Este documento describe vectores en 3D. Explica cómo representar vectores geométricamente, calcular su magnitud y dirección. También cubre cómo sumar y multiplicar vectores por escalares, y calcular el producto escalar y vectorial entre vectores. Finalmente, muestra cómo usar vectores para calcular el área de un paralelogramo y el volumen de un paralelepípedo.
El documento presenta tres ejercicios sobre vectores. En el primero, se demuestra que tres vectores dados (a, b, c) son ortogonales calculando su producto escalar. En el segundo, se determina mediante el producto mixto que un conjunto de tres vectores (u, v, w) es linealmente dependiente. En el tercero, se buscan los valores de n1 y n2 para que un vector z sea ortogonal a otros dos vectores a y b.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
Este documento trata sobre desigualdades lineales, cuadráticas y con fracciones. Explica las leyes de las desigualdades y cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante la factorización y el uso de la recta numérica para determinar los intervalos de solución. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
Este documento presenta las soluciones a varios problemas de álgebra lineal. En el primer problema, se evalúan varias proposiciones como verdaderas o falsas. En el segundo problema, se construye un operador lineal con ciertas propiedades dadas. En el tercer problema, se determinan los valores y vectores propios de una matriz dada, así como la matriz ortogonal para su diagonalización.
Este documento presenta un libro interactivo sobre álgebra lineal, específicamente sobre vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. El libro incluye cuatro secciones principales: vectores, rectas y planos en el espacio, planos, y rotación de un punto alrededor de una recta. El autor es Walter Mora F. del Instituto Tecnológico de Costa Rica y la versión es 1.1 de agosto de 2011. El libro se distribuye gratuitamente bajo una licencia Creative Commons.
El documento explica cómo calcular la inversa de una matriz 2x2 y 3x3 usando el método de Gauss-Jordan. Primero se muestra el proceso para una matriz 2x2, reduciendo la matriz aumentada a la forma identidad. Luego se describe el mismo proceso para una matriz 3x3.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos utilizando una parametrización y el producto vectorial fundamental.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva elíptica en un plano.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Contiene definiciones de conceptos fundamentales como campo escalar, espacio vectorial, subespacio vectorial, combinación lineal, independencia lineal, base y dimensión. Explica propiedades como los teoremas del subespacio y de la unicidad del neutro. También cubre temas como coordenadas, cambio de base, espacios asociados a matrices y operaciones con subespacios.
El documento presenta tres ejercicios sobre vectores. En el primero, se demuestra que tres vectores dados (a, b, c) son ortogonales calculando su producto escalar. En el segundo, se determina mediante el producto mixto que un conjunto de tres vectores (u, v, w) es linealmente dependiente. En el tercero, se buscan los valores de n1 y n2 para que un vector z sea ortogonal a otros dos vectores a y b.
El documento presenta los conceptos básicos de las matrices, incluyendo su definición, dimensión, clases (cuadradas, triangulares, diagonales, identidad), igualdad, y operaciones (suma, multiplicación por escalares, multiplicación entre matrices). El objetivo es que los estudiantes aprendan a definir, identificar, aplicar operaciones y determinar la inversa de las matrices.
Este documento trata sobre desigualdades lineales, cuadráticas y con fracciones. Explica las leyes de las desigualdades y cómo resolver este tipo de ecuaciones mediante la factorización y el uso de la recta numérica para determinar los intervalos de solución. También incluye ejemplos resueltos paso a paso.
Este documento presenta las soluciones a varios problemas de álgebra lineal. En el primer problema, se evalúan varias proposiciones como verdaderas o falsas. En el segundo problema, se construye un operador lineal con ciertas propiedades dadas. En el tercer problema, se determinan los valores y vectores propios de una matriz dada, así como la matriz ortogonal para su diagonalización.
Este documento presenta un libro interactivo sobre álgebra lineal, específicamente sobre vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. El libro incluye cuatro secciones principales: vectores, rectas y planos en el espacio, planos, y rotación de un punto alrededor de una recta. El autor es Walter Mora F. del Instituto Tecnológico de Costa Rica y la versión es 1.1 de agosto de 2011. El libro se distribuye gratuitamente bajo una licencia Creative Commons.
El documento explica cómo calcular la inversa de una matriz 2x2 y 3x3 usando el método de Gauss-Jordan. Primero se muestra el proceso para una matriz 2x2, reduciendo la matriz aumentada a la forma identidad. Luego se describe el mismo proceso para una matriz 3x3.
1) Se calcula el área de la porción de un paraboloide limitada por dos planos utilizando una parametrización y el producto vectorial fundamental.
2) Se parametriza una superficie plana limitada por una curva elíptica en un plano.
3) Se calcula una integral de superficie sobre un cilindro circular recto.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Contiene definiciones de conceptos fundamentales como campo escalar, espacio vectorial, subespacio vectorial, combinación lineal, independencia lineal, base y dimensión. Explica propiedades como los teoremas del subespacio y de la unicidad del neutro. También cubre temas como coordenadas, cambio de base, espacios asociados a matrices y operaciones con subespacios.
El documento presenta 7 problemas de álgebra lineal resueltos por Ángel Guale. En el problema 1, clasifica dos proposiciones como verdaderas o falsas relacionadas a bases canónicas y subespacios vectoriales. En el problema 2, calcula coordenadas de vectores respecto a bases dadas y la matriz de cambio de base. En el problema 3, determina valores de k para que la dimensión de la imagen de una matriz sea 3 o 1.
1) Explica la diferencia entre un escalar y un vector, dando 3 ejemplos de cada uno. Un escalar solo tiene magnitud, mientras que un vector tiene magnitud y dirección. Ejemplos de escalares son la masa, energía y densidad. Ejemplos de vectores son la fuerza, aceleración y desplazamiento.
