
p
r
q
p 





     
r
p
q
p
r
q
p 





1
0 

0
1 

  p
p 

 doble negación
OTRAS:
 
  














q
p
q
p
q
p
q
p
Leyes de De Morgan
  1


 p
p Ley del tercer excluido
  0


 p
p Ley de la contradicción
   
p
q
q
p 



 Contrapositiva o Contrarrecíproca
   
q
p
q
p 


 Implicación
   
q
p
q
p 



   
q
p
q
p 




   
   
 
r
q
p
r
q
r
p 





   
   
 
r
q
p
r
p
q
p 





 
   
 
r
q
p
r
q
p 



 Ley de exportación
   
 
0




 q
p
q
p Reducción al absurdo
     
 
p
q
q
p
q
p 



 Equivalencia
   
p
q
q
p 


¡No olvide demostrarlas!

19
1.4.2.2 APLICACIÓN DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES
Una utilidad de las Equivalencias Lógicas la observamos a
continuación.
Ejemplo 1
La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la siguiente proposición:
“Si tú eres inteligente y no actúas con prudencia, eres un ignorante en la materia”
Siendo: :
m tú eres inteligente
:
n tú actúas con prudencia
:
p tú eres un ignorante en la materia
Es:
a)  
p
n
m 

b)  
n
m
p 


c)  
p
n
m 

d)   n
p
m 



e)  
p
n
m 


Ejemplo 2
Dada la proposición molecular:
“Hoy es jueves y tengo que dar un examen, pero si hay huelga,
entonces no voy a la Universidad”
y las proposiciones atómicas:
a : Hoy es jueves. b : Tengo que dar un examen.
c : Hay huelga. d : Me voy a la Universidad.
Entonces la TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición molecular es:
a)   d
c
b
a 

 b)    
b
a
c
d 


 c)    
d
c
b
a 



d)    
d
c
b
a 


 e)    
b
a
d
c 


SOLUCIÓN:
Analicemos este otro tipo de ejercicio.
Ejemplo 3
Si la proposición:    
   
 
s
r
p
s
r
q
p 








 es VERDADERA, entonces es
VERDAD que:
a) 0

 q
p b) 1

 s
q c)   0


 q
s
r
d) 1

q e) 1

 r
p
Traduciendo tenemos    
d
c
b
a 


 , por la contrarrecíproca
   
 
c
d
b
a 




 entonces
   
c
d
b
a 


 que es lo mismo que    
b
a
c
d 



RESPUESTA: Opción "b".
SOLUCIÓN:
La traducción sería:   p
n
m 

 . Pero tiene apariencia diferente
a las opciones de respuestas, entonces empleando el álgebra de
proposiciones tenemos:   p
n
m 



p
n
m 


 
p
n
m 


 
p
n
m 

RESPUESTA: Opción "a".

20
SOLUCIÓN: Debemos ir analizando desde la proposición molecular hasta llegar a las proposiciones
atómicas.
[  

 



 


 














1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
s
r
q
p 




 ]  [  










1
1
1
1
0
1
s
r
p 

 ] 1

Del análisis se concluye que:
0
0
1
1




q
r
s
p
Ahora que hemos encontrado los valores de verdad de cada una de las proposiciones, ,
podemos analizar una a una las opciones proporcionadas:
a)     1
0
1 


 q
p mas no 0 como se indica
b)     0
1
0 


 s
q mas no 1 como se indica
c)  
   
    0
0
1
0
1
0 






 q
s
r tal como se indica y por tanto esta sería
la respuesta.
1. Seleccione la TRADUCCIÓN correcta de la siguiente afirmación:
“Si retiro el dinero del banco, compro un carro o una casa”
Considerando las proposiciones atómicas : :
p Retiro el dinero del banco
:
q Compro un carro
:
r Compro una casa
a)   r
q
p 
 b)   r
q
p 
 c)  
r
q
p 

 d)   r
q
p 
 e)
 
r
q
p 

2. La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición :
"Si me voy a casa, me voy de compras y si no me voy a casa, entonces voy al cine"
siendo las proposiciones atómicas:
a : Me voy a casa b : Me voy de compras c : Voy al cine
es:
a) )
(
)
( c
a
b
a 

 c) )
(
)
( c
a
b
a 



b) )
(
)
( c
a
b
a 



 d) )
(
)
( a
c
a
b 




 e) )
(
)
( a
c
a
b 



3. La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición: "Si se es estudioso o dedicado, entonces se aprueba
el Preuniversitario". Siendo las proposiciones atómicas:
a : Se es estudioso.
b : Se es dedicado.
c : Se aprueba el Preuniversitario.
es: a)  
c
b
a 



 b)    
c
b
c
a 

 c)
  b
c
a 

 d)  
c
b
a 
 e)  
c
b
a 

4. Dada la proposición:
"Si hay huelgas y paro de transportistas, entonces las pérdidas serán cuantiosas"
Entonces es EQUIVALENTE a la siguiente proposición:
a) Si no hay pérdidas cuantiosas entonces no hay huelgas o no hay paro de transportistas.
b) Si no hay pérdidas cuantiosas entonces no hay huelgas y si hay paro de transportistas.
c) Si no hay pérdidas cuantiosas entonces hay huelgas y no hay paro de transportistas.
d) Si no hay huelgas ni paro de transportistas entonces no hay pérdidas cuantiosas.
e) Si no hay huelgas entonces no hay paro de transportistas ni pérdidas cuantiosas.
5. La proposición: )
(
)
( a
c
b
a 


 es EQUIVALENTE a:
a) c
b
a 

 )
( b) )
( c
b
a 


c) )
( c
b
a 


 d) c
b
a 
 )
( e) a
c
b
a 


 )
)
((

21
6. La forma proposicional:  
   
     
 
p
q
q
p
q
q
p
p
q
p 









 es EQUIVALENTE a:
a) p
q  b) p
 c) q
d) Elija esta opción si la forma proposicional es siempre falsa.
e) Elija esta opción si la forma proposicional es siempre verdadera.
7. La CONTRARRECÍPROCA de la proposición:
“Si EL NIÑO es un fenómeno o un desastre natural, entonces no es una simple lluvia o un mal
pasajero” es:
a) Si EL NIÑO es una simple lluvia y no un mal pasajero, no es un fenómeno ni un desastre natural.
b) EL NIÑO no es un fenómeno ni un desastre natural, porque es un mal pasajero y no una simple lluvia.
c) EL NIÑO es un fenómeno, desastre natural, simple lluvia y un mal pasajero.
d) EL NIÑO no es un fenómeno ni desastre natural, si es una simple lluvia y un mal pasajero.
e) EL NIÑO no es una simple lluvia o un mal pasajero solo si no es un fenómeno.
8. Si se da la proposición:
"Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no daré un mal examen o mis
padres estarán contentos”
Entonces su proposición CONTRARRECÍPROCA es:
a) Si no doy un mal examen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo
suficiente.
b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal examen y mis padres estarán
contentos.
c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarán contentos y daré
un mal examen.
d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres están
contentos.
e) No daré un mal examen o mis padres estarán contentos sólo si he estudiado mucho.
9. Dadas las proposiciones atómicas:
:
p Me estoy bañando. :
q Me voy a una fiesta.
:
r Quiero dormir. :
s Estoy cansado.
Entonces, la CONTRARRECÍPROCA de la proposición    
s
q
r
p 



 es:
a)Si me estoy bañando y no quiero dormir, entonces, me voy a una fiesta y no estoy cansado.
b)No es verdad que me voy a una fiesta y estoy cansado y no me estoy bañando o quiero dormir.
c) Si no me voy a una fiesta y estoy cansado, entonces no me estoy bañando o quiero dormir.
d)Si no me estoy bañando o quiero dormir, entonces me voy a una fiesta o estoy cansado.
e)Si me voy a una fiesta o no estoy cansado, entonces me estoy bañando y no quiero dormir.
10. Si la proposición:  
   
e
d
d
b
a 




 es FALSA, entonces es VERDAD que:
a)   0

 a
b
b)   0



 d
e
c)   0

 a
d
d)   0

 b
a
e)   0

 a
e
11. Si la proposición    
 
q
r
q
p 


 es FALSA, entonces una de las siguientes proposiciones es
FALSA, identifíquela:
a)    
  0




 q
r
q
p
b)    
  0




 q
p
r
q
c)    
  1






 q
r
p
r
d)    
  1




 r
q
r
p
e)    
  0



 p
r
q
r
12. Si la proposición  
   
q
r
r
q
p 


 es FALSA, entonces es VERDAD que:
a)El valor de verdad de p es verdadero.
b)El valor de verdad de q es verdadero.
c) El valor de verdad de p es falso.
d)El valor de verdad de r es falso.
e)El valor de verdad de p no puede ser definido.

