lo mejor

1. Triángulos – Aplicaciones en la Arquitectura
La trigonometría estudia la relación
entre los lados y los ángulos de un
triángulo (forma geométrica que
sintetiza el estudio de los
polígonos).
El triángulo tiene la virtud de ser
indeformable, por lo que se usa
para dar estabilidad a cualquier
estructura resistente, tanto en el
diseño industrial como en la
arquitectura.

2. Triángulos – Aplicaciones en la Arquitectura
Puente Erasmusbrug en Rotterdam, de Arq. Ben Van
Berkel. Utiliza el triángulo para lograr estabilidad.
Turning Torso, Suecia – Arq. Calatrava -
Cuando se busca dar resistencia o estabilidad a un objeto se puede
recurrir al triángulo.

3. Triángulos – Aplicaciones en la Arquitectura
La llamada Cruz de San Andrés impide a las fuerzas aplicadas
lateralmente desestabilizar una estructura.

4. ¿Qué estudiaremos entonces?
Como vimos en los ejemplos anteriores es necesario estudiar los triángulos y cómo
resolverlos, es decir calcular sus ángulos, dimensiones de sus lados, su perímetro y
superficie.
Triángulos, elementos y clasificación
Sistemas de medición de ángulos
Triángulos rectángulos
Funciones trigonométricas
Teoremas del seno y del coseno
Cálculo de superficie de un triángulo

5. Triángulos
Figura geométrica, formada por una poligonal cerrada, delimitada por
tres lados

6. Lados
Ángulos
Vértices
Suma de los ángulos interiores: 180º
A
B
C a
b c
γ β
α
Elementos de un triángulo
Ir a Geogebra Ir a Geogebra

7. Clasificación dada según sus lados:
Clasificación dada según sus ángulos:
equilátero isósceles escaleno
acutángulo obtusángulo rectángulo
oblicuángulos
Clasificación de los triángulos

8. TRIÁNGULOS
Rectángulos
Un ángulo de 90º
Isósceles
Escalenos
Acutángulos
Todos sus ángulos
menores de 90º
Equiláteras
Escalenos
Isósceles
Oblicuángulos
Un ángulo mayor
de 90º
Escalenos
RECUERDA:
 Triángulo escaleno: 3 lados desiguales
 Triangulo isósceles: 2 lados iguales y uno desigual
 Triangulo equilátero: 3 lados iguales

9. ANGULOS SISTEMAS DE MEDICIÓN
Palacio de la Paz y la Reconciliación, en Astaná (Kazajistán).
Fuente:https://www.pisos.com/aldia/wp-
content/uploads/2015/09/9-edificios-con-forma-de-piramide02.jpg

10. ¿Qué es un ángulo?
Ángulo es un concepto de la Geometría para referirse al espacio
comprendido entre la intersección de dos rectas que parten de un
mismo punto o vértice.
• Sexagesimal
• Centesimal
• Radial o Circular
Sistemas de medición:
¿ Como medimos un ángulo? ¿Con que unidades?

11. 0º
30º
60º
90º
120º
150º
180º
210º
240º
270º
300º
330º
360º
Giro Total: 360º
Unidades de medición:
gº mm’ ss”
grados
minutos
segundos
O
Sistemas de medición de ángulos
Sistema Sexagesimal (Aquí multiplicas o dividís por 60)
Esta manera de expresar un ángulo se denomina “compleja” porque discrimina grados, minutos y segundos.
Cuando expresamos el valor del ángulo solo en grados diremos que lo estamos haciendo de manera “incompleja”
1grado tiene 60 minutos y 3600 segundos 1 segundo tiene 1/60 minutos y 1/3600 grados

12. FORMAS DE EXPRESAR UN ÁNGULO
EN SISTEMA SEXAGESIMAL
 FORMA COMPLEJA:
 𝜶 = 𝟑𝟎º 𝟒𝟎´𝟓𝟔“
 Para expresar 𝜶 en su forma incompleja debemos pasar los
40´56” a grados
 Comenzamos con los minutos:
 1º------- 60´
 Xº ----- 40´ Xº= 1º x 40´/60´= 0,666666666667º = 40´
 Seguimos con los segundos
 1º------- 3600”
 Xº ----- 56” Xº= 1º x 56”/3600”=0,0155555555556º= 𝟓𝟔“
 Entonces:
 30º
 + 0,666666666667º
 + 0,0155555555556º
---------------------------
30,682222222222222º
Recuerda !!! Los ángulos
no se redondean! Nunca!

