Rectificación de imágenes

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TEMA 9
RECTIFICACIÓN DE IMÁGENES
9.1- Introducción
En fotogrametría aérea cuando el terreno es llano y la toma es
nadiral, el fotograma resultante es homotético con el terreno y por lo tanto
un plano a escala del mismo.
Estas condiciones ideales definidas no se cumplen no se cumplen en
la práctica, pues es imposible mantener el eje óptico de la cámara
verdaderamente vertical. Las inevitables inclinaciones del avión durante el
vuelo hacen que las fotografías se tomen con el eje de la cámara
ligeramente inclinado respecto de la vertical; estas fotografías se llaman
fotografías inclinadas. El ángulo de desviación respecto de la vertical es
usualmente menor que 1º y rara vez excede los 3º.
Sea el caso más general representado en la figura.
Supongamos que q es el terreno que se trata de representar, V el
objetivo de la cámara y P su plano central de simetría. Si q es
suficientemente llano la fotografía p’, proyección central de q, guardará
una relación proyectiva con el terreno, pero no será un plano topográfico

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puesto que la relación proyectiva anterior en general no será una
homotecia.
Para que fuese una homotecia, habría que cortar el haz proyectante
desde V por un plano q1 paralelo al plano q del terreno; en esas
circunstancias, las figuras Σ1 y Σcontenidas en ellos serían semejantes, y
esa relación de semejanza o escala podría variarse modificando la altura de
q1.
Seis parámetros independientes llamados elementos de orientación
externa expresan la situación espacial y la orientación angular de la
fotografía inclinada. La posición espacial viene dada normalmente por XL,
YL, ZL, las coordenadas terreno del centro de proyección. En general ZL se
llama H, altura de vuelo respecto del plano de comparación o datum. La
orientación angular es la magnitud y dirección de la inclinación de la foto.
Tres ángulos son suficientes para definir la orientación angular; hay varios
sistemas: inclinación-giro-acimut, omega-phi-kappa.
9.2- Rectificación de fotografías inclinadas.
Por rectificación se conoce el proceso fotogramétrico mediante el
cual se puede transformar una imagen en una proyección del terreno, por
medio del enderezamiento del eje del fotograma. La rectificación corrige
los desplazamientos existentes en la imagen fotográfica original producidos
por la inclinación del eje de la toma.
La imagen rectificada debe tener las características geométricas de
una proyección ortogonal del objeto fotografiado sobre un cierto plano y a
una determinada escala. Se presupone que el objeto es plano y vertical.
Para poder realizarse una rectificación se han de cumplir dos
condiciones:
• Ángulo de inclinación de la toma tiene que ser muy pequeño (3º).
• El terreno tiene que ser prácticamente horizontal y llano.
Rectificación: proceso de obtención de una fotografía vertical equivalente
a partir de una fotografía inclinada. Las fotografías verticales equivalentes
resultantes se llaman fotografías rectificadas. En teoría son fotos realmente
verticales, y como tal están libres de desplazamientos por inclinación. Sin
embargo, las imágenes continúan teniendo desplazamientos causados por el
relieve topográfico del terreno. Estos desplazamientos causados por el

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relieve pueden ser eliminados en un proceso denominado rectificación
diferencial o también ortorrectificación, y los resultados se llaman
ortofotos.
Tipos de rectificación de fotografías inclinadas
Según el instrumental empleado:
- Óptico-mecánica: rectificador
- Analítica: restituidor analítico
- Digital: Estación Fotogramétrica Digital
La rectificación se puede realizar de tres formas: analítica, óptico-
mecánica y digital. La rectificación analítica tiene la desventaja de que sólo
pueden ser aplicados a puntos individuales discretos, es decir, puntos que
pueden ser identificados específicamente y por tanto sus localizaciones en
la foto inclinada pueden medirse. Las fotos rectificadas resultantes
producidas por este método no son realmente fotos puesto que no están
compuestas por imágenes fotográficas; más bien son dibujos de puntos
individuales en sus localizaciones rectificadas.
Los métodos óptico-mecánicos y digital producen una foto real en la
que las imágenes de la foto inclinada han sido rectificadas a sus posiciones
rectificadas. Además, los productos de estos dos métodos pueden ser
usados en la producción de fotomapas y mosaicos. En cualquiera de los
procedimientos de rectificación las fotos rectificadas pueden ser
simultáneamente escaladas, es decir, su escala media puede hacerse

