administración de operaciones

1. Tamaño de la
muestra
R. Toledo
Curso: Administración de
Operaciones I
FAT - UNASAM
02/11/2014

2. Tamaño de la muestra 2014
TAMAÑO DE LA MUESTRA
1. GENERALIDADES
Mostrar de manera no exhaustiva algunos aspectos prácticos para definir el tamaño de
la muestra en los siguientes casos:
- Conocer una proporción aplicable a la población.
- Conocer alguna característica cuantitativa de la población.
Algunas definiciones previas son:
- Población (N): conjunto de todas las personas u objetos de los que se desea conocer
un determinado fenómeno o aspecto de una realidad. Su valor permite disminuir el
tamaño de la muestra, contra lo que se cree, no es necesario conocerlo.
- Muestra: La muestra es la parte extraída de un conjunto y se considera como una
porción representativa de la población con la que se realiza la investigación o el
estudio.
- Individuo: cada uno de los elementos que componen la muestra y de los que se
obtiene la información. Estos elementos pueden ser objetos, acontecimientos o
personas.
- Nivel de confianza: es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en
el intervalo de confianza. Generalmente se utiliza el valor de 95%, se utilizan pero
con menor frecuencia valores del 90% y 99%. La confianza se puede expresar en
valores Z de la distribución normal.
La probabilidad de equivocarnos se llama Nivel de significancia y se simboliza por α,
de modo que su valor es: 1 – Nivel de confianza. Generalmente su valor se expresa a
partir del 95% de nivel de confianza, que es del 5% (α = 100% - 95%).
- Generalización: la posibilidad de aplicar los resultados o conclusiones de los
elementos de la muestra a toda la población de donde se ha obtenido.
- Error aleatorio o de muestreo (E): es la diferencia que existe entre los resultados
obtenidos en la muestra y los resultados que deberían haber sido obtenidos si toda
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3. Tamaño de la muestra 2014
la población hubiese sido estudiada.
- Intervalo de confianza: cuando se obtiene la información de una muestra, para
poder conocer la de una población, hay implícita una pérdida de precisión. Por este
motivo cualquier característica de una población, a partir de una muestra, lleva
asociada una determinada precisión definida por el intervalo de confianza.
2. LO QUE SE DESEA CONOCER CON EL MUESTREO
2.1. Estimar la proporción
Este método es uno de los más sencillos de aplicar, se caracteriza porque cada unidad
que compone la población tiene la misma posibilidad de ser seleccionado.
Las muestras aleatorias aseguran o garantizan mejor el poder extrapolar los resultados.
En una muestra aleatoria tenemos más seguridad de que se encuentran representadas
las características importantes de la población en la proporción que les corresponde. Si
el 20% de la población tiene la característica A (una determinada edad, una determinada
situación económica, etc.), podemos esperar que en la muestra también habrá en torno
a un 20% con esa característica. Si se encuentra que el 3% de los productos son
defectuosos en la muestra, se espera que esta proporción pueda ser aplicable a la
población a la vez que la diferencia (100% - 3% = 97%), no sea defectuoso, con lo cual a
las dos posibles proporciones se conocen como “p” y “q”, donde:
p : Es la proporción que tiene la característica.
q : Es la proporción que no tiene la característica ( 1 – p).
Las fórmulas relacionadas son:
DESCRIPCIÓN SÍMBOLO FÓRMULA
Muestra Inicial n 𝑛 =
𝑧2
(𝑝)(𝑞)
𝐸2
Muestra Corregida
por ser Población
FINITA (*)
no
𝑛0 =
𝑛
1 +
𝑛 − 1
𝑁
Fórmula Directa
cuando la Población
es FINITA (*)
no 𝑛 =
𝑧2
𝑝. 𝑞. 𝑁
𝐸2(𝑁 − 1) + 𝑍2 𝑝. 𝑞
(*) Se considera Población Finita cuanto la Población < 30 000.
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4. Tamaño de la muestra 2014
Muestreo estratificado aleatorio proporcional.- Cuando se desea que el Tamaño de la
Muestra calculado con las fórmulas antes descritas, se distribuya en estratos se debe
tener la información respecto a la composición de éstos estratos en la población y
distribuirlos en razón directa a su cantidad distribuirlos.
