Este documento introduce el tema de la optimización y la programación lineal. Explica que la optimización busca maximizar o minimizar índices de rendimiento de sistemas sujetos a restricciones. La programación lineal es una herramienta importante que permite formular problemas de optimización lineal con variables, restricciones y una función objetivo. Finalmente, presenta algunos ejemplos prácticos de problemas que se pueden resolver usando programación lineal.

1. 2. OPTIMIZACIÓN
2.1 Introducción2.1.1 Motivos para estudiar Optimización
Existe una enorme variedad de actividades en el mundo cotidiano
que pueden ser útilmente descritas como sistemas, desde sistemas
físicos tales como una planta industrial hasta entidades teóricas tales
como los modelos económicos.
La operación eficiente de los sistemas usualmente requiere un
intento por optimizar varios índices que miden el desempeño del
sistema.
Algunas veces, esos índices son cuantificados y representados como
variables algebraicas. Entonces se deben encontrar valores para esas
variables, que maximicen la ganancia o beneficio del sistema, o bien
minimicen los gastos o pérdidas.
Se asume que las variables dependen de ciertos factores. Algunos
de esos factores a veces están bajo el control (al menos
parcialmente) del analista responsable del desempeño del sistema.
El proceso de administración de los recursos escasos de un sistema
se suele dividir en los pasos indicados anteriormente en la
Metodología de la Investigación de Operaciones.
La cuarta fase, la verificación del modelo, es la que concierne a la
teoría de la optimización. Las otras fases son de gran importancia en
la administración de cualquier sistema y probablemente requerirán
mayor esfuerzo total que la fase de optimización.
Sin embargo, en esta presentación de la optimización se asumirá que
las demás fases fueron o serán resueltas aparte. Debido a que la
teoría de la optimización brinda este eslabón en la cadena de la
administración de sistemas y que constituye una parte importante del
conocimiento matemático.

2. 2.1.2 El Alcance de la Optimización
Una de las herramientas más importantes de la optimización es la
programación lineal. Un problema de programación lineal está
dado por una función lineal de varias variables que debe ser
optimizada (maximizada o minimizada) cumpliendo con cierto
número de restricciones también lineales.
El matemático G.B. Dantzig desarrolló un algoritmo llamado
método simplex, para resolver problemas de este tipo y ha sido
modificado a fin de obtener un algoritmo eficiente para resolver
grandes problemas de programación lineal por computadora.
Por medio de la programación lineal se formulan y resuelven
problemas como: de recursos en la planificación de gobierno,
análisis de redes para planificación urbana y regional, planificación
de la producción en la industria, y la administración de sistemas de
transporte y distribución. Por esto la programación lineal es uno de
los éxitos de la moderna teoría de la optimización.
La programación entera está relacionada con la resolución de
problemas de optimización en los cuales el valor de las variables
deberán tomar sólo valores enteros. Cuando todos los términos son
lineales se habla de programación lineal entera.
Entre los ejemplos prácticos se puede citar: ubicación de insumos,
secuenciamiento de trabajos en líneas de producción, balance de
líneas de montaje, control de inventarios y reemplazo de máquinas.
Uno de los métodos importantes de la PE es el método de Branch
and Bound (ramificación y acotación).
Existen otra clase de problemas involucran la administración de
una red. Por ejemplo: problemas de flujo de tráfico,
comunicaciones, distribución de bienes, y planificación de
proyectos.

