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FRANK M. WHITE
mecánica
de fluidos
quinta
edición
Mecánica de Fluidos
Mecánica de Fluidos
Quinta edición
Frank M. White
University of Rhode Island
Equipo de Traducción:
Marcos Vera Coello
Miguel Hermanns Navarro
Rafael Gómez Blanco
Óscar Flores Arias
Revisor Técnico:
Amable Liñán Martínez
Dept. de Motopropulsión y Termofluidodinámica
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos
Universidad Politécnica de Madrid
MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICO
NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SÃO PAULO
AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍS
SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO
MECÁNICA DE FLUIDOS. Quinta edición
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento in-
formático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea
electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso
previo y por escrito de los titulares del Copyright.
DERECHOS RESERVADOS © 2004, respecto a la quinta edición en español,
por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. U.
Edificio Valrealty, 1.a
planta
Basauri, 17
28023 Aravaca (Madrid)
Traducido de la quinta edición en inglés de
FLUID MECHANICS
Copyright © 2003, por McGraw-Hill, Inc.
ISBN: 0-07-240217-2
ISBN: 84-481-4076-1
Depósito legal: M.
Editora de la edición en español: Silvia Figueras
Asistente editorial: Amelia Nieva
Diseño de cubierta: CD-FORM
Compuesto en: Fernández Ciudad, S.L.
Impreso en:
IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
Frank M. White es Profesor Emérito de Ingeniería Mecánica y Oceánica en la Universidad de Rhode Is-
land. Estudió en el Instituto Tecnológico de Georgia (Georgia Tech) y en el Instituto Tecnológico de Mas-
sachusetts (M.I.T.). En 1966 colaboró en la creación del departamento de ingeniería oceánica de la Uni-
versidad de Rhode Island, el primero de este tipo en EE.UU. Conocido principalmente como profesor y
escritor, ha recibido ocho premios de docencia y ha escrito cuatro libros de texto sobre mecánica de fluidos
y transferencia de calor.
Desde 1979 hasta 1990 fue editor jefe de la revista ASME Journal of Fluids Engineering y después, en-
tre 1991 y 1997, fue director del Consejo de Editores y del Comité de Publicaciones de la ASME (Ameri-
can Society of Mechanical Engineers). Es miembro de la ASME y en 1991 recibió el premio ASME de In-
geniería de Fluidos. Vive con su mujer, Jeanne, en Narragansett, Rhode Island.
v
El autor
A Jeanne
Prólogo xi
Prólogo a la edición española xiv
CAPÍTULO 1
Introducción 3
1.1. Notas preliminares 3
1.2. Concepto de fluido 4
1.3. El fluido como medio continuo 5
1.4. Dimensiones y unidades 6
1.5. Propiedades del campo de velocidades 13
1.6. Propiedades termodinámicas de un fluido 15
1.7. Viscosidad y otras propiedades secundarias 22
1.8. Técnicas básicas de análisis de los flujos 36
1.9. Descripción del flujo: líneas de corriente, sendas
y líneas de traza 37
1.10. El resolvedor de ecuaciones de ingeniería 42
1.11. Incertidumbre de los datos experimentales 43
1.12. El examen de fundamentos de ingeniería (FE) 44
1.13. Técnicas de resolución de problemas 45
1.14. Historia y perspectiva de la mecánica de fluidos 45
Problemas 46
Problemas del examen de fundamentos de
ingeniería 54
Problemas extensos 54
Referencias 57
CAPÍTULO 2
Distribución de presiones de un fluido 59
2.1. Presión y gradiente de presión 59
2.2. Equilibrio de una partícula fluida 61
2.3. Distribución de presiones en hidrostática 63
2.4. Aplicación a la medida de presiones 69
2.5. Fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas 73
2.6. Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas 79
2.7. Fuerzas hidrostáticas en fluidos estratificados 82
2.8. Flotación y estabilidad 84
2.9. Distribución de presiones en movimiento como
sólido rígido 90
2.10. Medida de la presión 98
Resumen 102
Problemas 102
Problemas conceptuales 123
Problemas del examen de fundamentos de
ingeniería 124
Problemas extensos 124
Proyectos de diseño 126
Referencias 127
CAPÍTULO 3
Relaciones integrales para un volumen de control 129
3.1. Leyes básicas de la mecánica de fluidos 129
3.2. Teorema del transporte de Reynolds 133
3.3. Conservación de la masa 141
3.4. Conservación de la cantidad de movimiento 148
3.5. Teorema del momento cinético 161
3.6. Ecuación de la energía 166
3.7. Flujo sin fricción: la ecuación de Bernoulli 177
Resumen 185
Problemas 186
Problemas conceptuales 213
Problemas del examen de fundamentos de
ingeniería 213
Problemas extensos 214
Problemas de diseño 215
Referencias 216
CAPÍTULO 4
Relaciones diferenciales para una partícula fluida 219
4.1. El campo de aceleraciones de un fluido 219
4.2. La ecuación diferencial de conservación de la
masa 221
4.3. La ecuación de la cantidad de movimiento en forma
diferencial 227
4.4. La ecuación diferencial del momento cinético 234
4.5. La ecuación diferencial de la energía 235
4.6. Condiciones de contorno para las ecuaciones
básicas 238
4.7. La función de corriente 243
4.8. Vorticidad e irrotacionalidad 251
4.9. Flujos irrotacionales no viscosos 253
4.10. Algunos flujos potenciales planos ilustrativos 258
4.11. Algunos flujos viscosos incompresibles ilustrativos 263
Resumen 272
Problemas 272
Problemas conceptuales 282
vii
Contenido
Problemas del examen de fundamentos de
ingeniería 282
Problemas extensos 283
Referencias 284
CAPÍTULO 5
Análisis dimensional y semejanza 287
5.1. Introducción 287
5.2. El principio de homogeneidad dimensional 290
5.3. El teorema Pi 295
5.4. Adimensionalización de las ecuaciones básicas 301
5.5. La modelización y sus dificultades 310
Resumen 320
Problemas 320
Problemas conceptuales 328
Problemas del examen de fundamentos de
ingeniería 329
Problemas extensos 329
Proyectos de diseño 330
Referencias 331
CAPÍTULO 6
Flujo viscoso en conductos 335
6.1. Regímenes en función del número de Reynolds 335
6.2. Flujos internos y flujos externos 340
6.3. Pérdida de carga; el coeficiente de fricción 342
6.4. Flujo laminar completamente desarrollado en
conductos circulares 344
6.5. Modelización de la turbulencia 347
6.6. Flujo turbulento en conductos circulares 353
6.7. Tres tipos de problemas sobre flujo en tubos 360
6.8. Flujo en conductos no circulares 366
6.9. Pérdidas localizadas en sistemas de tuberías 376
6.10. Sistemas de tuberías 384
6.11 Experimentación de flujos en conductos: actuaciones
de un difusor 390
6.12. Medidores en fluidos 395
Resumen 414
Problemas 414
Problemas conceptuales 431
Problemas del examen de fundamentos de
ingeniería 431
Problemas extensos 432
Proyectos de diseño 434
Referencias 434
CAPÍTULO 7
Flujo alrededor de cuerpos 437
7.1. Efectos geométricos y del número de Reynolds 437
7.2. Métodos integrales en la teoría de la capa límite 440
7.3. Las ecuaciones de capa límite 444
7.4. Capa límite sobre una placa plana 446
7.5. Capa límite con gradiente de presión 455
7.6. Experimentación en flujos externos 461
Resumen 487
Problemas 487
Problemas conceptuales 500
Problemas del examen de fundamentos de
ingeniería 500
Problemas extensos 501
Proyectos de diseño 502
Referencias 502
CAPÍTULO 8
Flujo potencial y mecánica de fluidos computacional 505
8.1. Introducción y repaso 505
8.2. Soluciones elementales en flujos planos 508
8.3. Superposición de soluciones de flujos planos 510
8.4. Flujos planos alrededor de cuerpos cerrados 516
8.5. Otros flujos potenciales planos 525
8.6. Imágenes 530
8.7. Teoría de perfiles 532
8.8. Flujo potencial axilsimétrico 543
8.9. Análisis numérico 549
Resumen 563
Problemas 563
Problemas conceptuales 574
Problemas extensos 574
Proyectos de diseño 576
Referencias 576
CAPÍTULO 9
Flujo compresible 579
9.1. Introducción 579
9.2. La velocidad del sonido 583
9.3. Flujo estacionario adiabático e isentrópico 586
9.4. Flujo isentrópico con cambios de área 591
9.5. La onda de choque normal 599
9.6. Operación de toberas convergentes y divergentes 606
9.7. Flujo compresible en conductos con fricción 611
9.8. Flujo en conductos sin fricción y con adición de
calor 623
9.9. Flujo supersónico bidimensional 627
9.10. Ondas de expansión de Prandtl-Meyer 637
Resumen 650
Problemas 650
Problemas conceptuales 663
Problemas del examen de fundamentos de
ingeniería 663
Problemas extensos 664
Proyectos de diseño 665
Referencias 666
CAPÍTULO 10
Flujo en canales abiertos 669
10.1. Introducción 669
10.2. Movimiento uniforme: la fórmula de Chézy 674
10.3. Canales eficientes para movimiento uniforme 680
viii CONTENIDO
10.4. Energía específica; calado crítico 682
10.5. El resalto hidráulico 689
10.6. Movimiento gradualmente variado 694
10.7. Control y medida de caudales mediante vertederos 701
Resumen 708
Problemas 709
Problemas conceptuales 720
Problemas del examen de fundamentos de
ingeniería 720
Problemas extensos 720
Proyectos de diseño 721
Referencias 722
CAPÍTULO 11
Turbomáquinas 725
11.1. Introducción y clasificación 725
11.2. La bomba centrífuga 728
11.3. Curvas características de bombas y reglas de
semejanza 734
11.4. Bombas helicocentrífugas y axiales: la velocidad
específica 743
11.5. Acoplamiento de bombas a una red 751
11.6. Turbinas 756
Resumen 769
Problemas 769
Problemas conceptuales 780
Problemas extensos 780
Proyecto de diseño 782
Referencias 782
Apéndice A Propiedades físicas de los fluidos 785
Apéndice B Tablas para flujos compresibles 791
Apéndice C Factores de conversión 807
Apéndice D Ecuaciones de movimiento en coordenadas
cilíndricas 811
Solución de problemas seleccionados 813
Índice 821
CONTENIDO ix
ENFOQUE GENERAL
En la quinta edición del libro Mecánica de Fluidos se ha añadido y suprimido material con respecto a edi-
ciones anteriores, aunque la filosofía del libro se mantiene intacta. La estructura básica, compuesta por
once capítulos y apéndices, sigue igual. Se siguen discutiendo los tres métodos: integral, diferencial y ex-
perimental. Se han añadido nuevos problemas, y se han modificado muchos de los problemas y ejemplos
de trabajo. Se ha mantenido el estilo informal, orientado a los estudiantes, y se han añadido bastantes fo-
tografías y figuras nuevas.
HERRAMIENTAS DE APRENDIZAJE
El número de problemas continúa aumentando: de los 1089 de la primera edición se ha pasado a 1169 en
la segunda, 1392 en la tercera, 1500 en la cuarta y 1650 en esta quinta edición. La mayor parte de ellos
son los problemas estándar de final de capítulo, clasificados por temas. También hay problemas concep-
tuales, problemas tipo test del Examen de Fundamentos de Ingeniería, problemas extensos y proyectos de
diseño. En el apéndice se recogen las respuestas a los problemas seleccionados (los de numeración par).
Los problemas de ejemplo del texto principal han sido reestructurados de nuevo, siguiendo la secuencia
de pasos indicada en la Sección 1.13, con el objetivo de proporcionar una estrategia uniforme de resolución
de problemas a los estudiantes.
CAMBIOS DE CONTENIDO
Hay varias modificaciones en cada capítulo. El Capítulo 1 se ha reducido considerablemente, trasladando los
temas más avanzados a capítulos posteriores. Por su gran importancia, se han añadido nuevas discusiones
y nuevas figuras relativas a la visualización de flujos.
El Capítulo 2 contiene material nuevo sobre transductores de presión.
El Capítulo 3 introduce una lista de sugerencias específicas para tratar las dificultades de la ecuación
de cantidad de movimiento. La ecuación de Bernoulli sigue incluyéndose al final en lugar de tratarse en un
nuevo capítulo. Se hace énfasis en las numerosas restricciones a las que está sometida la ecuación de Ber-
noulli, que con frecuencia utilizan de forma incorrecta tanto los estudiantes como los ingenieros gradua-
dos.
El Capítulo 4 incluye ahora el análisis del flujo laminar de Poiseuille en conductos, como un ejemplo de
solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes. Este tema se vuelve a tratar brevemente en el Capítu-
lo 6. Si no está de acuerdo con este orden, se pueden omitir las Secciones 4.10 y 4.11 y tratarlas entonces.
El Capítulo 5 contiene ahora una sección completa donde se discute cómo elegir las variables dimen-
sionalmente independientes adecuadas para el análisis dimensional. Decidiendo en primer lugar cómo se es-
calan y cómo se presentan los datos, la ambigüedad desaparece o al menos se reduce.
En el Capítulo 6 se ha añadido una nueva sección sobre las pérdidas de carga y el coeficiente de fric-
ción. El flujo laminar y turbulento en tuberías se estudia de forma separada para aumentar la claridad. Los
modelos de turbulencia se incluyen ahora en una nueva sección. Se han añadido nuevos datos sobre pérdi-
das localizadass, y se discuten nuevos medidores de caudal. Los medidores de orificio y tobera incluyen
ahora un factor de corrección por compresibilidad.
xi
Prólogo
El Capítulo 7 contiene nuevas discusiones sobre Mecánica de Fluidos Computacional (CFD, Compu-
tational Fluid Mechanics) y más detalles sobre la aproximación de capa límite. Se ha añadido una nueva
sección sobre movimientos lentos.
El Capítulo 8, salvo por la adición de nuevos problemas y referencias, queda prácticamente igual. Creo
que se trata del tratamiento más extenso del flujo potencial en un libro para estudiantes no graduados.
En el Capítulo 9 se discuten con mayor detalle los flujos de Fanno y Rayleigh y se presentan algunas de
las nuevas tendencias en aeronáutica, tanto subsónicas como supersónicas.
El Capítulo 10 contiene más discusiones sobre el número de Froude y ha mejorado el tratamiento de las
soluciones compuestas de movimientos gradualmente variados gracias al Profesor Bruce E. LaRock, de la
Universidad de California, Davis. Se ha añadido un esquema sencillo de diferencias finitas para movi-
mientos variados que resulta útil cuando las mediciones del campo fluido son escasas. También se ha in-
troducido el concepto de vertedero compuesto.
El Capítulo 11 está prácticamente inalterado, excepto por las mejoras y las correcciones introducidas por
el Profesor Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick.
MATERIAL SUPLEMENTARIO
La página web en inglés del libro, http://www.mhhe.com/white5, contiene una Guía de Estudio para el Es-
tudiante (Student Study Guide), preparada por el Profesor Jerry Dunn, de la Universidad Tecnológica de Te-
xas, que proporciona una revisión concisa de los principales temas tratados en un primer curso; versiones in-
teractivas de los problemas del Examen de Fundamentos de Ingeniería (FE, Fundamentals of Engineering)
incluidos en el texto, preparados por el Profesor Edward Anderson, de la Universidad Tecnológica de Te-
xas, que pueden servir para preparar el examen o como autoevaluación; un enlace a la página web de EES;
y versiones PowerPoint de todas las figuras del texto.
AGRADECIMIENTOS
Como de costumbre, hay tanta gente que ha colaborado en la elaboración de este libro que me es imposible
recordarlos y enumerarlos a todos. Agradezco las numerosas sugerencias y mejoras realizadas durante la es-
critura del libro por Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick. Todas las revisiones, junto
con el material adicional, incluyendo el Manual de Soluciones, fueron revisados y corregidos por mi cole-
ga Elizabeth J. Kenyon. Muchos otros colaboradores realizaron numerosas sugerencias y correcciones, pro-
porcionaron material para el libro y me dieron ánimos para seguir adelante: Alex Smits, Universidad de
Princeton; Ray Taghavi, Universidad de Kansas; Ganesh Raman, Instituto Tecnológico de Illinois; Phil
Combs, B. D. Fuller y Wayne Stroupe, U.S. Army Waterways Experiment Station; John Cimbala, Univer-
sidad del Estado de Pennsylvania; Sheldon Green, Universidad de la Columbia Británica; Nikos J. Mourtos,
Universidad del Estado de San José; Jacques Lewalle, Universidad de Syracuse; Richard McCuen, Uni-
versidad de Maryland; Andris Skattebo, Scandpower A/S; Bruce E. Larock, Universidad de California, Da-
vis; Sandra Barrette y Joan Zimmer, Badger Meter, Inc.; Dean Mohan, PCB Piezotronics; Andrei Smirnov
e Ismail Celik, Universidad de West Virginia; Fernando Tavares de Pinho, CEFT-Transport Phenomena Re-
search Centre, Portugal; S. Y. Son, Ken Kihm y J. C. Han, Universidad de Texas A&M; Ethan Lipman,
Universidad de California, Davis; Deborah Pence, Universidad del Estado de Oregon; Debendra K. Das,
Universidad de Alaska, Fairbanks; John Gay y Nick Galante, U.S. Navy; Dimitre Karamanev, Universidad
de Western Ontario; Jay M. Khodadadi, Universidad de Auburn; John Foss, Universidad del Estado de Mi-
chigan; William Palm y Raymond Wright, Universidad de Rhode Island; Haecheon Choi, Universidad Na-
cional de Seoul, Korea; Lee Jay Fingersh, National Renewable Energy Laboratory; John Sheridan, Uni-
versidad de Monash; Jason Reese, Universidad de Londres; Samuel S. Sih, Walla Walla College; Chihyung
Wen, Universidad de Da-Yeh, Taiwan; Tim Gourlay, Australian Maritime College; Azer Yalin, Universi-
dad del Estado de Colorado; Donald E. Richards, Instituto Rose-Hulman; Bob Oakberg, Universidad del Es-
tado de Montana; Brian James Savilonis, Instituto Politécnico de Worcester; Ryoichi S. Amano, Ph.D., Uni-
versidad de Wisconsin-Milwaukee; James D. McBrayer, P.E., D.Sc., Universidad de Florida Central; Don
L. Boyer, Universidad del Estado de Arizona; Savas Yavuzkurt, Universidad del Estado de Pennsylvania;
Abdul I. Barakat, Universidad de California, Davis; James A. Liburdy, Universidad del Estado de Oregon;
Clement Kleinstreuer, Universidad del Estado de Carolina del Norte, Raleigh; Robert G. Oakberg, Uni-
xii PRÓLOGO
versidad del Estado de Montana. También han colaborado en la revisión: Dr. John W. Nicklow, P.E., P.H.,
Universidad del Sur de Illinois, Carbondale; Gary Tatterson, Universidad del Estado de North Carolina
A&T; Anthony J. McHugh, Universidad de Illinois; Soyoung Cha, Universidad de Illinois-Chicago; Donald
Carlucci, Instituto de Tecnología Stevens; Darrell W. Pepper, Ph.D., Universidad de Nevada, Las Vegas; y
Farhan H. Chowdhury, Universidad de Ingeniería y Tecnología de Bangladesh.
Como viene siendo habitual, la colaboración del personal de McGraw-Hill fue de enorme ayuda.
Quiero dar las gracias a Jonathan Plant, Amy Hill, Regina Brooks, Rory Stein, Jill Peter, Brenda Ernzen,
Rick Noel, Beverly Steuer, Meg McDonald, David Tietz, Denise Keller, Lauren Timmer y Stephanie
Lange. Finalmente, quiero agradecer, como siempre, el apoyo y los ánimos constantes de mi mujer y mi fa-
milia.
PRÓLOGO xiii
Me complace prologar esta traducción española del libro de Frank M. White, Fluid Mechanics, que a mi jui-
cio representa una introducción excelente a la Mecánica de Fluidos.Cubre muy eficazmente y con el rigor
suficiente una gran variedad de temas de interés práctico, sin requerir por parte del alumno un gran nivel de
conocimientos matemáticos o físicos de partida.