Cuando no se conoce p, su valor se asume como 50% (que genera el tamaño máximo de
la muestra, al 95% de confianza lo hace igual a 385).
2.2. Estimar la media o valor promedio
En estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que resulta al
efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en
determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto.
Puede interesar conocer la media de los ingresos, edades, etc. Aplicaciones en la
producción pueden significar el conocer el diámetro medio de un producto, su peso
medio o el tiempo promedio que tarda en ser producido.
El tamaño de la muestra está muy relacionado con la variabilidad de la característica a
medir, así si de una muestra se detecta que la variabilidad de ejecutar una actividad es
mayor que otra, la de mayor variabilidad requerirá recoger más muestras para poder
conocer cuál es su valor estimado para la población.
Los problemas se relacionan también a la variabilidad, de darse mayor variabilidad, se
tendrán más problemas para controlar u obtener lo deseado.
Para poder hallar el Tamaño de la muestra para estimar un valor promedio, se requiere:
- Tomar una muestra preliminar, que permita estimar la medida de su dispersión
expresado en el estadístico conocido como desviación típica, llamada también
desviación estándar.
- Usando este resultado, se calcula el tamaño muestral necesario para conseguir la
precisión deseada.
- La precisión debe decidirse en cada situación en función de la variabilidad de la
medida.
- Conocer que si no se tiene dispersión la desviación típica es 0 y no se requiere tomar
una muestra.
Los datos necesarios son los siguientes:
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5. Tamaño de la muestra 2014
- Tamaño de la Población (N).
- Nivel de Confianza, usualmente 90%, 95% o 99%.
- La media o promedio de la variable en estudio (𝑌�)
- Desviación estándar (desviación típica) de la variable (s).
- Valor Z de la distribución normal, deducido del Nivel de confianza.
Error esperado de la estimación 𝑒 = 𝑌� ∗ 𝐸 , recomendando que E sea 1 – Nivel de
confianza.
DESCRIPCIÓN SÍMBOLO FÓRMULA
Muestra Inicial n 𝑛 = �
𝑧 ∗ 𝑠
𝑌� ∗ 𝐸
�
2
Muestra Corregida por ser
Población FINITA (*)
no
𝑛0 =
𝑛
1 +
𝑛 − 1
𝑁
Fórmula Directa cuando la
Población es FINITA (**)
no
𝑛0 =
𝑧2
𝑠2
𝑁
(𝑁 − 1)𝑒2 + 𝑧2 𝑠2
Nota: 𝑒 = 𝑌� ∗ 𝐸
(*) Se considera Población Finita cuanto la Población < 30 000.
(**) El Error esperado en unidades está expresado como 𝑌�*E
Si en un estudio, el tamaño de la muestra se toma a un proceso que comprende varios
elementos, cada uno de ellos con promedios y desviaciones estándar particularizados, el
tamaño de la muestra al conjunto es el que corresponde al que tiene el mayor tamaño.
2.3. Tamaño de la población y tamaño de la muestra
Otro aspecto a considerar es la lógica que tiene el investigador para seleccionar la
muestra "por ejemplo si se tiene una población de 100 individuos habrá que tomar por
lo menos el 30% para no tener menos de 30 casos, en los casos que es de 50 o menos es
preferible tomar al total de la población.
En el muestreo se considera que el mínimo tamaño de la muestra es de 30 para aplicar
criterios relacionados con la distribución normal. Muestras más pequeñas requieren
utilizar otro tipo de distribuciones teóricas.
Al respecto, en su libro Metodología de la Investigación, Hernández Sampieri, expresa
que "si la población es menor a cincuenta (50) individuos, la población es igual a la
muestra".
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6. Tamaño de la muestra 2014
EJERCICIOS 1
ESTIMACIÓN DE LA PROPORCIÓN
1. Se desea conocer a un 95% de confianza y con un error del 5%, la proporción de
productos defectuosos por mes en una empresa, en éste periodo produce 2 000
productos, una muestra preliminar arrojó 5,5% de productos defectuosos.