3. ºlos procesos de decisión de éstas.
UNIDAD II
Objetivo de la Programación Lineal
Iniciarse en la técnica de programación lineal con el aspecto más importante del
método científico: la representación o modelo en formulación matemática lineal
de algunos problemas elegidos, los agrupados en "clásicos"; también debe
aprender los conceptos teóricos fundamentales utilizando la metodología gráfica
en sólo dos variables.
Antecedentes históricos y definición.
El desarrollo de la programación lineal se considera entre los avances científicos
más importantes del siglo XX, pues su impacto ha sido extraordinario.
Actualmente es una herramienta de uso común que ha beneficiado a muchas
organizaciones en distintos países con ahorros de cualquier índole, por lo que su
uso se está ampliando rápidamente a todos los sectores de la sociedad.
Una gran mayoría de los cálculos científicos en computadoras usan la
programación lineal proliferando las publicaciones y libros sobre esta materia de
gran aplicación.
DEFINICIÓN DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL
Técnicas agrupadas como programación matemática, aplicable a problemas
de asignación de recursos limitados, con actividades competitivas hacia
un objetivo común; que puede ser de maximizar beneficios o bien minimizar
costos.
La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo
matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las
funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales.

4. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en
computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la PL trata la
planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el
resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo) entre todas
las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la
aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades. De hecho,
cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del
modelo de PL es un problema de PL.
SUPUESTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.
Existe un número de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad de un
modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos.
Existen diferentes supuestos aplicados a la PL; algunos de ellos son:
Suposición de Proporción. Tiene que ver con la forma lineal de las funciones.
Ya que el objetivo es lineal, la contribución al objetivo de cualquier decisión es
proporcional al valor de la variable de decisión. Producir dos veces más de
producto producirá dos veces más de ganacia.
Supuesto de Adición. La contribución de una variable a la función objetivo es
independiente de los valores de las otras variables. La ganancia con una
computadora Notebook es de $10,750.00; independientemente de cuantas
computadoras Desktop se producen.
Suposición de ser Divisible. Es posible tomar una fracción de cualquier variable.
Por ejemplo, en un problema de marketing, qué significa comprar 2.67 avisos en
la televisión?. Es posible que la suposición de ser divisible sea insatisfecha en
este ejemplo. O puede ser que tales unidades de 2.67 avisos correspondan a
2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso redondeando la solución serían 2,667
minutos con una mínima duda que esté cercana a la solución óptima. Si la
suposición de divisible no es válida, entonces se usará la técnica de
Programación Lineal Entera.
Suposición de Certeza. La Programación Lineal no permite incertidumbre en los
valores.
No negatividad: Será difícil que un problema cumpla con todas las suposiciones
de manera exacta. Pero esto no negará la factibilidad de uso del modelo. Un
modelo puede ser aún útil aunque difiera de la realidad, si se es consistente con

5. los requerimientos más estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus
limitaciones al interpretar los resultados.
Existen limitaciones prácticas para el uso de la PL. Una se relaciona con los
cálculos. En general se necesita una computadora. Desafortunadamente, las
calculadoras, aun las programables, son poco útiles, puesto que la PL tiene
necesidad de gran cantidad de memoria o almacenamiento. Si no se tiene acceso
a una computadora, se estará limitado a problemas muy sencillos. La otra
limitación se refiere al costo de formular un problema de PL. En teoría, podría
usarse PL, por ejemplo, para hacer las compras semanales de abarrotes. Sin
embargo, sería necesario conocer todas las compras posibles que pueden
realizarse (éstas serían las variables), además de cada restricción como sabor,
número de comidas, vitaminas y proteínas. Es obvio que el costo de obtener
todos estos datos excede lo que se podría ahorrar si se hicieran las compras
óptimas. Antes de emprender una aplicación de PL, debe considerarse la
disponibilidad y el costo de los datos necesarios.
Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que ser
claros y precisos en la formulación del modelo puede ayudar a manejar
situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a estos supuestos.
Formulación de problemas con
programación lineal.
La formulación de un problema de cualquier tamaño con programación lineal
debe sujetarse al formato del modelo de PL general que se presenta a
continuación.
PARTE 1. Se debe tener el significado cuantitativo de las variables de decisión
o controlables, en símbolos como X1, X2, X3,.. , o bien, identificar con nombre
específico de producto o bienes de manufactura, almacén o venta, disponibilidad
y/o requerimiento de recurso o materia prima.