22
1.5. RAZONAMIENTOS
OBJETIVOS:
 Defina razonamiento.
 Defina razonamiento válido.
 Determine la validez de un razonamiento suponiendo que éste es falso.
 Infiriera una conclusión válida para un razonamiento, dadas las hipótesis.
 Justifique la validez de un razonamiento.
 Replantee un razonamiento cambiando la conclusión para que sea válido en el caso de que no lo sea.
Bien ya podemos dedicarnos a una estructura lógica muy importante,
que es el objetivo que nos habíamos propuesto.
El tipo de razonamiento que vamos a considerar estará constituído por
una enunciación hipotética que tiene como antecedente una conjunción
de hipótesis o premisas. Es decir, su estructura lógica será de la forma:
 











 



 


CONCLUSIÓN
PRINCIPAL
OPERADOR
HIPOTESIS
O
PREMISAS
n C
H
H
H
H 


 3
2
1
Estamos interesados en saber si un razonamiento es válido o no, es
decir si la conclusión es lógicamente inferida de las hipótesis.
1.5.1. VALIDEZ DE UN RAZONAMIENTO
Un razonamiento es VÁLIDO cuando la forma
proposicional que se obtiene de la proposición
molecular que lo define, es TAUTOLÓGICA. Es
decir una Implicación Lógica.
Como la estructura lógica de los razonamientos presenta la forma
C
H  , entonces podemos dedicarnos a determinar si se produce el
siguiente caso 1

H y 0

C que es el único caso cuando la Enunciación
Hipotética sería falsa, entonces no sería una tautología y por tanto el
razonamiento no es válido.
Ejemplo 1
Determine si el siguiente razonamiento es válido o no:
"Si aumenta la producción, aumentan los ingresos; si aumentan los ingresos, se
recupera la inversión. Por lo tanto, si aumenta la producción, se recupera la inversión"
SOLUCIÓN:
Considerando las proposiciones atómicas:
:
a Aumenta la producción
:
b Aumentan los ingresos.
:
c Se recupera la inversión.
El razonamiento se traduce al lenguaje formal por la proposición molecular:
   
   
c
a
c
b
b
a 



 .
Entonces la forma proposicional correspondiente sería    
   
r
p
r
q
q
p 




Que debería ser tautológica para que el razonamiento sea válido. Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero para evitar
tal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad.

23
0 0
1 1 1 1
1 0 0
0
p q q r p r
     
    
     
     
     
Para que la enunciación hipotética sea falsa, se requiere que el antecedente sea verdadero mientras que el consecuente es
falso, para lo cual   0

 r
p entonces 1

p y 0

r . Ahora examinando el antecedente, observamos que para
que la primera hipótesis sea verdadera se requiera que 1

q , pero la segunda hipótesis se hace falsa. Esto nos hace
pensar que no va a existir por lo menos una proposición falsa, por lo tanto el razonamiento es VALIDO.
Ejemplo 2
Determine si el siguiente razonamiento es válido o no:
"Si soy estudioso, aprobaré el curso; si soy fiestero, no aprobaré el curso. Por
lo tanto, no puedo ser estudioso y fiestero al mismo tiempo"
SOLUCIÓN:
Considerando las proposiciones atómicas:
:
a Soy estudioso
:
b Aprobaré el curso.
:
c Soy fiestero.
El razonamiento se traduce al lenguaje formal por la proposición molecular:
   
   
c
a
b
c
b
a 





 .
Entonces la forma proposicional correspondiente sería    
   
r
p
q
r
q
p 






Que debería ser tautológica para que el razonamiento sea válido. Podemos hacer toda la tabla de verdad, pero para evitar
tal trabajo nos dedicaremos a investigar si existe por lo menos un caso de falsedad.
1 1
1 1 ? 1
1
1 1
0
0
p q r q p r
 
 
   
 
 
   
 
 
        
 
 
 
   
 
   
   
   
 
Para que la enunciación hipotética sea falsa, se requiere que el antecedente sea verdadero mientras que el consecuente es
falso, para lo cual   0


 r
p entonces   1

 r
p ; esto significa que 1

p y 1

r . Ahora examinando el
antecedente, observamos que para que la primera hipótesis sea verdadera se requiera que 1

q , pero la segunda
hipótesis se hace falsa porque 0

q . Esto nos hace pensar que no va a existir por lo menos una proposición falsa, por
lo tanto el razonamiento es VALIDO.
Ejemplo 3
Dadas las siguientes hipótesis:
1
H : La Lógica es difícil o no les gusta a muchos estudiantes.
2
H : Si la Matemática es fácil, entonces la Lógica no es difícil.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA es:
a) La Lógica es difícil.
b) La Matemática es fácil.
c) Si la Matemática no es fácil, a muchos estudiantes no les gusta la Lógica.
d) Si a muchos estudiantes les gusta la Lógica, la Matemática no es fácil.
e) La Matemática no es fácil o la Lógica es difícil.
SOLUCIÓN:
Definamos las proposiciones: :
a La Lógica es difícil.
:
b La Lógica le gusta a muchos estudiantes.
:
c La Matemática es fácil.
Entonces la traducción de las hipótesis dadas sería: b
a
H 

:
1
a
c
H 

:
2
Cada opción dada sería una posible conclusión, analicemos con cada una:

24
a) [(
 




1
1
0
0
q
p 
 )  (  






1
1
0
1
p
r 
 )]

0
p
 No válido
b) (
 

 


0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
r
p
r
q
p 







 


 









) No válido
c) [(
 




1
0
1
1
q
p 
 )  (  






1
0
1
0
p
r 
 )] [ 







 0
1
1
0
q
r 

 ] No válido
d) [(
 




1
0
1
1
q
p 
 )  (  






0
0
1
1
p
r 
 )] [
 






0
0
1
1
r
q 
 ] VÁLIDO (Respuesta)
e) [(
 




1
1
0
0
q
p 
 )  (  






1
1
0
1
p
r 
 )] [ 





0
0
0
1
p
r 
 ] No válido
1. Con las proposiciones: m : Yo gano las elecciones.
n : Guayaquil tiene autobuses articulados
p : Ustedes tienen transporte.
Se construye los siguientes razonamientos. Determine cual de ellos NO es válido.
a)    
   
p
m
p
n
n
m 




b)    
   
n
p
p
n
n
m 






c)  
  n
m
n
m 




d)  
  n
m
n
m 




e)    
  m
p
p
n
n
m 






2. Dadas las siguientes premisas: 1
H : Si veo mucha TV, entonces no tengo tiempo para estudiar.
2
H : Veo mucha TV.
considerando las proposiciones: p : Veo mucha TV y q : Tengo tiempo para estudiar.
Entonces una conclusión para un RAZONAMIENTO VÁLIDO es:
a) p

b) q
c) q
p 

d) q
p 

e) q
p 

3. Dadas las siguientes premisas: :
1
H Si estudio mucha Lógica, entonces no reprobaré el curso.
:
2
H Estudio mucha Lógica.

