El documento presenta ejercicios de álgebra que involucran ecuaciones de rectas y sus pendientes. En el Ejercicio 43, se pide determinar la ecuación de una recta a partir de tres puntos dados. En el Ejercicio 48, se calculan las pendientes de dos rectas para determinar si son paralelas. En el Ejercicio 49, se calculan las pendientes para determinar si dos rectas son perpendiculares. Finalmente, se definen las mediatrices y bisectrices geométricas.

1. Ejercicio 43
b) Lo mejor es dibujar la situación: c) Lo mejor es dibujar la situación
:
Así vemos que la recta buscada pasa por los Así vemos que la recta buscada pasa por los
Puntos (-1,4), (2,4) , (0,4) , … es decir, la puntos (-1,4), (-1,5), (-1,0), (-1,-4),… es
coordenada Y siempre es 4. Por lo tanto la decir, la coordenada X siempre es -1. Por lo tanto
ecuación es Y=4 la ecuación es X= -1
Ejercicio 48.
Como las rectas son paralelas, deben tener la misma pendiente. Por lo tanto calculamos la pendiente de r
y la de s. Os recuerdo que la pendiente de una recta es el coeficiente de la x cuando la y está despejada.
Por lo tanto vamos a despejar la y en ambas ecuaciones:
r: (2k – 2) x + 2k= y. Por lo tanto mr= 2k – 2
−( k −1) x +17 − ( k −1)
s: (k+1) y = - (k -1)x +17 ; y= . Por lo tanto ms=
( k +1) ( k +1)
Ahora igualamos las pendientes, al ser las rectas paralelas
− ( k −1)
= 2k – 2 −( k −1) = ( k +1) (2k – 2) - k + 1 = 2k 2 – 2k + 2k – 2 - k + 1 = 2k 2 –
( k +1)
2
−1 + 5
k= =1
4
−1 ± 12 − 4.2.(-3) −1 ± 1 + 24 −1 ± 5
2k2 + k – 3 = 0 k= k= k=
2.2 4 4
−1 − 5
k= =
4
−3
2
Ahora se debe sustituir k=1 en las dos ecuaciones r y s y comprobar si son paralelas. Después de esta
−3
comprobación, se hace lo mismo con k= y se mira si r y s son paralelas para este valor.
2
Ejercicio 49.
−1
Como las rectas son perpendiculares, la relación entre las pendientes son: mr= . Por lo tanto
mr
calculamos la pendiente de r y la de s (la pendiente de una recta es el coeficiente de la x cuando la “y”
está despejada). Vamos a despejar la “y” en ambas ecuaciones:
(k −1)x + 2k (k −1)
r: (k – 1)x + 2k =2y ; y= . Por lo tanto, mr=
2 2
s: y= – (3k – 4) – k2 ; Por lo tanto ms= – (3k – 4)
−1 (k −1) −1
Ahora sustituimos estos valores en la expresión mr= =
mr 2 − (3k − 4)

2. – (3k – 4) . (k – 1) = –2 – 3k2+3k + 4k –4 = –2 – 3k2+7k – 2 =0 3k2 – 7k + 2 = 0
7 +5 12
k= = =2
6 6
7 ± (-7) 2 − 4.3.2 7 ± 49 − 24 7 ±5
k= k= k=
2.3 6 6
7 −5 2 1
k= = =
6 6 3
Ahora se debe sustituir k=2 en las dos ecuaciones r y s y comprobar si son perpendiculares. Después de
1
esta comprobación, se hace lo mismo con k= y se mira si r y s son perpendiculares para este valor.
3
LUGARES GEOMÉTRICOS
MEDIATRICES:
La mediatriz de un segmento AB es la perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Os
recuerdo que el punto medio de un segmento de extremos de coordenadas conocidas Q(x1,y1) y R(x2,y2)
 x 1 + x 2 y1 + y 2 
se calcula: PM=  , 
 2 2 
En términos de distancias, si P(x,y) (de coordenadas desconocidas) es un punto de la
mediatriz, se cumple que la distancia del punto P al extremo A es la misma que la
distancia del punto P al extremo B.
Es decir d(P,A)=d(P,B)
BISECTRICES
Es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
Dicho en forma de distancias, las bisectrices verifican que la distancia
desde un punto cualquiera de la misma a cualquiera de las dos rectas,
es la misma.
Es decir d(P,r)=d(P,s)