6. PARTE 2. Se debe tener una función objetivo o medida de efectividad,
representada por una variable (denotada con Z, G, U, etc.) cuyo valor se
desea maximizar (utilidad, rendimiento, ingreso, producción) o
bien minimizar (costo, tiempo, mano de obra, inventario).
PARTE 3. Se deben construir las restricciones que limitan el valor óptimo que
puede tomar la función objetivo, o sea, definen las soluciones admisibles o región
factible del problema. Pueden ser del tipo :≤ , ≥, =.
PARTE 4. Debe existir una condición de NO NEGATIVIDAD. Los casos de
excepción, mereceran un tratamiento especial.
FORMULACION DE PROBLEMAS LINEALES.
La programación lineal son modelos destinados a la asignación eficiente de los
recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas
deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos).
EJEMPLO 1.
Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles,
durante las cuales fabricará biombos decorativos. Con anterioridad, se han
vendido bien 2 modelos, de manera que se limitará a producir estos 2 tipos.
Estima que el modelo uno requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo
disponible, mientras que el modelo 2 requiere una unidad de madera y 8 horas de
tiempo disponible.

7. Los precios de los modelos son $1,200 y $800 respectivamente. ¿Cuántos
biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta?
OBJETIVO : Maximizar el ingreso por ventas
RESTRICCIONES : Unidades de madera
Tiempo disponible
VARIABLE DE DECISION:
X1 = Cantidad de biombos tipo I a fabricar
X2 = Cantidad de biombos tipo II a fabricar
Maximizar
Sujeto a:

8. PROBLEMA 2.
Una firma de contadores públicos especializados en preparar liquidaciones y pago
de impuestos así como auditorías en empresas pequeñas. El interés es saber
cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera
que obtengan los máximos ingresos.
Se dispone de 800 horas para trabajo directo y dirección y 320 horas para
revisión.
Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y dirección y 10
horas de revisión, además aporta un ingreso de $3,000.
Una liquidación de impuestos requiere de 8 horas de trabajo directo y dirección y 5
horas de revisión y produce un ingreso de $1,000.
Se pueden realizar tantas auditorías como se desee, pero el máximo de
liquidaciones mensuales disponibles es de 60.
OBJETIVO : Maximizar los ingresos totales
VARIABLE DE DECISION:
X1 = Cantidad de auditorías
X2 = Cantidad de liquidaciones
RESTRICCIONES : Tiempo disponible para trabajo directo
Tiempo disponible para trabajo de revisión
Número máximo de liquidaciones
Maximizar
Sujeto a:

9. Maximizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:

10. Método Simplex.
En el año 1947 se desarrollo el método SIMPLEX. A partir de este logro se
pudieron resolver problemas que por más de un siglo permanecieron en calidad
de estudio e investigación con modelos formulados pero no resueltos. El
desarrollo paralelo de la computación digital, hizo posible su rápido desarrollo y
aplicación empresarial a todo tipo de problemas.
Este método disminuye sistemáticamente un número infinito de soluciones hasta
un número finito de soluciones básicas factibles.
El algoritmo simplex utiliza el conocido procedimiento de eliminación en la
solución de ecuaciones lineales de Gauss- Jordan y, además aplica los llamados
criterios del simplex con los cuales se asegura mantener la búsqueda dentro de un
conjunto de soluciones factibles al problema; así valora una función económica
Z, exclusivamente en vértices FACTIBLES (posibles).
Primero se presenta el método simplex, específico para un modelo de PL en
forma canónica de máximo, aplicado con la conocida tabla matricial, lo cual se
resume mediante el diagrama funcional que muestrará los fundamentos del
algoritmo contenidos en niveles o bloques numerados para la referencia en la
descripción del mismo.
Criterios del Algoritmo Simplex.
El algoritmo simplex emplea los siguientes criterios para asegurar que la
búsqueda de la solución óptima del problema en estudio sea rápida, limitando el
cálculo a soluciones básicas (puntos extremos) que sean factibles.