25
Entonces, una CONCLUSIÓN para un RAZONAMIENTO VÁLIDO, es:
a) No estudio mucha Lógica.
b) Reprobaré el curso.
c) Estudio mucha Lógica ó no reprobaré el curso.
d) No estudio mucha Lógica y estudio mucha Lógica.
e) No estudio mucha Lógica ó reprobaré el curso.
Misceláneos
1. Si la forma proposicional  
   
q
r
r
q
p 


 es FALSA, entonces es VERDAD que:
a) p es verdadera.
b) p es falsa y r es verdadera.
c) r es falsa.
d) El valor de verdad de p no puede ser definido.
e) q es verdadera.
2. Una de las siguientes proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a)   r
q
p 
   
r
q
p 

b)   r
q
p 
   
r
q
p 

c)   r
q
p 
   
r
q
p 

d)  
q
p 

  q
p 
e).  
p
q 
  q
p 
3. Sean las proposiciones:
:
p Todos los alumnos cumplen con sus obligaciones.
:
q Todos los alumnos aprueban el examen.
:
r El profesor recompensa a los alumnos con una semana de vacaciones.
Entonces la TRADUCCIÓN al lenguaje simbólico de la proposición:
“Si todos los alumnos cumplen con sus obligaciones y logran aprobar el examen, el profesor los
recompensará con una semana de vacaciones; pero, si algún alumno resultara reprobado, el
profesor no adoptará esa medida”;
es:
a)    
r
q
r
r
q 




b)  
   
r
q
r
p
q 





c)    
r
q
p
r
q 




d)    
 
r
q
p
q
r 



e)  
   
q
r
r
q
p 





4. La NEGACIÓN de la proposición: q
p 
 es:
a) q
p 

b) p
q 

c) q
p 
d) q
p 


e) q
p 


5. La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición: “Si resuelvo bien el examen y no está difícil, mis
padres me felicitarán.”
Siendo las proposiciones:
a: Yo resuelvo bien el examen.
b: El examen está difícil.
c: Mis padres me felicitarán.
Es:
a)  
c
b
a 

b)  
c
a 

c)  
c
b
a 

d)  
c
b
a 


e)  
c
b
a 



26
6. La proposición:
“Junior es débil, siempre que no coma pescado”
es EQUIVALENTE a:
a) Junior es fuerte o come pescado.
b) Junior es débil y come pescado.
c) Junior es débil cuando come pescado.
d) Junior es fuerte o no come pescado.
e) Junior es débil o come pescado.
7. La CONTRARRECÍPROCA de la proposición:
“Si estudio y apruebo el Preuniversitario, entonces estaré alegre”, es:
a) Si estoy alegre, entonces estudié y aprobé el Preuniversitario.
b) Estudio y estoy alegre, entonces aprobaré el Preuniversitario.
c) Si no estoy alegre, entonces no estudié o no aprobé el Preuniversitario.
d) Apruebo el Preuniversitario y estoy alegre, porque estudié.
e) Si no he estudiado, entonces no aprobaré el Preuniversitario.
8. Considerando la forma proposicional    
s
r
q
p 


 . Entonces una de las siguientes
proposiciones es FALSA, identifíquela.
a) La recíproca es    
q
p
s
r 



 .
b) La contrarrecíproca es    
q
p
s
r 



 .
c) La inversa es    
s
r
q
p 



 .
d) La inversa es equivalente a    
s
r
q
p 

 .
e) La forma proposicional dada es equivalente a    
s
r
q
p 

 .
9. Una de las siguientes proposiciones NO ES TAUTOLÓGICA, identifíquela.
a)    
   
r
p
r
q
q
p 




b)      
 
r
q
r
p
q
p 




c)    
   
p
r
q
p
r
q 




d)  
 
p
q
q
p 


e)    
q
r
r
q
p 




10. Considerando las siguientes proposiciones:
:
p Daniel es feliz.
:
q Daniel estudia todos los días.
:
r Daniel aprueba el preuniversitario.
Entonces la TRADUCCIÓN al lenguaje formal de: “Daniel es feliz sólo si estudia todos los días y aprueba el
preuniversitario”
Es:
a)  
q
p
r 

b)   p
r
q 

c)   p
r
q 


d)   p
r
q 


e)  
r
q
p 



11. La siguiente proposición: “La empresa no hace publicidad y no cambia su producción siempre que la
demanda aumente” es EQUIVALENTE a:
a) Si la empresa no hace publicidad y no cambia su producción, entonces la demanda aumenta.
b) Si la empresa hace publicidad o cambia su producción, entonces la demanda no aumenta.
c) Si la demanda no aumenta, entonces la empresa hace publicidad y cambia su producción.
d) La empresa hace publicidad y cambia su producción, o la demanda aumenta.
e) La empresa hace publicidad o, si cambia su producción entonces la demanda no aumenta.
12. Dadas las siguientes premisas:
:
1
P Si se paga el rescate, entonces los técnicos petroleros aparecerán vivos y retornarán a sus países de
origen.
:
2
P Si la policía interviene, entonces los técnicos petroleros no retornarán a sus países de origen.
:
3
P Se paga el rescate.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA para un razonamiento es:
a) Los técnicos petroleros no aparecen vivos.
b) No se paga el rescate.
c) Si los técnicos petroleros no retornan a sus países de origen, entonces la policía interviene.
d) La policía interviene.
e) Los técnicos petroleros no retornan a sus países de origen.

27
13. Dadas las proposiciones atómicas: :
p Voy a rendir el examen.
:
q Me presento al examen.
:
r Reprobaré.
La TRADUCCIÓN al lenguaje formal de la proposición "Voy a rendir el examen porque si no me
presento al examen entonces reprobaré"
es:
a)   p
r
q 

b)   p
r
q 

c)  
r
q
p 

d)  
q
p
r 


e)  
q
p
r 


14. Sea la proposición: "Juan asiste a clases de Matemáticas siempre y cuando no tenga otras
ocupaciones"
Entonces, su proposición CONTRARECÍPROCA es:
a) Si Juan asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones.
b) Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces asiste a clases.
c) Si Juan no asiste a clases, entonces tiene otras ocupaciones.
d) Si Juan tiene otras ocupaciones, entonces no asiste a clases.
e) Si Juan no asiste a clases, entonces no tiene otras ocupaciones.
15. Si la forma proposicional      
 
t
s
p
r
q
p 





 es FALSA. Entonces una de las siguientes
proposiciones es VERDADERA, identifíquela.
a)   0
1 

p
b)   1


 t
s
c)   0


 p
r
d)  
  1



 s
t
p
e)   1

 t
s
16. Considere las proposiciones: a: La dolarización es un proceso adecuado para el país.
b: El país debe salir de la crisis económica.
c: Las personas mantienen una mentalidad positiva.
La TRADUCCION al lenguaje formal de la proposición: "La dolarización es un proceso adecuado para el
país si las personas mantienen una mentalidad positiva, pero si las personas no mantienen una
mentalidad positiva, el país no sale de la crisis económica. Es:
a)    
b
a
a
c 





b)    
c
a
a
c 




c)  
b
c
a 



d)    
b
c
a
c 




e)  
c
b
a 



17. Considere la proposición molecular: "Es suficiente que Lulú no quiera a Andrés para que si Lulú termina
con Juan entonces a ella no le gustan los hombres feos".
Entonces una proposición EQUIVALENTE es:
a)Es necesario que Lulú termine con Juan o que le gusten los hombres feos para que no quiera a Andrés.
b)Lulú quiere a Andrés pero no es verdad que terminó con Juan o le gusten los hombres feos.
c) Es suficiente que Lulú termine con Juan y le gusten los hombres feos para que quiera a Andrés.
d)Es suficiente que a Lulú le gusten los hombres feos para que termine con Juan y quiera a Andrés.
e)Es necesario que Lulú termine con Juan para que a Lulú le gusten los hombres feos y quiera a Andrés.
18. Si se tiene un razonamiento con las siguientes premisas:
H1:La dolarización es difícil o no les gusta a muchas personas.
H2:Si las medidas económicas son viables, entonces la dolarización no es difícil.
Una CONCLUSION que lo hace válido, es:
a) La dolarización es difícil.
b) Las medidas económicas son viables.
c) Si las medidas económicas no son viables, a muchas personas no les gusta la dolarización.
d) Si a muchas personas les gusta la dolarización, las medidas económicas no son viables.
e) Las medidas económicas no son viables o la dolarización es difícil.
19. Si se da la proposición: "Si he estudiado mucho o me he preparado lo suficiente, entonces no daré
un mal examen o mis padres estarán contentos”
Entonces su proposición CONTRARECIPROCA es:
a) Si no doy un mal examen y mis padres no están contentos, no he estudiado ni me he preparado lo
suficiente.
b) He estudiado mucho, me he preparado lo suficiente, no daré un mal examen y mis padres estarán
contentos.

