El documento trata sobre la trigonometría en sexto grado de primaria. Explica que la trigonometría estudia las relaciones entre los lados y ángulos de los triángulos, y que los babilonios y egipcios ya usaban estas relaciones hace más de 3000 años. Luego describe los tres sistemas para medir ángulos y realiza conversiones entre ellos. Finalmente, explica cómo calcular la longitud de un arco.

1. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A 6
6T
TO
O
G
GR
RA
AD
DO
O P
PR
RI
IM
MA
AR
RI
IA
A
117
Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos.
Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un
triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de
pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de
la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la
exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo
Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de
“cuerdas” que construyó fueron la precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la
actualidad.
Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde
Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama
independiente que hace parte de la matemática.
MEDICIONES ANGULARES DESDE EL PUNTO DE VISTA TRIGONOMÉTRICO
Sean dos semirrectas:

MA fija y,

NC móvil.
1. Hagamos que ellas posean un origen común O.
2. Hagamos que ambos rayos se ubiquen en la misma posición.
3. Giremos la semi recta

OC alrededor del punto O, en sentido contrario a las agujas del reloj. Se
observará que para cada posición de

OC se engendra un ángulo, el ángulo AOC
 .

OA : Lado inicial

OC : Lado final
O : vértice
N
M
C
A
A
C
O

2. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A P
PR
RI
IM
ME
ER
R T
TR
RI
IM
ME
ES
ST
TR
RE
E
118
A
C
O
A
C
O
A
C
O
A
C
O
A
C
O
A
C
O
A
C
O A
C
O
De acuerdo con tus observaciones:
 A medida que el rayo OC gira en sentido
antihorario ¿Qué sucede con el ángulo
generado?
 Para cada uno de los casos: toma un pequeño
hilo de longitud OA, con un lápiz atado en el
extremo “A” gira en torno a “O” hasta llegar al
extremo C-en el sentido indicado. ¿Qué figura
se generará al dar una vuelta completa?
 Y si no damos una vuelta completa ¿qué
nombre recibe la figura geométrica generada?

3. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A 6
6T
TO
O
G
GR
RA
AD
DO
O P
PR
RI
IM
MA
AR
RI
IA
A
119
De esta forma nos damos cuenta que podremos formar un ángulo de un valor cualquiera.
¿Sabías que existen los ÁNGULOS NEGATIVOS?
Efectivamente, de forma arbitraria se ha convenido que los ángulos engendrados en sentido contrario a
las manecillas del reloj, se toman como positivos y los ángulos engendrados en el mismo sentido de las
agujas del reloj se consideran negativos.
Actividad:
 Con la ayuda de tu cuaderno realiza una secuencia ordenada, semejante a la anterior, en la que se
pueda observar el incremento de un ángulo negativo.
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Existen tres sistemas de medición angular: sexagesimal, centesimal y radial. Los cuales básicamente
provienen de dividir una circunferencia en partes iguales.
SISTEMA SEXAGESIMAL (Sistema Ingles):
En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales y a cada una se le
denomina GRADO SEXAGESIMAL, a cadA grado se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le
denomina MINUTO SEXAGESIMAL, a su vez a cada minuto se le divide en 60 partes iguales y a cada
parte se le denomina SEGUNDO SEXAGESIMAL.
NOTACION EQUIVALENCIAS
1 Grado sexagesimal: 1º
1º = 60’ = 3600’
1’ = 60’’
1 minuto sexagesimal: 1’
1 segundo sexagesimal: 1’’
SISTEMA CENTESIMAL (Sistema Francés):
En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta dividido en 400 partes iguales y a cada una se le
denomina GRADO CENTESIMAL, a cadA grado se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se le
denomina MINUTO CENTESIMAL, a su vez a cada minuto se le divide en 100 partes iguales y a cada
parte se le denomina SEGUNDO CENTESIMAL.
NOTACION EQUIVALENCIAS
1 Grado centesimal: 1g
1g = 100m = 10 000s
1m = 100s
1 minuto centesimal: 1m
1 segundo centesimal: 1s

4. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A P
PR
RI
IM
ME
ER
R T
TR
RI
IM
ME
ES
ST
TR
RE
E
120
SISTEMA RADIAL (Sistema circular):
En el sistema radial la unidad angular es el radián. Un radián se define como la medida
Del ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud igual al radio.
En este sistema el ángulo de una vuelta mide 
2 radianes.
OBS:
Generalmente la medida de un ángulo en este sistema está representada por una letra griega, tal como:
...
,
,
,
,
, 





RELACION DE CONVERSION DE LOS TRES SISTEMAS
EJERCICIOS:
1. Identifica los elementos necesarios para determinar un ángulo. (2,5ptos.)
 Lado inicial
 Lado final
 Vértice
 Medida del ángulo
 Sentido de giro
O
r
r
r
1rad