11. Criterio de optimalidad. Se aplica en el simplex para determinar entre las
variables no básicas, una que entre (VE) a la base, eligiendo en la columna que
tenga el coeficiente más negativo en el renglón "Z" de la tabla, si el problema
es maximizar. Por lo contrario, si el problema es minimizar se elige para
variable entrante (VE) a la base la que cumpla con el coeficiente más positivo en
dicho renglón "Z".
Criterio de factibilidad.- Se aplica en el simplex para determinar entre las
variables básicas, una que salga de la base (VS), eligiéndola que cumpla
en donde Xi es el valor de la variable básica en el renglón i; a ik es un coeficiente
en el mismo renglón i ubicado en la columna k correspondiente a la variable
entrante elegida. Esto es válido tanto para problemas de máximo como de
mínimo.
Elemento pivote: En el cruce correspondiente a columna y renglón elegidos
con los dos criterios anteriores, se ubica un coeficiente denominado
pivote (P)que se utiliza durante las iteraciones o etapas de cálculo del simplex.
Ejemplo 2-1. Aplica método Simplex; PL forma canónica máximo
(MAXCAN1).
Este modelo de PL forma canónica de máximo con sólo dos variables de
decisión, ya se mostró como el Ejemplo 1-13 de método gráfico con la Figura 1-
33.
Nivel 1.-
Se inicia el método simplex para el problema expresado en forma
canónica, sumando una variable de holgura a cada una de las

12. restricciones de desigualdad <= que contiene el modelo, convirtiéndose
todas ellas en igualdades. Las holguras se denotan con X n+1, Xn+2,..., Xn+m.
Otra conveniente notación es: H1, H2,..., Hm; en donde 1,2,...,m, son
restricciones tipo <=. Así se pasa a:
Ahora se tienen tres ecuaciones con (n+m)=(2+3)=5 incógnitas, ampliando
el sistema a 5 dimensiones con dos grados de libertad para la solución del
mismo, lo cual implica un número infinito de soluciones. Se puede
recurrir en lo que sigue, a la analogía geométrica del Ejemplo 1-13 con el
propósito de mostrar parte de la naturaleza geométrica del algoritmo
simplex con la Figura 1-33:
No se puede mostrar una analogía geométrica para el espacio ampliado de
forma estándar en cinco dimensiones con (X1, X2, H1, H2, H3), pero sí se
puede observar el espacio factible OACFE que se genera con sólo dos
dimensiones X1 y X2 en la Figura 1-33; en ambos espacios existe un
número infinito de puntos tanto interiores como en la frontera de la región
factible, aunque sólo existe un número finito de puntos extremos
(vértices).
En teoría, de acuerdo al segundo teorema ya mencionado, la solución
óptima se debe buscar en uno de esos puntos extremos, pero para la
mayoría de los problemas con suficiente tamaño significaría una labor de
cálculo excesiva y costosa e incluso imposible. Para tener una idea de lo
que significa esto, supóngase por ejemplo un problema cuyo modelo de
programación lineal contiene m = 5 restricciones y n = 4 incógnitas,
aplicando el conocido binomio ya mencionado se tendría: (m + n) ! / m! n!
= (5 + 4)! / 5! 4! = 126 vértices; otro ejemplo más, con m = 5 restricciones
y n = 10 variables: (5 + 10)! / 5! 10! = 3003 puntos extremos. Los
ejemplos aquí anotados ciertamente son pequeños, pues lo común en el

