Libro trigo parte i

INTRODUCCIÓN:
Trigonometría, rama de las matemáticas que
estudia las relaciones entre los lados y los
ángulos en un triángulo, las propiedades y
aplicaciones de las funciones trigonométricas
de ángulos.
Etimológicamente la palabra Trigonometría
significa medición de ángulos. En todos los
trabajos topográficos y de construcción en los
que se necesita conocer cotas, desniveles de
terrenos, etc., es necesario medir el valor de
ángulos con los que se pueden calcular esas
alturas y distancias. El instrumento que se
utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito que consiste, fundamentalmente, en
un anteojo que puede girar en un plano
vertical, apoyado en un soporte que puede
girar, a su vez, en uno horizontal.
Las dos ramas fundamentales de la
trigonometría son la trigonometría plana,
que se ocupa de figuras contenidas en un
plano, y la trigonometría esférica, que se
ocupa de triángulos que forman parte de la
superficie de una esfera.
Las primeras aplicaciones de la
trigonometría se hicieron en los campos de la
navegación, la geodesia y la astronomía, en
las que el principal problema era determinar
una distancia inaccesible, como la distancia
entre la Tierra y la Luna, o una distancia que
no podía ser medida de forma directa. Otras
aplicaciones de la trigonometría se pueden
encontrar en la física, química y en casi todas
las ramas de la ingeniería, sobre todo en el
estudio de fenómenos periódicos, como el
sonido o el flujo de corriente alterna.
TRIGONOMETRÍA PLANA
Se ocupa fundamentalmente de la resolución
de triángulos planos, para ello se definen las
razones trigonométricas de los ángulos y se
estudian las relaciones entre ellas.
El concepto trigonométrico de ángulo es
fundamental en el estudio de la trigonometría.
Un ángulo trigonométrico se genera con un
rayo que gira. Los rayos OA y OB se
consideran inicialmente coincidentes con OA.
El rayo OB gira hasta su posición final. Un
ángulo y su magnitud son positivos si se
generan con un rayo que gira en el sentido
contrario a las agujas del reloj y negativo si la
rotación es en el sentido de las agujas del
reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales
si sus rotaciones son de igual magnitud y en
el mismo sentido.
A
O
B
Lado inicial
 

Lado
Final
A
O Lado inicial
 
 Lado
Final
B
A
O
B
Lado inicial
 

Lado
Final




y
x
B D
A
C
M
L
m
L
O
TC
A

1 1
Pg.

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12
1.1 SISTEMA SEXAGESIMAL (INGLÉS):
En este sistema consideramos al ángulo de
una vuelta dividido en 360 partes iguales y a
cada parte se le denomina un GRADO
SEXAGESIMAL  
º
1 , a cada grado se le
divide en 60 partes iguales y a cada parte se
le denomina MINUTO SEXAGESIMAL  
'
1 , a
su vez cada minuto se le divide en 60 partes
iguales y a cada parte se le denomina
SEGUNDO SEXAGESIMAL  
''
1 .
m de una vuelta = 360º … ( I )
 1 Grado Sexagesimal:1º
 
1º 60' 3600''
 1 Minuto Sexagesimal:1’
 
1º
1' 60''
60
 1 Segundo Sexagesimal:1’’
 
1' 1º
1''
60 3600
TENER EN CUENTA QUE:
aº b' c'' aº b' c''
  
* 5º9'4'' 5º 9' 4''
  
* 15º36'44'' 15º 36' 44''
  
* 23º80'55'' 23º 80' 55''
  
   
23º 60' 20' 55''
  
24º 20' 55''
1.2 SISTEMA CENTESIMAL (FRANCÉS):
En este sistema consideramos al ángulo de
un vuelta dividido en 400 partes iguales y a
cada parte se le denomina un GRADO
CENTESIMAL  
g
1 , a cada grado se le
divide en 100 partes iguales y a cada parte se
le denomina MINUTO CENTESIMAL  
m
1 , a
su vez a cada minuto se le divide en 100
partes iguales y a cada parte se le denomina
SEGUNDO CENTESIMAL  
s
1 .
g
m de una vuelta = 400 ... ( II )
 1 Grado Centesimal: g
1
g m s
1 100 10000
 
 1 Minuto Centesimal:
m
1
 
g
m s 1
1 100
100
 1 Segundo Centesimal:
s
1
 
m g
s 1 1
1
100 10000
TENER EN CUENTA QUE:
g m s g m s
a b c a b c
  
*
g m s g m s
7 4 9 7 4 9
  
*
g m s g m s
23 94 13 23 94 13
  
*
g m s g m s
58 88 135 58 88 135
  
g m s s
m
1
58 88 100 35
   
g m s
58 89 35
  

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1.3 Sistema Radial (Circular o
Internacional):
La unidad en este sistema, también
denominado sistema internacional es el radian
Radian: Se define como la medida del ángulo
central en cualquier circunferencia donde la
medida del radio y del arco son iguales.
En este sistema el ángulo de una vuelta mide

2 radianes.
m de una vuelta = 2 rad
 ... ( III )
Número: 
El número  se define como el cociente
entre la longitud de una circunferencia y la
medida de su diámetro, el cual es siempre es
constante.
 
Longitud Circunferencia
Diametro
VALORES APROXIMADOS:
1 radíán = g m s
* 57º17'44,81''
* 63 66 19,77
 =
* 3,1416
22
*
7
* 3 2

CONVERSIÓN DE UNIDADES
ANGULARES
I. EN UN MISMO SISTEMA
a) Sistema Sexagesimal:
Para pasar de una unidad superior a una
inferior se multiplica por la equivalencia
respectiva y para pasar de una unidad inferior
a una unidad superior se divide entre la
equivalencia respectiva.
* Convertir 56º a minutos sexagesimales
56 60 3360'
 
* Convertir 63º a segundos sexagesimales
63 3600 226 800''
 
* Convertir 18’’ a grados sexagesimales
18
0.005º
3 600

b) Sistema Centesimal:
Es similar al anterior de una unidad mayor a
menor se multiplica y de una unidad menor a
mayor se divide.
* Convertir
g
72 a segundos centesimales
s
72 10 000 720 000
 
* Convertir
m
23 a grados centesimales
g
23
0.23
100

O
R
R
R
1 radian
Grados Minutos Segundos
60
 60

60

60

3600

3600

Grados Minutos Segundos
100

10000

100

100
 100

10000


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14
II. DE UN SISTEMA A OTRO
Si relacionamos las expresiones dadas
anteriormente:( I ) ; ( II ) y ( III )
g
m de una vuelta = 360º = 400 = 2 rad

360 º 400

g
2
 rad

g
180º 200 rad
   … ( IV )
FORMULA DE CONVERSIÓN:
Si: S, C y R representan la medida de un
mismo ángulo en los tres sistemas.
Notación:



N° i
S de grados sexages males
C N° de grados centesimales
R N° de radianes
Se cumplirá la relación:
  

S C R
k
180 200
… ( V )
De donde:

S 180k
*

C 200k
*
 
R k
*
Ejemplo:
* Convertir
g
55 a grados sexagesimales:
Nos dan como dato en el sistema
centesimal, de donde se tendrá que