28
c) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, porque mis padres no estarán contentos y daré
un mal examen.
d) Ni he estudiado mucho ni me he preparado lo suficiente, si doy un mal examen y mis padres están
contentos.
e) No daré un mal examen o mis padres estarán contentos sólo si he estudiado mucho.
20. Dado el razonamiento C
P
P
P
P 


 4
3
2
1 ; donde:
1
P : Si estudio, aprenderé.
2
P : Si aprendo, aprobaré el curso.
3
P : O practico tenis o no practico tennis.
4
P : No apruebo el curso.
Entonces una conclusión C que hace el RAZONAMIENTO VÁLIDO es:
a) Estudio b) No estudio c) Apruebo el curso d) Aprendo e) N.A.
21. Analice la VALIDEZ de los siguientes razonamientos:
a) Si tú muestras la verdad, revelarás lo ridículo de las pretensiones del hombre. Si el hombre es prepotente,
es porque no se ha revelado lo ridículo de sus pretensiones. El hombre es prepotente. Por consiguiente, tú
no muestras la verdad.
b) Si Genaro tomó el tren especial, entonces estuvo en el accidente, y si estuvo en el accidente, entonces no
asistió a la reunión. Genaro tomó el tren especial o no asistió a la reunión. Luego, Genaro estuvo en el
accidente.
c) O Calderón tiene enemigos en la administración o, si excede su cuota, recibirá un ascenso. Calderón no
recibirá un ascenso. Luego, Calderón tiene enemigos en la administración o no excederá su cuota.
d) Si pago al sastre no me quedará dinero. Solamente puedo llevar a mi novia al baile si tengo dinero. Si no la
llevo al baile, se sentirá desdichada. Pero si le pago al sastre, no me entregará el traje, y sin el traje no
puedo llevar a mi novia al baile. O le pago al sastre o no le pago. Luego, mi novia tendrá que sentirse
desdichada.
22. Si se tiene un razonamiento con las siguientes premisas:
1
H : Si el freno falla o el camino está helado, entonces el coche no parará
2
H :Si el coche se revisó, entonces no falla el freno.
3
H : Pero el coche no se revisó.
Una conclusión que lo hace VÁLIDO es:
a)El coche no parará.
b) El freno falla y el camino no está helado.
c) Si no falla el freno y el camino no está helado, el coche parará.
d)El coche no parará o el camino no está helado.
e)Ninguna de las conclusiones es válida.
23. Considere las siguientes hipótesis:
1
H : El Banco del Pueblo cerró sus puertas y sus clientes recuperarán su dinero.
2
H : Si los clientes del Banco del Pueblo recuperarán su dinero entonces no existe intranquilidad.
3
H : El Banco del Pueblo no cerró sus puertas o no existe intranquilidad.
Entonces una CONCLUSIÓN VÁLIDA para un razonamiento, es:
a) Si no existe intranquilidad entonces los clientes del Banco del Pueblo no recuperarán su dinero.
b) El Banco del Pueblo no cerró sus puertas.
c) No existe intranquilidad y los clientes del Banco del Pueblo recuperarán su dinero.
d) Ni el Banco del Pueblo cerró sus puertas, ni sus clientes recuperarán su dinero.
e) Ninguna de las conclusiones anteriores es válida.
24. Considere las siguientes hipótesis:
1
H : Ecuador adoptó el sistema de dolarización y pretende mejorar su economía.
2
H : Si Ecuador pretende mejorar su economía entonces no habrá descontento social.
3
H : Ecuador no adoptó el sistema de dolarización o no habrá descontento social
Entonces, una CONCLUSION VALIDA para un razonamiento es:
a) No habrá descontento social y Ecuador pretende mejorar su Economía.
b) Ni Ecuador adoptó el sistema de dolarización, ni pretende mejorar su Economía.
c) Ecuador no adoptó el sistema de dolarización.
d) Si no hay descontento social entonces Ecuador no pretende mejorar su Economía.
e) Ninguna de las conclusiones anteriores es válida.

Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Conjuntos
29
2
2.1 DEFINICIÓN
2.2 NOTACIÓN
2.3 CARDINALIDAD
2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
2.5 IGUALDAD
2.6 SUBCONJUNTOS
2.7 OPERACIONES
2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOS
2.9 CONJUNTO REFERENCIAL
2.10 PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
La idea de conjunto está manifiesta de una u otra forma en nuestro
cotidiano vivir. Por ejemplo, cuando nos referimos a la especie que
pertenecemos, a la sociedad donde vivimos, a la universidad en la cual
estamos inscritos, a la carrera que vamos a cursar, ...
Más aún, ciertos problemas matemáticos se solucionan refiriéndose a
conjuntos.

Moisés Villena Muñoz Conjuntos
30
OBJETIVOS:
 Defina conjunto.
 Clasifique y categorice conjuntos.
 Obtenga subconjuntos de un conjunto finito dado.
 Obtenga conjunto potencia.
 Opere conjuntos.
 Determine formas equivalentes de representación de conjuntos con regiones sombreadas
en un diagrama de Venn.
 Resuelva problemas planteando conjuntos.
2.1 DEFINICIÓN
Un CONJUNTO es una agrupación bien
definida de objetos, a los cuales se los
denomina ELEMENTOS.
2.2 NOTACIÓN
Para denotar a un conjunto usualmente se emplean las primeras letras
del abecedario, en mayúscula.
Podemos referirnos a un conjunto indicando cada uno de sus
elementos.
Ejemplo
Si queremos referirnos al conjunto de las vocales, se lo puede hacer nombrando a cada vocal, es
decir:
 
u
o
i
e
a
A ,
,
,
,

Esta manera de referirnos a los conjuntos se denomina por extensión
o tabulación.
También podemos referirnos a un conjunto indicando las
características de sus elementos.
Ejemplo
Podemos referirnos al conjunto de las vocales de esta otra forma:
 
vocal
una
es
x
x
A /

Esta otra forma de referirnos a un conjunto se denomina por
comprensión.
Esto último se hace necesario cuando un conjunto tiene muchos
elementos.

31
Ejemplo
Si queremos referirnos al conjunto de los números reales, es mejor hacerlo por comprensión, es
decir:
 
real
número
un
es
x
x
B /

Para decir que un elemento pertenece a un conjunto empleamos el
símbolo .
Ejemplo
Para decir que la vocal a pertenece al conjunto A, lo haremos así:
A
a 
2.3 CARDINALIDAD
Para denotar al número de elementos de un conjunto A, se emplea la
simbología )
(A
N
Ejemplo
Para los dos ejemplos anteriores, tenemos:
5
)
( 
A
N


)
(B
N ; donde el símbolo  significa Infinito.
De aquí surgen las siguientes definiciones:
Sea A un conjunto. Entonces:
1. A es un CONJUNTO FINITO si tiene una
cantidad determinada de elementos.
2. A es un CONJUNTO INFINITO si tiene
una cantidad indeterminada de elementos.
3. Si A tiene un sólo elemento se lo llama
CONJUNTO UNITARIO.
4. Si A no tiene elemento, se dice que A es
el CONJUNTO VACÍO. Para este caso se
emplea la notación:  .

32
2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Otra manera de representar a los conjuntos es haciendo uso de
círculos, rectángulos, etc. Esta es una forma gráfica muy útil llamada
DIAGRAMA DE VENN.
Generalmente son círculos, aunque también se puede emplear
cualquier otra figura geométrica.
2.5 IGUALDAD
Sean A y B dos conjuntos. Entonces B
A 
sí y solo sí tienen los mismos elementos. Es
decir:
 
B
A      
A
x
B
x
B
x
A
x 






Gráficamente, tenemos:
2.5.1 CONJUNTOS DISYUNTOS
Dos conjuntos A y B son DISYUNTOS si y
sólo si, no tienen elementos en común. Es
decir, los elementos de A son diferentes a
los elementos de B . En este caso se dice
que son conjuntos diferentes: B
A 
Gráficamente tenemos:
A
A B
B
A 
x

33
2.6 SUBCONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos. Se dice que B
es SUBCONJUNTO de A, denotado como
A
B  , sí y sólo sí todos los elementos de
B están contenidos en A. Es decir:
 
A
x
B
x
A
B 




Puede ocurrir lo contrario.
Suponga que todos los elementos de A
estén contenidos en B , en este caso se dice
que A es SUBCONJUNTO de B . Es decir:
 
B
x
A
x
B
A 




Si se cumple que    
A
B
B
A 


 , se dice que A es SUBCONJUNTO
PROPIO de B . Y se escribe B
A  .
Además se cumple que, para cualquier conjunto A :
A
A
A



Bien, ahora en el siguiente ejemplo se ilustra la técnica de búsqueda
de todos los subconjuntos de un conjunto dado.
A
B
x
B
A
x

34
Ejemplo
Sea el conjunto  


 ,
,
1
A , entonces todos los conjuntos que se pueden formar con los
elementos de A , serían:

1
1 
S  


2
S  


3
S con cada elemento
 

 ,
1
4
S  

 ,
1
5
S  


 ,
6
S con dos elementos
  A
S 


 ,
,
1
7 con tres elementos (ya es el conjunto A )
Y obviamente 

8
S
Note que: 3
)
( 
A
N , y que el número total de subconjuntos es 3
2
8  .
Entonces la regla para el número total de subconjuntos de un conjunto
A , sería:
2.6.1 CONJUNTO POTENCIA
Sea A un conjunto. El CONJUNTO
POTENCIA de A, denotado como )
(A
P , es el
conjunto que tiene por elementos a todos los
subconjuntos de A.
Ejemplo
Para el caso anterior tenemos que:
 