2) Resuelve operaciones con vectores mediante sumas, restas y multiplicaciones algebraica y gráficamente.
3) Determina la dirección y módulo de vectores dados.
I trabajo extraclase I trimestre decimoJorge Umaña
Trabajo extraclase para decimo año del Liceo de Aserrí
Representar gráficamente una circunferencia dado su centro y su radio
Representar algebraicamente una circunferencia dado su centro y su radio
Aplicar traslaciones a una circunferencia
Resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus representaciones
Determinar gráfica y algebraicamente si un punto se ubica en el interior o en el exterior de una circunferencia
Este documento presenta la resolución de un ejercicio sobre sistemas eléctricos modelados por ecuaciones diferenciales. Se halla la función de transferencia H(s) del sistema cuando la entrada es un impulso unitario. Luego, se calcula la carga q(t) cuando la entrada es un escalón de 300 voltios, y finalmente la corriente i(t) a partir de q(t). El proceso involucra aplicar transformadas de Laplace y sus propiedades para resolver las ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de los espacios vectoriales. En primer lugar, define un espacio vectorial como un conjunto que cumple con las propiedades de cierre bajo adición y multiplicación por escalares. Luego, introduce la noción de dependencia e independencia lineal de vectores y los sistemas generadores y bases. Finalmente, explica los subespacios vectoriales y cambios de base entre ellos.
Este documento presenta 31 preguntas y problemas sobre álgebra vectorial y teoría de campos. Las preguntas cubren temas como identificar magnitudes escalares y vectoriales, operaciones con vectores como suma, producto escalar y vectorial, y propiedades de campos como conservativos, irrotacionales y solenoidales. Los problemas implican aplicar estas nociones a casos concretos como fuerzas, campos escalares y vectoriales dados en diferentes sistemas de coordenadas.
Vectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentesArturo Iglesias Castro
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores, incluyendo: componentes de un vector, suma y resta de vectores utilizando componentes, regla del paralelogramo, asociatividad y conmutatividad de la suma, vectores y traslaciones, y un ejemplo de vectores y fuerzas aplicado a un barco en un canal. Contiene ejemplos interactivos para reforzar la comprensión de estos conceptos fundamentales sobre vectores.
El documento presenta 6 problemas de álgebra lineal. El Problema 1 pide calificar proposiciones como verdaderas o falsas. El Problema 2 involucra determinar si vectores pertenecen al núcleo o imagen de una matriz dada. El Problema 3 pide determinar los valores reales de una variable para que un sistema tenga infinitas, única o ninguna solución. Los Problemas 4 y 5 involucran subespacios vectoriales y sus propiedades. Finalmente, el Problema 6 pide hallar la matriz de cambio de base y coord
Este documento contiene la solución a un examen final de álgebra lineal con 4 problemas. El primer problema califica varias proposiciones como verdaderas o falsas. El segundo problema determina transformaciones lineales de polinomios. El tercer problema encuentra subespacios ortogonales y proyecciones. El cuarto problema determina si una matriz es diagonalizable.
I fase control ii ecuaciones en diferencias (3)ricardozegarra7
1. El documento describe la discretización de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales. Esto incluye representaciones generales y métodos para discretizar ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
2. Se presentan ejemplos de discretización de una ecuación diferencial de primer orden usando los métodos de Euler forward y Euler backward. Los ejemplos también incluyen implementaciones en MATLAB y LabVIEW.
3. Se explica cómo calcular las respuestas dinámicas y estáticas de un sistema a partir de su ecuación diferencial discretizada. También se describe
Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluidas sus definiciones, propiedades y ejemplos. Primero define un espacio vectorial y sus operaciones de suma y producto por escalar. Luego presenta varios ejemplos comunes de espacios vectoriales como Rn, los polinomios y las funciones reales. También introduce los conceptos de subespacio vectorial, dependencia e independencia lineal de vectores, y concluye con algunas propiedades importantes de los espacios vectoriales.
Transformaciones lineales y método de gauss.CharlesJMorris
En ésta presentación se hablará sobre todo lo relacionado a las Transformaciones Lineales, su relación con las Matrices y ejercicios explicativos del Método de Gauss-Jordan.
Este documento presenta varios problemas de cinemática y vectores resueltos. En resumen:
1) Se resuelven problemas de sumas y restas de vectores, cálculo de ángulos entre vectores y productos escalares.
2) Se plantean y resuelven problemas de movimiento rectilíneo uniforme y acelerado, incluyendo cálculos de distancias, tiempos y velocidades.
3) Se analizan gráficamente trayectorias de movimiento y se escriben las ecuaciones correspondientes.
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera Joe Arroyo Suárez
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable impartidas en la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional "Santiago Antunez de Mayolo". Incluye definiciones, ejemplos y problemas resueltos sobre ecuaciones diferenciales de variable separable y reductibles a variables separables.
Este documento presenta un análisis de campos vectoriales. Introduce campos vectoriales como funciones que asignan un vector a cada punto en el plano o espacio. Define campos vectoriales conservatorios como aquellos que son el gradiente de una función potencial. Presenta ejemplos de campos vectoriales en física como campos gravitacionales y de fuerzas eléctricas. Explica cómo determinar si un campo vectorial es conservatorio y calcular su función potencial asociada.
Este documento contiene la resolución de dos ejercicios de cálculo. El primero involucra aproximar linealmente el cambio en una función w respecto a cambios en x e y, y calcular el error cometido. El segundo determina si una esfera y un elipsoide son tangentes en un punto evaluando si sus gradientes son paralelos allí.