C 55, este valor lo reemplazamos en la
expresión ( V )

S C
180 200

S 55
180 200
 S=49,5º
Se concluye que:  
g
55 49,5º
CONVERSIÓN DE OTRA MANERA:
Para convertir de un sistema a otro, lo que se
tiene que hacer es que a la medida angular
que se ha de convertir se le multiplica por una
fracción, denominada factor de conversión.
Colocándose en los puntos suspensivos los
números respectivos, de alguna de las 3
igualdades que se desprenden de ( IV ).
Ejemplo:
* Convertir
g
55 a grados sexagesimales:
* Convertir º
56 a radianes:
 
 

 
 
rad
30º rad
180º 6
DIFERENTES RELACIONES ENTRE LOS
SISTEMAS SEXAGESIMAL ( S ) Y
CENTESIMAL ( C )
a) Relación entre grados sexagesimales y
grados centesimales
S C
9 10

S : número de grados sexagesimales
C: número de grados centesimales
b) Relación que se da entre minutos
sexagesimales yminutos centesimales
m n
27 50

m : número de minutos sexagesimales
n : número de minutos centesimales
Unidad que se quiere
( )
Grados sexagesimales
Unidad que se tiene
( centesimales)
Grados
   
 
   
   
g g
g g
......º 180º
55 55 49,5º
...... 200
.......
.......
 
 
 
Unidad que se tiene

.......
.......
 
 
 
Unidad que se tiene
b) Relación que se presenta entre segundos
sexagesimales ysegundos centesimales.
p q
81 250

p : número de segundos sexagesimales
q : número de segundos centesimales
c) Relación que se presenta entre minutos
sexagesimales ysegundos centesimales.
q
m
27 5000

m : número de minutos sexagesimales
q : número de segundos centesimales
d) Relación que se presenta entre segundos
sexagesimales yminutos centesimales.
p n
162 5

p : número de segundos sexagesimales
n : número de minutos centesimales
Notita:
Si no puedes recordar las relaciones antes
dadas,utiliza el factor de conversión:
* Para convertir del sistema centesimal al
sistema sexagesimal
* Para convertir del sistema sexagesimal al
sistema centesimal
Ejemplos:
* Convertir 300 segundos centesimales a
minutos sexagesimales
* Convertir 54 minutos sexagesimales a
minutos centesimales.
RECOMENDACIONES DE SOLUCIÓN:
I) Ante situaciones problemáticas en donde
se presenten ángulos orientados (ángulos
trigonométricos), éstos se deben graficar
en un solo sentido, de preferencia en
sentido antihorario (positivo)
II) Cuando los ángulos trigonométricos estén
expresados en diferentes sistemas, se
deben transformar todos a un solo
sistema.
 Equivalencias:
g
180º 200 rad
  
 Si la condición del problema
incluye a los números S,C y R
S C R
k
180 200
  

S 180k
  ; C 200k
 ; R k
 
 Para convertir de un sistema a
otro sistema, aplicamos factor de
conversión:
 
 
s
s
180×60 '
300 1
,62'
200×10 000
 

 
 
180×.......
200×.......
 
 
 
1 ; 60 ; 3 600
  
grados minutos segundos
sexagesimales
1 ; 100 ; 10 000
  
centesimales
 
 
m
m
200 100
'
54 100
180×60 '
 


 
 
200×.......
180×.......
 
 
 
1 ; 100 ; 10 000
  
centesimales
1 ; 60 ; 3 600
  
sexagesimales

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
Problema 01
Del gráfico mostrado a qué es igual: 
10x 9y
a) 1 100
b) 360
c) 280
d) 2 400
e) 1 800
Solución:
Obedeciendo a las recomendaciones dadas,
al tener ángulos orientados debemos
graficarlos en un mismo sentido.
De la figura:

  
g 2
xº y rad 360º
3
… ( I )
Convirtiendo a un mismo sistema, utilizando el
factor de conversión:
*
 

 
 
g
g
g
180º
y y
200
g
9º
10
   

   
   
 
º
9
y
10
De donde:
 
  
 
g
º
9
y y
10
*

2 rad

180º
rad
3
 

 
 
120º
De donde:


2
rad 60º
3
Reemplazando en ( I )
 
  
 
 
º
9
xº y 120º 360º
10
Luego:


10x 9y
240
10
 
10x 9y 2 400 
Problema 02
Dadas las siguientes medidas angulares:
  0,5236 rad ;  
g m
30 50 ;   27º25'
Ordenar de menor a mayor.
Utilizar:   3,1416 .
a)      b)      c)     
d)      e)     
Solución:
Convirtiendo los ángulos  y  a grados
sexagesimales tendremos:
*
 
    

 
180º
0,5236rad
rad

 
 
 
 
º
0,5236 180
30º
3,1416
*    
g m g m
30 50 30 50
   
    
 
 
 
m g
g 50 61
30
100 2
   
 
   
   
g
g
61 180º
27º27'
2 200
* Además:   27º25'
Por lo tanto se observa que:
     
xº
g
y 
2
rad
3
xº
g
y 
2
rad
3

Problema 03
Al convertir

rad
50
a grados sexagesimales
se obtiene AºB' , Calcular:



B 2A
M
B 10A
a) 7 b) 5 c) 11
d) –2 e) –3
Solución:
Por dato:


rad AºB'
50
Pero:

     
rad 180º
rad 180º 3º 0,6º
50 50
Pero:   
1º 60' 0,6º 36'
Luego:

   
rad 3º 36' 3º36' AºB'
50
Comparando:  
A 3 B=36
Luego:
 
 

 

36 2 30
3
M
36 10 6
3
De donde: 
M 5 
Problema 04
Sabiendo que:
     

     
     
º '
g m s
1º21' 2º15' 1º3'
'' a0 bc de
3' 5' 3'
Calcular:
  
 
  
 
 
b d 5 e
M 5
a c 2
a) 1 b) 2 c)
1
2
d)
1
3
e) 3
Solución.
Nuestra estrategia consistirá en convertir
todos los grados en minutos sexagesimales.
Luego:
     
      
     
º ' ''
1º21' 2º15' 1º3'
M
3' 5' 3'
  
     
      
     
º ' ''
1º 21' 2º 15' 1º 3'
M
3' 5' 3'
Como:  
1º 60' ;  
2º 120'
     
 
     
     
º ' ''
81' 135' 63'
M 27º27'21''
3' 5' 3'
Además:   
27º 27'21'' 27º 27' 21''
Transformando los grados, minutos y
segundos sexagesimales a grados, minutos y
segundos centesimales
g
27º =30 ; 
m
27' 50 ; 
s
21'' 65
Luego: 
g m s
27º27'21'' 30 50 65
Comparando con la condición:

g m s
g m s
30 50 65 a0 bc de
Luego: 
a 3 ; b=5 ; c=0 ; d=6 ; e=5
Reemplazando se tiene que:
  
 
 
 
 
