Topología General - Introducción, historia y conceptos fundamentales

Topología General Capítulo 0 - 2 -
- 2 -

- 3 -
Breve reseña histórica
Sus orígenes están asociados a la obra de Euler, Cantor y Möbius. La palabra
topología había sido utilizada en 1847 por J.B Listings en un libro titulado
Vorstudien zur Topologie. Este había sido un alumno de Gauss en el año 1834.
Usaba el término topología para lo que prefería llamar “geometría de posición”, sin
embargo von Staudt usaba este último para la geometría proyectiva.
Para algunos historiadores de las matemáticas, el punto decisivo fue dado por la
publicación de Análisis Situs de Poincaré en 1895.
La geometría elemental maneja las magnitudes (longitud, ángulos y áreas) que son
invariantes por movimientos rígidos, (transformaciones isométricas o que conservan
la medida), mientras que la geometría proyectiva trata los conceptos (puntos, línea,
incidencia, razón simple) que son invariantes por el grupo, todavía más extenso, de
las transformaciones proyectivas (proyectar, seccionar). Pero los movimientos
rígidos y las proyecciones son casos muy particulares de las transformaciones
topológicas que son correspondencias biunívocas y bicontinuas entre dos conjuntos.
La topología estudia entonces los conceptos invariantes frente a dichas
transformaciones.
Felix Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de
vecindario (Grundzüge der Mengenlehre, 1914). Un espacio topológico se define
como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados a ellos.
Aquí hay varias nociones que se establecen: espacio compacto, conexo, separable.
También es aquí donde entra la idea de homeomorfismo. Una vez establecido esto,
se formula la topología conjuntista como aquélla que estudia las propiedades
invariantes bajo homeomorfismos. Hausdorff también dio la noción de completitud,
que el mismos Fréchet había usado en 1906. Usó la noción de conectividad,
planteada antes por otros matemáticos (aunque él no lo sabía), Para considerar
conjuntos conexos como ideas topológicas.
Hausdorff formalizó la topología conjuntista mediante una nueva concepción de
geometría en la cual un espacio tiene una estructura que consiste en relaciones que
pueden definirse en términos de un grupo de transformaciones. Con el trabajo de
Hausdorff se afirmó la topología conjuntista como una disciplina propia dentro de
las matemáticas.

- 4 -
En el siglo XX, la topología se afirmó como una nueva disciplina con toda
propiedad dentro de las matemáticas, el igual que la geometría, el álgebra o el
análisis, y participó de un espíritu de convergencia que ha caracterizado buena parte
de las matemáticas modernas; se trata de la utilización de métodos de una disciplina
en las otras, potenciando constantemente nuevas ramas de un árbol cada vez más
complejo y diversificado.

Capítulo 0
Conjuntos
Con el interés de identificar un elemento de una colección de conjuntos, algunas
veces es conveniente adjudicar un “nombre” a cada elemento.
Definición 0.1 Sea A una colección no vacía de conjuntos. Una función indexada
para A es una función sobreyectiva f de un conjunto J denominado conjunto de
índices, en A. La familia A, junto con la función f , se denomina familia indexada de
conjuntos.
( )Dado , representaremos el conjunto porJ f Aαα α∈ Y denotamos la familia
indexada, propiamente dicha, mediante
{ } J
Aα α∈
que se lee como “la familia de todos los Aα cuando α recorre J”. En ocasiones
escribiremos { }Aα , si no ofrece dudas cuál es el conjunto de índices.
Obsérvese que, aunque es necesario que una función indexada sea sobreyectiva, no
se necesita que sea inyectiva. yA Aα β pueden ser el mismo conjunto de A, incluso
si α β≠ .
Una forma de usar funciones indexadas es dar una nueva notación para uniones e
intersecciones arbitrarias de conjuntos. Supongamos que :f J → A es una función
indexada para A ; representemos ( ) porf Aαα . Entonces definimos:
{ }: al menos para un ,
J
A x J x Aα α
α
α
∈
= ∈ ∈U
y
{ }: para todo ,
J
A x J x Aα α
α
α
∈
= ∈ ∈I

- 6 -
Leyes de Morgan
( )
C C
A Aα α=U I
y
( )
C C
A Aα α=I U
Definición 0.2 Dado un conjunto A , una relación R en A es un subconjunto del
producto cartesiano A A× .
Definición 0.3 Sea ~ una relación en A (anotamos ( ), oa b a b∈: : ) decimos que
es una relación de equivalencia si se verifican tres propiedades:
a) Reflexiva a a a A∀ ∈:
b) Recíproca si entonces ,a b b a a b A∀ ∈: :
c) Transitiva si y entonces , ,a b b c a c a b c A∀ ∈: : :
Definición 0.4 Dada una relación de equivalencia ~ en un conjunto A y un elemento
x de A definimos un cierto subconjunto de A que anotamos [ ]x :
llamado clase de
equivalencia determinada por x, mediante la ecuación:
[ ] { }:x a A a x= ∈:
:
Observación 1 [ ] ya quex x x x∈ :
: es decir las clases de equivalencia son no
vacías
Propiedad Las clases de equivalencia tienen las siguientes propiedades:
i) Dos clases de equivalencia o son disjuntas o son iguales.
Demostración: Sean E y E’ dos clases de equivalencia definidas por x y x’
respectivamente entonces si no son disjuntas eso quiere decir que existe un elemento
en común
/
y E y x
y A y E E x x
y E y x
∈ ⇒ 
′ ′∃ ∈ ∈ ⇒ ⇒ 
′ ′∈ ⇒ 
:
I :
:
Entonces
(y como por transitiva)z E z x x x z x z E′ ′ ′∀ ∈ ⇒ ⇒ ⇒ ∈: : :
o sea
E E′⊆

- 7 -
análogamente
E E′ ⊆
lo que concluye que
E E′=
ii) La unión de todas las clases de equivalencia de A es todo A ya que todo elemento
de A tiene asociada una clase de equivalencia.
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
0 0
0
por definición
ya que si /
por definición de
x A
x A x A
A x
A x z x x A z x
z A x
∈
∈ ∈
⊆
⊇ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈
⇒ ∈
:
: : :
:
U
U U
La familia de las clases de equivalencia de A es un ejemplo de lo que se llama
partición del conjunto A.
Definición 0.5 Una partición de un conjunto A es una familia de subconjuntos
disjuntos no vacíos de A cuya unión es todo A
Definición 0.6 Dada una relación de equivalencia en un conjunto A llamamos
espacio cociente al conjunto formado por todas las clases de equivalencia. Y
anotamos A
:
[ ]{ }:A x x A= ∈::
Definición 0.7 Una relación ≤ en un conjunto A se denomina relación de orden
(parcial) si verifica las siguientes propiedades:
i) Reflexiva
x x x A≤ ∀ ∈
ii) Antisimétrica
,
x y
x y x y A
y x
≤ 
⇒ = ∀ ∈
≤ 
iii) Transitiva
, ,
x y
x z x y z A
y z
≤ 
⇒ ≤ ∀ ∈
≤ 
Ejemplo 0.1 Si A es un conjunto sea P(A) el conjunto de potencia de A es decir:

- 8 -
P(A) { }:X X A= ⊂
Definimos la relación ≤ de la siguiente manera:
si ,X Y X Y X Y≤ ⊆ ∀ ∈ P(A)
verifica las tres propiedades, por lo que es una relación de orden.
Definición 0.8 Dado un conjunto A y una relación ≤ de orden en A se dice que la
pareja ( ),A ≤ es un conjunto ordenado.
Definición 0.9 Si ( ),A ≤ es un conjunto ordenado y consideramos un subconjunto
S A⊂ , definimos:
i) a A∈ es cota superior (inferior) de S
si ( )x a x S a x x S≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
ii) m A∈ es máximo si es cota superior y pertenece a S
Definición 0.10 Si ( ),A ≤ es un conjunto ordenado y S un subconjunto de A decimos
que m es un elemento maximal si se cumple:
si yx S m x m x∈ ≤ ⇒ =
Definición 0.11 Dado un conjunto A y una relación de orden ≤ decimos que es una
relación de orden total si:
dados , o
a b
a b A
b a
≤

∈ ⇒ 
 ≤
y a la pareja ( ),A ≤ llamamos conjunto totalmente ordenado.
Observación 2 si A es un conjunto finito y totalmente ordenado tiene máximo y
mínimo.
Demostración : Consideremos por inducción sobre el cardinal de A
i) Para # 1A = es obvio.
ii) Si vale para { }1# 1 y # , ,..., nA n A n A a a= − = =
Por hipótesis el conjunto { }2 ,..., na a tiene máximo y mínimo por tener n-1 elemento
sean estos M y m respectivamente.
Sea { }0 1min ,m a m= ⇒es el mínimo de A ya que:
0 0 1 0y 2,...,km A m a m m a k n∈ ≤ ≤ ≤ ∀ =
De la misma forma

- 9 -
{ }0 1max ,M a M=
es el máximo de A
Definición 0.12 Si ( ),A ≤ es un conjunto ordenado llamamos cadena a un
subconjunto C de A tal que (C ,≤ ) es totalmente ordenado.
Lema 0.1 ( Lema de Zorn ) Sea ( ),A ≤ un conjunto ordenado en el que toda
cadena tiene una cota superior, entonces A tiene un elemento maximal.
Ejemplo 0.2.
Consideremos el siguiente conjunto que llamamos partes finitas de los naturales
( ) { }: # es finitoF A A= ⊂¥ ¥P
Con la relación de orden dada por la inclusión.
B A B A≤ ⇔ ⊆
Entonces ( )( ),F ≤¥P no tiene elemento maximal, ya que si A es maximal
( ) ( )yF FA B A B⇒ ∈ ≤ ∀ ∈¥ ¥P P
Pero para cualquier A ∈ P F(N) , conx x A∃ ∈ ∉¥ , porque A es finitos
{ } es de finitos elementosA x⇒ U
{ } ( )FA x⇒ ∈U ¥P
y obviamente { }A x A A⇒U ‘ no es maximal.
Entonces como ( )( ),F ≤¥P no tiene elemento maximal
Zorn
una cadena⇒ ∃ C de
( )F ¥P , que no está acotada superiormente, por ejemplo:
{ } { } { } { }{ }1 , 1,2 , 1,2,3 ,..., 1,... ,...n=C
es una cadena y no está acotada ya que una cota tiene que tener a todos los naturales
y eso no esta en el conjunto.
( )cota y FA A⇒ = ∉¥ ¥ ¥P
Veamos una aplicación del pasado lema:
Proposición 0.1 Todo espacio vectorial V tiene una base.
Demostración: Vamos a pensar una base de un espacio vectorial como un
subconjunto L.i. maximal, sea entonces
{ }: es L.i.A V A= ⊂L
con la relación de orden ≤ definida:
B A B A≤ ⇔ ⊂

- 10 -
Entonces ( ),≤L es un conjunto ordenado y sea { }Aα ⊂ L una cadena,
(subconjuntos de L totalmente ordenados), vamos a probar que está acotada, sea
Aα= UA veremos que es L.i. consideremos una n-upla en A,
{ }1,..., con 1,..., / in i i ix x x i n x Aαα∈ ⇒ ∀ ∃ ∈ ∈A , además como { }1
,..., n
A Aα α es
finito y totalmente ordenado, entonces tiene máximo 0
Aα
0 0
1,..., 1,...,ii ix A A i n x A i nα α α∈ ⊂ ∀ = ⇒ ∈ ∀ = ⇒
{ } 0 01,..., y es L.i.nx x A Aα α⊂ ⇒
{ }1,..., es L.i. es L.i.nx x ⇒A
y es una cota superior de L entonces por el lema de Zorn L tiene elemento
maximal ⇒ que V tiene una base.
Definición 0.13 Sean 1 2, ,..., nA A A conjuntos ,definimos un nuevo conjunto llamado
producto cartesiano y anotamos por 1 2 ... nA A A× × × a:
( ){ }1 2 1... ,..., :n n i iA A A a a a A× × × = ∈
a ( )1,..., na a puede pensarse como una función
{ } ( ): 1,..., tal que 1,...,i if n A f i a i n→ = ∀ =U
Entonces en forma más general .
Sea { } I
Aα α∈
una familia de conjuntos llamamos producto cartesiano de esos
conjuntos y anotamos
I
Aα
α∈
∏ a:
( ){ }: :
I
A f I A f A Iα α α
α
α α
∈
= → ∈ ∀ ∈∏ U
Axioma de elección Sea { } I
Aα α∈
una familia de conjuntos no vacíos entonces el
producto cartesiano de ellos es no vacío.
I
I
A Aα α
α
φ α φ
∈
≠ ∀ ∈ ⇒ ≠∏
Esto es equivalente a decir que dada una familia de conjuntos no vacíos podemos
elegir un elemento de cado conjunto ( en forma simultánea).
Una cuestión básica sobre un conjunto es conocer la cantidad de elementos, sin
grandes conocimientos matemáticos para saber la cantidad de elementos de un
conjunto lo que hacemos es contarlos, ¿pero que significa esto, a cada elemento le
estamos asociando un número con el cuidado de no repetir elementos y para
asegurarnos de no repetir números le asociamos el 1, 2, ....,n en ese orden entonces
lo que establecemos es una función inyectiva (no repetimos elementos) y
sobreyectiva (no dejamos ningún elemento sin su correspondiente). Es decir:

- 11 -
Existe una función { }: 1,...,f A n→ biyectiva ⇒ cardinal de A es n
Definición 0.14 Dados dos conjuntos A y B decimos que tienen el mismo cardinal o
que son coordinables o equipotente si existe una función :f A B→ biyectiva.
Proposición 0.2 La relación de ( ) ( )Card A Card B= verifica las propiedades de
una relación de equivalencia.
Demostración
i) A es equipotente con A ya que la identidad es una función biyectiva de A en si
mismo ( ) ( )card A card A⇒ = .
ii) Si A es equipotente con B entonces B es equipotente con A
( ) ( )
( ) ( )
1
existe : biyectiva que : es biyectivacard A card B f A B f B A
card B card A
−
= ⇒ → ⇒ →
⇒ =
iii) Si A es equipotente con B y B es equipotente con C entonces A es equipotente
con C.
Por hipótesis existen
:
biyectivas : también es biyectiva
:
f A B
g f A C
g B C
→ 
⇒ →
→ 
o
Y eso implica que A es equipotente con C.
Definición 0.15 Dados dos conjuntos A y B decimos que el cardinal de A es menor
o igual que el cardinal de B si existe una función : inyectivaf A B→ .
( ) ( ) : inyectivaCard A Card B f A B≤ ⇒ ∃ →
Ejemplo 0.3 Sabemos que el ( ) ( )Card Card≤¢ ¡ ya que la inclusión es una
función inyectiva.
:inc
a a
→
→
¢ ¡
Ejemplo 0.4 Si X es un conjunto ( ) ( )( )Card X Card X≤ P basta tomar la función
( ): X Xϕ →P definida ( ) { }x xϕ = es decir que a cada elemento x del conjunto X
le asociamos el conjunto cuyo único elemento es el propio x. Esta función
claramente es inyectiva
Observar que si X es finito con ( )Card X n= entonces ( )( ) 2n
Card X =P .
Proposición 0.3 Dados dos conjuntos A y B entonces existe una función :f A B→
inyectiva si y solo si existe una función :g B A→ sobreyectiva.

