àNgulos, razones trigonomètricos

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E
INFORMÁTICA
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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TEMA: ANGULO TRIGONOMÉTRICO SEMANA: 03
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 501B SEMESTETRE: 2017 - II
CONCEPTO Y APLICACIÓN
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones
entre los lados y los ángulos de triángulos, de las
propiedades y aplicaciones de las funciones
trigonométricas de ángulos. Las dos ramas
fundamentales de la trigonometría son
la trigonometría plana, que se ocupa de figuras
contenidas en un plano, y la trigonometría
esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte
de la superficie de una esfera.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se
hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y
la astronomía, en las que el principal problema era
determinar una distancia inaccesible, como la distancia
entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía
ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la
trigonometría se pueden encontrar en la física, química
y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en
el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o
el flujo de corriente alterna.
Astronomía: Cálculo del radio de la Tierra, distancia de
la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol,
predicción de eclipses, confección de calendarios.
Artillería: ¿A qué distancia se encuentra un blanco al
que se desea disparar con una catapulta o con un
cañón?
Cartografía: Elaboración del mapa de un lugar del que
se conocen algunas distancias y algunos ángulos.

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Construcciones: Cómo construir un edificio para que
cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué
dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado
de la montaña, en el lugar deseado.
Navegación: Construcción de cartas marinas en las que
se detalle la ubicación de escollos, arrecifes, ...
Ángulo Trigonométrico.- Es aquel ángulo que se
genera por la rotación de un rayo alrededor de un
punto fijo llamado vértice u origen desde una posición
inicial hasta otra posición final, debiendo considerar
que esta rotación se efectúa en un mismo plano.
Por lo tanto debemos considerar dos tipos de rotación:
Sentido Antihorario
Sentido Horario
NOTA:
Si el ángulo tiene rotación antihoraria la medida del
ángulo será positivo.
∝ 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐
Si el ángulo tiene rotación horaria la medida del ángulo
será negativo.
𝜷 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐

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ÁNGULO DE UNA VUELTA
Se genera por la rotación completa del rayo, es decir su
lado final coincide con su lado inicial por primera vez.
MAGNITUD DE UN ÁNGULO
Los ángulos trigonométricos son ilimitados a diferencia
de la geometría.
Medida del ángulo trigonométrico 𝜖 < −∞, +∞ >
Ejercicios resueltos
1. De la figura, calcular el valor de “x”
Solución:
El ángulo (50 – 3𝑥)° tiene sentido negativo:
 𝑥 + 30° – (50 – 3𝑥)° = 180°
𝑥 + 30° – 50° + 3𝑥 = 180°
4𝑥 – 20° = 180°
4𝑥 = 200°
 𝑥 = 50°
2. De la figura, hallar “x” en términos de ,  y 
Solución:
Horario, entonces tiene signo negativo:
Luego:
x –  +  –  + 90º = 360º
x = 360º +  –  +  – 90º
 x =  –  +  + 270º
Los ángulos:  y  tiene sentido de rotación.
3. De la figura, indicar qué relación existe entre ,  y

Solución:
Del gráfico observamos que: 𝛼 es ( + )
𝛽 𝑒𝑠 ( – )
𝜃 𝑒𝑠 ( – )
Entonces:
360
2vueltas    
  -  -  = 720°
Ejercicios
1. Señale la relación
correcta entre  y .
a)  +  = 90º
b)  -  = 90º
c)  +  = -90º
d)  +  = 0
e)  -  = 90º
2. Del gráfico determine x.
3. Calcular “x”

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4. Hallar “x”
5. Del gráfico hallar “x”
6. Calcular el valor de x:
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
Son las diferentes formas en que se pueden medir los
ángulos; destacando solamente:
1. SISTEMA. SEXAGESIMAL (S).- Llamado también
inglés; es aquel que divide al ángulo de una vuelta en
360 partes iguales; denominando a cada una de ellas
un grado sexagesimal (1°)
Unidad:
1
1 1 360
360
vuelta
vuelta  
Además: 1º = 60'
1' = 60"
1º = 3600"
2. SISTEMA CENTESIMAL (C).- Llamado también
francés; es aquel que divide al ángulo de una vuelta en
400 partes iguales, denominando a cada una de ellas
un grado centesimal. (1
g
)
Unidad:
1
1 1 400
400
g gvuelta
vuelta  
Además: 1
g
= 100m
1m = 100s
1
g
= 10000s
3. SISTEMA RADIAL.- Llamado también circular o
internacional, es aquel que tiene como unidad a un
radián (1 rad) que viene a ser la medida de un ángulo
central en una circunferencia cuando el arco que le
corresponde mide igual que el radio de la
circunferencia. En el gráfico adjunto.
Además: 1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 2𝜋𝑟𝑎𝑑
CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS
rad
RCS
g
.200º180 

* CONSIDERACIONES
1) 1rad > 1° > 1g
2) 360° < > 400g < > 2πrad
180° < > 200g < > πrad

