Manual Modelos Cuantitativos

UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL NORESTE
Maestría en Administración y Liderazgo

ROBERTO FRAIRE DE LA FUENTE
RICARDO MIRELES PIÑA

MODELOS CUANTITATIVOS PARA LA
TOMA DE DECISIONES
Facilitador Alejandro Garza

Manual de Modelos Cuantitativos

21 de Junio de 2012
Piedras Negras, Coahuila

Piedras Negras, Coahuila.


PROGRAMACIÓN LINEAL

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático
mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a
través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también
lineal.
Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal,
denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha
función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante
un sistema de inecuaciones lineales.

APLICACIONES

La programación lineal constituye un importante campo de la optimización
por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de
operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal.
Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas
de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el
desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para
generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados
en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos
de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más
amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de
programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la
teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la
importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la
programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración
de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al
mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la
mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las
finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la
planificación de campañas de publicidad, etc.



Otros son:

 Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal
de distribución de agua.

 Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica,
para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una
determinada frecuencia.

 Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un
sistema de obras hidráulicas;

 Solución de problemas de transporte.

PUNTOS IMPORTANTES A TOMAR EN CUENTA

La Formulación y Construcción del Modelo Lineal implica: a) Definir
claramente las variables de decisión y expresarlas simbólicamente o
convencionalmente. b) Definir claramente la Función Objetivo y las
restricciones y expresarlas matemáticamente como funciones lineales.

Debe cuidarse que los elementos componentes del modelo sean expresados
para el mismo período de tiempo.

Se debe estipular que las variables de decisión sean mayores o iguales a
cero. Esto acerca el modelo a la realidad. En los programas de computadora
para resolver modelos lineales, ya está incluida esta condición y no hace
falta incorporarla manualmente.

Las restricciones, desde el punto de vista matemático, son funciones
lineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor
de las variables de decisión a valores permisibles. Representan recursos,
condiciones o requerimientos establecidos.

Las restricciones del Modelo Lineal general tienen la forma siguiente:

a11 X1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + a14 X 4 + .................. + a1n Xn ³ £ = b1
a21 X1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + a24 X 4 + .................. + a2n Xn ³ £ = b2
a31 X1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 + a34 X 4 + .................. + a3n Xn ³ £ = b3



EJEMPLO

Éste es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema de
transporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se
aprecia la utilidad de este procedimiento de cálculo.
Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es:

 La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día;
 La mina "b" otras 40 t/día; y,
 La Mina "c" produce 20 t/día.
En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen:

 La central "d" consume 40 t/día de carbón; y,
 La central "e" consume 60 t/día
Los costos de mercado, de transporte por tonelada son:

 De "a" a "d" = 2 monedas
 De "a" a "e" = 11 monedas
 De "b" a "d" = 12 monedas
 De "b" a "e" = 24 monedas
 De "c" a "d" = 13 monedas
 De "c" a "e" = 18 monedas
Si se preguntase a los pobladores de la zona cómo organizar el transporte,
tal vez la mayoría opinaría que debe aprovecharse el precio ofrecido por el
transportista que va de "a" a "d", porque es más conveniente que los otros,
debido a que es el de más bajo precio.
En este caso, el costo total del transporte es:

 Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas
 Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas
 Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas
 Total 1.400 monedas.
Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la
programación lineal se tienen las siguientes ecuaciones:



 Restricciones de la producción:

 Restricciones del consumo:

 La función objetivo será:

La solución de costo mínimo de transporte diario resulta ser:

 Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = 480 monedas
 Xa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = 440 monedas
 Xc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = 360 monedas
 Total 1.280 monedas.
120 monedas menos que antes.

SOLUCIÓN DE MODELOS CON EL METODO GRÁFICO

El modelo es formulado por una empresa asesora de inversiones para
elaborar la cartera de un cliente. Las variables X1 y X2 representan la
cantidad de acciones Tipo 1 y 2 a comprar para satisfacer el objetivo
establecido de maximizar el retorno anual de esa inversión o compra de
acciones. El monto total disponible para invertir es de $80.000. El riesgo es
una medida relativa de las dos inversiones alternativas. La acción Tipo 1 es
una inversión más riesgosa. Limitando el riesgo total para la cartera, la
firma inversora evita colocar montos excesivos de la cartera en inversiones
de retorno potencialmente alto pero de alto riesgo. También se limita el
monto de acciones de mayor riesgo.