 
5 6 5 5
M 5
3 0 2
21 
Problema 05
Si se cumple que:
  
a b c 63 , además
  
xºy'z'' aºb'c'' cºa'b'' bºc'a''
Entonces al calcular:


x y
w
z
, se obtiene:
a) 50 b) 40 c) 30
d) 20 e) 10
Solución:
De la condición:
  
xºy'z'' aºb'c'' cºa'b'' bºc'a''
     
  
     
xºy'z'' º ' ''
a b c a b c a b c
Por dato se conoce que:   
a b c 63
Luego:   
xºy'z'' 63º 63' 63''
Asimismo recordamos que:

1º 60' ; 
1' 60''

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18
Entonces:
    
xºy'z'' 63º 60' 3' 60'' 3''
    
1º 1'
63º 60' 3' 60'' 3''
  
64º 4' 3''
Comparando con la condición:
  
xºy'z'' 64º4'3'' x 64 ; y=4 ; z=3
Luego:

 
64 4
w
3
20 
Problema 06
Si S y C son los números que representan la
medida de un ángulo en los sistemas
convencionales,estos verifican:
   
   
   
 
   
n 1 1 1
... n terminos
1 1 1
S C C 1 C 2
Calcular la medida del ángulo en el sistema
sexagesimal.
a) nº b)  
 
 
n
º
5
c)  
 
 
n
º
10
d) 10º e)
 
 
 
10
º
n
Solución:
     
    
     
   
     
n 1 1 1 1
...
1 1 1 1
S C C 1 C 2 C n 1


n C 1
S
  
 
 
C 2
C 
C 1
  
 
 
 
C 3

C 2
  
 
   
 
C n
...
C n 1
 
 
 
De donde obtenemos:
  
  

 
 
n C n 1 1
n 1
S C S C
Pero: 
S 180k ; 
C 200k , de donde:
 
  

 
 
n
1 1
n 1 k
1800
180k 200k
Reemplazando:
 
  
 
n
S 180
1800
Por ende: 
S
 
 
 
º
n
10

Problema 07
La mitad del número que expresa la medida
en grados sexagesimales de un ángulo
excede en 52 al quíntuplo de su medida en
radianes. Calcule dicho ángulo en grados
centesimales,considerando  
22
7
.
a) 160 g
b) 150 g
c) 130 g
d) 130 g
e) 120 g
Solución.
Los números que representan la medida de
un ángulo en los sistemas sexagesimal,
centesimal yradial,se relacionan por:
  

S C R
k
180 200
De donde:
 
S 180k ; C=200k ; R= k … ( I )
De la condición se tiene:
 
S
5R 52
2
… ( II )
Reemplazando ( I ) en ( II ) y simplificando
 
  
180k
5 k 52
2
, pero:  
22
7
 
  
 
 
180k 22k 91
5 52 k=
2 7 130
En el sistema centesimal:
 
   
 
91
C 200k 200
130

C
g
140 
Problema 08
La media armónica de los números que
representan la medida de un ángulo en
grados sexagesimales y centesimales es igual
a 36 veces el cuadrado de la media
geométrica de las mismas. Evaluar dicho

ángulo en radianes que satisface la condición
dada.
a)

6 840
b)

5 200
c)

4 360
d)

3 820
e)

2 520
Solución:
Sean S y C los números que representan los
grados de un ángulo en el sistema
sexagesimal y centesimal, entonces se tendrá
que:
Media armónica:  


a
2 2SC
M
1 1 S C
S C
Media geométrica: 
g
M SC
Y según condición del problema:
 

2
g
a M
M 36
Reemplazando ysimplificando:
 
   

2
2SC 1
36 SC S C
S C 18
… ( I )
Además se sabe que:

S 180k ; 
S 200k ;  
R k … ( II )
Reemplazando ( II ) en ( I ):
  
1 1
180k 200k k=
18 6 840
Piden:  
R k
 
  
 
 
1
6 840

rad.
6840

Problema 09
El número que representa la medida de un
ángulo en grados centesimales mas el triple
del número que representa la medida del
mismo en grados sexagesimales es

37
veces el cuadrado del número que representa
su medida en radíanes. ¿Cuál es la medida
del ángulo en radianes?  

R 0
a) 50 b) 40 c) 30
d) 20 e) 10
Solución:
Se sabe que los números que representan los
grados en los tres sistemas de medición
angular se relacionan por:
 
S 180k ; C=200k ; R= k … ( I )
Según condición del problema:
 

2
37
C 3S R … ( II )
Reemplazando ( I ) en ( II )
 
 

2
37
200k 3 R
180k
Desarrollando:  
740 37 k
Piden:   
R k 20 rad. 
Problema 10
Si a y b son valores que representan el
número de minutos sexagesimales y grados
centesimales de un mismo ángulo
respectivamente, entonces el valor de la
expresión:


4a 16b
w
b
; es:
a) 350 b) 200 c) 150
d) 100 e) 50
Solución:
Sea  el ángulo que cumple la condición de:
  
g
a' b
Hallando una relación entre minutos
sexagesimales ygrados centesimales
  

a b
a 54b
180 60 200
Por lo tanto:
 
 
 
4a 16b 4 54b 16b
w
b b

w 200 

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20
Problema 11
Siendo S, C y R los números convencionales
y verificándose las condiciones:

  
7
mS nC 20R 6m+5n=
12
Determinar el valor de:
m
n
a)
3
5
b)
5
3
c)
9
10
d)
10
9
e)
2
3
Solución:
 
S 180k ; C=200k ; R= k
Reemplazando en el dato
 
mS nC 20R
     
  
m 180k n 200k 20 k
  
9m 10n … ( I )
Además:

 
7
6m 5n
12
… ( II )
De ( I ) y ( II ) :
 

m ; n=
18 20
Piden:


 
 
m 20
18
n 18
20

m
n
10
9

Problema 12
La semidiferencia de los números que
representan la medida de un ángulo en
grados centesimales y sexagesimales es a 7
veces su producto como su suma es a 133
veces el número que representa la medida de
ese ángulo en radianes. Encontrar la medida
del dicho ángulo en el sistema radial.
a)

2
36000
b)

2
72000
c)

2
3600
d)

2
3600
e)
1
180
Solución:
Planteando la ecuación de acuerdo a las
condiciones del problema:

 
  

C S
C S C S 14SC
2
7SC 133R C S 133R
… ( I )
Conocemos que:
 
S 180k ; C=200k ; R= k … ( II )
Reemplazando ( II ) en ( I )
 
 

  

1 14 180k 200k
k
19 133 k 72 000
.
Finalmente se tendrá que:

 
    
 
R k
72 000

R

2
72 000

Problema 13
Si S, C y R representan el número de grados
sexagesimales, centesimales y radianes que
mide un ángulo y que verifica:
 


 
3 162SCR 12R C S
5
Calcular el ángulo en radianes.
a)

5
3
b)

15
4
c)

27
5
d)

13
6
e)

22
7
Solución:
Sustituyendo las relaciones conocidas:
 
S 180k ; C=200k ; R= k
En la condición dada:
      
  

 
3 162 180k 200k k 12 k 200k 180k
5

Simplificando:

3 6 3 3
10 3 2 k
. . . .