13. ámbito de empresa o gobierno, es manejar magnitudes en decenas o
cientos, tanto en restricciones como en variables. Pero el simplex salva
esta circunstancia con eficiencia, tal como se expresa enseguida.
Nivel 2.-
Una solución básica se obtiene estableciendo que de las (m+n) incógnitas
en el sistema de ecuaciones en forma estándar, n variables tengan el
valor cero llamándolas no básicas y resolviendo (si hay solución) para
las restantes m variables que son básicas, componen la base o solución
básica.
El sistema de restricciones en este Ejemplo 2-1 tiene tres ecuaciones con
cinco variables, se pueden expresar tres cualesquiera de estas en función
de las otras dos que por ello se consideran independientes. Como cada
variable de holgura H1, H2, H3, se presenta sólo en una, de las tres
restricciones, conviene hacerlas básicas y las variables de
decisión X1 y X2 se inicien con valor cero como no básicas. De este modo,
para la aplicación del algoritmo simplex, se tiene la primera solución
básica factible siguiente:
La función objetivo Z sólo contiene a las variables de decisión X1 y X2,
con valor actual cero, por lo tanto Z=3(0)+5(0)=0, no satisface el objetivo
de máximo. La comparación geométrica es valorar la línea recta Z en el
origen O, como Zo=0. Esta evaluación en O, no puede ser el máximo valor
porque aún no se emplean los recursos de las tres restricciones los cuales
son asignados a las tres holguras:
Igualando a cero n variables, se reduce la búsqueda desde una
infinidad hasta un número finito de vértices; pero tal número, aún
puede ser grande.
Nivel 3.-
El problema Ejemplo 1-13 (Figura 1-33) condiciona las variables de
decisión X1, X2 >=0, pero en las soluciones básicas que pueden

14. determinarse en nivel 2, no se cumple esta condición para todas las
variables, como se puede comprobar en la tabla para el sistema ampliado
del mismo, que muestra valores negativos en las holguras para las
soluciones básicas B, D y J.
En tal circunstancia, aún se pueden disminuir las soluciones
básicas eliminando las no factibles porque tienen variables con valor
negativo.
Con la tabla Figura 2-2 se inicia el algoritmo simplex, muestra el arreglo
matricial de los coeficientes de acuerdo a la forma estándar de este
ejemplo, con excepción de la función objetivo que se arregla a su forma
equivalente: Máximo Z-3X1- 5X2 = 0, con el formato del sistema de
ecuaciones lineales. Anote el coeficiente cero para las ausentes holguras
en el renglón Z, pero en cambio, el coeficiente 1 de cada una de las
variables de holgura en cada restricción, forman la diagonal en la matriz
unitaria I de base, como conjunto de vectores linealmente independientes
que generan la primera solución en el punto extremo ( X1, X2, H1, H2, H3 )
= ( 0, 0, 4, 12, 18 ), vértice O de la analogía gráfica, Figura 1-33.
Figura 2-2. Tabla simplex, con 1ª solución básica factible, ejemplo
MAXCAN1
Nivel 4.-
A partir de la solución inicial del algoritmo simplex, se puede generar una
nueva solución básica factible; se aplica primero el criterio de
optimalidada la solución básica factible actual, seleccionando entre las
variables no básicas, una variable que entre a la base y por lo
tanto cambie a básica. La selección de VE se hace con el criterio de
conseguir la mayor ganancia unitaria de la función objetivo en un vértice.
Se observa que un incremento unitario en X2, aumenta en 5 el valor de Z,