Quisiera resaltar el papel que los numerosos ejercicios de este libro juegan para complementar la ex-
posición de la Mecánica de Fluidos dada en el texto principal. El autor ha conseguido, mediante una cui-
dadosa selección de los ejercicios, ofrecer al alumno la posibilidad de aprovechar el trabajo que la realiza-
ción de los ejercicios representa, no sólo para mejorar su comprensión de los temas desarrollados en el texto,
sino también para ampliar sus conocimientos y su sentido físico del movimiento de los fluidos y de las apli-
caciones prácticas de estos conocimientos. Tanto instructores como alumnos deben ser conscientes de la
magnífica oportunidad que este texto les ofrece de hacer más eficaz su labor.
Dado que no existe uniformidad en la nomenclatura en español para los distintos conceptos de Mecánica
de Fluidos, los traductorres, cuyo profundo conocimiento de la Mecánica de Fluidos me consta, se han vis-
to frecuentemente obligados a hacer una elección entre las varias posibilidades, a sabiendas de que el re-
sultado no puede satisfacer a todos. (Quizá sea especialmente llamativa la elección de tensor de esfuerzos
en lugar de la alternativa de tensor de tensiones.) En todo caso los traductores han tratado de hacer aparecer
en el texto o en el índice la nomenclatura alternativa.
Teniendo en cuenta que en su actividad profesional los futuros ingenieros tendrán, casi inevitablemen-
te, necesidad de utilizar unidades inglesas, se ha mantenido sensiblemente la proporción en que las unida-
des inglesas y las métricas aparecían en los ejemplos y ejercicios del texto original.
Amable Liñán
Prólogo a la edición española
xiv
Mecánica de fluidos
Huracán Elena en el Golfo de México. A diferencia de la mayor parte de las aplicaciones ingenieriles de la
Mecánica de Fluidos a pequeña escala, la dinámica de los huracanes está dominada por la aceleración de
Coriolis debida a la rotación de la tierra, que los hace girar en sentido contrario a las agujas del reloj en el he-
misferio norte. En el presente capítulo se discuten las propiedades físicas y las condiciones de contorno que
gobiernan los flujos como estos. (Por cortesía de NASA/Color-Pic Inc-E.R. Degginger/Color-Pic Inc.)
1.1. NOTAS PRELIMINARES
La Mecánica de Fluidos se ocupa del estudio de los fluidos en movimiento (fluidodinámica) o en reposo
(fluidoestática). Tanto los líquidos como los gases son considerados fluidos, y el número de aplicaciones de
la Mecánica de Fluidos es enorme: respiración, flujo sanguíneo, natación, ventiladores, turbinas, aviones,
barcos, ríos, molinos de viento, tuberías, misiles, icebergs, motores, filtros, chorros y aspersores, por men-
cionar algunas. Bien pensado, casi todas las cosas que existen en este planeta o son un fluido o se mueven
inmersas o cerca de un fluido.
Como ciencia, está basada en un compromiso adecuado entre teoría y experimentación. Por ser la Me-
cánica de Fluidos una rama de la mecánica, dispone de un conjunto de leyes de conservación bien docu-
mentadas y es posible, por tanto, un tratamiento teórico riguroso. Sin embargo, la teoría es a veces frus-
trante, porque se refiere principalmente a ciertas situaciones idealizadas que pueden no ser válidas en los
casos prácticos. Los dos obstáculos mayores para el tratamiento teórico son la geometría y la viscosidad. La
teoría general del movimiento de los fluidos (Capítulo 4) es demasiado difícil para permitir abordar confi-
guraciones geométricas arbitrarias, de modo que la mayor parte de los libros de texto se concentran en pla-
cas planas, conductos circulares y otras geometrías sencillas. También es posible aplicar métodos numéri-
cos a geometrías arbitrarias, y actualmente existen libros especializados que explican las aproximaciones y
los métodos de la Mecánica de Fluidos Computacional (CFD, Computational Fluid Dynamics) [1, 2,
29].1
Este libro presentará muchos resultados teóricos, teniendo siempre presente sus limitaciones.
El segundo obstáculo para la teoría es la acción de la viscosidad, que puede ser despreciada solamente
en algunos flujos idealizados (Capítulo 8). En primer lugar, la viscosidad aumenta la dificultad de las ecua-
ciones básicas, aunque la aproximación de capa límite, hallada por Ludwig Prandtl en 1904 (Capítulo 7), ha
simplificado enormemente el análisis de los flujos viscosos. En segundo lugar, la viscosidad afecta a la es-
tabilidad de todos los flujos, lo que salvo a velocidades muy pequeñas da lugar a un fenómeno desordena-
do y aleatorio llamado turbulencia. La teoría de los flujos turbulentos es rudimentaria y descansa princi-
palmente sobre la experimentación (Capítulo 6), aunque es muy útil para estimaciones ingenieriles. Los
libros de texto suelen presentar algoritmos digitales para analizar los flujos turbulentos [32], pero estos mé-
todos no son exactos, sino simples modelos basados en suposiciones empíricas sobre la media temporal del
campo de esfuerzos turbulentos.
Así pues, existe una teoría para estudiar el flujo de los fluidos, pero en todos los casos debe tener soporte
experimental. A menudo, los datos experimentales son la fuente principal de información sobre determi-
nados flujos, como es el caso de la resistencia y la sustentación de cuerpos (Capítulo 7). Afortunadamente,
la Mecánica de Fluidos es visualizable, existe buena instrumentación [4, 5, 35] y el uso del análisis di-
mensional y modelos a escala (Capítulo 5) está muy extendido. De este modo, la experimentación propor-
ciona un complemento natural y sencillo a la teoría. Se debe tener en cuenta que teoría y experimentación
van de la mano en todos los estudios de Mecánica de Fluidos.
3
Capítulo 1
Introducción
1
Las referencias numeradas aparecen al final de cada capítulo.
1.2. CONCEPTO DE FLUIDO
Desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos, la materia sólo puede presentarse en dos estados: sóli-
do y fluido. La diferencia entre ambos es perfectamente obvia para el lego y es un ejercicio interesante pre-
guntar a alguien que explique esta diferencia en palabras. La distinción técnica radica en la reacción de am-
bos a un esfuerzo tangencial o cortante. Un sólido puede resistir un esfuerzo cortante con una deformación
estática; un fluido, no. Cualquier esfuerzo cortante aplicado a un fluido, no importa cuán pequeño sea, pro-
vocará el movimiento del fluido. Éste se mueve y se deforma continuamente mientras se siga aplicando el
esfuerzo cortante. Como corolario, podemos decir que un fluido en reposo debe estar en un estado de es-
fuerzo cortante nulo; estado que se denomina a menudo condición hidrostática de esfuerzos en análisis es-
tructural. En esta condición, el círculo de Mohr se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante en ningún
plano que corte al elemento en cuestión.
Dada la definición de fluido, cualquier lego sabe que existen dos clases de fluidos, líquidos y gases. De
nuevo, la distinción es técnica y concierne al efecto de las fuerzas cohesivas. Un líquido, al estar compuesto
por agrupaciones de moléculas muy cercanas con enormes fuerzas cohesivas, tiende a conservar su volumen
y formará una superficie libre en un campo gravitatorio si no está limitado por arriba. Los flujos con su-
perficie libre están dominados por efectos gravitatorios y se estudian en los Capítulos 5 y 10. Como las mo-
léculas de gas están muy separadas entre sí, con fuerzas cohesivas despreciables, un gas es libre de expan-
sionarse hasta que encuentre paredes que lo confinan. Un gas no tiene volumen definido y por sí mismo, sin
confinamiento, forma una atmósfera que es esencialmente hidrostática. El comportamiento hidrostático de
líquidos y gases se muestra en el Capítulo 2. Los gases no forman superficies libres y en los flujos gaseosos
raramente influyen otros efectos gravitatorios distintos de los de flotabilidad.
La Figura 1.1 muestra un bloque sólido apoyado sobre un plano rígido y deformado por su propio peso.
El sólido adquiere una deflexión estática, marcada exageradamente con una línea a trazos, resistiendo es-
fuerzos cortantes2
sin fluir. El diagrama de equilibrio del elemento A del lateral del bloque muestra un es-
fuerzo cortante a lo largo del plano cortado a un ángulo θ. Como las paredes del bloque no están sometidas
a esfuerzos, el elemento A tiene esfuerzo nulo a la derecha y a la izquierda y esfuerzo de compresión σ = –p
arriba y abajo. El círculo de Mohr no se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante nulo en el bloque.
Contrariamente, el líquido y el gas en reposo de la Figura 1.1 necesitan paredes para eliminar el esfuerzo
cortante. Las paredes ejercen una compresión –p y el círculo de Mohr se reduce a un punto con esfuerzo
cortante nulo en todas partes, o sea, está en la condición hidrostática. El líquido mantiene su volumen y for-
ma una superficie libre sin llenar completamente el recipiente. Si se quitan las paredes, se crea esfuerzo cor-
tante y el líquido se derrama. Si el recipiente se inclina, también aparece esfuerzo cortante, se forman ondas
y la superficie adopta una posición horizontal, desbordándose llegado el caso. Mientras tanto, el gas se ex-
pande fuera del recipiente, llenando todo el espacio disponible. El elemento A, en el gas, también está en la
condición hidrostática y ejerce una compresión –p sobre la pared.
En la discusión anterior se puede distinguir claramente entre sólidos, líquidos y gases. La mayor parte de
los problemas ingenieriles de la Mecánica de Fluidos se refieren a estos casos claros, por ejemplo, los líquidos
comunes como agua, aceite, mercurio, gasolina y alcohol y a los gases comunes como aire, helio, hidrógeno
y vapor de agua en el rango de temperaturas y presiones normales. Sin embargo, existen muchos casos límites
sobre los que se debe advertir. Algunas sustancias, aparentemente «sólidas» como asfalto y grafito, resisten
esfuerzos cortantes durante breves periodos, pero realmente se deforman y presentan comportamiento de flui-
do en periodos de tiempo largos. Otras sustancias, particularmente coloides y mezclas espesas, resisten pe-
queñas cortaduras, pero «se rompen» a elevados esfuerzos cortantes y fluyen como fluidos. Hay libros de tex-
to especializados dedicados al estudio general de la deformación y el flujo, campo denominado reología [6].
Por otra parte, los líquidos y gases pueden coexistir en mezclas bifásicas, tales como vapor-agua o agua con
burbujas de aire. Algunos libros de texto presentan el análisis de estos flujos bifásicos [7]. Finalmente, hay si-
tuaciones en que la diferencia entre líquido y gas se difumina. Esto ocurre a temperaturas y presiones por en-
cima del llamado punto crítico de la sustancia, donde sólo existe una fase semejante al gas. A medida que la
presión aumenta muy por encima del punto crítico, la sustancia gaseosa se hace tan densa que parece líqui-
do y las aproximaciones termodinámicas usuales, como la ley de los gases perfectos, dejan de ser fiables. La
temperatura y presión críticas del agua son Tc
= 647 K y pc
= 219 atm3
, de manera que los problemas típicos
con agua o vapor están por debajo de dicho punto. El aire, por ser una mezcla de gases, no tiene punto críti-
co propio, pero su principal componente, el nitrógeno, tiene Tc
= 126 K y pc
= 34 atm. Por ello, en los pro-
4 MECÁNICA DE FLUIDOS
2
Utilizamos el término esfuerzo análogo al de tensión, es decir, con significado de fuerza por unidad de superficie (N. del T.).
3
Una atmósfera equivale a 101.300 Pa = 2116 lbf/ft2
.
blemas típicos, con altas temperaturas y bajas presiones comparadas con su punto crítico, el aire se comporta
claramente como un gas. Este libro tratará solamente sobre líquidos y gases identificables como tales, y los
casos límites citados anteriormente quedan fuera de nuestro objetivo.
1.3. EL FLUIDO COMO MEDIO CONTINUO
Hemos utilizado ya términos técnicos tales como presión y densidad del fluido sin una discusión rigurosa
de su definición. Sabemos que los fluidos son agregaciones de moléculas, muy separadas en los gases y pró-
ximas en los líquidos. La distancia entre las moléculas es mucho mayor que el diámetro molecular. Las mo-
léculas no están fijas en una red, sino que se mueven libremente. Por ello, la densidad, o masa por unidad de
volumen, no tiene un significado preciso, pues el número de moléculas en el interior de un volumen cual-
quiera cambia continuamente. Este efecto pierde importancia si la unidad de volumen es mucho mayor que
el cubo del espaciado molecular, ya que el número de moléculas contenidas permanecerá prácticamente
constante a pesar del considerable intercambio a través de su contorno. Si la unidad de volumen escogida es
demasiado grande, puede haber una variación notable en la distribución global de partículas. Esta situación
está ilustrada en la Figura 1.2, donde la «densidad» calculada a partir de la masa molecular δm de un vo-
lumen dado δ, aparece en función del volumen escogido. Hay un volumen límite δ* por debajo del cual
las variaciones moleculares pueden ser importantes y por encima del cual las variaciones macroscópicas
también lo pueden ser. La densidad ρ de un fluido se define de modo óptimo como
(1.1)
l
b
b
b b
=
A
lím
  
*
m
INTRODUCCIÓN 5
Deflexión
estática
Superficie
libre
Condición
hidrostática
Líquido
Sólido
A A A
(a) (c)
(b) (d)
0
0
A A
Gas
(1)
– p – p
p
p
p
= 0
τ
θ
θ
θ
2
1
– = p – = p
σ
σ
1
τ
σ
τ
σ
τ
σ
Figura 1.1. Un sólido en equilibrio puede soportar esfuerzo cortante. (a) Deflexión estática del sólido; (b) equilibrio
y círculo de Mohr del elemento A del sólido. Un fluido no puede. (c) Se necesitan paredes de contención; (d) equi-
librio y círculo de Mohr para el elemento A del fluido.
El volumen límite δ* es alrededor de 10–9
mm3
para todos los líquidos y gases a presión atmosférica. Por
ejemplo, 10–9
mm3
de aire en condiciones normales contienen aproximadamente 3 × 107
moléculas, lo cual
es suficiente para definir una densidad prácticamente constante de acuerdo con la Ecuación (1.1). La mayor
parte de los problemas ingenieriles están relacionados con dimensiones físicas mucho mayores que este vo-
lumen límite, de modo que la densidad es esencialmente una función puntual y las propiedades del fluido
pueden considerarse como variables continuas en el espacio, como se esquematiza en la Figura 1.2a. Un flui-
do de este tipo se denomina medio continuo, lo cual significa que la variación de sus propiedades es tan sua-
ve que se puede utilizar el cálculo diferencial para analizarlo. En todos los estudios incluidos en este libro
consideraremos válida esta premisa. También en este sentido hay casos límite para gases a tan bajas pre-
siones que su espaciado molecular y su camino libre medio4
son comparables, o mayores, que el tamaño del
sistema. Esto obliga a abandonar la aproximación de medio continuo en favor de la teoría molecular del flu-
jo de gases enrarecidos [8]. En principio, todos los problemas de Mecánica de Fluidos pueden ser abordados
desde el punto de vista molecular, pero no lo haremos aquí. Se debe resaltar que el uso del cálculo diferen-
cial no prejuzga la posibilidad de saltos discontinuos en las propiedades fluidas a través de superficies libres
o de ondas de choque en fluidos compresibles (Capítulo 9). Nuestros cálculos deben ser suficientemente fle-
xibles para poder trabajar con condiciones de contorno discontinuas.
1.4. DIMENSIONES Y UNIDADES
Dimensión es la medida por la cual una variable física se expresa cuantitativamente. Unidad es una forma
particular de asignar un número a la dimensión cuantitativa. Así, la longitud es una dimensión asociada a va-
riables como distancia, desplazamiento, anchura, deflexión y altura, mientras que centímetros y pulgadas
son unidades numéricas para expresar la longitud. La dimensión es un concepto muy poderoso sobre el que
se ha desarrollado la espléndida herramienta físico-matemática del análisis dimensional (Capítulo 5),
mientras que las unidades son los números que se buscan como respuesta final.
Los sistemas de unidades han variado siempre de país a país, incluso después de adoptarse acuerdos in-
ternacionales. Los ingenieros necesitan números y, por tanto, sistemas de unidades, y esos números deben
ser fiables porque la seguridad pública está en juego. No se puede diseñar y construir un sistema de tuberías
cuyo diámetro es D y cuya longitud es L. Los ingenieros norteamericanos persisten en utilizar el sistema bri-
tánico de unidades. Hay mucha posibilidad de error en este sistema y muchos estudiantes han fallado un
problema por olvidar un factor de conversión de 12 o 144 o 32,2 o 60 o 1,8. Los ingenieros, en la práctica,
pueden cometer los mismos errores. El autor tiene la experiencia personal de un grave error en el diseño pre-
liminar de un avión debido al olvido de un factor de 32,2 para convertir libras-masa en «slugs».5
6 MECÁNICA DE FLUIDOS
Incertidumbre
microscópica
Incertidumbre
macroscópica
0
1200
δ
δ * ≈ 10-9
mm3
Volumen
elemental
Región fluida
= 1000 kg/m3
= 1100
= 1200
= 1300
(a) (b)
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
δ



Figura 1.2. Definición de la densidad del fluido como medio continuo: (a) volumen elemental en una región flui-
da de densidad variable; (b) densidad calculada en función del tamaño del volumen elemental.
4
Distancia media entre colisiones moleculares.
5
Unidad de masa en el sistema británico (N. del T.).
En una reunión internacional celebrada en Francia en 1872 se propuso la Convención Métrica, un tra-
tado que fue firmado en 1875 por 17 países, incluidos los Estados Unidos de América. Constituía una apre-
ciable mejora sobre el sistema británico, pues su base es el número 10, que es la base del sistema numéri-
co aprendido desde la infancia en todas partes. Aún quedaban problemas porque incluso los países con
sistema métrico utilizaban a veces los kilopondios en lugar de dinas o newtones, kilogramos en lugar de
gramos, o calorías en lugar de julios. Para uniformizar el sistema métrico, una Conferencia General de Pe-
sas y Medidas celebrada en 1960, con asistencia de 40 países, propuso el Sistema Internacional de Uni-
dades (SI). Actualmente pasamos un arduo periodo de transición hacia el SI, que probablemente durará aún
muchos años. Las asociaciones profesionales dirigen el cambio. Desde el 1 de julio de 1974 se obliga a uti-
lizar el SI en todos los trabajos publicados por la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME,
American Society of Mechanical Engineers), que preparó un folleto explicativo al respecto [9]. El presente
libro utilizará simultáneamente el SI y el sistema británico.
Dimensiones primarias
En Mecánica de Fluidos sólo hay cuatro dimensiones primarias, de las cuales derivan las demás. Son masa,
longitud, tiempo y temperatura.6
Estas dimensiones y sus unidades en ambos sistemas aparecen en la Ta-
bla 1.1. Nótese que la unidad Kelvin no utiliza el símbolo de grado. Las llaves que engloban un símbolo
como {M} significan «dimensiones de» masa. Todas las demás variables en Mecánica de Fluidos pueden
expresarse en función de {M}, {L}, {T} y {Θ}. Por ejemplo, la aceleración tiene dimensiones de {LT–2
}. La
más importante de estas dimensiones secundarias es la fuerza, directamente relacionada con masa, longitud
y tiempo a través de la segunda ley de Newton. La fuerza es igual a la variación temporal de la cantidad de
movimiento o, si la masa es constante,
F = ma (1.2)
De aquí podemos ver que, dimensionalmente, {F} = {MLT–2
}. La constante de proporcionalidad se elimi-
na definiendo la unidad de fuerza exactamente en función de las unidades primarias. Así definimos el new-
ton y la libra-fuerza
1 newton fuerza = 1 N ≡ 1 kg · 1 m/s2
1 libra fuerza = 1 lbf ≡ 1 slug · 1 ft/s2
= 4,4482 N (l.3)
En este libro se usará la abreviatura lbf para la libra-fuerza y lb para la libra-masa. Si se adopta otra unidad
de fuerza como la dina o el kilopondio, o se toma otra unidad de masa como el gramo o la libra-masa, se
debe incluir en la Ecuación (l.2) una constante de proporcionalidad gc
. En este libro no se utilizarán este tipo
de constantes, ya que se emplearán los sistemas internacional y británico, donde no son necesarias.