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coincidir con algún valor diferente al de la foto original. Esto es
particularmente ventajoso si las fotos rectificadas se hacen con el propósito
de construir un mosaico controlado, puesto que todas las fotos de la pasada
o bloque pueden ser hechas a la misma escala.
Geometría de la rectificación
La geometría fundamental de la rectificación se muestra en la
siguiente figura.
La figura muestra una vista lateral del plano principal de una foto
inclinada. Cuando fue hecha la exposición, el plano del negativo formaba
un ángulo t con el plano de referencia. Los rayos desde A y B cortan el
negativo en a’ y b’, respectivamente, y sus imágenes correspondientes en la
fotografía inclinada son a y b. El plano de una fotografía vertical
equivalente es paralelo al plano de referencia y pasa a través de i, el
isocentro de la fotografía inclinada. El plano de una fotografía rectificada
escalada es también paralelo al plano de referencia pero a diferente
distancia.
La rectificación óptico-mecánica se realiza como se muestra en la
siguiente figura

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Izquierda, rectificador Zeiss SEG-5. Derecha, efecto de los ajustes en el rectificador.
El método óptico-mecánico se aplica en instrumentos llamados
rectificadores. Estos producen fotos rectificadas y escaladas a través del
proceso de impresión fotográfica de la proyección del negativo. Este
proceso se ha de realizar a oscuras.
El diagrama general sería el siguiente:

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Tal como se ve en la figura, los componentes básicos de un
rectificador son una lente, una fuente de luz con un reflector, una
plataforma para montar el negativo de la foto, y un tablero lo proyección
sobre el cual se coloca el papel fotosensible sobre el cual se proyectará la
foto rectificada. Este instrumento se construye con unos controles de forma
que el plano del tablero, el plano de la lente y el plano del negativo puedan
ser inclinados con respecto a los otros. Algunos rectificadores pueden
variar la inclinación de los planos de la lente y del tablero, pero la mayoría
solo pueden variar la inclinación de los planos del negativo y del tablero.
Este tipo de rectificadores se conocen como rectificadores de lente sin
inclinación.
Puesto que las fotos rectificadas pueden ser a diferentes escalas, el
rectificador debe tener capacidad de ampliación, y esto se consigue
variando la distancia de proyección. Para hacer esto y continuar
manteniendo un enfoque nítido es necesario variar simultáneamente la
distancia imagen.
La rectificación analítica
Hay varios métodos disponibles para realizar la rectificación
analítica (numérica). Cada uno de los métodos analíticos realiza
rectificación punto a punto, y requiere que suficientes puntos de control
aparezcan en la foto inclinada.
Los datos iniciales requeridos son:
- Coordenadas terreno de los puntos de control.
- Coordenadas foto de los puntos de control.
- Coordenadas foto de todos los puntos que se van a rectificar
(medidas en un comparador).
Con dichos datos se realiza la determinación de la transformación
matemática entre coordenadas imagen y coordenadas terreno y luego el
cálculo de las coordenadas terreno de los puntos imagen medidos.
El resultado final es un fichero vectorial.