El documento presenta conceptos básicos de vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. Introduce vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Define el producto punto y la norma de un vector. Explica rectas en R3 y planos, incluyendo sus ecuaciones vectorial y normal. Cubre conceptos como paralelismo, perpendicularidad y distancias.
El documento presenta conceptos básicos de vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. Introduce vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Define el producto punto y la norma de un vector. Explica propiedades importantes de estas operaciones y cómo se representan y manipulan vectores, rectas y planos en R3. Finalmente, cubre temas como ángulos entre vectores, paralelismo, perpendicularidad, proyecciones y distancias.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en n dimensiones como definición, igualdad, operaciones, magnitud, vectores unitarios, vectores ortogonales, vectores ortonormales y combinación lineal. Explica cómo definir vectores en IRn, realizar operaciones como suma y multiplicación por escalares, calcular la magnitud de un vector, y determinar si vectores son ortogonales o ortonormales. También describe cómo expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en n dimensiones como definición, igualdad, operaciones, magnitud, vectores unitarios, vectores ortogonales, vectores ortonormales y combinación lineal. Explica cómo definir y operar con vectores en IRn, calcular su norma, determinar si son ortogonales o ortonormales, y expresar un vector como combinación lineal de otros.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores en R3 como parte de una sesión introductoria de matemática básica para ingeniería. Explica cómo representar puntos y vectores en R3, calcular la magnitud de un vector, y realizar operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También introduce ecuaciones para representar rectas y planos en R3.
El documento presenta 7 problemas de álgebra lineal resueltos por Ángel Guale. En el problema 1, clasifica dos proposiciones como verdaderas o falsas relacionadas a bases canónicas y subespacios vectoriales. En el problema 2, calcula coordenadas de vectores respecto a bases dadas y la matriz de cambio de base. En el problema 3, determina valores de k para que la dimensión de la imagen de una matriz sea 3 o 1.
1) Explica la diferencia entre un escalar y un vector, dando 3 ejemplos de cada uno. Un escalar solo tiene magnitud, mientras que un vector tiene magnitud y dirección. Ejemplos de escalares son la masa, energía y densidad. Ejemplos de vectores son la fuerza, aceleración y desplazamiento.
2) Resuelve operaciones con vectores mediante sumas, restas y multiplicaciones algebraica y gráficamente.
3) Determina la dirección y módulo de vectores dados.
I trabajo extraclase I trimestre decimoJorge Umaña
Trabajo extraclase para decimo año del Liceo de Aserrí
Representar gráficamente una circunferencia dado su centro y su radio
Representar algebraicamente una circunferencia dado su centro y su radio
Aplicar traslaciones a una circunferencia
Resolver problemas relacionados con la circunferencia y sus representaciones
Determinar gráfica y algebraicamente si un punto se ubica en el interior o en el exterior de una circunferencia
Este documento presenta la resolución de un ejercicio sobre sistemas eléctricos modelados por ecuaciones diferenciales. Se halla la función de transferencia H(s) del sistema cuando la entrada es un impulso unitario. Luego, se calcula la carga q(t) cuando la entrada es un escalón de 300 voltios, y finalmente la corriente i(t) a partir de q(t). El proceso involucra aplicar transformadas de Laplace y sus propiedades para resolver las ecuaciones diferenciales.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de los espacios vectoriales. En primer lugar, define un espacio vectorial como un conjunto que cumple con las propiedades de cierre bajo adición y multiplicación por escalares. Luego, introduce la noción de dependencia e independencia lineal de vectores y los sistemas generadores y bases. Finalmente, explica los subespacios vectoriales y cambios de base entre ellos.
Este documento presenta 31 preguntas y problemas sobre álgebra vectorial y teoría de campos. Las preguntas cubren temas como identificar magnitudes escalares y vectoriales, operaciones con vectores como suma, producto escalar y vectorial, y propiedades de campos como conservativos, irrotacionales y solenoidales. Los problemas implican aplicar estas nociones a casos concretos como fuerzas, campos escalares y vectoriales dados en diferentes sistemas de coordenadas.
Vectores2 trabajo con vectores utilizando coordenadas y componentesArturo Iglesias Castro
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores, incluyendo: componentes de un vector, suma y resta de vectores utilizando componentes, regla del paralelogramo, asociatividad y conmutatividad de la suma, vectores y traslaciones, y un ejemplo de vectores y fuerzas aplicado a un barco en un canal. Contiene ejemplos interactivos para reforzar la comprensión de estos conceptos fundamentales sobre vectores.
El documento presenta 6 problemas de álgebra lineal. El Problema 1 pide calificar proposiciones como verdaderas o falsas. El Problema 2 involucra determinar si vectores pertenecen al núcleo o imagen de una matriz dada. El Problema 3 pide determinar los valores reales de una variable para que un sistema tenga infinitas, única o ninguna solución. Los Problemas 4 y 5 involucran subespacios vectoriales y sus propiedades. Finalmente, el Problema 6 pide hallar la matriz de cambio de base y coord
Este documento contiene la solución a un examen final de álgebra lineal con 4 problemas. El primer problema califica varias proposiciones como verdaderas o falsas. El segundo problema determina transformaciones lineales de polinomios. El tercer problema encuentra subespacios ortogonales y proyecciones. El cuarto problema determina si una matriz es diagonalizable.
I fase control ii ecuaciones en diferencias (3)ricardozegarra7
1. El documento describe la discretización de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales. Esto incluye representaciones generales y métodos para discretizar ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
2. Se presentan ejemplos de discretización de una ecuación diferencial de primer orden usando los métodos de Euler forward y Euler backward. Los ejemplos también incluyen implementaciones en MATLAB y LabVIEW.