En la Tabla 1.2 se enumeran algunas de las variables secundarias más importantes en Mecánica de Flui-
dos, expresando sus dimensiones en función de las cuatro primarias. Una lista más completa de factores de
conversión puede encontrarse en el Apéndice C.
INTRODUCCIÓN 7
6
Si los efectos electromagnéticos son importantes, se debe incluir una quinta, la corriente eléctrica {I}, cuya unidad en el SI es el
amperio (A).
Tabla 1.1. Dimensiones primarias en los sistemas SI y británico.
Dimensión primaria Unidad SI Unidad británica Factor de conversión
Masa {M} Kilogramo (kg) Slug 1 slug = 14,5939 kg
Longitud {L} Metro (m) Pie (ft) 1 ft = 0,3048 m
Tiempo {T} Segundo (s) Segundo (s) 1 s = 1 s
Temperatura {Θ} Kelvin (K) Rankine (°R) 1 K = 1,8 °R
EJEMPLO 1.1
Un cuerpo pesa 1000 lbf en el campo gravitatorio terrestre con g = 32,174 ft/s2
· (a) ¿Cuál es su masa en kilogramos?
(b) ¿Cuál será su peso en newtones en el campo gravitatorio lunar con gluna
= 1,62 ft/s2
? (c) ¿Cuál será su aceleración
si se le aplica una fuerza de 400 lbf en la luna y en la tierra?
Solución
Apartado (a)
La Ecuación (1.2) dice que F = peso si a = gtierra
:
F = W = mg = 1000 lbf = (m) (32,174 ft/s2
)
o Resp. (a)
Comentario. El cambio de 31,08 slugs a 453,6 kg muestra la utilidad del factor de conversión 14,5939 kg/slug.
Apartado (b)
La masa del cuerpo sigue siendo la misma en la luna. La Ecuación (1.2) nos permite calcular el peso correspondiente
F = Wluna
= mgluna
= (453,6 kg)(1,62 m/s2
) = 735 N Resp. (b)
Apartado (c)
Este apartado no está relacionado con el peso, sino con la aplicación directa de la segunda ley de Newton
F = 400 lbf = ma = (31,08 slugs)(a)
o Resp. (c)
Comentario. La aceleración obtenida sería la misma en la luna, en la tierra o en cualquier otra parte.
Muchos datos en artículos y trabajos aparecen con unidades arcaicas o inconvenientes, útiles sólo
para alguna industria, especialidad o país. El ingeniero debe convertir estos datos al SI o al sistema británico
antes de usarlos. Esto requiere la aplicación sistemática de factores de conversión, como en el ejemplo si-
guiente.
a = = =
4
3
2 87 3 92
00 lbf
1,08 slugs
1 ft/s m/s
2 2
, ,
m = =
1000
32 174
lbf
ft/s
(31,08 slugs)(14,5939 kg/slug) = 453,6 kg
2
,
8 MECÁNICA DE FLUIDOS
Tabla 1.2. Dimensiones secundarias en Mecánica de Fluidos.
Dimensión secundaria Unidad SI Unidad británica Factor de conversión
Área {L2
} m2
ft2
1 m2
= 10,764 ft2
Volumen {L3
} m3
ft3
1 m3
= 35,315 ft3
Velocidad {LT–1
} m/s ft/s 1 ft/s = 0,3048 m/s
Aceleración {LT–2
} m/s2
ft/s2
1 ft/s2
= 0,3048 m/s2
Presión o esfuerzo {ML–1
T–2
} Pa = N/m2
lbf/ft2
1 lbf/ft2
= 47,88 Pa
Velocidad angular {T–1
} s–1
s–1
1 s–1
= 1 s–1
Energía, calor, trabajo {ML2
T–2
} J = N · m lf · lbf 1 ft · lbf = 1,3558 J
Potencia {ML2
T–3
} W = J/s ft · lbf/s 1 ft · lbf/s = 1,3558 W
Densidad {ML–3
} kg/m3
slugs/ft3
1 slug/ft3
= 515,4 kg/m3
Viscosidad {ML–1
T–1
} kg/(m · s) slugs/(ft · s) 1 slug/(ft · s) = 47,88 kg/(m · s)
Calor Específico {L2
T–2
Θ–1
} m2
/(s2
· K) ft2
/(s · °R) 1 m2
/(s2
· K) = 5,980 ft2
/(s · °R)
EJEMPLO 1.2
La industria relacionada con la medida de la viscosidad [27, 36] continúa usando el sistema de unidades cgs, porque
los valores de la viscosidad expresados en centímetros y gramos resultan más manejables para muchos fluidos. La
unidad de viscosidad absoluta (µ) en el sistema cgs es el poise, 1 poise = 1 g/(cm · s), nombre tomado de J. L. M.
Poiseuille, médico francés que llevó a cabo experimentos pioneros en 1840 sobre flujo de agua en conductos. La uni-
dad de la viscosidad cinemática (ν) es el stokes, nombre tomado de G. G. Stokes, un físico inglés que en 1845 co-
laboró en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales básicas que gobiernan la cantidad de movimiento de los flui-
dos; 1 stokes = 1 cm2
/s. La viscosidad del agua a 20 °C es alrededor de µ 5 0,01 poises y también ν 5 0,01 stokes.
Exprese estos valores en (a) el SI y (b) el sistema británico.
Solución
Apartado (a)
• Procedimiento. Cambiamos de forma sistemática gramos a kg o slugs y centímetros a metros o pies.
• Valores de las propiedades. Dados µ = 0,01 g/(cm · s) y ν = 0,01 cm2
/s.
• Solución del apartado (a). Para convertir a unidades SI,
Resp. (a)
Apartado (b)
• Para convertir al sistema británico,
Resp. (b)
• Comentario. El resultado (b) se podría haber obtenido directamente del (a) dividiendo éste por el factor de con-
versión 47,88 dado en la Tabla 1.2. En el Apéndice C se dan más factores de conversión entre unidades SI y del
sistema británico.
Insistimos en el consejo: si aparecen datos con unidades no usuales se deben convertir al SI o al sistema
británico, porque (1) es más profesional y (2) las ecuaciones teóricas de la Mecánica de Fluidos son di-
mensionalmente consistentes y no requieren factores de conversión cuando se usan los sistemas citados,
como muestra el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 1.3
Una de las ecuaciones teóricas más útiles es la que relaciona la presión, la velocidad y la altura en el flujo estacio-
nario de un fluido incompresible no viscoso con transferencia de calor despreciable,7
llamada ecuación de Bernoulli,
por Daniel Bernoulli, que publicó un libro de hidrodinámica en 1738:
p0
= p + 1
2
ρV2
+ ρgZ (1)
donde p0
= presión de remanso
p = presión en el fluido
V = velocidad
µ
i
=
u
= =
u
= = =
0 01
0 01
0 01 1
0000108
2
,
,
( , (
,
g
cm s
0,01
g(1 kg/1000 g)(1 slug/14,5939 kg)
(0,01 m/cm)(1 ft/0,3048 m)s
0,0000209
slug
ft s
cm
s
0,01
cm m/cm) ft/0,3048 m)
s
0
ft
s
2 2 2 2
µ
i
=
u
= =
u
= = =
0 01
0 01
0 01 2
,
,
( ,
g
cm s
0,01
g(1 kg/1000 g)
cm(0,01 m/cm)s
0,001
kg
m s
cm
s
0,01
cm m/cm)
s
0,00001
m
s
2 2 2
INTRODUCCIÓN 9
7
Este conjunto de hipótesis se estudiará con detalle en el Capítulo 3.
ρ = densidad
Z = altura
g = aceleración de la gravedad
(a) Demuestre que la Ecuación (1) satisface el principio de homogeneidad dimensional, que establece que todos los
términos aditivos en una ecuación física deben tener las mismas dimensiones. (b) Demuestre que en el SI las uni-
dades son consistentes sin necesidad de factores de conversión. (c) Repita el apartado (b) para el sistema británico.
Solución
Apartado (a)
Podemos expresar la Ecuación (1) dimensionalmente, usando llaves para representar las dimensiones de cada tér-
mino:
{ML–1
T–2
} = {ML–1
T–2
} + {ML–3
}{L2
T–2
} + {ML–3
}{LT–2
}{L} = {ML–1
T–2
} para todos los términos Resp. (a)
Apartado (b)
Poniendo las unidades del SI para cada cantidad, tomadas de la Tabla 1.2:
{N/m2
} = {N/m2
} + {kg/m3
}{m2
/s2
} + {kg/m3
}{m/s2
}{m} = {N/m2
} + {kg/(m · s2
)}
El segundo miembro parece complicado, pero no lo es si se recuerda, por medio de la Ecuación (1.3), que 1 kg = 1
(N · s2
)/m.
Resp. (b)
De esta forma todos los términos de la ecuación de Bernoulli tienen unidades de pascales, o newtones por metro cua-
drado, al utilizar el SI. No se necesitan factores de conversión, lo cual es cierto para todas las ecuaciones de la Me-
cánica de Fluidos.
Apartado (c)
Introduciendo las unidades del sistema británico, tenemos
{lbf/ft2
} = {lbf/ft2
} + {slugs/ft3
}{ft2
/s2
} + {slugs/ft3
}{ft/s2
}{ft} = {lbf/ft2
} + {slugs/(ft · s2
)}
Pero, por medio de la Ecuación (1.3), 1 slug = 1 lbf · s2
/ft, de modo que
Resp. (c)
Todos los términos tienen unidades de libra-fuerza por pie cuadrado. Tampoco en el sistema británico se necesitan
factores de conversión.
Aún persiste en los países anglosajones la tendencia a usar libras-fuerza por pulgada cuadrada como uni-
dad de presión, porque los números son más manejables. Por ejemplo, la presión atmosférica estándar es
101.300 Pa = 14,7 lbf/in2
= 2116 lbf/ft2
. El pascal es una unidad muy pequeña, pues un newton es menos de
1
4
de lbf y un metro cuadrado un área muy grande. A pesar de lo cual el pascal va ganando aceptación; por
ejemplo, los manuales de reparación de los automóviles americanos especifican ya las medidas de presión
es pascales.
Unidades consistentes
Las ecuaciones de la mecánica (de fluidos) no sólo deben ser dimensionalmente homogéneas, sino que ade-
más se deben usar unidades consistentes; esto es, todos los términos aditivos en una ecuación física deben
{ )}
{
}
{ }
slugs/(ft s
lbf s /ft}
{ft s
lbf/ft
2
2
2
2
u =
u
u
=
{ )}
{
}
{ }
kg/(m s
N s /m}
{m s
N/m
2
2
2
2
u =
u
u
=
10 MECÁNICA DE FLUIDOS
tener las mismas unidades. Esto no supone ningún problema si se usa el SI o el sistema británico, como en
el Ejemplo 1.3, pero puede resultar fatal para quienes traten de mezclar unidades inglesas coloquiales. Por
ejemplo, en el Capítulo 9 usaremos a menudo la hipótesis de flujo gaseoso compresible, adiabático y esta-
cionario:
h + 1
2
V2
= constante
donde h es la entalpía del fluido y V2
/2 es su energía cinética por unidad de masa. Las tablas termodinámi-
cas coloquiales podrían expresar h en unidades térmicas inglesas por unidad de masa (Btu/lb), mientras que
V suele expresarse en ft/s. Es totalmente erróneo sumar Btu/lb y ft2
/s2
. En este caso, la unidad adecuada para
la entalpía es ft · lbf/slug, que es idéntica a ft2
/s2
. El factor de conversión es 1 Btu/lb 5 25.040 ft2
/s2
= 25.040
ft · lbf/slug.
Ecuaciones homogéneas frente a ecuaciones dimensionalmente
inconsistentes
Todas las ecuaciones teóricas de la mecánica (y de otras ramas de la física) son dimensionalmente homo-
géneas; esto es, todos los términos aditivos de la ecuación tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, la
ecuación de Bernoulli (1) del Ejemplo 1.3 es dimensionalmente homogénea: todos los términos tienen di-
mensiones de presión o esfuerzo {F/L2
}. Otro ejemplo es la ecuación de la física para un cuerpo en caída li-
bre cuando se desprecia la resistencia aerodinámica:
S = S0
+ V0
t + 1
2
gt2
donde S0
es la posición inicial, V0
es la velocidad inicial y g es la aceleración de la gravedad. Cada término
en esta ecuación tiene dimensiones de longitud {L}. El factor 1
2
, que proviene de la integración, es simple-
mente un número (adimensional), {1}. El exponente 2 también es adimensional.
Sin embargo, se debe advertir al lector que muchas fórmulas empíricas usadas en ingeniería, princi-
palmente las obtenidas de correlaciones de datos, no son dimensionalmente consistentes. Sus unidades no
pueden reconciliarse de forma sencilla, y algunos términos pueden contener variables ocultas. Un ejemplo
es la fórmula que utilizan los fabricantes de válvulas de tuberías para calcular el caudal Q (m3
/s) a través de
una válvula parcialmente abierta:
donde ∆p es la caída de presiones a través de la válvula y S es la densidad relativa del líquido (el cociente
entre su densidad y la del agua). La cantidad CV
es el coeficiente de flujo de la válvula, que los fabricantes
tabulan en sus folletos. Dado que S es adimensional {1}, la fórmula resulta totalmente inconsistente, pues
un lado tiene dimensiones de caudal {L3
/T} y el otro de raíz cuadrada de salto de presiones {M1/2
/L1/2
T}. De
aquí se deduce que CV
debe tener dimensiones, de hecho bastante raras: {L7/2
/M1/2
}. La resolución de esta
discrepancia no está clara, aunque en la literatura se observa que los valores de CV
aumentan aproximada-
mente como el cuadrado del tamaño de la válvula. La presentación de datos experimentales en forma ho-
mogénea es el objetivo del análisis dimensional (Capítulo 5). En dicho capítulo aprenderemos que una for-
ma homogénea de la relación para el caudal de la válvula es
donde ρ es la densidad del líquido y A el área de apertura de la válvula. El coeficiente de descarga Cd
es
adimensional y cambia muy poco con el tamaño de la válvula. De momento el lector debe creerse —has-
ta la discusión del Capítulo 5— que la última expresión constituye una forma mucho mejor de presentar los
datos.
Q C A
p
d
=
£
¤
²
¥
¦
´
apertura
6
l
1 2
/
Q C
p
V
= £
¤
¥
¦
6
S
1 2
/
INTRODUCCIÓN 11
Mientras tanto, debemos concluir que las ecuaciones dimensionalmente inconsistentes, a pesar de su
abundancia en la ingeniería, pueden conducir a error y son imprecisas y hasta peligrosas, pues con fre-
cuencia son usadas incorrectamente fuera de su rango de aplicabilidad.
Prefijos apropiados para potencias de 10
En ingeniería, los resultados suelen ser demasiado pequeños o demasiado grandes para las unidades habi-
tuales, con muchos ceros por un lado o el otro. Por ejemplo, escribir p = 114.000.000 Pa es largo y tedioso.
Usando el prefijo «M» para decir 106
, convertimos esto en un conciso p = 114 MPa (megapascales). Del
mismo modo, t = 0,000000003 s es mucho más difícil de corregir que su equivalente t = 3 ns (nanosegun-
dos). Tales prefijos son comunes y convenientes, tanto en el SI como en el sistema británico. En la Ta-
bla 1.3 se da la lista completa.
12 MECÁNICA DE FLUIDOS
Tabla 1.3. Prefijos apropiados para unidades en ingeniería.
Factor multiplicativo Prefijo Símbolo
1012
tera T
109
giga G
106
mega M
103
kilo k
102
hecto h
10 deca da
10–1
deci d
10–2
centi c
10–3
mili m
10–6
micro µ
10–9
nano n
10–12
pico p
10–15
femto f
10–18
atto a
EJEMPLO 1.4
En 1890, Robert Manning, un ingeniero irlandés, propuso la siguiente fórmula empírica para la velocidad media V
en el movimiento uniforme en canales abiertos (en el sistema británico de unidades):
(1)
donde R = radio hidráulico del canal (Capítulos 6 y 10)
S = pendiente del canal (tangente del ángulo de la base respecto a la horizontal)
n = factor de rugosidad de Manning (Capítulo 10)
y n es constante para cada condición de acabado superficial de las paredes y el fondo del canal. (a) ¿Es dimensio-
nalmente consistente la fórmula de Manning? (b) La Ecuación (1) se considera válida en unidades del sistema bri-
tánico tomando n como adimensional. Reescriba la ecuación en el SI.
Solución
• Consideraciones. La pendiente, por ser la tangente de un ángulo, es adimensional y aparece como {1} —es decir,
no contiene M, L o T.
• Apartado (a). Escribimos las dimensiones de cada término de la fórmula de Manning usando paréntesis {}:
{ }
,
{ }{ }
,
{ }{ }
/ / /
V
n
R S
L
T n
L
= ¨
©
ª
¬
­
®
¨
©
ª
¬
­
®
= ¨
©
ª
¬
­
®
1 49 1 49
1
2 3 1 2 2 3
o
V
n
R S
=
1 49 2 3 1 2
, / /
Esta fórmula no puede ser consistente a menos que {1,49/n} = {L1/3
/T}. Si n es adimensional (como aparece siem-
pre en los libros), el valor numérico 1,49 debe tener unidades de {L1/3
/T}. Resp. (a)
• Comentario (a). Esto puede ser trágico para un ingeniero que trabaje en un sistema de unidades diferente a menos
que se dé cuenta de la discrepancia. De hecho, la fórmula de Manning, aunque es muy conocida, es inconsisten-
te tanto dimensional como físicamente, no tiene en cuenta de modo correcto los efectos de la rugosidad del canal
salvo para un rango muy estrecho de rugosidades y sólo es válida para el agua. Los efectos de la viscosidad y la
densidad del agua están ocultos en el valor numérico 1,49.
• Apartado (b). Del apartado anterior sabemos que el número 1,49 debe tener dimensiones, y por eso en el sistema
británico debe ser 1,49 ft1/3
/s. Utilizando el factor de conversión al SI para la longitud, tenemos
(1,49 ft1/3
/s)(0,3048 m/ft)1/3
= 1,00 m1/3
/s
Por tanto, la fórmula de Manning en el SI es:
Resp. (b)
con R en metros y V en metros por segundo.
• Comentario (b). Realmente, estamos despistando al lector: Manning, usuario del sistema métrico, propuso la fór-
mula de esta manera; posteriormente fue pasada al sistema británico. Estas fórmulas dimensionalmente incon-
sistentes son peligrosas y deberían ser reanalizadas o aplicadas sólo en casos muy concretos.
1.5. PROPIEDADES DEL CAMPO DE VELOCIDADES
En un flujo dado, la determinación experimental o teórica de las propiedades del fluido en función de la po-
sición y del tiempo se considera la solución del problema. En casi todos los casos, el énfasis se hace sobre
la distribución espacio-temporal de las propiedades fluidas. Raramente se siguen las trayectorias de partí-
culas fluidas concretas.8
Este tratamiento de las propiedades como funciones continuas distingue la Mecá-
nica de Fluidos de la de Sólidos, donde habitualmente el interés se centra más en las trayectorias de sistemas
o partículas individuales.
Descripciones euleriana y lagrangiana
Hay dos puntos de vista posibles para analizar los problemas de la mecánica. El primero, apropiado para la
Mecánica de Fluidos, trata del campo de flujo y se denomina método descriptivo euleriano. En el método
euleriano calculamos el campo de presiones p(x, y, z, t) del flujo, y no los cambios de presión p(t) que ex-
perimenta una partícula al moverse.
El segundo método, que sigue a las partículas en su movimiento, se denomina descripción lagrangiana.
Este método, muy apropiado en Mecánica de Sólidos, no será considerado en este libro. Sin embargo, los
análisis numéricos de algunos flujos con límites muy marcados, como el movimiento de gotitas aisladas, se
llevan a cabo mejor en coordenadas lagrangianas [1].