2
3 48k
De donde: 
15
k
4
Luego podemos afirmar que:
 
    
 
 
15
R k
4

15
rad.
4

Problema 14
La medida de un ángulo expresado por los
números convencionales,verifica que:

2 2
yS xC
Calcule dicha medida,si además se cumple:
   
 
   

   
3 6
20RS C
x
9 10
… ( I )
   
 
   

   
4 8
2RS S
y
9
… ( II )
a) 10º b) 20º c) 40º
d) 90º e) 100º
Solución:
De las relaciones conocidas:
 
S 180k ; C=200k ; R= k
Dividiéndolos entre 20,se obtiene:

S 9k ; 
C 10k ;


R k
20
En la ecuación ( I )

   
   
   

   
3 6
6
20 10k
k 9k x 2k x
9 20 10
. .
En la ecuación ( II )

   
   
   

   
4 8
8
2 9k
k 10k y 2k y
20 9
. .
Y reemplazando estos resultados en la
condición dada:
  
2 2 8 2 6 2
yS xC 2k S 2k C
. .
   

2 2
8 6
2k 9k 2k 10k
.
  
10 8 10
81k 100k k
9
 
  
 
 
10
S 9k 9
9
10º 
Problema 15
Los valores que expresan las medidas de los
ángulos internos de un cuadrilátero en el
sistema “M”, están en progresión aritmética.
Sabiendo que el menor de ellos mide 5
grados “M”, encontrar la medida del mayor
ángulo interno en dicho sistema, si se sabe
que 50 grados centesimales equivale a 40
grados “M”.
a)
M
140 b)
M
145 c)
M
150
d)
M
155 e)
M
160
Solución:
* En el sistema centesimal, la suma de los
ángulos interiores resultaría
g
400
* En e sistema “M” cuanto será:
Por dato: 
g M
50 40
Aplicando factor de conversión
 

 
 
 
M
g M
g
40
400 320
50
 
g M
s Interiores
Suma 400 320
  
M M M
20 6r 320 r =50
Piden el mayor ángulo interior:
 
 
M M
5 3 50
R
155 
Problema 16
En un hexagono los ángulos interiores a, b, c,
d, e, f están en progresión aritmética, tal que
M
5

M
5 r

M
5 2r

M
5 3r

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22
f<e<d<c<b<a. Si la medida del mayor es 125º,
calcular la medida del menor ángulo en
radianes.
a)

117
180
b)

23
36
c)

119
180
d)

17
36
e)

121
180
Solución:
Sean los siguientes las medidas de los
ángulos del hexágono:
a ;  
b a r ;  
c a 2r ;  
d a 3r
 
e a 4r ;  
f a 5r
Donde “r” es la razón de la progresión
aritmética. Asimismo en un hexágono se
cumple:
 

 s interiores=180º n 2 ; n=6
     
     
      
    
a a r a 2r a 3r
a 4r a 5r 180º 4
De donde:  
6a 15r 720º … ( I )
por dato 
a 125º y reemplazando en ( I )
 
 
  
6a 720º 6 125º 720º
r r
15 15
De donde: 
r 2º
Luego,el menor ángulo es:
 
    
f a 5r 125º 5 2º 115º

 
 
 
 
rad
f 115º
180º

23
rad.
36

Problema 17
La medida de un ángulo en el sistema
sexagesimal es aºa' y la medida de otro
ángulo en el sistema centesimal es
g m
a a , si
la suma de las medidas de dichos ángulos en
el sistema sexagesimal es igual a
57º46'12'' . Calcular su diferencia en el
sistema inglés.
a) 3º13'48'' b) 13º10'43''
c) 54º33'56'' d) 44º33'22''
e) 45º45'45''
Solución:
*    
      
   
   
º º
a 61a
aºa' a
60 60
*    
      
   
   
g g
g m a 101a
a a a
100 100
 
  
 
101a 9
100 10
* 
57º46'12'' 57,77º
Por dato:     57,77º
   
61a 909a
57,77 a 30
60 1 000
Entonces:

 
  
 
 
º
61 30
30º30'
60

 
  
 
 
º
9 101 30
27º16'12''
10 100
Piden la diferencia:
  3º13'48'' 
Problema 18
R, C y S son los números que indican la
conocidos,si se verifica que:
   
S 2 SC C 3 5 5 2
Hallar la medida de dicho ángulo en radianes
a)

4
b)

6
c)

5
d)

7
3
e)

3
5
Solución:
De las relaciones:
 
C 200k ; S=180k ; R= k

Recordando radicales dobles:
   
S C 2 SC C S
Reemplazándolo
  
C S 3 5 5 2
  
200k 180k 3 5 5 2
 

2 k 3 5 5 2  
3 5 5 2
De donde: 
1
k
4
Por ende:  
  
 
 
1
R
4

4

Problema 19
S, C y R son los números que indican la
conocidos. Si se cumple: 
C S
S R . Calcular
el valor de: 9
S
a)

4
b)

180
c)

150
d)

7
123
e)

23
240
Solución:
De las relaciones:
 
S 180k ; C=200k ; R= k
Reemplazando en la condición: 
C S
S R
   
 
200k 180k
180k k
   
   
 
   
20k 20k
10 9
180k k
   
 
10 9
180k k
 
10 10 9 9
180 k k
. .
Dividiendo entre
9
180
10 9
180 k k
. . 

9 9
9
k
180
.
9
180
 
 
  
 
 
9
9
180k 180k
180 180
Finalmente: 
9
S

180

Problema 20
Sabiendo que P es él número de radianes que
contiene un ángulo y Q es el número de
minutos centesimales que contiene el mismo
ángulo.Calcular:

 
3 2
4
10 P Q
M
Q 10 P
a)

10
b)

4
c)

20
d)

41
20
e)

41
10
Solución:
Haciendo una relación entre número de
radianes y número de minutos centesimales
que contiene un mismo ángulo.
 
 
Q P
k
200 100
De donde:
 
4
Q 2 10 k ;  
P k
Reemplazando en la condición:

 
3 2
4
10 P Q
M
Q 10 P
 
 

3 2 4
4 4
10 k 2 10 k
2 10 k 10 k
. . .
. .