3. Se explica cómo calcular las respuestas dinámicas y estáticas de un sistema a partir de su ecuación diferencial discretizada. También se describe
Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de los espacios vectoriales, incluidas sus definiciones, propiedades y ejemplos. Primero define un espacio vectorial y sus operaciones de suma y producto por escalar. Luego presenta varios ejemplos comunes de espacios vectoriales como Rn, los polinomios y las funciones reales. También introduce los conceptos de subespacio vectorial, dependencia e independencia lineal de vectores, y concluye con algunas propiedades importantes de los espacios vectoriales.
Transformaciones lineales y método de gauss.CharlesJMorris
En ésta presentación se hablará sobre todo lo relacionado a las Transformaciones Lineales, su relación con las Matrices y ejercicios explicativos del Método de Gauss-Jordan.
Este documento presenta varios problemas de cinemática y vectores resueltos. En resumen:
1) Se resuelven problemas de sumas y restas de vectores, cálculo de ángulos entre vectores y productos escalares.
2) Se plantean y resuelven problemas de movimiento rectilíneo uniforme y acelerado, incluyendo cálculos de distancias, tiempos y velocidades.
3) Se analizan gráficamente trayectorias de movimiento y se escriben las ecuaciones correspondientes.
Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera Joe Arroyo Suárez
El documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable impartidas en la Facultad de Ingeniería Civil de la Universidad Nacional "Santiago Antunez de Mayolo". Incluye definiciones, ejemplos y problemas resueltos sobre ecuaciones diferenciales de variable separable y reductibles a variables separables.
Este documento presenta un análisis de campos vectoriales. Introduce campos vectoriales como funciones que asignan un vector a cada punto en el plano o espacio. Define campos vectoriales conservatorios como aquellos que son el gradiente de una función potencial. Presenta ejemplos de campos vectoriales en física como campos gravitacionales y de fuerzas eléctricas. Explica cómo determinar si un campo vectorial es conservatorio y calcular su función potencial asociada.
Este documento contiene la resolución de dos ejercicios de cálculo. El primero involucra aproximar linealmente el cambio en una función w respecto a cambios en x e y, y calcular el error cometido. El segundo determina si una esfera y un elipsoide son tangentes en un punto evaluando si sus gradientes son paralelos allí.
El documento presenta conceptos básicos de vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. Introduce vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Define el producto punto y la norma de un vector. Explica rectas en R3 y planos, incluyendo sus ecuaciones vectorial y normal. Cubre conceptos como paralelismo, perpendicularidad y distancias.
El documento presenta conceptos básicos de vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional. Introduce vectores y sus operaciones fundamentales como suma, resta y multiplicación por escalares. Define el producto punto y la norma de un vector. Explica propiedades importantes de estas operaciones y cómo se representan y manipulan vectores, rectas y planos en R3. Finalmente, cubre temas como ángulos entre vectores, paralelismo, perpendicularidad, proyecciones y distancias.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en n dimensiones como definición, igualdad, operaciones, magnitud, vectores unitarios, vectores ortogonales, vectores ortonormales y combinación lineal. Explica cómo definir vectores en IRn, realizar operaciones como suma y multiplicación por escalares, calcular la magnitud de un vector, y determinar si vectores son ortogonales o ortonormales. También describe cómo expresar un vector como combinación lineal de otros vectores dados.
Este documento introduce conceptos básicos sobre vectores en n dimensiones como definición, igualdad, operaciones, magnitud, vectores unitarios, vectores ortogonales, vectores ortonormales y combinación lineal. Explica cómo definir y operar con vectores en IRn, calcular su norma, determinar si son ortogonales o ortonormales, y expresar un vector como combinación lineal de otros.
Este documento presenta conceptos básicos de vectores en R3 como parte de una sesión introductoria de matemática básica para ingeniería. Explica cómo representar puntos y vectores en R3, calcular la magnitud de un vector, y realizar operaciones con vectores como suma, resta, producto escalar y vectorial. También introduce ecuaciones para representar rectas y planos en R3.
El documento trata sobre vectores en el espacio tridimensional R3. Explica que R3 cumple dos condiciones relacionadas con la suma y el producto escalar de vectores. También define conceptos como norma, paralelismo, producto escalar y vectorial de vectores, y da ejemplos de cómo aplicar estas operaciones.
Este documento presenta conceptos básicos de geometría analítica en 3 dimensiones. Introduce rectas y planos en 3D, incluyendo sus definiciones, ecuaciones y posiciones relativas. También cubre superficies cilíndricas, de revolución y cuádricas, así como coordenadas cilíndricas y esféricas. El objetivo es que los estudiantes puedan graficar estas formas geométricas y calcular distancias entre ellas utilizando el marco de geometría analítica en 3D.
Este documento trata sobre vectores en el plano y en el espacio. Introduce conceptos como vectores en R2 y Rn, producto escalar, producto cruz, ángulo entre vectores, proyecciones de vectores, y vectores en R3. Explica cómo representar puntos y vectores en el espacio tridimensional usando coordenadas cartesianas (x, y, z), y cómo calcular la magnitud y dirección de un vector en R3.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolverlas. Introduce intervalos, el valor absoluto y sus propiedades. Explica cómo resolver ecuaciones lineales, cuadráticas, con radicales y con valor absoluto. Proporciona ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación. El objetivo es que los estudiantes aprendan a identificar y resolver diversos tipos de ecuaciones algebraicas.