Max 3X1+ 5X2 (Retorno anual en $)
Sujeto a:
25 X1 + 50 X2 ≤80.000 $ de fondos disponibles
0.5 X1 + 0.25 X2 ≤700 riesgo máximo
1 X1 ≤1.000 acciones Tipo 1
X1, X2 ≤0



Considerando los apartes 5 y 6 de la teoría, en la sección B, se tiene lo
siguiente:

a) Graficar las restricciones:

Restricción 1: Cuando X1 = 0, entonces X2 = 1.600; Cuando X2 = 0,
entonces X1 = 3.200 Una los puntos (3.200, 0) y (0, 1.600 ). El lado de la
restricción “< “ está bajo esa recta.
Restricción 2: Cuando X1 = 0, entonces X2 = 2.800; Cuando X2 = 0,
entonces X1 = 1.400 Una los puntos (1.400, 0) y (0, 2.800). El lado de la
restricción “< “ está bajo esa recta.
Restricción 3: X1 = 1.000 y X2 = 0 Es una recta que parte de la abscisa en
el punto 1.000. El lado de la restricción “< “se tiene, a partir de esa recta,
hacia el lado donde está el punto de origen.

Sombree, o señale de alguna manera, el conjunto convexo llamado también
región posible. (Ver Gráfico 1).

b) Grafique la Función Objetivo asignándole un valor arbitrario. Este valor,
preferiblemente, debe permitir que el objetivo se muestre en la región
solución. Por ejemplo, puede ser utilizado el valor 3.000. Los puntos de
corte en los ejes, para graficarla, son los puntos (1.000, 0) y ( 0, 600). La
Función Objetivo se grafica con línea de color, en este caso, para
diferenciarla de las restricciones.

c) Mueva la Función Objetivo, paralelamente a sí misma en la dirección
que incrementa su valor (hacia arriba en este caso), hasta que toque el
último (los últimos, si los toca al mismo tiempo) punto extremo de la
región solución.

d) En ese punto extremo final, b en este caso, resuelva el par de ecuaciones
que se interceptan. En este caso son las ecuaciones 1 y 2. Utilice cualquiera
de los métodos para resolver pares de ecuaciones lineales con dos
variables.

e) Alternativamente, para determinar la solución óptima, puede calcular las
coordenadas a todos los puntos extremos: a, b, c y d y e, en el conjunto
convexo de soluciones. Luego evalúa la Función Objetivo en cada uno de
ellos. El punto extremo que proporcione el mayor valor será el punto
extremo óptimo.



f) En ambos casos se obtiene la solución óptima en el punto extremo b con
coordenadas (800, 1.200). Así, la solución óptima es X1 = 800 y X2 =
1.200. Resolviendo en la Función Objetivo: Max 3X1+ 5X2 Se obtiene:
3(800) + 5(1.200) = 8.400

En este caso 1, conteste lo siguiente:
1.1 ¿Qué representa el coeficiente de la variable X2 en la Función Objetivo
y en la segunda restricción?
1.2 ¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se
reconoce en el gráfico?
1.3 ¿Cuál es la decisión que se recomendaría con la solución encontrada?
1.4 Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información
que se obtiene.
1.5 ¿Qué efecto tendría sobre la solución óptima encontrada un cambio en
el retorno anual de cada acción Tipo 2. Suponga que cambia a 9. Explique
y muestre sobre el gráfico. ¿Cómo se llama este Análisis que se hace?

RESPUESTAS

1.1 En la Función Objetivo representa el retorno anual de cada acción Tipo
2 comprada, es decir cada acción Tipo 2 que se compre proporcionará un
retorno anual de Bs. 5. En la restricción 2, representa el riesgo medido para
cada acción Tipo 2. Es decir, cada acción Tipo 2 tiene un riesgo de 0.25.

1.2 Solución Única, porque hay una única combinación de acciones Tipo 1
y 2 a comprar que maximiza el retorno anual de la inversión y se reconoce
en el gráfico porque un único punto extremo proporciona el máximo valor
para el objetivo. En este caso, el punto b.

1.3 Comprar 800 acciones Tipo 1 y 1.200 Acciones Tipo 2 para maximizar
el ingreso anual en 8.400 unidades monetarias ($)

1.4 Restricción 1: 25 (800) + 50 (1200) = 80.000 Se observa que se cumple
exactamente, es decir como una igualdad. Esto indica que con esa decisión
óptima se utiliza totalmente el monto máximo de presupuesto disponible
para la compra.



Restricción 2: 0.5 (800) + 0.25 (1200) = 700 Se observa que se cumple
exactamente, es decir como una igualdad. Esto indica que con esa decisión
óptima se tendrá totalmente el monto máximo requerido de riesgo para la
compra.

Restricción 3: 1 (800) = 800; 800 < 1.000 Se observa que se cumple como
una desigualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se compran 800
acciones Tipo 1, 200 menos del monto máximo requerido. Recuerde que
eso está permitido debido que la restricción es “menor o igual a”.

