Sistema de Ecuaciones Diferenciales de 1er Orden aplicados en el llenado de tanques.

1. En este documento podrás
observar algunos ejemplos de
sistemas de ecuaciones
diferenciales de primer orden
para resolver en el campo
laboral.
Te reto a que resuelvas los
últimos propuestos

2. 1.
2.
3.
4.
5.
Hola muchachos disculpen los inconvenientes, bueno aquí
les dejo algunos problemas, para que ustedes resuelvan,
como verán están resueltos para que puedan verificar sus
respuestas, y son de landas diferentes

3. 1.
; W
las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir
x=C1x1+C2x2=C1
2.

4. ; W
las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir
x=C1x1+C2x2=C1
3.
las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir
x=C1x1+C2x2=C1

5. 4.
;
;
;

6. ,
las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir
x=C1x1+C2x2 +C3x3=C1
5.

7. ,
las soluciones son L.I. son una base de soluciones y se pueden escribir
x=C1x1+C2x2 +C3x3=C1

8. Observe que el volumen de líquido en cada tanque es constante 24 litros,
debido al equilibrio entre las razones de entrada y salida. Por lo tanto, tenemos
dos funciones incógnitas de t; la masa de sal x(t) en el tanque A y la masa de sal
y(t) en el tanque B. si centramos nuestra atención en un tanque a la vez, podemos
deducir dos ecuaciones que relacionen estas incógnitas. como el sistema esta
alimentado con agua pura, esperamos que el contenido de sal de cada tanque
tienda a cero cuando t ™¥ .
Para formular las ecuaciones de este sistema, igualamos la razón de cambio de
sal en cada tanque con la razón neta con la que transfiere la sal a ese tanque. la
concentración de sal en el tanque A es , de modo que el tubo superior
saca sal del tanque A a razón de de manera similar, el tubo inferior
lleva sal al tanque A a razón (la concentración de sal en el tanque B
es , el flujo de agua pura, por supuesto no transfiere sal (simplemente
mantiene el volumen del tanque A en 24 litros). Por nuestra premisa,
razón de entrada – razón de salida,
de modo que la razón de cambio de la masa de sal en el tanque A es
La razón de cambio de la sal en el tanque B se determina mediante los mismos
tubos de conexión y por el tubo de drenado que saca

9. Así los tanques interconectados quedan descritos mediante un sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden:

10. Considérese dos tanques de salmuera
conectados. El tanque 1 contiene x(t)
libras de sal en 100 gal de salmuera y El
tanque 2 contiene y(t) libras de sal en 200
gal de salmuera. Ésta se conserva
uniforme en el tanque por agitamiento y se
bombea de un tanque al otro con la tasa
indicada en la figura. Además, el tanque 1
fluye agua pura a 20 gal/min, en tanto que
del tanque 2 escapa a una tasa de cambio
de 20 gal/min (por lo que el volumen de la
salmuera en ambos tanques permanece
x(t) Lb
100 gal
constante). La concentración de sal en los dos tanques es de x/100 libras por galón y y/200 libras por galón
respectivamente. Cuando calculemos la tasa de cambio de la cantidad de sal en ambos tanques, obtenemos
el sistema de ecuaciones diferenciales que de satisfacer x(t) y y(t):
en resumen:
Tres tintas de fermentación de 100 galones están
conectadas manteniéndose uniformes las mezclas
de los tanques mediante agitación. Denote con xi(t)
la cantidad (en libras) de alcohol en el tanque Ti en
el instante t (donde i=1,2,3). Supóngase que la
mezcla circula entre los tanques a una tasa de 10
gal/min.
Tanque 2
20 gal/min
Agua pura
y(t) Lb
200 gal
Tanque 1
20 gal/min
10 gal/min
30 gal/min