- 12 -
Demostración: Sea : inyectiva conf A B A φ⇒ → ≠ y sea 0a A∈
A f B
b Im f
a
a0
g
Entonces :
( )si Im tal queb f a A b f a∈ ⇒ ∃ ∈ =
y como f es inyectiva el “a” es único y podemos definir: ( )g b a=
( ) 0si Im definimosb f g b a∉ =
Definimos de esta forma una función :g B A→
( )
( )1
0
si Im
si Im
f b b f
g b
a b f
−
∈
= 
∉
Que es sobre.
⇐ Dada :g B A→ sobreyectiva
Entonces ( ){ }1
:g a a A−
∈ establece una partición en B ya que:
( )1
por ser sobreyectiva
a A
g a B g−
∈
=U
y
( ) ( )1 1
1 2 1 2g a g a a a− −
≠ ⇔ ≠
ya que si ( ) ( )
( )
( )
11 1
1 2 1 2
2
/ absurdo si
g b a
g a g a b B a a
g b a
− −
=
= ⇒ ∃ ∈ ⇒ ≠
=
por se g una
función.
Por el teorema de elección podemos elegir un representante por cada clase que
anotamos ( )1
g a−
   entonces definimos:
( ) ( )1
: porf A B f a g a−
→ =   
Por ser g sobre esta bien definida para todo a A∈ y además es inyectiva ya que:
( ) ( ) ( ) ( )1 1
1 2 1 2 1 2f a f a g a g a a a− −
= ⇒ = ⇒ =      

- 13 -
⇒ f es inyectiva.
Proposición 0.4 ( Teorema de Cantor ) Dado X un conjunto no vacío entonces:
( ) ( )( )Card X Card X< P
Demostración Ya sabemos que ( ) ( )( )Card X Card X≤ P Probaremos que
( ) ( )( )Card X Card X≠ P para ello supongamos por absurdo que son iguales y por
lo tanto existe una función:
( )
( ) ( )
: biyectivaf X X
x f x X
→
→ ∈
P
P
Consideremos:
( ){ }:B x X x f x= ∈ ∉
pero como ( ) ( )/B X B X u X B f u⊆ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ =P por ser f sobreyectiva
entonces
( )
( )
si
B f u
u B u f u u B
=
∈ ⇔ ∉ ⇔ ∉
Corolario Si N es el conjunto de los números naturales aplicando lo anterior
( ) ( )( )Card Card<¥ ¥P
Proposición 0.5 (Teorema de Cantor-Bernstein) Dados dos conjuntos X e Y tales
que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Card X Card Y
Card X Card Y
Card Y Card X
≤ 
⇒ =
≤ 
Demostración Como ( ) ( ) una función :Card X Card Y h X Y≤ ⇒ ∃ → inyectiva
entonces si llamamos Im la función :B h h X B= → es biyectiva.
Por otro lado ( ) ( ) una función :Card Y Card X g Y X≤ ⇒ ∃ → inyectiva y si
llamamos Im la función :A g g Y A= → seria biyectiva.
Sea :f X X→ la composición
A Bf i g i h= o o o donde iA e iB son las
correspondientes inclusiones.
Claramente f es inyectiva por ser
composición de funciones inyectivas.
h
X B
iA iB
A Y

- 14 -
Queremos encontrar una función : X Aϕ → biyectiva para ello tomamos el
conjunto ( ) ( )( )C A f X C f X A= − ⇒ =U y el conjunto ( )( )1
i
i
S C f X≥
= U U
con n
f la composición de f consigo misma n veces.
( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1
i i i
i i i
f S f C f C f C f C f C≥ ≥ ≥
= = =U U U U
Luego ( )S C f S= U definimos entonces a φ de la siguiente manera:
( )
( )
si
si
x x S
x
f x x X S
ϕ
∈
= 
∈ −
Por definición ( )S Sϕ = y ( ) ( )X S f X Sϕ − = − además es sobreyectiva ya que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )X S X S S X S C f S f X S C f X Aϕ ϕ ϕ ϕ= − = − = − = =U U U U U
Finalmente probaremos que es inyectiva, como | y |S X Sϕ ϕ − son inyectivas por
definición, entonces bastará con ver que ( ) ( )yS X Sϕ ϕ − son disjuntos,
supongamos que no lo son, es decir que existe ( )x S C f S∈ = U tal que
( ) ( )conx f x x X S x f S′ ′= ∈ − ⇒ ∉ por ser f inyectiva ya que si
( ) ( ) ( )/x f S x S f x x f x x x′′ ′′ ′ ′ ′′∈ ⇒ ∃ ∈ = = ⇒ = lo cual es absurdo por pertenecer
a conjunto disjuntos. Pero si ( )x f S x C∉ ⇒ ∈ y por definición de C ( )x f X∉ lo
que es una contradicción pues x era la imagen de un x’ por medio de f.
La función ϕ así definida es una biyección y entonces
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Card X Card A Card Y
Card X Card Y
= =
∴ =
Definición 0.16 Dado un conjunto A decimos que es finito si es vacío o es
coordinable con el conjunto { }1,...,n para algún n +
∈¢ . En caso contrario se dirá
que el conjunto es infinito.
Definición 0.17 Dado un conjunto A decimos que es numerable si es finito o de ser
infinito es coordinable con el conjunto de los números naturales.
( ) ( )
finito
numerable
A
A
card A Card

⇔ 
= ¥
Observación 3 ( )¥P es no numerable por ser ( ) ( )( )Card Card≠¥ ¥P
Definición 0.18 Se dice que un subconjunto A de los números reales es inductivo si
contiene el número 1, y si para todo x de x+1 también está en A. Sea A la familia
de todos los subconjuntos inductivos de R. Entonces, el conjunto Z+
(números
naturales) de enteros positivos se define de la forma.

- 15 -
A
A+
∈
=¢ IA
Obsérvese que le conjunto R+
de los reales positivos es inductivo, pues contiene al 1,
y la afirmación 0x > implica 1 0x + > . Por lo tanto + +
⊂¢ ¡ y de esta forma los
elementos de +
¢ son efectivamente positivos, tal y como la elección de la
terminología sugiere. De echo se comprueba que 1 es el elemento más pequeño de
+
¢ , ya que el conjunto de todos los números reales x para los cuales 1x ≥ es
inductivo.
Las propiedades básicas de +
¢ , las cuales se deducen inmediatamente de la
definición, son las siguientes:
(1) +
¢ es inductivo.
(2) (Principio de inducción ). Si A es un conjunto inductivo de enteros positivos
entonces A +
= ¢ .
Proposición 0.6 (Principio del buen orden) Todo subconjunto no vacío de +
¢ tiene
un mínimo.
Demostración En primer lugar vamos a demostrar que, para cada n +
∈¢ , se verifica
la siguiente afirmación: Todo subconjunto no vacío de { }1,...,n tiene un mínimo.
Sea A el conjunto de todos los enteros positivos n para los cuales se cumple dicha
afirmación. Entonces A contiene al 1, ya que si 1n = , el único subconjunto no vacío
de { }1,...,n es el propio { }1 . Por tanto, suponiendo que A contiene a n, vamos a
demostrar que también contiene a 1n + . Sea C un subconjunto no vacío de
{ }1,..., 1n + . Si C está formado únicamente por 1n + , entonces dicho elemento es el
menor elemento de C . En caso contrario, consideremos el conjunto { }1,...,C nI ,
que es no vacío. Como n A∈ , este conjunto tiene un mínimo que automáticamente
será también el mínimo de C. Así A es inductivo, y podemos concluir que A +
= ¢ ; y
por lo tanto, la afirmación es cierta para todo n +
∈¢ .
Ahora vamos a demostrar el teorema. Supongamos que D es un subconjunto no
vacío de +
¢ . Elijamos un elemento n D∈ . Entonces, el conjunto { }1,..,A D n= I es
no vacío, y A tiene un mínimo k. El elemento k será también el mínimo de D.
Proposición 0. 7 Todo los subconjunto de números naturales son numerables.

- 16 -
Demostración Dado
{ }1
es numerable
si
min por proposición 0.6
A
A
A a a A
φ
φ
= ⇒
⊆ 
≠ ⇒ ∃ = ∈
¥
{ }
{ } { }{ }
1
1 2 1
es finito numerable
si
min por proposición 0.6
A a
A a a A a
= ⇒

≠ ⇒ ∃ =
Nuevamente
{ }
{ } { }{ }
1 2
1 2 3 1 2
, finito numerable
Si
, min ,
A a a
A a a a A a a
= ⇒

≠ ⇒ ∃ =
Y así sucesivamente
{ }
{ } { }{ }
1
1 1 1
,..., es finito numerable
Si
,..., min ,...,
n
n n n
A a a
A a a a A a a+
= ⇒

≠ ⇒ ∃ =
Sea ( ): tal que kA k aϕ ϕ→ =¥ es una biyección ya que:
( ) ( )1 por elección inyectivak kϕ ϕ+ > ⇒
Ahora si { } { }{ } ( )1 1sea max : min ,..., 1k n na A n k a a a A a a a nϕ+∈ = < ⇒ = = = +
Lo que quiere decir que ϕ es sobreyectiva.
Proposición 0.8 Dado un conjunto A no vacío, es numerable si y solo sí:
1) Existe una función : Aϕ → ¥ inyectiva o
2) Existe una función : Aψ →¥ sobreyectiva.
Demostración:⇒ Sea A numerable entonces puede suceder que A sea
i) infinito ( ) ( ) :Card A Card Aϕ⇒ = ⇒ ∃ →¥ ¥ biyectiva y por lo tanto inyectiva.
ii) finito ⇒ hay una biyección { }0 entre y 1,..., entonces definimos:A nϕ
: Aϕ → ¥ tal que:
( ) ( )0 es inyectivaa aϕ ϕ=
⇐ Supongamos ahora que existe una función inyectiva : Aϕ → ¥ lo que significa
que ( ): A Aϕ ϕ→ es una biyección , y entonces ( ) ( )( )Card A Card Aϕ= pero
como ( ) ( )A Aϕ ϕ⊂ ⇒¥ es numerable por proposición anterior.
Entonces si ( )Aϕ es infinito ( )( ) ( )Card A Cardϕ⇒ = ¥ por definición y por
transitiva ( ) ( )Card A Card= ⇒¥ por definición A es numerable.
Si ( )Aϕ es finito ( )( )tal quen Card A nϕ⇒ ∃ ∈ =¥ por definición y por transitiva
( )Card A n= ⇒ por definición A es numerable.
Corolario 0.9 Sea B un conjunto numerable y : A Bϕ → inyectiva entonces A es
numerable.

- 17 -
Demostración Si B es numerable ⇒ por proposición anterior : Bψ∃ → ¥ inyectiva
entonces : Aψ ϕ →o ¥ es inyectiva ⇒ A es numerable.
Corolario 0.10 Si A es un conjunto numerable y : A Bψ∃ → sobreyectiva entonces
B es numerable.
Demostración Si A es numerable : Aϕ⇒ ∃ →¥ sobreyectiva entonces
: Bψ ϕ →o ¥ es sobreyectiva ⇒ B es numerable.
Corolario 0.11 Si B es un conjunto numerable y A B⊂ ⇒ A es numerable.
Demostración Sea inclución : A Bϕ ϕ≡ ⇒ → que es inyectiva entonces por
corolario 0.9 ⇒A es numerable.
Proposición 0.12 ×¥ ¥ es numerable.
Demostración Basta ver que la función :ψ × →¥ ¥ ¥ dada por:
( ), 2 .3m n
m nψ =
es inyectiva, por tanto ×¥ ¥ es numerable.
Proposición 0.13 ...
j
×¥ ¥ ¥14243 es numerable.
Demostración Sean 1,..., jp p primos distintos, entonces : ...ψ × →¥ ¥ ¥ ¥ donde
( ) 1
1 1,..., ... jnn
j jn n p pψ =
es inyectiva.
Corolario 0.14 Sean 1,..., nA A conjuntos numerable 1 2 ... nA A A⇒ × × × es numerable
Demostración Para cada 1,...,i n= el que sea numerable :i i iA Aϕ⇒ ∃ → ¥
inyectiva. Entonces si definimos:
1: ... ...nA Aϕ × × → × ×¥ ¥
por
( ) ( ) ( )( )1 1 1,..., ,...,n n na a a aϕ ϕ ϕ=
queda naturalmente inyectiva.
Y por lo tanto existe la función 1: ... nA Aψ ϕ × × →o ¥ inyectiva lo que implica que
1 ... nA A× × es numerable.

- 18 -
Proposición 0.15 Sea I un conjunto numerable, y iA un conjunto numerable i I∀ ∈
entonces i
i I
A
∈
U es numerable.
Demostración
Como I es numerable : Iϕ⇒ ∃ →¥ sobreyectiva
y por ser numerable :i i iA A i Iψ⇒ ∃ → ∀ ∈¥ definimos:
: i
i I
J A
∈
× →¥ ¥ U
por
( ) ( ) ( ), mJ m n nϕψ=
entonces
0 0para algún y comoi i
i I
a A a A i I ϕ
∈
∀ ∈ ⇒ ∈ ∈U es sobre ( )0/m i mϕ⇒ ∃ ∈ =¥ y
como a su vez 0iψ es sobre ( )0
/ in a nψ⇒ ∃ ∈ =¥ luego:
( ) ( ) ( ) ( )0
,i ma n n J m nϕψ ψ= = =
lo que significa que J es sobreyectiva ⇒ por ser ×¥ ¥ numerable i
i I
A
∈
⇒ U es
numerable.
Ejemplo 0.5 ¤ es numerable
Sea ( ) { }{ }, : con , 0I m n m n= ∈ ∈ − ⊂ ×¥ ¥ ¥ ¥ que es numerable por ser un
subconjunto de uno numerable, entonces como:
( ),m n I
m
n∈
=¤ U
es numerable
Ejemplo 0.6 Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable.
Demostración Sea A un conjunto infinito. Sea 0 0, entoncesx A A x∈ − es infinito,
entonces existe 1 1 0tal quex A x x∈ ≠ y entonces como { }1 0,A x x− es infinito, existe
2 2tal que con 0,1ix A x x i∈ ≠ = .
En general, definimos { }0 1, ,..., kx x x y tenemos que { }0 1, ,..., kA x x x− es infinito así
que existe 1 1tal que con 0,1,...,k k ix A x x i k+ +∈ ≠ = . Entonces la función :f A→¥
dada por ( ) { }if i x= es una biyección entre { }0 1y , ,..., ,...nx x x A⊂¥ por tanto
dicho subconjunto de A es numerable que es al conjunto infinito numerable que
buscábamos.

