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- 1. • Definición de ángulo • Definición de razones trigonométricas • Relación entre las razones trigonométricas • Circunferencia trigonométrica • Sistema de medición de ángulos • Signos de las razones trigonométricas • Reducción al primer cuadrante • Resolución de ecuciones trigonométricas • Resoluciòn de triangulos • Ejercicios
- 2. ANGULO ORIENTADO • Se trata de un ángulo engendrado por la rotación de una semirrecta alrededor de su extremo • La posición inicial se llama lado inicial, 𝑂𝐴. la posición final, lado terminal 𝑂𝐵 • El punto fijo se llama Vértice 𝑶 • Si la rotación se realiza en sentido anti horario, el ángulo se considera positivo, en caso contrario negativo • Los ángulos orientados s pueden representar en un sistema de referencia: un par de ejes x e y llamados ejes cartesianos ortogonales inicio
- 3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS • Si tomamos un ángulo 𝛼 y en el lado terminal consideramos un punto 𝑃 = (𝑥; 𝑦) al vector 𝑂𝑃 lo denominamos radio vector 𝑟 cuya medida se puede obtener aplicando Teorema de Pitágoras • → 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 • Definición de las tres primeras razones trigonométricas: • SENO: cociente o razón entre la ordenada del punto P y el radio vector 𝒔𝒆𝒏(𝜶) = 𝒚 𝒓 • COSENO: cociente o razón entre la abscisa del punto P y el radio vector 𝒄𝒐𝒔(𝜶) = 𝒙 𝒓 • TANGENTE: cociente o razón entre la ordenada y la abscisa del punto P 𝒕𝒂𝒈(𝜶) = 𝒚 𝒙 𝑷 = (𝒙; 𝒚) IR A LOS EJERCICIOS inicio
- 4. Sistemas de medición de ángulos 100G 400G 300G 200G I cuadrante IV cuadrante II cuadrante III cuadrante IR A LOS EJERCICIOS inicio Sistema sexagesimal mide en grados minutos y segundos la amplitud de los ángulos El ángulo de un giro mide 360º Sistema circular Mide el arco que el ángulo determina sobre una circunferencia de radio 1 El ángulo de un giro determina un arco que mide 2π
- 5. Pasaje de a circular 𝑈𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 360° 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 𝑢𝑛 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑑𝑒 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 180° 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 𝜋 𝑟𝑎𝑑 si 𝛼 = 30° → → 𝛼 = 30°. → 𝛼 = 1 6 𝜋 si 𝛼 = 3 4 → 𝛼 = 3. 4 → 𝛼 = 135° IR A LOS EJERCICIOS inicio
- 6. Relaciones entre las razones trigonométricas • Teniendo en cuenta las definiciones de SENO y COSENO se demostrar que: • Cuando hablamos de razones trigonométricas recíprocas nos referimos: • Cocientes entre razones trigonométricas 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 = 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝜶 = 𝒚 𝒓 𝒓𝒆𝒄í𝒑𝒓𝒐𝒄𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝜶 = 𝒓 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒙 𝒓 𝒓𝒆𝒄í𝒑𝒓𝒐𝒄𝒐 𝒔𝒆𝒄 𝜶 = 𝒓 𝒙 𝒕𝒂𝒈 𝜶 = 𝒚 𝒙 𝒓𝒆𝒄í𝒑𝒓𝒐𝒄𝒐 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒈 𝜶 = 𝒙 𝒚 𝒔𝒆𝒏 𝜶 . 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝜶 . 𝒔𝒆𝒄 𝜶 = 𝒕𝒂𝒈 𝜶 . 𝒄𝒐𝒕𝒂𝒈 𝜶 = inicio 𝑡𝑎𝑔𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 1+cotg2 (x)=cosec2 (x) Tag2 (x)+1 = sec2 (x)
- 7. Identidades Trigonométricas • Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen razones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas • Verificar una identidad La operatoria para el desarrollo de la verificación tiene tres variantes, en general cada profesor recomienda una o mas de los tres formas que paso a detallar: • Partiendo del primer miembro se llega al segundo por aplicación de operatoria y reemplazo de identidades. • Partiendo del segundo miembro se llega al primero por aplicación de operatoria y reemplazo de identidades. • Se opera con los dos miembros por aplicación de la operatoria y el reemplazo de identidades hasta llegar a una igualdad evidente. • En esta clase de ejercicios nunca se realiza pasaje de términos de un miembro a otro de la igualdad, en consecuencia, los términos siempre permanecen en el miembro en que se originaron • En la verificación de identidades, el método de resolución se basa en todos los casos en la aplicación de las seis identidades fundamentales, a saber: 1cossen)1 22 cos sen tg)2 sen cos gcot)3 cos 1 sec)4 sen 1 eccos)5 tg g 1 cot)6 IRALOS EJERCICIOS inicio
- 8. Circunferencia trigonométrica • En un sistema de ejes cartesianos se representa una circunferencia con centro en el punto (0 ; 0 ) y radio r = 1 • Los ejes determinan 4 regiones llamadas «CUADRANTES» que e enumeran en sentido anti horario • Cuando representamos un ángulo en estas circunferencia el extremo del lado terminal tiene coordenadas : 𝑥; 𝑦 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚 𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = cos(𝛼) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) ya que: cos 𝛼 = 𝑥 𝑟 , 𝑟 = 1 cos 𝛼 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 sen 𝛼 = 𝑦 𝑟 , 𝑟 = 1 sen 𝛼 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 y inicio Has clip si quieres ver como funciona una circunferencia trigonométrica 2º cuad. 1º cuad. 4º cuad.3º cuad.