R
C
S


200
180
O
B
A

5. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A 6
6T
TO
O
G
GR
RA
AD
DO
O P
PR
RI
IM
MA
AR
RI
IA
A
121
2. Calcula cuanto mide el ángulo que resulta al dividir la circunferencia mostrada en:
3. Convierte los siguientes ángulos al sistema centesimal.
3 partes iguales 4 partes iguales
6 partes iguales 8 partes iguales
12 partes iguales 24 partes iguales
 9º =
 18º =
 36º =
 45º =
 63º =
 81º =
 162º =
 234º =
 270º =
 324º =

6. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A P
PR
RI
IM
ME
ER
R T
TR
RI
IM
ME
ES
ST
TR
RE
E
122
4. Convierte los siguientes ángulos al sistema radial.
5. Convierte los siguientes ángulos al sistema radian.
 360º =
 270º =
 180º =
 120º =
 90º =
 60º =
 45º =
 30º =
 15º =
 37º =
 53º =
 200g
=
 100 g
=
 80 g
=
 50 g
=
 40g
=
 25g
=
 20g
=
 10 g
=
 5 g
=
 3 g
=


7. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A 6
6T
TO
O
G
GR
RA
AD
DO
O P
PR
RI
IM
MA
AR
RI
IA
A
123
Actividad:
1. De acuerdo a los ejercicios 3,4,5 desarrollados en la sección anterior:
 Identifica 4 parejas de ángulos dados señalando la multiplicidad entre ellos.
 Observa que ha sucedido con sus correspondientes ángulos al cambiarlos de sistemas ¿Guardan
la misma relación?
LONGITUD DE ARCO
Imagina una circunferencia de radio R. En ella podemos determinar, sin ningún problema, su
longitud.
¿Existirá alguna relación entre éstas longitudes al considerar circunferencias de diferentes
radios?
¡Descubrámoslo!
Para esto seguiremos los siguientes pasos:
 Dibujemos una circunferencia, recordando que para que esto sea posible debemos
establecer la medida de su radio.
 Con la ayuda de nuestro compañero(a) sobre todo el contorno de la circunferencia
coloquemos un trozo de pabilo, ¡este paso es de suma importancia, y debe ser realizado
con la mayor precisión posible!
 Una vez cortado el pabilo, se medirá la longitud de éste.
 Finalmente, establezca la siguiente relación:
ncia
circunfere
la
de
diámetro
pabilo
del
longitud
..
..
..
...
....
y compare el
resultado obtenido con sus compañeros.
¿Qué observas?
Radio de la
circunferencia
Longitud de la
circunferencia ncia
circunfere
la
de
diámetro
pabilo
del
longitud
..
..
..
...
.... # cifras
decimales

8. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A P
PR
RI
IM
ME
ER
R T
TR
RI
IM
ME
ES
ST
TR
RE
E
124
¿Sabías que el número que calculamos, se aproximaría cada vez más a uno ya conocido, de ser
sumamente precisa nuestra medida?
Efectivamente, desde hace aproximadamente 4000 años se noto
que el número de veces en que el diámetro está contenido en la
circunferencia es siempre el mismo, sea cual sea el tamaño de esa
circunferencia, a éste número se le denomina “pi” (), y es un
número que siempre provocó atracción irresistible a los
aficionados.
Desde Arquímedes, quien obtuvo el valor de 1416
.
3

 , los
matemáticos se han preocupado de calcular  con precisión cada
vez mayor.
Con el avance de la tecnología y el auxilio de las computadoras, en
1984, en los Estados Unidos, se calculó con más de diez millones de ¡cifras exacta¡
Ahora bien, saber que el valor numérico hallado tiene una representación fijada, nos permite
decir que:
Con lo que tenemos hasta los momentos, ¿Podríamos calcular la longitud de una pequeña porción
de la circunferencia?
Y, ¿Cómo se le denomina a ésta pequeña porción de la circunferencia?
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
La longitud “total” de la circunferencia =
 L:
 R:
 :

En donde se cumple que:

PI: ELEMENTO
TRASCENDENTE

9. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A 6
6T
TO
O
G
GR
RA
AD
DO
O P
PR
RI
IM
MA
AR
RI
IA
A
125
Asimismo, de la gráfica se observa los radios limitan una región que recibe como nombre
SECTOR CIRCULAR.
EJERCICIOS
1. Halla la longitud del sector circular MN, si OM=15cm
2. Determina la longitud del arco AB, si el radio mide 40cm.
3. Calcula el valor de la longitud de arco AB, si el ángulo central mide rad
6

.
4. Calcula la longitud del arco si el radio mide 16cm.
5. Calcula la longitud de arco en un sector circular cuyo ángulo central mide rad
4

y el radio
es de 40cm.
rad
3

rad
4
3
A
B
36cm
A
B
rad
8
7
A
B

10. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A P
PR
RI
IM
ME
ER
R T
TR
RI
IM
ME
ES
ST
TR
RE
E
126
6. Hallar la longitud de un sector circular cuyo ángulo central mide rad
6

y el radio es de
240cm.
7. Si al transitar un ciclista por el óvalo higuereta describe un ángulo central de 240º, antes de
detenerse. Calcula cuanto recorrió, si el óvalo higuereta posee un radio aproximado de 100m.
8. Según cada uno de los gráficos calcula la longitud del arco AB si el radio de la circunferencia
es 30cm.
A
B
O
A B
O
B
A
O

11. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A 6
6T
TO
O
G
GR
RA
AD
DO
O P
PR
RI
IM
MA
AR
RI
IA
A
127
LA TRIGONOMETRÍA
Y LAS TECNICAS
DE MEDICIÓN GRIEGAS
En la antigüedad los egipcios y babilonios conocían y habían utilizado propiedades o “teoremas”
relativos a las razones entre los lados de triángulos semejantes, sin formularlos de manera explícita,
naturalmente.
Se denomina razón trigonométrica al cociente que se establece entre las longitudes de dos de los
lados de un triangulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Las razones trigonométricas son 6 y se denominan:
Como se mencionó anteriormente el desarrollo de estos elementos se hace en base a un triángulo
rectángulo, pero antes de establecerlas de manera formal, reconoceremos los elementos de este especial
triángulo:
Cuando trazo a placer el vertiginoso ir y venir de los
cuerpos celestes, mis pies ya no tocan la tierra, sino
que me hallo en presencia del mismísimo Zeus y me
sacio de ambrosia, alimento de los dioses.
Ptolomeo
NOTACIÓN
Seno
Coseno
Tangent e
Cotangente
Secante
Cosecante
Sen
Cos
Tg
Ctg
Sec
Csc
APLICADAS
A UN ÁNGULO
b
a
c
Si tomamos como referencia 
a: Cateto……………………...
b: Cateto……………………...
c: Hipotenusa

12. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A P
PR
RI
IM
ME
ER
R T
TR
RI
IM
ME
ES
ST
TR
RE
E
128
EJERCICIOS
1. Identifica en los triángulos dados al triángulo rectángulo.
2. Menciona 3 características de un triángulo rectángulo.



3. En cada uno de los triángulos rectángulos propuestos indica con: H la Hipotenusa, CO
(cateto opuesto) y CA (cateto adyacente), respecto al ángulo  .
A B
C
D
A
B
D
C





  
E

13. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A 6
6T
TO
O
G
GR
RA
AD
DO
O P
PR
RI
IM
MA
AR
RI
IA
A
129
Ahora bien, si trabajamos en base a un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas quedan definidas
en función de sus lados- es decir, dependen de sus lados- de la siguiente forma:
¿Cómo se trabaja con las razones trigonométricas?
Ejemplo:
Dado el triángulo rectángulo. Halla las razones trigonométricas de 
EJERCICIOS:
Apoyándote de la siguiente gráfica establece las razones trigonométricas de  y  . ¿serán las mismas?
b
a
c
hipotenusa
a
opuesto
cateo
Sen





 =
hipotenusa
a
adyacente
cateo
Cos





 =










a
adyacente
cateo
a
opuesto
cateto
Tg =










a
opuesto
cateo
a
adyacente
cateto
Ctg =






a
adyacente
cateto
hipotenusa
Sec =






a
opuesto
cateto
hipotenusa
Csc =

5
12
13
3
4
5



14. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A P
PR
RI
IM
ME
ER
R T
TR
RI
IM
ME
ES
ST
TR
RE
E
130
Ahora, con los ejercicios anteriores hemos podido determinar las razones trigonométricas de determinados
ángulos, a partir de una figura.
¿Crees tú que podamos hacer el trabajo inverso?, es decir, a partir de determinadas razones
trigonométricas ¿Podremos construir un triángulo rectángulo que las cumpla?
La respuesta es Sí, veamos:
Recuerda que cada razón trigonométrica nos expresa la relación entre los elementos de un triángulo
rectángulo.


61
60
11
15
8
17
 
Relación de
las R.T.
cuando
º
90



24
25


7

15. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A 6
6T
TO
O
G
GR
RA
AD
DO
O P
PR
RI
IM
MA
AR
RI
IA
A
131
 Si el 5
/
4


Sen
¿Existirá una particular característica del triángulo rectángulo que nos permita determinar el elemento
restante?
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………
¿En qué consiste?
Entonces, finalmente podemos decir que el triángulo formado a partir de 5
/
4


Sen es:
EJERCICIOS:
4. Determinar el elemento que falta, en cada una de los siguientes triángulos rectángulos.
a
b
c DE FORMA
ESCRITA
………………………………………
………………………………………
………………………………………
84
13
72
97
63
65
1 1

16. T
TR
RI
IG
GO
ON
NO
OM
ME
ET
TR
RÍ
ÍA
A P
PR
RI
IM
ME
ER
R T
TR
RI
IM
ME
ES
ST
TR
RE
E
132
5. Identifica que razón trigonométrica se ha determinado, en los siguientes ejemplos.
A B
C

36
85
77
77/85 =
85/36 =
63
16
65


63/16 =
65/63 =


73
48
55 73/48 =
55/73 =