Este documento presenta una introducción al cálculo vectorial. Explica el producto escalar, incluyendo su definición, propiedades y cómo se usa para calcular el ángulo entre vectores. También cubre conceptos como vectores ortogonales, cosenos directores y la descomposición de vectores en componentes vectoriales a través de proyecciones.
Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores y matrices. Explica qué es un vector, cómo representarlos gráficamente y realizar operaciones como suma, resta y multiplicación por escalares. También introduce las combinaciones lineales, que son sumas de vectores multiplicados por coeficientes. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercicios relacionados con estos temas fundamentales de álgebra lineal.
1) El documento presenta los conceptos básicos de vectores en física, incluyendo su representación gráfica, formas de representarlos (coordenadas rectangulares, polares, geográficas), y transformación entre sistemas de coordenadas. 2) Explica operaciones con vectores como suma, resta y multiplicación por escalares. 3) Introduce los vectores posición y desplazamiento, y cómo calcular la velocidad media a partir del desplazamiento y el tiempo.
1) Los vectores se representan geométricamente como segmentos de recta dirigidos y se definen por sus componentes. 2) Se explican conceptos como suma y producto escalar de vectores, así como norma, vector unitario y ángulo entre vectores. 3) Se introduce el producto punto y producto cruz como operaciones entre vectores que producen respectivamente un escalar y un vector.
Este documento presenta un PDF interactivo sobre vectores, rectas y planos en el espacio tridimensional R3. El documento comienza explicando conceptos básicos de vectores como operaciones entre ellos, producto punto y norma. Luego, introduce conceptos de rectas y planos como ecuaciones vectoriales, paralelismo, perpendicularidad y distancias. Finalmente, cubre rotaciones de puntos alrededor de rectas. El documento proporciona ejemplos interactivos en 3D para facilitar la comprensión de estos conceptos geométricos.
1) El documento describe vectores en R3 y las operaciones de producto escalar y vectorial. 2) Explica cómo definir un vector en R3 con coordenadas y magnitud, y cómo determinar un vector entre dos puntos. 3) Describe los vectores unitarios i, j, k y cómo cualquier vector puede representarse como la magnitud multiplicada por el vector unitario correspondiente.
El documento introduce los conceptos de espacio vectorial y vector. Explica que un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen propiedades como la suma y multiplicación por escalares. También define qué es un vector y cómo se representa, con longitud y dirección.
El documento describe conceptos básicos de cálculo vectorial en el plano R2. Define el conjunto R2, sumas y productos de vectores, combinaciones lineales, independencia lineal, bases y coordenadas cartesianas. Explica cómo representar y calcular vectores, incluido el módulo y punto medio de un segmento.
Este documento trata sobre funciones de varias variables. Introduce conceptos como función vectorial, función escalar, dominio de una función, conjunto de nivel, límites de funciones de varias variables, y continuidad. El objetivo es que los estudiantes comprendan estas nociones y puedan establecer límites, continuidad y derivadas de funciones de dos variables, así como determinar si una función es diferenciable.
1) El documento explica conceptos relacionados a vectores bidimensionales como ecuaciones paramétricas, curvas planas, notación y propiedades de vectores.
2) Se proporcionan ejemplos de cómo encontrar la recta tangente a partir de la ecuación paramétrica de una curva y de sumar y descomponer vectores.
3) Finalmente, se deja como tarea práctica realizar curvas paramétricas en GeoGebra y ejercicios de sumas y descomposición de vectores.
Una unidad de medida es una cantidad de una determinada magnitud física, definida y adoptada por convención o por ley. Cualquier valor de una cantidad física puede expresarse como un múltiplo de la unidad de medida. Para entender mejor las mismas, hay que saber como se pueden convertir en otras unidades de medida.
Fijación, transporte en camilla e inmovilización de columna cervical II.pptxjanetccarita
Explora los fundamentos y las mejores prácticas en fijación, transporte en camilla e inmovilización de la columna cervical en este presentación dinámica. Desde técnicas básicas hasta consideraciones avanzadas, este conjunto de diapositivas ofrece una visión completa de los protocolos cruciales para garantizar la seguridad y estabilidad del paciente en situaciones de emergencia. Útil para profesionales de la salud y equipos de respuesta ante emergencias, esta presentación ofrece una guía visualmente impactante y fácil de entender.
Presentación con todo tipo de contenido sobre el hábitat del desierto cálido. Perfecto para exposiciones escolares. La presentación contiene las características del desierto cálido así como geográficamente donde se encuentra al rededor del mundo. Además contiene información sobre la fauna y flora y sus adaptaciones al medio ambiente en este caso, el desierto cálido. Por último contiene curiosidades y datos importantes sobre el desierto cálido.
Priones, definiciones y la enfermedad de las vacas locasalexandrajunchaya3
Durante este trabajo de la doctora Mar junto con la coordinadora Hidalgo, se presenta un didáctico documento en donde repasaremos la definición de este misterio de la biología y medicina. Proteinas que al tener una estructura incorrecta, pueden esparcir esta estructura no adecuada, generando huecos en el cerebro, de esta manera creando el tejido espongiforme.
Las heridas son lesiones en el cuerpo que dañan la piel, tejidos u órganos. Pueden ser causadas por cortes, rasguños, punciones, laceraciones, contusiones y quemaduras. Se clasifican en:
Heridas abiertas: la piel se rompe y los tejidos quedan expuestos (ej. cortes, laceraciones).
Heridas cerradas: la piel no se rompe, pero hay daño en los tejidos subyacentes (ej. contusiones).
El tratamiento incluye limpieza, aplicación de antisépticos y vendajes, y en algunos casos, suturas. Es crucial vigilar las heridas para prevenir infecciones y asegurar una curación adecuada.
