proposiciones

1. AUTOINSTRUCTIVO Nº 07
“Lógica Proposicional”
I. Datos informativos
1. Institución
2. Carreras
3. Área
: IESPP “Mons. Elías Olázar”
: Comunicación, Ciencia Tecnología y Ambiente y Ciencias Sociales.
: Matemática
4. Ciclo : I
5. Fecha : / 06 / 2020
6. Duración : 04 horas
7. Formador : Juan Carlos Rivero Altuna.
II. Indicador de desempeño e Indicador específico.
Indicador de desempeño Indicador específico
Producto
/evidencia
Técnica
/Instrumento
Analiza y resuelve situaciones
problemáticas de diferentes fuentes de
información que involucren lógica
proposicional, teoría conjuntista,
conjuntos numéricos, expresiones
algebraicas,ecuaciones e inecuaciones
utilizando diferentes métodos
heurísticos en resolución de problemas.
Identifica aspectos básicos
sobre la lógica
proposicional y resuelve
situaciones problemáticas
propuestas en una ficha de
ejercicios.
Rúbrica
Escala
actitudinal
Ficha de
ejercicios
Ficha de
ejercicios
III. Desarrollo
Analiza la siguiente información (20 minutos)
Las personas, cotidianamente tenemos diversas habilidades que nos caracterizancomoseres
pensantes, dentro de las cuales, tenemos la capacidad de razonar e interpretar las cosas a
nuestro alrededor, enfocándonos en la lógica principalmente como herramienta. En el tema
desarrollado a continuación hablaremos acerca de cómo podemos usar una derivación de
esta herramienta: La lógica proporcional, durante nuestra vida diaria. Primeramente, para
entender qué es la Lógica proposicional, debemos entender que es una proposición. Una
proposición es una oración enunciativa, es decir, que alarma o niega algo y que, por lo tanto,
puede ser verdadera o falsa. Ahora bien, la lógica proposicional es un sistema formal cuyos
elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas
conectivos lógicos, representan operaciones básicas parecidas a las matemáticas sobre
proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad, y este tipo de
lógica nos permite interpretar si la manera en la que estamos pensando, es la adecuada o no.
En la vida diaria hacemos uso de la lógica constantemente, incluso para cruzar una calle,
porque previamente razonamos: “si se acerca un vehículo, no debo cruzar la calle. Si viene
un vehículo. Luego, no debo cruzar la calle”, o cuando un campesino ve una densa nube en
el cielo deduce que va llover, ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico
para realizar cualquier actividad. Ya que nos ayuda a una mejor comprensiónde los problemas
y así poder darles solución de una manera más adecuada y justificando nuestras acciones
frente a ellos, incluso ayudándonos a prevenir riesgos en la vida diaria, mediante la
interpretación de proposiciones y los razonamientos que nos planteamos para una mejor toma
de decisiones ante cada suceso que nos ocurra.

2. Después de analizar lo anterior expuesto, se puede concluir que la lógica proposicional se
aplica en la vida diaria ya que se extrapola a un sin número de casos, básicos y complejos
donde al usarla planteamos proposiciones y razonamientos consecuentes a la situación en la
que nos encontremos. La lógica es ampliamente aplicada en muchas ciencias como, en la
filosofía, matemáticas, computación, física, ya que, cualquier trabajo que se realiza tiene un
procedimiento lógico, así como el pensamiento de cada individuo. Esto genera un factor
complementario a nuestra manera de visualizar y resolver situaciones que requieran un
pensamiento lógico y analítico, y por ende, producir conclusiones racionales, estructuradas y
sobre todo, soluciones lógicas.
1. Te invitamos a reflexionar
Responde las siguientes preguntas: (20 minutos)
 ¿Por qué decimos que aplicamos la lógica proposicional en nuestra vida cotidiana?
 ¿Qué es una proposición?
 ¿Qué son conectivos lógicos?
 ¿Qué es lógica proposicional?
2. Teorizo y aprendo (35 minutos)
PROPOSICIONES LÓGICAS
Enunciado. Es toda frase u oración que se
utiliza en nuestro lenguaje.
PROPOSICIÓN. Es todo enunciado, respecto
de la cual se puede decir si es verdadera (V) o
falsa (F)
Notación
Por lo general, a las proposiciones se las
representa por las letras del alfabeto desde la
letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc.
Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes
proposiciones y su valor de verdad:
Proposición
q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima
(V)
r: El número 15 es divisible por 3. (V)
s: El perro es un ave. (F)
t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F)
u: ¿Qué día es hoy? No es una proposición
p: ¡Viva el Perú !
EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES
a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido lo
que es una proposición? c) ¡Estudia esta
lección! d) ¿Cuál es tu nombre? e) Prohibido
pasar f) Borra el pizarrón.
No son proposiciones por no poder ser
evaluadas como verdaderas ni falsas. Las
exclamaciones, órdenes ni las preguntas
son proposiciones.