13. Giro Total: 400G
Unidades de medición:
nG nnM nnS
Gradianes
Minutos
Segundos
0G
50G
100G
150G
200G
250G
300G
350G
400G
O
Sistemas de medición de ángulos
Sistema Centesimal (Aquí multiplicas o dividís por 100)
Esta manera de expresar un ángulo se denomina “compleja” porque discrimina grados, minutos y segundos.
Cuando expresamos el valor del ángulo solo en grados diremos que lo estamos haciendo de manera “incompleja”

14. FORMAS DE EXPRESAR UN ÁNGULO
EN SISTEMA CENTESIMAL
 FORMA COMPLEJA:
 𝜶 = 𝟑𝟎𝑮 𝟒𝟎𝑴𝟓𝟔𝑺
 Para expresar 𝜶 en su forma incompleja debemos pasar los 𝟒𝟎𝑴𝟓𝟔𝑺 a
gradientes
 Comenzamos con los minutos centesimales
 1G------- 100M
 XG ----- 40M
 XG= 1G x 40M/100M= 0,4G= 𝟒𝟎𝑴
 Seguimos con los segundos centesimales
 1G------- 10000S
 XG ----- 56S
 XG= 1º x 56S/10000S=0,0056G= 56S
 Entonces:
 30G
 + 0,4G
 + 0,0056G
---------------------------
30,4056G
Recuerda !!! Los ángulos no se
redondean! Nunca!

15. Giro Total: 6,28318... r
Unidad de medición:
n,nnnnr
radián
1 radián
2 r
3 r
4 r
5 r
6 r
0
6,28318... r
O
Sistemas de medición de ángulos
Sistema Radial
1 radian es el ángulo que subtiende un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma.
Equivale, en el sistema sexagesimal, a un ángulo de ….. Vamos a calcularlo

16. 1 radian es el ángulo que subtiende un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma.
Equivale, en el sistema sexagesimal, a un ángulo de ….. Vamos a calcularlo
Si queremos calcular el perímetro de la circunferencia sabemos que la fórmula
es: 2 x π x radio de la circunferencia lo que equivale, en el sistema sexagesimal
a un ángulo girado de 360º
360º
RADIO
RADIO
ARCO=
RADIO
ÁNGULO
DE 1
RADIÁN
Entonces:
Para un arco de 2xπxradio ------- 360º
Para un arco= radio radio ------ Xº
Xº =
𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒙 𝟑𝟔𝟎º
𝟐𝒙 𝝅𝒙𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐
=
57,2957795131º es lo que vale un radián en
grados sexagesimales
360º/ 57,2957795131º = 6,2831853072 rad=
2x𝝅 rad

17. a
360º
º a
2πr
r
a
400G
G
=
=
α
O A
B
S. Sexagesimal
S. Centesimal
S. Radial
Sistemas de medición de ángulos
Equivalencia entre los distintos sistemas

18. a
360º
º a
400G
G
=
Sistemas de medición de ángulos
Equivalencia entre sistemas sexagesimal y centesimal
Convertir 30º sexagesimales a centesimales
Lo podemos ver como una regla de tres simple:
360º 400G
30º
𝑋 =
30º 𝑥 400𝐺
360º
= 33,333𝟑𝑮 33G 33M 33S
Nota: al ingresar 30º pulsamos la tecla º ´ ´´. Lo mismo hacemos al ingresar 360º
De esta forma le informamos a la calculadora que estamos trabajando con grados
sexagesimales.

19. Sistemas de medición de ángulos
Equivalencia entre sistemas sexagesimal y radial
Convertir 30º sexagesimales al sistema radial
360º 2π rad
30º 𝑋 =
30º 𝑥 2π 𝑟𝑎𝑑
360º
= 0,167 π rad 0,523 rad
Nota: al ingresar 30º pulsamos la tecla º ´ ´´. Lo mismo hacemos al ingresar 360º
De esta forma le informamos a la calculadora que estamos trabajando con grados
sexagesimales.

