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Departamento del Ámbito Científico – Tecnológico
ESPA/ESPAD
MATEMÁTICAS
Nivel 1.2
Centro de Educación de Personas Adultas – GIJÓN
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 2
POLIEDROS ............................................................................................................................................7
ELEMENTOS DE UN POLIEDRO ..........................................................................................................................7
POLIEDROS CÓNCAVOS Y CONVEXOS .................................................................................................................8
PRISMAS................................................................................................................................................8
ELEMENTOS DE UN PRISMA: ............................................................................................................................8
CLASES DE PRISMAS .......................................................................................................................................9
DESARROLLO DEL PRISMA ...............................................................................................................................9
ÁREAS Y VOLUMEN DE UN ORTOEDRO................................................................................................10
Áreas del ortoedro .............................................................................................................................10
Volumen del ortoedro........................................................................................................................10
PRISMAS: ÁREAS Y VOLUMEN .............................................................................................................11
Áreas de un prisma ............................................................................................................................11
PIRÁMIDES ..........................................................................................................................................12
ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE: .....................................................................................................................12
CLASES DE PIRÁMIDES ..................................................................................................................................12
DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE .....................................................................................................................12
PIRÁMIDE: ÁREAS Y VOLUMEN........................................................................................................................13
Áreas de la pirámide..........................................................................................................................13
Volumen de la pirámide.....................................................................................................................13
CUERPOS DE REVOLUCIÓN...................................................................................................................13
CILINDRO...................................................................................................................................................13
Elementos del cilindro........................................................................................................................14
Desarrollo del cilindro........................................................................................................................14
CILINDRO: ÁREAS Y VOLUMEN.............................................................................................................15
Áreas del cilindro ...............................................................................................................................15
Volumen de un cilindro ......................................................................................................................15
CONO...................................................................................................................................................15
ELEMENTOS DEL CONO.................................................................................................................................15
DESARROLLO DEL CONO................................................................................................................................16
CONO: ÁREAS Y VOLUMEN.............................................................................................................................16
Áreas del cono....................................................................................................................................16
Volumen de un cono ..........................................................................................................................16
LA ESFERA..................................................................................................................................................17
Elementos de la esfera.......................................................................................................................17
ESFERA: ÁREA Y VOLUMEN..................................................................................................................17
Área de la esfera................................................................................................................................17
Volumen de la esfera .........................................................................................................................17
UNIDADES DE VOLUMEN .....................................................................................................................18
RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD ............................................................................18
PROPORACIONALIADAD ARITMÉTICA..................................................................................................19
RAZÓN Y PROPORCIÓN..................................................................................................................................19
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 3
PROPORCIÓN..............................................................................................................................................19
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES............................................................................................19
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD...............................................................................................................19
CUARTO PROPORCIONAL ..............................................................................................................................20
Calculo del cuarto proporcional.........................................................................................................20
PROPORCIONALIDAD DIRECTA. APLICACIONES...................................................................................21
REGLA DE TRES SIMPLE .................................................................................................................................21
PORCENTAJES .............................................................................................................................................22
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO EL % DE IVA.......................................................................................24
Calcular precio final de un artículo después de aplicarle el IVA........................................................24
Calcular el precio inicial conocido el precio final y el IVA aplicado. ...................................................24
REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES....................................................................................................25
PORCENTAJES: TABLAS ESTADÍSTICAS .................................................................................................26
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES ..............................................................................27
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA .....................................................................................................................27
REGLA DE TRES COMPUESTA ...............................................................................................................27
SOLUCIÓN MEDIANTE PROPORCIONES: ............................................................................................................27
SOLUCIÓN UTILIZANDO EL SISTEMA DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD:..........................................................................28
REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES:...................................................................................32
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA........................................................................................33
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA...........................................................34
Datos de una función representados en una tabla:...........................................................................34
Datos de una función representados en un gráfico: ..........................................................................34
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA .......................................................................................36
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA.....................................................................................................37
Semejanza de figuras planas .............................................................................................................37
APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS....................................................................................................38
Escalas ...............................................................................................................................................38
Cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra. ......................................................40
TEOREMA DE TALES.....................................................................................................................................41
TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES ................................................................................................41
APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES............................................................................................................42
Dividir un segmento en partes iguales...............................................................................................42
TEOREMA DE PITÁGORAS..............................................................................................................................43
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS.....................................................................................................44
Calcular la altura de una escalera: ....................................................................................................44
Cálculo de la diagonal de un rectángulo............................................................................................44
Cálculo de la apotema de un hexágono regular ................................................................................44
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ............................................................................................................45
EXPERIMENTOS ALEATORIOS..........................................................................................................................45
SUCESOS: ESPACIO MUESTRAL .......................................................................................................................45
Suceso elemental. ..............................................................................................................................45