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Rectificación digital
La rectificación puede hacerse mediante técnicas digitales, pixel a
píxel, a partir de la imagen digital original o una imagen analógica
escaneada.
Los datos iniciales son las coordenadas terreno de los puntos de
control y las coordenadas foto de los puntos de control.
El proceso consta de dos pasos:
- Determinación de la transformación matemática entre coordenadas
imagen y coordenadas terreno
- Obtención de una nueva imagen alineada con respecto al sistema de
referencia terreno
Luego se realiza un remuestreo digital, asegurando así que todos los
pixeles de la ortofotografía resultante, tengan su nivel de gris.
El remuestreo (resampling) consiste en aplicar una técnica para determinar
el nivel de gris que le corresponde a cada píxel, debido a que la posición
proyectada no tiene porqué coincidir con la posición original del mismo ni
con su valor entero. Al realizar la transformación espacial se tiene que los
valores de las coordenadas de la imagen no coincidirán con los de la
imagen original de forma que habrá puntos que no quedarán definido por
sus niveles digitales (como se ve en la figura). Por tanto, es necesario
interpolar el valor de gris.
Por medio de este método (remuestreo) hacemos varios muestreos
sobre la imagen inicial. Cada vez que se efectúan cambios geométricos en
la imagen digital, surgen varios errores de forma inevitable.

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Los tres métodos de remuestreo más frecuentemente usados son:
- Vecino más próximo.
- Interpolación bilineal.
- Convolución bicúbica.
Comparativa tipos de rectificación
Métodos de Rectificación
Las transformaciones empleadas en la rectificación de imágenes son:
- Transformación de Helmert
- Transformación afín
- Transformación polinómica
- Transformación proyectiva bidimensional
A) Transformación de Helmert: (fotos aéreas de escalas pequeñas)
X, Y: coordenadas
terreno
x, y: coordenadas foto
a, b, Tx, Ty:
parámetros de la
transformación
1 giro + 1 homotecia
+ 2 traslaciones
2 ecuaciones por P.A.
mínimo 3 P.A. para
MMCC

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Ejemplo:
B) Transformación Afín:
Ejemplo:
1 giro + 1 traslación + homotecia en x
+ homotecia en y
+ falta de perpendicularidad
6 parámetros.
2 ecuaciones por P.A.
Mínimo 4 P.A. para MMCC

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C) Transformación Polinómica:
Es un polinomio para ajustar los puntos de control del fotograma
sobre el terreno.
Se necesitan 6 P.A. para 1 ecuación.
Si se desea hacer un ajuste por MMCC, se necesita un mínimo de 7 P.A.
Ejemplo de una Transformación Polinómica 2º grado:

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D) Transformación Proyectiva: (el más usado)
La transformación proyectiva plantea la relación existente entre dos
planos (figura). Esta relación es definida por 8 parámetros (suponemos z =
0 y así eliminamos un parámetro) que pueden calcularse a partir de cuatro
puntos de control y sus correspondientes coordenadas imagen. No es
necesario el cálculo de los elementos de orientación interna y externa
puesto que están incluidos implícitamente en los coeficientes de la
transformación. Este método es de uso frecuente para rectificación de
fotografías aéreas de zonas llanas o de imágenes de fachadas de edificios.
La expresión de la transformación
proyectiva puede ser modificada
para la toma de una imagen desde
un satélite. Los sensores
instalados en los satélites, como
por ejemplo el SPOT, realizan la
captura mediante un barrido de
líneas, por tanto, su geometría es
de tipo perspectiva lineal, no
existiendo un punto de vista sino
una línea de vista. Cada línea de barrido tiene un centro de perspectiva
diferente que se puede asumir que están en una línea recta (órbita). Si se
considera el eje y en la dirección de vuelo y x representa el pixel en la línea
de barrido, la expresión de la transformación perspectiva se modifica de la
forma:
La utilización de este método en el tratamiento de imágenes satélites
es compleja ya que debido a la curvatura terrestre, el definir la superficie
terrestre como un plano lleva a producir errores en la imagen rectificada,
incluso para terrenos llanos. No obstante, este método es valido para la
rectificación de imágenes de sensores aerotransportados.
2 ecuaciones por P.A. Necesitamos 5 P.A. para MMCC.