 ,
},
,
{
,
}
,
1
{
,
}
,
1
{
,
}
{
,
}
{
,
}
1
{
)
( A
A
P
Observe que es correcto decir que: 
 )
(
1
1
1
A
P
A
A



El NÚMERO DE ELEMENTOS DEL CONJUNTO POTENCIA de un conjunto A está
dado por:
)
(
2
))
(
( A
N
A
P
N 
Ejemplo 2
Sea el conjunto  
 


 ,
,
1
B . Hallar )
(B
P .
SOLUCIÓN: Los subconjuntos del conjunto B serían:

1
1 
S  
 


 ,
2
S B
S 
3 

4
S
Por tanto   
 
 



 ,
,
,
,
1
)
( B
B
P
CANTIDAD
DE
SUBCONJUNTOS
)
(
2 A
N


35
1. Sea el conjunto   
 
4
,
1
,
3

S entonces el CONJUNTO POTENCIA de S , es:
a)       
 


 ,
3
,
1
,
4
,
3
,
4
,
1
,
,
,
1
,
3
)
( S
S
P b)  
   
 
 

 ,
4
,
1
,
,
3
)
( S
S
P
c)     
 

 ,
4
,
3
,
1
,
4
,
1
,
,
3
)
( S
S
P d)     
 

 ,
4
,
1
,
,
3
)
( S
S
P
e)   
 
4
,
1
,
3
)
( 
S
P
2. Sea el conjunto  
 
b
a
B ,
 , entonces es VERDAD que:
a) B
a  b)   B
b  c)   B
b  d)  
  2

B
P
N e)
 
  4
2 
B
P
N
3. Dados los conjuntos  
 
c
b
a
A ,
,
 y  
2
,
1

B .
Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?
a)  
   
  6

B
P
N
A
P
N b)  
 
  16

B
P
P
N c)  
   
A
P
a 
d)  
   
A
P
b  e)  
   
  32

B
P
N
A
P
N
2.7 OPERACIONES
Los conjuntos pueden ser operados, dando a lugar nuevos conjuntos.
2.7.1 INTERSECCIÓN
Sean A y B dos conjuntos. La
INTERSECCIÓN de A con B , denotada por
B
A , es el conjunto constituido por los
elementos comunes tanto a A como a B . Es
decir:
 
B
x
A
x
x
B
A 



 /
Para tres conjuntos sería:  
C
x
B
x
A
x
x
C
B
A 






 /
A B
A B
C

36
Para otros casos tenemos:
2.7.2 UNIÓN
Sean A y B dos conjuntos. La UNIÓN de A
con B , denotada por B
A , es el conjunto
constituido por elementos que pertenecen al
conjunto A o al conjunto B o a ambos. Es
decir:
 
B
x
A
x
x
B
A 



 /
La unión de tres conjuntos sería:
 
C
x
B
x
A
x
x
C
B
A 






 /
Observe que: )
(
)
(
)
(
)
( B
A
N
B
N
A
N
B
A
N 




Y que   )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( C
B
A
N
C
B
N
C
A
N
B
A
N
C
N
B
N
A
N
C
B
A
N 













A B
C
A B
A
B
A 
 

 B
A
A
B
B
A
B
A
B
B
A 


37
Para otros casos tenemos:
2.7.3 DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La DIFERENCIA
de A con B , denotada por B
A , es el
conjunto constituido por elementos que
pertenecen al conjunto A y no pertenecen al
conjunto B . Es decir:
 
B
x
A
x
x
B
A 



 /
En cambio,
La DIFERENCIA de B con A, denotada por
A
B  , es el conjunto constituido por
elementos que pertenecen al conjunto B y no
pertenecen al conjunto A. Es decir:
 
A
x
B
x
x
A
B 



 /
Conjunto formado por los elementos
sólo del conjunto B .
Conjunto formado por los elementos
sólo del conjunto A .
A B
A B
A
B
B
A
B
A
A
B
A 
 B
B
A 
 B
A

38
2.7.4 DIFERENCIA SIMÉTRICA
La DIFERENCIA SIMÉTRICA de A con B ,
denotada por A B
 se define como:
   
A B A B B A
    
Ejemplo
Sean los conjuntos  




 ,
,
,
,
1
A y  


 ,
?,
,
a
B , entonces
 
?
,
,
,
,
,
,
1 a
B
A 





 



 ,
B
A
 



 ,
,
1
B
A el conjunto A menos los elementos del conjunto B .
 
?
,
a
A
B 
 el conjunto B menos los elementos del conjunto A .
 
1, , , ,?
A B a
   
2.8 ALGEBRA DE CONJUNTOS
Las operaciones entre conjuntos cumplen las siguientes propiedades:
UNION INTERSECCIÓN
A
B
B
A 


    C
B
A
C
B
A 




A
A
A 

A
A 


Conmutatividad
Asociatividad
Identidad
Absorción
A
B
B
A 


    C
B
A
C
B
A 




A
A
A 





A
Propiedades distributivas
     
C
A
B
A
C
B
A 





     
C
A
B
A
C
B
A 





     
C
A
B
A
C
B
A 





     
C
A
B
A
C
B
A 





  B
A
A
B
A 



  B
A
B
A
A 



A B

39
Ejercicio Propuesto 2.2
Demuestre formalmente las propiedades anteriores.
Sugerencia: Por ejemplo para demostrar la propiedad distributiva
     
C
A
B
A
C
B
A 





Debemos probar que:  
     
 
C
A
B
A
x
C
B
A
x 







Para lo cual, aplicando las definiciones dadas para las operaciones de conjuntos, tenemos:
 
     
   
C
x
B
x
A
x
C
B
x
A
x
C
B
A
x














Ahora, aplicando las leyes distributivas del álgebra de proposiciones, tenemos:
       
C
x
A
x
B
x
A
x
C
x
B
x
A
x 












Finalmente; por las definiciones resulta:
     
   
 
   
 
C
A
B
A
x
C
A
x
B
A
x
C
x
A
x
B
x
A
x


















2.9 CONJUNTO REFERENCIAL
En muchas ocasiones un conjunto A estará referido a otro conjunto
que lo contiene, llamado CONJUNTO REFERENCIAL.
Ahora surge la siguiente definición:
2.9.1 CONJUNTO COMPLEMENTO
Sea A un conjunto. El conjunto
COMPLEMENTO de A , denotado como C
A , se
define como:
A
AC

 Re
Es decir,
C
A está constituido por los elementos que le faltan al
conjunto A para llegar a ser el referencial.
Además se cumple que:
  A
A
A
A
A
A
C
C
C
C





 Re
A
Re
C
A

40
Y se pueden verificar las LEYES DE DEMORGAN:
 
  C
C
C
C
C
C
B
A
B
A
B
A
B
A






No olvide demostrarlas formalmente.
Ejemplo 1
Determine los conjuntos B
A, , y C , conociendo que el conjunto referencial es
 
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
Re  y
       
        6
6
,
5
9
,
8
7
,
2
,
1
4
,
3
,
2
,
1












B
N
A
N
C
B
A
A
C
B
C
A
B
A
C
SOLUCIÓN: Representando la información en un diagrama de Venn generalizado, resulta:
Ejemplo 2
La región sombreada de la figura mostrada corresponde a:
a)   B
B
A 

b)  C
A
B 
c)    
A
B
C
A C
C



d)   B
C
A C
C


e)    C
C
C
B
C
A 


SOLUCIÓN: Un método podría ser asignarle un número a cada región del gráfico dado, lo cual nos quedaría: (NOTA: no
importa el orden de asignación)
Realizando la operación de conjunto para cada opción dada, encontramos a la “ c ” como respuesta, es decir al hacer
   
A
B
C
A C
C


 se obtiene  
6
,
4 que corresponde a los números dados a las regiones sombreadas.
Entonces:
 
 
 
10
,
4
,
3
9
,
8
,
4
,
3
,
2
,
1
10
,
7
,
4
,
3
,
2
,
1



C
B
A
Entonces, los conjuntos se definirían de la
siguiente manera:
 