En el gráfico puede observarse, como algo lógico, que las restricciones que
se cumplen como igualdades están cruzando sobre el punto óptimo y las
que se cumplen como desigualdades están en la región solución alejadas
del punto óptimo.

TOMA DE DECISIONES

INTRODUCCION

Para abordar el tema sobre toma de decisiones debemos de tener en
cuenta todas y cada uno de los aspectos que ella abarca.

Es importante saber que las decisiones se presentan en todos los niveles de
la sociedad, sean de mayor o menor incidencia; pero estas implican una
acción que con lleva a un determinado fin u objetivo propuesto.

Es de gran utilidad conocer que procesos se deben aplicar y abarcar para
tomar decisiones efectivas.

Para lograr una efectiva toma de decisiones se requiere de una selección
racional, para lo que primero se debe aclarar el objetivo que se quiere
alcanzar; eso sí, se deben tener en cuenta varias alternativas, evaluando
cada una de sus ventajas, limitaciones y adoptando la que se considere mas
apropiada para conseguir el objetivo propuesto.



Los árboles de decisión se utilizan para decidir entre diversos cursos de
acción. Crean una representación visual de los variados riesgos, las
recompensas y los valores potenciales de cada opción.

Opción en una línea.

Luego toma las líneas de una en una. Al final de la línea, se puede
conseguir un resultado determinado o puede que el resultado es incierto o
puede que haya otra decisión que tomar. Si hay otra decisión, dibuja un
recuadro. Si es incierta, un círculo, y si es un resultado no dibujes nada.
Revisa cada recuadro y cada círculo. Para los recuadros (decisiones) dibuja
líneas para las opciones, marcándolas mientras las haces. Para los círculos
(incertidumbres) traza líneas adicionales para los posibles resultados.
Continúa hasta que hayas completado las posibilidades que van desde la
decisión inicial.Tendrás algo similar al primero de los diagramas de los
árboles de decisión.



Evaluación

Ahora es el momento de averiguar qué opción es la más valiosa para ti.
Primero, estima cuál sería el valor de cada opción para ti. (Los números
rojos de abajo). Luego revisa cada círculo (punto de incertidumbre). Aquí
se determina la probabilidad de cada resultado. Asegúrate de que los
porcentajes suman 100, o que las cantidades de las fracciones son un total
de 1. Ahora tus diagramas del árbol de decisión se parecerán a éste:



Calcular

Comienza en los valores del lado izquierdo y trabaja hacia la derecha. En
cada círculo, multiplica el valor final por la probabilidad de que ocurra. En
nuestro ejemplo, la probabilidad de una promoción es 0.7. Multiplicado por
80,000 se obtiene 56,000.
Cada uno de los valores finales es recalculado de esta manera. También es
útil añadir los gastos que se producirán a lo largo del camino. Te dará una
imagen más precisa del valor neto.

EJEMPLO

Un ama de casa acaba de echar cinco huevos en un tazón con la intención
de hacer una tortilla. Dispone, además, de un sexto huevo del que no
conoce su estado, aunque es de esperar que en caso de encontrarse en buen
estado y no ser utilizado, se estropeará. Al ama de casa se le presentan tres
posibles alternativas:

Romper el huevo dentro del tazón donde se encuentran los cinco
anteriores.
Romperlo en otro tazón diferente.
Tirarlo directamente.

Dependiendo del estado del huevo, las consecuencias o resultados que
pueden presentarse para cada posible alternativa se describen en la
siguiente tabla:



Estado del 6º huevo

Alternativas Bueno (e1) Malo (e2)
Romperlo
5 huevos desperdiciados
dentro del Tortilla de 6 huevos
y no hay tortilla
tazón (a1)
Romperlo en Tortilla de 6 huevos y Tortilla de 5 huevos y
otro tazón (a2) un tazón más que lavar un tazón más que lavar
Tortilla de 5 huevos y
Tirarlo (a3) un huevo bueno Tortilla de 5 huevos
desperdiciado

VALORACIÓN DE LOS RESULTADOS

Aunque los resultados xij no son necesariamente números (como ocurre en
el ejemplo anterior), supondremos que el decisor puede valorarlos
numéricamente, es decir, se asumirá la existencia de una función V(.) con
valores reales tal que:

V(xij)>V(xkl) si y sólo si el decisor prefiere el resultado xij al resultado xkl

Así, en el ejemplo de la tortilla podría realizarse un proceso de valoración
en el que se asignasen números a cada una de los resultados, dando lugar a
una posible tabla como la que sigue:

e1 e2
a1 10 0
a2 8 6
a3 5 7

Por motivos de simplicidad, en lo que sigue identificaremos cada resultado
con su valoración numérica. Así, xij hará referencia tanto al propio
resultado como al valor asignado por el decisor.