20. Sistemas de medición de ángulos
Equivalencia entre sistemas centesimal y radial
Convertir 20G 42M 33S al sistema radial
400G 2π rad
20G 42M 33S
𝑋 =
𝟐𝟎,𝟒𝟐𝟑𝟑 𝒙 2π 𝑟𝑎𝑑𝑮
400𝐺 = 0,102 π rad
Nota: Aquí no trabajamos con grados sexagesimales, por lo tanto no pulsamos la tecla º ´ ´´
0,3208 rad

21. TRIANGULOS RECTÁNGULOS
Palacio de la Paz y la Reconciliación, en Astaná (Kazajistán).
Fuente:https://www.pisos.com/aldia/wp-
content/uploads/2015/09/9-edificios-con-forma-de-piramide02.jpg

22. Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐
𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟓𝟐

23. Teorema de Pitágoras
Resolución de Triángulos
Solo para triángulos rectángulos
No se puede utilizar para resolver triángulos oblicuángulos
NO PODÉS USAR PITÁGORAS!!!!!!

24. Funciones trigonométricas
Para la resolución de triángulos rectángulos se utilizan las funciones
trigonométricas y Pitágoras.
• Seno α
• Coseno α
• Tangente α
Funciones que veremos:
No se pueden aplicar a la resolución de triángulos oblicuángulos.
Proyecto de
Arq. Jakub Szczesny

25. ¿Cuál es el cateto opuesto y cuál el adyacente?
Según el ángulo que consideremos serán los catetos.
¿Cuál es la hipotenusa?

26. O A
B
P
M
α
x
(abscisa)
y
(ordenada)
x
y
Funciones trigonométricas
Los valores de las funciones son iguales para los tres triángulos que se
observan en la figura. Todos ellos son semejantes.
45 m
60 m
30 m
40 m 60m 80m
𝒔𝒆𝒏𝒐 ∝ =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐 ∝ =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 ∝ =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
∝ = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏𝒐 (
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
)
∝ = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑜 (
30 𝑚
50 𝑚
) = 36º 52´11,63¨ 𝑠𝑒𝑛𝑜 ∝ =
30
50
= 0,6 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 ∝ =
40
50
= 0,8 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ∝ =
30
40
= 0,75

27. LA IMPORTANCIA DE LA FUNCIÓN TANGENTE
 Aquí te presentamos una tabla de conversión de
pendientes en % y grados de inclinación de techo.
 La pendiente de 5% significa que:
100 unidades
5 unidades
𝛼
Tg 𝜶 =
𝟓
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟓 = 𝟓%
Es decir que conociendo la pendiente podemos conocer el
ángulo de inclinación del techo o caño que estamos
colocando
Es decir que la PENDIENTE es la TANGENTE del ángulo
EXPRESADA EN PORCIENTO.
https://www.indafer.com/lacasaporeltejado/2014/06/la-pendiente-en-una-
cubierta-la-pendiente-cero/
Tg 5,7º= 0,09981326947
Pendiente= 0,09981326947x100=
9,981326947% aprox 10 %

28. LA IMPORTANCIA DE LA FUNCIÓN COSENO
Supongamos que tenemos que determinar, en este caso, dos
superficies:
A- La superficie en planta o cubierta
B- La superficie de la cubierta
A-
Para la superficie en planta vemos que hay 5 tramos de 2 metros a
lo largo y de frente mide 10 metros. Por tratarse de un rectángulo
la superficie será: 5tramosx2mx10m= 100m2
c
c
𝜶
c
5 m
1,5 m
B-
Para calcular la superficie de un faldón, necesito conocer el valor de
c y 𝜶 ya que dicha superficie es la de un rectángulo: cx10m
𝜶 = arc tg (1,5m/5m)= 16,69924423º
Por func. trigonómetricas sabemos que :
Cos 𝜶 = 5m/c c= 5m/cos 𝜶 c= 5,220153254 m
B- Finalmente la superficie de la cubierta será la de un faldón
multiplicada por dos:
2x(cx10m)= 2x (5,220153254 mx10m)= 104,4030 m2
H= 1,5m
FALDÓN

29. LA IMPORTANCIA DE LA FUNCIÓN SENO
Supongamos que tenemos que determinar, en este caso, :
A- La altura “H”
Datos:
SUP. FALDON: 52,2015 m2
Datos del gráfico: Longitud del faldón 2x5m=10m
𝜶 = 16º
A-
Para calcular H, necesito conocer el valor de c
Como el faldón es un rectángulo su superficie es igual a :
cx10m= 52,2015 m2
Despejo el valor de c=
52,2015 m2
10m
= 5,22015m
c
c
H= ¿?
FALDÓN
c
𝜶
c
H
𝜶
Planteo la función seno 𝜶 :
sen 𝜶=
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
=
𝑯
𝑪
H= sen 𝜶x c
H= 0,2756373558x 5,22015m
H= 1,438868343 m

