Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos. Define conjuntos, subconjuntos, el conjunto vacío, el conjunto potencia, operaciones entre conjuntos como unión e intersección, diferencia y complemento. También explica el producto cartesiano de conjuntos, leyes del álgebra de conjuntos, particiones y cardinalidad. Finalmente, resuelve un problema utilizando la teoría de conjuntos para determinar cuántas personas visitaron diferentes lugares.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TOROFACULTAD DE INGENIERÍACABUDARE-EDO. LARACONJUNTOSEstructuras Discretas IUnidad IIIJunio, 2011

2. 1. DefiniciónLlamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos.Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene todos los elementos a considerar.Ejemplo: Consideremos el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números naturales.Generalmente, los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc. Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en un círculo, el cual es llamado diagrama de Venn.Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. Por extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno.Ejemplo: Los siguientes conjuntos están determinados por extensión.A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}b. Por comprensión: Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada. Ejemplo: Los siguientes conjuntos están dados por comprensión.A = {n Î N / 1£n £ 5} (Todos los números naturales mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5)B = { x Î R / x divide a 18} (Los números reales divisores de 18)C = {x Î R / | x | < 4 } ( Los números reales cuyos valores absolutos son menores que 4)Estructuras Discretas I1

3. 2. SubconjuntoDefinición: Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como:A Ì B Û ( " x ÎU) ( x Î A Þ x Î B ).Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:1. Reflexiva: A Ì A, para todo conjunto A.2. Antisimétrica: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B. 3. Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C. Definición: Diremos que un conjunto A estáincluido propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B si y sólo si A Ì B y A ¹ B.Ejemplo: Si A = {a,d,f,} y B = { a, b,c,d,e,f,h} , entonces A es subconjunto propio de B.Ejemplo: Si D = { 1, 2, 3, 4 } y E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } , entonces D es subconjunto propio de E.Problema: Probar que A Ë B Û ( $ x )( x Î A x Ï B )SoluciónUsando la ley del condicional, P ® q º~ p Ú q, en la definición de inclusión tenemos que:A Ì B Û ( " x )( x Î A Þ x Î B Û ( " x )( x Ï A v x Î B ) luego, negamos ambos lados,~ ( A Ì B ) Û~ ( " x )( x Ï A v x Î B ) obtenemos que A Ë B Û ( $ x ) ( x Î A Ù x Ï B )Conjunto VacíoDefinición: Dado un conjunto A, el conjunto vacío fA es el conjunto:fA = {x Î A / x ¹ x } el fA no tiene elementos, ya que todo x Î A satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es subconjunto de todo conjunto AEstructuras Discretas I2

4. 3. Conjunto PotenciaSi A es un conjunto, se define el conjunto Potenciade A o conjunto partes de A como Ã(A) = { X / X Ì A}, es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces Ã(A) = {{f }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}Características del Conjunto Potencia- La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.- Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de à (A), ya que si A tiene n elementos, entonces Ã(A) tiene 2n elementos. El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la relación de inclusión.Teorema. A Ì B ÛÃ(A) ÌÃ(B)Representación Tabular del Conjunto ProductoUn conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo.EjemploSi A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXBSoluciónAxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)}Estructuras Discretas I3

5. 4. IgualdadSi dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales.Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego,A = B Û A Ì B Ù B Ì ADemostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la definición de inclusión y de la siguiente equivalencia:(x Î A Û x Î B ) º ( x Î A Þ x Î B ) Ù ( x Î B Þ x Î A )Estructuras Discretas I4

6. 5. Unión e IntercepciónSean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el conjunto:A I B = { xÎ U /xÎ A ÙxÎ B}Es decir, los elementos que están en A y también están en B.Ejemplo: Sea A = {a,b,c,d,e} y B = {a,c,e,h,i,j,k} luego, la intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto A I B ={a,c,e}Propiedades de la Intersección de ConjuntosSean A y B conjuntos, luego se cumple:i. A I A = A ,"A ii. A I U = A , donde U es el conjunto universal iii. A I f=fiv. A I B = B I AEstructuras Discretas I5

7. 6. Diferencia y ComplementoSi A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B como el siguiente conjunto:A - B = { xÎ U / xÎ A ÙxÏ B}. Es decir, son todos los elementos que están en A pero que no están en B.Ejemplo: Consideremos los conjuntos A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18}Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18}Sean A y B dos conjuntos. La diferencia simétricaentre A y B es el conjunto. AD B = (A-B) U (B-A) = { xÎ U / xÎ A ÚxÎ B}En el ejemplo anterior se tiene que AD B = {-4,0,3,6,10,11,12,18}Propiedades de la Diferencia de ConjuntosSean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:(AUB) - C = (A - C) U (B - C)(A I B) - C = (A - C) I (B - C)(AD B) - C = (A - C) D (B - C)A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)(B - C) I A = (B I A) - (C I A)Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el conjunto. C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son los elementos que le faltan a B para llegar a ser igual a U.Así podemos decir xÎ C(B) ÛxÏ B.Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7} entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:A - B = AI C(B)C(C(A)) = A AUC(A) = U AI C(A) = f C(U) = f C(f ) = U AÌ B Û C(B) Ì C(A)Estructuras Discretas I6

8. 7. Algebra de ConjuntosAsí como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación.5.Leyes de Identidad A U f= A I f= fA 6. Leyes de Dominación A U U = U U: conjunto universal A IU = A 7. Leyes de ComplementaciónA U C(A) = U A IC(A) =fff) = U C (C(A)) = A C (U) = C ( 8. Leyes de De Morgan C(A U B) = C(A) IC (B) IB) = C(A) U C (B) C(A Leyes de IdempotenciaA U A = AI A = AA Leyes Asociativas A U (BUC) = (AUB) U C A I (BIC) = (AIB) I C Leyes Conmutativas A U B = B U A A IB = B IA Leyes Distributivas A U (B IC) = (A U B) I(A U C) I(B U C) = (A IB) U (A IC) A Estructuras Discretas I7

9. 8. Producto CartesianoSean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8} entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)} mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}Nótese que Ax B ¹Bx ATeorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces:A x B = F Û A = F Ú B = F

10. A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C)

11. Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C)

12. Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)Estructuras Discretas I8