M

41
20

Problema 21
Se inventan dos sistemas de medida angular
P y R tal que el seno de
P
20 (Lease: 20
grados P) es igual al coseno de 30º y la
cosecante de
Q
36 (lease 36 grados Q) es
igual a la secante de
g
50 . Hallar el factor que
convierte el número de grados P de un ángulo

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24
a grados Q
a) 1,2 b) 1,4 c) 2,4
d) 2,6 e) 2,8
Solución:
Del enunciado:

P
sen20 cos30º ... ( I )
 
Q g
csc36 sec50 sec45º … ( II )
Las igualdades ( I ) y ( II ) por ser corrazones
solo se cumplirán si:

P
20 60º

Q
36 45º
Si los dividimos se obtiene
 
P
P Q
Q
20 60º
15 =36
45º
36
Deduciendo una relación: 
P Q
15 36
El factor que convierte grados P a grados Q
se da mediante:  
  
 
36
Q P
15
De donde: 2,4 
Problema 22
En la figura mostrada, calcular (en rad) el
valor del ángulo  para que el ángulo  sea
máximo.
a) 3,34
b) 2,6
c) 4,2832
d) 1,7431
e) 2,1406
Solución:
Como:        
2 2
x x x x 0
Para que la ecuación tenga solución, la
discriminante debe ser mayor o igual a cero:
    
   
2
Discrim.: 1 4 1 0
    
máx
1 1
Luego :
4 4
De donde: 
1
x
2
Luego de la figura original se establece que:
 
     

 
 
x
rad 2 rad
2
2
Y para que  sea máximo sustituimos los
valores encontrados:
          
1 1
2 2 2 2
4 4
  4,2832 rad 
Problema 23
Si los números S y C representan las medidas
de un ángulo en los sistemas sexagesimal y
centesimal respectivamente yse verifica que:
 
   
2 4 2
x C S x x 1 , x>0
Calcule en radianes el valor mínimo que
puede tomar la medida de dicho ángulo.
a)

10
b)

20
c)

10
d)

20
e)

3
10
Solución:
Sustituyendo las relaciones conocidas:
 
S 180k ; C=200k ; R= k
En la condición dada:
    
2 4 2
x 20k x x 1
 
   
4 2
x x 1 20k 1 0
  
  
2 2
x 1 x 20k 0
   
2
x 1 0 x= 1 tomamos: x=1
    
2 2 1
x 20k 0 1 20k 0 luego: k=
20
Nos piden en el sistema radial
 
     
 
1
R k
20
 

 
 
x
rad
2
2

 
  
2
x x rad


R

20

1. Si:
 
 
 
o
243
20
se expresa en la forma
g m
x y .
Calcular:

 
y 37
E 1
x
a) 2 b) 1 c) 0
d) –1 e) 3
2. Calcular el valor de:
 
 
 
 
 
 
 
o g m
m
a b a' a b b
E
a b ' a b
a) 121 b) 131 c) 141
d) 161 e) 171
3. Los ángulos internos de un pentágono son:
6xº ,
g
10x ,

rad
4
, 30º y
g
150 . Calcule el
valor numérico de "x".
a) 19 b) 21 c) 20
d) 22 e) 23
4. Si un grado equis  
x
1 equivale a la
480ava parte de una vuelta, ¿a cuántos
grados equis equivale
5
4
de radián?
a)

200
b)

300
c)

400
d)

800
e)

500
5. Determine la medida, en el sistema
internacional, de un ángulo cuyos números
convencionales cumplen la relación:

        
20 6 1
30R 3C S 2
a)

 
8
90 7
b)

 
6
90 5
c)

 
4
45 7
d)

 
6
5 180
e)

 
3
5 90
6. Los números que expresan las medidas de
un ángulo en grados centesimales y radianes,
están relacionados de la siguiente manera:
  
C
40R 8
3x
Calcule "x", sabiendo que dicho ángulo mide
13º30' .
a)

1
b)

2
c)

3
d)

4
e)

5
7. Si la diferencia entre un tercio del número
de grados sexagesimales y el cuádruple del
número radianes del mismo ángulo es la
 ava parte de  
 
15 . Calcule dicho
ángulo en radianes.
a)
3
4
b)
2
3
c)
1
4
d)

4
e)

5
8. S y C son lo convencional.Además:
 
 

1 1
C 5
S 3
Calcule:
 
 
   
C 10 C 10
S 9 S 7
M C 10 C 6
a) 3 b) 4 c) 5
d)
7
2
e) 8
9. Si "x" y "y" representan a los números de
minutos centesimales y minutos

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26
sexagesimales respectivamente de un ángulo,
además se cumple que:  
x y 368 ,
entonces, ¿cuál es la medida de dicho ángulo
en radianes?
a)

10
b)

20
c)

25
d)

35
e)

50
10. Los ángulos de un triángulo se encuentran
en progresión aritmética de razón 12º. Hallar
la medida del menor de dichos ángulos
expresada en radianes.
a)

15
b)

2
15
c)

5
d)

4
15
e)

4
11. Hallar el máximo valor que puede tomar
"" expresado en radianes,si se cumple:
 
   
 
o
2
14 4x x ; 
x
a)

30
b)

20
c)

10
d)

5
e)

2
12. Los ángulos internos de un heptágono se
encuentran en progresión aritmética. Se sabe
que su ángulo intermedio es equivalente a
  
g m s
. Calcule:     
a) –16 b) –15 c) 16
d) 17 e) 14
13. Halle la medida en radianes de un ángulo
trigonométrico positivo que satisface la
siguiente condición:

   
 
   
   
C S 40 1 1
SC 10
2 19 C S
a)

30
b)

20
c)

10
d)

5
e)

50
14. La suma de los números que representan
el complemento de un ángulo en los tres
sistemas conocidos es igual a la suma de los
números que representan las medidas en los
tres sistemas. Hallar la medida de dicho
ángulo en radianes.
a)

5
b)

4
c)

6
d)

8
e)

2
15. En un triángulo, uno de sus ángulos
interiores mide:
º
2 2
2 2
a 28ab b
a b
 
 
 
 

 
; siendo
esta medida la máxima posible. Señale la
medida circular del mayor ángulo que forman
las bisectrices interiores de los otros dos
ángulos del triángulo.
a)
7
rad
24

b)
11
rad
24

c)
13
rad
24

d)
5
rad
8

e)
5
rad
6

16.Sabiendo que:
a 1'
 ;
m
b 1
 ;
s
c 1
 ; d 1''

Calcular:
3ab 10 5cd
J
30ad


a) 1,2 b) 1,3 c) 1,25
d) 1,45 e) 1,5
17.La medida sexagesimal de un ángulo es:
  
2 2
xyº x 2 x 1
 
Si es la mayor posible, ¿cuál es su
equivalente en el sistema circular?
a)
353
rad
2 160

b)
253
rad
2 160


c)
353
rad
1 800

d)
353
rad
1 030

e)
353
rad
1 080

18. En el gráfico mostrado se cumple que:
a b c 950 2,5
    
Siendo aº ,
g
b y c rad. Las medidas del
ángulo XOY , halle el valor de “a–b”
a) –100 b) –40 c) –50
d) –80 e) –20
19. Si en un triángulo las medidas de sus
ángulos interiores están en progresión
aritmética. Cuánto mide el ángulo intermedio
en un sistema de medición angular “P” cuya
unidad  
P
1 viene a ser la medida de un
ángulo central de una circunferencia, cuando
el arco que subtiende resulta ser la séptima
parte del radio de dicha circunferencia.
a)
P
7 b)
P
5 c)
P
5
3

d)
P
7
3

e)
P
7
2

20. De acuerdo al gráfico, calcular:
45
J
 

  
Si, además: AC BC

a) 0,25
b) 0,75
c) 0,45
d) 0,5
e) 0,35
NIVEL II
1. Si las raíces de la ecuación:
2
x Sx C 0
   son 1 2
x x