4. Práctica Dirigida Nº 01
I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados
son proposiciones:
a) 5 + 7 = 16 - 4 ( )
b) ¡Estudie lógica proposicional! ( )
c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( )
d) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 - 2  23 x 5 ( )
e) ¿El silencio es fundamental para estudiar? ( )
f) 20 -18 = 2 ( )
g) Breña es un distrito de la provincia de Lima ( )
h) Un lápiz no es un cuaderno ( )
i) ¿Eres estudiante de matemática? ( )
j) 15 < 13 ( )
k) Ponga atención ( )
ENUNCIADOS ABIERTOS Son aquellos
enunciados que constande variables. Se convierte
en una proposición cuando se le asigna un valor
específico a la variable". Ejemplos:
a) p: x es la capital del Perú
Sí x: Lima, Quito…
Para p (Lima): Lima es la capital del Perú es
verdadero (V)
Para p (Quito): Quito es la capital del Perú
es falso (F)
Práctica
Determine cuales de los siguientes enunciados
son enunciados abiertos y para que valores de la
variable las proposiciones son verdaderas y falsas
a) x es hermano de y
b) 28 < 15
c) El es arquitecto
d) Tenga calma, no se impaciente
e) 9x + 3 = 12, x R
f) x es Ingeniero y Juan es Matemático
g) 3x – 8 > 15 , x  R
h) x + y 15 , x , y  R
l) x es un animal
CLASES DE PROPOSICIONES
A) Proposición Simple o Atómicas. Son
aquellas proposiciones que constan de un solo
enunciado proposicional .
Por ejemplo, sea la proposición
p: 3 + 6 = 9
B) Proposición Compuesta o molecular. Son
aquellas proposiciones que constan de dos o más
proposiciones simples.
Ejemplo:
r: Pitágoras era griego y era geómetra
p q
encontramos dos enunciados. El primero (p) nos
afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q)
que Pitágoras era geómetra.
Ejemplo:
p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto
Donde podemos observar que la proposición p,
se divide en dos proposiciones simples:
r: Juan es profesor y
s : Manuel es arquitecto
Es decir , p : r o s
CONECTIVOS LÓGICOS:Enlazan proposiciones
simples
A partir de proporciones simples es posible
generar otras, simples o compuestas.Es decir que
se puede operar con proposiciones, y para ello se
utilizan ciertos símbolos llamados conectivos
lógicos.
Símbolo
Operación
asociada
Significado
~




Negación
Conjunción o
producto lógico
Disyunción o
suma lógica
Implicación
Doble
implicación
Diferencia
simétrica
no p o no es cierto
que p
p y q
p o q (en sentido
incluyente)
p implica q, o si p
entonces q
p si y sólo si q
p o q (en sentido
excluyente)

5. 
OPERACIONES PROPOSICIONALES
Definiremos las operaciones entre proposiciones
en el sentido siguiente: dadas dos o más
proposiciones, de las que se conoce los valores
veritativos, se trata de caracterizar la proposición
resultante a través de su valor de verdad. A tal
efecto, estudiaremos a continuación el uso y
significado de los diferentes conectivos lógicos
mencionados arriba:
1 NEGACIÓN
Dada una proposición p, se denomina la negación
de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no
p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de
p. Por ejemplo:
P : Diego estudia matemática
~p : Diego no estudia matemática
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla
de verdad:
p ~p
V
F
F
V
Se trata de una operación unitaria, pues a partir
de una proposición se obtiene otra, que es su
negación.
Ejemplo.
La negación de
p: todos los alumnos estudian matemática es
~p: no todos los alumnos estudian matemática o
bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos
estudian matemática
~p: hay alumnos que no estudian matemática
2 CONJUNCIÓN
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina
conjunción de estas proposiciones a la
proposición p  q (se lee "p y q")
Ejemplo.
Sea la declaración
i) 5 es un número impar y 6 es un número par

p q
vemos que está compuesta de dos proposiciones
a las que llamaremos p y q, que son
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
y por ser ambas verdaderas, la conjunción de
ellas (que no es sino la declaración i) es
verdadera.
Tabla de verdad
La tabla que define esta operación, establece que
la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos
proposiciones componentes. En todo otro caso, es
falsa.
Ejemplo 2: Si p: 3 es mayor que 7
q: Todo número par es múltiplo de dos
Entonces:
p  q : 3 es mayor que 7 y todo número par es
múltiplo de dos
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F

6. Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas
es verdadera
3 DISYUNCIÓN
Dadas dos proposiciones p yq, la disyunción de
las proposiciones p y q es la proposición p  q,
se lee ”p o q“
Ejemplo 1.
Estudias o trabajas
Tabla de verdad
Ejemplo2
Si p : Hace frio en Invierno , y
q : Napoleón invadió Lima
p  q : Hace frio en Invierno o Napoleón invadió
Lima
Por ser al menos una de la proposiciones
verdadera la conjunción es verdadera
4. IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
Implicación de las proposiciones p y q es la
proposición p  q (si p entonces q). La
proposición p se llama antecedente, y la
proposición q se llama consecuente de la
implicación o condicional.
Ejemplo.
Supongamos la implicación
i)Si apruebo, ENTONCES te presto el libro
p  q
La implicación está compuesta de las
proposiciones
p: apruebo
q: te presto el libro
Tabla de verdad
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
La tabla nos muestra que la implicación sólo es
falsa si el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso.
5 DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL
Doble implicación de las proposiciones p y q es la
proposición p  q (se lee "p si y sólo si q")
Ejemplo 1:
p : Karina ingresa a la universidad
q : Karina estudia mucho
Entonces:
p  q : Karina ingresa a la universidad si y
sólo si estudia mucho.
Ejemplo 2:
Sea i) a = b si y sólo si a² = b²
El enunciado está compuesto por las
proposiciones:
p: a = b
q: a² = b²
Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V.
En los demás casos es V.
Tabla de verdad
La doble implicación o bicondicional sólo es
verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo
valor de verdad.
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V

7. La doble implicación puede definirse como la
conjunción de una implicación y su recíproca. De
este modo, la tabla de valores de verdad de p  q
puede obtenerse mediante la tabla de (p  q)  (q
 p), como vemos:

8. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y
CONTINGENCIA
Al conjunto de proposiciones, conectivos
lógicos y símbolos de agrupación lo
denominamos fórmula lógica. Por ejemplo:
~{ (p  q)  (s  t) }
Tautología
Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que
todos los valores de verdad resultantes son
siempre V para cualquier combinación de sus
valores veritativos, decimos que dicha fórmula
es una Tautología o Ley lógica.
Ejemplo.
Si analizamos la proposición t: p  ~p realizando
su tabla de verdad:
Vemos que para cualquier combinación de las
proposiciones p y su negación ~p, la proposición
t: p  ~p es siempre verdadera.
Entonces, la proposición t es una tautología.
Ejemplo. Analizemos ahora la fórmula lógica
{ ( p  q )  p }  q
En este caso comprobamos también que
independientemente de la combinación de valores
de verdad de las proposiciones p y q, el resultado
de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí
también, que esta fórmula es una tautología o ley
lógica.
Contradicción
Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de
los ejemplos anteriores resulta que para cualquier
valor de verdad de las proposiciones intervinientes
el resultado de dicha fórmula es siempre falso,
decimos que dicha fórmula es una Contradicción.
Ejemplo
Analizemos la fórmula lógica p  ~p
p ~p p  ~p
V
F
F
V
F
F
Contingencia
Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es
entonces una Contradicción.
Si una proposición no es una tautología ni una
contradicción (es decir que contiene al menos un
valor V y otro F) es una contingencia.
PRÁCTICA
1.-Halle el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
a).- Lima es la capital del Perú y Bolivia se
encuentra ubicada en América del Sur.
b).-Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5
c).- 24 es un número par y 42 es un número
impar
d) Si Bolivia limita con el Perú, entonces Perú
limita con Chile.
e) si Carlos estudia entonces aprobará el examen
de matemática.
2.- Formalice las siguientes proposiciones
a) Juan estudia.
b) Juan estudia y trabaja.
c) Rosa no es doctora
d) Si Miguel no estudia entonces no aprobará el
curso.
p ~p p  ~p
V
F
F
V
V
V