30. Cómputo de tejas para un techo inclinado
Supongamos dos faldones iguales, inclinados 25º respecto de la horizontal.
Computaremos la cantidad de tejas coloniales con que cubriremos el techo
sabiendo que para cubrir 1 m2 son necesarias 28 tejas.
25º
7 m
10
m
Los 7 metros de la figura están medidos en su proyección
horizontal, por lo que debemos “desproyectarlos” sobre el
plano inclinado, ya que de otro modo la superficie de 7m x
10m = 70m2 sería irreal ya que está calculada sobre el
plano horizontal. (Sería la superficie en planta)
Tomaremos como base para el cálculo un faldón y a la
superficie calculada la multiplicaremos por dos para tener
la total.
25º
3,5 m
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟓º =
𝟑, 𝟓𝒎
𝑯
𝐇 =
𝟑, 𝟓𝒎
𝐜𝐨𝐬 𝟐𝟓º
= 𝟑, 𝟖𝟔 𝒎
𝑺up del faldón = 3,86 m x 10 m = 38,6 m2 𝑺up total= 38,6 m x 2 = 77,2 m2
1 m2
77,2 m2
28 tejas
𝑿 =
𝟕𝟕,𝟐 𝒎𝟐 𝒙 𝟐𝟖 𝒕𝒆𝒋𝒂𝒔
𝟏 𝒎𝟐 = 2161,6 tejas ~ 𝟐𝟏𝟔𝟐 𝒕𝒆𝒋𝒂𝒔

31. Cómputo de tejas para un techo inclinado
En los planos de proyecto de una vivienda se consignan las distancias diseñadas
sobre un plano horizontal y los cortes que son proyecciones sobre un plano vertical.
Para calcular la cantidad de tejas con que cubriremos un techo a dos aguas
necesitamos calcular las distancias inclinadas y no utilizar las horizontales que
muestra el plano.

32. RESUMEN DE LO VISTO
a
360º
º a
2πr
r
a
400G
G
=
=
𝑠𝑒𝑛𝑜 ∝ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 ∝ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 ∝ =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
∝ = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛𝑜 (
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
) H2 = CA2 + CO2
α
O A
B
S.
Sexagesimal
S. Centesimal
S. Radial
Y
X
α
Tg α = Y/X
PENDIENTE= Tg α x100

34. TRIANGULOS NO
RECTÁNGULOS
RESOLUCIÓN
RECUERDEN QUE PARA RESOLVER UN TRIÁNGULO, RECTÁNGULO O NO,SE NECESITA
CONOCER AL MENOS TRES DATOS DEL MISMO Y POR LO MENOS UNO DEBE SER EL
VALOR DE UN LADO.

35. TRIÁNGULOS
NO
RECTÁNGULOS
Acutángulos
Todos sus ángulos
menores de 90º
Equiláteras
Escalenos
Isósceles
Oblicuángulos
Un ángulo mayor
de 90º
Escalenos
Isósceles
RECUERDA:
 Triángulo escaleno: 3 lados desiguales
 Triangulo isósceles: 2 lados iguales y uno desigual
 Triangulo equilátero: 3 lados iguales

36. Funciones trigonométricas
Para resolver triángulos oblicuángulos se utilizan los teoremas del seno
y del coseno.
A veces se puede descomponer fácilmente un triángulo en dos
triángulos rectángulos, dividiendo una de las bases por la mitad y así
utilizar las funciones trigonométricas. Esto ocurre cuando el triángulo
es isósceles.