- 9. Signo de las razones trigonométricas geo gebraSI trigonomètico.ggb Cuadrantes Signo de: I II III IV x y 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑦 𝑟 cos 𝛼 = 𝑥 𝑟 𝑡𝑎𝑔 𝛼 = 𝑦 𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝛼 = 𝑥 𝑦 sec 𝛼 = 𝑟 𝑥 csc 𝛼 = 𝑟 𝑦 IR A LOS EJERCICIOS inicio
- 10. Definición. Esta reducción es el procedimiento mediante el cual se determinan las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otro que si lo sea recurso: http://tube.geogebra.org/m/1325997 sen cos𝛼cos𝛽 sen •Indicar los segmentos correspondientes al seno y el coseno de 𝛽 𝑦 𝛼 . •Observa y compara •Conclusión: •Ejemplo: .𝛽 𝑒𝑠 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝐼𝑐 •D𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝛼 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑐 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃′ 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑎 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑃(𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝛽) •𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝛽 𝑒𝑛 función de 𝛼 inicio 𝛽 = 180º − 𝛼 𝑠𝑒𝑛 180º − 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠 180º − 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠𝛼
- 11. • 𝛽 𝑒𝑠 𝑢𝑛 á𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝐼𝐼𝑐 • Determinar el del Ic • D𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝛽 𝑒𝑛 función de 𝛼 sen sen cos𝛽 cos𝛼 • Indicar cuales son los segmentos correspondientes al seno y el coseno de 𝛽 𝑦 𝛼 • Conclusión 𝑠𝑒𝑛 180º + 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠 180º + 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠𝛼 inicio 𝛽 = 180º + 𝛼
- 12. •𝛽𝑒𝑠 𝑢𝑛 á𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑉𝑐 •Determina el ánulo 𝛼 del Ic •D 𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝛽 𝑒𝑛 función de 𝛼: •Indicar los segmentos correspondientes al seno y el coseno de 𝛽 𝑦 𝛼 •Observa y copara •Conclusión: sensen cos𝛼 cos𝛽 inicio 𝛽 = 360º − 𝛼 𝑠𝑒𝑛 360º − 𝛼 = −𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠 360º − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼
- 13. Resolución de triángulos Triángulos rectángulos PITAGORA H2 = C2 + C2 RAZONES TRIGONOMÈTRICAS 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝐶𝑂 𝐻 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐶𝐴 𝐻𝑡𝑎𝑔𝛼 = 𝐶𝑂 𝐶𝐴 Triángulos oblicuángulos 𝑨 𝑩 C TEOREMA DEL SENO 𝑨 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝑩 𝒔𝒆𝒏𝜷 = 𝑪 𝒔𝒆𝒏𝝋 TEOREMA DEL COSENO 𝑨 𝟐 = 𝑩 𝟐 + 𝑪 𝟐 − 𝟐𝑩. 𝑪. 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑩 𝟐 = 𝑨 𝟐 + 𝑪 𝟐 − 𝟐𝑨. 𝑪. 𝒄𝒐𝒔𝜷 𝑪 𝟐 = 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐 − 𝟐𝑨. 𝑩. 𝒄𝒐𝒔 𝛼 𝛽 𝜑 𝛼CO H CA inicio
- 14. Resolución de triángulos rectángulos •
- 15. Resolución de triángulos oblicuángulos c = 23 cm f 15º =20º b ab
- 16. C = 15cm b = 4cm a = 13cm • Determinar le valor de los ángulos interiores del siguiente triángulo Cálculo de Cálculo de b Cálculo de j
- 17. 1) Utiliza las relaciones establecidas entre las mediciones de ángulos en sistemas sexagesimal y radial para Completa la información inicio
- 18. EJERCITACIÓN • Pasa a sistema circular- • Obtener el valor de las razones trigonométricas
- 19. Calculo de las razones trigonométricas 2) Ejercicios para usar la calculadora • Utilizando la calculadora, halla las siguientes rezones trigonométricas redondeando a 4 decimales: sen 34º 35’ 57” cos 85º 7’ 23” tg 87º 33” sen 43º 35’ •Utilizando la calculadora, halla los ángulos (en grados y en radianes) de las siguientes razones trigonométricas: sen = 0,3456 cos = 0,5555 tg = 1,4572 cos = 0,25 sen = 0,0525 3) Ejercicios para la obtención de las razones trigonométricas dada las coordenadas del un punto en el lado terminal 4) Obtener el valor de las razones trigonométricas de los ángulos de 0º 90º 180º 270º inicio 5) Obtener el valor exacto de las razones trigonométricas de los ángulos de 30º 45º 60º