14
,
13
,
12
,
11
,
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
Re 
 
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1

A
 
10
,
9
,
6
,
5
,
4

B
 
13
,
12
,
11
,
7
,
5
,
2

C

41
1. Si  
g
f
e
d
c
b
a ,
,
,
,
,
,
Re  y  
d
c
b
a
A ,
,
,
 ,  
b
g
f
e
B ,
,
,
 ,  
e
f
g
C ,
,

Entonces el conjunto    
 C
C
C
C
B
A
B
A 

 , es:
a) Re b)  c)  
e
f
g ,
, d)  
a e)  
g
b
a ,
,
2. Sea Re un conjunto referencial, A y B subconjuntos de Re ; entonces el conjunto:
 
 
  C
A
A
B
A 

 , es igual a:
a) A b) B c) C
A d) Re e) 
3. Sea  
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
Re  y los conjuntos A y B no vacíos, tales que:
     
6
,
1
,
5
,
4
;
5
,
3
,
2
;
3
,
2 



 C
C
A
B
A
B
A
Entonces es VERDAD que:
a)   2

 A
B
N b)   5

B
A
N c)   4

 C
A
B
N
d)  
  2

A
P
N e)   1

B
N
4. Considere el conjunto  
12
,
11
,
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
Re  y los conjuntos A , B y C no
vacíos, tales que:    
12


 C
B
A C
C
   
9
,
8
,
5
,
4
,
3
,
2


 C
B
A
   
11
,
10
,
3
,
2
,
1


 B
C
A    
11
,
10
,
9
,
8
,
7


 A
C
B
Entonces el conjunto C es:
a)  
11
,
10
,
7
,
6
,
1 b)  
5
,
4
,
3
,
2
,
1 c)  
11
,
10
,
7
,
1
d)  
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4 e)  
7
,
9
,
8
,
5
,
4
5. Sean A , B y C subconjuntos no vacíos de un conjunto referencial Re , tales que:
 
12
,
11
,
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
Re   
12
,
11
,
10
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2

A  
9
,
8
,
7
,
3

C
B
  


 B
A
C }
1
{
)
( 

 C
A
B
Entonces el conjunto  
B
A
B 
 es:
a)  
9
,
8
,
7
,
1 b)  
6
,
5
,
1 c) 
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
3
,
1
d)  
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
1 e) 
1
6. Dados los conjuntos:
         
       
9
,
8
,
7
,
10
,
5
,
4
,
6
,
3
,
2
,
6
,
1
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
Re














B
A
C
C
B
A
A
C
B
C
A
B
A
C
a)  
9
,
8
,
7

 A
C b)  
9
,
6
,
5
,
4
,
1

B c)  
9
,
1


 C
B
A
d)  
8
,
7
,
1

 B
C e)    
3
,
2

 C
C
B
7. Una expresión que representa a la región sombreada del diagrama de Venn adjunto es:
a)    
   
 
B
A
C
B
A
B
A C






b)      
 
 
B
A
C
B
A
C
B
A 






c)    
   
 
B
A
C
C
B
A
B
A C







d)    
   
C
B
A
B
A
B
A
C
C






e)    
   
 
B
A
C
A
B
B
A 






42
8. Si A , B y C son conjuntos no vacíos representados en el diagrama de Venn adjunto
entonces la región sombreada corresponde a:
a)  
   
 
 
C
B
A
C
B
A C
C





b)      
 
C
B
A
A
C
A
B C
C






c)      
 
C
C
B
A
A
C
A
B 





d)  
   
 
C
B
A
A
C
B C





e)    
   
 
C
C
C
C
A
C
C
B
A
A
B 





9. Dados los conjuntos no vacíos A , B y C , entonces la región sombreada del gráfico adjunto
corresponde a:
a)    
B
C
B
A 


b)  C
C
B
A 

c)  
   
B
A
B
A
C 



d)   B
A
CC


e)    
   
C
B
C
B
C
A C





10. Dados los conjuntos A , B y C , no vacíos, entonces la EXPRESIÓN CORRESPONDIENTE a
la parte sombreada es:
a)  
  A
C
B
A C



b)  
   
B
A
B
A
CC




c)    
C
B
C
A C



d)  C
C
B
A 

e)   C
C
B
A 


11. Dados los conjuntos no vacíos A , B y C , entonces la región sombreada del gráfico adjunto
corresponde a:
a)    
     
 
C
A
B
B
A
A
B
B
A 







b)  
     
 
 
C
A
B
B
A
C
B
A 






c)  
   
 
C
B
A
C
B
A C
C





d)  
   
 
C
C
C
C
B
A
C
B
A 




e)    
 
   
 
B
A
C
C
A
B
B
A 






12. Sean los conjuntos B
A, y C no vacíos, como se muestra en la figura; entonces la región
sombreada está representada por:
a)    C
B
A
C
B
A 



b)  
   
C
B
C
A
B 



c)  
   C
C
C
A
A
C
B 



d)    
C
C
B
A
C
B
A 



e)  
   
C
C
B
A
A
C
B 



13. Dados los conjuntos A , B y C , no vacíos, entonces la región sombreada del gráfico adjunto
corresponde a:
a)  
   
 
A
B
C
C
B
A 




b)  
   
B
A
C
B
A C




c)  
   
 
C
A
B
C
C
B
A C






d)  
   
 
C
B
A
C
B
A C





e)      
 C
B
A
C
A
C
B 





43
2.10 PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Hay situaciones problémicas que para su solución se requiere plantear
conjuntos. Analicemos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1
De los 180 profesores de una universidad, 135 tienen título de Doctor, 145 tienen título
de Investigador; de los doctores 114 son investigadores. Entonces es VERDAD que:
a) 31 profesores no son doctores.
b) 167 son investigadores o doctores.
c) 22 doctores no son investigadores.
d) 14 profesores no son investigadores ni doctores.
e) 21 profesores no son investigadores.
SOLUCIÓN:
Primero se hace la interpretación de la información en un diagrama de Venn:
El referencial estaría compuesto por un total de 180 profesores de la universidad. Como se dice que hay
114 que son Investigadores y Doctores, y que en total son 135 Doctores; entonces haciendo una diferencia
(135 114)
 se obtiene que hay 21 profesores que son sólo Doctores (Doctores pero no Investigadores).
Igualmente, Como se dice que hay en total 145 Investigadores, entonces (145 114)
 hay
31 que son sólo Investigadores (Investigadores pero no doctores).
Se observa que en total hay (21 114 31)
  166 que son doctores o investigadores. Lo cual
quiere decir que (180 166)
 14 no son ni doctores ni investigadores.
Ejemplo 2
En un curso preuniversitario, ocurrió que, de 1600 estudiantes:
 801aprobaron Matemática
 900 aprobaron Economía
 752 aprobaron Contabilidad
 435 aprobaron Matemática y Economía
 398 aprobaron Matemática y Contabilidad
 412 aprobaron Economía y Contabilidad; y,
 310 aprobaron Matemática , Economía y Contabilidad
Determinar cuántos de estos 1600 estudiantes aprobaron:
a) Sólo una materia d) Al menos una materia
b) Exactamente 2 materias e) Cuando mucho 2 materias.
c) Ninguna materia
SOLUCIÓN:
Como se dice que hay 310 estudiantes que aprobaron las tres materias y que 412 aprobaron Economía y
Contabilidad, entonces (412 310)
 102 aprobaron SÓLO Economía y Contabilidad; También se dice 398
aprobaron Matemática y Contabilidad entonces (398 310)
 88 aprobaron sólo Matemática y
Contabilidad. Y, también se dice 435 aprobaron Matemática y Economía entonces (435 310)
 125
aprobaron sólo Matemática y Economía.
Como se dice que 752 aprobaron Contabilidad entonces (752 88 310 102)
   252 aprobaron sólo
Contabilidad.
Analizando cada
proposición dada nos
damos cuenta que la
única verdadera es la “d”