ASIGNACIÓN DE RECURSOS

Existen muchas situaciones en las que debemos de dar una de dos
respuestas posibles, SI o NO. Aprovechando las matemáticas podemos
representar estas dos posibilidades con los valores 0 (no) y 1 (si), y así
poder dar solución y tomar decisiones. A esto le llamamos programación
binaria y una de las aplicaciones para esto es el problema de asignación.

Este método analiza el problema de asignar un cierto número de recursos a
un determinado número de tareas, con base en algún tipo de valoración
para cada recurso. Cada recurso, podrá ser asignado a una sola tarea.

El PA consiste en asignar recursos a tareas en función de un objetivo ligado
a la eficiencia del sistema. Un ejemplo típico es el de asignación de
personas a turnos horarios, o el de asignar personas a máquinas.

El esquema tabular del PA es:

MAQUIN AS

M1 M2 ............... Mn ai
c11 c12 c1n
T1 ............... 1

c12 c22 c2n
T2 ............... 1
TAREAS

.........

.........

.........

.........

.........

...............

cm1 cm2 cmn
Tm ............... 1

bj 1 1 ................ 1

Formulación del Programa

Minimizar el costo total de operación de modo que:
• cada tarea se asigne a una y sólo una máquina
• cada máquina realice una y sólo una tarea
m n
Min cij xij
i 1 j 1

s.a.
m
xij 1, j 1..n
i 1
n
xij 1, i 1..m
j 1


Xij: 1 si la tarea i se hace con la máquina j
cij: costo de realizar la tarea i con máquina j
n: tareas
m: máquinas

Si hay más máquinas que tareas se formula con desigualdades, y se
resuelve con tareas ficticias.

METODO HUNGARO

Existen 5 operarios (A, B, C, D y C) que tienen que llenar 5 cargos (I, II,
III, IV y V). La matriz de costos que caracteriza el problema de asignación
es la siguiente

I II III IV V
A 5 3 7 3 4
B 5 6 12 7 8
C 2 8 3 4 5
D 9 6 10 5 6
E 3 2 1 4 5

Determinar la asignación óptima:

1- Se calcula C’ij= Cij – elemento mas pequeño de cada columna

I II III IV V
A 3 1 6 0 0
B 3 4 11 4 4
C 0 6 2 1 1
D 7 4 9 2 2
E 1 0 0 1 1



2. Se calcula C*ij = C’ij – elemento mas pequeño de cada fila

I II III IV V
A 3 1 6 0 0
B 0 1 8 1 1
C 0 6 2 1 1
D 5 2 7 0 0
E 1 0 0 1 1

3. Procederemos a encontrar el número mínimo de recta r que cubren todos
los ceros de la matriz C*
I II III IV V
A 3 1 6 0 0 2
B 0 1 8 1 1 1
C 0 6 2 1 1 1
D 5 2 7 0 0 2
E 1 0 0 1 1 2
2 1 1 2 2

Vemos que r = 4 que es diferente de m=5, por consiguiente no se ha
llegado al óptimo

4. En este caso ⍬= 1 (elemento mínimo no cubierto por las rectas). Se resta
⍬ a todos los elementos no cubiertos por las rectas- Se suma ⍬ a todos los
elementos en las intersecciones entre 2 rectas y se vuelve al paso 3. La
matriz C* se transforma en

Modelos De Transporte

Los problemas de transporte se presentan al planear la distribución de
bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro (origen) hacia
varias ubicaciones de la demanda (destino).

El objetivo es minimizar el costo de embarcar los bienes desde los orígenes
hasta los destinos.



GLOSARIO

REDES: Representación grafica de un problema formado por círculos
numerados (nodos) interconectados por una serie de líneas (arcos); las
puntas de las flechas en los arcos muestran las direcciones de flujo. (flujo
de redes)

NODOS: los puntos de intersección o de unión en una red.

ARCOS: Las líneas que conectan los nodos en una red.

Problema del transporte

Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene
dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales.
Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700
y 600 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en pesetas por
pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el
transporte para que el coste sea mínimo?

Un problema particular que se resuelve con los procedimientos de la
programación lineal es la situación conocida como problema del transporte
o problema de la distribución de mercancías.
Se trata de encontrar los caminos para trasladar mercancía, desde varias
plantas (orígenes) a diferentes centros de almacenamiento (destinos), de
manera que se minimice el costo del transporte.

Para que un problema pueda ser resuelto por el método del transporte debe
cumplir:



1) La función objetivo y las restricciones deben ser lineales
2) El total de unidades que salen en origen debe ser igual al total de
unidades que entran en destino.