Suceso compuesto .............................................................................................................................45
Espacio muestral................................................................................................................................45
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 4
FRECUENCIAS .............................................................................................................................................46
Frecuencia absoluta...........................................................................................................................46
Frecuencia relativa.............................................................................................................................47
PROBABILIDAD............................................................................................................................................47
FRECUENCIA Y PROBABILIDAD ........................................................................................................................47
ESTADÍSTICA...............................................................................................................................................48
VARIABLES ESTADÍSTICAS: CLASIFICACIÓN.........................................................................................................48
Clasificación de las variables estadísticas:.........................................................................................48
LAS TABLAS ESTADÍSTICAS .............................................................................................................................48
Tablas: variables cuantitativas discretas y cualitativas.....................................................................48
Tablas: variables cuantitativas continuas..........................................................................................50
TIPOS DE INTERVALOS: .................................................................................................................................50
FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA.................................................................................................................51
TABLA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Y PORCENTAJES VARIABLE DISCRETA: ................................................................51
TABLA DE FRECUENCIAS Y PORCENTAJES VARIABLES CONTINUAS...........................................................................52
FRECUENCIAS ACUMULADAS..........................................................................................................................53
GRÁFICOS..................................................................................................................................................53
VARIABLES DISCRETAS............................................................................................................................53
Diagrama de barras:..........................................................................................................................53
Polígono de frecuencias:....................................................................................................................54
VARIABLES CONTINUAS..........................................................................................................................54
Histograma:.......................................................................................................................................54
Polígono de frecuencias:....................................................................................................................55
DIAGRAMA DE SECTORES ..............................................................................................................................56
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN.......................................................................................................................57
Media aritmética :...........................................................................................................................57
Mediana.............................................................................................................................................59
Calcular la mediana cuando la variable estadística es discreta.........................................................60
Cálculo de la mediana si los valores están agrupados en intervalos. ...............................................60
Moda, Mo ..........................................................................................................................................61
NÚMEROS ENTEROS ............................................................................................................................65
MAGNITUDES ABOLUTAS Y RELATIVAS..............................................................................................................65
NÚMEROS ENTEROS, Z.................................................................................................................................65
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS SOBRE LA RECTA............................................................................66
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO ......................................................................................................66
ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS.................................................................................................................66
NÚMEROS OPUESTOS...................................................................................................................................66
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS...........................................................................................................67
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS........................................................................................................................67
La suma de dos números del mismo signo ........................................................................................67
La suma de dos números enteros de distinto signo ...........................................................................67
Suma y resta de más de dos números enteros...................................................................................68
RESTA DE NÚMEROS ENTEROS........................................................................................................................69
SUMAS Y RESTAS COMBINADAS ......................................................................................................................69
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS .........................................................................................................70
DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS.....................................................................................................71
POTENCIACIÓN ...........................................................................................................................................71
Propiedades de la potenciación .........................................................................................................71
OPERACIONES CON POTENCIAS..............................................................................................................72
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 5
OPERACIONES COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS ..........................................................................................73
ÁLGEBRA..............................................................................................................................................75
EXPRESIÓN ALGEBRAICA ...............................................................................................................................75
EL LENGUAJE ALGEBRAICO.....................................................................................................................75
ECUACIÓN..................................................................................................................................................76
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ........................................................................................................................76
Ecuaciones del tipo ax = b..................................................................................................................76
Ecuaciones en las que los miembros tienen varios términos ............................................................76
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS .........................................................................................................................77
FUNCIONES..........................................................................................................................................79
COORDENADAS CARTESIANAS ........................................................................................................................79
CONCEPTO DE FUNCIÓN ...............................................................................................................................80
FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN ..............................................................................................................81
Mediante un texto: ............................................................................................................................81
Mediante una tabla: ..........................................................................................................................81
Mediante un gráfico: .........................................................................................................................82
Mediante una fórmula o expresión algebraica:.................................................................................82
FUNCIÓN: DOMINIO Y RECORRIDO...................................................................................................................84
FUNCIONES DISCONTINUA Y CONTINUA............................................................................................................85
FUNCIÓN: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO......................................................................................................86
MÁXIMOS Y MÍNIMOS..................................................................................................................................86
FUNCIONES PERIÓDICAS................................................................................................................................88
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA.......................................................................................................88
FUNCIÓN AFÍN............................................................................................................................................89
EJEMPLOS DE INTERPRETACIÓN GRÁFICAS.........................................................................................................90
Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento..............................................................................90
ANÁLISIS DEL DOMINIO O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN......................................................................................90
Dominio y recorrido ...........................................................................................................................91
Crecimiento y decrecimiento .............................................................................................................92
Continuidad y discontinuidad ............................................................................................................92
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 6
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 7
POLIEDROS
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos.