- 19 -
Ejemplo 0.7 Si A es infinito y B es numerable entonces A es coodinable con A BU
Demostración Por la proposición de Cantor-Bernstein, basta encontrar una función
inyectiva de enA A BU y otra inyectiva de enA B AU . Para la primera la
inclusión es una función inyectiva :inc A A B→ U ( ) ( )Card A Card A B⇒ ≤ U .
Para encontrar una función inyectiva :g A B A→U . Como A es infinito (ver
ejercicio 6) tiene un subconjunto infinito numerable que llamaremos C. Entonces
como B y C son numerables C BU es numerable lo que implica
( ) ( ) ( ) yCard C B Card Card C C B C= = ⇒U ¥ U son coordinables luego existe
una función 0 :g C B C→U biyectiva Consideremos la siguiente función:
:g A B A→U dada por :
( )
( )
( )0
si
si
a a A C B
g a
g a a C B
∈
= 
∈
U
U
( )0
0
que
por ser inyectiva
a b
g a b b C
a b g
⇒ =
⇒ = ⇒ ∈
⇒ =
entonces g es inyectiva, y por tanto ( ) ( )Card A B Card A≤U luego son iguales y los
conjuntos son coordinables.
Ejemplo 0.8 Sea n un entero positivo. Sean A un conjunto y a0 un elemento de A.
Entonces ( ) { }01 ( )Card A n Card A a n= + ⇔ − =
Demostración Tenemos que probar que existe una correspondencia biyectiva f entre
A y el conjunto { }1,..., 1n + si, y solamente sí, existe una correspondencia biyectiva
del conjunto { } { }0 con 1,...,A a n− .
Supongamos en primer lugar, que existe una correspondencia biyectiva g
{ } { }0: 1,...,g A a n− →
Definimos entonces una función: { }: 1,..., 1f A n→ + de la forma:
( ) ( ) { }
( )
0
0
si
1
f x g x x A a
f a n
= ∈ −
= +
es claro que f es biyectiva.
Recíprocamente:
Supongamos que existe una correspondencia biyectiva :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
si
si
si
si
a a A C B
g a
g a a C B
b b A C B
g b
g b b C B
∈
= 
∈
∈
= 
∈
U
U
U
U

- 20 -
{ }: 1,..., 1f A n→ +
i) Si f asocia a0 al número n+1, todo es especialmente sencillo; en este caso, la
restricción { }0
|A af − nos da la correspondencia biyectiva buscada entre { }0A a− y
{ }1,...,n .
ii) En caso contrario sea ( )0f a m= y sea a1 el punto de A tal que ( )11n f a+ = .
Entonces 1 0a a≠ Definimos una nueva función:
{ }: 1,..., 1h A n→ +
Mediante:
( )
( )
( ) ( ) { }
0
1
1 0
1
para ,
h a m
h a n
h x f x x A a a
=
= +
= ∈ −
De esta forma h es biyectiva y está comprendida en el caso i) luego la restricción
{ }0
|A ah − es la biyección buscada entre { } { }0 y 1,...,A a n−
Ejemplo 0.9 Sea A un conjunto de cardinal n para algún n +
∈¢ . Sea B un
subconjunto propio de A. Entonces el cardinal de B es distinto de n Si B φ≠
Entonces existe algún m n< tal que el cardinal de B es m.
Demostración Tenemos que probar que no existe biyección alguna { }: 1,...,g B n→ .
Pero si B φ≠ sí existe una biyección { }: 1,...,h B m→ para algún m n< .
El caso de que B es vacío es trivial, ya que no puede existir una biyección entre el
conjunto vacío B y un conjunto no vacío { }1,...,n .
Demostraremos la afirmación por inducción.
Sea C el subconjunto de +
¢ formado por aquellos entero n para los cuales la
afirmación es cierta. Vamos a probar que C es inductivo C +
⇒ = ¢ y por lo tanto la
afirmación es cierta para todo entero positivo.
En primer lugar demostramos la afirmación para 1n = .En este caso A está formado
por un único elemento { }a y su único subconjunto propio B es el conjunto vacío.
Supongamos ahora que el teorema es cierto para n; vamos a ver que también lo es
para 1n + Sea { }: 1,..., 1f A n→ + una biyección y sea B un subconjunto propio no
vacío de A. Elegimos un elemento a0 de B y un elemento de 1 dea A B− y aplicando
lo del ejemplo anterior, podemos deducir que existe una biyección:
{ } { }0: 1,...,g A a n− →
Por otro lado, { }0B a− es un subconjunto propio de { }0A a− , ya que a1 pertenece a
{ }0A a− y no a { }0B a− . Como la afirmación se supone cierta para el entero n,
podemos concluir lo siguiente:

- 21 -
1) No existe ninguna biyección { } { }0: 1,...,h B a n− →
2) Bien { }0B a φ− = , bien existe una biyección
{ } { }0: 1,..., para algúnk B a p p n− → <
El ejercicio anterio junto 1), implica que no existe ninguna biyección entre B y
{ }1,..., 1n + Esto completa la primera mitad del resultado al que queremos llegar.
Para demostrar la segunda parte, obsérvese que si { }0B a φ− = , existe una biyección
entre B y el conjunto { }1 , mientras que si { }0B a φ− ≠ , podemos aplicar lo del
ejercicio anterior, junto con 2) , para concluir que existe una biyección entre B y
{ }1,..., 1p + . En cualquiera de los casos, va a existir una biyección de B con { }1,...,m
para algún 1m n< + , tal como se buscaba. El principio de inducción demuestra que
la afirmación es cierta para todo n +
∈¢ .
Ejemplo 0.10 Si A es un conjunto finito, no existe ninguna biyección de A con un
subconjunto propio de sí mismo.
Demostración Supongamos que B es un subconjunto propio de A y que :f A B→
es una biyección. Por hipótesis existe una biyección { }: 1,...,g A n→ para algún n.
La composición 1
g f −
o es, por tanto, una biyección entre B y { }1,...,n . Esto
contradice la afirmación del ejemplo anterior
Ejemplo 0.11 Un conjunto es infinito si y solo sí es coordinable con un conjunto
propio.
Demostración Sea A un conjunto infinito, primero observemos que por el ejemplo 6
tiene un subconjunto infinito numerable que llamamos B.
Sea C A B= − entonces hay tres posibilidades:
1) Que C φ= Quiere decir que A B= y como B es numerable por construcción ⇒
A numerable ( ) ( )Card N Card A⇒ = pero ya vimos que todo subconjunto (propio)
de una numerable es numerable ( ) ( )si A A Card A Card′ ′⇒ ⇒ = ⇒¥Ü que A y
A’ son coordinables
2) Que C sea finito φ≠ . Si C es finito entonces A C B= U por ser unión de dos
numerables es numerable ( ) ( ) ( )Card A Card Card B⇒ = =¥ es decir que A es
coordinable con el conjunto B AÜ
3) Que C sea infinito, como B es numerable ⇒ (ver ejemplo 7) que C es coordinable
con C B A=U .
Recíprocamente Sea A un conjunto coordinable con un subconjunto propio.

- 22 -
Si A fuera finito tenemos una contradicción con lo probado en el ejemplo 10 luego A
tiene que ser infinito.
Proposición 0.16 El conjunto de las partes finitas de los naturales que anotamos
( )F ¥P es numerable.
( ) { }: es finitoF A A= ⊂¥ ¥P
Demostración Definimos:
( ) ( ){ }:n A Card A n= ⊂ =¥ ¥P
entonces
( ) ( )F n
n∈
=
¥
¥ ¥UP P
alcanza con probar que ( )nn∀ ∈¥ ¥P es numerable y para ello definimos la
siguiente función:
( ): n
n nϕ →¥ ¥P
como sigue:
Si ( )nA∈ ¥P entonces { }1 2
, ,..., ni i iA a a a= y definimos nϕ como la función que a
cada n-upla le corresponde la n-upla ordenada en forma creciente, es decir:
( ) ( )1 1 2,..., con ...n n nA a a a a aϕ = ≤ ≤ ≤
Claramente nϕ es inyectiva ya que si A y B son conjuntos con n elementos
{ }( ) ( )1 1 1,..., ,..., con ...n i in n na a a a a aϕ = ≤ ≤
{ }( ) ( )1 1 1,..., ,..., con ...nn i i n nb b b b b bϕ = ≤ ≤
entonces
( ) ( ) { } { }1 11 1,..., ,..., ,..., ,...,n nn n i i i ia a b b a a b b= ⇒ =
o sea A = B y como n
¥ es numerable ( )n⇒ ¥P es numerable ⇒ la unión
numerable de numerables es numerable por la proposición anterior.
( ) es numerableF⇒ ¥P
Corolario 0.17 Las partes finitas de un conjunto A numerable es numerable.
( ) { }: es finitoF A X A X= ⊂P
Demostración igual que el teorema definimos:
( ) ( ){ }:n A X A Card X n= ⊂ =P
y
( ): inyectivan
n n A Aϕ →P

- 23 -
como n
A es numerable ( )n A⇒P es numerable y como la unión de una cantidad
numerable I de conjuntos numerables es numerable.
( ) ( ) (e numerable)F n
n I
A A I I
∈
= ⊂ ⇒¥UP P
es numerable.
Corolario 0.18 Las partes infinitas de los naturales es no numerable
( ) { }: es infinitoA A∞ = ⊂¥ ¥P
Demostración Si fuera numerable como:
( ) ( ) ( ) sería numerableF ∞=¥ ¥ U ¥P P P
Y ya vimos que es no numerable.
De la anterior proposición se desprende que el cardinal de las partes infinitas de los
naturales (conjunto potencia de los naturales ) no es igual al de los naturales y lo que
demostraremos a continuación es que dicho cardinal es igual al cardinal de los
números reales.
Pero con dicho propósito antes demostraremos algunos teoremas previos. El primero
de ellos hace referencia a la posibilidad de escribir cualquier número real entre 0 y 1
como una serie. Dependiendo de una sucesión de ceros y unos (notación binaria del
real en cuestión)
Lema 1 Sea ( ]0,1t ∈ entonces existe una sucesión { }: 1ka k ≥ donde { }0,1ka ∈ para
todo k y tal que:
1 2
k
k
k
a
t
∞
=
= ∑
salvo que para algunos reales esa descomposición no es única
Por ejemplo.
2 4
2 5 6
1 1
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
0 05
0 0 0 ... ...16 n
+ + +
= 
+ + + + + + + +
Hay dos formas de elegir la sucesión
{ }
0,1,0,1,0,0,0,0,....
0,1,0,0,1,1,1,1,1,...
ka

= 

pero una de ellas es finita. Es decir:
Si { }
1 1
con , 0,1
2 2
k k
k kk k
k k
a b
t a b
∞ ∞
= =
= = ∈∑ ∑ y { } { }k ka b≠ ⇒ no son la misma sucesión
⇒que existe 0n tal que:

- 24 -
0 0
0 0
0 y 1
o
0 y 1
k k
k k
a k n b k n
b k n a k n
= ∀ > = ∀ >


 = ∀ > = ∀ >
⇒
{ }
{ }
{ }
{ }
0
0
...........1,0,0,0,0.....
...........0,1,1,1,1,1,.....
o
...........0,1,1,1,1,1,....
............1,0,0,0,0,....
n
k
k
n
k
k
a
b
a
b
=
=
=
=
64748
64748
Demostración Si 1
20 t< < se define 1 0a =
Si 1
2 1t≤ ≤ se define 1 1a =
En ambos caso se verifica:
1 1
0
2 2
a
t≤ − ≤
ahora definimos 2a
1
2
1
1
0 si 0
2 4
1 1
1 si
4 2 2
a
t
a
a
t
 ≤ − <
= 
 ≤ − ≤

entonces en ambos casos:
1 2
2 2
1
0
2 2 2
a a
t≤ − − ≤
Y así sucesivamente tenemos { }1 2, ,..., 0,1na a a ∈ tales que:
1
1
0
2 2
n
k
k n
k
a
t
=
≤ − ≤∑
se define 1na + como:
1
1
1
n+1
1
1
0 si 0
2 2
1 1
1 si
2 2 2
n
k
k n
k
n n
k
k n
k
a
t
a
a
t
+
=
+
=

≤ − <
= 
 ≤ − ≤

∑
∑
en ambos casos:
{
1
1
1
0
1
0
2 2
n
k
k n
k
a
t
+
+
=
→
≤ − ≤∑
por lo tanto
1
1 1
0
2 2
n
k k
k k
k k
a a
t t
+ ∞
= =
− → ⇒ =∑ ∑

- 25 -
Lema 2 Si { } { }
1 1
y
2 2
k k
n n k k
k k
a b
a b t
∞ ∞
= =
≠ = =∑ ∑ entonces tenemos que probar que existe
0n tal que:
0 0
0 0
1 y 0
o
0 y 1
k k
k k
b k n a k n
b k n a k n
= ∀ > = ∀ >


 = ∀ > = ∀ >
Demostración
Sea { }0 min : k kn k a b= ≠ se puede suponer sin perder generalidad que
0 0
1 y 0n na b= =
Sea
}
{
0
0
1
1 2
1 2
0
....... .....
....... .....
n
n
aa a
b b b
=
=
P P ,
Tenemos que:
}
}
{
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0
02
0
1
1 1 1
1
1 1
1 1 1 1(1)
1
1 1 1(2)
1
2 2 2 2
1
2 2 2 2
1
2 2 2 2
2
k
an
n
n
nk k k
nk k k
k k k n
b
n n
k k k
k k k k
k k n k k n
n n
k k k
nk k k
k k k
k
k
k
bb b b
a b a
a a a
b
↓
↓
=
−∞ ∞
= = = +
≤
− −∞ ∞
= = + = = +
− ∞
= = =
=
∞
=
= + + =
= + ≤ +
= + = ≤ =
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
∑
Lo que implica que todas las desigualdades son igualdades y entonces:
( )
( )
0
0
1 1
2 0
k
k
b k n
a k n
⇒ = ∀ >
⇒ = ∀ >
Si hubiésemos supuesto que era 0 0
0 y 1n na b= = hubiéramos llegado a:
0
0
0
1
k
k
b k n
a k n
= ∀ >
= ∀ >

- 26 -
Lema 3 ( ]( ) ( )( )0,1Card Card ∞= ¥P
Demostración Para la demostración lo que haremos es definir una función
biyectiva entre dichos conjuntos. Para ello usamos los lemas 1 y 2 que quieren decir
que todo número entre 0 y 1 se escribe en notación binaria como una sucesión
infinita de ceros y unos. A este número binario le asociamos el conjunto de los
índices correspondientes a los lugares en que lleva un uno su desarrollo binario. Que
claramente es un subconjunto de las partes infinitas de los números naturales.
Consideremos la siguiente función:
( ] ( ): 0,1ϕ ∞→ ¥P definida de la siguiente forma:
Si ( ]0,1t ∈ entonces existe una única sucesión { }ka tal que { }: 1kk a = es infinito
siendo
1 2
k
k
k
a
t
∞
=
= ∑
Siempre hay una ya que si hay una finita tal que:
1
, 1
2
n
k
nk
k
a
t a
=
= =∑
definimos
1
donde
0 , 12
k kk
k
k n k
b a k nb
t
b b k n
∞
=
= ∀ <
=
= = ∀ >
∑
definimos:
( ) { } ( ): 1kt k aϕ ∞= = ∈ ¥P
Por ejemplo:
2 4
2 5 6 4
5
5 1 1
0 0
16 2 2
5 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 ...
16 2 2 2 4 2 4 2k
k
∞
=
= + + +
= + + + + + + = + = +∑
( ) { }2,5,6,7,8,.....tϕ⇒ =
( ) ( )es inyectiva ya que si t sϕ ϕ ϕ= sea { } tal que:ka
( )
( ) 1
1 si
0 si 2
k k
k
kk
a k t a
t s
a k t
ϕ
ϕ
∞
=
= ∈
⇒ = =
= ∈
∑
además es sobreyectiva ya que si ( ) { }sea tal que:kA a∞∈ ¥P
1
1 si
y sea
0 si 2
k k
k
kk
a k A a
t
a k A
∞
=
= ∈
=
= ∉
∑
Como los ka son infinitos
1
2
1
1 1 2
1
1 1
2 2
k
k k k
k k
a
a k
∞ ∞
= =
⇒ ≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ = =∑ ∑¥ es decir que
la serie converge en (0,1] ( ] ( )0,1t A tϕ⇒ ∈ ⇒ = .