9. 3. Aplico lo aprendido
Pon de manifiesto lo aprendido (40 minutos)
PRÁCTICA DE MATEMÁTICA
1.- Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a).- Lima es la capital del Perú y Bolivia se encuentra ubicada en América del Sur.
b).-Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5
c).- 24 es un número par y 42 es un número impar
d) Si Bolivia limita con el Perú, entonces Perú limita con Chile.
2.- Formalice las siguientes proposiciones
a) Juan estudia.
b) Juan estudia y trabaja.
c) Rosa no es doctora
d) Si Miguel estudia entonces aprobará el curso.
3.- Clasifique como tautología, contradicción y contingencia. Los siguientes esquemas
moleculares:
a) [(pΛ q) → q ] v p d) ˜(p v q) Λ p
b) (p→q) v p e) [ (p → ˜ q) Λ p ] →˜ q
c) p→(pΛq) f) ˜p v ˜( p v q )
4. Compruebo lo que aprendí (PRODUCTO Nº 7)
Resuelve los siguientes ejercicios (45 minutos)
1.- Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones, función proposicional.
Determine su valor de verdad:
a) El pisco es peruano
b) 3 es un número racional
c) ¡ Viva el Perú!
d) Un triángulo es un polígono de tres lados
e) x es hermano de y
f) 28 < 15
g) ¿Te gusta la Matemática?
h) El es arquitecto
i) Tenga calma ,no se impaciente
j) 9x + 3 = 12 , x R
k) 18 es múltiplo de 3
l) es Ingeniero y Juan es Matemático
m) Los cuadriláteros tienen 3 lados
n) o) 3 x – 8 > 15 , x  R

10. 2. Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente, halle el valor de verdad
de las siguientes proposiciones:
o) p V ( p → q ) c) p Λ ( p→ q )
p) ( p V q ) → p d) (p V q ) ↔ [ p Λ ( p→ q ) ]
3. Si p=V , q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas
moleculares:
a) (p Λ q ) → ( ˜ p V r ) c) p Λ q → r e) ( p ↔ ˜ q ) → r
b) ˜ r Λ [p →( r V q ) ] d) )[(pΛ q) → (q Λ r )] ↔ ˜ p f) ( ˜ p V q ) →( ˜ r Λ q )
5. Reflexiono sobre lo aprendido (20 minutos)
 ¿Qué aprendí en esta sesión?
 ¿Cómo lo aprendí?
 ¿Qué dificultades tuve?
 ¿Para qué me sirve lo aprendido?
IV. Referencias
https://es.scribd.com/doc/16728086/PROBLEMAS-RESUELTOS-DE-CONJUNTOS

11. I T E M S
ESCALA DE ESTIMACIÓN PARA LA AUTOEVALUACIÓN
Estudiante:…………..………………………………………………………………..…….................................
Área:…MATEMÁTICA……Fecha:………………………………………………….
Carrera: ……………………………………………………… Semestre: I
DIMENSIÓN: Personal
CRITERIO DE DESEMPEÑO:
Demuestra ética, compromiso y autodisciplina en las tareas académicas y práctica pedagógica que asume en
cuanto a su especialidad
INSTRUCCIÓN: Debes indicar tu opinión, siendo lo más sincero y objetivo posible.
0
Nada
1
A
veces
2
Regularmente
3
Casi
siempre
4
Siempre
1
Realizo las actividades planteadas en el
autoinstructivo dentro del tiempo
establecido
2
Muestro disposición e interés para las
clases y el trabajo a distancia del área
3
Solicito apoyo al formador para aclarar
mis dudas a través de los medios
señalados
4
Presento mis tareas en el tiempo
señalado y por los medios establecidos
5
Demuestro cuidado y esmero en la
entrega de los productos o trabajos
6
Muestro sinceridad y honestidad en la
realización de los trabajos.
7
Profundizo, investigo y repaso en casa
los temas tratados
8
Guardo respeto al profesor y presto
atención cuando brinda las orientaciones
9
Leo y cumplo los criterios de evaluación
de los productos o trabajos
encomendados
10
Realizo las tareas y trabajos con tiempo
para prevenir contratiempos de última
hora
SUB TOTAL
TOTAL
CALIFICATIVO VIGESIMAL
COMENTARIO:(aquí puede incluir fortalezas identificadas y dificultades encontradas, recomendaciones.)
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………………………………………………………………………………………………………………………………
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Firma:
ESCALA