matematica

1. INSTITUTO UNIVERITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION – SAN CRISTOBAL
INGENIERIA INDUSTRIAL
Autor:
Miguel Ángel Rodríguez Sayago
CI: 26.371.603
Ing. Industrial
San Cristóbal, Enero 2016

2. Análisis de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función
periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la
herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones
periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de
funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con
frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph
Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero
que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales
en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.
Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una
herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación
incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes, señales, y
compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones,
y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se
puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al
uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:
Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la
función .
Transformada de Fourier
La transformada clásica de Fourier en Rn
aún es un área de investigación activa, sobre
todo en la transformación de Fourier sobre objetos más generales, como
las distribuciones temperadas. Por ejemplo, si imponemos algunos requerimientos sobre
una distribución f, podemos intentar trasladarlos a términos de su transformada de
Fourier. El Teorema de Paley-Wiener es un ejemplo de ello, que implica inmediatamente
que si f es una distribución de soporte compacto (lo que incluye a las funciones de soporte
compacto), entonces su transformada de Fourier no tiene nunca el soporte compacto.
Esto es un tipo muy elemental de un principio de incertidumbre en términos del análisis
armónico.

3. Las series de Fourier pueden ser estudiadas convenientemente en el contexto de
los espacios de Hilbert, lo que nos da una conexión entre el análisis armónico y el análisis
funcional.
El matemático Fourier demostró que cualquier función continua, podría ser producida por
una suma infinita de ondas seno y coseno. Su resultado tiene implicaciones de largo
alcance en la reproducción y la síntesis del sonido. Una onda sinusoidal pura, puede ser
convertida en sonido por un altavoz y será percibida como un simple tono continuo puro.
Los sonidos de instrumentos orquestales consisten generalmente de una onda
fundamental y un complemento de armónicos, que pueden ser considerados como una
superposición de ondas sinusoidales, con una frecuencia fundamental f y múltiples
enteros de esa frecuencia.
El proceso de descomponer un sonido de un instrumento musical o cualquier otra función
periódica, en sus ondas senos y cosenos constituyentes, se llama análisis de Fourier. La
onda de sonido se puede caracterizar, en términos de las amplitudes de las ondas
sinusoidales componentes que la conforman. Este conjunto de números, indica el
contenido de armónicos de un sonido, y a veces es referido como el espectro armónico
del sonido. El contenido de armónicos es el más importante determinante de la calidad o
timbre de una nota musical sostenida.
Una vez conocido por el análisis de Fourier el contenido de armónicos de un sonido
sostenido musical, se tiene la capacidad de sintetizar ese sonido, mediante una serie de
generadores de tonos puros, ajustando correctamente sus amplitudes y fases y
juntándolos todos ellos. Esto se denomina síntesis de Fourier.
Una de las ideas importantes para la reproducción del sonido que surge del análisis de
Fourier es, que se necesita un sistema de audio de alta calidad para reproducir sonidos
de percusión, o sonidos con rápidos transitorios. El sonido sostenido de un trombón,
puede ser reproducido dentro de una gama limitada de frecuencias, porque la mayoría de
la energía sonora, se encuentra en los primeros pocos armónicos del tono fundamental.
Pero si se va a sintetizar el agudo ataque de un platillo, es necesario un amplio rango de

4. altas frecuencias para producir el cambio rápido. Se puede visualizar la tarea de añadir un
montón de ondas sinusoidales para producir un pulso agudo, y tal vez se pueda ver que lo
que se necesita son grandes amplitudes de ondas con tiempos de subida muy corto (de
alta frecuencia) para producir el agudo ataque del platillo. Esta visión del análisis de
Fourier se puede generalizar diciendo que, cualquier sonido con un ataque agudo, o un
pulso agudo, o los rápidos cambios en la forma de onda como una onda cuadrada, tienen
una gran cantidad de contenido de alta frecuencia.
Como ejemplo de lo que se aprende de una
transformada de Fourier, la transformación de una onda
cuadrada muestra que solo tiene armónicos impares y
que la amplitud de esos armónicos cae en forma
geométrica, con el armónico n-ésimo teniendo 1/n veces
la amplitud de la fundamental.