Las mediciones en Mecánica de Fluidos también están bien adaptadas al sistema euleriano. Por ejemplo,
cuando se introduce una sonda de presión en un flujo experimental, la medición se produce en un punto fijo
(x, y, z). Las medidas contribuyen por tanto a describir el campo de presiones euleriano p(x, y, z, t). Para si-
mular una medida lagrangiana la sonda debería moverse aguas abajo con la velocidad del fluido; este tipo
de mediciones se practican a veces en oceanografía, dejando a la deriva los aparatos de medición que son
arrastrados por las corrientes dominantes.
Un ejemplo ilustrativo de ambas descripciones puede ser el análisis del tráfico en una autopista. Se-
leccionemos un cierto tramo para estudio y determinación del tráfico. Obviamente, con el transcurso del
Unidades SI : V
n
R S
=
1 0 2 3 1 2
, / /
INTRODUCCIÓN 13
8
Un caso en que las trayectorias son importantes es el análisis de calidad del agua en lo que respecta a las partículas contami-
nantes.
tiempo varios coches entrarán y saldrán del tramo, y la identidad de los mismos estará cambiando conti-
nuamente. El ingeniero de tráfico ignora la identidad de los coches y se concentra en su velocidad media,
medida como función de la posición dentro del tramo y del tiempo, y también estudia el flujo o número de
coches por hora que pasan por una cierta sección de la autovía. Este ingeniero realiza una descripción eu-
leriana del tráfico. Otros investigadores, como la policía o los sociólogos, pueden estar interesados en la ve-
locidad y trayectoria de determinados coches. Siguiendo a éstos realizan una descripción lagrangiana del trá-
fico.
El campo de velocidades
La más importante de todas las propiedades del flujo es el campo de velocidades V(x, y, z, t). De hecho, de-
terminar la velocidad es a menudo equivalente a resolver el problema, ya que otras propiedades se obtienen
directamente de aquélla. El Capítulo 2 está dedicado al cálculo de la presión una vez conocido el campo de
velocidades. Los libros que tratan sobre transferencia de calor (por ejemplo, Referencia 10) están espe-
cialmente dedicados a encontrar el campo de temperaturas a partir del de velocidades.
En general, la velocidad es un vector, función de la posición y del tiempo, que tiene tres componentes
escalares u, v y w:
(1.4)
El uso de u, v y w en lugar de Vx
, Vy
y Vz
, más lógicas, se debe a una duradera tradición fluidodinámica.
Como muestra el siguiente ejemplo, el vector aceleración también es importante en Mecánica de Flui-
dos.
EJEMPLO 1.5
Un fluido fluye a través de una sección convergente de un conducto, como muestra la Figura E1.5. Una sonda de ve-
locidad inmersa en la sección (1) mide un valor estacionario u1
= 1 m/s, mientras que una sonda similar en la sec-
ción (2) detecta un valor estacionario u2
= 3 m/s. Estime la aceleración del fluido, si existiera, si ∆x = 10 cm.
Solución
El flujo es estacionario (no varía con el tiempo), pero claramente la velocidad de las partículas fluidas aumenta al pa-
sar de (1) a (2). Éste es el concepto de aceleración convectiva (Sección 4.1). Podemos estimar la aceleración como
el incremento de velocidad dividido por el incremento de tiempo ∆t = ∆x/umed
:
Resp.
a
u u
x u u
x 5 5

+
[ ]
=

+
[ ]
5
incremento de velocidad
incremento de tiempo
m/s 1,0 m/s)
(0,1 m)/ m/s m/s
m/s2
2 1
1
2 1 2
1
2
3 0
1 0 3 0
40
6 / ( )
( ,
( , , )
V(x, y, z, t) = iu(x, y, z, t) + jv(x, y, z, t) + kw(x, y, z, t)
14 MECÁNICA DE FLUIDOS
(1)
(2)
u1
u2
6x
E1.5
Una simple estimación indica por tanto que este flujo, aparentemente inocuo, sufre una aceleración de cuatro veces
la aceleración de la gravedad. En el límite en que ∆x y ∆t se hacen muy pequeños, nuestra estimación se reduce a
una derivada parcial que representa la aceleración convectiva en la dirección x:
En un flujo tridimensional (Sección 4.1) existen nueve términos convectivos de este tipo.
1.6. PROPIEDADES TERMODINÁMICAS DE UN FLUIDO
Aunque el campo de velocidades V es la propiedad más importante del flujo, éste interactúa con las pro-
piedades termodinámicas del fluido. A lo largo de la discusión precedente hemos introducido las tres más
importantes:
l. Presión p
2. Densidad ρ
3. Temperatura T
Son los compañeros permanentes de la velocidad en el análisis de los flujos. Al entrar en juego el tra-
bajo, el calor y el equilibrio energético aparecen otras cuatro propiedades termodinámicas (Capítulos 3 y 4):
4. Energía interna û
5. Entalpía h = û + p/ρ
6. Entropía s
7. Calores específicos cp
y cv
Por otro lado, los efectos de fricción y conducción de calor están gobernados por los denominados
coeficientes de transporte:
8. Coeficiente de viscosidad µ
9. Conductividad térmica k
Estas nueve magnitudes son auténticas propiedades termodinámicas, que se determinan por la condición
termodinámica o estado del fluido. Por ejemplo, en una sustancia con una sola fase como oxígeno o agua,
es suficiente conocer dos de las propiedades básicas independientes9
, como presión y temperatura, para de-
terminar las demás:
ρ = ρ(p, T) h = h(p, T) µ = µ(p, T) (1.5)
y así para todas las magnitudes de la lista. Nótese que el volumen específico, tan importante en termodi-
námica, es omitido aquí en favor de su inverso, la densidad ρ.
Recuérdese que las propiedades termodinámicas describen el estado del sistema, esto es, una porción de
materia de identidad conocida que interactúa con su entorno. En la mayor parte de los casos este sistema
será una partícula fluida y todas las propiedades serán funciones continuas en el campo fluido: ρ = ρ(x, y,
z, t), etc.
Recuérdese también que la termodinámica estudia normalmente sistemas estáticos, mientras que los
fluidos se encuentran habitualmente en movimiento cambiando todas las propiedades constantemente.
Las propiedades termodinámicas estáticas, ¿conservan su significado en un flujo que está técnicamente fue-
ra del equilibrio? La respuesta es sí, desde un punto de vista estadístico. En gases a las presiones normales
(y más aún en líquidos) tiene lugar un número enorme de colisiones o interacciones moleculares en dis-
a
x
t
u
x
u
u
x
x
x
t
, convectiva lím
=
£
¤
¥
¦
=
A
A
6
6
6
6
6
6
0
0
,
,
INTRODUCCIÓN 15
9
La definición de propiedad básica independiente puede encontrarse en cualquier libro avanzado de termodinámica (N. del T.).
tancias tan pequeñas como 1 µm, de modo que un fluido sujeto a cambios repentinos se ajusta casi inme-
diatamente al nuevo equilibrio. Suponemos, por tanto, que todas las propiedades termodinámicas indicadas
anteriormente existen como funciones del punto en un flujo y siguen las leyes y relaciones de estado ordi-
narias del equilibrio termodinámico. Hay, por supuesto, efectos importantes de no equilibrio en reacciones
químicas y nucleares en fluidos, pero no serán estudiados en este libro.
Presión
La presión es el esfuerzo (de compresión) en un punto en un fluido en reposo (Figura 1.1). Después de la
velocidad, la presión p es la variable más significativa en la dinámica de un fluido. Las diferencias o gra-
dientes de presión son generalmente las responsables del flujo, especialmente cuando es en conductos. En
flujos a baja velocidad, la magnitud real de la presión suele no ser importante, a menos que baje tanto como
para provocar la formación de burbujas de vapor en los líquidos. Por conveniencia, a este tipo de problemas
se le suele asignar un nivel de presión de 1 atm = 2116 lbf/ft2
= 101.300 Pa. Por el contrario, los flujos
(compresibles) de gases a alta velocidad (Capítulo 9) sí que dependen del valor absoluto de la presión.
Temperatura
La temperatura T está relacionada con el nivel de energía interna del fluido. Puede variar considerablemente
durante el flujo compresible de un gas (Capítulo 9). A pesar del extenso uso que hacen los ingenieros de las
escalas Celsius y Fahrenheit, muchas de las aplicaciones de este libro requieren la utilización de tempera-
turas absolutas (Kelvin o Rankine):
°R = °F + 459,69
K = °C + 273,16
Si las diferencias de temperatura son fuertes, la transferencia de calor puede ser importante [10], si bien
aquí nuestro interés se centra en la dinámica.
Densidad
La densidad de un fluido, denominada ρ (rho griega minúscula), es su masa por unidad de volumen. La den-
sidad varía mucho en los gases, aumentando casi de forma proporcional a la presión. La densidad de los lí-
quidos en casi constante; la densidad del agua (alrededor de 1000 kg/m3
) tan sólo se incrementa en un 1 por
100 cuando la presión se multiplica por un factor de 220. Por lo tanto, la mayoría de los líquidos se pueden
considerar casi «incompresibles».
En general, los líquidos son tres órdenes de magnitud más densos que los gases a presión atmosférica.
El líquido más pesado es el mercurio, y el gas más ligero, el hidrógeno. Compare sus densidades a 20 °C y
1 atm:
Mercurio: ρ = 13.580 kg/m3
Hidrógeno: ρ = 0,0838 kg/m3
¡Ambas difieren en un factor de 162.000! Así pues, los parámetros físicos pueden variar considerablemente
entre los distintos líquidos y gases. Estas diferencias suelen resolverse mediante el uso del análisis dimen-
sional (Capítulo 5). En las Tablas A.3 y A.4 (del Apéndice A) se dan las densidades de otros fluidos.
Peso específico
El peso específico de un fluido es su peso por unidad de volumen. Al igual que una masa m tiene un peso
W = mg, la densidad y el peso específico están relacionados por la gravedad:
Peso específico ≡ ρg (1.6)
16 MECÁNICA DE FLUIDOS
Las unidades del peso específico son peso por unidad de volumen, en lbf/ft3
o N/m3
. El valor estándar de la
aceleración de la gravedad terrestre es g = 32,174 ft/s2
= 9,807 m/s2
. Así, por ejemplo, el peso específico del
aire y el agua a 20 °C y 1 atm son aproximadamente
ρaire
g = (1,205 kg/m3
)(9,807 m/s2
) = 11,8 N/m3
= 0,0752 lbf/ft3
ρagua
g = (998 kg/m3
)(9,807 m/s2
) = 9790 N/m3
= 62,4 lbf/ft3
El peso específico es muy útil en las aplicaciones de la presión hidrostática, que veremos en el Capítulo 2.
En las Tablas A.3 y A.4 se dan los pesos específicos de otros fluidos.10
Densidad relativa
La densidad relativa, denominada S, es la relación entre la densidad del fluido y la de un fluido estándar de
referencia, típicamente el agua a 4 °C (para los líquidos) y el aire (para los gases):
(1.7)
Por ejemplo, la densidad relativa del mercurio (Hg) es SHg
= 13.580/1000 5 13,6. Para los ingenieros re-
sulta más sencillo recordar estos valores que los valores numéricos exactos de la densidad de los distintos
fluidos.
Energías potencial y cinética
En termostática, la única energía asociada a una sustancia es la almacenada en el sistema por la actividad
molecular y las fuerzas asociadas a los enlaces químicos. A ésta se le denomina energía interna û. En los
flujos, a esta energía se le deben añadir dos términos más, procedentes de la mecánica newtoniana: la ener-
gía potencial y la energía cinética.
La energía potencial es el trabajo necesario para mover al sistema de masa m desde el origen hasta una
posición r = ix + jy + kz venciendo al campo gravitatorio g. Su valor es –mg · r, o –g · r por unidad de
masa. La energía cinética es el trabajo que se requiere para cambiar la velocidad desde cero hasta V. Su va-
lor es 1
2
mV2
o 1
2
V2
por unidad de masa. Por todo ello, la energía interna por unidad de masa e se escribe con-
vencionalmente en Mecánica de Fluidos como suma de tres términos:
e = û + 1
2
V2
+ (–g · r) (1.8)
En este libro definiremos siempre z positiva hacia arriba; de modo que g = –gk y g · r = –gz. Entonces la
Ecuación (1.8) se escribe
e = û + 1
2
V2
+ gz (1.9)
La energía interna molecular û es función de T y de p para una sustancia pura con una sola fase, mientras
que las energías potencial y cinética son propiedades cinemáticas.
Ecuaciones de estado para gases
Las propiedades termodinámicas se pueden relacionar entre sí, tanto teórica como experimentalmente, por
medio de relaciones o ecuaciones de estado que varían de una sustancia a otra. Como se mencionó ante-
S
kg/m
S
kg/m
gas
gas
aire
gas
3
líquido
líquido
agua
líquido
3
= =
= =
l
l
l
l
l
l
1205
1000
INTRODUCCIÓN 17
10
En la literatura anglosajona el peso específico suele denotarse con la letra γ (gamma griega minúscula) y la relación de calores
específicos con la letra k. Sin embargo, siguiendo una tradición muy extendida en Mecánica de Fluidos, utilizaremos aquí el símbolo
γ para la relación de calores específicos y el producto ρg para denotar el peso específico (N. del T.).
riormente, nos referiremos en este libro sólo a sustancias puras con una fase, por ejemplo, agua en su fase
líquida. El segundo fluido más común, el aire, es una mezcla de gases, pero como las proporciones de la
mezcla permanecen casi constantes entre los 160 y 2200 K, en este rango se puede considerar como una sus-
tancia pura.
Todos los gases a altas temperaturas y bajas presiones (relativas a su punto crítico) siguen muy bien la
ley de los gases perfectos
(1.10)
donde los calores específicos cp
y cv
se definen en las Ecuaciones (1.14) y (1.15).
Como la Ecuación (1.10) es dimensionalmente consistente, R tiene las mismas dimensiones que un ca-
lor específico, {L2
T–2
Θ–1
}, o velocidad al cuadrado dividida por grado (Kelvin o Rankine). Cada gas tiene
su propia constante R, igual a una constante universal Λ dividida por el peso molecular
(1.11)
donde Λ = 49.700 ft · lbf/(slugmol · °R) = 8314 kJ/(kmol · K). La mayoría de las aplicaciones de este libro
son para aire, M = 28,97/mol:
(1.12)
La presión atmosférica estándar es 2116 lbf/ft2
= 2116 slug/(ft · s2
) y la temperatura estándar es 288
K = 60 °F = 520 °R. Por tanto, la densidad estándar del aire es
(1.13)
Este valor es el adecuado para los problemas. Para otros gases consúltese la Tabla A.4.
En termodinámica se demuestra que la Ecuación (1.10) requiere que la energía interna molecular û de
un gas perfecto varíe sólo con la temperatura: û = û(T). Por tanto, el calor específico cv
también variará sólo
con la temperatura:
o (1.14)
Del mismo modo la entalpía h y el calor específico cp
de un gas perfecto también dependen exclusivamente
de la temperatura:
(1.15)
h u
p
u RT h T
c
h
T
dh
dT
c T
dh c T dT
p
p
p
p
= + = + =
=
£
¤
²
¥
¦
´ = =
=
ˆ ˆ ( )
( )
( )
l
,
,
du c T dT
v
=
ˆ ( )
c
u
T
du
dT
c T
v v
=
£
¤
²
¥
¦
´ = =
,
, l
ˆ ˆ
( )
laire
2
2 2
2 3
116 slug/(ft s )
ft /(s R R
slug/ft kg/m
=
u
u° °
= =
2
1716 520
0 00237 1 22
[ )]( )
, ,
Raire
ft lbf/(slugmol R)
/mol
ft lbf
slug R
ft
s R
m
s K
=
u u°
=
u
u°
=
u°
=
u
49 700
28 97
1716 1716 287
2
2
2
2
.
,
R
M
gas
gas
=
R
p = ρRT R = cp
– cv
= constante del gas
18 MECÁNICA DE FLUIDOS
La relación de calores específicos de un gas perfecto es un parámetro adimensional muy importante en el
análisis de los flujos compresibles (Capítulo 9):
(1.16)
Como primera aproximación, para los flujos de aire se considera normalmente que cp
, cv
y γ son cons-
tantes:
(1.17)
En realidad, cp y cv aumentan gradualmente con la temperatura en todos los gases, y γ decrece gradualmente.
En la Figura 1.3 se muestran los valores experimentales de la relación de calores específicos de ocho gases
típicos.
En muchos de los problemas ingenieriles interviene el vapor de agua; pero sus condiciones de trabajo
suelen estar cerca del punto crítico y la aproximación de gas perfecto no es fiable. Al no existir fórmulas
simples suficientemente precisas, las propiedades del vapor de agua se pueden encontrar tanto tabuladas
a
a
a
a
aire
2 2 2 2
2 2 2 2
ft /(s R m /(s K
ft /(s R m /(s K
5
=

5 u° = u
=

5 u° = u
1 4
1
4293 718
1
6010 1005
,
) )
) )
c
R
c
R
v
p
a a
= = *
c
c
T
p
v
( ) 1
INTRODUCCIÓN 19
Ar
Presión atmosférica
H2
CO
Aire y
N2
O2
Vapor
CO2
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
1000
0 3000 4000 5000
=
γ
cp
cv
2000
Temperatura, °R
Figura 1.3. Relación de calores específicos de ocho gases comunes en función de la temperatura. (Los datos pro-
ceden de la Referencia 12.)
como en CD-ROM [13], e incluso en Internet como un pequeño programa de MathPad Corp. [39]. A me-
nudo, el error cometido al usar la ley de los gases perfectos no es demasiado importante, como muestra el
ejemplo siguiente.
EJEMPLO 1.6
Estime ρ y cp
del vapor de agua a 100 lbf/in2
y 400 °F, en unidades inglesas, (a) mediante la aproximación de gas
perfecto y (b) usando las tablas ASME [13] o el programa EES.
Solución
• Procedimiento (a), ley de los gases perfectos. Aunque el vapor de agua no es un gas ideal, podemos estimar estas
propiedades con cierta exactitud usando las Ecuaciones (1.10) y (1.17). En primer lugar convertimos la presión de
100 lbf/in2
a 14.400 lbf/ft2
, y usamos temperaturas absolutas, (400 °F + 460) = 860 °R. A continuación necesita-
mos la constante del vapor, en unidades inglesas. De la Tabla A.4, el peso molecular del H2
O es 18,02, de donde
El valor de la densidad se puede estimar entonces de la ley de los gases perfectos, Ecuación (1.10):
Resp. (a)
A 860 °R, de la Figura 1.3, γvapor
= cp
/cv
5 1,30. Por tanto, de la Ecuación (1.17),
Resp. (a)
• Procedimiento (b), tablas o software. Se pueden consultar las tablas de vapor o programar unas líneas en EES. En
cualquier caso, no conviene aplicar las unidades inglesas (psi, Btu, lbm) a las fórmulas de la Mecánica de Fluidos.
Aún así, cuando use EES asegúrese de que el menú «Variable Info» especifica unidades inglesas11
: psia y °F. Los
comandos EES para evaluar la densidad y el calor específico del vapor son, para estas condiciones,
Rho = DENSITY(steam, P = 100,T = 400)
Cp = SPECHEAT(steam, P = 100,T = 400)
Nótese que el software está configurado para usar psia y °F, sin conversión. EES devuelve los siguientes valores,
obtenidos del ajuste de las curvas experimentales,
Rho 5 0,2027 lbm/ft3
; Cp 5 0,5289 Btu/(lbm-F)
Como se ha comentado, las unidades Btu y lbm son muy engorrosas cuando se aplican a problemas fluidodiná-
micos. Por lo tanto, conviene convertir a ft · lbf y slugs, para lo que se puede usar, por ejemplo, la función «Con-
vert» de EES, especificando como argumentos las unidades viejas y nuevas entre comillas simples:
Rho2 = Rho*CONVERT(‘lbm/ft^3’,’slug/ft^3’)
Cp2 = Cp*CONVERT(‘Btu/lbm-F’,’ft^2/s^2-R’)
Nótese que (1) los antiguos valores de Rho y Cp se multiplican por la función CONVERT y (2) se supone que las
unidades a la derecha del signo de división «/» en el argumento de CONVERT están en el denominador. EES pro-
porciona estos resultados:
Rho2 = 0,00630 slug/ft3
Cp2 = 13.200 ft2
/(s2
-R) Resp. (b)
c
R
p 5

=
u °
u
5
u
°
a
a 1
1 3 2758
1 3 1
12 000
( , )(
( , )
.
ft lbf/(slug R)) ft lbf
slug R
l 5 =
u u° °
5
p
RT
1
0 00607
4.400 lbf/ft
[2758 ft lbf/(slug R)](860 R)
slug
ft
2
3
,
R
M
vapor
inglesas
H O
2
ft lbf/(slugmol R)
18,02/mol
ft lbf
slug R
= =
u °
=
u
°
R 49 700
2758
.