Tienda A Tienda B Tienda C
Fábrica I 3 7 1
Fábrica II 2 2 6

En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a
los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no
pueden generarse inventario del producto ni en las fábricas ni en los centros
de ventas.

En consecuencia, los 800 artículos producidos en la fábrica I deben
distribuirse en las cantidades x, y, z a A, B y C, de manera que x + y + z =
800. Pero, además, si desde I se envían x unidades a A, el resto, hasta las
1000 necesarias en A, deben ser enviadas desde la fábrica II; esto es, 1000 -
x unidades serán enviadas desde II a A.

Del mismo modo, si desde I a B se envían y, el resto necesario, 700 - y,
deben enviarse desde II. Y lo mismo para C, que recibirá z desde I y 600 - z
desde II.

En la siguiente tabla de distribución se resume lo dicho:

a la tienda A a la tienda B a la tienda C
Envíos
(1000) (700) (600)
Desde la fábrica I (
X y 800 - x - y
800)
Desde la fábrica II
1000 - x 700 - y x + y - 200
(1500)

La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma:
Como x + y + z = 800 , se tiene que z = 800 - x - y, de donde, 600 - z = 600
- (800 - x - y) = x + y - 200.

Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que
cero. Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades:



x 0 ; 1000 - x 0;y 0; 700 - y 0 ; 800 - x - y 0 ; x + y - 200 0

Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes
inecuaciones:

1000 x 0 ; 700 y 0 ; 800 x+y 0

Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al máximo los costes de
transporte. Estos costes se hallan multiplicando las cantidades enviadas a
desde cada fábrica a cada tienda por los respectivos costes de transporte
unitario.
Se obtiene:

Z = f(x,y) = 3x + 2(1000 - x) + 7y + 2(700 - y) + (800 - x - y) + 6(x + y -
200) = 6x + 10y + 3000

En definitiva, el programa lineal a resolver es :

Minimizar: Z = 6x + 10y + 3000
sujeto a: 1000 x 0
700 y 0

800 x+y 0

La región factible se da en la imagen del margen.

Sus vértices son A(200,0) ; B(800,0) ; C(100,700) ; D(0,700) y E(0,200).

El coste, el valor de Z en cada uno de esos puntos, es:

en A, 4200
en B, 7800
en C, 10600
en D, 10000
en E, 5000



El mínimo se da en A , cuando x = 200 e y = 0.

Luego, las cantidades a distribuir son:

a la tienda A a la tienda B a la tienda C
Envíos
(1000) (700) (600)
Desde la fábrica I (
200 0 600
800)
Desde la fábrica II
800 700 0
(1500)

SOLUCION CON WINQSB

Ejemplo:
Una empresa importa bienes por dos puertos: Filadelfia y Nueva
Orleans. Los embarques de un producto se efectúan a clientes en
Atlanta, Dallas, Columbus y Boston. Para el siguiente periodo de
planeación, los suministros en cada puerto, la demanda de los clientes y
los costos de embarque por caja desde cada puerto a cada uno de los
clientes, son como sigue:

Menú del Programa
1. Tipo de problema (Problema de transporte).
2. Elegir si es de Máximo o Mínimo
3. Entrada de datos por forma de matriz o celdas y columnas
4. Titulo de programa
5. Numero Recursos
6. Numero de Destinatarios



Llenado de los datos también puedes modificar las celdas y columnas
normalmente están por default sin un formato.

Representación en red del sistema de distribución (problema de transporte).

Solución del problema



MODELOS DE INVENARIO

INTRODUCCION
Tanto el inventario, como las cuentas por cobrar, presentan una proporción
significativa de los activos en la mayoría de las empresas que requieren de
inversiones sustanciales. Por ello, las prácticas administrativas que den
como resultado minimizar el porcentaje del inventario total, pueden
representar grandes ahorros en dinero.

OBJETIVOS
El objetivo de los modelos de inventarios es presentar algunos métodos que
ayuden a lograr una buena administración en los inventarios y una relación
eficiente de ellos con la Administración Financiera.

CONCEPTOS BÁSICOS DE INVENTARIO
Los inventarios son un puente de unión entre la producción y las ventas. En
una empresa manufacturera el inventario equilibra la línea de producción si
algunas maquinas operan a diferentes volúmenes de otras, pues una forma
de compensar este desequilibrio es proporcionando inventarios temporales
o bancos. Los inventarios de materias primas, productos semiterminados y
productos terminados absorben la holgura cuando fluctúan las ventas o los
volúmenes de producción, lo que nos da otra razón para el control de
inventarios. Estos tienden a proporcionar un flujo constante de producción,
facilitando su programación.