- 27 -
Proposición 0.19 El cardinal del conjunto potencia de los naturales es el del
continuo. Es decir ( ) ( )( )Card Card=¡ ¥P
Demostración Primero se demuestra que ( ) ( ]( )0,1Card Card=¡ por medio de una
función apropiada; por ejemplo por medio de la función tany x= que es biyectiva
para ( )2 2,x π π
∈ − se tiene que:
( ) ( )2 2,Card Card π π
= −¡
Luego por medio del segmento de recta
( )( ) ( ]( )2 2, 0,1Card Cardπ π
− =
Por el ejemplo 0.7 se tiene que un conjunto es infinito si, y solamente sí, es
coordinable con un subconjunto propio
( ) ( )( ) ( )( )es infinito Card Card ∞⇒ ⇒ =¥ ¥ ¥P P P
Ya que
( ) ( )∞ ¥ ¥ÜP P
y como por la proposición anterior:
( ]( ) ( )( )0,1Card Card ∞= ¥P
( ]( ) ( )( )
( ]( ) ( )
( ) ( )( )
0,1
y
0,1
Card Card
Card Card
Card Card
= 

⇒ =
= 
¥
¡ ¥
¡
P
P
Ejemplo practico
Sea la familia de intervalos de extremos racionales F
[ ]{ }, : ,F a b a b= ∈¤
Definimos la función : Fϕ → ×¤ ¤ de la siguiente manera:
[ ]( ) ( ), ,a b a bϕ = ∈ ×¤ ¤
Es decir que a cada intervalo de extremos a,b le asociamos la pareja ordenada (a,b)
Dicha función es inyectiva ya que

- 28 -
[ ] [ ] ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ), , o , , , ,
a a
a b a b a b a b a b a b
b b
ϕ ϕ
′≠

′ ′ ′ ′ ′ ′≠ ⇒ ⇒ ≠ ⇒ ≠
 ′≠
y como ¤ es numerable ⇒ que el producto cartesiano ×¤ ¤ es numerable
Tenemos una función inyectiva del conjunto F a un conjunto numerable, como la
función es biyectiva sobre su imagen, que es un subconjunto de uno numerable,
luego numerable; entonces como podemos definir una biyección de F a un conjunto
numerable, este F es numerable.

Capítulo 1
Espacios Métricos
Definición 1.1 Sea E un conjunto no vacío una distancia o métrica es una función
:d E E× → ¡ tal que verifica:
1) ( ), 0 ,d x y x y E≥ ∀ ∈
2) ( ), 0d x y x y= ⇔ =
3) ( ) ( ), , ,d x y d y x x y E= ∀ ∈
4) ( ) ( ) ( ), , , , ,d x z d x y d y z x y z E≤ + ∀ ∈ desigualdad triangular
Al par ( ),E d le llamamos espacio métrico
Definición 1.2 Sea E en las mismas condiciones que antes pero sin la propiedad 2,
es decir se puede dar el caso en que la distancia es cero y no se trate de la identidad,
llamamos en dicho caso seudo distancia o seudo métrica.
Ejemplo 1.1
Si ( )y ,E d x y x y= = −¡ es una métrica.
Ejemplo 1.2
Sea ( ) ( )1 1,..., , ,...,n
n nE x x x y y y= = =¡ entonces podemos definir la siguiente
distancias
1) Distancia taxi
( )1
1
,
n
i i
i
d x y x y
=
= −∑
2) Distancia euclidiana
( ) ( )
1
2
2
2
1
,
n
i i
i
d x y x y
=
 
= − 
 
∑
3) Distancia del máximo

- 30 -
( ) { }1,...,, maxi n i id x y x y∞ == −
Ejemplo 1.3
Distancia discreta
Dado E φ≠ definimos
( )
0 si
,
1 si
x y
d x y
x y
=
= 
≠
fácilmente se comprueba que es una métrica.
Ejemplo 1.4
Distancia indiscreta
Dado E φ≠ definimos
( ), 0 ,d x y x y E= ∀ ∈
Ejemplo 1.5
Sea [ ] [ ]{ }, : , / es continuaE C a b f a b f= = →¡ ¡ entonces definimos la distancia
que llamamos distancia infinito o del supremo de la siguiente manera:
( ) [ ] ( ) ( ){ },, supx a bd f g f x g x∞ ∈= −
Cumple con las propiedades 1,2, 3 [ ],x a b∀ ∈ y [ ], , ,f g h C a b∈ ¡ la propiedad 4 se
tiene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x h x g x f x h x h x g x− = − + − ≤ − + −
y los supremos también cumplen dicha desigualdad luego se cumple la desigualdad
triangular
La distancia del supremo se puede definir para el espacio de las funciones continuas
en el intervalo [ ],a b siendo [ ]: ,f a b → £ (complejos) representamos dicho
conjunto como [ ],C a b .
Sea ( ) { }
( ) { },
: cont. y acotadas
: cont. y acotadas
b
b
E C f
C f
= = →
= = →¡
¡ ¡ £
¡ ¡ ¡
Definimos la distancia igual que antes:
( ) ( ) ( ){ }, supxd f g f x g x∈= −¡
Dicha definición es consistente ya que:
Si ( ) ( )
( ) ( )
1
2
es tal que
y tal que
f x f x M x
g x g x M x
≤ ∀ ∈
≤ ∀ ∈
¡
¡
Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2f x g x f x g x M M x− ≤ + ≤ + ∀ ∈¡ y esto implica que
( ) ( ) está acotado tiene supremof x g x− ⇒

Topología General Espacios Métricos - 31 -
- 31 -
Observación 1.1 Para un mismo conjunto podemos tener distintos espacios métricos
asociados, según la métrica que estemos considerando, así si la métrica es la
indiscreta al espacio llamamos indiscreto, si la métrica es la discreta al espacio
llamamos discreto, si la métrica que estamos considerando es la euclidea al espacio
llamamos euclideo.
Definición 1.3 Sea V un espacio vectorial sobre ( )oK ¡ £ una norma sobre el
espacio vectorial es una función :V → ¡ que cumple con las siguientes
propiedades:
1) 0 y 0 0x x V x x≥ ∀ ∈ = ⇔ ≡
2) , yx x K x Vλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈
3) ,x y x y x y V+ ≤ + ∀ ∈
Definición 1.4 Tenemos un espacio vectorial normado cuando sobre el espacio
vectorial tenemos definida una norma.
Ejemplo 1.6
El producto interno , en V nos define una norma mediante la siguiente relación:
( )
1
2
,x x x=
Observación 1.2 Todo espacio V vectorial normado se transforma en un espacio
métrico por medio de la distancia definida de la siguiente forma:
( ), ,d x y x y x y V= − ∀ ∈
Demostración
( ), 0 por definición de normad x y y x= − ≥
( ), 0 0 0d x y y x y x x y= ⇒ − = ⇔ − = ⇔ =
( ) ( ) ( ), 1 ,d x y y x x y x y x y d y x= − = − − = − − = − =
( ) ( ) ( ), , ,d x z z x z y y x z y y x d y z d x y= − = − + − ≤ − + − = +
Definición 1.5 Sea ( )1,...,n
nx x x x∈ =¡ definimos las siguientes tres normas:
1)
1
1
n
i
i
x x
=
= ∑
2)
1
2
2
2
1
n
i
i
x x
=
 
=  
 
∑

- 32 -
3)
{ }max : 1,...,ix x i n∞
= =
Todos son normas que inducen las respectivas distancias 1 2, ,d d d∞ con la igualdad.
( ),d x y y x= −
Ejemplo 1.7
[ ],a b£ es un £ espacio vectorial con las operaciones punto a punto o sea si
[ ] ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
, , definimos :f g a b f g x f x g x
f x f xλ λ
∈ + = +
=
£
entonces:
[ ] ( ){ },supx a bf f x∈=
es una norma en [ ],a b£ que induce la distancia habitual.
La misma vale en [ ] ( ) ( ),, , ,b ba b¡ ¡£ £ ¡ £ ¡
Sea 1
l el conjunto de las sucesiones complejas { }nx
1
¡l el conjunto de las sucesiones reales .
Tales que nx < ∞∑ (convergen)
1
l es un espacio vectorial con las operaciones
{ }
{ }
( )
( )
1
1
n
n nn
n
nn
x x
x y x y
y y
x xλ λ
λ
= ∈
+ = +
= ∈
=
∈
l
l
£
como
n n n nx y x y+ ≤ + < ∞∑ ∑ ∑
y
n nx xλ λ= < ∞∑ ∑
está bien definida
Y se define
nx x= ∑
que es una norma en 1
l
Ejemplo 1.8
Sea ∞
l el conjunto de las sucesiones complejas acotadas
∞
¡l el conjunto de las sucesiones reales acotadas
∞
l es un espacio vectorial sobre los complejos ( ∞
¡l sobre los reales) con las
operaciones definidas de la misma forma que en el ejemplo anterior

- 33 -
{ }
{ }
( )
( )
n
n nn
n
nn
x x
x y x y
y y
x xλ λ
λ
∞
∞
= ∈
+ = +
= ∈
=
∈
l
l
£
Definimos
{ }sup sin n nx x x x∈∞
= =¥
entonces si { } { }en nx x y y= =
n n n nx y x y x y∞ ∞
+ ≤ + ≤ +
como dicha igualdad se cumple para todo n, en particular se debe cumplir para el
supremo:
sup n nx y x y x y∞ ∞
⇒ + = + ≤ +
Lo que implica que es una norma.
Definición 1.6 Sea ( ),E d un espacio métrico, , 0x E ε∈ > llamamos bola abierta
de centro x y radio ε al siguiente conjunto:
( ) ( ){ }: ,B x y E d x yε ε= ∈ <
Que también anotamos ( ),B x ε
Ejemplo 1.9
En n
¡ ( )1l
B xε
( )2l
B xε
( )l
B xε
∞

- 34 -
Si tomamos las funciones continuas en [ ],a b , [ ] [ ], , ,C a b f C a b∈¡ ¡
( )( ) [ ] [ ] ( ) ( ){ },, : maxx a bB f x g C a b f x g xε ε∈= ∈ − <¡
f ε+
f
f ε−
a b
Si ( )( ) [ ] ( ) ( ),g B f x x a b f x g xε ε∈ ⇒ ∀ ∈ − < y el gráfico de g cae en la zona
rayada limitad por yf fε ε+ − .
Ejemplo 10
Espacio discreto Sea ( ),E d con la distancia discreta es el espacio que llamaremos
discreto, es decir:
( )
1 si
,
0 si
x y
d x y
x y
≠
= 
=
Sea ( ) ( ){ },2 : , 2B x y E d x y E= ∈ < =
( ), si 1B x Eε ε∴ = >
Sea ( ) ( ){ } { },1 : , 1B x y E d x y x= ∈ < =
( ) { }, si 1B x xε ε∴ = ≤
Es decir que las bolas son todo el espacio o los puntos.
Proposición 1.1 Dado una espacio métrico ( ),E d , , 0x E ε∈ > ,sea la bola ( ),B x ε .
Si ( ),y B x ε∈ entonces :
( ) ( )0 tal que , ,B y B xδ δ ε∃ > ⊂
Demostración
Sea ( ),d x yδ ε≤ − entonces
Si ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,z B y d x z d x y d y z
δ
δ
<
∈ ⇒ ≤ +
123
( ) ( ), ,d x z z B xε ε⇒ < ⇒ ∈
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,d x z d x y d x y d x yδ ε ε⇒ < + ≤ + − =
( ) ( ), ,B y B xδ ε∴ ⊂
y
x δ
ε

- 35 -
Definición 1.7 Dado un espacio métrico ( ),E d y un subconjunto ,F E F φ⊂ ≠
Entonces la restricción de ad F F× o sea:
| :F Fd F F× × → ¡
esto es una métrica que llamaremos métrica relativa
Observación 1.3
Si ( ), 0, sea ,F
x F B xε ε∈ > la bola con la métrica relativa y sea: ( ),E
B x ε la bola
con la métrica en E entonces:
( ) ( ), ,F E
B x B x Fε ε= I
Ya que:
( ) ( ){ } ( ){ } { }, : , : ,F
B x y F d x y y E d x y y Fε ε ε= ∈ < = ∈ < ∈I
Ejemplo 1.11
Así por ejemplo si en R con la métrica habitual [ )0,1F =
Si [ ) ( ) [ ) ( ) ( )1 1 1 1 1
2 2 2 2 20,1 0, 0, y 0, ,F
x B B∈ = = −¡
Entonces:
[ ) [ ) ( )1 1 1
2 2 20, 0,1 ,= −I
Definición 1.8 Sea ( ),E d un espacio métrico y A E⊂ no vacío, decimos que A es
un conjunto abierto si:
( )0 tal que ,x xx A B x Aε ε∀ ∈ ∃ > ⊂
En el caso que A es vacío lo definimos como abierto.
Corolario 1.2 Las bolas abiertas en un espacio métrico cualquiera son conjuntos
abiertos
Demostración Es consecuencia inmediata de la proposición anterior.
Ejemplo 1.12
En los espacios discretos todo conjunto A E⊂ es abierto ya que si x A∈ entonces:
( ) { },1B x x A= ⊂
Ejemplo 1.13
En [ ] [ ] ( ){ }0,1 0,1 : 0 0A f f= ∈ >¡ ¡£ £ si f A∈ tomando
( )0
0
2
f
ε = >
tenemos
( ) ( ), ya que si ,B f A g B fε ε⊂ ∈ ⇒ por definición que:
[ ] ( ) ( ){ } ( ) ( )0,1max (en particular) 0 0x f x g x f gε ε∈ − < ⇒ − <

- 36 -
o sea
( ) ( )0 0f gε ε− < − <
( ) ( )0 0f gε− <
y si tomamos
( ) ( )
( )
0 0
0 0
2 2
f f
g g Aε = ⇒ < < ⇒ ∈ por definición de A luego
( ),B f Aε ⊂
Proposición 1.3 Sea ( ),E d un espacio métrico entonces se cumplen las siguientes
propiedades:
1) yE φ son abiertos
2) Si { } I
Aα α∈
es una familia de subconjuntos abiertos de E entonces:
es abierto
I
Aα
α∈
⇒ U
3) Si 1 2, ,..., nA A A son una cantidad finita de subconjuntos abiertos de E entonces:
1
es abierto
n
k
k
A
=
I
Demostración
1) ( ), , 0 es abiertoB x E x E Eε ε⊂ ∀ ∈ > ⇒
es abierto por definiciónφ .
2) 00Si tal que
I
x A I x Aα α
α
α
∈
∈ ⇒ ∃ ∈ ∈U que es abierto, luego
( ) ( )0 0
0 tal que , como ,
I I
B x A A A B x Aα α α α
α α
ε ε ε
∈ ∈
∃ > ⊂ ⇒ ⊂ ⇒ ⊂U U o sea que
es abierto
I
Aα
α∈
U
3) ( )
1
Si con abierto 1,..., tal que ,
n
k k k k k k
k
x A x A A k n B x Aε ε
=
∈ ⇒ ∈ ∀ = ⇒ ∃ ⊂I sea
{ } ( ) ( )min : 1,..., , , 1,...,k k kk n B x B x A k nε ε ε ε= = ⇒ ⊂ ⊂ ∀ = ( )
1
,
n
k
k
B x Aε
=
⇒ ⊂ I
1
es abierto
n
k
k
A
=
∴I
Proposición 1.4 Sea ( ),E d un espacio métrico y A E⊂ no vacío entonces A es
abierto si y solo sí, es unión de bolas abiertas.