20 MECÁNICA DE FLUIDOS
11
En el sistema de unidades británico la unidad de presión es la libra por pie cuadrado (psi, pounds per square inch), pero existen
dos variantes de uso común: la presión absoluta en libras por pie cuadrado (psia, pounds per square inch absolute) y la presión ma-
nométrica en libras por pie cuadrado (psig, pounds per square inch gauge) (N. del T.).
• Comentarios. Las tablas de vapor proporcionan valores muy parecidos a éstos. La estimación de gas perfecto para
ρ se queda corta en un 4 por 100 y en un 9 por 100 para cp
. La razón principal de estas discrepancias es que las
condiciones dadas están muy cerca del punto crítico y de la línea de saturación del vapor. A temperaturas mayo-
res y presiones menores, por ejemplo, 800 °F y 50 lbf/in2
, la ley de gases perfectos da ρ y cp
con un error menor
del 1 por 100.
Una vez más, debemos advertir que el uso de las unidades inglesas (psia, lbm, Btu) es incómodo, pues re-
quiere continuamente factores de conversión en la mayoría de las ecuaciones de la Mecánica de Fluidos. El pro-
grama EES maneja las unidades SI de forma eficiente, sin necesidad de factores de conversión.
Ecuaciones de estado para líquidos
El autor no conoce una «ley de líquidos perfectos» comparable a la de los gases. Los líquidos son casi in-
compresibles y tienen un único calor específico prácticamente constante. Por ello, la ecuación de estado
idealizada para un líquido es
ρ 5 cte cp
5 cv
5 cte dh 5 cp
dT (1.18)
La mayor parte de los problemas de este libro pueden ser abordados con estas simples relaciones. Para el
agua se toma normalmente una densidad de 1000 kg/m3
= 1,94 slugs/ft3
y un calor específico cp
= 4210
m2
/(s2
· K) = 25.200 ft2
/(s2
· °R). Si se precisa mayor exactitud se pueden usar tablas como en el ejemplo an-
terior.
La densidad de un líquido decrece ligeramente con la temperatura y aumenta moderadamente con la pre-
sión. Despreciando el efecto de la temperatura, una relación presión-densidad empírica para líquidos es
(1.19)
donde B y n son parámetros adimensionales que varían ligeramente con la temperatura y pa
y ρa
son los va-
lores atmosféricos estándar. En el caso del agua, B 5 3000 y n 5 7.
El agua de mar es una mezcla variable de agua y sal y requiere por ello tres propiedades termodinámi-
cas para definir su estado. Normalmente se toma la presión, la temperatura y la salinidad Ŝ, definida
como relación entre el peso de la sal disuelta y el peso total de la mezcla. La salinidad media del agua de
mar es de 0,035, escrita usualmente como 35 partes por 1000, o 35 0
/00. La densidad media del agua de mar
es de 1030 kg/m3
. Estrictamente hablando, el agua de mar tiene tres calores específicos, todos ellos apro-
ximadamente iguales y con el mismo valor del agua pura, 4210 m2
/(s2
· K) = 25.200 ft2
/(s2
· °R).
EJEMPLO 1.7
La presión en la parte más profunda del océano es de 1100 atm. Calcule la densidad del agua de mar a dicha presión.
Solución
La Ecuación (1.19) es válida también para agua de mar. Si la relación de presiones es p/pa
= 1100, tendremos
o
4100
3001
1 046
1 7
= £
¤
¥
¦
= ,
/
l
la
1100 3001 3000
7
5
£
¤
²
¥
¦
´ 
( )
l
la
p
p
B B
a a
n
5 +
£
¤
²
¥
¦
´ 
( )
1
l
l
INTRODUCCIÓN 21
Suponiendo una densidad en la superficie ρa
= 2,00 slugs/ft3
, tenemos
ρ 5 1,046(2,00) = 2,09 slugs/ft3
Resp.
Incluso a estas inmensas presiones, la densidad aumenta menos del 5 por 100, lo cual justifica que consideremos al
agua incompresible.
1.7. VISCOSIDAD Y OTRAS PROPIEDADES SECUNDARIAS
Las magnitudes tales como presión, temperatura y densidad estudiadas en la sección anterior son variables
termodinámicas primarias características de todo sistema. Existen además otras magnitudes secundarias
que caracterizan el comportamiento específico de los fluidos. La más importante de éstas es la viscosidad,
que relaciona el esfuerzo o tensión local en un fluido en movimiento con la velocidad de deformación de
las partículas fluidas.
Viscosidad
La viscosidad es una medida cuantitativa de la resistencia de un fluido a fluir. Más concretamente, la vis-
cosidad determina la velocidad de deformación del fluido cuando se le aplica un esfuerzo cortante dado. Po-
demos movernos fácilmente a través del aire, que tiene una viscosidad muy baja. El movimiento es más di-
fícil en el agua, con una viscosidad 50 veces mayor; pero aún es más difícil en aceite SAE 30, que es 300
veces más viscoso que el agua. Trate de deslizar su mano por glicerina, cinco veces más viscosa que el acei-
te SAE 30, o por melaza, aún cinco veces más viscosa que la glicerina. Como puede verse, los fluidos pue-
den tener un amplio rango de viscosidades.
Consideremos una partícula fluida sometida a un esfuerzo cortante de valor τ en un plano, como indica
la Figura 1.4a. El ángulo δθ de la deformación aumentará continuamente con el tiempo mientras siga ac-
tuando el esfuerzo τ, moviéndose la superficie superior con una velocidad δu mayor que la de la inferior.
Los fluidos comunes como el agua, el aceite y el aire presentan una relación lineal entre el esfuerzo aplicado
y la velocidad de deformación resultante
(1.20)
o
be
b
|
t
22 MECÁNICA DE FLUIDOS
(b)
(a)
θ
δ
δu δt δθ
δt
τ ∝
δ
u = u
u = 0
δx
τ
u(y)
y
τ = du
dy
du
dy
No deslizamiento en la pared
Perfil de
velocidad
δy
0
µ
θ
δ
Figura 1.4. El esfuerzo cortante produce una deformación continua en el fluido: (a) elemento deformándose a una
velocidad δθ/δt; (b) esfuerzo cortante en un fluido newtoniano en la zona cercana a la pared.
De la geometría de la Figura 1.4a vemos que
(1.21)
En el caso límite de variaciones infinitesimales, queda una relación entre la velocidad de deformación y el
gradiente de la velocidad:
(1.22)
La Ecuación (1.20) indica que el esfuerzo aplicado es también proporcional al gradiente de la velocidad para
los fluidos comunes. La constante de proporcionalidad es el coeficiente de viscosidad µ:
(1.23)
La Ecuación (1.23) es dimensionalmente consistente; por tanto, µ tiene dimensiones de esfuerzo-tiempo:
{FT/L2
} o {M/(LT)}. La unidad en el sistema británico es slug por pie y segundo, y en el SI es kilogramos
por metro y segundo. Los fluidos que obedecen a la Ecuación (1.23) se denominan fluidos newtonianos, por
Sir Isaac Newton, que propuso por primera vez esta ley en 1687.
En Mecánica de Fluidos no estudiamos la evolución de θ(t), sino que concentramos la atención en la
distribución de velocidad u(y), como se indica en la Figura 1.4b. Utilizaremos la Ecuación (1.23), en el
Capítulo 4, para obtener una ecuación diferencial que nos permita hallar la distribución de velocidad u(y)
—y, más generalmente, V(x, y, z, t)— en un fluido viscoso. La Figura 1.4b ilustra una capa de cortadura,
denominada capa límite, cerca de una pared. El esfuerzo cortante es proporcional a la pendiente de la ve-
locidad y es máximo en la pared. Además, en la pared, la velocidad u es cero con respecto a la pared: este
hecho recibe el nombre de condición de no deslizamiento y es una característica de todos los fluidos vis-
cosos.
La viscosidad de un fluido newtoniano es una auténtica propiedad termodinámica y varía con la tem-
peratura y la presión. En un estado dado (p, T) hay un amplio rango de valores para los distintos fluidos más
comunes. La Tabla 1.4 presenta una lista de la viscosidad de ocho fluidos a presión y temperatura estándar.
Hay una variación de seis órdenes de magnitud del hidrógeno a la glicerina. Por ello habrá grandes dife-
rencias en el comportamiento de fluidos sometidos a los mismos esfuerzos.
En general, la viscosidad de un fluido aumenta sólo débilmente con la presión. Por ejemplo, si la presión
p aumenta de 1 a 50 atm, la viscosidad µ del aire sólo aumenta en un 10 por 100. Sin embargo, la tempe-
ratura tiene un efecto mucho más fuerte. Además, la viscosidad µ de los gases aumenta con la temperatura
T, mientras que la de los líquidos disminuye. La Figura A.1 (en el Apéndice A) muestra la variación de la
o µ
e
µ
= =
d
dt
du
dy
d
dt
du
dy
e
=
tg be
b b
b
=
u t
y
INTRODUCCIÓN 23
Tabla 1.4. Viscosidad y viscosidad cinemática de ocho fluidos a 1 atm y 20 °C.
µ, Relación ρ, ν Relación
Fluido kg/(m · s)†
µ/µ(H2
) kg/m3
m2
/s†
ν/ν(Hg)
Hidrógeno 8,8 × 10–6
1,0 0,084 1,05 × 10–4
920
Aire 1,8 × 10–5
2,1 1,20 1,51 × 10–5
130
Gasolina 2,9 × 10–4
33 680 4,22 × 10–7
3,7
Agua 1,0 × 10–3
114 998 1,01 × 10–6
8,7
Alcohol etílico 1,2 × 10–3
135 789 1,52 × 10–6
13
Mercurio 1,5 × 10–3
170 13.580 1,16 × 10–7
1,0
Aceite SAE 30 0,29 33.000 891 3,25 × 10–4
2.850
Glicerina 1,5 170.000 1.264 1,18 × 10–3
10.300
†
1 kg/(m · s) = 0,0209 slug/(ft · s); 1 m2
/s = 10,76 ft2
/s.
viscosidad con la temperatura para varios fluidos comunes. En la mayoría de las aplicaciones se desprecia
la dependencia de la viscosidad con la presión.
En la Figura 1.5, tomada de la Referencia 14, se ha representado la dependencia µ(p, T) para un fluido
típico, normalizando los datos con sus valores en el punto crítico (µc
, pc
, Tc
). Este comportamiento univer-
sal, llamado el principio de los estados correspondientes, es característico de todos los fluidos, si bien los
valores numéricos reales presentan una incertidumbre del ±20 por 100 para cualquier fluido. Por ejemplo,
los valores de µ(T) para el aire a 1 atm, tomados de la Tabla A.2, son alrededor de un 8 por 100 más pe-
queños que los que proporciona el «límite de baja densidad» de la Figura 1.5.
En la Figura 1.5 se observa que cerca del punto crítico se producen cambios muy fuertes con la tem-
peratura. En general, las medidas en el punto crítico son extremadamente difíciles e imprecisas.
El número de Reynolds
El parámetro primario que determina el comportamiento de los fluidos newtonianos es el número adimen-
sional de Reynolds:
(1.24)
Re = =
l
µ
VL VL
v
24 MECÁNICA DE FLUIDOS
0,4
=
c
r
µ
Tr
Tc
= T
µ
µ
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
1
0,9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,6 0,8 1 2 3 4 5 7
6 8 9 10
Líquido
Región
bifásica
Punto
crítico
0,5
0
pr
= p/pc
= 0,2
Límite de baja densidad
1
2
3
5
10
25
Gas denso
Figura 1.5. Viscosidad del fluido adimensionalizada con su valor en el punto crítico. Este diagrama generaliza-
do es característico de todos los fluidos, aunque su precisión es sólo de un ±20 por 100. (Los datos proceden de
la Referencia 14.)
donde V y L representan la velocidad y longitud características del flujo. Como µ y ρ entran como cocien-
te en este parámetro, dicho cociente tiene significado propio y se denomina viscosidad cinemática:
(1.25)
Las unidades de masa se cancelan, y así ν tiene dimensiones de {L2
/T}, de donde le viene el nombre de vis-
cosidad cinemática.
En general, lo primero que se debe hacer al estudiar un flujo es estimar el valor del número de Reynolds.
Valores muy pequeños de Re indican movimiento lento y viscoso, donde los efectos de la inercia son des-
preciables. Valores moderados de Re corresponden al flujo laminar, caracterizado por variaciones suaves.
Valores altos de Re suelen estar asociados al flujo turbulento, caracterizado por fuertes fluctuaciones
aleatorias de alta frecuencia superpuestas a un flujo medio que también experimenta variaciones suaves con
el tiempo. Los valores numéricos del número de Reynolds correspondientes a cada caso dependen de la ge-
ometría del flujo y se discutirán en los Capítulos 5 a 7.
La Tabla 1.4 también da los valores de ν para los mismos ocho fluidos. Los órdenes de magnitud va-
rían considerablemente y el mercurio, el más pesado, tiene la menor viscosidad cinemática. Todos los ga-
ses tienen una ν elevada en comparación con líquidos tales como la gasolina, el agua y el alcohol. Los acei-
tes y la glicerina siguen teniendo los mayores valores de ν, pero el rango total de variación es menor. Para
valores dados de V y L en un flujo, los diversos fluidos presentan una variación de cuatro órdenes de mag-
nitud en el número de Reynolds.
Flujo entre placas paralelas
Un problema clásico es el flujo inducido entre una placa fija inferior y otra superior que se mueve con ve-
locidad V, como se muestra en la Figura 1.6. La holgura entre las placas es h y el fluido es newtoniano y
cumple la condición de no deslizamiento en ambas placas. Si las placas son largas, este flujo de cortadura
estacionario conduce a un perfil de velocidades u(y), como se indica, con v = w = 0. La aceleración del flui-
do es cero en todas partes.
Como la aceleración es nula, suponiendo que la presión no varía en la dirección del flujo, se puede de-
mostrar que el equilibrio de fuerzas de un pequeño elemento fluido conduce al resultado de que el esfuer-
zo cortante es constante en todo el fluido. Entonces la Ecuación (1.23) se reduce a
que se puede integrar para dar
u = a + by
La distribución de velocidades es lineal, como muestra la Figura 1.6, y las constantes a y b se calculan con
la condición de no deslizamiento en las paredes superior e inferior:
Por ello a = 0 y b = V/h. El perfil de velocidad entre las placas es entonces
(1.26)
como se indica en la Figura 1.6. El flujo turbulento (Capítulo 6) tiene un perfil distinto.
u V
y
h
=
u
a b y
V a b h y h
=
= + =
= + =
¨
©
ª
0 0 0
( )
( )
en
en
du
dy
= =
o
µ
cte
v =
µ
l
INTRODUCCIÓN 25
Aunque la viscosidad tiene un efecto determinante en el flujo, la magnitud de los esfuerzos viscosos es
muy pequeña incluso en los aceites, como se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1.8
Supongamos que el fluido sometido a cortadura en la Figura 1.6 es aceite SAE 30 a 20 °C. Calcule el esfuerzo de
cortadura en el aceite si V = 3 m/s y h = 2 cm.
Solución
• Diagrama del sistema. Véase la Figura 1.6.
• Consideraciones. Perfil de velocidades lineal, fluido newtoniano en régimen laminar, condición de no desliza-
miento en ambas placas.
• Procedimiento. El análisis de la Figura 1.6 conduce a la Ecuación (1.26) si el flujo es laminar.
• Valores de las propiedades. De la Tabla 1.4, la viscosidad del aceite SAE 30 es µ = 0,29 kg/(m · s).
• Resolución. En la Ecuación (1.26), la única incógnita es el esfuerzo de cortadura del fluido:
Resp.
• Comentarios. Observe las relaciones entre unidades, 1 kg · m/s2
≡ 1 N y 1 N/m2
≡ 1 Pa. A pesar de que el aceite es
muy viscoso, este esfuerzo cortante es modesto, alrededor de 2400 veces más pequeño que la presión atmosféri-
ca. Los esfuerzos viscosos en los gases y en los líquidos como el agua son aún más pequeños.
Variación de la viscosidad con la temperatura
La temperatura tiene un efecto considerable sobre la viscosidad, pero la presión influye mucho menos. La vis-
cosidad de los gases y de algunos líquidos aumenta lentamente con la presión. El agua presenta un comporta-
miento anómalo, pues muestra una ligera disminución por debajo de los 30 °C. Como las variaciones de vis-
cosidad representan una mínima fracción hasta 100 atm, despreciaremos el efecto de la presión en este libro.
Según hemos indicado, la viscosidad de los gases aumenta con la temperatura. Hay dos aproximaciones
conocidas para describir esta variación, la ley potencial y la ley de Sutherland:
(1.27)
µ
µ0
0
0
3 2
0
5
£
¤
²
¥
¦
´
+
+
¨
©
«
«
ª
«
«
T
T
T T T S
T S
n
Ley potencial
Ley de Sutherland
( / ) ( )
/
o µ
= =
u
£
¤
¥
¦
=
u
= 5
V
h
0 29 43 5 43 5 44
,
)
, ,
kg
m s
(3 m/s
(0,02 m)
kg m/s
m
N
m
Pa
2 2
2 2
26 MECÁNICA DE FLUIDOS
y
x
h u(y)
V
Placa
móvil:
u = V
Fluido
viscoso
u = V
u = 0
Placa fija
Figura 1.6. Flujo viscoso inducido por el movimiento relativo de dos placas paralelas.
donde µ0
es la viscosidad conocida a una temperatura absoluta de referencia T0
(habitualmente 273 K). Las
constantes n y S se ajustan a los datos, y ambas fórmulas son adecuadas en un amplio margen de tempera-
turas. Para el aire, n 5 0,7 y S 5 110 K = 199 °R. Otros valores pueden encontrarse en la Referencia 3.
La viscosidad de los líquidos decrece con la temperatura de forma casi exponencial, µ 5 ae-bT
; pero se
obtiene una expresión más aproximada escribiendo ln µ como función cuadrática de 1/T, donde T es la tem-
peratura absoluta:
(1.28)
Para el agua, con T0
= 273,16 K, µ0
= 0,001792 kg/(m · s), los valores adecuados son a = –1,94, b = –4,80
y c = 6,74, con una fiabilidad del ±1 por 100. La viscosidad del agua aparece tabulada en la Tabla A.1.
Yaws et al. [34] proporcionan fórmulas para la viscosidad de 355 líquidos orgánicos obtenidas del ajuste de
datos experimentales. En las Referencias 28 y 36 se pueden encontrar datos adicionales.
Conductividad térmica
De la misma forma que la viscosidad relaciona el esfuerzo cortante con la velocidad de deformación, hay
una propiedad denominada conductividad térmica k que relaciona el vector flujo de calor por unidad de área
q con el vector gradiente de temperatura V
–T. Esta proporcionalidad, observada experimentalmente para flui-
dos y sólidos, es conocida como ley de Fourier de la conducción del calor:
q = –kV
–T (1.29a)
que también puede escribirse escalarmente como:
(1.29b)
El signo menos satisface la convención usual de considerar positivo el flujo en el sentido de las temperaturas
decrecientes. La ley de Fourier es dimensionalmente consistente, y k tiene unidades SI de julios por se-
gundo, metro y Kelvin. La conductividad térmica k es una propiedad termodinámica y varía con la tempe-
ratura y la presión en forma análoga a la viscosidad. El cociente k/k0
puede expresarse en función de T/T0
en
forma parecida a las Ecuaciones (1.27) y (1.28) para gases y líquidos, respectivamente.