37. Funciones trigonométricas
Ejemplo:
Calcular la altura H y los ángulos α y β en el triángulo isósceles de la
figura usando funciones trigonométricas.
𝒔𝒆𝒏𝒐 𝜷 =
𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟓, 𝟖𝟑 𝒎
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐 ∝ =
𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟓, 𝟖𝟑 𝒎
𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑩 =
𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟑 𝒎
∝ = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏𝒐 (
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
)
3 m
∝ = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏𝒐 (
𝟑 𝒎
𝟓,𝟖𝟑 𝒎
)
∝ = 𝟑𝟎º 𝟓𝟖´ 𝟗, 𝟕𝟑´´
𝜷 = 𝟏𝟖𝟎º − (𝟗𝟎º + 𝟑𝟎º 𝟓𝟖´ 𝟗, 𝟕𝟑´´)
β = 59º 1´ 50,27´´
H
5,83 m
5,83 m
6 m
𝜶
β
𝑯 = 𝟓, 𝟖𝟑 𝒎 𝒙 𝒔𝒆𝒏𝒐 𝟓𝟗º 𝟏´ 𝟓𝟎, 𝟐𝟕´´ = 5 m
𝑯 = 𝟓, 𝟖𝟑 𝒎 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐 𝟑𝟎º 𝟓𝟖´ 𝟗, 𝟕𝟑´´ = 5 m 𝑯 = 𝟑 𝒎 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝟓𝟗º 𝟏´ 𝟓𝟎, 𝟐𝟕´´ = 5 m

38. Resolución de triángulos oblicuángulos
Las funciones trigonométricas estudiadas, seno, coseno , tg así como
el teorema de Pitágoras, solo se pueden emplear en triángulos
rectángulos.
En cambio existen otros recursos, tales como los teoremas del seno y
del coseno, que pueden utilizarse en cualquier tipo de triángulo sea
éste rectángulo o no.

39. DATOS:
2 ángulos
1 lado opuesto a uno de
los ángulos
𝛼 𝛽
b
b
a
β
DATOS:
2 lados
1 ángulo opuesto a uno
de los lados que son
dato
b
β
𝛼
DATOS:
2 ángulos
1 lado que no es
opuesto a ninguno de
los ángulos.
USAMOS EL TEOREMA DEL SENO CUANDO LOS DATOS SON….
• Sirve para encontrar el valor, ya sea
de los lados o de los ángulos de los
triángulos. Se aplica tanto a
triángulos rectángulos como no
rectángulos
TEOREMA DEL SENO
a
sen α
=
b
sen β
=
c
sen γ
A
B
C a
b c
γ β
α

40. Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Ejemplo: Calcular la medida de la barra BC y los ángulos α y γ
sabiendo que el ángulo β es de 46º , la barra AC mide 2,6 m y la barra
AB mide 3,2 m.
No conocemos α
BC =
2,6𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ∝
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑩𝑪
𝑠𝑒𝑛 ∝
=
2,6𝑚
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
3,2𝑚
𝑠𝑒𝑛 𝛾
𝑠𝑒𝑛 𝛾 =
3,2𝑚 𝑥 𝑠𝑒𝑛 46°
2,6𝑚
𝑠𝑒𝑛 𝛾 = 0,885341292
𝜸 = arc seno (0,885341292) = 62º 17´36,78´´
∝ = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟔𝟐º 𝟏𝟕´𝟑𝟔, 𝟕𝟖´´ − 𝟒𝟔° = 𝟕1º 𝟒𝟐´ 𝟐𝟑, 𝟐𝟐´´
BC =
𝟐,𝟔𝒎 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟕𝟏º𝟒𝟐´𝟐𝟑,𝟐𝟐´
𝒔𝒆𝒏 ´𝟒𝟔º
= 3,43 m
3,2𝑚
𝑠𝑒𝑛 𝛾
=
2,6𝑚
𝑠𝑒𝑛 𝛽
Despejamos 𝜸:

41. a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos α
Teorema del “Coseno”
a
b c
α
A
B
Resolución de Triángulos Oblicuángulos
C
Se puede usar tanto para triángulos rectángulos como oblicuángulos.
Sirve para conocer todos los ángulos y todos los lados de un triángulo.
b
a
𝛼
DATOS:
2 lados y el ángulo entre
ellos comprendido
a
b
c DATOS:
3 lados
USAMOS EL TEOREMA DEL COSENO CUANDO LOS
DATOS SON….

42. Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Ejemplo: Calcular la medida de la barra BC y los ángulos β y γ
sabiendo que el ángulo α es de 71º 42´23,22´´ , la barra AC mide 2,6 m
y la barra AB mide 3,2 m.
BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos α
BC2 = 2,62 + 3,22 – 2 x 2,6 x 3,2 x cos 71º42´23,22´´
BC2 = 11,77695 BC = √11,77695 = 3,43 m
Cálculo de la barra BC:
Como conocemos dos lados consecutivos y el ángulo
entre ellos comprendido, es claro que debemos usar
el teorema el teorema del coseno.
A
B
C
𝛼
β
𝛶

43. Resolución de Triángulos Oblicuángulos
Cálculo de los ángulos β y γ:
∝ = 𝟏𝟖𝟎° − (𝟕𝟏º 𝟒𝟐´𝟐𝟑, 𝟐𝟐´´ + 𝟒𝟔°) = 𝟔𝟐º 𝟏𝟔´ 𝟒𝟏, 𝟒´´
Cos β =
𝟐,𝟔𝟐 − 𝟑,𝟒𝟑𝟐 − 𝟑,𝟐𝟐
−𝟐 𝒙 𝟑,𝟒𝟑 𝒙 𝟑,𝟐
= 0,694465196
AC2 = CB2 + AB2 – 2.CB.AB.cos β
2,62 = 3,432 + 3,22 – 2 x 3,43 x 3,2 x cos β
Cálculo del ángulo β :
β = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒏𝒐 (0,694465196) = 𝟒𝟔º 𝟎´ 𝟓𝟓, 𝟑𝟖´´
A
B
C
𝛼
β
𝛶

44. Calcular el valor del ángulo Gamma
(suponiendo que no lo conocemos)

47. Superficie de un triángulo
Para calcular la cantidad de cerámicos a utilizar, la cantidad de chapa
para el techo, la cantidad de vidrio de una envolvente o la cantidad de
pintura necesaria para pintar la fachada, necesitamos conocer primero
la superficie o área de trabajo.

48. 2
a
sen
c
b
A 

=
)
).(
).(
.( c
p
b
p
a
p
p
A 


=
2
c
b
a
p 

=
C
A
B
b c
a
Base
h
b c
a
Teorema
de Herón
Cálculo del área de triángulos
Se pueden usar tanto para triángulos rectángulos como oblicuángulos
C
A
B
b c
α
a
a
b
c
C
B
A
90º
2
a
sen
c
b
A 

=
Pero sen 90º=1
Area=
𝒄.𝒃.𝟏
𝟐
Pero “b” es la altura del triángulo rectángulo y “c” es la
base, entonces:
Area=
𝒃𝒂𝒔𝒆𝒙𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟐
SI EL
TRIÁNGULO
ES
RECTÁNGUL
O
 Si conocemos 2 lados y el ángulo entre ellos
comprendido
Si solo conocemos el valor de
los tres lados

49. Cálculo del área de triángulos
Ejemplo:
Dada la planta triangular de un departamento calcular su superficie:
Datos: Lados = 11,74 m; 7,13 m; 13,78 m; β = 31,12º
𝑺𝒖𝒑 =
𝟏𝟑, 𝟕𝟖 𝒎 𝒙 𝟏𝟏, 𝟕𝟒 𝒎 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟏, 𝟏𝟐º
𝟐
= 𝟒𝟏, 𝟖𝟎 𝒎𝟐
Nota: 11,74 m x sen 31,12º = 6,068 m
6,068 m es la altura del triángulo
𝑺𝒖𝒑 =
𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒙 𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟐
=
𝟏𝟑,𝟕𝟖 𝒙 𝟔,𝟎𝟔𝟖
𝟐
= 41,80 𝒎𝟐
2
a
sen
c
b
A 

=
H = 6,068 m
)
).(
).(
.( c
p
b
p
a
p
p
A 


=
¿CÚAL USO?
𝜷
Analizo los datos y
decido

50. Cálculo del área de triángulos
Ejemplo:
Dada la planta triangular de un departamento calcular su superficie:
Datos: Lados = 11,74 m; 7,13 m; 13,78 m;
)
).(
).(
.( c
p
b
p
a
p
p
A 


=
Teorema de Herón:
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
=
11,74 + 7,13 + 13,78
2
= 16,325
Á𝒓𝒆𝒂 = 𝟏𝟔, 𝟑𝟐𝟓 𝒙 𝟏𝟔, 𝟑𝟐𝟓 − 𝟏𝟏, 𝟕𝟒 𝒙 𝟏𝟔, 𝟑𝟐𝟓 − 𝟕, 𝟏𝟑 𝒙 (𝟏𝟔, 𝟑𝟐𝟓 − 𝟏𝟑, 𝟕𝟖)
Á𝑟𝑒𝑎 = 1751,5884 = 41,85 𝑚2