- 20. 6) Elije la respuesta correcta a) Simplificar: A = 5 cos 90° + 3 sen 90° – 5 cos 0° + 6 cos 360° A)1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A. b) Simplificar: Q = A) 0 B) 2 C) 3 D) 8 E) N.A. c) Reducir: E = L + I Siendo: L = 3 tan 180° – 3 cos 180° – sen 270° I = 2 sen 90° + 4 ctg 270° – sec 180° A)4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 d)Simplificar: R=(a + b)2 . cos 0° + a2 . sen 0° + b2 . cos 270°+ (a – b)2. sen270° A)a + b C) ab B) a – b D) a/b E) N.A. e) Calcular: C = E – L Siendo: E=a2.sen290° + b2 .cos 0° – 2ab.sen 270° L = a2 .sen290° +2ab .cos 180° +b2 .cos3360° A)2ab B) 4ab C) 3ab E) N.A. D) 6ab 180690cos29030cos5 360cos4270180cos2903 sensen sensen
- 21. 6) Observa los ejemplos y verifica las siguientes Identidades • Ejemplo1: 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑡𝑔𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝒔𝒆𝒏𝜶 • Ejemplo 2: 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑡𝑔𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑒𝑐𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜶 • Ejercicios: • senα secα = tgα • senα cotgα = cosα • senα tgα+ cosα = secα • cosecα - senα = cotgα cosα • (senα+ cosα)2 + (senα - cosα)2 = 2 • tgα + cotgα= secα cosecα • (1+ tg2α) cos2α = 1 • (senα+cosecα)2 = sen2α + cotg2α+ 3 • (1 + cotg2α) sen2α = 1 • • • ec sen g cos cos1 cot cos tggcot eccos cos 11 cos sen ctg sen tg inicio
- 22. 7) DADO EL VALOR DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA, CALCULAR EL VALOR DE LAS DEMÁS: Ejemplo • Calcula las demás funciones trigonométricas de α, sabiendo que 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 12 13 y que es 𝛼 del Ic • Si 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 12 13 𝑟𝑒𝑐í𝑝𝑟𝑜𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 = 13 12 • Calculo del coseno • 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + cos2 𝑥 = 1 • 12 13 2 + cos2 𝑥 = 1 • 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 25 169 • 𝛼 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 5 13 𝑟𝑒𝑐í𝑝𝑟𝑜𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 13 5 • Calculo de la tangente • tg 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 • tg 𝛼 = 12 13 : 5 13 • tg 𝛼 = 12 5 𝑟𝑒𝑐í𝑝𝑟𝑜𝑐𝑜 𝑐𝑡𝑔𝛼 = 5 12 a) Ejercicios aplicando las elaciones básicas • 𝑠𝑒𝑛𝛼 = − 3 5 y 𝛼 del IIIc • co𝑠𝛼 = 3 2 y 𝛼 del IVc • 𝑠𝑒𝑐𝛼 = −2 y 𝛼 del IIIc • co𝑠𝑒𝑐𝛼 = 5 2 y 𝛼 del Iic • b) Demostrar que: 𝑡𝑔2 𝛼 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛼 partiendo de la relación fundamental y luego calcular el seno del ángulo sabiendo queinicio .y 5 34 - c IVCsc c IVcon 12 5 tg
- 23. 8) Aplica las relaciones establecidas para reducir al primer cuadrante a) Calcular el valor de las funciones trigonométricas principales para los ángulos: 150° = (180° - 30°) 240° 2880° 225° 420° 3 p/ 4 5/6 p 135° = (180° - 45°) 315° = (360 ° - 45°) b) Si V = sen 480° + cos 480° E = tg 585° . cot 585° Hallar el valor de: (V + E)2 A) (2 – 3 ) / 2 C) 3 / 2 B) (2 + 3) / 2 D) – 3/ 2 E) NRA c) Calcular: E = A)1 B) –1 C) 2 D) –2 E) 1/2 d) Reducir: M = A)(1 + cos ) B) tg (1 + sen ) C) sen2 (1 + cos ) D) sec (1 – cos ) E) (1 – cos ) e)Simplificar: E = sen(360° + ) + cos . cos (90° – )+ sen (90° – ) . sen (360° – ) A) –sen B) sen C) cos D) –cos E) NRA )(csc )2(sen)(tg p pp 330cot.337cos.315csc.300cos 157cos.240tg.225sec.210sen
- 25. 9) Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas a) 2sen x – 1 = 0 b) cos x + 1 2 = 0 c) 3sen x = 4 d) -1+3(cos x + 2) = cos x + 6 e) 2 Sen2 x + Cos x = 1 f) 2 Sen x + Cosec x = 2 g) 2 Cos2 x – 3 Sen2 x = 0 h) Sen x – 2 Sen x . Cos x = 0 i) 2 Sec x = Tag x + Ctg x inicio