En la Referencia 11 pueden encontrarse datos adicionales sobre la viscosidad y la conductividad tér-
mica.
Fluidos no newtonianos
Los fluidos que no siguen la ley lineal de la Ecuación (1.23) se denominan no newtonianos y se estudian en
los libros de reología [6]. La Figura 1.7a compara cuatro ejemplos de fluidos con uno newtoniano. Un flui-
do dilatante es aquel en que la resistencia a la deformación aumenta al aumentar el esfuerzo cortante. Por el
contrario, un fluido pseudoplástico es el que disminuye su resistencia al aumentar el esfuerzo. Si este efec-
to es muy importante, como en el caso marcado en la figura con línea discontinua, el fluido se denomina
plástico. El caso límite de sustancia plástica es aquel que requiere un esfuerzo finito (límite de fluencia) an-
tes de que fluya. La idealización del fluido plástico de Bingham se muestra en la figura; pero el comporta-
miento en la fluencia puede ser también no lineal. Un ejemplo de fluido plástico es la pasta de dientes, que
no fluye al exterior hasta que por apretar el tubo se sobrepasa un cierto esfuerzo.
Una complicación adicional al comportamiento no newtoniano es el efecto transitorio que se muestra en
la Figura 1.7b. Algunos fluidos precisan un aumento gradual en el esfuerzo cortante para mantener constante
la velocidad de deformación; a éstos se les denomina reopécticos. El caso opuesto es el de un fluido que re-
quiere esfuerzos decrecientes; es el denominado tixotrópico. En este libro no se considerarán los efectos no
newtonianos; para profundizar sobre éstos, véase la Referencia 6.
q k
T
x
q k
T
y
q k
T
z
x y z
=  =  = 
,
,
,
,
,
,
ln
µ
µ0
0 0
2
5 + £
¤
¥
¦
+ £
¤
¥
¦
a b
T
T
c
T
T
INTRODUCCIÓN 27
Tensión superficial
Un líquido, al no ser capaz de expansionarse libremente, formará una entrefase con un segundo líquido o un
gas. La físico-química de estas superficies interfaciales es muy compleja, y existen libros enteros dedicados
a esta especialidad [15]. Las moléculas inmersas en la masa líquida se repelen mutuamente debido a su pro-
ximidad, pero las moléculas de la superficie libre están menos apretadas y se atraen unas a otras. Al faltarles
la mitad de sus vecinas, estas moléculas están en desequilibrio, y por ello la superficie está sometida a ten-
sión. Estos efectos superficiales son los que englobamos en Mecánica de Fluidos dentro del concepto de ten-
sión superficial.
Si en una entrefase se hace un corte de longitud dL, aparecen fuerzas iguales y opuestas en ambos lados
del corte, de valor ϒ dL, perpendiculares al corte y coplanarias con la entrefase; a la magnitud ϒ se la deno-
mina coeficiente de tensión superficial. Las dimensiones de ϒ son {F/L}, con unidades de newtones por me-
tro en el SI y libras-fuerza por pie en el sistema británico. Un concepto alternativo procede de que para abrir
el corte hasta un área dA se necesita un trabajo ϒ dA. Por ello, el coeficiente ϒ puede ser considerado también
como una energía por unidad de área de la entrefase, con las unidades ya citadas de N · m/m2
o ft · lbf/ft2
.
Las dos entrefases más comunes son agua-aire y mercurio-aire. Para una superficie limpia a 20 °C = 68
°F, las tensiones superficiales son
(1.30)
Estos valores pueden cambiar considerablemente si la superficie está contaminada. Generalmente, ϒ decrece
con la temperatura y es cero en el punto crítico. Los valores de ϒ para el agua se dan en la Figura 1.8 y en
la Tabla A.5.
Si la entrefase es una superficie curva, el equilibrio mecánico muestra que debe haber una diferencia de
presiones entre ambos lados, estando la presión alta en el lado cóncavo. La Figura 1.9 ilustra este aspecto.
En la Figura 1.9a se observa que el aumento de presión en el interior de un cilindro está equilibrado con las
fuerzas en las dos generatrices:
o
o (1.31)
p
R
6 =
¯
2 2
RL p L
6 = ¯
¯ =
¨
©
ª
0 0050
, lbf/ft = 0,073 N/m aire - agua
0,033 lbf/ft = 0,48 N/m aire - mercurio
28 MECÁNICA DE FLUIDOS
Esfuerzo
cortante
Esfuerzo
cortante
Límite de
fluencia
Plástico
Plástico ideal
de Bingham
Dilatante
Newtoniano
Pseudoplástico
Velocidad de
deformación angular
d
dt
θ
0 0 Tiempo
(a) (b)
Velocidad de
deformación constante
Reopéctico
Fluidos
comunes
Tixotrópico
τ
τ
Figura 1.7. Comportamiento reológico de diversos materiales: (a) esfuerzo en función de la velocidad de defor-
mación; (b) efecto del tiempo sobre los esfuerzos aplicados.
No estamos teniendo en cuenta el peso del líquido en estos cálculos. En la Figura 1.9b se puede ver que el
aumento de presión en el interior de una gota esférica equilibra una fuerza distribuida anularmente, debida
la tensión superficial, de magnitud
o (1.32)
Podemos usar este resultado para predecir el aumento de presión existente en el interior de una pompa de ja-
bón, que tiene dos entrefases con el aire, una interior y otra exterior, prácticamente con el mismo radio R:
(1.33)
La Figura 1.9c muestra el caso general de una entrefase de forma arbitraria, cuyos radios principales de cur-
vatura son R1
y R2
. El equilibrio de fuerzas en la dirección normal a la superficie indica que el aumento de
presión en el lado cóncavo es
(1.34)
6p R R
= +
 
¯( )
1
1
2
1
6 6
p p
R
burbuja gota
5 =
2
4¯
p
R
2
6 =
¯
/ /
R p R
2
2
6 = ¯
INTRODUCCIÓN 29
0
0,050
0,060
0,070
0,080
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
T, ˚C
,
N/m
Figura 1.8. Tensión superficial de una entrefase limpia aire-agua. Datos tomados de la Tabla A.5.
2RL 6p
2R
L
(a)
L
L
/R2
6p
2/R
(b) (c)
6p dA
dL2
dL1
dL2
dL1
R2
R1
Figura 1.9. Aumento de presión a través de una entrefase curvada por efecto de la tensión superficial: (a) en el interior de un ci-
lindro líquido; (b) en el interior de una gota esférica; (c) en una entrefase de curvatura arbitraria.
Las Ecuaciones (1.31) a (1.33) se pueden obtener de esta relación general; por ejemplo, la Ecuación
(1.31) haciendo R1
= R y R2
= '.
Un segundo efecto importante es el ángulo de contacto θ, que aparece cuando la entrefase llega hasta
una pared sólida, como en la Figura 1.10. En el equilibrio de fuerzas contarán tanto ϒ como θ. Si el ángu-
lo de contacto es menor de 90°, se dice que el líquido moja al sólido; si es mayor de 90°, que no moja. Por
ejemplo, el agua moja al jabón, pero no moja la cera. El agua moja muy bien el vidrio limpio, con θ 5 0°. Al
igual que ϒ, el ángulo de contacto θ es muy sensible a las condiciones físico-químicas de la superficie. En
una entrefase mercurio-aire-vidrio, θ = 130°.
El Ejemplo 1.9 ilustra cómo la tensión superficial da lugar al ascenso capilar en un tubo.
EJEMPLO 1.9
Halle una expresión para el ascenso capilar h en un tubo circular, de un líquido con tensión superficial ϒ y ángulo de
contacto θ, como muestra la Figura E1.9.
Solución
La componente vertical de la fuerza de tensión superficial en las paredes del tubo debe equilibrar al peso de la co-
lumna de agua de altura h:
2/Rϒ cos θ = ρg/R2
h
30 MECÁNICA DE FLUIDOS
No moja
Sólido
Líquido
Gas
θ θ
Figura 1.10. Efecto del ángulo de contacto en una entrefase líquido-gas-sólido. Cuando θ  90°, el líquido «moja»
al sólido; cuando θ  90°, el líquido «no moja».
θ
2R
h
E1.9
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Frank White Mecanica de los fluidos

  • 1. FRANK M. WHITE mecánica de fluidos quinta edición
  • 3.
  • 4. Mecánica de Fluidos Quinta edición Frank M. White University of Rhode Island Equipo de Traducción: Marcos Vera Coello Miguel Hermanns Navarro Rafael Gómez Blanco Óscar Flores Arias Revisor Técnico: Amable Liñán Martínez Dept. de Motopropulsión y Termofluidodinámica Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICO NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTAFÉ DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SÃO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍS SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO
  • 5. MECÁNICA DE FLUIDOS. Quinta edición No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento in- formático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2004, respecto a la quinta edición en español, por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. U. Edificio Valrealty, 1.a planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) Traducido de la quinta edición en inglés de FLUID MECHANICS Copyright © 2003, por McGraw-Hill, Inc. ISBN: 0-07-240217-2 ISBN: 84-481-4076-1 Depósito legal: M. Editora de la edición en español: Silvia Figueras Asistente editorial: Amelia Nieva Diseño de cubierta: CD-FORM Compuesto en: Fernández Ciudad, S.L. Impreso en: IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
  • 6. Frank M. White es Profesor Emérito de Ingeniería Mecánica y Oceánica en la Universidad de Rhode Is- land. Estudió en el Instituto Tecnológico de Georgia (Georgia Tech) y en el Instituto Tecnológico de Mas- sachusetts (M.I.T.). En 1966 colaboró en la creación del departamento de ingeniería oceánica de la Uni- versidad de Rhode Island, el primero de este tipo en EE.UU. Conocido principalmente como profesor y escritor, ha recibido ocho premios de docencia y ha escrito cuatro libros de texto sobre mecánica de fluidos y transferencia de calor. Desde 1979 hasta 1990 fue editor jefe de la revista ASME Journal of Fluids Engineering y después, en- tre 1991 y 1997, fue director del Consejo de Editores y del Comité de Publicaciones de la ASME (Ameri- can Society of Mechanical Engineers). Es miembro de la ASME y en 1991 recibió el premio ASME de In- geniería de Fluidos. Vive con su mujer, Jeanne, en Narragansett, Rhode Island. v El autor
  • 8. Prólogo xi Prólogo a la edición española xiv CAPÍTULO 1 Introducción 3 1.1. Notas preliminares 3 1.2. Concepto de fluido 4 1.3. El fluido como medio continuo 5 1.4. Dimensiones y unidades 6 1.5. Propiedades del campo de velocidades 13 1.6. Propiedades termodinámicas de un fluido 15 1.7. Viscosidad y otras propiedades secundarias 22 1.8. Técnicas básicas de análisis de los flujos 36 1.9. Descripción del flujo: líneas de corriente, sendas y líneas de traza 37 1.10. El resolvedor de ecuaciones de ingeniería 42 1.11. Incertidumbre de los datos experimentales 43 1.12. El examen de fundamentos de ingeniería (FE) 44 1.13. Técnicas de resolución de problemas 45 1.14. Historia y perspectiva de la mecánica de fluidos 45 Problemas 46 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 54 Problemas extensos 54 Referencias 57 CAPÍTULO 2 Distribución de presiones de un fluido 59 2.1. Presión y gradiente de presión 59 2.2. Equilibrio de una partícula fluida 61 2.3. Distribución de presiones en hidrostática 63 2.4. Aplicación a la medida de presiones 69 2.5. Fuerzas hidrostáticas sobre superficies planas 73 2.6. Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas 79 2.7. Fuerzas hidrostáticas en fluidos estratificados 82 2.8. Flotación y estabilidad 84 2.9. Distribución de presiones en movimiento como sólido rígido 90 2.10. Medida de la presión 98 Resumen 102 Problemas 102 Problemas conceptuales 123 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 124 Problemas extensos 124 Proyectos de diseño 126 Referencias 127 CAPÍTULO 3 Relaciones integrales para un volumen de control 129 3.1. Leyes básicas de la mecánica de fluidos 129 3.2. Teorema del transporte de Reynolds 133 3.3. Conservación de la masa 141 3.4. Conservación de la cantidad de movimiento 148 3.5. Teorema del momento cinético 161 3.6. Ecuación de la energía 166 3.7. Flujo sin fricción: la ecuación de Bernoulli 177 Resumen 185 Problemas 186 Problemas conceptuales 213 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 213 Problemas extensos 214 Problemas de diseño 215 Referencias 216 CAPÍTULO 4 Relaciones diferenciales para una partícula fluida 219 4.1. El campo de aceleraciones de un fluido 219 4.2. La ecuación diferencial de conservación de la masa 221 4.3. La ecuación de la cantidad de movimiento en forma diferencial 227 4.4. La ecuación diferencial del momento cinético 234 4.5. La ecuación diferencial de la energía 235 4.6. Condiciones de contorno para las ecuaciones básicas 238 4.7. La función de corriente 243 4.8. Vorticidad e irrotacionalidad 251 4.9. Flujos irrotacionales no viscosos 253 4.10. Algunos flujos potenciales planos ilustrativos 258 4.11. Algunos flujos viscosos incompresibles ilustrativos 263 Resumen 272 Problemas 272 Problemas conceptuales 282 vii Contenido
  • 9. Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 282 Problemas extensos 283 Referencias 284 CAPÍTULO 5 Análisis dimensional y semejanza 287 5.1. Introducción 287 5.2. El principio de homogeneidad dimensional 290 5.3. El teorema Pi 295 5.4. Adimensionalización de las ecuaciones básicas 301 5.5. La modelización y sus dificultades 310 Resumen 320 Problemas 320 Problemas conceptuales 328 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 329 Problemas extensos 329 Proyectos de diseño 330 Referencias 331 CAPÍTULO 6 Flujo viscoso en conductos 335 6.1. Regímenes en función del número de Reynolds 335 6.2. Flujos internos y flujos externos 340 6.3. Pérdida de carga; el coeficiente de fricción 342 6.4. Flujo laminar completamente desarrollado en conductos circulares 344 6.5. Modelización de la turbulencia 347 6.6. Flujo turbulento en conductos circulares 353 6.7. Tres tipos de problemas sobre flujo en tubos 360 6.8. Flujo en conductos no circulares 366 6.9. Pérdidas localizadas en sistemas de tuberías 376 6.10. Sistemas de tuberías 384 6.11 Experimentación de flujos en conductos: actuaciones de un difusor 390 6.12. Medidores en fluidos 395 Resumen 414 Problemas 414 Problemas conceptuales 431 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 431 Problemas extensos 432 Proyectos de diseño 434 Referencias 434 CAPÍTULO 7 Flujo alrededor de cuerpos 437 7.1. Efectos geométricos y del número de Reynolds 437 7.2. Métodos integrales en la teoría de la capa límite 440 7.3. Las ecuaciones de capa límite 444 7.4. Capa límite sobre una placa plana 446 7.5. Capa límite con gradiente de presión 455 7.6. Experimentación en flujos externos 461 Resumen 487 Problemas 487 Problemas conceptuales 500 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 500 Problemas extensos 501 Proyectos de diseño 502 Referencias 502 CAPÍTULO 8 Flujo potencial y mecánica de fluidos computacional 505 8.1. Introducción y repaso 505 8.2. Soluciones elementales en flujos planos 508 8.3. Superposición de soluciones de flujos planos 510 8.4. Flujos planos alrededor de cuerpos cerrados 516 8.5. Otros flujos potenciales planos 525 8.6. Imágenes 530 8.7. Teoría de perfiles 532 8.8. Flujo potencial axilsimétrico 543 8.9. Análisis numérico 549 Resumen 563 Problemas 563 Problemas conceptuales 574 Problemas extensos 574 Proyectos de diseño 576 Referencias 576 CAPÍTULO 9 Flujo compresible 579 9.1. Introducción 579 9.2. La velocidad del sonido 583 9.3. Flujo estacionario adiabático e isentrópico 586 9.4. Flujo isentrópico con cambios de área 591 9.5. La onda de choque normal 599 9.6. Operación de toberas convergentes y divergentes 606 9.7. Flujo compresible en conductos con fricción 611 9.8. Flujo en conductos sin fricción y con adición de calor 623 9.9. Flujo supersónico bidimensional 627 9.10. Ondas de expansión de Prandtl-Meyer 637 Resumen 650 Problemas 650 Problemas conceptuales 663 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 663 Problemas extensos 664 Proyectos de diseño 665 Referencias 666 CAPÍTULO 10 Flujo en canales abiertos 669 10.1. Introducción 669 10.2. Movimiento uniforme: la fórmula de Chézy 674 10.3. Canales eficientes para movimiento uniforme 680 viii CONTENIDO
  • 10. 10.4. Energía específica; calado crítico 682 10.5. El resalto hidráulico 689 10.6. Movimiento gradualmente variado 694 10.7. Control y medida de caudales mediante vertederos 701 Resumen 708 Problemas 709 Problemas conceptuales 720 Problemas del examen de fundamentos de ingeniería 720 Problemas extensos 720 Proyectos de diseño 721 Referencias 722 CAPÍTULO 11 Turbomáquinas 725 11.1. Introducción y clasificación 725 11.2. La bomba centrífuga 728 11.3. Curvas características de bombas y reglas de semejanza 734 11.4. Bombas helicocentrífugas y axiales: la velocidad específica 743 11.5. Acoplamiento de bombas a una red 751 11.6. Turbinas 756 Resumen 769 Problemas 769 Problemas conceptuales 780 Problemas extensos 780 Proyecto de diseño 782 Referencias 782 Apéndice A Propiedades físicas de los fluidos 785 Apéndice B Tablas para flujos compresibles 791 Apéndice C Factores de conversión 807 Apéndice D Ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas 811 Solución de problemas seleccionados 813 Índice 821 CONTENIDO ix
  • 11.
