Trigonometria

1. NOCIONES BÁSICAS DE TRIGONOMETRÍA
Prof. Helen Susana Coca Soliz

2. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
 Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo (semirrecta) alrededor de un punto fijo
llamado vértice u origen, desde una posición inicial hasta otra posición final, debiendo considerar que
esta rotación se efectúa en un mismo plano. Por lo tanto, debemos considerar dos tipos de rotación:

3. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
 Ángulos agudos: Son aquellos ángulos que tienen una
amplitud menor a 90º y mayor a 0° (0° < 𝛼 < 90°).
 Ángulos rectos: Son aquellos ángulos que miden
exactamente 90º (𝛼 = 90°).
 Ángulos obtusos: Son aquellos ángulos que miden más de
90º y menos de 180º (90° < 𝛼 < 180°).
 Ángulos llanos: Son los ángulos que miden, exactamente
180º (𝛼 = 180°).
 Ángulos cóncavos: Son los ángulos cuya amplitud es mayor
de 180º y menor de 360º (180° < 𝛼 < 360°).
 Ángulos convexos: Son los ángulos que miden entre 0º y
180º (0° < 𝛼 < 180°).
 Ángulos completos: Un ángulo completo es el que mide,
exactamente 360º (𝛼 = 360°).

4. OBSERVACIONES:
 Ángulo de una vuelta. Es aquel ángulo que se
genera, cuando la posición inicial y final coinciden
por primera vez, luego de cierta rotación denotada
como una (1) rotación.
 Los ángulos trigonométricos son ilimitados a
diferencia de la geometría.

5. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
 Se encuentra en un sistema de ejes coordenados
rectangulares; vértice en el origen “O”, su lado inicial en
el semieje +X, su lado terminal en cualquiera de los
cuadrantes.

6. ÁNGULOS COTERMINALES
 Dos o más ángulos son coterminales cuando tienen el mismo
lado inicial y el mismo lado Terminal.
Β = 1 vuelta + α
 Ejemplo: Un ángulo mide, 𝜃 = 45° y es un ángulo normal. Hallar
dos ángulos positivos y negativos que sean coterminales con 𝜃.

7. ÁNGULO CENTRAL
 El vértice se encuentra en el centro de una
circunferencia; los lados vienen a ser el radio de dicha
circunferencia.
 𝑠 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐴𝐵.
 𝜃 = Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙.
 𝑟 = 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜.
 𝑂 = 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒.
X
Y

8. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
 Dos ángulos son complementarios cuando sumados dan 90º.
 Los ángulos de la figura son complementarios porque: 𝛼 + 𝛽 =
90°

9. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
 Dos ángulos son suplementarios cuando sumados dan 180º.
 Los ángulos de la figura son suplementarios porque: 𝛼 + 𝛽 =
180°

10. OBSERVACIONES:
 Para sumar o restar ángulos trigonométricos que no se pueden calcular a simple vista debemos procurar
tenerlos en un solo sentido de preferencia antihoraria, para ello se recomienda el cambio de sentido.

11. EJERCICIOS
 Grafica los ángulos positivos y negativos:
 1) 𝟒6° 2) 𝟐00° 3) −𝟏60° 4) −𝟑14°
 Calcula y grafica el ángulo coterminal:
 1) 45° + 360° = 2) 100° + 720° = 3) 95° − 360° = 4) 350° − 720° =
 Calcula y grafica el ángulo complementario:
 1) 𝟏7° + 𝜷 = 𝟗0° 2) 𝜶 + 𝟑8° = 𝟗0° 3) 𝟒5° + 𝜷 = 𝟗0° 4) 𝜶 + 𝟑𝟑° = 𝟗0°
 Calcula y grafica el ángulo suplementario:
 1) 𝟏9° + 𝜷 = 𝟏80° 2) 𝜶 + 𝟒8° = 𝟏80° 3) 𝟏𝟏7° + 𝜷 = 𝟏80° 4) 𝜶 + 𝟗8° = 𝟏80°