VENTAJAS DE UN SISTEMA DE INVENTARIO
Con el, la empresa puede realizar sus tareas de producción y de compra
economizando recursos, y también atender a sus clientes con mas rapidez,
optimizando todas las actividades de la empresa. Sin embargo, se presenta
una desventaja que es el costo de mantenimiento; ya que se debe considerar
el costo de capital, el costo de almacenaje, el costo de oportunidad
causando por inexistencia, y otros.
El inventario debe incrementarse hasta donde el resultado de ahorro sea
mayor que el costo total de mantener un inventario adicional. La eficiencia
del proceso de un sistema de inventarios es el resultado de la buena
coordinación entre las diferentes áreas de la empresa, teniendo como
premisas sus objetivos generales.



CONTROL DE INVENTARIOS
Objetivos generales:
Minimizar la inversión en el inventario.
Minimizar los costos de almacenamiento.
Minimizar las perdidas por daños, obsolescencia o por artículos
perecederos.
Mantener un inventario suficiente para que la producción no carezca de
materias primas, partes y suministros.
Mantener un transporte eficiente de los inventarios, incluyendo las
funciones de despacho y recibo.
Mantener un sistema eficiente de información del inventario.
Proporcionar informes sobre el valor del inventario a contabilidad.
Realizar compras de manera que se pueden lograr adquisiciones
económicas y eficientes.
Hacer pronósticos sobre futuras necesidades de inventario.

MODELO LEO, LOTE ECONÓMICO DE ORDENAR

Este modelo es utilizado para saber cuanto y cuando ordenar.

Suposiciones del modelo para poder ser utilizado:

1. La demanda D es constante.
2. La cantidad a ordenar Q es siempre la misma.
3. El costo por pedido Co y por unidad C, es constante y no depende de
la cantidad ordenada.
4. El costo de mantener un inventario por unidad por periodo de tiempo
Ch, es constante. Y depende del tamaño del inventario.
5. No se permite que se agoten las existencias ni tener pedidos
pendientes de surtir.
6. El tiempo de entrega para un pedido es constante.
7. Revisión constante de inventario, por tanto, se coloca un pedido tan
pronto como la posición del inventario alcanza el punto de re-orden.



En la práctica rara vez nos encontraremos que la situación del inventario
real, satisface exactamente las suposiciones del modelo. Por lo tanto, el
administrador deberá determinar si el modelo se puede aplicar al caso.

Por ejemplo, en la siguiente tabla nos muestra la demanda por semanas;
podemos observar que la demanda no es exactamente igual en cada una de
las semanas, sin embargo podemos ver que la variación de la mayor a la
menor no es tan grande. Entonces si hacemos un promedio podemos
suponer una demanda constante de 20,000 cajas.

Por lo tanto en la siguiente imagen podemos ver el patrón que sigue este
tipo de inventario, donde tiene una tasa de demanda constante.

CUANTO ORDENAR ?

Empezaremos por saber cuanto ordenar. Debemos de llegar al punto
intermedio entre:



1. Mantener inventarios pequeños y ordenar frecuentemente. (costos
por fincar pedidos)
2. Mantener inventarios grandes y ordenar con poca frecuencia. (costos
por mantenimiento y almacenamiento)

Por lo tanto debemos comparar los costos de ordenar y mantener. Así
encontraremos el punto en que se minimizan los costos de mantener y
ordenar.

Costos de Mantener:

Costo de Capital: porcentaje anual en base a la inversión del
inventario.
Seguros, impuestos, robos y gastos: porcentaje anual del valor del
inventario.

Costos de Ordenar:

Se considera fijo sin importar la cantidad del pedido
Procesamiento del pedido
Teléfono
Transporte
Verificación de la factura
Recepción
Salarios

Por lo tanto aquí las tres cosas que debemos saber son:

1. Costo de Mantenimiento
2. Costo de Ordenar
3. Demanda

Ejemplo

1. Costo de Mantenimiento – 25%
Costo de capital – 18%
Costo de mantenimiento – 7%



Costo anual de mantener una unidad:

Ch=IC Ch=(.25)($8)= $2

2. Costo de Ordenar Co - $32

Sueldo del comprador $15
Otros costos $17

3. Demanda D - $104,000 cajas

D=(2000 cajas/semana)(52)= 104,000 año

Una vez teniendo los datos anteriores, procedemos a aplicar las siguientes
fórmulas:

Fórmula LEO

Q*=√2DCo
Ch

Q*=√2(104,000)(32) = 1,824 cajas
2

Función de Cuanto Ordenar

TC = 1QCh + D(Co)
2 Q
TC = 1(1,824)(2) + 104,000(32) = 3,648
2 1,824

CUANDO ORDENAR ?