- 37 -
Demostración
⇐ ya vimos que la unión de bolas abiertas es un conjunto abierto.
⇒ Si A es abierto ( )si , xx A B x Aε⇒ ∈ ∃ ⊂ y nos tomamos:
( ), x
x A
B x Aε
∈
⊂U
además como si ( ) ( ), ,x x
x A
x A x B x x B xε ε
∈
∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ U
( ), x
x A
A B x ε
∈
⇒ ⊂ U
( ), x
x A
A B x ε
∈
∴ = U
es decir que
( )es abierto , x
x A
A A B x ε
∈
⇔ = U
Proposición 1.5 Sea ( ),E d un espacio métrico y un F E⊂ subconjunto, A F⊂ es
abierto con la métrica relativa ( abierto en F) si y solo sí A U F= I donde U es
abierto en E.
Demostración
Se sabe que ( ) ( ), , , 0F E
B x B x F x Fε ε ε= ∀ ∈ >I
Si A es abierto en F ( ),F
I
A B xα α
α
ε
∈
⇒ = U por teorema anterior
( )( ) ( )
abierto en
, ,E E
I I
U E
A B x F B x Fα α α α
α α
ε ε
∈ ∈
=
= =I I
1442443
U U
luego
con abierto enA U F U E= I
( )Si es abierto ,E
I
U E U B xα α
α
ε
∈
⇐ ⊂ ⇒ = ⇒U
( ) ( )( ) ( ), , ,E E F
I I I
A U F B x F B x F B xα α α α α α
α α α
ε ε ε
∈ ∈ ∈
= = = =I I IU U U que es abierto
en F.
Ejemplo 1.14
Sea E = ¡ con la métrica habitual
y [ ) ( )0,1 2,3F = U 0 1 2 3
[ )0,1A = es abierto en F ya que

- 38 -
( ){
abierto en
1,1
E
A F= − I
( )2,3 es abierto ya que
( ) ( ){
abierto en
2,3 2,3
E
F= I
Definición 1.9 Sea ( ),E d un espacio métrico y el subconjunto A E⊂ se dice que A
es cerrado si C
A es abierto ( C
A E A= ).
Ejemplo 1.15
Como en el ejemplo anterior [ )0,1 es abierto en F y su complemento que es ( )2,3 es
por definición es cerrado.
Al igual que el complemento de ( )2,3 que es [ )0,1 ambos son abiertos y cerrados es
decir abierto no es oposición de cerrado.
Proposición 1.6 Sean d1 y d2 dos métricas en E las siguientes afirmaciones son
equivalentes.
1) Todo abierto en ( )1,E d es abierto en ( )2,E d
2) Dados 0, existe 0 tal quex Eε δ> ∈ >
( ) ( )2 1
, ,d d
B x B xδ ε⊂
Demostración
1) ⇒ 2) ( )1
,d
B x ε es abierto con 1d ⇒ que es abierto con d2 ⇒ por definición de
abierto
( ) ( ) ( )1 2 1
Si , 0 tal que , ,d d d
x B x B x B xε δ δ ε∈ ⇒ ∃ > ⊂
como se quería.
2) ⇒ 1) Sea ( )1abierto en ,A E E d⊂ lo que quiere decir por definición que:
para cada elemento x de A 0 tal quexε∃ >
( )1
,d
aB x Aε ⊂
y además ya vimos que
( )1
,d
x
x A
A B x ε
∈
= U
entonces aplicando la hipótesis 2) para cada 0 tal quexx A δ∈ ∃ >
( ) ( )2 1
, ,d d
x xB x B xδ ε⊂
entonces
( ) ( )2 1
, ,d d
x x
x A x A
B B x B x Aδ ε
∈ ∈
⇒ ⊂ =U U
por otro lado

- 39 -
( ) ( )2 2
, ,d d
x x
x A
x A x B x A B xδ δ
∈
∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂ U
luego
( )2
,d
x
x A
A B x δ
∈
= U
lo que quiere decir que A es abierto en ( )2,E d .
Este teorema nos lleva a realizar las siguientes definiciones.
Definición 1.10 Dos métricas d1 y d2 en un mismo conjunto E decimos que son
métricas equivalentes si :
1 2es abierto en es abierto enA E d d⊂ ⇔
Ejemplo 1.16
Las métricas 1 2, yd d d∞ son equivalentes en 2
¡ ( )2
,d
B x ε
Demostración
2
Dado 0 tal que xε δ ε> ∃ = ∀ ∈¡ ( )1
,d
B x ε x
( ) ( )1 2
, ,d d
B x B xδ ε⊂
Ya que si
( ) ( )1
1
1 1 2 2
, ,d
y B x d x y
y x
y x y x
δ δ
δ
δ
∈ ⇒ <
− <
− + − <
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2y x y x y x y x y x y x ε− + − ≤ − + − = − + − < y
entonces
( ) ( ) ( )
1
22 2
2
2 1
1 1
, ,i i i i
i i
d x y y x y x d x y ε
= =
 
= − ≤ − = < 
 
∑ ∑
Luego
( ) ( ) ( )2 1 2
, , ,d d d
y B x B x B xε ε ε∈ ⇒ ⊂
Entonces por proposición anterior tenemos que:
Todo abierto en ( )2,E d es abierto en ( )1,E d ( )1
,d
B x ε
Y recíprocamente x
Dado 0, 0 tal que
2
n
x
ε
ε δ> ∈ = >¡ ( )2
,d
B x δ
( ) ( )2 1
, ,d d
B x B xδ ε⊂
ya que si ( ) ( )2
2, ,d
y B x d x yδ δ∈ ⇒ <

- 40 -
( ) ( ) ( )
2 2
2 1 1 2 2,
2
d x y y x y x
ε
δ= − + − < = entonces se prueba analíticamente que
( ) ( )1
1 1 2 2 1 , ,d
y x y x d x y y B xε ε ε− + − < ⇒ < ⇒ ∈ como queríamos demostrar.
Observando lo que probamos es que dado un cuadrado podemos encontrar una bola
dentro del mismo como en la figura
Luego los abiertos en ( )1,E d son abiertos en ( )2,E d 2
1 2 end d∴ : ¡ en n
¡ es
totalmente análogo.
Análogamente se demuestra que 2 1od d d d∞ ∞: : ya que se puede inscribe un
cuadrado en una circunferencia o en un cuadrado.
2d
B
d
B ∞
d
B ∞
1d
B
Ejemplo 1.17
Si E = ¢ y sea 1d la distancia relativa a la euclidea y 2d la métrica discreta.
{ } 2es abierto en conn d¢ ya que:
( ) { }2
, si 1d
B x xε ε= <
pero también es abierto con 1d ya que:
{ } ( )1 1
2 2
abierto en
,n n n= − +
¡
I ¢
1442443
Si { }y
a A
A A A aφ
∈
⊂ ≠ =¢ U es abierto por ser unión de abiertos.
Entonces los abiertos con 1d son todos los subconjuntos de ¢, y con 2d también.
Por la tanto 1 2, yd d son métricas equivalentes.
Ejemplo 1.18
Sean ( ) ( ), y ,E FE d F d dos espacios métricos y 1 2, yd d d∞ las métricas en E F×
dadas por:

- 41 -
( ) ( )[ ] ( ) ( )1 , , , , ,E Fd e f e f d e e d f f′ ′ ′ ′= +
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )
1
2 2 2
2 , , , , ,E Fd e f e f d e e d f f ′ ′ ′ ′= + 
( ) ( )[ ] ( ) ( ){ }, , , max , , ,E Fd e f e f d e e d f f∞
′ ′ ′ ′=
es fácil ver de que se trata de distancias métricas, vamos a probar de que son
equivalentes.
( ) ( )1
, ,d d
B e f B e fε ε
∞
⊂
ya que si E Fd d ε+ <
cada una es menor que ε y
( ) ( )2
, ,d d
B e f B e fε ε
∞
⊂
ya que si:
( )( ) ( )( )
1
2 2 2
, ,E Fd e e d f f ε ′ ′+ < 
( )( ) ( )( )2 2 2
, ,E Fd e e d f f ε′ ′⇒ + <
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2
2
2 2
, ,
cada uno es menor que
, ,
E E
F F
d e e d e e
d f f d f f
ε ε
ε
ε ε
 ′ ′< ⇒ <
⇒ ⇒ 
′ ′< ⇒ <
O sea que si 2d d
x B x Bε ε
∞
∈ ⇒ ∈
Por otro lado
( ) ( )1
2
, ,d d
B e f B e fε ε
∞
⊂ ya que si y
2E Fd d ε<
E Fd d ε⇒ + <
y
( ) ( )2
2
, ,d d
B e f B e fε ε
∞
⊂ ya que:
( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )
2 2
1
2
12 2 2 2
2 2
,
2
, ,
,
2
E
E F
F
d e e
d e e d f f
d f f ε ε
ε
ε ε
ε
< <
 ′ <
  
′ ′⇒ + < =  
′ <     
14243 1442443
Entonces 1, yd d∞ son equivalentes
y 2 , yd d∞ son equivalentes y por definición es transitiva 1 2, yd d son
equivalentes.
1d
B
d
B ∞
1d
B
d
B ∞

- 42 -
Ejemplo 1.19
Sean ( ),i iE d espacios métricos 1 21,..., y , yi n d d d∞∀ = las métricas en
1
n
i
i
E
=
∏
Dadas por :
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( )( )
( ) ( )[ ] ( ){ }
1 1 1
1
1
2
2
2 1 1
1
1 1
,..., , ,..., ,
,..., , ,..., ,
,..., , ,..., max , : 1,...,
n
n n i i i
i
n
n n i i i
i
n n i i i
d e e e e d e e
d e e e e d e e
d e e e e d e e i n
=
=
∞
′ ′ ′=
 
′ ′ ′=   
′ ′ ′= =
∑
∑
el razonamiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior solo modificamos
por y por
2 2n n
ε ε ε ε entonces:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
1 1
1 1
1 1
1 1
,..., ,...,
,..., ,...,
,..., ,...,
,..., ,...,
n
n
d d
n n
d d
n n
d d
n n
d d
n n
B e e B e e
B e e B e e
B e e B e e
B e e B e e
ε
ε
ε ε
ε ε
ε
ε
∞
∞
∞
∞
⊂
⊂
⊂
⊂
1
2
y son equivalentes
y son equivalentes
d d
d d
∞
∞

Capítulo 2
Espacios Topológicos
En este capítulo introduciremos el concepto de espacio topológico, rescatando de los
espacios métricos las propiedades básicas que estos cumplen. Es decir que se trata
de una abstracción de los mismos.
Definición 2.1 Sea X un conjunto no vacío. Una topología τ en X es una familia
incluida en las partes de X
( )es decir tal que:Xτ ⊂P
1) ,X φ τ∈
2) { }Si I
I
A Aα αα
α
τ τ∈
∈
∈ ⇒ ∈U
3) 1
1
Si ,...,
n
n i
i
A A Aτ τ
=
∈ ⇒ ∈I
A los miembros de τ llamamos abiertos
Al par formado por τ y X llamamos espacio topológico.
Ejemplo 2.1 Sea ( ),E d un espacio métrico, entonces { }: abierto end A A Eτ = dτ
es una topología por los propiedades que ya vimos se cumplen 1,2,3.
Además 1 2,d d son equivalentes si y solo sí:
1 2d dτ τ=
Decimos que las métricas equivalentes inducen las misma topologías.
Todo espacio métrico puede ser visto como un espacio topológico con la topología
inducida por la métrica.
No es casualidad que una métrica defina una topología ya que la idea es abstraer las
propiedades de los espacios métricos en espacios donde no hay definida una métrica,
tratamos de definir un abierto sin tener una distancia, por eso, si decimos que un
conjunto es abierto en realidad estamos queriendo decir que está en la topología.

- 44 -
Definición 2.2 Sea ( ),X τ un espacio topológico se dice que τ es metrizable si
existe una métrica d en X tal que:
dτ τ=
es una especie de recíproco del ejemplo 1 .
Ejemplo 2.2 Topología discreta
Dado ( )X Xτ =P es una topología y es un caso particular del ejemplo anterior
con la métrica d discreta.
Es decir se si 0d es la métrica discreta en X entonces:
( )0d Xτ =P
Ejemplo 2.3 Topología indiscreta
Sea ( ),X d un espacio seudométrico con d indiscreta entonces:
{ },d Xτ φ=
es una topología llamada indiscreta. Claramente no es metrizable porque no existe
una métrica asociada (seudemétrica si).
Ejemplo 2.4 Cofinito
Sea X φ≠ la topología τ definida como:
{ } { }C
: es finitoA X Aτ φ= ⊂ U
veremos que es una topología llamada de complementos finitos
1) , Xφ τ∈
2) Si { } I
A Iα α
τ α∈
∈ ∀ ∈ entonces:
C
C C
es finito por cada es finito
I I
A A Aα α α
α α∈ ∈
 
= 
 
U I
entonces:
I
Aα
α
τ
∈
∈U
3) Sean 1,..., nA A τ∈ entonces:
C
C
1 =1
n n
i i
i i
A A
=
 
= 
 
I U
que es finito por ser unión de una cantidad finito “n” de conjuntos finitos C
iA
Luego:
1
n
i
i
A τ
=
∈I
Además se en vez de finito ponemos numerable sigue siendo una topología

Topología General Espacios Topológicos - 45 -
- 45 -
Ejemplo 2.5
En ¢ definimos:
{ }: 2 2 1A n A n A nτ = ⊂ ∈ ⇔ − ∈ ∀ ∈¢ ¢
τ es una topología ya que:
Si { } yA nα τ∈ ∈¢
0
0
0Si 2 2 para algún
2 1 2 1
I
I
n A n A
n A n A
α α
α
α α
α
α
∈
∈
∈ ⇔ ∈
⇔ − ∈ ⇔ − ∈
U
U
idem con la intersección
La forma de los abiertos de { } { } { } { } { }son 1,2 , 1,2,3,4 ,..., 3,4 , 3,4,5,6 ,..., 5,6 ,..τ etc.
Cada vez que un par pertenece al conjunto el anterior también y cada vez que un
impar pertenece al conjunto su siguiente también, así { }5,6,11,12 es un abierto.
Ejemplo 2.6
En ¡ definimos:
{ } { }:0A Aτ φ= ⊂ ∈U ¡
también es una topología.
Definición 2.3 Sea ( ),X τ un espacio topológico e Y X⊂ llamamos topología
relativa en Y a:
{ }:Y U Y Uτ τ= ∈I
Sea { } YI
U U Y Iα αα
τ τ α∈
∈ ⇒ ∈ ∀ ∈I entonces:
( )
por ser una popología
Y
I I
U Y U Yα α
α α
τ τ
τ
∈ ∈
∈
 
= ∈ 
 
I I
14243
U U
ídem con la intersección es un topología.Yτ⇒
Definición 2.4 Sea ( ),X τ un espacio topológica y x X N X∈ ⊂ es un entorno de
x si existe un abierto U τ∈ tal que:
x U N∈ ⊂
Sea xN la familia de entornos de x es decir:
{ }: es entorno dexN N X N x= ⊂
Ejemplo 2.7
Si ( ),E d es un espacio métrico, x E∈ entonces N E∈ es un entorno de x si y solo
sí :

- 46 -
( )0 tal que ,B x Nε ε∃ > ⊂
Demostración
( )Se toma ,A B x ε⇐ =
Si por definición existe un abierto tal quexN N U x U N⇒ ∈ ∈ ⊂
Como U es abierto en un espacio métrico por definición 0 tal que:ε⇒ ∃ >
( ) ( ), ,B x U B x Nε ε⊂ ⇒ ⊂
Ejemplo 2.8
Sea ( ),X τ el espacio topológico discreto
xN N x N∈ ⇔ ∈
Ejemplo 2.9
Sea ( ),X τ espacio topológico indiscreto, los abiertos ya vimos que son y todo Xφ
entonces:
{ }xN x=
Ejemplo 2.10
Sea ( ),τ¢ con { }: 2 2 1A n A n Aτ = ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢
{ }
{ }
{ }{ }2
2
2
1,2
: 1,2
1,2,3
N
N A A
N
∈ 
⇒ = ⊂ ⊂
∈ 
¢
Ejemplo 2.11
Sea ( ),X τ con τ topología de complementos finitos.
Sean x X∈ entonces:
si existe tal quexN N U x U Nτ∈ ⇒ ∈ ∈ ⊂
entonces {
C C C
finito
es finitoN U N N τ⊂ ⇒ ⇒ ∈ es decir:
{ }:xN U x Uτ= ∈ ∈
Proposición 2.1 Sea ( ),X τ es un espacio topológico, x X∈ entonces:
1) yx xN N N M M N∈ ⊂ ⇒ ∈
2) Si , x xN M N N M N∈ ⇒ ∈I
3) xN φ≠
4) es abierto xU X U N x U⊂ ⇔ ∈ ∀ ∈ es decir si U es entorno de todos sus
puntos.