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Cálculo de parámetros de la Transformación Proyectiva 2D:
1 1 1
3 3
2 2 2
3 3
1
1
a x b y c
X
a x b y
a x b y c
Y
a x b y
+ +
= + +

+ + =
 + +
( )
( )
3 3 1 1 1
3 3 2 2 2
1
1
X a x b y a x b y c
Y a x b y a x b y c
+ + = + +
+ + = + +
1 1 1 3 3
2 2 2 3 3
a x b y c a x X b y X X
a x b y c a x Y b y Y Y
+ + − ⋅ − ⋅ =
+ + − ⋅ − ⋅ =
1
1
1
2
2
2
3
3
1 0 0 0
0 0 0 1
a
b
c
ax y xX yX X
bx y xY yY Y
c
a
b
 
 
 
 
 
− −    ⋅ =    − −    
 
 
 
 
 
Ejemplo:
La fotografía rectificada mantiene la horizontalidad y verticalidad de
las líneas del objeto.

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Rectificación digital
Consiste en el cálculo de los parámetros de la transformación
proyectiva bidimensional que relaciona coordenadas terreno y coordenadas
imagen a partir de los puntos de control:
- 8 incógnitas: a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2
- 1 punto de control → 2 ecuaciones
- 4 ptos control → 8 ecuaciones y 8 incógnitas: sistema compatible
determinado
- Más de 4 puntos de control → resolución del sistema por mínimos
cuadrados
Los pasos a seguir son:
- Creación de una nueva imagen alineada con respecto al sistema de
referencia terreno.
- Determinación de la posición que tenía en la foto inclinada el centro
de un pixel de la nueva imagen.
- Relleno de la nueva imagen con el valor digital correspondiente
La rectificación de fotogramas puede hacerse mediante técnicas
digitales que incorporan un escáner fotogramétrico y un proceso de cálculo.
Este procedimiento es un caso especial del concepto general de
georreferenciación de una imagen digital. La georreferenciación es una
técnica mediante la cual se procesa una imagen digital de modo que las
filas y columnas de la imagen resultado estén alineadas con el norte y el
este de un sistema de coordenadas terreno. La diferencia es que la
rectificación requiere que se use una transformación proyectiva para
relacionar la imagen con el sistema de coordenadas terreno. Mientras que la
georreferenciación a menudo usa transformaciones más simples como
transformación conforme bidimensional o la transformación afín
tridimensional.
Los tres dispositivos necesarios para la rectificación diferencial son
un escáner fotogramétrico, un ordenador, y una impresora o dispositivo
capaz de generar una imagen digital.

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Georreferenciación de una imagen digital:
Consta de dos pasos: calcular los parámetros de una transformación
de coordenadas bidimensional que relacione la imagen digital con el
sistema terreno, y rellenar una matriz alineada con el sistema de
coordenadas terreno con los valores digitales apropiados que cuantifican el
nivel digital del terreno en las localizaciones correspondientes a las
posiciones de la matriz.
En el primer paso se selecciona un cierto número de puntos terreno
de control (GCP) que puedan ser identificados en la imagen y de los que se
conozcan con precisión las coordenadas terreno. Las coordenadas imagen
fila y columna de cada GCP son obtenidas y relacionadas con las
coordenadas terreno. El método más simple para obtener las coordenadas
imagen es mostrar la imagen en pantalla; entonces, usando por ejemplo el
ratón, se coloca el cursor sobre el punto imagen y se cargan las
coordenadas fila y columna apretando algún botón.
La transformación de coordenadas en este primer paso del proceso de
georreferenciación convierte las coordenadas terreno a coordenadas
imagen. Se podría usar cualquier transformación de coordenadas
bidimensional, pero las más habituales son la conforme y la afín.
En el segundo paso se produce una imagen que esté alineada con el
sistema de coordenadas terreno. Para entender mejor este paso podemos
imaginar el terreno dividido en elementos individuales llamados groundels,
análogos a los pixels de la imagen digital. La diferencia es que mientras los
pixels no tienen una relación específica con el terreno, los groundels están
ordenados en una malla que es paralela al sistema de coordenadas terreno.