51. EJERCITACIÓN:
Dada la siguiente obra de arquitectura es
necesario realizar algunos cálculos para el
cómputo de la misma:
A- La superficie total de las cubiertas inclinadas
de las cuales una está resaltada en color rosa en la
figura.(Son 10 en total).
B- La pendiente de la cubierta.
C- Los metros cuadrados de vidrio necesarios para
cubrir la aberturas de las cuales una se encuentra
coloreada en color verde en la figura.(Son 10 en
total). Discriminar por S1,S2,S3.
Datos :
En el gráfico adjunto en la siguiente diapositiva.
5 m

52. EJERCITACIÓN:
5 m
Gráfico no sujeto a escala de una de las cubiertas y su proyección
sobre el plano horizontal.
SUPERFICI
E EN
PLANTA
SUPERFICIE DE
LA CUBIERTA
𝛼
𝜶 = 𝟕𝟎º
Altura:
3,4202
m
3,6 m
H=9
m
β
S1
S2
S3
H/3
H/3
H/3
Estos son los datos con los manejaremos para resolver el
problema en la siguiente pantalla

53. A- La superficie total de las cubiertas inclinadas de las cuales una está resaltada en color rosa en
la figura.(Son 10 en total).
5 m
SUPERFICIE
EN PLANTA
SUPERFICIE DE
LA CUBIERTA
𝛼
𝜶 = 𝟕𝟎º
Altura:
3,4202
m
SOLUCIÓN:
Como son diez cubiertas iguales, la superficie total será la de un triángulo x 10
Con los datos que tenemos debemos elegir que fórmula usar para calcular la superficie de un triángulo, revisando
que tengamos al menos tres datos para resolverlo:
2
a
sen
c
b
A 

= )
).(
).(
.( c
p
b
p
a
p
p
A 


=
El triángulo es isósceles y su base mide 5m, por otro lado su altura proyectada sobre el plano horizontal mide
3,4202m en tanto que el ángulo de inclinación de la cubierta es de 70º

54. El triángulo es isósceles y su base mide 5m, por otro lado su altura proyectada sobre el plano horizontal mide
3,4202m en tanto que el ángulo de inclinación de la cubierta es de 70º
SUPERFICIE
EN PLANTA
SUPERFICIE DE
LA CUBIERTA
𝛼
𝜶 = 𝟕𝟎º
Altura:
3,4202m
Altura = 3,4202m/cos
70º
𝜶 = 𝟕𝟎º
Altura:
3,4202m
Altura = 3,4202m/cos 70º
90º
90º
Altura = 3,4202m/cos 70º= 9,999999≅ 𝟏𝟎𝒎
90º
b
El ángulo de 90º no se visualiza
como tal debido a la gráfica
𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒅𝒆𝒖𝒏 𝒕𝒓𝒊á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 =
𝟏𝟎𝒎𝒙𝟐,𝟓𝒎
𝟐
= 12,5m2 Superf.Total=10x2x12,5m2 = 250 m2
Respuesta al punto A

55. B- La pendiente de la cubierta.
SUPERFICIE
EN PLANTA
SUPERFICIE DE
LA CUBIERTA
𝛼
𝜶 = 𝟕𝟎º
Altura:
3,4202m
Altura = 3,4202m/cos 70º
Si el ángulo de inclinación de la cubierta es de
70º, sabemos que su tangente es de:
Tg 70º= 2,747477419
La pendiente es la tg expresada en %,
entonces:
2,747477419= 274,7477419/100=
274,7477419% pendiente de la cubierta
C- Los metros cuadrados de vidrio necesarios para cubrir la aberturas de las cuales una se encuentra coloreada en
color verde en la figura.(Son 10 en total). Discriminar por S1, S2, S3.
H=9
m
β
S1
S2
S3
H/3
H/3
H/3
b=3,6 m
1- Calculo de S1: H/3= 9m/3 H/3= 3m
𝟗𝒎
𝟑𝒎
=
𝟑,𝟔𝒎
𝒄
𝒄
𝟏
=
𝟑,𝟔𝒎𝒙𝟑𝒎
𝟗𝒎
= 1,2 m S1=
1,2 m𝑿3m
𝟐
= 1,80m2
c
a
2- Calculo de S2: 2x (H/3)= (9m/3)x2 =6m
𝟗𝒎
𝟔𝒎
=
𝟑,𝟔𝒎
𝒂
𝒂
𝟏
=
𝟑,𝟔𝒎𝒙𝟔𝒎
𝟗𝒎
= 2,4 m
S2+S1=
2,4 m𝑿6m
𝟐
= 7,2m2 S2= 7,2m2 – S1 S2= 7,2m2 – 1,80m2 = 5,4m2
3-Calculo de S3: 3x (H/3)= (9m/3)x3 =9m
𝟗𝒎
𝟗𝒎
=
𝟑,𝟔𝒎
𝒂
𝒂
𝟏
=
𝟑,𝟔𝒎𝒙𝟗𝒎
𝟗𝒎
= 3,6 m
S3+S2+S1=
3,6 m𝑿9m
𝟐
= 16,2m2 S3= 16,20m2 – (S1+S2) S3= 16,2m2 – (1,80m2 + 5,4m2 )= 9m2

