1. programación lineal

PROGRAMACIÓN
LINEAL

LUIS JAVIER CEBALLOS GUTIÉRREZ

LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Es una técnica cuantitativa , muy utilizada, cuyo objetivo

es la construcción de Modelos Matemáticos Determinísticos,

de aquellos fenómenos reales que tienen que ver con el uso

eficiente o asignación de recursos limitados, para optimizar

una función matemática ligada a su objetivo.


SUPUESTOS A LOS MODELOS DE P.L.

- Propiedad de Proporcionalidad

Es la contribución que una variable aporta a las funciones
Matemáticas.
1. LINEALIDAD
- Propiedad de Aditividad

La contribución total a las funciones matemáticas es la
suma de las contribuciones individuales

2. CONTINUIDAD
Se refiere a que las variables pueden tomar cualquier valor real
O DIVISIBILIDAD


LIMITACIONES DE LOS MODELOS DE P.L.

1. DETERMINISTICO Se refiere a que los parámetros o datos son
conocidos, ciertos y exactos en vez de probables

2. UNICIDAD Se refiere a que solo existe una función objetivo

3. ESTATICO Significa que la variable tiempo no se involucra formalmente

4. NO SUBOPTIMIZA Se obtiene o solución óptima (una o múltiples) o no tiene


Elementos de un Modelo de Programación Lineal

Las Variables de Decisión (Xj; Xij; Xijk)

Son los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo. Constituyen las
incógnitas del problema. Pueden ser de diferentes tipos e incluir varios subíndices

Los Parámetros (Cj; aij; bi)

Son los datos conocidos, ciertos y exactos de los problemas

La Función Objetivo (Z = f(X))

Es la función matemática ligada con el objetivo del problema


Las Restricciones o Limitaciones

Representan los diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solución para que
pueda llevarse a cabo

La Condición de no-negatividad

Son condiciones técnicas, para que todas las actividades puedan llevarse al cabo


MODELO GENERAL DE PROGRAMACIÓN LINEAL

OPTIMIZAR Z f ( x) C1 X 1 C2X 2  CnXn

S . A. a11 X 1 a12 X 2  a1nXn ( , , ) b1

a 21 X 1 a 22 X 2  a 2 nX n ( , , ) b2

 

am 1 X 1 a m 2 X2  amnXn ( , , ) bm

X 1, X 2 ,  Xn 0

Optimizar: Significa Maximizar o Minimizar la Función Objetivo
Z = f(X): Función Objetivo
Xj: Variables de Decisión (actividad) j= 1,2,…n
Cj: Coeficiente de las variables en la función objetivo j = 1,2,…n
aij: Coeficiente tecnológico de la variable j en la restricción i: con i = 1, 2…m
bi: Recursos disponible i; con i = 1,2,…m


PROCEDIMIENTO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE P.L.

1. Definición de las variables con su respectiva unidad de medida

2. Citar el objetivo

3. Citar cada una de las limitaciones
4. Construir matemáticamente la función ligada al objetivo con sus respectivas medidas
5. Construir matemáticamente las funciones ligadas a cada una de las limitaciones con
sus respectivas medidas
6. Definir la condición de no negatividad a las variables

7. Elaborar un resumen del modelo construido

8. Solucionar el modelo mediante un paquete

9. Hacer una interpretación de la solución y un análisis de sensibilidad


CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL

1. APLICACIÓN DE MEZCLAS

En los problemas de mezclado, cada componente contiene ciertos ingredientes

En donde la mezcla final puede exigir que estos ingredientes estén presentes en

ciertas cantidades. El objetivo de un problema de mezclado es determinar la

cantidad de cada componente en la mezcla que puede llevar al producto deseado

a un costo mínimo. Considere el problema que enfrenta la siguiente compañía:


Una Compañía de dulces está desarrollando una nueva Mantequilla de
Cacahuete y Chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas,
pero no mas de 5 gramos de carbohidratos y no mas de tres de grasas
saturadas. Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad de cada
ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un
costo mínimo, basándose en los siguientes datos:

Limitaciones Mantequilla de Chocolate
Cacahuete
Costo ($/onza) 0.10 0.18
Proteínas (gr./onza) 4.00 0.80
Carbohidratos(gr./onza) 2.50 1.00
Grasas Saturadas 2.00 0.50
(gr./onza)