- 47 -
Demostración
1) Si tal quexN N U x U Nτ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂
y como xN M x U M M N⊂ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈
2) Sean , tal que:N MU U
N
N M
M
x U N
x U U N M
x U M
∈ ⊂ 
⇒ ∈ ⊂
∈ ⊂ 
I I
y como N M xU U N M Nτ∈ ⇒ ∈I I
3) x xX N x X N∈ ∀ ∈ ⇒ ≠ ?
4) ⇒ Si U es abierto y para todo x U x U U∈ ⇒ ∈ ⊂
xU N⇒ ∈
⇐ Si para todo que para cada existe tal que:x xU N x U x U U τ∈ ∈ ⇒ ∈ ∈
x x
x U
x U U U U
∈
∈ ⊂ ⇒ ⊂U
pero como x x x
x U x U
x U x U x U U U
∈ ∈
∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂U U
x
x U
U U
∈
∴ = U
y como x x
x U
U Uτ τ
∈
∈ ⇒ ∈U por propiedad 2 de la definición de topología y luego
(es abierto)U τ∈
Observación 2.1 De la definición de entorno y de la propiedad anterior podemos
tenemos:
A es abierto tal quex A U x U Aτ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂
Es decir que un conjunto es abierto si para todo punto de él se puede encontrar un
elemento de la topología incluido en él.
Si sustituimos elemento de la topología por bolas es la misma propiedad que
teníamos para espacios métricos. Lo que era de esperar ya que los elementos de la
topología en el caso de espacios métricos son las bolas.
Definición 2.5 Sea ( ),X τ un espacio topológico, A X⊂ . Se dice que x A∈ es un
punto interior a A, si A es entorno del punto, es decir xA N∈ .
Y llamaremos interior de A al conjunto de los puntos interiores de A
{ }: es interior deA x X x A= ∈o
Observación 2.2 De la misma definición se desprende que.

- 48 -
A A⊂o
Proposición 2.2 Dado ( ),X τ espacio topológico y ,A B X⊂ dos conjuntos con
A B⊂ entonces:
A B⊂o o
Demostración
Que x A∈ o
implica que A es entorno de x y por definición de entorno:
tal queU x U Aτ∃ ∈ ∈ ⊂
y como A B⊂ se tiene:
tal queU x U Bτ∃ ∈ ∈ ⊂
luego B es entorno de x y eso implica que x es interior a B A B⇒ ⊂o o
Proposición 2.3 Sea ( ),X τ en espacio topológico A X⊂ Entonces si A es abierto
se tiene que A A= o
.
Demostración Por definición sabemos que se cumple A A⊂o
. Para probar la otra
inclusión
Si x A∈ como A es abierto, es entorno de todos sus puntos es decir xA N∈ lo que
implica por definición que x A∈ o
luego
A A⊂ o
y se da la igualdad.
Proposición 2.4 Sea ( ),X τ en espacio topológico A X⊂ Entonces Ao
es el mayor
abierto contenido en A.
Demostración Primero probaremos que Ao
es abierto, para ello probaremos que es
entorno de todos sus puntos.
Sea por definición tal que:xx A A N U τ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈o
x U A∈ ⊂
Pero esto no alcanza trataremos de ver que U A⊂ o
y para ello:
Si por definiciónyy U y U A A N y A∈ ⇒ ∈ ⊂ ⇒ ∈ ⇒ ∈ o
luego:
U A⊂ o
es decir que tal que:U τ∃ ∈

- 49 -
xx U A A N∈ ⊂ ⇒ ∈o o
Esto mismo se tiene para todo punto de Ao
entonces por proposición 2.1 – 4) Ao
es
abierto.
Para probar de que es el mayor probamos que cualquier otro abierto incluido en A
está contenido en Ao
Sea entonces por proposición 2.2B A B A⊂ ⇒ ⊂o o
y como B es abierto se tiene
por proposición 2.3 B B= o
luego:
B A⊂ o
Observación 2.2 Uniendo las proposiciones 2.2 y 2.3 se tiene que:
es abiertoA A A⇔ = o
Ejemplo 2.12
Sea ( ) { } { }, : 0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ U
si 0
Dado
si 0 A
A A
A A
φ
∈
⊂ = 
∉
o
¡
Definición 2.6 Dado ( ),X τ espacio topológico decimos que es T0 si se verifica que
si dados x yx y N N≠ ⇒ ≠
Ejemplo 2.13
Sea ( ) { } { }, con : 2 2 1A n A n Aτ τ φ= ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢ ¢ U
{ }{ }
{ }{ }
2
1
: 1,2
: 1,2
N A A
N A A
= ⊂ ⊂
= ⊂ ⊂
¢
¢
Luego 1 2N N= pero 1 2≠ ⇒ que no es 0T
Proposición 2.5 Un espacio topológico ( ),X τ es 0T si y solo sí dados x y≠ existe
xN N∈ tal que y N∉ o existe:
yM N∈ tal que x M∉
N x y
Demostración
0
tal quesi
por definición es
tal que
x y
x y
y x
N N y N N N
N N T
M N x M M N
∃ ∈ ∉ ⇒ ∉ ⇒ 
⇒ ≠
∃ ∈ ∉ ⇒ ∉ 

- 50 -
0Si es x yX T x y N N⇒ ≠ ⇒ ≠ entonces puede suceder al menos una de las
siguientes posibilidades:
1) tal quex yN N N N∃ ∈ ∉ ⇒ por ser N entorno
tal que siU x U N y U y U Nτ∃ ∈ ∈ ⊂ ∈ ⇒ ∈ ⊂
Y entonces yN N∈ lo cual es absurdo o sea que y U∉ y como U es abierto es
entorno de todos sus puntos o sea encontramos un tal quexU N y U∈ ∉ .
2) tal que al igual que lo anterior tal quey x yM N M N V N x V∃ ∈ ∉ ⇒ ∃ ∈ ∉ .
Ejemplo 2.14
Dado el espacio topológico ( ) { } { }, con :0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ U
Sean dos puntos x y≠ cualesquiera distintos en principio de cero.
{ }entonces 0,x y x τ≠ ∈ ⇒ que es entorno de todos sus puntos en particular de x o
sea que { }0, xx N∈ donde { }0,y x∉ .
Ahora si uno de ellos es el cero. Sea 0x = entonces claramente { }0 τ∈ o sea :
{ } { }00 0N y∈ ∉
Luego este espacio topológico es 0T .
A pesar de que todos los entornos de y contienen al cero es decir al cero lo podemos
separar del y por entornos pero no al y del cero.
Nuestro próximo axioma de separación contemplará que tanto unos como otros son
separables por entornos.
Definición 2.7 Dado un espacio topológico decimos que es T1 si se verifica que:
{ }
xN N
N x
∈
=I
Proposición 2.6 Dado el espacio topológico ( ),X τ este es 1T si y solo sí, dados
x y≠ cualesquiera existen N y M con:
tales que
tales que
x
y
N N y N
M N x M
∈ ∉
∈ ∉
x y
Demostración
( )Si ,X τ⇒ es un espacio topológico 1,T x y≠ entonces por definición
{ } y como
x xN N N N
N x x y y N
∈ ∈
= ≠ ⇒ ∉I I
lo que significa que:
tal quexN N y N∃ ∈ ∉

- 51 -
⇐ Si tal quexN N y N∃ ∈ ∉ esto implica:
{ }
x x
y x
N N N N
y N x N
∀ ≠
∈ ∈
∉ ⇒ =I I
Corolario 2.7 Dado un espacio topológico ( ) 1 0, si es esX T Tτ ⇒
Demostración La proposición 2.6 implica la proposición 2.5 que es más débil y por
lo tanto se cumple que es 0T
Ejemplo 2.15
Sea ( ) { } { }, con :0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ U como
{ } 10, si 0 no es
xN N
N x x T
∈
= ≠I
Ejemplo 2.16
Sea X con la topología de complemento finito.
Dados dos puntos { } { }
C C
y exx y N y y≠ ∈ ∉ luego 1esX T .
Definición 2.8 Dado el espacio topológico ( ),X τ decimos que es T2 (o de
Hausdorff ) si dados existen:x y≠
, tales quex yN N M N N M φ∈ ∈ =I
N M
x y
Observación 2.3 Todo espacio topológico que es 2 1T T⇒
Claramente por definición.
Ejemplo 2.18
Sea X infinito con la topología de complemento finito.
Si , tal queA B A Bτ φ∈ =I con A y B no vacíos entonces:
{ {
C C
finito finito
sería finitoX A B X= ⇒U
con esta topología no tenemos abiertos disjuntos, y como:
{ }:xN A x Aτ= ∈ ∈
Si , tales quex yA N B N A B φ∈ ∈ =I serían dos abiertos no vacíos disjuntos que
ya vimos que en esta topología no los hay 2 1no es aunque síX T T⇒ como ya
vimos.
Ejemplo 2.19
Todo espacio métrico es de Hausdorff.

- 52 -
Demostración
Si ( )
1
Sea ,
2
x y d x yε≠ <
Entonces :
( ) ( ), ,B x B yε ε φ=I
Ya que si existiera z tal que:
( ) ( ), ,z B x B yε ε∈ I
se tendría:
( ) ( ) ( ) ( ), , , 2 ,d x y d x z d z y d x yε≤ + < <
Definición 2.9 Dado ( ),X τ espacio topológico decimos que x es adherente a un
subconjunto A de X si todo entorno de x contiene puntos de A.
Es decir que x es adherente a A xN N N A φ⇒ ∀ ∈ ≠I
Definición 2.10 Dado un espacio topológico ( ), ,X A Xτ ⊂ , la clausura de A es el
conjunto de todos los puntos adherentes a A.
{ }: esxA x X N N N A φ= ∈ ∀ ∈ ≠I
además decimos que A es cerrado si y solo sí A A=
Proposición 2.8 A A⊂
Demostración
Si xx A N N x N A x A∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈I luego:
A A⊂
uniendo esto con A A⊂o
tenemos:
A A A⊂ ⊂o
Proposición 2.9 Si A B A B⊂ ⇒ ⊂
Demostración
Si xx A N N N A φ∈ ⇒ ∀ ∈ ≠I y como A B⊂ se tiene:
xN B N N x Bφ≠ ∀ ∈ ⇒ ∈I
o sea
A B⊂
x d y

- 53 -
Ejemplo 2.20
Sea ( ) { } { }, donde :0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ U A
{ } { }Si 1 1A A= ⇒ = ya que:
si { }1 0,x x A φ≠ =I 0
Sea { }0A A= = ¡
En general en esta topología para un subconjunto A cualquiera tenemos:
si 0
si 0
A
A
A A
∈
= 
∉
¡
Ejemplo 2.21
Sea ( ),E d un espacio métrico definimos bola cerrada, y anotamos ( ),B x ε−
de
centro x y radio ε como:
( ) ( ){ }, : ,B x y E d x yε ε−
= ∈ ≤
probaremos que es cerrada es decir:
( ) ( ), ,B x B xε ε− −
=
Demostración
Tenemos que la inclusión ( ) ( ), ,B x B xε ε− −
⊂ se cumple siempre.
Para probar la otra inclusión
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
CC
, , probaremos , ,B x B x B x B xε ε ε ε− − − −
⊂ ⊂
Sea ( ) ( ), ,y B x d x yε ε−
∉ ⇒ >
( )0 tal que ,d x yδ δ ε∃ > < − ver figura
Si ( ) ( ), ,z B x B yε δ−
∈ I entonces:
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,d x y d x z d z y d x y
ε δ
ε δ
≤ <
≤ + < + <
123 123
luego
( ) ( ), ,d x y d x y<
O sea que:
( ) ( ) ( ), tal que , ,yB y N B y B xδ δ ε−
∈ =I ? lo que significa que ( ),y B x ε−
∉
( ) ( )
CC
, ,B x B xε ε− − ∴ ⊂    
como queríamos probar.
x
δ
ε y

- 54 -
Proposición 2.10 Sea ( ),X τ espacio topológico A X⊂ .Entonces A es cerrado si y
solo sí el complemento es abierto:
C
es cerrado es abiertoA A⇔
Demostración
⇒ Si A es cerrado A A⇒ =
Sea C
tal queyy A y A A N N∈ ⇒ ∉ = ⇒ ∃ ∈
C
N A N Aφ= ⇒ ⊂I
y por definición de entorno:
C
tal queU y U N Aτ∃ ∈ ∈ ⊂ ⊂
Es decir que
C C
tal quey A U y U Aτ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂
por observación 2.1 C
A es abierto.
Recíprocamente:
C
A⇐ es abierto aplicando otra vez la observación 2.1
C C
tal quey A U y U Aτ∀ ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂ y como U es abierto es entorno de todos sus
puntos yyU N A U φ⇒ ∈ =I luego
( )
C
y A y A A A∉ ⇒ ∈ ⇒ ⊂
Como la otra inclusión se cumple siempre.
A A∴ =
Corolario 2.11 Sea ( ),X τ un espacio topológico entonces se cumplen:
1) ,X φ son cerrados
2) Sea { } I
Aα α∈
una familia de cerrados
I
Aα
α∈
⇒ I es cerrado.
3) Sean 1,..., nA A cerrados
1
n
i
i
A
=
⇒ U es cerrado.
Demostración
Todas se demuestran en forma análoga usando las leyes de Morgan y la proposición
anterior, veamos a modo de ejemplo la 2)
Como cada C C
es cerrado es abierto es abierto
I
A A Aα α α
α∈
⇒ ⇒ U luego:
C
C
I
es abierto
I
A Aα α
α α∈ ∈
 
= 
 
I U

- 55 -
entonces.
es cerrado
I
Aα
α∈
I
Proposición 2.12 Dado un espacio topológico ( ),X τ , es 1T si y solo sí :
{ }x es cerrado x X∀ ∈
Demostración
⇒ Sea ( ),X τ espacio topológico 1T entonces por definición dado y X∈ :
{ }
yN N
N y
∈
=I
lo que significa si
yN N
x y x N
∈
∀ ≠ ∉ ⇒I
tal queyN N x N∃ ∈ ∉
entonces:
{ } { }N x y xφ= ⇒ ∉I
Como esto es válido para cada y de X se tiene:
{ } { }x x=
e { }x es cerrado x y∀ ≠ pero como el y es arbitrario en realidad se tiene x X∀ ∈
Recíprocamente:
{ } { }Dado , con si , son cerradosx y X x y x y⇐ ∈ ≠ { } { }
C C
,x y⇒ son abiertos
entonces { }C
como y x y x≠ ⇒ ∈ que por ser abierto es entorno de todos sus
puntos
{ } { }C C
yyx N x x⇒ ∈ ∉
análogamente
{ }
C
como x y x y≠ ∈ que por ser abierto { }
C
xy N∈ e { }
C
y y∉
Luego por proposición 2.6 ( ) 1, esX Tτ .
Lema 2.13 a)Dado ( ),X τ espacio topológico y A X⊂ entonces:
( ) ( )
C C
A A=
o
Demostración
Sea ( )
}por definición
C
tal quexx A x A N N N A φ∈ ⇒ ∉ ⇒ ∃ ∈ =I lo que significa que:

- 56 -
C
N A⊂
C
tal queU x U N Aτ∃ ∈ ∈ ⊂ ⊂
luego:
C
xA N∈
entonces por definición de punto interior:
( )C
x A∈
o
Recíprocamente:
Si ( ) {
C C
por definición
xx A A N∈ ⇒ ∈
o
C
tal queV x V Aτ∃ ∈ ∈ ⊂
entonces por un lado A V φ=I y por otro lado como V es abierto es entorno de
todos sus puntos en particular de x. O sea:
tal quexV N A V φ∃ ∈ =I
Luego
( )
C
x A x A∉ ⇒ ∈
Como queríamos probar.
Análogamente se prueba que
Lema 2.13 b)
( ) ( )
C C
A A=o
Proposición 2.14 Sea ( ),X τ un espacio topológico, A X⊂ . Entonces A es el
menor cerrado que contiene a A.
Demostración
Primero que nada A es cerrado ya que por la proposición anterior:
( ) ( )
C C
A A=
o
y como ya vimos que el interior de un conjunto es abierto (proposición 2.4) entonces
( )
C
es abierto es cerradoA A⇒ .
Sea ahora B X⊂ un conjunto cerrado cualquiera que contenga a A.
Entonces como { {
cerradoprop. 2.6
A B A B B⊂ ⇒ ⊂ = luego:
A B⊂
es decir que la clausura de A es el menor cerrado que contiene a A.