44
Como se dice que 900 aprobaron Economía entonces (900 125 310 102)
Economía.
Como se dice que 801 aprobaron Matemáticas entonces (801 88 310 125)
Matemáticas.
El diagrama de Venn correspondiente, sería:
Ejemplo 3
Una fábrica produce 100 artículos por hora de los cuales pasan el control de calidad 60 . El
resto de artículos tuvieron fallas del tipo A , tipo B y tipo C , y se repartieron del modo
siguiente:
 8 artículos con fallas del tipo A y tipo B
 12 artículos con sólo falla de tipo A
 3 artículos con fallas de los 3 tipos
 5 artículos con fallas de tipo A y C
 2 artículos con sólo falla de tipo C y tipo B
 El número de artículos que tuvieron una sola falla de tipo C o de tipo B fue el
mismo.
Determine:
a) ¿Cuántos artículos tuvieron fallas de tipo B ?
b) ¿Cuántos artículos tuvieron sólo una falla?
SOLUCIÓN: El diagrama de Venn correspondiente sería (justifíquelo):
Entonces, la respuesta
sería:
a) 893, b) 315, c) 82
d) 1518 d) 1208
Vemos que
40
2
2
3
5
12 





 x
x
resolviendo se obtiene que 8

x lo que
nos permite responder a lo solicitado:
a) 18 y b) 28

45
1. Se realiza una encuesta a 660 estudiantes del Preuniversitario y se obtiene que 350 estudian Matemáticas,
450 estudian Química, 350 estudian Física, 150 estudian las 3 materias, 200 estudian Matemáticas y
Química, 250 estudian Física y Química, 210 estudian Física o Matemáticas pero no Química.
Determinar :
a) ¿Cuántos estudian SÓLO MATEMÁTICAS?
b) ¿Cuántos estudian POR LO MENOS una materia?
c) ¿Cuántos estudian CUANDO MAS dos materias?
d) ¿Cuántos estudian SOLO una materia?
e) ¿Cuántos estudian SOLO dos materias?
2. Un curso de 40 alumnos que tienen que aprobar Ed. Física, y para ello todos deben escoger entre tres
deportes: fútbol, básquet y volley, 6 alumnos prefieren sólo volley, 4 alumnos eligen volley y básquet. El
número de alumnos que eligen sólo básquet es la mitad de lo que eligen fútbol y es el doble de los que
eligen fútbol y volley. No hay ningún alumno que elija fútbol y básquet. Entonces el número de alumnos que
ELIGEN VOLLEY, el número de alumnos que ELIGEN FÚTBOL y el número de alumnos que ELIGEN
SÓLO BÁSQUET ES, respectivamente:
a) 15, 20 y 10 b) 10, 20 y 15 c)10, 10 y 10 d) 15, 15 y 15 e)20, 10 y 15
3. En una entrevista a 40 estudiantes del Preuniversitario acerca de ¿qué deporte les gusta practicar?, se
obtiene que: 12 gustan jugar básquet, 14 volley y 16 fútbol. No hay estudiantes que practiquen básquet y
volley, 4 practican básquet y fútbol, 20 practican volley o fútbol pero no básquet. Entonces el NÚMERO DE
ESTUDIANTES QUE NO PRACTICAN DEPORTE ALGUNO es:
a) 8 b) 0 c)1 d) 3 e)5
4. En una encuesta a 500 estudiantes se tiene que: 220 estudian Algebra, 180 estudian Lógica, 300 estudian
Cálculo, 150 estudian Lógica y Cálculo, 120 estudian Algebra y Cálculo, 50 estudian las tres materias, 120
estudian Algebra o Lógica pero no Cálculo. Entonces LOS QUE ESTUDIAN SOLO LÓGICA SON:
a) 20 b) 100 c) 60 d) 30 e) 150
5. En una encuesta realizada a 100 damnificados por los efectos del fenómeno de “El Niño”, se encuentra que
30 de ellos han perdido sus viviendas y sus rebaños, 35 sus viviendas y sus cultivos, mientras que 25
perdieron sus cultivos pero no sus rebaños, 40 perdieron sus cultivos y rebaños y 15 sólo sus cultivos.
Entonces EL NÚMERO DE DAMNIFICADOS QUE PERDIERON O SÓLO SUS VIVIENDAS O SÓLO SUS
REBAÑOS ES IGUAL A:
a) 60 b) 15 c) 25 d) 30 e) 10
6. Una agencia de Autos vendió durante un año 180 unidades con las siguientes características:
- 57 tenían transmisión automática
- 77 tenían aire acondicionado
- 45 tenían transmisión automática y aire acondicionado
- 10 tenían transmisión automática pero no tenían ni aire acondicionado ni radio estéreo
- 28 tenían transmisión automática y aire acondicionado, pero no tenían radio estéreo
- 90 tenían ninguna de las tres características mencionadas
- 19 tenían aire acondicionado y radio estéreo
Entonces EL NÚMERO DE UNIDADES QUE TENÍAN RADIO ESTÉREO ES:
a) 22 b) 1 c) 91 d) 30 e) 21
7. Un campamento de 100 estudiantes tiene 3 tipos de actividades, pescar, nadar y escalar. Setenta (70)
estudiantes prefieren pescar, veinticinco (25) prefieren pescar y nadar, dieciocho (18) prefieren nadar o
escalar pero no pescar y diez (10) se dedican a las tres actividades durante su estancia en el
campamento. De todos ellos doce (12) se enfermaron al llegar al campamento y no pueden hacer
ninguna actividad, entonces, EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE SE DEDICAN A PESCAR Y NADAR,
PERO NO A ESCALAR SON: a) 15 b) 10 c) 20 c)
30 d) 25
8. En una encuesta a 100 aficionados del fútbol, sobre qué equipo juega mejor en la Copa Libertadores de
América, se obtuvieron los siguientes resultados :
- 50 opinan que es el Nacional
- 50 opinan que es el Emelec
- 40 opinan que es el Palmeiras
- 20 opinan que es Nacional y Emelec
- 10 opinan que es Emelec y Palmeiras
- 30 opinan que es Nacional y Palmeiras
- 10 opinan que ninguno juega bien
¿CUÁNTOS A FAVOR SOLAMENTE DE EMELEC?
a) 0 b) 30 c) 10 d) 20 e) 25
9. En una encuesta a 100 inversionistas se observa lo siguiente:
- 5 sólo poseen acciones
- 15 poseen solamente valores
- 70 son propietario de bonos
- 13 poseen acciones y valores
- 23 tienen valores y bonos
- 10 son propietarios de acciones y bonos

46
- Cada uno de los 100 invierte por lo menos en algo.
Entonces, EL NÚMERO DE INVERSIONISTAS QUE SÓLO TIENEN BONOS ES IGUAL :
a) 40 b) 45 c) 67 d) 30 e) 27
10. Entre un grupo de personas conversan sobre tres películas (A, B y C) y determinan que 4 personas no han
visto alguna de las tres películas, la mitad del número de personas que han visto sólo la película B es igual al
número de personas que han visto la película C, el número de personas que han visto las películas A y B es
igual a la tercera parte del número de personas que han visto sólo la película B, 7 personas han visto la
película A y 5 personas han visto sólo la película A. Las personas que ven la película C no han visto las otras
películas.
Determine:
a) El número de personas que han visto las películas A y B.
b) El número de personas que han visto la película A o la película B.
c) El número de personas que ven sólo una película.
d) El número de personas que no ven la película B.
11. Para realizar una encuesta se reparte el mismo número de productos A, B y C entre 1270 consumidores; los
resultados de dicha encuesta revelan lo siguiente: 200 personas consumen (A y B) o (A y C) o (B y C), 370
personas consumen sólo C, el número de personas que consumen sólo A es igual al de personas que
consumen sólo B, 30 personas consumen los tres productos.
Entonces el número de personas que consumen sólo el producto A, es:
a) 530 b) 370 c) 700 d) 180 e) 350
12. Se hace una encuesta a un grupo de personas sobre los lugares de compra de juguetes para Navidad,
arrojando los siguientes resultados: 14 personas compraron en Mi Juguetería y en Juguetón; 11 personas
compraron sólo en Juguetón, 9 personas compraron sólo en Juguetelandia, 5 personas compraron en los tres
lugares; el número de personas que compraron sólo en Juguetelandia y Juguetón es igual al número de
personas que compraron sólo en Mi Juguetería y Juguetelandia. Se supo además que en Juguetón
compraron 3 personas más de las que compraron en Juguetelandia y 3 personas más de las que compraron
en mi Juguetería. Entonces el NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON EN CUALQUIERA DE ESTOS
TRES LUGARES, es:
a) 93 b) 58 c) 13 d) 28 e) 15
13. En una encuesta realizada por PACIFICTEL a un grupo de 26 abonados que han realizado al menos una
llamada, sea ésta, local, nacional o internacional, se obtuvo la siguiente información:
 23 abonados han realizado llamadas nacionales o internacionales.
 5 abonados han hecho llamadas locales y nacionales.
 12 abonados han hecho llamadas internacionales pero no locales.
 El número de personas que han hecho sólo llamadas nacionales es igual al doble de
personas que han hecho llamadas internacionales y locales pero no nacionales.
Entonces EL NÚMERO DE ABONADOS QUE HAN HECHO LLAMADAS LOCALES es:
a) 10 b ) 4 c) 6 d) 2 e) 14
14. Los estudiantes que están en el Preuniversitario de Auditoría se encuentran registrados en los paralelos
B
A, y C . En el paralelo A hay 35 estudiantes, en el paralelo B hay 41 estudiantes y en el paralelo
C hay 49 estudiantes. De estos estudiantes, 5 asisten a los tres paralelos, 13 estudiantes asisten a los
paralelos A y C , y 11 estudiantes asisten a los paralelos B y C . Entonces, el NÚMERO DE
ESTUDIANTES que asisten SÓLO al paralelo C es:
a) 8 b) 36 c) 30 d) 38 e) 49
15. De un conjunto de 1200 estudiantes de la Universidad se determinó que hay 400 estudiantes que hablan
inglés, 600 que hablan francés, 500 que hablan alemán. De ellos 120 hablan inglés y francés, 130 hablan
francés y alemán, 50 hablan inglés, francés y alemán, 180 sólo hablan inglés y 750 hablan inglés o alemán,
por tanto EL NÚMERO DE ESTUDIANTES QUE HABLAN INGLÉS Y ALEMÁN PERO NO FRANCÉS ES:
a)100 b) 50 c) 150 d) 180 e)270
Misceláneos
1. Dados los conjuntos no vacíos C
B
A ,
, y D ; entonces la REGIÓN SOMBREADA del gráfico adjunto
corresponde a:
a)    
D
C
B
A 