"Abordando la Complejidad de las Quemaduras: Desde los Orígenes y Factores de...AlexanderZrate2
Las quemaduras, una de las lesiones traumáticas más comunes, representan un desafío significativo para el cuerpo humano. Estas lesiones pueden ser causadas por una variedad de agentes, desde el contacto con el calor extremo hasta la exposición a productos químicos corrosivos, la electricidad y la radiación. Independientemente de su origen, las quemaduras pueden provocar un amplio espectro de daños, que van desde lesiones superficiales de la piel hasta afectaciones graves de tejidos más profundos, con potencial para comprometer la vida del individuo afectado.
La incidencia y gravedad de las quemaduras pueden variar según factores como la edad, la ocupación, el entorno y la atención médica disponible. Las quemaduras son un problema global de salud pública, con impacto no solo en la salud física, sino también en la calidad de vida y la salud mental de los afectados. Además del dolor y la discapacidad física que pueden ocasionar, las quemaduras pueden dejar cicatrices permanentes y aumentar el riesgo de infecciones y otras complicaciones a largo plazo.
El manejo adecuado de las quemaduras es esencial para minimizar el riesgo de complicaciones y promover una recuperación óptima. Desde los primeros auxilios en el lugar del incidente hasta el tratamiento médico especializado en centros de quemados, se requiere una atención integral y multidisciplinaria. Además, la prevención juega un papel fundamental en la reducción de la incidencia de quemaduras, mediante la educación pública, la implementación de medidas de seguridad en el hogar, el trabajo y otros entornos, y la promoción de políticas de salud y seguridad efectivas.
En esta exploración exhaustiva sobre el tema de las quemaduras, analizaremos en detalle los diferentes tipos de quemaduras, sus causas y factores de riesgo, los mecanismos fisiopatológicos involucrados, las complicaciones potenciales y las estrategias de tratamiento y prevención más relevantes en la actualidad. Además, consideraremos los avances científicos y tecnológicos recientes que están transformando el enfoque hacia la gestión de las quemaduras, con el objetivo último de mejorar los resultados para los pacientes y reducir la carga global de esta importante condición médica.
¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
1. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
1
Objetivos.
Se persigue que el estudiante:
• Represente geométricamente un vector de 3
R
• Determine magnitud y dirección de un
vector.
• Sume vectores, multiplique por un escalar a
un vector, obtenga el productor escalar y el
producto vectorial entre vectores
• Obtenga el área de un paralelogramo
sustentados por dos vectores.
• Obtenga el volumen del paralelepípedo
sustentado por tres vectores.
1.1 Definición
1.2 Enfoque geométrico
1.3 Igualdad
1.4 Operaciones
1.5 Aplicaciones
1
2. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
Tomando como referencia la teoría de vectores en el plano, se obtienen
definiciones y propiedades de los vectores en el espacio.
1.1 DEFINICIÓN
Un vector de 3
R es una terna ordenada de
números reales. Denotada de la siguiente manera:
( )zyxv ,,=
→
1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Geométricamente a un vector de se lo representa en el Espacio
como un segmento de recta dirigido.
3
R
Suponga que se tienen los puntos ( )1111 ,, zyxP y . Si
trazamos un segmento de recta dirigido desde hacia tenemos una
representación del vector
( )2222 ,, zyxP
1P 2P
( )21121221 ,, zzyyxxPPv −−−==
⎯→⎯→
x
y
z
→
v
( )1111 ,, zyxP =
( )2222 ,, zyxP =
Este vector puede tener muchas otras representaciones equivalentes en
el espacio. Una representación equivalente útil es aquella que se realiza
ubicando al vector con el origen como punto de partida.
x
y
z
→
v
( )zyxP ,,
2
3. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
1.2.1 Magnitud o norma
Sea . La magnitud o norma de
→
( zyxv ,,=
→
) v
denotada como
→
v , se define como:
222
zyxv ++=
→
Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el
vector. Es decir, sería la distancia entre los puntos que lo definen.
Para ( )121212 ,, zzyyxxv −−−=
→
sería:
( ) ( ) ( )2
12
2
12
2
12 zzyyxxv −+−+−=
→
1.2.2 Dirección
La dirección de está definida por la( zyxv ,,=
→
)
medida de los ángulo que forma la línea de acción
del segmento de recta con los ejes x , ,y z
α
β
γ
x
y
z
→
v
Los ángulos α , β y γ son llamados Ángulos Directores.
3
4. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
Observe que:
222
zyx
x
v
x
Cos
++
== →
α
222
zyx
y
v
y
Cos
++
== →
β
222
zyx
y
v
y
Cos
++
== →
γ
Ejercicio.
Demostrar que 1coscoscos 222
=++ γβα
1.2.3 Sentido
El sentido de lo define la flecha dibujada sobre
→
v
el segmento de recta.
1.3 IGUALDAD DE VECTORES DE
3
R
Dos vectores y son( )1111 ,, zyxv =
→
( )2222 ,, zyxv =
→
iguales si y sólo si 21 xx = , 21 yy = y 21 zz =
1.4 OPERACIONES
1.4.1 Suma
Sean y dos vectores de
→
1
v
→
2
v
3
R tales que
( )1111 ,, zyxv =
→
y entonces la( 2222 ,, zyxv =
→
)
suma de con , denotada como , se
→
1
v
→
2
v
→→
+ 21 vv
define como:
( )21212121 ,, zzyyxxvv +++=+
→→
4
5. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
1.4.1.1 Propiedades
Sean , y vectores de
→
1v
→
2
v
→
3v 3
R , entonces:
1. la suma es conmutativa
→→→→
+=+ 1221 vvvv
2. la suma es asociativa
→→→→→→
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++ 321321 vvvvvv
3. ,3
0 R∈∃
→
3
Rv ∈∀
→
tal que
→→→
=+ vv 0 ,
Donde es llamado Vector Neutro( 0,0,00 =
→
)
4.