12. (+X)
(-Y)
(+Y)
(-X)

13. (+X)
(-Y)
(+Y)
(-X)

14. MEDIDA ANGULAR Y DETERMINACIÓN DE UN PUNTO EN EL
CÍRCULO UNITARIO
 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
 Si logramos que el centro de una circunferencia
coincida con el origen de coordenadas
rectangulares y que esta circunferencia tenga un
radio cuya medida sea la unidad del sistema,
entonces estamos hablando del Círculo
Trigonométrico o Circunferencia Trigonométrica.
Donde:
 A : Origen de Arcos
 B : Origen de Complementos
 A’ : Origen de Suplementos
 C.T. : Circunferencia Trigonométrica
C.T.

15. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
 En el plano cartesiano el origen del ángulo es el
centro y el lado inicial coincide con el eje “x” y el lado
final con el punto 𝑀 𝑥, 𝑦 .
 Dónde: 𝑃𝑀 𝑦 𝑃𝑁 son arcos en posición normal.
 Numéricamente ¡Recordar! 𝛂 = 𝑷𝑴 𝒚 𝜷 = 𝑷𝑵
P
O
Lado inicial

16. SISTEMA DE MEDICIÓN
 Existen varios sistemas de medición de ángulos, pero los
más utilizado son tres:

17. SISTEMA SEXAGESIMAL (S)
 Sistema inglés o sistema de numeración posicional que
tiene como base el número 60, tiene como unidad el
grado sexagesimal → 1º
 Dicho sistema divide al ángulo de una vuelta (1 v) en
360 partes iguales y a cada parte se le denomina 1º por
lo tanto: 1 vuelta = 360º
 Sus unidades:
 1 minuto sexagesimal → 1’
 1 segundo sexagesimal → 1”
 Equivalencia: 1° = 60’ ⇒ 1’ = 60” ⇒ 1° = 3600”

18. SISTEMA CENTESIMAL (C)
 Llamado también francés, es aquel que tiene como
unidad el grado centesimal → 1g
 Dicho sistema divide al ángulo de una vuelta (1 v) en
400 partes iguales y a cada parte se le denomina 1g por
lo tanto: 1 vuelta = 400g
 Sus unidades:
 1 minuto centesimal → 1m
 1 segundo centesimal → 1s
 Equivalencia: 1g = 100m ⇒ 1m = 100s ⇒ 1g = 10000s

19. SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)
 También llamado circular o internacional, es aquel que
tiene como unidad a un radian (1 rad).
π = 3,14159
 EQUIVALENCIAS ENTRE LOS SISTEMAS
 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 200g
 1 vuelta = 360º = 400g = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

20. MÉTODOS DE CONVERSIÓN DE ÁNGULOS DE UN SISTEMA A OTRO
SISTEMA
 RELACIÓN FUNDAMENTAL DE CONVERSIÓN DE ÁNGULOS
TRIGONOMÉTRICOS: Es la relación que existe entre el sistema
Sexagesimal (S), Centesimales (C), y Radial (R) en el círculo
trigonométrico.
Recordemos que: 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 200ᵍ
 Entonces:
𝑺
𝟏𝟖𝟎°
=
𝑪
𝟐𝟎𝟎𝒈
=
𝑹
𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝑹𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍
 Para convertir un ángulo de un sistema a otro, se debe tomar un par de
términos de la relación fundamental, una fracción conocida y otra
donde se encuentre la incógnita o el sistema que se desea convertir.

21. MÉTODOS DE CONVERSIÓN DE ÁNGULOS DE UN SISTEMA A OTRO
SISTEMA
 EJEMPLOS:
1. Convertir 15º a radianes.
2. Convertir
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 a grados sexagesimales.
3. Convertir a centesimales 45º sexagesimales.
4. Convertir 50g al sistema sexagesimal.
5. Convertir 250g al Sistema Radián.
6. Convertir 86° a grados centesimales.
7. Convertir 128° a radianes.
8. Convertir
5
6
𝜋 𝑟𝑎𝑑 al sistema sexagesimal.
9. Convertir
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 al sistema centesimal.
10. Convertir 310g a sexagesimal.