Respuesta.- Sin corregir: 80, Corregida: 77.
2. La empresa “Novus” SRL desea conocer a un 95% de confianza y con un error del 5%,
la proporción de productos defectuosos, la cantidad producida es variable además
de ser usualmente de varios millones de unidades, una muestra preliminar arrojó
11% de productos defectuosos.
Respuesta.- 151.
3. Volver a calcular para el caso anterior si el nivel de confianza es del 99%
Respuesta.- 6 517
4. La empresa “Novus” SRL al obtener un tamaño de muestra tan disperso solicita que
se estime con niveles de confianza del 95%, 96%, 97%, 98%, 99% (Recomendación:
Utilizar la opción “Tabla” del Excel).
Respuesta.-
Nivel de
confianza
Tamaño de
la muestra
95% 151
96% 258
97% 513
98% 1329
99% 6517
5. Realizado el Estudio, la empresa “Novus” SRL, llegó a recoger 140 muestras, pero
encontró un nivel del 8,9% de defectuosos, desea conocer cuál es el Nivel de
Confianza alcanzado (Recomendación: Resuelva utilizando “Buscar Objetivo” del
Excel).
Respuesta.- 95,22%
1
Resueltos con aplicativos para Excel, diseñados por el R. Toledo.
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7. Tamaño de la muestra 2014
6. “ExoTic” S.A.C. vende helados, debe analizar la aceptación o no de su producto en
los hogares de una ciudad, desea efectuar el análisis a un 95% de confianza,
anteriormente el 15,8% lo aceptaba. Los hogares característicamente se distribuyen
en (5) sectores, en la forma siguiente:
ESTRATO HOGARES
Sector A 5 000
Sector B 2 000
Sector C 6 000
Sector D 2 000
Sector E 10 000
TOTAL 25 000
Respuesta.-
ESTRATO
N° EN EL NÚMERO EN LA
ESTRATO MUESTRA (**)
Sector A 5 000 41
Sector B 2 000 16
Sector C 6 000 49
Sector D 2 000 16
Sector E 10 000 82
TOTALES (*) 25 000 204
ESTIMACIÓN DE LA MEDIA
7. Recogida una muestra pequeña de 30 unidades se ha encontrado que el tamaño de
un componente tiene una media de 8,83 mm con una desviación típica de 3,43 mm,
se desea averiguar a un 95% de confianza, cuál será el tamaño de muestra para que
con un 5% de error se pueda estimar el valor de la media. La producción para el
período analizado supera las 30 000 unidades.
Respuesta.- 232.
8. Establecer el efecto que tendría para el caso anterior, conocer que la población es de
12 800 unidades.
Respuesta.- Disminuiría a 222.
9. Un estudio de Medición del Trabajo ha analizado el análisis de la producción de un
producto, el mismo que consta de seis (6) actividades, cada una de ellas responde a
distintos valores en su media y su desviación estándar o desviación típica del tiempo
de ejecución, se desea conocer el tamaño de la muestra a un 95,00% de confianza y
con error del 5% para estimar la media.
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8. Tamaño de la muestra 2014
Actividad
Tiempo
promedio
Desviación
Estándar
A 23,70 2,02
B 10,51 2,23
C 15,01 0,71
D 6,00 0,84
E 4,10 0,48
F 7,40 1,65
Respuesta.- Se debe tomar el mayor valor de los calculados para cada actividad, es
decir 77.
Actividad
Tamaño de la
muestra
A 12
B 70
C 4
D 31
E 22
F 77
Máximo 77
10. Demostrar para el ejercicio anterior que a mayor dispersión se incrementa el
tamaño de la muestra.
Respuesta.- Para poder comparar la variación de los tiempos de ejecución de las
actividades se toma como indicador:
Coeficiente de variación = Desviación estándar / Media
Actividad
Tiempo
promedio
Desviación Coeficiente Tamaño de la
Estándar variación muestra
A 23,70 2,02 0,0852 12
B 10,51 2,23 0,2119 70
C 15,01 0,71 0,0473 4
D 6,00 0,84 0,1403 31
E 4,10 0,48 0,1163 22
F 7,40 1,65 0,2223 77
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