PRÁCTICA 1

La cadena de supermercados LA CANDELA planea vender paquetes de papas
que contengan tres diferentes clases de papa mezcladas: Paípa, Criolla y Popular.
Cada paquete de papa debe pesar por lo menos 5 libras. Las papas las compra
el supermercado por cargas (una carga está compuesta por dos bultos, un bulto
pesa dos arrobas y una arroba pesa 25 libras) a razón de 500, 450 y 350 dólares
las papas tipo paípa, criolla y popular, respectivamente. El peso combinado de
la papa tipo paípa y popular debe ser por lo menos de mitad del peso del paquete.
El peso combinado de la papa tipo paípa y criolla no debe exceder las tres libras
en cada paquete. Además, cualquier tipo de papa debe ser por lo menos el 20%
del peso del paquete. Formúlese un modelo de Programación Lineal adecuado
para éste problema


CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL

2. APLICACIÓN DE MEZCLA DE PRODUCCIÓN

Algunos productores necesitan determinar como asignar diversos recursos

escasos como la mano de obra, la materia prima y el capital, a varias

alternativas que compiten por estos recursos. La decisión final se basa en

la disponibilidad de estos recursos y en el logro de un objetivo global para

la Organización. Considere el problema que enfrenta la siguiente compañía:


CONFECCIONES EL NORAL S.A.

GERENTE: Señores: El objeto de nuestra reunión de hoy es el de discutir la
Propuesta que nos hacen los señores del almacén LEGAL para que les
fabriquemos un producto especial. Don Alberto:¿Quiere decirnos en que
Consiste esta propuesta?

JEFE DE VENTAS: ¡Si como no! Los almacenes LEGAL quieren que además
de la línea que les hemos suministrado habitualmente, les fabriquemos ahora
un producto especial en tallas grande y pequeña que parece fácil de fabricar. A
Los precios que hemos acordado inicialmente, nos da un margen de ganancia
bastante atractivo como lo podrán ver por las cifras que trae Don Antonio.

CONTRALOR: Los cálculos que hemos hecho inicialmente indican que aunque
Los dos productos son similares, la talla grande nos da mayores utilidades que
la talla pequeña. La talla grande deja unas utilidades de $12000 por unidad
Mientras que la pequeña daría solo $9000 por unidad.


GERENTE: Don Alberto:¿Cuántas unidades cree que nos
comprarán de cada una?

JEFE DE VENTAS: Aunque no lo dijeron explícitamente, yo creo que el pedido
sería por unas 600 unidades diarias de talla grande y unas 500 unidades diarias
de talla pequeña. Por lo que he conversado con Don Guillermo, parece que ha
nosotros nos da igual fabricar la una o la otra. ¿No es así Don Guillermo?

JEFE DE PRODUCCIÓN: Así es, en efecto. Este producto solo requeriría de
unas operaciones muy sencillas, en las cuales la diferencias de tallas no
afecta la rata de producción. Ahora, tenemos capacidad disponible en nuestras
plantas del Noral y Doña María. En el Noral podríamos fabricar unas 500
unidades diarias, no importa de que tallas sean, lo mismo en Doña María, donde
solo podríamos procesar unas 300 unidades diarias.


CONTRALOR: Señores, me parece que tenemos ante nosotros un magnífico
negocio. Como acaba de decirlo Don Guillermo, el máximo de unidades que
podríamos producir sería de 800 unidades diarias de cualquiera de las dos tallas.
ya hemos visto también que el producto que mas utilidades deja es el de la talla
grande, o sea que podríamos producir el máximo de unidades de la talla grande
y lo que sobre en talla pequeña.

JEFE DE VENTAS: ¿O sea que sugiere usted que produzcamos y
vendamos 600 unidades diarias de talla grande y 200 unidades de talla pequeña?

CONTRALOR: ¡Exactamente! Las utilidades diarias que obtendríamos serían
las siguientes:
Talla grande: 600 unidades * 12000 $/unidad =7200000
Talla pequeña 200 unidades * 9000 $/unidad = 1800000
-------------
TOTAL 9000000
¡Esta utilidad es mayor que la que estamos obteniendo con todos los otros
productos que fabricamos …!


