Este documento describe el proceso de transformar un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden a coordenadas normales utilizando la transformación de Laplace. Explica que las ecuaciones de estado del sistema se pueden escribir en forma matricial y luego aplicar la transformación de Laplace para encontrar las coordenadas normales. Proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de transformar una ecuación diferencial de segundo orden homogénea a coordenadas normales.

1. Universidad Tecnol´ogica de Pereira, Ingenier´ıa F´ısica, ISSN 0122-1701, 1
MEC´ANICA CL´ASICA
TRANSFORMACI ´ON A COORDENADAS NORMALES
Autores: Dayan Steban Giraldo Santamaria1
, Omar Acosta2
.
dayangiraldo-1995@utp.edu.co1
oacosta@utp.edu.co2
Ingenier´ıa F´ısica, Universidad Tecnol´ogica De Pereira, Colombia
Modelo lineal de una ecuaci´on diferencial de segundo
orden:
m
d2
y
dt2
+ b
dy
dt
+ ky = u (t)
Teniendo en cuenta que el tiempo esta impl´ıcito en el
plano de fase, las ecuaciones de estado son:
˙x1 = x2
m ˙x2 + bx2 + kx1 = u (t)
se pueden escribir de forma matricial:
˙x1
˙x2
=
0 1
− k
m − b
m
x1
x2
+
0
1
u (t)
˙−→
X = [A]
−→
X +
−→
b u (t)
Utilizando Laplace para la transformaci´on a coordena-
das normales se tiene:
S
−→
X (s) −
−→
X (0) = [A]
−→
X (s) +
−→
b u (s)
Ahora, despejando el vector en en coordenadas norma-
les se llega a:
−→
X (s) = {s [I] − [A]}
−1−→
X (0) + {s [I] − [A]}
−1−→
b u (s)
−→
X (s) = e[A]t−→
X (0) +
∞
0
e[A](t−τ)−→
b u (τ) dτ
Ejemplo: se tiene la siguiente ecuaci´on diferencial li-
neal de segundo orden homog´enea:
d2
y
dt2
+ 3
dy
dt
+ 2y
Condiciones iniciales:
x(0) =
0
1
Se define los siguientes par´ametros que formaran las
ecuaciones de estado:
x1 = y
x2 = ˙y
˙x1 = x2 (1)
reemplazando en la E.D de ejemplo:
˙x2 + 3x2 + 2x1 = 0 (2)
Las ecuaciones de estado (1) y (2) se pueden escribir
de forma matricial:
˙x1
˙x2
=
0 1
−2 −3
x1
x2
˙−→
X = [A]
−→
X
Se aplica Laplace al sistema matricial para encontrar
las coordenadas normales, que son unas coordenadas
virtuales del sistema:
S
−→
X (s) −
−→
X (0) = [A]
−→
X (s)
−→
X (s) = {s [I] − [A]}
−1−→
X (0)
Se realizan algunos calclos para hallar
−→
X(s):
{S[I] − [A]} =
s 1
2 s + 3
Aplicando la siguiente identidad para calcular la inver-
sa de una matriz A
A =
a b
c d
A−1
=
d b
c b
ad + bc
{S[I] − [A]}
−1
=
s + 3 1
2 s
s2 + 3s + 2
Las coordenadas noormales del sistema son:
−→
X(s) = {S[I] − [A]}
−1
x(0) =
s+3
s2+3s+2
2
s2+3s+2
Aplicando Laplace inversa se hallan las coordenadas
f´ısicas del sistema:
L {
−→
X(s)} =
−→
X(t) =
L { s+3
s2+3s+2 }
L { 2
s2+3s+2 }
L {
s + 3
s2 + 3s + 2
} = 2e−t
− e−2t
L {
2
s2 + 3s + 2
} = −2e−t
+ 2e−2t
Las coordenadas f´ısicas de la E.D son:
−→
X(t) =
x1(t)
x2(t)
=
2e−t
− e−2t
−2e−t
+ 2e−2t
Referencias
[1] H. Goldstein MEC´ANICA CL´ASICA, E. 2, Edi-
torial Reverte S.A, 1987.
[2] J.Marion, DIN´AMICA CL´ASICA DE LAS
PART´ICULAS Y SISTEMAS,E.1, Editorial Re-
verte S.A,1981