1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
CABUDARE-ESTADO LARA
Unidad 3
Julio Cesar Fernandes López
C.I.:20.473.791
Ingeniería en mantenimiento mecánico

2. Existen dos formas de determinar un conjunto:
por extensión y por comprensión.
Conjunto es cualquier
colección de objetos, los
Por extensión: Cuando todos
cuales llamaremos
sus elementos son enumerados uno a
elementos.
uno.
Llamaremos conjunto
Ejemplo: Los siguientes conjuntos están
universal, el cual
determinados por extensión.
denotaremos por U, al
A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w} .
conjunto que contiene
todos los elementos a
considerar. Por comprensión: Cuando están
dados como dominio de una función
proposicional, es decir, los elementos de
Ejemplo: un conjunto que cumplen una condición
Consideremos el dada.
conjunto formado
por todos los Ejemplo: Los siguientes conjuntos están
números naturales dados por comprensión.
menores que 6. En A = {n Î N / 1£ n £ 5} (Todos los números
este caso podemos naturales mayores o iguales a 1 y
escribir el conjunto menores o iguales a 5).
como A =
{1,2,3,4,5}

3. Sean A y B conjuntos.
Diremos que A es La relación de inclusión entre conjuntos es:
subconjunto de B lo Reflexiva: A A, para todo conjunto A.
cual denotaremos por
Demostremos La Reflexiva A A, para todo conjunto A.
A Ì B, si todo elemento
de A es también un Puesto que, para cualquier x se cumple que x Î A xÎA
elemento de B. concluimos que A A.
Antisimétrica: A BÙB A A = B.
Simbólicamente se Demostremos La Antisimétrica : A BÙB A A = B,
expresa como: la antisimetríca de la inclusión es parte del teorema anterior,
A BÛ( x E U) (x E A x E B) por tanto, ya está demostrada.
Transitiva: A BÙB C A C.
La tercera Transitiva: A B Ù B C A C se deja al
lector.

4. Conjunto Vacío
Dado un conjunto A, el conjunto vacío A es el conjunto:
A = { x Î A / x ¹ x } el A no tiene elementos, ya que
todo x Î A satisface x = x. Además, por definición se tiene
que vacío es subconjunto de todo conjunto A.
Conjunto Potencia
Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia
de A o conjunto partes de A como (A) = { X X
A}, es decir, es el conjunto formado por todos los
subconjuntos de A.
Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces
(A) = {{ }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z},
{x,y,z}}

5. Representación Tabular del
Características del Conjunto Potencia
Conjunto Producto
Un conjunto AxB lo podemos
La principal característica de este conjunto es que es representar por medio de tablas como
un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son veremos en el siguiente ejemplo.
conjuntos.
Dado un conjunto A podemos conocer el número de Ejemplo:
elementos de (A), ya que si A tiene n elementos,
Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3}
encuentre la representación
entonces (A) tiene 2n elementos.
tabular de AXB
El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes Solución:
conserva la relación de inclusión.
AxB =
{(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3)
Teorema A BÛ (A) (B)
,(7,1),(7,2),(7,3)}

6. Si dos conjuntos
tienen los mismos El siguiente teorema nos permite
elementos diremos determinar cuando dos conjuntos son
que son iguales, por
ejemplo: A = iguales.
{2,3,5,9,10} y B =
{10,5,3,2,9} son iguales.
Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego,
A=BA B^B A
Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de
extensión, la definición de inclusión y de la siguiente
equivalencia:
(x E A  x E B ) = ( x E A xEB)^(xEB xEA)

7. Propiedades de la Unión de
Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos. La unión de A y B como el conjunto:
Sean A y B dos conjuntos, luego se
A U B = { X E U X E A v X E B}
cumplen las siguientes propiedades:
Es decir, son todos los elementos que están en A o están en B.
1. AUA=A
Ejemplo: Si A = {1,3,5,6,7,8} y B = {0,1,-14,5,8,7,10}
2. AUU=U
entonces,
3. AU =A
A U B = {0,1,3,5,6,7,8,10,-14}
4. A U B = BUA
Propiedades de la
Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define Intersección de Conjuntos
como el conjunto: Sean A y B conjuntos, luego se
A I B = { X E U X E A ^ X E B} cumple:
Es decir, los elementos que están en A y también están en B. •A I A = A, A
Ejemplo: Sea A = {a, b, c, d, e} y B = {a, c, e, h, i, j, k} luego, •A I U = A, donde U es el conjunto
la intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto universal
A I B ={a, c, e} •A I =
•A I B = B I A