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Para cada groundel se transforman las coordenadas terreno X, Y de
su punto central en sus correspondientes coordenadas imagen, aplicando
los parámetros calculados en el primer paso. A continuación el nivel digital
de la imagen correspondiente a dichas coordenadas imagen se guardan en
la matriz terreno. Esto es lo que se llama remuestreo. El proceso se aplica a
cada uno de los elementos de la malla.
Remuestreo:
Métodos de remuestreo (resampling):
- Vecino más próximo (nearest neighbour)
Asigna el ND del pixel más próximo en la imagen original
- Interpolación bilineal
Promedia el ND de los 4 pixels más próximos en la imagen original
- Convolución cúbica
Promedia el ND de los 9 pixels más próximos en la imagen original
- Convolución bicúbica
Promedia el ND de los 16 pixels más próximos en la imagen original
A grandes rasgos el remuestreo consiste en asignar valores y la
rectificación consiste en cambiar las coordenadas y por lo tanto la
geometría de la imagen.
Desplazamiento causado por el relieve: Fotografía vertical

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9.3- Errores en la rectificación
Son causados por la diferencia entre la altitud de la superficie del
terreno y la altitud del plano de referencia.
Se producen desplazamientos radiales desde el punto nadir hacia
afuera si el terreno es más alto que el plano de referencia y hacia adentro si
es más bajo.
Magnitud del desplazamiento:
b
r
r h
f m
∆ = ⋅
⋅
El desplazamiento es proporcional a la distancia radial r.
Para ajustar el error a la tolerancia deseada habrá que limitarse a
utilizar la zona central del fotograma.

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Desplazamiento debido al relieve más pormenorizadamente:
Se ha establecido como requisito indispensable para poder realizar
correctamente una rectificación el disponer de un terreno horizontal y llano,
por supuesto siempre dentro de unos ciertos límites de tolerancia, que
vienen impuestos por los errores admisibles en la proyección, debido a los
desplazamientos del relieve.
El desplazamiento del relieve se ilustra en la figura 2, donde se
representa una toma fotográficavertical tomada a un altura media de vuelo
de valor H. La distancia principal de la cámara es c y O es el centro de
proyección de la toma. La imagen del punto P sobre el terreno de altura h
queda representado sobre el plano de la imagen por p. Un punto imaginario
P´ es localizado en la vertical del punto P, sobre el plano de referencia
(terreno), y sus correspondiente posición sobre la imagen viene dada por p´.
En la figura se observa que el desplazamiento del punto P producido
por el relieve h viene dado por en la imagen por el segmento rr´= (∆r) ,
siendo un desplazamiento radial desde el punto principal. Lógicamente
cuanto más alejado estemos del centro de la fotografía mayor será la
magnitud de dicho desplazamiento.

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De la figura se deduce las expresiones siguientes:
Igualando las dos expresiones anteriores tendremos:
Sustituyendo en la expresión ∆r = r-r´ tendremos:
siendo ∆r el desplazamiento producido en la imagen por el relieve del
terreno, h la altura del objeto, H la altura de vuelo y r la distancia radial
sobre la fotografía desde el punto principal al punto desplazado.
Esta ecuación expresa el desplazamiento del relieve para fotogramas
verticales. Observando la ecuación se deduce que el desplazamiento debido
al relieve aumenta con el incremento de la distancia radial y también
incrementa con el aumento de la altura de los objetos.
Errores en la rectificación

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Rectificación: cuestiones
¿Se necesita conocer la geometría de la cámara?
¿Es necesario recubrimiento estereoscópico?
¿Hay que realizar las orientaciones previamente a la rectificación?
¿Cuántos puntos de apoyo se necesitarán para la rectificación?
¿Las imágenes obtenidas tras la rectificación tienen algún tipo de error?
¿En qué casos se puede aplicar la rectificación?
¿Es adecuada la rectificación en el caso de imágenes aéreas?
PROBLEMAS
Libro 99.4137
Nº 7, 8, 9 y 10.