ELEMENTOS DE UN POLIEDRO
Los elementos de un poliedro son los siguientes:
Caras: son los polígonos que limitan y cierran el espacio ocupado por el poliedro.
Aristas: son las líneas donde coinciden por pares las caras.
Vértices: son los puntos donde coinciden tres o más caras.
Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras.
Ángulo poliedro: es el ángulo formado por tres o más caras, con un punto común, el
vértice.
Desarrollo plano de un poliedro: es la superficie que resulta al extenderlo sobre un
plano:
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 8
POLIEDROS CÓNCAVOS Y CONVEXOS
Poliedros convexos son poliedros en los que al prolongar cualquiera de sus caras,
estas no cortan al poliedro.
Poliedros cóncavos son poliedros que tienen alguna cara que al prolongarla corta el
poliedro.
PRISMAS
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas
bases y sus caras laterales son paralelogramos.
ELEMENTOS DE UN PRISMA:
Bases o caras básicas: son dos polígonos
iguales situados en planos paralelos.
Caras laterales: son paralelogramos.
Aristas básicas: son los lados de los polígonos
de las bases.
Aristas laterales: son los lados de las caras
laterales que unen las bases.
Vértices: son los puntos donde se cortan las
aristas.
Altura: es la distancia entre las bases.
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 9
CLASES DE PRISMAS
Para nombrar un prisma hacemos referencia a los polígonos de las bases.
Prismas rectos: son prismas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados.
Prismas oblicuos: son prismas cuyas caras laterales son romboides o rombos.
Prismas regulares: son los prismas cuyas bases son polígonos regulares.
Prismas irregulares: son los prismas cuyas bases son polígonos irregulares.
Prismas paralelepípedos: son prismas que tienen todos sus lados paralelogramos.
Ortoedros: son prismas cuyas caras son todas rectángulos.
DESARROLLO DEL PRISMA
El desarrollo plano de un prisma recto está formado por los dos elementos siguientes:
- Los dos polígonos de las bases.
- Un rectángulo compuesto de sus caras laterales, cuya altura es la altura del
prisma y el largo el perímetro de la base.
El desarrollo plano de un prisma oblicuo está compuesto por un romboide y los dos
polígonos de la base.
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 10
ÁREAS Y VOLUMEN DE UN ORTOEDRO
a = largo b= profundo c = altura
El área lateral del ortoedro es igual al área de las caras laterales sin las bases.
El área total es el área lateral más el área de las dos bases.
Las fórmulas siguientes indican cómo calcular área lateral y total de un ortoedro:
Áreas del ortoedro
Área lateral = 2ac + 2bc
Área total: 2ab + 2ac + 2bc
Las áreas del ortoedro se pueden expresar de la forma siguiente:
Área lateral = perímetro base · altura
Área total = área lateral + 2 · área base
El área se expresa en m2
y sus múltiplos y divisores.
Volumen del ortoedro
Volumen = a · b · c
Volumen = largo · ancho · alto
Volumen = área de la base por altura
El volumen se expresa en m3
o en sus múltiplos y divisores.
a
c
b
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 11
PRISMAS: ÁREAS Y VOLUMEN
Áreas de un prisma
Área lateral = Perímetro base · altura
Área total = Área lateral + 2 · Área base
Se expresa en m2
, sus múltiplos y divisores.
Volumen de un prisma
Volumen prisma = Área base · altura
El volumen se expresa en m3
o sus múltiplos y divisores.
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 12
PIRÁMIDES
La pirámide regular es un poliedro limitado por un polígono regular, llamado base, y
por tantos triángulos como lados tenga la base.
ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE:
Base: es un polígono cualquiera.
Caras laterales: son triángulos que
concurren en un punto llamado vértice de la
pirámide.
Aristas básicas y aristas laterales: son las
aristas de la base y de las caras laterales.
Altura: es el segmento perpendicular
trazado desde el vértice a la base.
Las pirámides se nombran añadiendo a la
palabra pirámide el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).
CLASES DE PIRÁMIDES
Pirámide recta: se caracteriza porque todas sus caras laterales con triángulos
isósceles. Si no es así, decimos que la pirámide es oblicua.
Pirámide regular: es la que además de ser recta, su base es un polígono regular. Si
no cumple estas dos condiciones, la pirámide se denomina irregular.
Apotema de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE
El desarrollo de una pirámide está formado por tantos triángulos isósceles como lados
tenga la base y el polígono de la base.