- 57 -
Corolario2.15 Sea ( ),X τ un espacio topológico, y A X⊂ entonces:
1) ( )A A=
oo o
2) ( )A A=
Demostración.
1) Ya demostramos que el interior de un conjunto es abierto y si es abierto que es
igual a su interior.
( )abiertoA A A⇒ =
oo o o
2) También ya demostramos que la clausura de un conjunto es cerrado entonces:
{ ( )
def.
cerradoA A A⇒ =
Ejemplo 2.22
Sea ( ),X τ espacio topológico como X τ∈ ⇒ es abierto ( )X X⇒ =
o
Y como ( )es abiertoφ τ φ φ∈ ⇒ =
o
Por otro lado como es cerradoC
X = ⇒ ⇒ =? ? ?
Y C
es cerradoX X Xφ = ⇒ ⇒ =
La clausura y el interior son invariantes para eX φ
Definición 2.11 Sea ( ),X τ un espacio topológico, y A X⊂ decimos que x X∈ es
un punto de acumulación de A si y solo sí:
{ }( )xN N A N x φ∀ ∈ ≠I
llamamos conjunto derivado al conjunto de puntos de acumulación.
{ }: es de acumulación deA x X x A′ = ∈
claramente por definición
A A′ ⊂
Definición 2.12 Si ( ),X τ es un espacio topológico, A X⊂ decimos que x X∈ es
un punto aislado si no es punto de acumulación.
Definición 2.13 Si ( ),X τ es un espacio topológico, A X⊂ llamamos frontera de A
al conjunto Aδ como:
C
A A Aδ = I
de la definición sacamos que un punto x Aδ∈ si se cumplen:

- 58 -
C C
x
x
x A N N N A
x A N N N A
φ
φ
 ∈ ⇒ ∀ ∈ ≠
⇒ 
∈ ⇒ ∀ ∈ ≠
I
I
Es decir que un punto pertenece a la frontera si para todo entorno del punto este
corta tanto al conjunto como al complemento.
Ejemplo 2.23
Sea ( ) { } { }, con :0X A Aτ τ φ= ⊂ ∈U ¡
si 0
si 0
A
A
A A
∈
= 
∉
¡
Sea 0 A∈ { } { } { } { }00 0 pero 0 0Nτ∈ ⇒ ∈ =? 0 no es punto de acumulación.
Si y 0 tal quexx x N N U x U Nτ∈ ≠ ∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂¡ pero si U es abierto
implica si no es vacío que contiene al cero { }0 0 xN N x N N⇒ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈
{ }{ }como 0 A A N x φ∈ ⇒ ≠I
x es de acumulación.
Si 0 A∈ veamos cual es la frontera:
{
C C C
A A A A Aδ
=
= = =
¡
I ¡ I
y si 0 A∉
C
A A A A Aδ = = =I I ¡
Definición 2.14 Dado ( ),X τ un espacio topológico se dice que Y X⊂ es denso en X
si:
Y X=
Definición 2.15 Dado ( ),X τ un espacio topológico se dice que X es separable si
tiene un subconjunto Y denso numerable
tal que con es numerable.Y X Y X Y⊂ =
Proposición 2.16 Dado ( ),X τ espacio topológico, Y X⊂ es denso si y solo sí:
Para cada ,U U se cumple U Yτ φ φ∈ ≠ ≠I
Demostración
Si e denso, sea ,Y X Y U Uτ φ⇒ ⊂ ∈ ≠
Como U es abierto es entorno de todos sus puntos o sea:

- 59 -
y comoxx U U N Y X x Y∀ ∈ ⇒ ∈ = ⇒ ∈ lo que significa por definición:
xN N N Y φ∀ ∈ ≠I
y en particular
xU N U Y φ∈ ≠I
Recíprocamente:
Si y por definición tal quexx X N N U x U Nτ⇐ ∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂
y por hipótesis como U τ∈ se tiene
U Y N Yφ φ≠ ⇒ ≠I I
por definición
Si esxN N N Y x Yφ∈ ≠ ⇒ ∈I
luego
es denso enx Y Y X Y X∈ = ⇒
Ejemplo 2.24
El conjunto de los racionales ¤ es denso en ⇒¡ ¡ es separable
Ejemplo 2.25
Sea ( ),X τ con X no numerable yτ la topología discreta entonces X es no separable
ya que si consideramos que existe un subconjunto denso A X⊂ entonces:
U U Aτ φ∀ ∈ ≠I
y en particular
{ } { }como x X x x A x Aτ φ∀ ∈ ∈ ⇒ ≠ ⇒ ∈I
X A X A⊂ ⇒ =
es decir que el único conjunto denso es el propio X que por definición es no
numerable luego X es no separable.
Ejemplo 2.26
En la topología { } { }:0A Aτ φ= ⊂ ∈¡ U se tiene que
{ } ( )0 es denso , es separableτ⇒ ¡
Ejemplo 2.27
Sea ( ) { }, con : 2 2 1A n A n Aτ τ = ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢ ¢
Sean imparares paresI P= = como:
y que es densoI P= = ⇒¢ ¢
tanto I como P son densos por lo que ¢ es separable.

- 60 -
Ejemplo 2.28
Sea ( ),X τ con X infinito y τ la topología de complemento finito.
Cualquier subconjunto infinito de X cumple:
infinito densoY X Y X X⊂ = ⇒
ya que si consideramos que:
C C
tal que es infinito, peroU U Y Y U U Uτ φ τ∈ = ⇒ ⊂ ⇒ ⇒ ∉I
luego
U U Yτ φ∀ ∈ ≠I
por la proposición 2.16 Y es denso en X.
Ejemplo 2.29
Definición 2.16 Dado ( ),X τ espacio topológico decimos que τ⊂B es una base
de τ si todo abierto no vacío es unión de miembros de B.
Dicha definición e equivalente a decir que B es base de la topología si se cumplen:
1) B B τ∀ ∈ ⇒ ∈B
2) Dado tal quex xx U B x B Uτ∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂B
La primer condición es obvia y la segunda si se cumple tenemos:
Si x
x U
U U Bτ
∈
∈ ⇒ = U
es decir es unión de elementos de B. Y recíprocamente todo abierto es unión de
elementos de B es decir:
Si tal que además este 2)
B
B
U B
x U x B B x B B U
∈
∈
= ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂ ⇒
U
U
B
B
B
Ejemplo 2.32
En un espacio métrico la bolas abiertas es una base porque ya vimos que todo
abierto es igual a la unión de bolas abiertas.
Ejemplo 2.33
Sea ( ),X τ con la topología discreta.
{ }{ }:x x X= ∈B
es una base
Ejemplo 2.34
( ) { } { }, con :0A Aτ τ φ= ⊂ ∈¡ ¡ U

- 61 -
{ }{ }0, :x x= ∈¡B
es una base ya que si A es abierto
{ }0,
x A
A x
∈
= U
Proposición 2.17 Sea X un conjunto no vacío ( )X⊂B P existe una topología τ en
X para la cual B es una base si y solo sí se cumplen:
1)
A
A X
∈
=UB
2) Si , , tal quexA B x A B C∈ ∈ ⇒ ∃ ∈IB B
xx C A B∈ ⊂ I
Demostración
⇒Si B es una base de τ , entonces como X es abierto implica de que es unión de
elementos de B
A
X A
∈
= UB
Para probar la segunda propiedad sean , conA B x A B∈ ∈ IB como A y B son
abiertos también lo es A BI entonces:
0si tal que
B
A B B x A B
α
α α
∈
= ∈ ⇒ ∃I IUB
0 0 0
luego o sea xx B x B A B C Bα α α∈ ∈ ⊂ = ∈I B
⇐ recíprocamente: Si B verifica 1) y 2). Construiremos una topología de la que B
es base. Sea entonces τ la familia de conjuntos que son unión de miembros de B.
{ } { }:B Bα ατ φ= ∈ UU B
probaremos primero que τ es una topología.
1) {
por hip.
y ,
B
X B Xφ τ φ τ
∈
∈ = ⇒ ∈UB
2) Si Aα τ∈ la unión de conjuntos de τ también está en τ por ser unión de uniones
de elementos de B.
3) Sean ,
A B
A B A A B B
α β
α βτ
∈ ∈
∈ ⇒ = =U UB B
entonces:
( )A B A B A Bα β α β= =I I IU U U
Si x x
x A B x A Bα β∈ ⇒ ∈I I para algún ,x xα β y existe xC ∈B tal que:
x xxx C A Bα β∈ ⊂ I
consideremos
x
x A B
C τ
∈
∈
I
U

- 62 -
( )x xx
x A B
A B C A B A Bα β
∈
⊂ ⊂ ⊂
I
I I IU U
x
x A B
A B C A B τ
∈
∴ = ⇒ ∈
I
I IU
entonces τ es una topología de la que B es base por construcción
Corolario 2.18 Sea B un recubrimiento de un conjunto X cerrado por
intersecciones finitas entonces existe una única topología τ sobre X respecto de la
cual B es una base.
Demostración Por ser un recubrimiento se cumple la condición 1) de la proposición
anterior. Y por ser cerrado por intersecciones finitas se cumple la condición 2).
Luego solo es una formulación diferente (más débil) de la proposición anterior.
Dicha topología es única por la condición 2 de ser base.
Definición 2.17 Si ( ),X τ es un espacio topológico, S τ⊂ decimos que es una
subbase de τ si:
{ } { }1 2 ... : ,n iA A A A S n φ= ∈ ∈I I I ¥ UB
es una base.
Proposición 2.19 Si X es un conjunto no vacío, ( )S X⊂P ,S es una subbase de una
topología si y solo sí:
A S
A X
∈
=U
Se dice que τ es la topología generada por S
Demostración
⇒ Por ser S subbase { }1 ... : , 1,...,n iA A A S i n⇒ = ∈ ∀ =I IB entonces si
1 ... n iB B A A B A∈ ⇒ = ⇒ ⊂I IB por lo menos para algún i
B A S A S
X B A X A
∈ ∈ ∈
= ⊂ ⇒ =U U UB
⇐ Hay que probar que { }1 2 ... :n iA A A A S= ∈I I IB es una base de τ o sea
probaremos las propiedades 1 y 2 de la proposición anterior.
1) ya quei i i iA A A A i∈ = ∀ ⇒IB S ⊂B además:
por hipótesis
A S A
X A A
∈ ∈
= ⊂U UB
2) Si yA B∈ ⇒B

- 63 -
1 2
1 2
1 1
... con 1,...,
... con 1,...,
.... ... por definición
n i
m i
n m
A A A A A S i n
B B B B B S i m
A B A A B B
= ∈ ∀ =
= ∈ ∀ =
= ∈
I I I
I I I
I I I I I I B
entonces B es una base y S una subbase
Definición 2.18 Si yτ σ son dos topologías en X se dice que τ es más fina que σ
si
σ τ⊂
Proposición 2.20 Si X es un conjunto no vacío, ( )S X⊂P tal que:
A S
A X
∈
=U
la topología τ generada por S en X es la menos fina en X que contiene a S.
Demostración
Supongamos que σ es una topología en X y S σ⊂ entonces:
1 2 1 2Si , ,..., ...n nA A A S A A A σ∈ ⇒ ∈I I I La intersección finita de abiertos es
también un abierto. Como además la unión de elementos de σ está en σ entonces
por definición de τ
τ σ⊂
Definición 2.19 Sea ( ),X τ un espacio topológico decimos que verifica el segundo
axioma de numerabilidad si tiene una base numerable.
Para abreviar decimos que es N2
Ejemplo 2.35 Sea X no numerable con la topología de complemento finito veremos
que no es N2
Supongamos que { }n n
B ∈¥
es una base entonces:
C
C
n n
n n
B B
∈ ∈
 
= 
 ¥ ¥
I U
pero como los nB son abiertos C
nB⇒ es finito y como la unión numerable de
numerables (finitos) es numerable
C
C
es numerablen n
n n
B B X
∈ ∈
 
⇒ ⇒ ≠ 
 ¥ ¥
U I

- 64 -
ya que X es no numerable n
n
B φ
∈
⇒ ≠
¥
I entonces n n
n
x B x B n
∈
∃ ∈ ⇒ ∈ ∀ ∈
¥
¥I por
otro lado el conjunto { }
C
x es abierto (por tener complemento finito que es el { }x )
pero este abierto no se puede escribir como uniones de los elementos de la base ya
que si fuera así.
{ }
{ }
{ }
{ }
C
C
pero tenemosk
k k
k
k
n
n k n
n
n
x x
x B x B n x B
⊂
⊂
 ∉ 
= ⇒ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈
 
¥
¥
¥U U
Proposición 2.21 Si ( ),X τ es un espacio topológico N2 entonces es separable.
Demostración
Sea { }n n
B ∈¥
una base numerable
Construiremos un conjunto denso numerable para ello tomamos un elemento de
cada abierto de la base, y ese conjunto que es numerable resultará que es denso.
Sea { } conn n nx x B n∈ ∀ ∈¥ Tomemos un abierto U no vacío por ser { }n n
B ∈¥
una
base se puede escribir:
{ }
k
k
n
n
U B
⊂
=
¥
U
y como { }se tiene que k k kk n n n n n
n x B x U x ∈
∀ ∈ ∈ ⇒ ∈ ¥
¥ I entonces
{ } { } es denson nn n
U x xφ∈ ∈
≠ ⇒¥ ¥
I
y esto significa que X es separable.
No vale el recíproco en general, como veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.36
Sea X no numerable con la topología de complemento finito, ya vimos que es
separable (ejemplo 2.28 ) y que no es N2 (ejemplo 2.35)
Pero en espacios métricos sí vale el recíproco como veremos en la siguiente
proposición.
Proposición 2.22 Si ( ),E d es un espacio métrico separable, entonces es N2
Demostración
Por hipótesis existe un subconjunto { }n n
x ∈¥
denso en E tomemos:
( ){ }1, : ,mnB x n m= ∈ ¥B