15. mientras que un incremento unitario en X1, aumenta en 3 el valor de Z; si
se desea el máximo conviene aumentar a X2, dejando a X1 en cero, lo que
corresponde en la analogía geométrica a decidir pasar a valorar el vértice
adyacente A(0,6) a lo largo del segmento frontera OA, incrementando a
X2, desde un valor de cero hasta un valor de 6, conservando X1 su valor
cero (Figura 1-33).
En el simplex, para este ejemplo con el objetivo de maximizar (Figura 2-
3), se aplica la optimalidad seleccionando la variable no básica con
el coeficiente más negativo en el renglón Z de la tabla, señalando la
columna elegida con .
La solución básica del simplex, siempre debe tener m (m=3 en el
ejemplo) variables básicas, entonces la VE del criterio de optimalidad
debe reemplazar a una de las variables básicas que al salir de la base se
convierte en no básica. Así en segundo lugar, se aplica el criterio de
factibilidad, para determinar entre las variables básicas, una que salga de
la base . En la columna izquierda están las variables en la base y
en la columna derecha, se tienen sus valores, los cuales se dividen entre el
coeficiente que sea positivo, en el mismo renglón i de la columna k de la
VE, esto es: Mínimo (12 / 2 = 6; 18 / 2 = 9) = 6, lo cual se cumple para la
variable básica H2, que debe señalarse como .
Figura 2-3. Criterios de optimalidad y factibilidad, en 1ª tabla
simplex, ejemplo MAXCAN1.
Observe, que las variables no básicas X1 y X2 no ocupan lugar en la base, por
eso valen cero. Para aclarar el criterio de factibilidad, considere que se decide el
incremento de valor a X2 para variable entrante VE, lo que significa cambiar al
vértice adyacente A, trasladándose a lo largo de la frontera OA, con un valor para
la variable X1 = 0 que sustituido en el sistema de ecuaciones en forma estándar,
se tiene:

16. Aquí se puede ver la esencia del criterio de factibilidad, al no permitir un valor
mayor a 6 para la variable X2, pues para que H2 ó H3 salgan de la base, deben
anularse: así H2=0 y H3=6, con X2=6; H3=0 y H2 = -6, si X2 = 9; pero al
asignar X2 = mín (6, 9) =6 se impide que la variable H2 sea negativa ya que viola
las condiciones impuestas; en la analogía geométrica significaría evaluar la recta
de la función objetivo en el vértice A adyacente al O y pasar a evaluar el vértice
B no adyacente al O, que además es no factible porque H2 = -6, (Figura 1-33).
En el cruce de la columna que corresponde a y el renglón de la ,
se localiza un coeficiente identificado como pivote (P) que se utiliza para iniciar
el procedimiento de solución de ecuaciones lineales conocido como de Gauss-
Jordan. Para este ejemplo el pivote es 2, en el renglón saliente y columna
entrante , procediendo al cálculo en Figura 2-4 de la siguiente tabla simplex
que es la nueva solución básica factible correspondiente al punto extremo
adyacente A(0, 6) de la analogía geométrica.
La segunda solución básica factible se inicia con la nueva base formada con m =
3 variables básicas; H1 y H3 que se conservan, pero sale H2 y se reemplaza con la
variable X2 como básica en el nuevo punto extremo a evaluar. La tabla simplex
se empieza con el renglón entrante correspondiente a la variable X2; se
calcula dividiendo los coeficientes del renglón saliente entre el
coeficiente pivote P de la tabla solución anterior. En el lado izquierdo de la tabla
se anota la fórmula utilizada RE = RS / P, para lo resultados mostrados en la fila
de X2. Al convertir en básica a la variable X2, se deben hacer las operaciones fila
necesarias para conseguir en su columna, el vector unitario, característico de
una variable básica que forma parte de la matriz I. Por lo tanto se escriben, el
coeficiente 1 en la posición del pivote y coeficientes cero en el resto de la
columna. Además, en el renglón Z de la tabla, el coeficiente correspondiente
también debe resultar cero. Esto debido a que los coeficientes del renglón Z son
indicadores del posible incremento en el valor de la función objetivo. En cuanto
una variable no básica se incrementa de valor haciéndola básica, el coeficiente en
tal renglón resulta de valor cero, indicando así, que X2 ya no puede aportar a
la ganancia representada con la variable Z. En las fórmulas a la izquierda, se usa
la fila RE de la nueva tabla y las filas necesarias de la tabla anterior; la fila H1 se
copia igual porque ya existe el cero en la columna X2.

