Este documento presenta un simulacro de una prueba de geometría analítica en el plano para 4o ESO. Contiene 7 preguntas sobre vectores, rectas y puntos en el plano cartesiano, así como instrucciones para los estudiantes. El tiempo máximo permitido para completar la prueba es de 55 minutos.

1. 4º ESO B- Matemáticas Académicas
Nombre y apellidos: ...................................................................................................................................
© Marta Martín Sierra
SIMULACRO
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO
INSTRUCCIONES SUGERENCIAS
(1) Las respuestas han de ser razonadas, y se valorarán los
procedimientos de resolución.
(2) En esta prueba se recomienda la calculadora.
(3) Cuida la presentación.
(4) Tiempo máximo: 55 minutos.
(1) Lee atentamente los enunciados varias veces.
(2) Dedica tiempo a pensar, para luego poder plantear, escoger la
estrategia adecuada, resolver y analizar críticamente los resultados.
(3) Comprueba siempre los resultados para ver si contestas a lo que
se te pregunta.
CUESTIONES
01. (1.5 puntos) Dados los vectores u
r
= (– 2, 1) y v
r
= (4, – 5), calcula:
(a) |2u
r
+ 3v
r
| (b) |7u
r
– 2v
r
| (c) u
r
· v
r
02. (1.25 puntos) Dado el vector u
r
= (− 1, 6), halla:
(a) El valor de k para que w
r
= (2, k) sea paralelo a u
r
(b) El valor de k para que w
r
= (1, k) sea perpendicular a u
r
03. (1.25 puntos) Halla el ángulo que forman las rectas:
r ≡



−=
+−=
ty
tx
3
5
s ≡



+−=
−=
ty
tx
32
46
04. (1 punto) Dado los puntos A (– 1, 3) y B (2, – 1), determina:
(a) La distancia entre los puntos A y B.
(b) El punto medio del segmento AB
05. (2 puntos) Calcula 4 ecuaciones diferentes de la recta (señalando el nombre específico
que recibe cada forma de expresarse), que pasa por el punto A (– 3, 1) y que tiene por
vector director BC, siendo B (1, 2) y C (3, 5).
06. (1.75 puntos) Sea s la recta que pasa por P (− 2, 5) y es perpendicular a la recta:
r ≡ 3x − 2y + 1 = 0.
(a) (0.75 puntos) Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta "s".
(b) (1 punto) Estudia la posición relativa de la recta "s" con la recta t ≡ x + y – 2 = 0
07. (1.25 puntos) Sea r ≡ 6x – y + 1 = 0, calcula la ecuación general de la recta "s" paralela a
"r" que pasa por el punto A (1, 2).
TIEMPO MÁXIMO: 55 MINUTOS
Mayo
222017
Calificación

2. 01. (1.5 puntos) Dados los vectores u
r
= (– 2, 1) y v
r
= (4, – 5), calcula:
(a) |2u
r
+ 3v
r
| (b) |7u
r
– 2v
r
| (c) u
r
· v
r
RESOLUCIÓN:
(a) |2u
r
+ 3v
r
|
2u
r
+ 3v
r
= 2·(– 2, 1) + 3·(4, – 5) =
= (– 4, 2) + (12, – 15) =
= (– 4 + 12, 2 – 15) =
= (8, – 13)
|2u
r
+ 3v
r
=
22
138 + = 233 ≅ 15.26 unidades
(b) |6u
r
– 2v
r
|
6u
r
– 2v
r
= 6·(– 2, 1) – 2·(4, – 5) =
= (– 12, 6) – (8, –10) =
= (– 12 – 8, 6 – (–10)) =
= (– 20, 16)
|6u
r
– 2v
r
|=
22
1620 + = 656 = 4 41 unidades
(c) u
r
· v
r
= u1 · v1 + u2 · v2
u
r
· v
r
= (– 2, 1) · (4, – 5) =
= (– 2) · 4 + 1 · (– 5) =
= – 8 – 5 =
= – 13
02. (1.25 puntos) Dado el vector u
r
= (− 1, 6), halla:
(a) El valor de k para que w
r
= (2, k) sea paralelo a u
r
(b) El valor de k para que w
r
= (1, k) sea perpendicular a u
r
RESOLUCIÓN:
(a) El valor de k para que w
r
= (2, k) sea paralelo a u
r
w
r
|| u
r
(2, k) || (− 1, 6)
Condición de paralelismo:
1
2
−
=
6
k
12 = – 1k
k = – 12
k = – 12
Para que sean paralelos, k = – 12
(b) El valor de k para que w
r
= (1, k) sea perpendicular a u
r
w
r
⊥ u
r
(1, k) ⊥ (− 1, 6)
Condición de perpendicularidad: el producto escalar es cero
w
r
· u
r
= 0
(1, k) · (− 1, 6) = 0
– 1 + 6k = 0
6k = 1

3. 4º ESO B- Matemáticas Académicas
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k = 1/6
Para que sean perpendiculares, k = 1/6
03. (1.25 puntos) Halla el ángulo que forman las rectas:
r ≡