3
Rv ∈∀
→
, tal que
3
Rv ∈⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−∃
→ →→→
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+ 0vv
Donde es llamado Vector Inverso Aditivo de⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
→
v
→
v
Geométricamente:
x
y
z
( )1111 ,, zyxv =
→
( )2222 ,, zyxv =
→
→
→
+
2
1
v
v
Los vectores y sustentan un paralelogramo, el vector de la
diagonal mayor es el Vector Suma y el vector de la diagonal menor es el
Vector Diferencia.
→
1v
→
2v
1.4.2 Multiplicación por escalar
Sea y un vector deR∈α ( zyxv ,,=
→
) 3
R
entonces:
( )zyxv αααα ,,=
→
5
6. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
1.4.2.1 Propiedades
1. ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +∈∀∈∀
→→→→→→
2121
3
21
,, vvvvRvvR αααα
2. ( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +=+∈∀∈∀
→→→→
vvvRvR βαβαβα 3
,,
3. ( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛∈∀∈∀
→→→
vvRvR αββαβα 3
,,
Cualquier vector de , , puede ser expresado en
combinación lineal de los vectores , y
3
R ( zyxv ,,=
→
)
( )0,0,1=
→
i ( )0,1,0=
→
j ( )1,0,0=
→
k
( ) ( ) ( ) ( )
→→→→
→
++=
++==
kzjyixv
zyxzyxv 1,0,00,1,00,0,1,,
1.4. 3. Producto Escalar. Producto Punto o Producto Interno
Sean y vectores( )1111 ,, zyxv =
→
( 2222 ,, zyxv =
→
)
de 3
R . El Producto escalar de con denotado
→
1
v
→
2
v
como se define como:
→→
• 21 vv
21212121 zzyyxxvv ++=•
→→
Ejemplo
Si y entonces( )2,1,31 −=
→
v ( 0,4,12 −=
→
v )
( )( ) ( )( ) ( )( ) 104302411321 =++−=−++−=•
→→
vv
1.4.3.1 Propiedades
Sean y vectores de
→
1
v
→
2
v 3
R . Entonces:
1.
→→→→
•=• 1221 vvvv
6
7. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
2.
→→→→→→→
•+•=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +• 2121321 vvvvvvv
3. ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ •αβ=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛β•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛α
→→→→
2121 vvvv
Si entonces:( zyxv ,,=
→
)
.( ) ( ) 222
,,,, zyxzyxzyxvv ++=•=•
→→
Por lo tanto
2→→→
=• vvv o también
→→→
•= vvv
1.4. 4. Producto Vectorial. Producto Cruz
Sean y vectores( )1111 ,, zyxv =
→
( 2222 ,, zyxv =
→
)
de 3
R . El Producto Vectorial de con
→
1
v
→
2
v
denotado como se define como:
→→
× 21
vv
( )( )21211221212121 ,, xyyxzxzxyzzyvv −−−−=×
→→
Una manera práctica para obtener el resultado de la operación Producto
Cruz entre dos vectores es resolver el siguiente determinante, para la primera
fila:
222
11121
zyx
zyx
kji
vv =×
→→
Ejemplo.
Sea y entonces( )1,2,11 −=
→
v ( 0,1,22 −=
→
v )
kji
kji
vv 52
012
12121 −−−=
−
−=×
→→
7
8. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
1.4.4.1 Propiedades.
Sean , y vectores de
→
1
v
→
2
v
→
3
v 3
R
1. El vector es tanto perpendicular a⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×
→→
21
vv
→
1
v como a
→
2
v
2. El sentido del vector se lo puede⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×
→→
21
vv
obtener empleando la mano derecha.
Mientras los dedos se dirigen desde
→
1
v
hacia , el pulgar indica la dirección de
→
2
v
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×
→→
21
vv .
→
1v
→
2v
→→
× 21 vv
•
•
3. ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×−=×
→→→→
1221
vvvv
4.
→→→
=× 011
vv
5. Si entonces
→→
21
// vv
→→→
=× 021
vv
6. ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛×⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
→→→→
21212211
vvvv αααα
7. ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ +×
→→→→→→→
3121321
vvvvvvv
8.
2
21
2
2
2
1
2
21 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ •−=×
→→→→→→
vvvvvv
De la última expresión, empleando la propiedad del producto escalar, se
obtiene un resultado muy importante:
8
9. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
[ ]
θ
θ
θ
θ
2
2
2
2
1
2
21
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
21
2
2
2
1
2
21
2
2
2
1
2
21
cos1
cos
cos
senvvvv
vv
vvvv
vvvv
vvvvvv
→→→→
→→
→→→→
→→→→
→→→→→→
=×
−=
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
•−=×
Finalmente:
θsenvvvv
→→→→
=× 2121
1.5 APLICACIONES
1.5.1 CALCULO DEL ÁREA DEL PARALELOGRAMO
SUSTENTADO POR DOS VECTORES.