- 65 -
es claro que B es numerable. Probaremos de que es una base.
Sea entonces A E∈ un abierto no vacío. Por ser abierto en un espacio métrico
implica que si ( )0 tal que ,x A B x Aε ε∈ ⇒ ∃ > ⊂ ahora consideremos xm tal que:
( )1 1
y tal que ,
2 k kn n
x x
x d x x
m m
ε
< <
que es posible por ser { }nx denso { } ( )1, xmnx B x φ⇒ ≠I entonces ( )1, xk
mnx B x∈
además si ( )1, xk
mnz B x∈ tenemos:
( ) ( ) ( )
1 1
2
, , ,k k
m mx x
n n
x
d x z d x x d x z
m
ε
< <
≤ + < <
14243 14243
( ) ( ) ( )1, , ,xk
mnz B x B x B x Aε ε⇒ ∈ ⇒ ⊂ ⊂
entonces para cada una bolax A∈ ∃ ∈B
( )1, xk
mnB x tal que :
( )1, xk
mnx B x A∈ ⊂ o sea:
( )1, xk
mn
x A
A B x
∈
= U
Lo que implica de que B es base y por lo tanto ( ),E d es N2.
Definición 2.20 Sea ( ),X τ un espacio topológico un cubrimiento por abiertos de X
es una familia:
{ } tal queI
A A Xα αα
α
τ∈
∈
⊂ =U
Definición 2.21 Dado ( ),X τ espacio topológico y en él un cubrimiento { } I
Aα α∈
por
abiertos de X , un subcubrimiento es una subfamilia de la anterior { } { }A Aβ α⊂ que
también es cubrimiento por abiertos de X.
Ejemplo 2.37
Si ( )0,1X = { }1
,1 : n
n
  ∈ 
 
¥ es un cubrimiento de X
{ }1
,1 :
2
n
n
  ∈ 
 
¥ es un subcubrimiento del anterior.
Definición 2.22 Un espacio topológico ( ),X τ decimos que es de Lindelöff si todo
cubrimiento por abiertos de X admite un subcubrimiento numerable.
( )1, xk
mnB x
( ),B x ε knx
z
x
A

- 66 -
Ejemplo 2.38
Sea X no numerable con la topología de complemento finito entonces X que
sabemos que no es N2 y si es de Lindelöff.
Demostración
Supongamos que tememos un cubrimiento { }Aα por abiertos de X.
Sea
{ } { }0 0 0
C
1, ,..., que es finito por ser abiertonA A A x x Aα α α α∈ =
ahora para cada 1,..., sea tal quei iii n A x Aα α= ∈ existen por ser A Xα
α
=U y por el
axioma de elección elegimos uno cuando hay más de uno.
Entonces { }0 1
, ,..., n
A A Aα α α es un subcubrimiento finito ( luego numerable) que cubre
a todo X
0
que es de Lindelöffi
n
i
X Aα
=
= ⇒U
Ejemplo 2.39
Sea ( ),X τ un espacio topológico con X numerable entonces cualquiera se en Xτ es
de Lindelöff.
Sea { } I
Uα α∈
un cubrimiento por abiertos cualquiera:
I
X Uα
α∈
= U
para cada se tiene quex X∈ :
tal que xx
I
x U I x Uα α
α
α
∈
∈ ⇒ ∃ ∈ ∈U siempre existe al meno uno, de existir más
de uno elegimos uno cualquiera. De esta forma { }x x X
Uα ∈
es una subfamilia que
además cubre a X ya que:
Si y por otro lado losx x x x
x X x X
x X x U X U U X U Xα α α α
∈ ∈
∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂ ⊂ ⇒ ⊂U U
luego:
x
x X
X Uα
∈
= U
y como X es numerable, entonces tiene un subcubrimiento numerable luego es de
Lindelöff.
Proposición 2.23 Sea ( ),X τ es un espacio topológico N2 entonces es de Lindelöff.
Demostración

- 67 -
Sea { } I
Aα α∈
un cubrimientos por abierto de X como ( ),X τ es N2 ⇒existe una base
numerable { }n n
B ∈¥
de X Primero elegimos los abiertos de la base que están
contenidos en algún abierto del cubrimiento. Y luego consideramos los abiertos
correspondientes del cubrimiento, este será el subcubrimiento que buscamos.
Es decir que definimos el conjunto { }:n nI I B Aαα= ∈ ⊂ y para cada nI φ≠
elegimos un elemento que denominamos n nIα ∈
Sea { }: 1nI nα′ = ≥ claramente I’ es numerable además I I′ ⊂ por construcción
entonces si:
n
n I
X Aα
α ′∈
= U
sería { }n n I
Aα α ′∈
un subcubrimiento de { } I
Aα α∈
para ello tomemos un
I
x X Aα
α∈
∈ = U
00 tal queI x Aαα⇒ ∃ ∈ ∈ pero como { }n n
B ∈¥
es una base
{ }
0 k
k
n
n
A Bα
⊂
⇒ =
¥
U es
decir:
{ }
{ }0 0 00 tal quek
k
n k n
n
x A B n n x B Aα α
⊂
∈ = ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂
¥
U
lo que significa que 0 0 0 0 00 0
conn nn n n n nI I B A x A Iα αφ α α ′≠ ⇒ ∃ ∈ ⇒ ⊂ ⇒ ∈ ∈
n
n I
X Aα
α ′∈
∴ = U
lo que implica que X es de Lindelöff.
Observación El recíproco no es cierto, ver ejemplo 2.38 pero en espacios métricos
si se cumple el recíproco, como veremos en el siguiente enunciado
Proposición 2.24 Dado ( ),E d espacio métrico las siguientes afirmaciones son
equivalentes:
1) E tiene una base numerable ( es N2 )
2) E es un espacio de Lindelöff.
3) E es separable.
Demostración
1) 2)⇒ se cumple para todo espacio
topológico como ya vimos en la proposición
anterior
2) 3)⇒ Para cada m∈¥ consideremos las bolas abiertas de radio 1
m y centro en
todo punto x E∈ , como
( )1
, m
x E
E B x
∈
= U
L
N2
S

- 68 -
y el espacio es de Lindelöff, entonces existe un subcubrimiento numerable de E es
decir que existen una cantidad numerable de estas bolas ( )1, mB x , como todas son
de igual radio lo que son numerables son los centros de dichas bolas que llamaremos
para cada m; m
nx con n∈¥ ,entonces:
( )1
,m
n m
n
E B x
∈
=
¥
U
Sea el conjunto { }: ,m
nA x m n= ∈¥ claramente es numerable y demostraremos
además que es denso en E y por lo tanto separable.
Dado 0ε > existe 1
mtal quem ε∈ <¥ para este m
( )1
,m
n m
n
E B x
∈
=
¥
U
entonces si ( ) ( )0
1 1
0, tal que ,m m
n nm m
n
x E x B x n x B x
∈
∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈
¥
¥U o sea:
( ) ( )0 0
1
, ,m m
n nmd x x x B xε ε< < ⇒ ∈ y entonces
( )Para cada 0 y existe un tal que ,m m
n nx E x A x B xε ε> ∈ ∈ ∈
es decir
( )0, ,x E A B xε ε φ∀ > ∈ ≠I
y A es entonces denso en E.
3) 1)⇒ ya lo vimos en la proposición 2.22
Observación En general las implicancias que se cumplen son las del siguiente
diagrama
Y hemos visto ejemplos donde las flecha no se
cumplen en sentido contrario al representado en
el esquema. Así L no implica N2 ejemplo 2.38 y S
no implica N2 ejemplo 2.36. Se trata del mismo
espacio topológico que siendo S y L no es N2.
Para ver que L no implica S o S no implica L
veremos los dos ejemplo siguientes:
Ejemplo 2.40
Sea ( ),X τ un espacio topológico donde X es no numerable y τ es la topología donde
los abiertos son el vacío y los conjuntos de ( )XP con complemento numerable.
Para cualquier cubrimiento por abiertos se tiene.
con
I
X U U Iα α
α
τ α
∈
= ∈ ∀ ∈U
tomemos uno cualquiera de estos abiertos 0
Uα entonces como su complemento por
L
N2
S

- 69 -
definición de la topología tiene una cantidad de elementos numerable podemos
llamarles a estos connx n∈¥ , y se tiene:
{ }0
C
1 2, ,..., ,..nU x x xα =
y para cada conix i∈¥
tal que ii i i i
I
x X x U I x Uα α
α
α
∈
∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈U
y entonces
0
i
n
i
Uα
=
U es un subcubrimiento de X claramente numerable por lo que X es
de Lindelöff.
Pero no es separable ya que si A es un conjunto denso y numerable en X se tiene por
ser denso:
U U Aτ φ∀ ∈ ≠I
y en particular como A es numerable C
A τ∈ y se tiene:
C
A A φ=I
luego A no es denso.
Ejemplo 2.41
Veremos un caso en que sí es separable pero no es de Lindelöff.
Sea 2
X = ¡ con la topología de los rectángulos semiabiertos es decir:
[ ) [ ){ }2
, , : , , ,a b c d a b c dτ = × ⊂ ∈¡ ¡
Sea ( ){ }2
, : ,A p q p q= ∈ ∈¡ ¤ es claro de
que es un conjunto numerable y denso en X.
Sean los abiertos que anotamos ( ),a aU − y
( ),b bU − definidos:
( ) [ ) [ ){ }2
, , , : , ,a aU a b a d a b d− = × − ⊂ ∈¡ ¡
( ) [ ) [ ){ }2
, , , : , ,b bU a b c b a b c− = × − ⊂ ∈¡ ¡ es
decir los rectángulos con vértice (opuestos)
en la recta y x= − como en la figura.
Claramente
( ) ( ), ,a a b b
a b
X U U− −
∈ ∈
=
¡ ¡
UU U
Como el conjunto de puntos de la recta es discreto y no numerable no existe
entonces un subcubrimiento del anterior que sea numerable. Luego no es de
Lindelöff.

- 70 -
Definición 2.23 Sea ( ),X τ un espacio topológico y x X∈ , una familia xB de
entornos de x es una base local si dado xN N∈ existe tal que xxV V N∈ ∈ ⊂B
Ejemplo 2.42
{ }: es abierto enx xU N U X= ∈B
es una base local de x . ya que si:
tal quexU N V x V Uτ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂
y xV ∈B por definición.
Ejemplo 2.43
Sea ( ),E d espacio métrico x E∈
( ){ }1, :nx B x n= ∈¥B
o
( ){ }, : y 0x n nB x a n a′= ∈ →¥B
son bases de x
Ejemplo 2.44
Si { } I
Bα α∈
=B es una base de la topología en Xτ y si x X∈ entonces:
{ }:x B x Bα α= ∈ ∈B B
es una base local.
Ya que dado tal quexN N V x V Nτ∈ ⇒ ∃ ∈ ∈ ⊂ por definición de entorno pero
como V τ∈ tenemos:
y si
I
V B x Vα
α∈
= ∈ ⇒U
tal que conx xx xI x B V N Bα αα∃ ∈ ∈ ⊂ ⊂ ∈B es decir que dado un entorno N de x
existe un elemento tal quex xxB B Nα α∈ ⊂B definición de base local.
Ejemplo 2.45
Sea τ la topología discreta entonces
{ }x x=B
es una base local ya que { }x es abierto en esta topología y obviamente esta
contenido en cualquier entorno de x
Ejemplo 2.46
Sea ( ) { } { }, con : 2 2 1A n A n Aτ τ φ= ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢ ¢ U
Entonces:

- 71 -
{ }{ }2 2 12 ,2 1n nn n −= − =B B
es una base local.
Definición 2.24 Dado un ( ),X τ espacio topológico decimos que es N1 o que
verifica el primer axioma de numerabilidad si todo punto de X tiene una base de
entornos (base local ) numerable.
Proposición 2.25 Un ( ),X τ espacio topológico que es N2 es entonces N1
Demostración
Si B es una base numerable de la topología τ entonces para cada x X∈ sea:
{ }:x B x B= ∈ ∈B B
ya vimos que es una base local y como
numerable es numerablex x⊂ ⇒B B B
Ejemplo 2.47
Sea X no numerable y τ la topología discreta entonces:
{ }{ }x x=B
en ejemplo 2.45 vimos que es una base local y por ser un solo elemento es
numerable. Luego es N1 pero no es N2 ya que
Sea B una base de la topología como { }x τ∈ entonces { }x se puede escribir como
unión de elementos de { }x⇒ ∈ ⇒B B B no es numerable.
Este es un contraejemplo de que no vale la proposición recíproca de la 2.25
Ejemplo 2.48
Todo espacio métrico es N1 ya que:
( ){ }1
, :x nB x n= ∈¥B
es una base local numerable.
Ejemplo 2.49
Sea ( ) { } { }, con : 2 2 1A n A n Aτ τ φ= ⊂ ∈ ⇔ − ∈¢ ¢ U entonces:
{ }{ }2 2 ,2 1n n n= −B
es una base local ( con un solo elemento ) numerable luego es N1
Ejemplo 2.50
Sea ( ), con numerable y de complemento finitoX Xτ τ ya vimos que:
( ) { }: finitoF X A X A= ⊂P

- 72 -
es numerable y como podemos definir
( ) { }: F Xϕ τ φ→P
de la siguiente forma
( ) C
A Aϕ =
como ϕ es biyectiva y ( )F XP numerable { }τ φ⇒ es numerable o sea τ es
numerable, luego el propio τ es una base numerable y por lo tanto N2.
Ejemplo 2.51
Sea X no numerable con la topología de complementos finitos ya vimos en el
ejemplo 2.35 que no es N2 ,veremos ahora que tampoco es N1
Supongamos que:
{ }: ,x n nU x U nτ= ∈ ∈ ∈¥B
entonces
C
C
n n
n n
U U
∈ ∈
 
= 
 ¥ ¥
I U
que como C
es finiton nU Uτ∈ ⇒ ⇒Unión numerable de numerables es numerable
entonces:
{ }{
C
C
no numerable
numerable
n
n
U x
∈
 
≠ 
 ¥
14243
I
o sea
{ } tal quen n
n n
U x y x y U
∈ ∈
≠ ⇒ ∃ ≠ ∈
¥ ¥
I I
es entonces { } { }
CC
n ny U n U y⊂ ∀ ∈ ⇒ ⊂¥ lo que significa que { }
C
nU y⊄ pero
{ }
C
y τ∈ por se abierto es entorno de todos sus puntos en particular como
{ } { }
C C
xx y x y y N≠ ⇒ ∈ ⇒ ∈ y { }
C
n nU y n U⊄ ∀ ∈ ⇒¥ no es base local de x en
X.
Ejemplo 2.52
Sea ( ){ }1
, reales o complejas tal quen nn
x x∈
= < ∞∑¥
l con la norma
1
n
n
x x
∞
=
= ∑
define una distancia
( ),d x y x y= −
entonces ( )1
,dl es un espacio métrico.
Definimos el siguiente conjunto en 1
l

Topología General - Introducción, historia y conceptos fundamentales

Topología General - Introducción, historia y conceptos fundamentales

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Topología General - Introducción, historia y conceptos fundamentales

Similar a Topología General - Introducción, historia y conceptos fundamentales (20)

Más de Raúl Monroy Pamplona

Más de Raúl Monroy Pamplona (8)

Último

Último (20)

Topología General - Introducción, historia y conceptos fundamentales