17. Figura 2-4. Tabla simplex con 2a solución básica factible, ejemplo
MAXCAN1.
Un cálculo con la restricción (2) en la forma estándar: 2X2 + H2 = 12,
sustituyendo los valores X2=6 y H2=0 dados en la segunda tabla simplex: 2(6) +
1(0) = 12, muestra que debe utilizarse todo el recurso (2), produciendo hasta
ahora una ganancia Z = 3X1 + 5X2 = 3(0) + 5(6) = 30, que resulta mejor a Z = 0
anterior.
Observe el único cambio de la base, sigue con tres variables, pero X2 sustituye a
H2 como variable básica y conserva a H1 y H3, de la solución básica factible de
tabla anterior ya que ambas son, de puntos extremos adyacentes.
La nueva solución básica factible valorada con el simplex es, por analogía, el
punto extremo vértice A(0,6) en Figura 1-33: ( X1, X2, H1, H2, H3 ) = ( 0, 6, 4, 0,
6 )
Ahora las variables básicas H1, X2, H3 con vector columna unitario hacen la base
I. La Figura 2-5 repite la segunda tabla con los criterios del simplex aplicados.
Figura 2-5. Criterios de optimalidad y factibilidad, 2ª tabla simplex, ejem
MAXCAN1.

18. El tratamiento algebraico siguiente, fuera del procedimiento simplex en forma
tabular que se está exponiendo, puede satisfacer al estudiante, para comprender
los resultados del renglón Z de la tabla con la segunda solución básica factible:
La ecuación (2) en la forma estándar es 2X2 + H2 =12 ó bien X2 + 1/2 H2 = 6;
despejando: X2 =6 - 1/2H2; sustituyendo en la función: Z - 3X1 - 5X2 = 0, se tiene:
En este proceso algebraico se observa la importancia de los coeficientes en Z: (-
3) para X1 y (+5/2) para la holgura H2, se comprende que se utilicen
comoindicadores para la optimalidad en el simplex. Significa que la variable
X1 no básica y por lo tanto con valor cero, conviene hacerla básica aumentando
su valor, pues su coeficiente en la ecuación indica que por cada unidad asignada
a X1, al valor de Z=30 se le suma 3. Así en la tabla simplex en Figura 2-5 se
decide que X1, variable no básica entre a la base , para incrementar Z. En
cambio Z disminuye, si regresa H2 a la base.
Por otro lado, en la aplicación del criterio de factibilidad se dividen los valores
actuales de las variables básicas, situados en la columna derecha de la tabla, entre
los respectivos coeficientes positivos en la columna X1, que se tiene como VE,
con el resultado: Mínimo ( 4/1 = 4, 6/3 = 2 ) = 2, entonces la variable H3 es
saliente , y se debe reemplazar por la nueva variable básica X1 = 2.
Esto representa el cambio de base del vértice A(0,6) al vértice C(2,6), ambos
puntos extremos adyacentes de la analogía gráfica en la Figura 1-33, lo cual se
identifica en el simplex porque la base H1, X2, H3 anterior, cambia a H1, X2, X1 en
la siguiente solución básica; es decir, sólo difieren en que X1 sustituye a H3.
En el cruce de la columna y el renglón seleccionados para variable entrante a la
base y variable saliente de la base , se ubica el coeficiente
pivote P = 3 en Figura 2-5 que se utiliza para el cálculo de la siguiente iteración.
A continuación se presenta la tercera tabla simplex en la Figura 2-6 que se inicia
colocando las variables básicas H1, X2, X1, así ordenadas en los renglones,
calculando los coeficientes del renglón entrante que se obtienen al dividir el
renglón correspondiente a la variable saliente entre el número pivote 3; RE = RS
/ 3.