  • 12. ENFOQUE GENERAL En la quinta edición del libro Mecánica de Fluidos se ha añadido y suprimido material con respecto a edi- ciones anteriores, aunque la filosofía del libro se mantiene intacta. La estructura básica, compuesta por once capítulos y apéndices, sigue igual. Se siguen discutiendo los tres métodos: integral, diferencial y ex- perimental. Se han añadido nuevos problemas, y se han modificado muchos de los problemas y ejemplos de trabajo. Se ha mantenido el estilo informal, orientado a los estudiantes, y se han añadido bastantes fo- tografías y figuras nuevas. HERRAMIENTAS DE APRENDIZAJE El número de problemas continúa aumentando: de los 1089 de la primera edición se ha pasado a 1169 en la segunda, 1392 en la tercera, 1500 en la cuarta y 1650 en esta quinta edición. La mayor parte de ellos son los problemas estándar de final de capítulo, clasificados por temas. También hay problemas concep- tuales, problemas tipo test del Examen de Fundamentos de Ingeniería, problemas extensos y proyectos de diseño. En el apéndice se recogen las respuestas a los problemas seleccionados (los de numeración par). Los problemas de ejemplo del texto principal han sido reestructurados de nuevo, siguiendo la secuencia de pasos indicada en la Sección 1.13, con el objetivo de proporcionar una estrategia uniforme de resolución de problemas a los estudiantes. CAMBIOS DE CONTENIDO Hay varias modificaciones en cada capítulo. El Capítulo 1 se ha reducido considerablemente, trasladando los temas más avanzados a capítulos posteriores. Por su gran importancia, se han añadido nuevas discusiones y nuevas figuras relativas a la visualización de flujos. El Capítulo 2 contiene material nuevo sobre transductores de presión. El Capítulo 3 introduce una lista de sugerencias específicas para tratar las dificultades de la ecuación de cantidad de movimiento. La ecuación de Bernoulli sigue incluyéndose al final en lugar de tratarse en un nuevo capítulo. Se hace énfasis en las numerosas restricciones a las que está sometida la ecuación de Ber- noulli, que con frecuencia utilizan de forma incorrecta tanto los estudiantes como los ingenieros gradua- dos. El Capítulo 4 incluye ahora el análisis del flujo laminar de Poiseuille en conductos, como un ejemplo de solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes. Este tema se vuelve a tratar brevemente en el Capítu- lo 6. Si no está de acuerdo con este orden, se pueden omitir las Secciones 4.10 y 4.11 y tratarlas entonces. El Capítulo 5 contiene ahora una sección completa donde se discute cómo elegir las variables dimen- sionalmente independientes adecuadas para el análisis dimensional. Decidiendo en primer lugar cómo se es- calan y cómo se presentan los datos, la ambigüedad desaparece o al menos se reduce. En el Capítulo 6 se ha añadido una nueva sección sobre las pérdidas de carga y el coeficiente de fric- ción. El flujo laminar y turbulento en tuberías se estudia de forma separada para aumentar la claridad. Los modelos de turbulencia se incluyen ahora en una nueva sección. Se han añadido nuevos datos sobre pérdi- das localizadass, y se discuten nuevos medidores de caudal. Los medidores de orificio y tobera incluyen ahora un factor de corrección por compresibilidad. xi Prólogo
  • 13. El Capítulo 7 contiene nuevas discusiones sobre Mecánica de Fluidos Computacional (CFD, Compu- tational Fluid Mechanics) y más detalles sobre la aproximación de capa límite. Se ha añadido una nueva sección sobre movimientos lentos. El Capítulo 8, salvo por la adición de nuevos problemas y referencias, queda prácticamente igual. Creo que se trata del tratamiento más extenso del flujo potencial en un libro para estudiantes no graduados. En el Capítulo 9 se discuten con mayor detalle los flujos de Fanno y Rayleigh y se presentan algunas de las nuevas tendencias en aeronáutica, tanto subsónicas como supersónicas. El Capítulo 10 contiene más discusiones sobre el número de Froude y ha mejorado el tratamiento de las soluciones compuestas de movimientos gradualmente variados gracias al Profesor Bruce E. LaRock, de la Universidad de California, Davis. Se ha añadido un esquema sencillo de diferencias finitas para movi- mientos variados que resulta útil cuando las mediciones del campo fluido son escasas. También se ha in- troducido el concepto de vertedero compuesto. El Capítulo 11 está prácticamente inalterado, excepto por las mejoras y las correcciones introducidas por el Profesor Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick. MATERIAL SUPLEMENTARIO La página web en inglés del libro, http://www.mhhe.com/white5, contiene una Guía de Estudio para el Es- tudiante (Student Study Guide), preparada por el Profesor Jerry Dunn, de la Universidad Tecnológica de Te- xas, que proporciona una revisión concisa de los principales temas tratados en un primer curso; versiones in- teractivas de los problemas del Examen de Fundamentos de Ingeniería (FE, Fundamentals of Engineering) incluidos en el texto, preparados por el Profesor Edward Anderson, de la Universidad Tecnológica de Te- xas, que pueden servir para preparar el examen o como autoevaluación; un enlace a la página web de EES; y versiones PowerPoint de todas las figuras del texto. AGRADECIMIENTOS Como de costumbre, hay tanta gente que ha colaborado en la elaboración de este libro que me es imposible recordarlos y enumerarlos a todos. Agradezco las numerosas sugerencias y mejoras realizadas durante la es- critura del libro por Gordon Holloway, de la Universidad de New Brunswick. Todas las revisiones, junto con el material adicional, incluyendo el Manual de Soluciones, fueron revisados y corregidos por mi cole- ga Elizabeth J. Kenyon. Muchos otros colaboradores realizaron numerosas sugerencias y correcciones, pro- porcionaron material para el libro y me dieron ánimos para seguir adelante: Alex Smits, Universidad de Princeton; Ray Taghavi, Universidad de Kansas; Ganesh Raman, Instituto Tecnológico de Illinois; Phil Combs, B. D. Fuller y Wayne Stroupe, U.S. Army Waterways Experiment Station; John Cimbala, Univer- sidad del Estado de Pennsylvania; Sheldon Green, Universidad de la Columbia Británica; Nikos J. Mourtos, Universidad del Estado de San José; Jacques Lewalle, Universidad de Syracuse; Richard McCuen, Uni- versidad de Maryland; Andris Skattebo, Scandpower A/S; Bruce E. Larock, Universidad de California, Da- vis; Sandra Barrette y Joan Zimmer, Badger Meter, Inc.; Dean Mohan, PCB Piezotronics; Andrei Smirnov e Ismail Celik, Universidad de West Virginia; Fernando Tavares de Pinho, CEFT-Transport Phenomena Re- search Centre, Portugal; S. Y. Son, Ken Kihm y J. C. Han, Universidad de Texas A&M; Ethan Lipman, Universidad de California, Davis; Deborah Pence, Universidad del Estado de Oregon; Debendra K. Das, Universidad de Alaska, Fairbanks; John Gay y Nick Galante, U.S. Navy; Dimitre Karamanev, Universidad de Western Ontario; Jay M. Khodadadi, Universidad de Auburn; John Foss, Universidad del Estado de Mi- chigan; William Palm y Raymond Wright, Universidad de Rhode Island; Haecheon Choi, Universidad Na- cional de Seoul, Korea; Lee Jay Fingersh, National Renewable Energy Laboratory; John Sheridan, Uni- versidad de Monash; Jason Reese, Universidad de Londres; Samuel S. Sih, Walla Walla College; Chihyung Wen, Universidad de Da-Yeh, Taiwan; Tim Gourlay, Australian Maritime College; Azer Yalin, Universi- dad del Estado de Colorado; Donald E. Richards, Instituto Rose-Hulman; Bob Oakberg, Universidad del Es- tado de Montana; Brian James Savilonis, Instituto Politécnico de Worcester; Ryoichi S. Amano, Ph.D., Uni- versidad de Wisconsin-Milwaukee; James D. McBrayer, P.E., D.Sc., Universidad de Florida Central; Don L. Boyer, Universidad del Estado de Arizona; Savas Yavuzkurt, Universidad del Estado de Pennsylvania; Abdul I. Barakat, Universidad de California, Davis; James A. Liburdy, Universidad del Estado de Oregon; Clement Kleinstreuer, Universidad del Estado de Carolina del Norte, Raleigh; Robert G. Oakberg, Uni- xii PRÓLOGO
  • 14. versidad del Estado de Montana. También han colaborado en la revisión: Dr. John W. Nicklow, P.E., P.H., Universidad del Sur de Illinois, Carbondale; Gary Tatterson, Universidad del Estado de North Carolina A&T; Anthony J. McHugh, Universidad de Illinois; Soyoung Cha, Universidad de Illinois-Chicago; Donald Carlucci, Instituto de Tecnología Stevens; Darrell W. Pepper, Ph.D., Universidad de Nevada, Las Vegas; y Farhan H. Chowdhury, Universidad de Ingeniería y Tecnología de Bangladesh. Como viene siendo habitual, la colaboración del personal de McGraw-Hill fue de enorme ayuda. Quiero dar las gracias a Jonathan Plant, Amy Hill, Regina Brooks, Rory Stein, Jill Peter, Brenda Ernzen, Rick Noel, Beverly Steuer, Meg McDonald, David Tietz, Denise Keller, Lauren Timmer y Stephanie Lange. Finalmente, quiero agradecer, como siempre, el apoyo y los ánimos constantes de mi mujer y mi fa- milia. PRÓLOGO xiii
  • 15. Me complace prologar esta traducción española del libro de Frank M. White, Fluid Mechanics, que a mi jui- cio representa una introducción excelente a la Mecánica de Fluidos.Cubre muy eficazmente y con el rigor suficiente una gran variedad de temas de interés práctico, sin requerir por parte del alumno un gran nivel de conocimientos matemáticos o físicos de partida. Quisiera resaltar el papel que los numerosos ejercicios de este libro juegan para complementar la ex- posición de la Mecánica de Fluidos dada en el texto principal. El autor ha conseguido, mediante una cui- dadosa selección de los ejercicios, ofrecer al alumno la posibilidad de aprovechar el trabajo que la realiza- ción de los ejercicios representa, no sólo para mejorar su comprensión de los temas desarrollados en el texto, sino también para ampliar sus conocimientos y su sentido físico del movimiento de los fluidos y de las apli- caciones prácticas de estos conocimientos. Tanto instructores como alumnos deben ser conscientes de la magnífica oportunidad que este texto les ofrece de hacer más eficaz su labor. Dado que no existe uniformidad en la nomenclatura en español para los distintos conceptos de Mecánica de Fluidos, los traductorres, cuyo profundo conocimiento de la Mecánica de Fluidos me consta, se han vis- to frecuentemente obligados a hacer una elección entre las varias posibilidades, a sabiendas de que el re- sultado no puede satisfacer a todos. (Quizá sea especialmente llamativa la elección de tensor de esfuerzos en lugar de la alternativa de tensor de tensiones.) En todo caso los traductores han tratado de hacer aparecer en el texto o en el índice la nomenclatura alternativa. Teniendo en cuenta que en su actividad profesional los futuros ingenieros tendrán, casi inevitablemen- te, necesidad de utilizar unidades inglesas, se ha mantenido sensiblemente la proporción en que las unida- des inglesas y las métricas aparecían en los ejemplos y ejercicios del texto original. Amable Liñán Prólogo a la edición española xiv
  • 17. Huracán Elena en el Golfo de México. A diferencia de la mayor parte de las aplicaciones ingenieriles de la Mecánica de Fluidos a pequeña escala, la dinámica de los huracanes está dominada por la aceleración de Coriolis debida a la rotación de la tierra, que los hace girar en sentido contrario a las agujas del reloj en el he- misferio norte. En el presente capítulo se discuten las propiedades físicas y las condiciones de contorno que gobiernan los flujos como estos. (Por cortesía de NASA/Color-Pic Inc-E.R. Degginger/Color-Pic Inc.)
  • 18. 1.1. NOTAS PRELIMINARES La Mecánica de Fluidos se ocupa del estudio de los fluidos en movimiento (fluidodinámica) o en reposo (fluidoestática). Tanto los líquidos como los gases son considerados fluidos, y el número de aplicaciones de la Mecánica de Fluidos es enorme: respiración, flujo sanguíneo, natación, ventiladores, turbinas, aviones, barcos, ríos, molinos de viento, tuberías, misiles, icebergs, motores, filtros, chorros y aspersores, por men- cionar algunas. Bien pensado, casi todas las cosas que existen en este planeta o son un fluido o se mueven inmersas o cerca de un fluido. Como ciencia, está basada en un compromiso adecuado entre teoría y experimentación. Por ser la Me- cánica de Fluidos una rama de la mecánica, dispone de un conjunto de leyes de conservación bien docu- mentadas y es posible, por tanto, un tratamiento teórico riguroso. Sin embargo, la teoría es a veces frus- trante, porque se refiere principalmente a ciertas situaciones idealizadas que pueden no ser válidas en los casos prácticos. Los dos obstáculos mayores para el tratamiento teórico son la geometría y la viscosidad. La teoría general del movimiento de los fluidos (Capítulo 4) es demasiado difícil para permitir abordar confi- guraciones geométricas arbitrarias, de modo que la mayor parte de los libros de texto se concentran en pla- cas planas, conductos circulares y otras geometrías sencillas. También es posible aplicar métodos numéri- cos a geometrías arbitrarias, y actualmente existen libros especializados que explican las aproximaciones y los métodos de la Mecánica de Fluidos Computacional (CFD, Computational Fluid Dynamics) [1, 2, 29].1 Este libro presentará muchos resultados teóricos, teniendo siempre presente sus limitaciones. El segundo obstáculo para la teoría es la acción de la viscosidad, que puede ser despreciada solamente en algunos flujos idealizados (Capítulo 8). En primer lugar, la viscosidad aumenta la dificultad de las ecua- ciones básicas, aunque la aproximación de capa límite, hallada por Ludwig Prandtl en 1904 (Capítulo 7), ha simplificado enormemente el análisis de los flujos viscosos. En segundo lugar, la viscosidad afecta a la es- tabilidad de todos los flujos, lo que salvo a velocidades muy pequeñas da lugar a un fenómeno desordena- do y aleatorio llamado turbulencia. La teoría de los flujos turbulentos es rudimentaria y descansa princi- palmente sobre la experimentación (Capítulo 6), aunque es muy útil para estimaciones ingenieriles. Los libros de texto suelen presentar algoritmos digitales para analizar los flujos turbulentos [32], pero estos mé- todos no son exactos, sino simples modelos basados en suposiciones empíricas sobre la media temporal del campo de esfuerzos turbulentos. Así pues, existe una teoría para estudiar el flujo de los fluidos, pero en todos los casos debe tener soporte experimental. A menudo, los datos experimentales son la fuente principal de información sobre determi- nados flujos, como es el caso de la resistencia y la sustentación de cuerpos (Capítulo 7). Afortunadamente, la Mecánica de Fluidos es visualizable, existe buena instrumentación [4, 5, 35] y el uso del análisis di- mensional y modelos a escala (Capítulo 5) está muy extendido. De este modo, la experimentación propor- ciona un complemento natural y sencillo a la teoría. Se debe tener en cuenta que teoría y experimentación van de la mano en todos los estudios de Mecánica de Fluidos. 3 Capítulo 1 Introducción 1 Las referencias numeradas aparecen al final de cada capítulo.
  • 19. 1.2. CONCEPTO DE FLUIDO Desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos, la materia sólo puede presentarse en dos estados: sóli- do y fluido. La diferencia entre ambos es perfectamente obvia para el lego y es un ejercicio interesante pre- guntar a alguien que explique esta diferencia en palabras. La distinción técnica radica en la reacción de am- bos a un esfuerzo tangencial o cortante. Un sólido puede resistir un esfuerzo cortante con una deformación estática; un fluido, no. Cualquier esfuerzo cortante aplicado a un fluido, no importa cuán pequeño sea, pro- vocará el movimiento del fluido. Éste se mueve y se deforma continuamente mientras se siga aplicando el esfuerzo cortante. Como corolario, podemos decir que un fluido en reposo debe estar en un estado de es- fuerzo cortante nulo; estado que se denomina a menudo condición hidrostática de esfuerzos en análisis es- tructural. En esta condición, el círculo de Mohr se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante en ningún plano que corte al elemento en cuestión. Dada la definición de fluido, cualquier lego sabe que existen dos clases de fluidos, líquidos y gases. De nuevo, la distinción es técnica y concierne al efecto de las fuerzas cohesivas. Un líquido, al estar compuesto por agrupaciones de moléculas muy cercanas con enormes fuerzas cohesivas, tiende a conservar su volumen y formará una superficie libre en un campo gravitatorio si no está limitado por arriba. Los flujos con su- perficie libre están dominados por efectos gravitatorios y se estudian en los Capítulos 5 y 10. Como las mo- léculas de gas están muy separadas entre sí, con fuerzas cohesivas despreciables, un gas es libre de expan- sionarse hasta que encuentre paredes que lo confinan. Un gas no tiene volumen definido y por sí mismo, sin confinamiento, forma una atmósfera que es esencialmente hidrostática. El comportamiento hidrostático de líquidos y gases se muestra en el Capítulo 2. Los gases no forman superficies libres y en los flujos gaseosos raramente influyen otros efectos gravitatorios distintos de los de flotabilidad. La Figura 1.1 muestra un bloque sólido apoyado sobre un plano rígido y deformado por su propio peso. El sólido adquiere una deflexión estática, marcada exageradamente con una línea a trazos, resistiendo es- fuerzos cortantes2 sin fluir. El diagrama de equilibrio del elemento A del lateral del bloque muestra un es- fuerzo cortante a lo largo del plano cortado a un ángulo θ. Como las paredes del bloque no están sometidas a esfuerzos, el elemento A tiene esfuerzo nulo a la derecha y a la izquierda y esfuerzo de compresión σ = –p arriba y abajo. El círculo de Mohr no se reduce a un punto y no hay esfuerzo cortante nulo en el bloque. Contrariamente, el líquido y el gas en reposo de la Figura 1.1 necesitan paredes para eliminar el esfuerzo cortante. Las paredes ejercen una compresión –p y el círculo de Mohr se reduce a un punto con esfuerzo cortante nulo en todas partes, o sea, está en la condición hidrostática. El líquido mantiene su volumen y for- ma una superficie libre sin llenar completamente el recipiente. Si se quitan las paredes, se crea esfuerzo cor- tante y el líquido se derrama. Si el recipiente se inclina, también aparece esfuerzo cortante, se forman ondas y la superficie adopta una posición horizontal, desbordándose llegado el caso. Mientras tanto, el gas se ex- pande fuera del recipiente, llenando todo el espacio disponible. El elemento A, en el gas, también está en la condición hidrostática y ejerce una compresión –p sobre la pared. En la discusión anterior se puede distinguir claramente entre sólidos, líquidos y gases. La mayor parte de los problemas ingenieriles de la Mecánica de Fluidos se refieren a estos casos claros, por ejemplo, los líquidos comunes como agua, aceite, mercurio, gasolina y alcohol y a los gases comunes como aire, helio, hidrógeno y vapor de agua en el rango de temperaturas y presiones normales. Sin embargo, existen muchos casos límites sobre los que se debe advertir. Algunas sustancias, aparentemente «sólidas» como asfalto y grafito, resisten esfuerzos cortantes durante breves periodos, pero realmente se deforman y presentan comportamiento de flui- do en periodos de tiempo largos. Otras sustancias, particularmente coloides y mezclas espesas, resisten pe- queñas cortaduras, pero «se rompen» a elevados esfuerzos cortantes y fluyen como fluidos. Hay libros de tex- to especializados dedicados al estudio general de la deformación y el flujo, campo denominado reología [6]. Por otra parte, los líquidos y gases pueden coexistir en mezclas bifásicas, tales como vapor-agua o agua con burbujas de aire. Algunos libros de texto presentan el análisis de estos flujos bifásicos [7]. Finalmente, hay si- tuaciones en que la diferencia entre líquido y gas se difumina. Esto ocurre a temperaturas y presiones por en- cima del llamado punto crítico de la sustancia, donde sólo existe una fase semejante al gas. A medida que la presión aumenta muy por encima del punto crítico, la sustancia gaseosa se hace tan densa que parece líqui- do y las aproximaciones termodinámicas usuales, como la ley de los gases perfectos, dejan de ser fiables. La temperatura y presión críticas del agua son Tc = 647 K y pc = 219 atm3 , de manera que los problemas típicos con agua o vapor están por debajo de dicho punto. El aire, por ser una mezcla de gases, no tiene punto críti- co propio, pero su principal componente, el nitrógeno, tiene Tc = 126 K y pc = 34 atm. Por ello, en los pro- 4 MECÁNICA DE FLUIDOS 2 Utilizamos el término esfuerzo análogo al de tensión, es decir, con significado de fuerza por unidad de superficie (N. del T.). 3 Una atmósfera equivale a 101.300 Pa = 2116 lbf/ft2 .
  • 20. blemas típicos, con altas temperaturas y bajas presiones comparadas con su punto crítico, el aire se comporta claramente como un gas. Este libro tratará solamente sobre líquidos y gases identificables como tales, y los casos límites citados anteriormente quedan fuera de nuestro objetivo. 1.3. EL FLUIDO COMO MEDIO CONTINUO Hemos utilizado ya términos técnicos tales como presión y densidad del fluido sin una discusión rigurosa de su definición. Sabemos que los fluidos son agregaciones de moléculas, muy separadas en los gases y pró- ximas en los líquidos. La distancia entre las moléculas es mucho mayor que el diámetro molecular. Las mo- léculas no están fijas en una red, sino que se mueven libremente. Por ello, la densidad, o masa por unidad de volumen, no tiene un significado preciso, pues el número de moléculas en el interior de un volumen cual- quiera cambia continuamente. Este efecto pierde importancia si la unidad de volumen es mucho mayor que el cubo del espaciado molecular, ya que el número de moléculas contenidas permanecerá prácticamente constante a pesar del considerable intercambio a través de su contorno. Si la unidad de volumen escogida es demasiado grande, puede haber una variación notable en la distribución global de partículas. Esta situación está ilustrada en la Figura 1.2, donde la «densidad» calculada a partir de la masa molecular δm de un vo- lumen dado δ, aparece en función del volumen escogido. Hay un volumen límite δ* por debajo del cual las variaciones moleculares pueden ser importantes y por encima del cual las variaciones macroscópicas también lo pueden ser. La densidad ρ de un fluido se define de modo óptimo como (1.1) l b b b b = A lím * m INTRODUCCIÓN 5 Deflexión estática Superficie libre Condición hidrostática Líquido Sólido A A A (a) (c) (b) (d) 0 0 A A Gas (1) – p – p p p p = 0 τ θ θ θ 2 1 – = p – = p σ σ 1 τ σ τ σ τ σ Figura 1.1. Un sólido en equilibrio puede soportar esfuerzo cortante. (a) Deflexión estática del sólido; (b) equilibrio y círculo de Mohr del elemento A del sólido. Un fluido no puede. (c) Se necesitan paredes de contención; (d) equi- librio y círculo de Mohr para el elemento A del fluido.