JEFE DE ALMACENES: Yo he estado muy callado mientras todos ustedes
hablan de utilidades, ratas de producción, etc. Me parece que están haciendo
cuentas alegres y en mi calidad de jefe de bodegas considero mi deber
advertírselos. Creo que están olvidando que las bodegas del Noral y Doña
María están llenas hasta el ¡TECHO! Con las ratas de producción que Don
Guillermo propone tendríamos que almacenar los productos en proceso
prácticamente en la ¡calle! No deben olvidar que para producir una unidad
por día de talla grande, debemos ocupar por lo menos cinco pies cuadrados
de bodega y que para producir una unidad de la talla pequeña por día, se
ocupan tres pies cuadrados. Haciendo un gran esfuerzo en las bodegas del
Noral, podríamos disponer de 2250 pies cuadrados y en las de Doña María de
solo 900 pies cuadrados… Considero que el plan que propone Don Antonio es
Perfectamente ¡imposible de cumplir!

GERENTE: ¡Señores ,calma por favor! Sentémonos nuevamente y
tratemos este problema con cabeza fría


PRÁCTICA 2

Una empresa fabrica tres productos de caucho: Airtex (material esponjoso)
Extendex (material elástico) y Resistex (material rígido). Los tres productos requieren
los mismos tres polímeros químicos y una base. La cantidad de cada ingrediente usada
por libra del producto final se muestra en la siguiente tabla:

INGREDIENTE (onza / libra de producto)
PRODUCTO POLIMERO A POLIMERO B POLIMERO C BASE
Airtex 4 2 4 6
Extendex 3 2 2 9
Resistex 6 3 5 2


PRÁCTICA 3

Una compañía produce una línea de artículos de peltre para uso casero, la cual consta
de 4 productos. El sistema de manufactura se divide en 5 etapas: cortado, troquelado,
esmaltado, acabado y empacado. A continuación se presenta la información relevante,
Tanto del sistema productivo como del producto.

Información del sistema productivo

Índice de producción (unidades/hora) Capacidad
Depto. Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4 (horas/mes)

Cortado 25 6 20 10 400
Troquelado 14 8 20 10 380
Esmaltado 17 9 33 8 490
Acabado 20 4 - 8 450
Empacado 50 13 50 20 400


Información del producto

Demanda mensual
Producto Precio de venta Costo de venta (unidades)
(dólares/unidad) Dólares/unidad) Mínima Máxima
1 100 50 500 5000
2 300 200 750 6000
3 160 100 650 8000
4 250 150 0 3500

Además, se sabe que en el siguiente mes sólo se dispondrán de 1200 m2 de la lamina
que consumen los productos 1 y 2. El producto 1 requiere de 0.50 m2 por unidad y el
producto 2 requiere 0.80 m2 . Se le pide formular este problema como un modelo de
Programación Lineal


3. APLICACIÓNES FINANCIERAS

Uno de los modelos específicos con que trabaja la programación Lineal son
los MODELOS FINANCIEROS: Este tipo de modelos surge cuando un ejecutivo
del área financiera tiene que elegir entre diferentes alternativas de INVERSIÓN
o POLITICAS DE PRESTAMOS BANCARIOS o ALGUNA ESTRATEGIA DE MEZCLA
FINANCIERA

El objetivo de los modelos financieros es: o la maximización del rendimiento
financiero en problemas de inversión, o la maximización de los intereses en
problemas de políticas de prestamos bancarios, o la minimización del riesgo
Financiero

Las limitaciones del problema provienen comúnmente de: Capital disponible,
leyes financieras, políticas de la compañía, riesgo máximo permitido, …


3.2. Selección de un Portafolio de Inversión

Una decisión de inversión puede requerir determinar cuanto invertir en cada

alternativa disponible con el objetivo de obtener él mas alto rendimiento posible.

Pero un alto rendimiento tiene un precio: el riesgo. Un inversionista debe equilibrar

el rendimiento frente al riesgo. A menudo puede formularse un modelo de

Programación Lineal para diseñar una estrategia de inversión que logre el

rendimiento máximo, al mismo tiempo que satisfaga ciertos requerimientos

de riesgo. Los siguientes tres problemas son una muestra simplificada de este

tipo inversiones.