22. 1. Convertir 15º a radianes. 𝑺
𝟏𝟖𝟎°
=
𝑪
𝟐𝟎𝟎𝒈 =
𝑹
𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝑹𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍

23. 2. Convertir
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 a grados sexagesimales. 𝑺
𝟏𝟖𝟎°
=
𝑪
𝟐𝟎𝟎𝒈 =
𝑹
𝝅 𝒓𝒂𝒅
𝑹𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍

24. FUNCIONES Y GRÁFICAS TRIGONOMÉTRICAS
 Funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria.
 Si P(x, y) es un punto de la circunferencia unitaria con centro en el origen, forma un ángulo 𝜃 con el eje
“x”, teniendo las principales funciones trigonométricas, representadas como razón de segmentos de la
siguiente manera:

25. FUNCIONES Y GRÁFICAS TRIGONOMÉTRICAS
 Signos de las Funciones Trigonométricas en los cuadrantes.
I
II
III IV

26. GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Gráfica de la función Seno: 𝒚 = sin 𝒙
 1. Su dominio es ℝ.
 2. Rango de intervalo ⦋-1, 1⦌.
 3. La función es continua en todo ℝ.
 4. La gráfica corta al eje Y en [0,0].
 5. La función es periódica 𝑇 = 2𝜋.
 6. La función es par.
CURVA SINUSOIDE

27. GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Gráfica de la función Coseno: 𝒚 = cos 𝒙
 1. Su dominio es ℝ.
 2. Rango de intervalo ⦋-1, 1⦌.
 3. La función es continua en todo ℝ.
 4. La gráfica corta al eje Y en [0,1].
 5. La función es periódica 𝑇 = 2𝜋.
 6. La función es par.
CURVA COSINUSOIDE

28. GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Gráfica de la función Tangente: 𝒚 = tan 𝒙
 1. A diferencia de las gráficas anteriores
esta función no es continua, esto se debe a
las interrupciones que presenta en los
valores excluidos de su dominio.
 2. El dominio es ℝ − ±
𝜋
2
, ±
3𝜋
2
, ±
5𝜋
2
, …
 3. La gráfica corta al eje “y” en (0,0).
 4. Es una función periódica con periodo 𝑇 =
𝜋
 5. La función es impar, la gráfica es
simétrica con respecto al origen.
CURVA TANGENTOIDE

29. GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Gráfica de la función Cotangente: 𝒚 = cotan 𝒙
 1. No es continua.
 2. Dominio ℝ − {0, ±𝜋, ±2𝜋, ±3𝜋, … }
 3. Es una función periódica 𝑇 = 𝜋
 4. No corta al eje y.
 5. Es una función impar.

30. GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Gráfica de la función Secante: 𝒚 = sec 𝒙
 1. No es continua.
 2. Dominio = ℝ − {0, ±𝜋, ±2𝜋, … }
 3. Rango = [−∞, −1] ∪ [1, ∞]
 4. Es periódica 𝑇 = 2𝜋
 5. Es una función par.

31. GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Gráfica de la función Cosecante: 𝒚 = csec 𝒙
 1. No es continua.
 2. Dominio = ℝ − ±
𝜋
2
, ±
3𝜋
2
, ±
5𝜋
2
, …
 3. Rango = [−∞, −1] ∪ ⦍1, ∞]
 4. Es periódica 𝑇 = 2𝜋
 5. Es una función par.

32. GRÁFICA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
 Ejercicios: En tu cuaderno, representa gráficamente las funciones dadas, o puedes utilizar el programa
GeoGebra (opcional) para graficar las funciones:
 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥
 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠𝑥
 𝑦 = 2𝑡𝑎𝑛𝑥
 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑥
 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑐𝑥
 𝑦 = 3𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