Las cuales verifican:
2 2
1 2
x x 0,01
 
 
Donde S y C son lo convencional para un
mismo ángulo. Calcular la medida radial del
ángulo.
a) rad
20

b) rad
40

c) rad
80

d) rad
30

e) rad
50

2. Se tiene una pareja de liebres atadas a
una cuerda de radio igual a r (tal como se
muestra en la figura).
En un cierto instante, las liebres están
separadas a una longitud de arco que es igual
a la suma del número de grados
sexagesimales y centesimales de su ángulo
central que mide rad.
5

Halle el ángulo central
que describe A, cuando es alcanzado por B,
por primera vez, si los saltos que dan A y B
recorren una longitud de arco que es igual al
33,3 % del número de grados sexagesimales
y el 50% del número de grados centesimales
del ángulo central original.
a)
3
5

b)
4
5

c)
7
6

X
O Y
c rad
g
b
aº

r
A
B
r
O
A B
C
g

º

g


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28
d)
6
95

e)
6

3. Se tiene los ángulos trigonométricos:
 
2
1 x x rad
    y
x
rad
2
2
 
  
 
 
Según el gráfico, calcule  cuando  tome
se máximo valor. Considere: 1rad=57º17'44''
a) 245º24'32''
b) 245º20'18''
c) 229º54'36''
d) 188º08'44''
e) 188º06'48''
4. Siendo “C” y “R” lo conocido para un
cierto ángulo, además en el gráfico OX es
bisectrizdel ángulo AOB, calcular: " "

a)
6
5

b)
7
5

c)
8
5

d)
5
3

e)
11
6

5. Si se crean dos nuevos sistemas de
medida angular “A” y “B” cuyas unidades se
expresan
W
1 y 1

respectivamente,
verificándose la relación:
W
5 8 40º

  ,
luego de acuerdo al gráfico, lo correcto es:
a) 5x 4y 90
 
b) 5x 4y 0
 
c) 5x 8y 0
 
d) 8x 5y 0
 
e) 8x 5y 180
 
6. Sabiendo que:
º 1' 2' 3' .....
    
Además,  y es el menor posible;
exprese en el sistema circular  º

  
a) rad
180

b) rad
45

c) rad
90

d)
3
rad
20

e) rad
10

7. En el gráfico, OE es bisectriz del AOB
y OD es bisectrizdel BOC .
Calcular:
5x 3y
J
2


a) 2
b) 4
c) 8
d) 10
e) 15
8. Se toma como unidad de medida de un
sistema, el ángulo que forman las agujas de
un reloj a la 1:10 p.m. ¿Cuál será la fórmula
de conversión de este sistema “RAIMONDI” al
sistema circular?
a)
T
R
25
 b)
T R
5 36


c)
T R
5


d)
T R
18


e)
T R
36 5


9. Se tiene un triángulo isósceles donde los
ángulos congruentes miden xº cada uno; y el
ángulo desigual,
g
y . Si a cada ángulo
congruente se le resta
g
y , se forma otro



A
x
B
Rº
720

g
9º 5C

O
rad

yw
x
A
E
B
D
C
g
2y
3xº

triángulo isósceles donde el ángulo desigual
mide 2xº.Calcular:
x
y
a) 1,45 b) 1,35 c) 1,24
d) 1,16 e) 1,54
10. Calcular “n” en la expresión:
 
1' 1' 1' 1' 1' rad
...
2 6 12 20 n n 1 11 340

     

a) 19 b) 20 c) 21
d) 29 e) 30
11. Con los datos del gráfico, simplificar la
expresión:
150 5x 4y 1
E
11 3z 75

 
 
 
 
a) 1
b) 2
c) 5
d) 7
e) 9
12. Si: “S” y “C” representan lo convencional.
Además se conoce que:
1 1
C 5
S 3
 
 

Calcule la expresión:
C 10 C 10
S 9 S 7
M C 10 C 6
 
 
   
a) 3 b) 4 c) 5
d)
7
2
e) 8
13. Siendo S y C los números que expresan
la medida de un mismo ángulo en los
sistemas sexagesimal y centesimal que
cumple:
S C C S
7
2 3 2 3
   
Halle: M m
N R R
 
Si M
R y m
R son los números de radianes del
mayor y menor ángulo, respectivamente, que
satisfacen la relación anterior y además S y C
son números enteros.
a)
3
10

b)
2
9

c)
5

d)
20

e)
10

14. En un triángulo ABC; se cumple que:
g
g 5
A C 85x 1º
x
    … ( I )
g
g
5x
A C 1º 75x
x
    … ( II )
Determine la medida circular del ángulo “B” si
el ángulo “A” toma su menor valor posible.
 
x


a)
2
9

rad b)
4
9

rad c)
5
9

rad
d)
2
3

rad e)
7
5

rad
15. Si la diferencia de los números de grados
centesimales y sexagesimales que contiene
un ángulo,es igual a:
   
   
2 2
2 2
nx y x ny
x y x y

 

 
x;y 0
 . Señale el menor valor que toma la
medida radial de dicho ángulo.
a)
2
n
40

b)  
2
n 1 40


c)  
2
n 1 40

 d)  
2
n 1 20


e)
2
n R
20

16. ¿En la igualdad, calcule “K”, si: “S”; “C” y
“R” son lo conocido para un ángulo no nulo?
        2
2 2 2 2
2 kS
S C C R R S S C R
   
    
a)
1800 19
90
 
b)
1800 19
810
 
c)
1800 19
81
 
d)
1800 19
720
 
B
O A
s
z
m
y
x ''

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30
e)
1800 19
8100
 
17. Señale la medida circular de un ángulo
que cumple:
     
 
2 2 2
2
S C R R S C C R S
3 S C R SCR
  
     
   
Siendo S, C y R lo conocido.
a)
19
rad
3
135

 

 
 
b)
19
rad
5
225

 

 
 
c)
19
rad
8
135

 

 
 
d)
19
rad
9
225

 

 
 
e)
19
rad
8
225

 

 
 
18. Señale la medida sexagesimal de un
ángulo que cumple:
2 2
2 2
2 2
2 2
. .
. .
. .
S C
S C
S C
S C
S C
S C
S C
  
 
 
 
Siendo S y C lo convencional para dicho
ángulo.
a) 9º b) 0,9º c)
º
3
1,6
d)
º
3
8,1 e)
º
3
7,2
19. Exprese el equivalente de " "
 en
radianes,si se cumple:
   
g
º g m
m
Sº ' C
5S 2C
C' S
 
 
    
 
   
 
Siendo S y C lo conocido para otro ángulo
generado en sentido antihorario.
a)
4
rad
5

b)
5
rad
6

c)
103
rad
121

d)
107
rad
120

e)
105
rad
107

20. Sabiendo que el número de radianes de
un ángulo, es de la forma:
ab

, además
cumple:
nC S 11
R n3,1416
   ;  
3,1416
 
Donde: S, C y R son lo conocido para dicho
ángulo.Calcular: “a+b”
a) 2 b) 3 c) 4
d) 7 e) 8
NIVEL III
21. La unidad de medida de un nuevo sistema
es 1* y está se define como la media
aritmética de las unidades de medida en los
sistemas estudiados. Hallar el equivalente del
ángulo de una vuelta en el nuevo sistema.
a)
 