19. En el cruce de la columna de X1 con el renglón RE ya determinado debe haber un
número 1, el cual es pivote. La columna X1 debe completarse con coeficientes
cero para que sea vector unitario de esta variable, que con H1 y X2 forman la
matriz de base I.
Con el nuevo renglón RE de esta tabla y los renglones señalados en las fórmulas
anotadas en el lado izquierdo de la misma, se procede al cálculo de los
coeficientes faltantes mediante el procedimiento de eliminación para la solución
de ecuaciones lineales de Gauss-Jordan; anote que en la fila correspondiente a la
variable básica X2, no hay necesidad de calcular sus coeficientes porque el cero
requerido para vector unitario en la columna de X1 ya existe desde la tabla
anterior, por lo que solamente se copia de la misma; resultando la tercera tabla
simplex siguiente en la Figura 2-6
Figura 2-6. Tabla simplex óptima, en 3ª sol. básica factible, ejemplo
MAXCAN1.
Los resultados de esta tabla simplex, muestran los coeficientes indicadores en el
renglón Z, correspondientes a las cinco variables con valor no negativo; según el
criterio de optimalidad significa que ya no hay variables candidatas para entrar a
la base y así se tiene una solución óptima en el renglón Z con un valor:
que debe completarse con la lectura del programa óptimo en las filas de las
variables en la base y columna solución:
Variables de decisión X1 = 2, X2 = 6, variable de holgura H1 = 2. Las variables no
presentes en la base, deben valer cero: holguras H2 = 0, H3 = 0.
Sustituyendo el programa obtenido en el problema con forma estándar se tiene.

20. Las restricciones (2) y (3), se cumplen con valor cero para las holguras H2 y H3,
significa que en esos recursos no existe sobrante. En cambio, el recurso (1) que
vale 4, tiene sobrante que representa la variable básica de holgura H1 = 2.
Entonces la solución óptima se tiene en el vértice C(2,6) de la analogía gráfica,
tal como se anota en la Figura 1-33 y en el espacio ampliado de cinco
dimensiones mostrado en la Figura 1-36 que se manejó en la misma. Con el
método simplex se optimiza en el punto extremo caracterizado con el vector de la
siguiente solución básica factible:
En la Figura 2-7 [HIL67]se muestra el total de tablas simplex aplicado al ejemplo
MAXCAN1, en forma canónica de máximo con sólo dos variables de decisión y
tres restricciones <=.

21. Figura 2-7. Tablas simplex del ejemplo MAXCAN1 con 3 restricciones tipo
<=.
EMPATES EN LOS CRITERIOS DEL SIMPLEX.- Quizá el lector ya pensó
en la posibilidad de empates al aplicar los criterios del simplex para el cambio de
base. Con el criterio de optimalidad, al elegir entre coeficientes
indicadores empatados en el mismo valor, se tiene prioridad con las variables
de decisión y entre estas, se selecciona la variable entrante a la base en forma
arbitraria, pues con diferencia de más o menos iteraciones (no es predecible), se
llega a los mismos resultados. En el caso de empate al aplicar el criterio de
factibilidad, se presenta la situación de degeneración (solución básica no única),
que resulta en el mismo valor para la función objetivo en dos o más iteraciones,
pudiendo llegar al caso extremo de ciclar, vea ejemplo CaVa 27, lo cual sucede
en tan pocas ocasiones, que la teoría y reglas para evitarlo, ya no se tratan. La
variable artificial que se expone en los párrafos siguientes, siempre se debe
intentar eliminar de la base (al menos que en degeneración se anule como
básica); en cuanto al empate entre otras variables se decide arbitrariamente la
variable que debe dejar la base.
Método simplex aplicado en problemas con modelo no canónico.
Si el dedicado lector ya lo pensó así, tiene razón, pues la mayoría de las
programaciones lineales de los problemas no se sujetan a la forma canónica, pero

22. la exposición del simplex con máximo, es más fácil y también más accesible para
el conocimiento del que se inicia. Cuando el modelo de programación lineal que
se desea resolver, ya sea de mínimo o bien de máximo, tiene cualquier tipo de
restricciones, que incluyan las de tipo ( >= ) y / o las de ( = ), en tal caso se
requiere la preparación del modelo utilizando una base artificial. En esta
situación, se requiere aplicar alguna de las siguientes variantes del método
simplex, pues el que ya se explicó en páginas anteriores, no es suficiente.