Sean y dos vectores, no paralelos. Observe la figura:
→
1
v
→
2
v
→
1v
→
2v
θ
h
→
2v
→
1v
Tomando como base a , tenemos:
→
2
v
hv
alturabaseArea
→
=
•=
2
Observe que →
=
1v
h
senθ entonces θsenvvArea
→→
= 12
Y por la propiedad del producto cruz:
→→
×= 21
vvArea
9
10. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
Ejemplo 1
Hallar el área del triángulo sustentado por los vectores y( )1,2,11 −=
→
v
( )0,1,22 −=
→
v
SOLUCIÓN:
El área del triángulo sustentado por dos vectores y es la mitad del área del
paralelogramo sustentado por los vectores, es decir:
→
1v
→
2v
2
21
→→
×
=
vv
TriánguloArea
Como kji
kji
vv 52
012
12121 −−−=
−
−=×
→→
entonces
( ) ( ) ( )
2
30
2
521
2
22221
=
−+−+−
=
×
=
→→
vv
TriánguloArea
Ejemplo 2
Hallar el área del triángulo que tiene por vértices los puntos , y( )0,2,1 − ( 1,1,1 )
( )1,0,2−
SOLUCIÖN:
Primero se forman dos vectores entre los puntos dados, tomando arbitrariamente el
orden de estos puntos; luego se procede de manera análoga a lo mencionado
anteriormente debido a que el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo.
→
1v
→
2v
( )0,2,11 −P
( )1,1,12P
( )1,0,23 −P
En este caso, ( ) 1,3,001),2(1,11211 =−−−−==
→→
PPv ( )
( )v ( ) 1,2,301),2(0,12322 −=−−−−−==
→→
PP
Entonces,
kji
kji
vv 93
123
13021 −−=
−
=×
→→
( ) ( ) ( )
2
91
2
931
2
22221
=
+−+
=
×
=
→→
vv
TriánguloArea
10
11. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
1.5.2 CALCULO DEL VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO
SUSTENTADO POR TRES VECTORES
Sean , y tres vectores. Observe la figura.
→
1
v
→
2
v
→
3
v
Tomando como base el paralelogramo sustentado por y , la altura
del paralelepípedo será la proyección escalar sobre ,
entonces:
→
1
v
→
2
v
h
→
3
v
→→
× 21
vv
→
1v
→
2v
→
3v
→→
× 21 vv
h
h
•
alturabaseAreaVolumen ×=
Donde
→→
×= 21 vvbaseArea
→→
→→→
→
×
×
•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
×
=== →→
21
321
3
21
Pr
vv
vvv
voyhaltura
vv
Por tanto.
→→
→→→
→→
×
•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×
×=
21
321
21
vv
vvv
vvVolumen
Finalmente, simplificando resulta:
→→→
•⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ×= 321
vvvVolumen
Esta última expresión es denominada, EL TRIPLE PRODUCTO
ESCALAR de los vectores , y , y su interpretación es el volumen del
paralelepípedo sustentado por los vectores , y . Observe además que
no importa el orden de operación de los vectores, ¿por qué?.
→
1v
→
2v
→
3v
→
1v
→
2v
→
3v
11
12. MOISES VILLENA Vectores en 3
R
Ejemplo
Hallar el volumen del paralelepípedo sustentado por los vectores ,( )1,2,11 −=
→
v
( )1,0,22 −=
→
v y .( )3,2,13 =
→
v
SOLUCIÖN.
Por lo definido anteriormente,
3
321 204142
321
102
121
uvvvVolumen =++=−
−
=•⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
×=
→→→
Ejercicios propuestos
1.Sean los vectores y .kjiV ˆ4ˆ2ˆ31 +−=
→
kjiV ˆ2ˆ3ˆ32 −+=
→
a) Determinar la proyección vectorial de sobre el vector .
→
1V
→
2V
b) Calcular la componente de perpendicular a .
→
1V
→
2V
Resp. a) ( )22
10
22
15
22
15
1 ,,Pr
2
−−=
⎯→⎯
→
→ Voy
V
b)
2.Sean los vectores y . Calcule los valores de y
para los cuales
kjiAA x
ˆ2ˆ5ˆ +−=
→
kBjiB z
ˆˆ2ˆ3 −+−=
→
xA
zB
→→
× BA es paralelo a: a) al eje b) al ejex y
Resp. a) 2
15=xA 5
4=zB b) 2
15=xA 5
4=zB
3.Calcular el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos (-3,2,4); (2,1,7) ; (4,2,6)
Resp. 2
174
=Area
4.Dados tres vectores ( )6,2,51 =V , ( )3,8,12 −=V , ( )4,7,23 −=V forman un tetraedro con
vértice en el origen. Determinar su altura desde el origen. Resp.
746
77=h
5.Un tetraedro tiene por base el triángulo de vértices (3.-6,-1) , (4,4,-2) y (-3,-1,2); Si el vértice
opuesto es el punto (8,10,6) , determine su altura. Resp.
5459
938=h
6.Sean y v vectores no nulos, diferentes tales que: ,u vuw +=1 vuw −=2 ,
( ). Hallarvuw += 2
1
3 ( )321 www ו Resp. 0
7.Sea un vector diferente de cero, entonces, demostrar que si es un vector cualquiera, el
vector
→
V
→
U
→
→
→→
→→ •
−= V
V
VU
UW
2
es ortogonal a .
→
V
8.Demuestre que si es ortogonal a y a , entonces es ortogonal a para
escalares cualquiera y .
→
U
→
V
→
W
→
U
→→
+ WdVc
c d
9.Demostrar que el área del triángulo, cuyos vértices son los extremos de los vectores
→
A ,
→
B y
, es
→
C ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−×⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
→→→→
ACAB
2
1
10. Demostrar que el volumen del tetraedro de aristas
→→
+ BA , y y es el doble
del volumen del tetraedro de aristas
→→
+ CB
→→
+ AC
→
A ,
→
B y .
→
C
11. Pruebe que las diagonales de un rombo (paralelogramo con lados iguales) son
perpendiculares.
12