El punto de re-orden es la posición del inventario en el cual debe colocarse
un pedido nuevo.



Debemos conocer:
Demanda 104,000
Días hábiles 250
Demanda diaria 104,000/250=416 cajas
Tiempo de entrega 2 días

Fórmula para el Punto de re-orden

r= dm

r= (416)(2días)= 832 cajas

Donde:
d – demanda diaria
m – tiempo de entrega

Lo que significa que hay que ordenar un pedido nuevo cuando el inventario
alcance las 832 cajas.

Tiempo del Ciclo

Tiempo o periodo entre pedidos.

T= 250Q*= 250(1,824)= 4.39
2 2

Lo que significa que debemos ordenar cada 4.39 días hábiles
aproximadamente.

MODELO LEO, DE PRODUCCIÓN

Este es similar al modelo LEO, pero en lugar de asumir que el pedido llega
todo en un solo día, suponemos que las unidades se suministran al
inventario en una tasa constante a lo largo de varios días.

Este se aplica para situaciones de producción, donde el tamaño del lote de
producción será Q.

Solo aplica donde la tasa de producción es mayor que la tasa de la
demanda, para poder satisfacer la demanda.



El costo de ordenar ahora cambiara por el costo de montaje de la
producción. Mano de obra, material y costo de producción perdida.

En la siguiente imagen podemos ver el patrón que sigue este tipo de
inventario.

Entonces conociendo los datos anteriores como en el modelo LEO
aplicamos las siguientes fórmulas:

Fórmula LEO de producción

Q*=√2DCo
(1-D)Ch
P

Función de cuanto ordenar

TC = 1(1-D)QCh - D(Co)
2 P Q

MODELO DE REVISIÓN PERIÓDICA

Los modelos de inventario de cantidad a ordenar en punto de re-orden
expuestos con anterioridad requieren un sistema de inventario de revisión
continua. En un sistema de inventario de revisión continua, la posición del
inventario se vigila continuamente de modo. Que pueda colocarse un
pedido siempre que se alcanza el punto de re-orden.



Una alternativa al sistema de revisión continua es el sistema de inventario
de revisión periódica. Con un sistema de revisión periódica, el inventario
se vigila y se hace el reordenamiento sólo en puntos específicos en el
tiempo. Por ejemplo, el inventario puede verificarse y los pedidos colocarse
en forma semanal, catorcenal, mensual o con alguna otra base periódica.

MODELO DE REVISIÓN PERIÓDICA
CON DEMANDA PROBABILÍSTICA

Q=M-H

Q = la cantidad a ordenar
M = el nivel máximo
H = el inventario disponible en el periodo revisado

Debido a que la demanda es probabilística, el inventario disponible en el
periodo de revisión, H, variará. Por tanto, puede esperarse que la cantidad a
ordenar varíe cada periodo. Por ejemplo, si el nivel máximo para un
producto es 50 unidades, y el inventario disponible en el periodo de
revisión es H = 12 unidades, deberá hacerse un pedido de Q = M - H = 50 -
12 = 38 unidades. Por tanto, bajo el modelo de revisión periódica, se
ordenan suficientes unidades cada periodo de revisión para regresar la
posición del inventario de nuevo al nivel máximo.

Easy WMS®

Es un software de gestión de almacenes dirigido a empresas de cualquier
envergadura y dedicadas a los más diversos sectores de actividad ya que
encaja en cualquier compañía: desde una pequeña empresa con un almacén
convencional hasta el control logístico de un aeropuerto.

Ventajas:

Incremento de la productividad logística y disminución del número
de operaciones.
Control total de las ubicaciones.
Control de la preparación de pedidos en tiempo real.
Control de la productividad de los operarios.
Eliminación de errores en las expediciones.
Incremento de la rapidez en la preparación y envío de pedidos.



Mejora en el cumplimiento de los plazos de entrega de pedidos.
Reducción del tiempo en multitud de tareas dentro de la cadena de
suministro.
Mejor aprovechamiento de los recursos físicos y humanos.

Reducción drástica de los costes de pérdida por caducidad o por pérdida
desconocida.

PRONÓSTICOS

Pronosticar consiste en utilizar datos pasados para determinar
acontecimientos futuros mediante algún tipo de modelo matemático.

Puede ser una predicción del futuro subjetiva o intuitiva. O bien una
combinación de ambas, es decir, un modelo matemático ajustado por el
buen juicio de un administrador.



Aunque también deberán de estar consientes que sin importar la técnica
utilizada no existen los pronósticos perfectos.

Los métodos de pronósticos se pueden clasificar como cuantitativos o
cualitativos.