56. 1- Calculo de S1: H/3= 9m/3 H/3= 3m
𝟗𝒎
𝟑𝒎
=
𝟑,𝟔𝒎
𝒄
𝒄
𝟏
=
𝟑,𝟔𝒎𝒙𝟑𝒎
𝟗𝒎
= 1,2 m S1=
1,2 m𝑿3m
𝟐
= 1,80m2
2- Calculo de S2: 2x (H/3)= (9m/3)x2 =6m
𝟗𝒎
𝟔𝒎
=
𝟑,𝟔𝒎
𝒂
𝒂
𝟏
=
𝟑,𝟔𝒎𝒙𝟔𝒎
𝟗𝒎
= 2,4 m
S2+S1=
2,4 m𝑿6m
𝟐
= 7,2m2 S2= 7,2m2 – S1 S2= 7,2m2 – 1,80m2 = 5,4m2
3-Calculo de S3: 3x (H/3)= (9m/3)x3 =9m
𝟗𝒎
𝟗𝒎
=
𝟑,𝟔𝒎
𝒂
𝒂
𝟏
=
𝟑,𝟔𝒎𝒙𝟗𝒎
𝟗𝒎
= 3,6 m
S3+S2+S1=
3,6 m𝑿9m
𝟐
= 16,2m2 S3= 16,20m2 – (S1+S2) S3= 16,2m2 – (1,80m2 + 5,4m2 )= 9m2
SUPERFICIE TOTAL S1: 10X 1,80m2 = 18 m2
SUPERFICIE TOTAL S2: 10X 5,40m2 = 54 m2
SUPERFICIE TOTAL S2: 10X 9m2 = 90 m2

57. Problema
En este chalet alpino calcular la superficie de techo a cubrir con chapa, en ambos faldones, si la
altura de cumbrera es de 5,20 m y el ángulo entre faldones es de 50º 38’ 26”. El chalet tiene una
profundidad de 7 m.
Calcule también el volumen de aire a climatizar, teniendo en cuenta que el chalet tiene un alero
de 0,70 m en el frente y en el contra-frente.
Que ancho debería tener la ventana para que tenga el mismo modulo de la superficie cubierta en
planta, si el lado menor mide 0,90 m de altura,
cos
50º38′
26"
2
=
5,20
ℎ
h =
5,20
cos 25º19′13"
= 5,7526 𝑚
Sup. Techo: 2(5,7526m x 7m) = 80,5364 m2
h
L
L
5,20m
25º19´13”

58. Problema
Calcule también el volumen de aire a climatizar ( interior), teniendo en cuenta que el chalet tiene
un alero de 0,70 m en el frente y en el contra-frente.
tan
50º38′
26"
2
=
𝐿
5,20
L = tan 25º19′
13" . 5,20 = 2,46𝑚
Sup. Frente :
2(2,46m). 5,20
2
= 12,792 m2
Volumen interior: 12,792m2 . (7m – 1,40m) = 71,6352 m3
5,20m
L

59. Problema
Que alto debería tener la ventana para que tenga el mismo modulo de la superficie cubierta en
planta, si el lado menor mide 0,90 m de ancho,
5,20m
L
Sup. cubierta = 7m . 4,92m = 34,44m2
Modulo de la planta =
7𝑚
4,92𝑚
= 1,4227
Alto ventana : 1,4227 =
𝑋
0,90𝑚
X = 1,4227 . 0,90m = 1,2843 m