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3) 180° < > 200g
9°<>10g
180° < > 200g < > 9° < > 10g
4) a°b'c'' = a° + b' + c"
agbmcs = ag + bm + cs
5) a° = (60a)' = (3600a)"
ag = (100a)m = (10000a)s
6) 27' < > 50m
81" < > 250s
Es el procedimiento mediante el cual un ángulo
expresado en cierto sistema; se expresa en unidades de
otro sistema. El criterio a utilizar se llama "método del
factor de conversión", que consiste en multiplicar al
ángulo por una fracción cuyo numerador y
denominador son equivalentes y están dados por dos
ángulos expresados en los sistemas que intervienen.
Así por ejemplo;
Convertir:
1) 45ºRadianes
2) 60
g
 sexagesimal
3) rad
10

centesimales
20g
 
Ejercicios
01. De la siguiente relación:
S
C9R10
6
S
 
Calcular el número de grados centesimales.
02. Hallar el complemento del ángulo 5
2
rad en el
sistema sexagesimal.
03. La suma de dos ángulos es 120° y su diferencia es
3

rad. Hallar la medida del menor de los ángulos en
grados sexagesimales.
04. De la figura, calcular “”.
5
-4
07. Convertir: 45° a grados centesimales.
08. Convertir: 3
rad2
a grados sexagesimales.
09. Simplificar: SC19
)SC)(SC(180
M 

10. La suma de las medidas de dos ángulos es /10 rad
y la diferencia de los mismos es 9°. Calcular la medida
del mayor de los ángulos.



4
rad
  54o

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RAZONES TRIGONOMETRICAS PARA TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
Definición.- La razón trigonométrica de un ángulo
agudo en un triángulo rectángulo se define como el
cociente que se obtiene al dividir las medidas de las
longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo
con respecto a uno de los ángulos agudos.
Sea el triángulo rectángulo ABC recto en B.
Elementos:
Hipotenusa (H)  b
Catetos respecto al ángulo “”
a) Cateto opuesto (C.O.)  a
b) Cateto adyacente (C.A.)  c
m ∢ CAB   (agudo)
Razones Trigonométricas para el ángulo “𝜶”:
Por ejemplo:
Observación:
1. En un triángulo rectángulo
Ejercicios Resueltos
01. En un triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶 recto en B reducir:
𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝐴. 𝑠𝑒𝑐𝐶 + 𝑐𝑜𝑠𝐶. 𝑐𝑠𝑐𝐴
Solución:
Representamos un triángulo que se ajuste al
problema:
02. Si:  es un ángulo agudo tal que
1
cos
3
  .
Calcular 𝑡𝑔 𝛼.
Solución:
Del dato:
“” debe estar dentro de un triángulo rectángulo.

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03. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se
cumple que:
csc
cos
5
B
A  
Calcular: 𝑃 = 𝑆𝑒𝑐𝐴 – 𝐶𝑡𝑔𝐵
Solución:
Del enunciado:
csc
cos
5
B
A  

Por el teorema de Pitágoras:

Nos piden:

04. Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la
torre forma un ángulo de 32° con la horizontal.
Si me acerco 25 m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la
altura de la torre?
Solución

Ejercicios
01. Si:
10
cos 0 90
10
  
   
Calcular: cscL ctg  
02. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”)
reducir:
03. En un triángulo rectángulo ABC recto en B.
Reducir: 𝐸 = 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝑠𝑒𝑐𝐶 + 𝑠𝑒𝑛𝐶 𝑠𝑒𝑐𝐴
04. Si: sec 7x 
05. En un triángulo 𝐴𝐵𝐶 recto en 𝐶 se tiene que 𝑎 +
𝑐 = 2.
06. Del gráfico hallar:
08. A partir de la figura mostrada, calcular:
𝑁 = 𝑡𝑔𝛼 + 𝑡𝑔𝛽
09. Si:
3
sec
3
 

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10. De la figura, calcular:
11. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos
12. Dos antenas de radio están sujetas al suelo por
cables tal como indica la figura. Calcula la longitud
de cada uno de los tramos de cable y la distancia
AE.
13. Cuando los rayos del sol
forman 40° con el suelo, la
sombra de un árbol mide 18 m.
¿Cuál es su altura?
14. Una escalera de 3 m está
apoyada en una pared. ¿Qué
ángulo forma la escalera con el
suelo si su base está a 1,2 m de la
pared?
15. Calcula la altura, h, de los siguientes triángulos:
BIBLIOGRAFÍA
Espinoza, E. (2007). Análisis matemático I para
estudiantes de ciencias e ingeniería. Lima: Servicios
Gráficos.
Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra
Universitaria. Mexico D.F: Continental.
Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y
principios del análisis. Lima: Lumbreras.
REFERENCIA
http://www.luiszegarra.cl/moodle/mod/resource/vi
ew.php?id=24
http://www.migueltarazonagiraldo.com/
http://www.luiszegarra.cl/moodle/
http://www.curiosfera.com/historia-de-los-
numeros/
https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagirald
o/historia-de-los-nmeros-79492383
VIDEO
https://www.youtube.com/watch?v=xmJiBMylH3A

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