b)    C
D
C
B
A 


c)    
B
D
C
A C



d)    C
D
B
C
A 


e)    C
C
D
C
B
A 



47
2. Considere el conjunto  
15
,
,
3
,
2
,
1
Re 
 y los conjuntos B
A, y C no vacíos, tales que:
   
11
,
7
,
3

 C
C
A
   
9
,
8
,
6
,
5

 A
B
 
   
8
,
6


 A
B
C
 
11


 C
B
A
  


 C
B
A
Entonces el CONJUNTO B es:
a)  
9
,
8
,
7
,
6
,
5 b)  
5
,
4
,
3
,
2
,
1 c)  
15
,
13
,
9
,
5
,
1 d)  
8
,
6 e)  
11
,
9
,
8
,
6
,
5
3. En una encuesta realizada a 2580 personas en el Malecón 2000, se obtuvo lo siguiente:
 A 250 personas les gusta pasear y comer o pasear y conversar o comer y conversar.
 A 480 personas les gusta sólo conversar.
 El número de personas que les gusta sólo pasear es igual al número de personas que les gusta
sólo comer.
 A 30 personas les gusta hacer las tres actividades.
 Todas las personas entrevistadas tienen por lo menos uno de los gustos mencionados.
Entonces, el NÚMERO DE PERSONAS que les gusta sólo pasear es:
a) 910 b) 530 c) 700 d) 180 e) 925
4. Sea el conjunto   
 
3
,
3
,
2
,
2

A . Entonces es FALSO que:
a)   A

3
,
2 b)  
  )
(
3
,
2 A
P
 c)  
  A

3
,
2
d)  
 
  ))
(
(
3
,
2 A
P
P
 e)  
  )
(
3
,
2
,
2 A
P

5. Se realiza una encuesta a 300 estudiantes del Preuniversitario y se obtiene la siguiente información:
 110 estudian Matemáticas.
 110 estudian Contabilidad.
 115 estudian Economía.
 40 estudian Matemáticas y Economía.
 25 estudian las tres materias.
 60 estudian Contabilidad y Economía.
 90 estudian Matemáticas o Contabilidad, pero no Economía.
Entonces, el número de estudiantes que estudian SÓLO MATEMATICAS, es:
a) 20 b)40 c)15 d) 25 e) 70
6. Sean A , B y C conjuntos no vacíos, entonces es VERDAD que:
a)
C
C
B
A
B
A 


b)    
A
C
C
B
B
A 




c)   B
A
B
A
C
C
C



d)   disyuntos
conjuntos
son
no
B
A
B
A 



 .
e)      
C
A
B
A
C
B
A 





7. Se hizo una entrevista a 885 estudiantes del Preuniversitario de Ingeniería y se obtuvo la siguiente
información respecto a las materias que más les gustan.
 A 600 les gusta Matemáticas.
 A 400 les gusta Física.
 A 620 les gusta Química.
 A 195 les gusta Matemáticas y Física.
 A 190 les gusta Física y Química.
 A 400 les gusta Matemáticas y Química.
 A todos los entrevistados les gustaba al menos una de las materias mencionadas.
Entonces el número de estudiantes que les gustan LAS TRES MATERIAS, es:
a)5 b) 25 c) 35 d) 50 e) 0
 
3
,
2
,
1

S . Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela.
a)   8
)
( 
S
P
N
b)   )
(
3 S
P

c)  
  S

3
d)  )
(
1 S
P

e)  
  )
(
3
,
2
,
1 S
P


48
9. Sean B
A, y C conjuntos no vacíos, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA,
identifíquela.
a) 



A
b)   C
C
C
B
A
B
A 


c)      
C
A
B
A
C
B
A 





d)    
 C
C
C
C
A
A
A
A 


e)   








 A
B
A
C
C
C
C
10. En una feria de autos, hubo 102 personas interesadas en comprar autos, además en dicha feria se obtuvo la
siguiente información:
 30 personas compraron autos Volswagen y Chevrolet.
 40 personas compraron autos Volswagen y Hyundai.
 El número de personas que compraron los 3 carros es igual a la mitad del número de personas que no
compraron ningún automóvil.
 El número de personas que compraron sólo Hyundai y Chevrolet es la mitad del número de las personas
que compraron sólo Chevrolet.
 50 personas compraron autos Hyundai.
 48 personas compraron Chevrolet o Volswagen pero no Hyundai.
 5 personas compraron Hyundai y Chevrolet.
Entonces EL NÚMERO DE PERSONAS QUE COMPRARON SÓLO UNA CLASE DE AUTO fue:
a) 27 b) 28 c) 98 d)14 e)58
11. Dados los conjuntos no vacíos A, B , C y el conjunto referencial  
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
Re  tales que:
 
5
,
4
,
3
)
( 

 C
B
A
 
2
)
( 

 C
B
A
 
   
6
,
1
)
( 



 C
A
B
B
A
Entonces el conjunto C es:
a)  
,
6
,
5
,
4
,
3

C b) Re

C c)  
6
,
1

C d) 

C
e)  
6
,
2
,
1

C
 
a
a
b
S ,
,
 . Entonces es VERDAD que:
a) )
(S
P
a b)   S
b
S
P 


 )
( c) 9
))
(
( 
S
P
N
d)  
  )
(
, S
P
a
a  e)  
  S
a 
13. La expresión que representa la región sombreada es:
a)      
A
B
C
A
B
C 




b)    
A
B
C
B 


c)  
   
B
A
C
A
B C




d)  
   
B
A
C
A
B 



e)  
  B
B
A
C C



14. Sea Re un conjunto referencial, tal que  
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
Re  y sean B
A, y C tres
conjuntos no vacíos, tales que:
-  
10
,
4
,
1

 B
A -    
2


 C
B
A
-  
5
,
4

C
A -  
10
,
8
,
1

 C
C
C
B
-  
2
,
3

 B
CC
-        
6
,
5
,
4
,
2





 A
C
C
B
B
A
a)  
6
,
5
,
3
,
2

C
b)  
9
,
7
,
6
,
5
,
4

A
c)  
10
,
5
,
4
,
2
,
1

B
d)      
3
,
2
,
10
,
4
,
1



 C
B
B
A
e)  
9
,
7
,
6
,
3

C
A

Moisés Villena Muñoz Cap. 3 Lógica y Conjuntos
49
3
3.1 PREDICADOS
3.2 CONJUNTO DE VERDAD
3.3 PREDICADOS COMPUESTOS
3.4 CUANTIFICADORES
3.5 NEGACIÓN
3.6 OTRAS CONSIDERACIONES
3.7 INTERPRETACIONES Y TRADUCCIONES
3.8 PREDICADOS DE DOS VARIABLES
3.9 RAZONAMIENTOS
En nuestro lenguaje común, muchas veces hemos utilizados frases
como "Todos los días tenemos clase", "Algunos días llueve", ...
Estos enunciados dan lugar a nuevas estructuras lógicas. Por tanto
merecen nuestro estudio.

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