10 800 *
19 2 000
b)
10 800 *
19 2 000

 
c)
10 800 *
19 2 000

 
d)
10 800 *
19 1 800

 
e)
10 800 *
19 900
 
22.Al medir un ángulo generado en sentido
horario, se observo que los números que
representan sus medidas en los sistemas
convencionales,se relacionan como se indica.
8 es a la diferencia entre el doble del
número intermedio y el menor como 1,25 es al
recíproco del mayor número. Halle la medida
de dicho ángulo en radianes.
a) –4 b)
5

 c) –3
d) –2 e)
2


23.sabiendo que:
S # de grados sexagesimales

C # de grados centesimales

Para un determinado ángulo,tal que:

S
x
S
1
S
1
1 x




;
C
y
C
2
C
2
C
2
2 x





Halle la medida de dicho ángulo en radianes
a)
4

b)
5

c)
10

d)
20

e)
2
5

24.Sabiendo que:
a #
 de minutos sexagesimales
b #
 de segundos sexagesimales
c #
 de segundos centesimales de un
mismo ángulo
Exprese la medida circular de " "
 .
Si:
 
m
2
4bc 27c
ac
 

   
 
a) 0,132 rad
 b) 0,262 rad

c) 0,272 rad
 d) 0,212 rad

e) 0,136 rad

25. Los números S y C que expresan las
medidas de un ángulo en los sistemas
sexagesimal y centesimal respectivamente y
verifican la igualdad:
 
2 4 2
x x x 1
C S   

Hallar en radianes la mínima medida de dicho
ángulo.
a) rad
20

b) rad
10

c)
3
rad
10

d)
3
rad
20

e)
3
rad
40

26. Siendo S, C y R lo convencional para un
ángulo trigonométrico en sentido antihorario.
Calcular el mínimo valor que admite la
expresión:
   
2 4
2
S C C y R z
x y z
. .
  
; Si: x,y,z


Además el ángulo mide  
2
3
0,01 rad

a) 48 b) 40 10 c) 4,8
d) 4,8 10 e) 480
27.Siendo S y C lo conocido para un cierto
ángulo;tales que:
 
S 1 3 5 7 .... "n" términos
     
 
C 2 4 6 8 .... "m" términos
     
S y C 
 , exprese  º
2n m
 en radianes.
a) rad
20

b) rad
12

c)
3
rad
20

d) rad
5

e)
2
rad
5

28.Si: S, C y R son lo convencional para un
mismo ángulo,tal que:
5 10
20RS C
a
9 10
   
    

   
6 12
2RS S
b
9
   
 
   

   
Hallar la medida del ángulo en radianes.
Si se conoce que:
b 100
a 81

a) rad
10

b) rad
18

c) rad
20

d) rad
40

e) rad
36

29.Si un ángulo mide
3
rad
20

; y sus números
de grados sexagesimales y centesimales
verifican:
2 2 2
C 1 1
Log S Log Log
1 1
5 S S 1
   
   
 
   

   
2 2
1 1
Log ... Log
1 1
S 2 S n 2
   
  
 
   
  
   
Calcular:“n”

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32
a) 24 b) 38 c) 2
d) 36 e) 40
30. Calcular:
g g m
P 2 rad 180º 100 rad 22º30' 12 50 ...
4

       
a) 3 rad
 b) 4 rad
 c) 5 rad

d) 6 rad
 e) 8 rad

31. Sean 1
S y 2
S los números de grados
sexagesimales de dos ángulos diferentes.
Además de ser las raíces de la ecuación:
2
x 3x A 0
  
3
C y 4
C los números de grados
centesimales de otros dos ángulos diferentes,
también raíces de la ecuación:
2
x 12x B 0
  
Se sabe que los números 1
S , 2
S , 3
C y 4
C (
en la sucesión dada) forman una progresión
geométrica creciente.
Calcule: 1 2
3 4
A S S
rad
B C C
 
 
 
 
 
a)
9º


b)
9º

c)
º
9

d) 20º e) 9º
32. Hallar la medida de un ángulo expresado
en radianes; si su número de grados S, C y R
satisfacen la ecuación:
R
R
4
S S S.... radicales
0,9
C C C.... radicales

 

 

 
 

 
a) 1 b) 2 c) 4
d)
1
2
e)
1
4
33. Sabiendo que S, C y R es lo
convencional, calcular el número de radianes
de “  ”
º
g m
m
C S SºC'
R'
R
 
  
 
 
 
a) 12 b) 17 c) 39
d) 51 e) 62
34. Hallar la medida de un ángulo en
radianes, si sus números convencionales (S,
C y R). Verifican:
3 3
3
S C 100 R SC
.
108 120 216 12 960
 
  
 
  
a)
3
10

b)
2
27

c)
3
20

d)
2
19

e)
2
51

35. La medida de un ángulo en los sistemas
radial y sexagesimal están representados por
la diferencia y la suma de dos números
enteros positivos (los menores posibles),
respectivamente. Hallar dicho ángulo en el
sistema centesimal.
22
7
 
 
 
 
a)
g
1 260 b)
g
1 820 c)
g
1 400
d)
g
1 040 e)
g
1 222
36. Determine la medida circular de un ángulo
sabiendo que la expresión:
1
1 1
1 ...."n" términos
1 1
S 1
S S 2
 
   

 
   
 
 
   
 
Equivale a:
1
1 1
1 ...."n" términos
1 1
C 2
C 1 C 3
 
   

 
   
 

 
   
 
Siendo S y C lo conocido para dicho ángulo.
a)
n
rad
190

b)
n
rad
190

 c)
n
rad
380

d)
n
rad
380

 e)
n
rad
95

37. calcule la medida circular de un ángulo, si
se cumple:

7 7 7
12 40 C 197R
S 3C 15R S 52R
  
     
  
       
     
a)
5

b)
2
13

c)
15

d)
2
15

e)
2
7

CIRCUNFERENCIA: Es el conjunto de puntos
aferentes los cuales tiene una característica
en común, el cual es equidistar de un punto
fijo llamado centro.
O: Centro
mAB : Longitud de arco
AOB : Ángulo central
r OA :Longitud del radio

LONGITUD DE ARCO: Un arco de
circunferencia es una porción de ella que es
subtendida por un ángulo central y cuya
longitud depende directamente de la medida
del ángulo que lo subtiende y del radio de la
circunferencia a la que pertenece asi:
Longitud del arco AB: L r
.
 