−=
+−=
ty
tx
3
5
s ≡



+−=
−=
ty
tx
32
46
cos α =
||·||
|·|
sr
sr
rr
rr
Si vemos el ángulo que forman sus vectores directores, ya tenemos el ángulo que
forman dichas rectas.
Vectores directores:
r
r
= (1, – 1)
s
r
= (– 4, 3)
Sea α el ángulo que forman r
r
y s
r
r
r
· s
r
=
= 1 · (− 4) + (− 1) · 3 = − 4 – 3 = − 7
cos α =
2222
34·11
|7|
++
−
cos α =
25·2
7
cos α =
10
27
α = arc cos
10
27
El
El ángulo que forman las dos rectas r y s, es de 8º 7' 48.37''
04. (1 punto) Dado los puntos A (– 1, 3) y B (2, – 1), determina:
(a) La distancia entre los puntos A y B.
(b) El punto medio del segmento AB
RESOLUCIÓN:
(a) La distancia entre los puntos A y B.
d (A,B) = | AB |
Calculamos AB
AB =
= (2, – 1) – (– 1, 3) =
= (3, – 4)

4. | AB | = 22
43 +
| AB | = 25 = 5 unidades
La distancia entre los puntos A y B es de 5 unidades.
(b) El punto medio del segmento AB .
A (– 1, 3) y B (2, – 1)
M 




 −+−
2
13
,
2
21
= M 





2
2
,
2
1
= M 





1,
2
1
Coordenadas del punto medio: M 





1,
2
1
05. (2 puntos) Calcula 4 ecuaciones diferentes de la recta (señalando el nombre específico
que recibe cada forma de expresarse), que pasa por el punto A (– 3, 1) y que tiene por
vector director BC, siendo B (1, 2) y C (3, 5).
RESOLUCIÓN:
Determinamos el vector director BC:
BC = (2, 3)
(x, y) = (a, b) + k BC
(x, y) = (– 3, 1) + k (2, 3) Ecuación vectorial
(x, y) = (– 3, 1) + (2k, 3k)
(x, y) = (– 3 + 2k, 1 + 3k)
x = – 3 + 2k
y = 1 + 3k
Ecuaciones paramétricas
Despejamos la k x + 3 = 2k
k =
2
3+x
y – 1 = 3k
k =
3
1−y
2
3+x
=
3
1−y
Ecuación continua
3 · (x + 3) = 2 ·(y – 1)
3x + 9 = 2y – 2
3x – 2y + 11 = 0 Ecuación general
06. (1.75 puntos) Sea s la recta que pasa por P (− 2, 5) y es perpendicular a la recta:
r ≡ 3x − 2y + 1 = 0.
(a) Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta "s".
(b) Estudia la posición relativa de la recta "s" con la recta t ≡ x + y – 2 = 0
RESOLUCIÓN:
(A) Conocemos el punto por el que pasa P (− 2, 5)
(B) Necesitamos conocer el vector director de la recta r:
r ≡ 3x − 2y + 1 = 0
n
r
r = (3, − 2)
s
r
= (3, − 2)
P (−2, 5)
n
r
s = (2, 3)
s

5. 4º ESO B- Matemáticas Académicas
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Sabemos el vector normal de r es (3, – 2)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto P (− 2, 5)
El vector director de “s” coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
El vector director de s es (3, – 2) → s
r
= (3, – 2)
Luego, ya tenemos un punto de la recta P (− 2, 5) y vector director s
r
= (3, – 2)
x = −2 + 3k
y = 5 – 2k Ecuaciones paramétricas
(b) Estudia la posición relativa de la recta "s" con la recta t ≡ x + y – 2 = 0
Para resolver el sistema de las dos ecuaciones, vamos a obtener sus ecuaciones generales:
Recta s:
Método directo a partir de las ecuaciones paramétricas:
x = −2 + 3k
y = 5 – 2k
Ecuaciones paramétricas de s
3
2+x
=
2
5
−
−ý
Ecuación continua de la recta s
– 2 · (x + 2) = 3·(y – 5)
– 2x – 4 = 3y – 15
s ≡ – 2x – 3y + 11 = 0 → s ≡ 2x + 3y – 11 = 0 Ecuación general de la recta s
Método sin partir de ecuaciones paramétricas:
Sabemos el vector normal de r → (3, – 2)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto P (– 2, 5)
El vector director de “s” coincide con el vector normal de r, porque son perpendiculares.
El vector director de s es (3, – 2)
El vector normal de s es (2, 3)
s ≡ 2x + 3y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto P (– 2, 5)
2 · (– 2) + 3 · 5 + C = 0
– 4 + 15 + C = 0 → C = – 11
s ≡ 2x + 3y – 11 = 0
2x + 3y = 11
r ≡ 3x − 2y + 1 = 0
n
r
r = (3, − 2)
s
r
= (3, − 2)
P (−2, 5)
n
r
s = (2, 3)
s

6. Recta t
t ≡ x + y – 2 = 0 Ecuación general de la recta t
x + y = 2
Para estudiar la posición relativa de dos rectas, resolvemos el sistema formado por las mismas:



=+
=+
11y32x
2yx
→



=+
=−
11y32x
-4y22x-
y = 7
x + y = 2
x = 2 – 7
x = – 5
Son 2 rectas que se cortan en el punto (– 5, 7)
07. (1.25 puntos) Sea r ≡ 6x – y + 1 = 0, calcula la ecuación general de la recta "s" paralela a
"r" que pasa por el punto A (1, 2).
RESOLUCIÓN:
Sabemos el vector normal de r → n
r
r = (6, – 1)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto A (1, 2) y tiene como
vector normal el mismo que r porque son paralelas.
Como el vector normal de r es (6, – 1)
El vector normal de s es (6, – 1)
s ≡ 6x – y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A (1, 2)
6· 1 – 2 + C = 0
4 + C = 0
C = – 4
s ≡ 6x – y – 4 = 0
r ≡ 6x – y + 1 = 0
n
r
r = (6, – 1)
A (1, 2)
n
r
s = (6, – 1)
s