8. Propiedades de La Diferencia de
Si A y B son conjuntos, entonces se define la
Conjuntos
diferencia entre A y B como el siguiente
conjunto: Sean A,B,C tres conjuntos, luego
se cumple que:
A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. 1. (AUB) - C = (A - C) U (B - C)
Es decir, son todos los elementos que están en 2. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)
A pero que no están en B. 3. (AD B) - C = (A - C) D (B - C)
4. A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)
5. (B - C) I A = (B I A) - (C I A)
Ejemplo: Consideremos los conjuntos
A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18}
Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18}
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia simétrica entre A y B
es el conjunto.
AD B = (A-B) U (B-A) = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B}
En el ejemplo anterior se tiene que AD B = {-4,0,3,6,10,11,12,18}

9. Se define el Complemento de B como el conjunto.
Teorema: (Leyes de Morgan para
C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son
conjuntos)
los elementos que le faltan a B para llegar a ser igual a
1. C(AUB) = C(A) I C(B)
U.
2. C(AIB) = C(A) U C(B)
Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.
Ejemplo: Hallar los conjuntos A y B
Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B =
sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I
{1,3,5,7}
C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.
entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10}
Solución
C(A) I C(B) = {6} por ley de Morgan C(A)I
Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:
C(B) = C(AUB), así podemos decir que:
1. A - B = AI C(B)
C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) =
2. C(C(A)) = A
{0,1,2,3,4,5,7,8,9}
3. AUC(A) = U
Como A - B = = {7,9} entonces concluimos
4. AI C(A) = f
que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}
5. C(U) = f
6. C(f ) = U
7. AÌ B Û C(B) Ì C(A)

10. Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en
la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a
continuación.
5.Leyes de Identidad
1.Leyes de Idempotencia a.A U = A I =
1.A U A = A I A = A b.A
2.A
6.Leyes de Dominación
2.Leyes Asociativas a.A U U = U U: conjunto universal
1.A U (BUC) = (AUB) U C b.A I U = A
2.A I (BIC) = (AIB) I C
7.Leyes de Complementación
3.Leyes Conmutativas a.A U C(A) = U
1.A U B = B U A b.A I C(A) = )=U
2.A I B = B I A c.C (C(A)) = A
d.C (U) =
4.Leyes Distributivas e.C (
1.A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I
(B U C) = (A I B) U (A I C) 8. Leyes de De Morgan
2.A a.C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B)
b.C(A

11. Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto
o producto cartesiano de A y B como el conjunto
Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}
Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}
entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Nótese que Ax B ¹ Bx A
Teorema. Si A, B, C son tres
conjuntos entonces:
1.A x B = F Û A = F Ú B = F
2.A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C)
3.Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C)
4.Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)

12. Operaciones Generalizadas Consideremos un conjunto
de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia de conjuntos
{A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un
conjunto.
Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia
Indizada de conjuntos; y lo denotaremos {Ai}iÎ I.
Partición: Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X.
Se dice que {Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:
Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es
una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la
intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos
los miembros da X.
Ejemplo
Si X={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces
{A1, A2, A3} es una partición de X.

13. Teorema: Sean A y B dos conjuntos
Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n
finitos, luego:
elemento, para algún número natural n, es
i. B - A) = #B - #(AI B)
decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus
ii. #(AUB) = #A + #B - #(AI B)
elementos. En caso contrario se dice que es
Teorema: Si A; B y C son tres conjuntos
infinito.
finitos entonces
Ejemplo: El conjunto {a, b, c, d, e} es finito
#(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI
porque contiene 5 elementos, el conjunto de los
C) - #(BI C) + #(AI BI C).
números reales, de los números naturales son
Estos teoremas son usados para resolver
ejemplos de conjuntos infinitos.
problemas de la vida cotidiana cuando los
Definición: Sea A un conjunto finito. Se dice que:
conjuntos con los que estamos trabajando son
1. El cardinal de A es 0 si A = .
conjuntos finitos. A continuación presentamos el
2. El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A
siguiente problema que resolveremos con la
= n si A tiene n elementos.
teoría de cardinalidad de conjuntos.