  • 21. El volumen límite δ* es alrededor de 10–9 mm3 para todos los líquidos y gases a presión atmosférica. Por ejemplo, 10–9 mm3 de aire en condiciones normales contienen aproximadamente 3 × 107 moléculas, lo cual es suficiente para definir una densidad prácticamente constante de acuerdo con la Ecuación (1.1). La mayor parte de los problemas ingenieriles están relacionados con dimensiones físicas mucho mayores que este vo- lumen límite, de modo que la densidad es esencialmente una función puntual y las propiedades del fluido pueden considerarse como variables continuas en el espacio, como se esquematiza en la Figura 1.2a. Un flui- do de este tipo se denomina medio continuo, lo cual significa que la variación de sus propiedades es tan sua- ve que se puede utilizar el cálculo diferencial para analizarlo. En todos los estudios incluidos en este libro consideraremos válida esta premisa. También en este sentido hay casos límite para gases a tan bajas pre- siones que su espaciado molecular y su camino libre medio4 son comparables, o mayores, que el tamaño del sistema. Esto obliga a abandonar la aproximación de medio continuo en favor de la teoría molecular del flu- jo de gases enrarecidos [8]. En principio, todos los problemas de Mecánica de Fluidos pueden ser abordados desde el punto de vista molecular, pero no lo haremos aquí. Se debe resaltar que el uso del cálculo diferen- cial no prejuzga la posibilidad de saltos discontinuos en las propiedades fluidas a través de superficies libres o de ondas de choque en fluidos compresibles (Capítulo 9). Nuestros cálculos deben ser suficientemente fle- xibles para poder trabajar con condiciones de contorno discontinuas. 1.4. DIMENSIONES Y UNIDADES Dimensión es la medida por la cual una variable física se expresa cuantitativamente. Unidad es una forma particular de asignar un número a la dimensión cuantitativa. Así, la longitud es una dimensión asociada a va- riables como distancia, desplazamiento, anchura, deflexión y altura, mientras que centímetros y pulgadas son unidades numéricas para expresar la longitud. La dimensión es un concepto muy poderoso sobre el que se ha desarrollado la espléndida herramienta físico-matemática del análisis dimensional (Capítulo 5), mientras que las unidades son los números que se buscan como respuesta final. Los sistemas de unidades han variado siempre de país a país, incluso después de adoptarse acuerdos in- ternacionales. Los ingenieros necesitan números y, por tanto, sistemas de unidades, y esos números deben ser fiables porque la seguridad pública está en juego. No se puede diseñar y construir un sistema de tuberías cuyo diámetro es D y cuya longitud es L. Los ingenieros norteamericanos persisten en utilizar el sistema bri- tánico de unidades. Hay mucha posibilidad de error en este sistema y muchos estudiantes han fallado un problema por olvidar un factor de conversión de 12 o 144 o 32,2 o 60 o 1,8. Los ingenieros, en la práctica, pueden cometer los mismos errores. El autor tiene la experiencia personal de un grave error en el diseño pre- liminar de un avión debido al olvido de un factor de 32,2 para convertir libras-masa en «slugs».5 6 MECÁNICA DE FLUIDOS Incertidumbre microscópica Incertidumbre macroscópica 0 1200 δ δ * ≈ 10-9 mm3 Volumen elemental Región fluida = 1000 kg/m3 = 1100 = 1200 = 1300 (a) (b) ρ ρ ρ ρ ρ δ Figura 1.2. Definición de la densidad del fluido como medio continuo: (a) volumen elemental en una región flui- da de densidad variable; (b) densidad calculada en función del tamaño del volumen elemental. 4 Distancia media entre colisiones moleculares. 5 Unidad de masa en el sistema británico (N. del T.).
  • 22. En una reunión internacional celebrada en Francia en 1872 se propuso la Convención Métrica, un tra- tado que fue firmado en 1875 por 17 países, incluidos los Estados Unidos de América. Constituía una apre- ciable mejora sobre el sistema británico, pues su base es el número 10, que es la base del sistema numéri- co aprendido desde la infancia en todas partes. Aún quedaban problemas porque incluso los países con sistema métrico utilizaban a veces los kilopondios en lugar de dinas o newtones, kilogramos en lugar de gramos, o calorías en lugar de julios. Para uniformizar el sistema métrico, una Conferencia General de Pe- sas y Medidas celebrada en 1960, con asistencia de 40 países, propuso el Sistema Internacional de Uni- dades (SI). Actualmente pasamos un arduo periodo de transición hacia el SI, que probablemente durará aún muchos años. Las asociaciones profesionales dirigen el cambio. Desde el 1 de julio de 1974 se obliga a uti- lizar el SI en todos los trabajos publicados por la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME, American Society of Mechanical Engineers), que preparó un folleto explicativo al respecto [9]. El presente libro utilizará simultáneamente el SI y el sistema británico. Dimensiones primarias En Mecánica de Fluidos sólo hay cuatro dimensiones primarias, de las cuales derivan las demás. Son masa, longitud, tiempo y temperatura.6 Estas dimensiones y sus unidades en ambos sistemas aparecen en la Ta- bla 1.1. Nótese que la unidad Kelvin no utiliza el símbolo de grado. Las llaves que engloban un símbolo como {M} significan «dimensiones de» masa. Todas las demás variables en Mecánica de Fluidos pueden expresarse en función de {M}, {L}, {T} y {Θ}. Por ejemplo, la aceleración tiene dimensiones de {LT–2 }. La más importante de estas dimensiones secundarias es la fuerza, directamente relacionada con masa, longitud y tiempo a través de la segunda ley de Newton. La fuerza es igual a la variación temporal de la cantidad de movimiento o, si la masa es constante, F = ma (1.2) De aquí podemos ver que, dimensionalmente, {F} = {MLT–2 }. La constante de proporcionalidad se elimi- na definiendo la unidad de fuerza exactamente en función de las unidades primarias. Así definimos el new- ton y la libra-fuerza 1 newton fuerza = 1 N ≡ 1 kg · 1 m/s2 1 libra fuerza = 1 lbf ≡ 1 slug · 1 ft/s2 = 4,4482 N (l.3) En este libro se usará la abreviatura lbf para la libra-fuerza y lb para la libra-masa. Si se adopta otra unidad de fuerza como la dina o el kilopondio, o se toma otra unidad de masa como el gramo o la libra-masa, se debe incluir en la Ecuación (l.2) una constante de proporcionalidad gc . En este libro no se utilizarán este tipo de constantes, ya que se emplearán los sistemas internacional y británico, donde no son necesarias. En la Tabla 1.2 se enumeran algunas de las variables secundarias más importantes en Mecánica de Flui- dos, expresando sus dimensiones en función de las cuatro primarias. Una lista más completa de factores de conversión puede encontrarse en el Apéndice C. INTRODUCCIÓN 7 6 Si los efectos electromagnéticos son importantes, se debe incluir una quinta, la corriente eléctrica {I}, cuya unidad en el SI es el amperio (A). Tabla 1.1. Dimensiones primarias en los sistemas SI y británico. Dimensión primaria Unidad SI Unidad británica Factor de conversión Masa {M} Kilogramo (kg) Slug 1 slug = 14,5939 kg Longitud {L} Metro (m) Pie (ft) 1 ft = 0,3048 m Tiempo {T} Segundo (s) Segundo (s) 1 s = 1 s Temperatura {Θ} Kelvin (K) Rankine (°R) 1 K = 1,8 °R
  • 23. EJEMPLO 1.1 Un cuerpo pesa 1000 lbf en el campo gravitatorio terrestre con g = 32,174 ft/s2 · (a) ¿Cuál es su masa en kilogramos? (b) ¿Cuál será su peso en newtones en el campo gravitatorio lunar con gluna = 1,62 ft/s2 ? (c) ¿Cuál será su aceleración si se le aplica una fuerza de 400 lbf en la luna y en la tierra? Solución Apartado (a) La Ecuación (1.2) dice que F = peso si a = gtierra : F = W = mg = 1000 lbf = (m) (32,174 ft/s2 ) o Resp. (a) Comentario. El cambio de 31,08 slugs a 453,6 kg muestra la utilidad del factor de conversión 14,5939 kg/slug. Apartado (b) La masa del cuerpo sigue siendo la misma en la luna. La Ecuación (1.2) nos permite calcular el peso correspondiente F = Wluna = mgluna = (453,6 kg)(1,62 m/s2 ) = 735 N Resp. (b) Apartado (c) Este apartado no está relacionado con el peso, sino con la aplicación directa de la segunda ley de Newton F = 400 lbf = ma = (31,08 slugs)(a) o Resp. (c) Comentario. La aceleración obtenida sería la misma en la luna, en la tierra o en cualquier otra parte. Muchos datos en artículos y trabajos aparecen con unidades arcaicas o inconvenientes, útiles sólo para alguna industria, especialidad o país. El ingeniero debe convertir estos datos al SI o al sistema británico antes de usarlos. Esto requiere la aplicación sistemática de factores de conversión, como en el ejemplo si- guiente. a = = = 4 3 2 87 3 92 00 lbf 1,08 slugs 1 ft/s m/s 2 2 , , m = = 1000 32 174 lbf ft/s (31,08 slugs)(14,5939 kg/slug) = 453,6 kg 2 , 8 MECÁNICA DE FLUIDOS Tabla 1.2. Dimensiones secundarias en Mecánica de Fluidos. Dimensión secundaria Unidad SI Unidad británica Factor de conversión Área {L2 } m2 ft2 1 m2 = 10,764 ft2 Volumen {L3 } m3 ft3 1 m3 = 35,315 ft3 Velocidad {LT–1 } m/s ft/s 1 ft/s = 0,3048 m/s Aceleración {LT–2 } m/s2 ft/s2 1 ft/s2 = 0,3048 m/s2 Presión o esfuerzo {ML–1 T–2 } Pa = N/m2 lbf/ft2 1 lbf/ft2 = 47,88 Pa Velocidad angular {T–1 } s–1 s–1 1 s–1 = 1 s–1 Energía, calor, trabajo {ML2 T–2 } J = N · m lf · lbf 1 ft · lbf = 1,3558 J Potencia {ML2 T–3 } W = J/s ft · lbf/s 1 ft · lbf/s = 1,3558 W Densidad {ML–3 } kg/m3 slugs/ft3 1 slug/ft3 = 515,4 kg/m3 Viscosidad {ML–1 T–1 } kg/(m · s) slugs/(ft · s) 1 slug/(ft · s) = 47,88 kg/(m · s) Calor Específico {L2 T–2 Θ–1 } m2 /(s2 · K) ft2 /(s · °R) 1 m2 /(s2 · K) = 5,980 ft2 /(s · °R)
  • 24. EJEMPLO 1.2 La industria relacionada con la medida de la viscosidad [27, 36] continúa usando el sistema de unidades cgs, porque los valores de la viscosidad expresados en centímetros y gramos resultan más manejables para muchos fluidos. La unidad de viscosidad absoluta (µ) en el sistema cgs es el poise, 1 poise = 1 g/(cm · s), nombre tomado de J. L. M. Poiseuille, médico francés que llevó a cabo experimentos pioneros en 1840 sobre flujo de agua en conductos. La uni- dad de la viscosidad cinemática (ν) es el stokes, nombre tomado de G. G. Stokes, un físico inglés que en 1845 co- laboró en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales básicas que gobiernan la cantidad de movimiento de los flui- dos; 1 stokes = 1 cm2 /s. La viscosidad del agua a 20 °C es alrededor de µ 5 0,01 poises y también ν 5 0,01 stokes. Exprese estos valores en (a) el SI y (b) el sistema británico. Solución Apartado (a) • Procedimiento. Cambiamos de forma sistemática gramos a kg o slugs y centímetros a metros o pies. • Valores de las propiedades. Dados µ = 0,01 g/(cm · s) y ν = 0,01 cm2 /s. • Solución del apartado (a). Para convertir a unidades SI, Resp. (a) Apartado (b) • Para convertir al sistema británico, Resp. (b) • Comentario. El resultado (b) se podría haber obtenido directamente del (a) dividiendo éste por el factor de con- versión 47,88 dado en la Tabla 1.2. En el Apéndice C se dan más factores de conversión entre unidades SI y del sistema británico. Insistimos en el consejo: si aparecen datos con unidades no usuales se deben convertir al SI o al sistema británico, porque (1) es más profesional y (2) las ecuaciones teóricas de la Mecánica de Fluidos son di- mensionalmente consistentes y no requieren factores de conversión cuando se usan los sistemas citados, como muestra el ejemplo siguiente. EJEMPLO 1.3 Una de las ecuaciones teóricas más útiles es la que relaciona la presión, la velocidad y la altura en el flujo estacio- nario de un fluido incompresible no viscoso con transferencia de calor despreciable,7 llamada ecuación de Bernoulli, por Daniel Bernoulli, que publicó un libro de hidrodinámica en 1738: p0 = p + 1 2 ρV2 + ρgZ (1) donde p0 = presión de remanso p = presión en el fluido V = velocidad µ i = u = = u = = = 0 01 0 01 0 01 1 0000108 2 , , ( , ( , g cm s 0,01 g(1 kg/1000 g)(1 slug/14,5939 kg) (0,01 m/cm)(1 ft/0,3048 m)s 0,0000209 slug ft s cm s 0,01 cm m/cm) ft/0,3048 m) s 0 ft s 2 2 2 2 µ i = u = = u = = = 0 01 0 01 0 01 2 , , ( , g cm s 0,01 g(1 kg/1000 g) cm(0,01 m/cm)s 0,001 kg m s cm s 0,01 cm m/cm) s 0,00001 m s 2 2 2 INTRODUCCIÓN 9 7 Este conjunto de hipótesis se estudiará con detalle en el Capítulo 3.
  • 25. ρ = densidad Z = altura g = aceleración de la gravedad (a) Demuestre que la Ecuación (1) satisface el principio de homogeneidad dimensional, que establece que todos los términos aditivos en una ecuación física deben tener las mismas dimensiones. (b) Demuestre que en el SI las uni- dades son consistentes sin necesidad de factores de conversión. (c) Repita el apartado (b) para el sistema británico. Solución Apartado (a) Podemos expresar la Ecuación (1) dimensionalmente, usando llaves para representar las dimensiones de cada tér- mino: {ML–1 T–2 } = {ML–1 T–2 } + {ML–3 }{L2 T–2 } + {ML–3 }{LT–2 }{L} = {ML–1 T–2 } para todos los términos Resp. (a) Apartado (b) Poniendo las unidades del SI para cada cantidad, tomadas de la Tabla 1.2: {N/m2 } = {N/m2 } + {kg/m3 }{m2 /s2 } + {kg/m3 }{m/s2 }{m} = {N/m2 } + {kg/(m · s2 )} El segundo miembro parece complicado, pero no lo es si se recuerda, por medio de la Ecuación (1.3), que 1 kg = 1 (N · s2 )/m. Resp. (b) De esta forma todos los términos de la ecuación de Bernoulli tienen unidades de pascales, o newtones por metro cua- drado, al utilizar el SI. No se necesitan factores de conversión, lo cual es cierto para todas las ecuaciones de la Me- cánica de Fluidos. Apartado (c) Introduciendo las unidades del sistema británico, tenemos {lbf/ft2 } = {lbf/ft2 } + {slugs/ft3 }{ft2 /s2 } + {slugs/ft3 }{ft/s2 }{ft} = {lbf/ft2 } + {slugs/(ft · s2 )} Pero, por medio de la Ecuación (1.3), 1 slug = 1 lbf · s2 /ft, de modo que Resp. (c) Todos los términos tienen unidades de libra-fuerza por pie cuadrado. Tampoco en el sistema británico se necesitan factores de conversión. Aún persiste en los países anglosajones la tendencia a usar libras-fuerza por pulgada cuadrada como uni- dad de presión, porque los números son más manejables. Por ejemplo, la presión atmosférica estándar es 101.300 Pa = 14,7 lbf/in2 = 2116 lbf/ft2 . El pascal es una unidad muy pequeña, pues un newton es menos de 1 4 de lbf y un metro cuadrado un área muy grande. A pesar de lo cual el pascal va ganando aceptación; por ejemplo, los manuales de reparación de los automóviles americanos especifican ya las medidas de presión es pascales. Unidades consistentes Las ecuaciones de la mecánica (de fluidos) no sólo deben ser dimensionalmente homogéneas, sino que ade- más se deben usar unidades consistentes; esto es, todos los términos aditivos en una ecuación física deben { )} { } { } slugs/(ft s lbf s /ft} {ft s lbf/ft 2 2 2 2 u = u u = { )} { } { } kg/(m s N s /m} {m s N/m 2 2 2 2 u = u u = 10 MECÁNICA DE FLUIDOS
  • 26. tener las mismas unidades. Esto no supone ningún problema si se usa el SI o el sistema británico, como en el Ejemplo 1.3, pero puede resultar fatal para quienes traten de mezclar unidades inglesas coloquiales. Por ejemplo, en el Capítulo 9 usaremos a menudo la hipótesis de flujo gaseoso compresible, adiabático y esta- cionario: h + 1 2 V2 = constante donde h es la entalpía del fluido y V2 /2 es su energía cinética por unidad de masa. Las tablas termodinámi- cas coloquiales podrían expresar h en unidades térmicas inglesas por unidad de masa (Btu/lb), mientras que V suele expresarse en ft/s. Es totalmente erróneo sumar Btu/lb y ft2 /s2 . En este caso, la unidad adecuada para la entalpía es ft · lbf/slug, que es idéntica a ft2 /s2 . El factor de conversión es 1 Btu/lb 5 25.040 ft2 /s2 = 25.040 ft · lbf/slug. Ecuaciones homogéneas frente a ecuaciones dimensionalmente inconsistentes Todas las ecuaciones teóricas de la mecánica (y de otras ramas de la física) son dimensionalmente homo- géneas; esto es, todos los términos aditivos de la ecuación tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, la ecuación de Bernoulli (1) del Ejemplo 1.3 es dimensionalmente homogénea: todos los términos tienen di- mensiones de presión o esfuerzo {F/L2 }. Otro ejemplo es la ecuación de la física para un cuerpo en caída li- bre cuando se desprecia la resistencia aerodinámica: S = S0 + V0 t + 1 2 gt2 donde S0 es la posición inicial, V0 es la velocidad inicial y g es la aceleración de la gravedad. Cada término en esta ecuación tiene dimensiones de longitud {L}. El factor 1 2 , que proviene de la integración, es simple- mente un número (adimensional), {1}. El exponente 2 también es adimensional. Sin embargo, se debe advertir al lector que muchas fórmulas empíricas usadas en ingeniería, princi- palmente las obtenidas de correlaciones de datos, no son dimensionalmente consistentes. Sus unidades no pueden reconciliarse de forma sencilla, y algunos términos pueden contener variables ocultas. Un ejemplo es la fórmula que utilizan los fabricantes de válvulas de tuberías para calcular el caudal Q (m3 /s) a través de una válvula parcialmente abierta: donde ∆p es la caída de presiones a través de la válvula y S es la densidad relativa del líquido (el cociente entre su densidad y la del agua). La cantidad CV es el coeficiente de f