Donde: 0 2
   
( : # de rad. del central )

 De la anterior formula se deduce que:
2 1
L L
d

   
: en radianes

CIRCULO: Es la superficie que esta formada
por la misma circunferencia y por todos los
puntos interiores a la misma circunferencia.
SECTOR CIRCULAR: Es una porción de
círculo limitado por dos radios y un arco
comprendido entre ellos.
Área del sector circular AOB:
O r
r
A
B
Circunferencia
ARCO
L
A
B
r
r

O
d
1
L

2
L
SECTOR
CIRCULAR
A
B
r
r

CIRCULO
O
A
B
r
r

O

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34

  

2 2
r L r L
Área
2 2 2
.
Tener en cuenta que " "
 siempre debe estar
en radianes para utilizar dichas formulas.
PROPIEDADES ADICIONALES:
I) Del gráfico:
Se cumplirá la relación:

 

1 1
2 2
A L
A L
;  
y en radianes
II) Del gráfico:
Si el radio de un determinado sector circular
se prolonga en longitudes iguales, entonces
las áreas de los trapecios circulares formados
seguirán incrementándose siguiendo la
siguiente serie:A, 3A, 5A, 7A, 9A, ……..
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR T
( A )
I) Si conocemos R, r y 

 
2 2
T
A (R r )
2
: número de radianes del ángulo central

II) Si conocemos M m
L , L y d

 
  
 
M m
T
L L
A d
2
Tener en cuenta que:
M m
L L
d

 

III) Si conocemos 
M m
L , L y
 

 


 
2 2
M m
T
L L
A
2

NOTITA:
A
C
D
B
O

R
r T
A
r
r


1
A
2
A
1
L
2
L
A 3A
5A
7A
B D
A
C
M
L
m
L
O
d

T
A
A
C
D
B
O

M
L
m
L
T
A
A
C
D
B
O

M
L
m
L
r
R
2
A
1
A

  
2
2
1 m m
2 2
2 M M
A L r L
r
A L R
R L
.
.
Área de la Corona Circular Cor. Cir
( A )
Del gráfico:
  
2 2
C
or. Cir.
A (R r )
 
2
C
or. Cir.
A b
Área del Segmento Circular Seg Cir.
( A )
Del gráfico:
   
2
Seg. Cir.
r
A ( sen )
2

APLICACIONES MECÁNICAS
Número de vueltas, distancia y ángulo
recorrido por una rueda ( aro, disco, …) sobre
una superficieplana
n : Número de vueltas que realiza la rueda
al ir desde el punto P hasta el punto Q.
d
n
2 r


  
  

g g g
g
n
360º 2 rad
400
g : Ángulo de giro en radianes al ir desde
el punto P hasta el punto Q.
 
g
d
r
d: Distancia recorrida por la rueda, esta
distancia debe ser la longitud recorrida
entre sus centros.
 
d 2 r n
= 
Número de vueltas, distancia y ángulo
recorrido por una rueda sobre una superficie
curva.
Número de vueltas:


d
n
2 r
  
  

g g g
g
n
360º 2 rad
400
R
r
2b
r
r

r
r
d : Longitud recorrida
entre sus centros
r
P
d
Q

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36
Distancia recorrida:
 

d 2 r n
=
Ángulo de giro:
 
g
d
r
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTOS
Los sistemas mecánicos, los cuales nos
permiten transmitir movimientos pueden
realizarse debido a un contacto entre sus
elementos o mediante la unión de ellos a
través de una faja o un eje común.
I) Engranajes: Nos indica que las longitudes
de arco determinados por dos puntos al girar
un determinado ángulo en cada uno de los
piñones serán iguales.

  

1 2
1 2
L L
( R) ( r)
n ( R) n ( r)
1
n : número de vueltas que gira la rueda de
radio “R”
2
radio “r”
II) Poleas: Nos indica que la longitud
recorrida por un punto del borde de una polea
será igual a la longitud recorrida por un punto
de la faja y por ende igual a la longitud
recorrida por otro punto de la polea a la cual
esta conectada.
 
  

1 2 fa
1 2
L L L
( R) ( r)
n ( R ) n ( r)
1
radio “R”
2
radio “r”
III) Transmisión por un eje: Nos indica que
si dos ruedas están conectadas mediante un
eje de rotación común, entonces los ángulos
centrales descritos son iguales,es decir:

R
1
L
2
L

r
R
r
2
L
fa
L
1
L


r

2
L fa
L
R 
r

1
L
2
L
Eje comun

r R
1 2
n r n R
. .
  

 
1 2
1 2
L L
R r
1
radio “R”
2
radio “r”
DESPLAZAMIENTO DE UNA RUEDA
SOBRE UNA SUPERFICIE CIRCULAR
Cuando la rueda (aro, disco, ….) se desplaza
sobre una superficie circular se presentan dos
situaciones:
I. Si la rueda se desplaza exteriormente a la
superficie circular.
(R r)
n
2 r
 


L (R r)
  
n : número de vueltas que realiza la rueda
de radio “r”
L : Longitud recorrida por la rueda menor
entre sus centros.
II. Si la rueda se desplaza interiormente a la
superficie circular.
 


( R r )
n
2 r
L (R r)
  
n : número de vueltas que realiza la rueda
de radio “r”
L : Longitud recorrida por la rueda menor
entre sus centros.
Problema 01
En la figura mostrada, AOB es un sector
circular, BDC es una circunferencia de centro
1
O ,  1
OA DO , 
m AOB 45º , 
1
O B 4 .
Calcule el perímetro de la región sombreada.
a)  
 
3 2 b)  
 
5 2
c)  
 
3 2 d)  
 
4 2
e)  
  
4 2 4 2
Solución:
En el  rectángulo 1
ODO :
 
1
O D OD 4  
1
OO 4 2
en el sector circular AOBtenemos:
 
1 1
OB OO O B    
OA OB 4 2 4
A
B
O
D
1
O
C
45º 135º
4

R
r r
L
R
r
r 
L

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38
De donde: 
AD 4 2
 
 
  
AB
L OA. 4 2 1 .
4 4
Luego:  
  
AB
L 2 1
En el sector circular 1
BDO tenemos:

 
1
3
m BO D 135º rad.
4
 
   
   
   
   
1
BD
3 3
L O B 4 3
4 4
.
De donde:  
BD
L 3
El perímetro será:
  
AB BD
Peri L L AD
 
     
Peri 2 1 3 4 2

Peri  
  
4 2 4 2 
Problema 02
Con la ayuda de la siguiente figura:
Calcular:
  
 
 
z y y x x
M
bc a
a) 1 b) –1 c) 2
d) –2 e) 0
Solución:
Recordando la formula auxiliar de la pag.33:

  2 1
L L
d
La aplicamos en el caso dado:
 
     
y x z y x
; ;
b c a
… ( I )
La expresión “M” se puede escribir así:
 
  
 
  
  
z y y x x
M
c b a
… ( II )
Reemplazando ( I ) en ( II )
        
2
M .
Finalmente: 
M 0 
Problema 03
Un móvil se desplaza con moviendo uniforme,
sobre un arco de circunferencia cuyo diámetro
mide 100m. Si en 20s recorre un arco
subtendido por un ángulo de
g
50 , ¿Cuál es
su rapidez en m/s?
a)

5
8
b)

3
c)

2
5
d)

3
7
e)

4
Solución:
Elaboramos un grafico según el enunciado del
problema:
Dato: 
2R 100 m  
R 50 m
Convirtiendo el ángulo central a radianes

 
  
 
 
g
g
rad
50 rad
4
200


  rad
4
θ x y z
a
b
c
O
50m
g
50 L e

t
v

De este modo la distancia recorrida será:
 
 
 
25
e 50 m
4 2
Recordando la formula de la rapidez:

e
v
t



25
m
2
v
20 s

v

5
m / s
8


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