Enfoque Cualitativo

En este enfoque no se dispone de datos históricos, los gerentes pueden usar
una técnica cualitativa para elaborar pronósticos, pero el costo de utilizar
estas técnicas puede ser alto debido al compromiso de tiempo requerido de
las personas implicadas.

Método Delfos.
Intenta elaborar pronósticos por medio del consejo de grupo. Su meta no es
producir una sola respuesta como salida, sino, en su lugar, producir un
despliegue de opiniones relativamente reducido dentro del cual coincida la
mayoría de los expertos.

Juicio experto o juicio de expertos.
Los pronósticos cualitativos con frecuencia se basan en el juicio de un solo
experto o representa el consenso de un grupo de expertos.
Este método se recomienda cuando no es probable que las condiciones en
el pasado se mantengan en el futuro.

Redacción de escenario.
Consiste en elaborar un escenario conceptual del futuro basado en un
conjunto de suposiciones bien definidas; diferentes conjuntos de
suposiciones conducen a diferentes escenarios.
El tomador de decisiones debe decidir que tan probable es cada escenario y
luego tomar decisiones en consecuencia.

Enfoques intuitivos.
Capacidad de la mente para procesar información que es difícil cuantificar.
Se usa en trabajos de grupo, en los cuales un comité o panel busca
desarrollar ideas nuevas o solucionar problemas complejos por medio de
una serie de sesiones de lluvia de ideas.

Enfoque Cuantitativo

Este enfoque es utilizado cuando



* Se dispone de información pasada acerca de la variable que se va a
pronosticar,

* La información puede cuantificarse y es razonable suponer que el
patrón del pasado continuara en el futuro.

Para estos casos se puede elaborar un método de series de tiempo o método
causal.

Los métodos de pronóstico causal se basan en la suposición de que la
variable que estamos tratando de pronosticar exhibe una relación causa -
efecto con una o más de otras variables.

PROMEDIO MÓVIL SIMPLE (PMS)

Esta técnica sirve para calcular el pronóstico de ventas para el siguiente
periodo exclusivamente, como su nombre lo indica es un promedio que se
obtiene n datos; para definir en forma práctica cuál será el mejor resultado,
se deberá tomar en cuenta el de menor error al cuadrado < (D-P)2.
Estos n datos están en función de cómo queramos promediar u obtener
resultados, con menor o mayor exactitud; n puede valores comprendidos
entre 2,3,4,5....etc. en la práctica es recomendable utilizar bloques de
información que en promedio tengan 10 ó mas datos, lo cual no permitirá
una mejor interpretación o visión del comportamiento de ese producto o
pronóstico.

Ejemplo:

La empresa Barcel S.A. de C.V. desea elaborar el pronóstico de ventas (o
de la demanda ) para uno de sus productos de mayor demanda en el
mercado se le conoce como "chicharrones Barcel ", este pronóstico de la
demanda si requiere para el mes de octubre de 2003, para lo cual se debe
considerar que n= 2, 3, 4. sabiendo que los últimos meses el área de
mercadotecnia ha registrado la int. histórica que se indica en la siguiente en
la siguiente tabla



Cuando n= 2
Periodos Demanda (D) Pronósticos (D-P) (D-P)2
Mensuales (P)
Enero 30 - - -
Febrero 35 - - -
Marzo 28 32.5 -4.5 20.25
Abril 20 31.5 -11.5 132.25
Mayo 25 24 1 1
Junio 30 22.5 7.5 56.25
Julio 35 27.5 7.5 56.25
Agosto 40 32.5 7.5 56.25
Septiembre 50 37.5 12.5 156.25
Octubre ¿? 45 S = 478.5

Cuando n= 3
Mensuales (P)
Enero 30 - - -
Febrero 35 - - -
Marzo 28 - - -
Abril 20 31 -11 121
Mayo 25 27.66 -2.66 7.07
Junio 30 24.33 5.66 32.14
Julio 35 25 10 100
Agosto 40 30 10 100
Septiembre 50 35 15 225
Octubre ¿? 41.66 S 585.21



Cuando n= 4
Mensuales (P)
Enero 30 - - -
Febrero 35 - - -
Marzo 28 - - -
Abril 20 - - -
Mayo 25 28.25 -3.25 10.56
Junio 30 27 3 9
Julio 35 25.75 9.25 85.56
Agosto 40 27.5 12.5 156.25
Septiembre 50 32.5 17.5 306.25
Octubre ¿? 38.75 S 567.62

Nota: En base a esta técnica podemos decir en conclusión que el mejor
pronóstico es de 45 unidades porque (D-P)2 es menor con respecto a los
otros datos.


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