Selección de un Portafolio de Inversión
(Inversión en fondos de jubilación)
El señor F. T. Wells es un analista financiero. El comité financiero le ha pedido al
señor Wells que prepare recomendaciones de inversión para los 200000 dólares
del fondo de jubilación de los empleados. El comité ha sugerido diversificar las
inversiones asignando el fondo entre los siguientes instrumentos: Certificados de
depósitos, Bonos de la tesorería, Acciones con buen historial, Acciones especulativas,
Bonos de compañías y bienes raíces. El señor Wells ha estimado un rendimiento
anual para cada clase de inversión y así mismo, ha desarrollado un factor de riesgo
para cada una de ellas, que señala la probabilidad de que el rendimiento real de las
inversiones en esa clase sea inferior al rendimiento esperado. Por último, ha elaborado
un pronóstico del número promedio de años en que se espera obtener el rendimiento
esperado para la clase respectiva de inversión.

El comité de finanzas ha indicado que le gustaría tener un período promedio ponderado
de inversión de cuando menos cinco años. También que el factor promedio ponderado
de riesgo no debe ser superior a 0.20. La Ley prohíbe que se inviertan mas del 25% en
bienes raíces y acciones especulativas. La siguiente tabla muestra la información:


CLASE DE RENDIMIENTO FACTOR DE PLAZO
INVERSIÓN ESPERADO RIEGO PROMEDIO DE
ANUAL (%) LA INVERSIÓN
Certificados 8.5 0.02 8
de Depósito
Bonos de la 9.0 0.01 2
Tesorería
Acciones 5
comunes con 8.5 0.38
buen historial
Acciones 14.3 0.45 6
especulativas
Bonos de 6.7 0.07 2
Compañías
Bienes Raíces 13.0 0.35 4


3.3. Políticas de prestamos Bancarios

Una institución financiera se encuentra en el proceso de formular su política de
prestamos para el próximo trimestre. Para ese fin se asigna un total de 12000
dólares. Siendo una institución de servicios integrales, está obligada a otorgar
préstamos a diversos clientes. La siguiente tabla señala los tipos de prestamos,
la tasa de interés que cobra el banco y la posibilidad de que el cliente no cubra
sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por experiencia:

Tipo de prestamos Tasa de interés Probabilidad de
incobrables
Personal 0.140 0.10
Automóvil 0.130 0.07
Casa Habitación 0.120 0.03
Agrícola 0.125 0.05
Comercial 0.10 0.2

Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto,
no producen ingresos por concepto de intereses.


La competencia con otras instituciones financieras del área requiere
que el banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a
prestamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a la industria
de la habitación en la región, los prestamos para casa habitación
deben ser iguales cuando menos al 50% de los prestamos personales,
para automóvil y para casa habitación. El banco tiene así mismo una
política establecida, que específica que la relación global de pagos
irrecuperables no puede ser superior a 0.4.

Formúlese un modelo adecuado de programación lineal para este problema


PRÁCTICA 4
Un grupo industrial analiza la posibilidad de orientar sus inversiones hacia otros
Sectores en donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para
inversiones de esta naturaleza se ha fijado en 100000000 de pesos. Tomando en cuenta
las áreas de inversión actuales, el director de finanzas ha recomendado que las nuevas
inversiones se realicen en las industrias petrolera y siderúrgica, así como en certificados
de la Tesorería General del Estado (CETES). Específicamente, ha identificado siete
oportunidades de inversión, así como las tasas de rendimiento esperados de las mismas.
Esta información se expone a continuación.
Opciones de inversión Tasa de Rendimiento (%)
Petróleo y Derivados, S.A. 25
Industria Petrolera, S.A. 33
Petróleos del Norte, S.A. 20
Aceros Monclova, S.A. 35
Siderúrgica Nacional, S.A. 23
Hierro y Acero, S.A. 27
CETES 30


El consejo de Administración ha impuesto, por su parte, la siguiente estrategia
de inversión:

 No se debe destinar mas del 50% del total de la inversión a una industria en particular

 La inversión en CETES debe equivaler por lo menos al 25% del total invertido en
siderúrgica

 La inversión en Industria Petrolera, S.A., la cual resulta ser la de mayor rendimiento,
aunque también de mayor riesgo, no puede exceder al 50% del total a invertir en el
sector petrolero

 El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo

¿Qué recomendaciones (cantidad y opciones de inversiones) pueden hacerse con
respecto a este portafolio


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