11. Modelo matemático Lotka-Volterra.
El matemático italiano Volterra, después de haberse interesado por la ecología matemática y haber sido
estimulado por su amigo zoólogo Humberto D' Ancona, estudio los registros de las pesquerías del Mar
Adriático Superior y observó que, durante y después de la Segunda Guerra Mundial, cuando la pesca había
disminuido drásticamente, la proporción de los depredadores había aumentado.
Este hecho lo llevo a estudiar ese problema de una manera más general, logrando construir la primer teoría
determinista sistematizada de la dinámica de poblaciones.
· Oscilaciones en las relaciones presa-depredador de Volterra.
Para iniciar su investigación matemática estableció ciertas cosas:
 Que la especie depredadora se alimentaba exclusivamente de la especie presa, mientras que ésta se
alimentaba de un recurso que se encontraba en el hábitat en grandes cantidades, el cual solo intervenía así
( pasivamente).
 Que ambas poblaciones eran homogéneas, es decir, no intervenían factores como la edad o el sexo.
 Que, así mismo, el medio era homogéneo, es decir, que las características físicas, biológicas entre otras,
eran las mismas en el hábitat.
 Y que los encuentros de la especie depredadora con las especie presa eran igualmente probables.
Siendo así, se encontró con que solo existían dos variables : el tamaño poblacional de la especie depredadora
y el de la especie presa. Así mismo, supuso que ambos tamaños poblacionales dependían exclusivamente del
tiempo y no de alguna otra variable especial.
Determino que si no existiesen depredadores, la población de presas crecería malthusianamente , es decir:
mientras que si ni hubiese presas, la especie depredadora decrecería, también siguiendo un modelo
maltusiano, es decir:
Ahora bien, dado que la interacción beneficia a la especie depredadora y perjudica a la presa, él supuso que
seria necesario modificar a los depredadores en un termino que diera cuenta del perjuicio para una y del
beneficio para la otra, lo que tendría que ser :
Luego entonces, Volterra se topo con el problema de encontrar una forma analítica para cada termino que
aparece entre corchetes y, basándose en el argumento de que cuantos más encuentros por unidad de tiempo
haya entre individuos de la especie presa con la especie depredadora, mayor ha de ser el perjuicio de unos y
el beneficio de otros; llego a la conclusión de que el numero de encuentros por unidad de tiempo entre presas

12. y depredadores, es proporcional al producto algebraico de sus respectivas densidades poblacionales, es
decir:
[Numero de encuentros por u. de t.] x(t)y(t)
He incorporó esto en las dos ecuaciones anteriores :
donde “a” es la tasa instantánea de aumento de presas en ausencia de depredadores; mientras que “c” es la
tasa instantánea per capita de disminución de depredadores, en el caso de ausencia de presas. Originalmente
Volterra interpreto esto diciendo que :
“...los parámetros constantes a y c representan la razón de nacimiento y muerte de las dos especies; mientras
que b mide la susceptibilidad de la especie presa a la depredación y d mide la habilidad de depredación de
esta especie. Las constantes b y d son la proporción de encuentros perjudiciales para las presas y la
correspondiente de encuentros benéficos para los depredadores, respectivamente...”
Y así logro afirmar que en una interacción presa-depredador descrita en las ecuaciones anteriores, el tamaño
de la especie presa y el de la especie depredadora, cambian periódicamente al aumentar el tiempo lo que en
términos geométricos sería: *La dinámica de las presas.-
Los puntos de equilibrio para este sistema son soluciones del sistema algebraico
Evidentemente, x=y=0 es una solución; es decir, el origen (0,0) es un punto de equilibrio. Asimismo, por las
últimas ecuaciones, debería resultar claro que si x o y es nula la otra variables también ha de serlo. Portanto,
si hay cualquier otro punto de equilibrio, debemos tener x¹0 e y¹0. En la primera ecuación algebraica, x¹0,
debemos tener , y por tanto, y=a/b. Por la segunda ecuación, vemos que si y¹0, entonces
, y por tanto, x=c/d. En consecuencia, los únicos puntos de equilibrio para el sistema de Lotka-volterra
son (0,0) y (c/d,a/b).
En las Proximidades del origen podemos reemplazar nuestro sistema original por el sistema lineal asociado
que se puede escribir en la forma matricial , donde y
A fin de estudiar las Proximidades del punto (c/d,a/b) transformaremos el sistema definido y
. entonces nuestro sistema original se convierte en

13. El sistema lineal asociado viene dado por , donde y

14. Otro problema es este problema de física de péndulo no amortiguado cuya
ecuación que la modela pero para angulos muy pequeños
de q el valor de senq@q reescribiendo la ecuación será en
donde si linealizamos haciendo llamar e una ecuación de
segundo grado en un sistemas de ecuaciones lineales resulta
en forma matriacial , donde