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 13
PIRÁMIDE: ÁREAS Y VOLUMEN
El área lateral de una pirámide es igual al perímetro de la base por la apotema dividido
entre dos:
Áreas de la pirámide
Área lateral =
2
pirámideapotemaxbaseladePerímetro
Área total = Área lateral + área de la base
Volumen de la pirámide
Volumen =
3
alturabaseArea
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana
que gira alrededor de un eje. El cono, el cilindro y la esfera no son poliedros porque no
están limitados por polígonos.
CILINDRO
Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado a partir de un rectángulo que gira
alrededor de uno de sus lados.
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 14
Elementos del cilindro
Eje del cilindro: es el lado sobre el
que gira el rectángulo que genera el
cilindro.
Altura: es la longitud del eje.
Generatriz: es la longitud del lado
opuesto al eje, o el lado que genera la
superficie lateral del cilindro.
Bases: son dos círculos iguales y
paralelos que se generan al girar los
lados perpendiculares al eje.
Radio: es el radio de la base, o la
longitud de los lados perpendiculares
al eje.
Desarrollo del cilindro
El desarrollo de un cilindro está formado por dos figuras geométricas planas:
 Un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base y su
altura es la altura del cilindro.
 Dos círculos iguales que constituyen las bases.
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 15
CILINDRO: ÁREAS Y VOLUMEN
El área lateral del cilindro es igual al área del rectángulo cuya base es la longitud de la
circunferencia de la base:
Áreas del cilindro
Área lateral = 2 rh
Área total = Área lateral + 2 · área de la base = 2πrh + 2 r2
Volumen de un cilindro
Volumen = r2
h
CONO
El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo que gira
alrededor de uno de sus catetos.
ELEMENTOS DEL CONO
Eje del cono: es el cateto sobre el que
gira el triángulo.
Altura: es la longitud del eje.
Generatriz: es la longitud de la
hipotenusa del triángulo.
Base: es el círculo generado al girar el
cateto perpendicular al eje.
Radio: es el radio de la base o la
longitud del cateto perpendicular al eje.
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 16
DESARROLLO DEL CONO
El desarrollo de un cono está formado por los dos siguientes elementos:
- Un sector circular con longitud 2πr, siendo r el radio de la base, y radio del
sector coincide con generatriz del cono g.
- Un círculo con radio r.
CONO: ÁREAS Y VOLUMEN
Áreas del cono
Área lateral = πrg
Área total = área lateral + área de la base = πrg + πr 2
Volumen de un cono
Volumen =
3
hrπ
3
alturabaseArea 2
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 17
LA ESFERA
La esfera es un cuerpo en revolución engendrado por un semicírculo que gira en torno
a su diámetro.
Elementos de la esfera
Eje de la esfera: es el diámetro sobre el que gira el semicírculo.
Centro: es el centro del semicírculo.
Radio: es el radio del semicírculo.
La esfera no tiene desarrollo plano. No se diferencia el área lateral y área total:
ESFERA: ÁREA Y VOLUMEN
Área de la esfera
Área de la esfera = 4πr2
Volumen de la esfera
Volumen esfera =
Cuerpos geométricos
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 18
UNIDADES DE VOLUMEN
El metro cúbico es la medida del volumen de un cubo que tiene 1 m de arista.
UNIDADES DE VOLUMEN
NOMBRE SÍMBOLO
MULTIPLOS
miriámetro cúbico mam
3
kilómetro cúbico km
3
hectómetro cúbico hm
3
decámetro cúbico dam
3
UNIDAD metro cúbico m3
DIVISORES
decímetro cúbico dm
3
centímetro cúbico cm
3
milímetro cúbico mm3
RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD
La relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa es la siguiente:
1m3
= 1kl = tonelada (t)
1 dm3
= 1litro (L) = kg
1 cm3
= 1mL = 1g
Ejemplos:
VOLUMEN CAPACIDAD MASA
59 dm3
= 59 l = 59 kg
35 m3
= 35 kl = 35 t
250 cm3
= 250 mL = 250 g
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 19
PROPORACIONALIADAD ARITMÉTICA
RAZÓN Y PROPORCIÓN
La razón es la relación entre dos magnitudes. La razón se expresa como cociente
entre las dos magnitudes. Una razón se escribe de la forma siguiente:
b
a
→ “a es a b” →
econsecuent
eantecedent
.
PROPORCIÓN
Una proporción es la igualdad entre razones.
d
c
b
a
“a es b, como c es a d”
Los términos a y d se llaman extremos; los términos b y c, medios.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES
Toda proporción cumple la siguiente propiedad: “El producto de medios es igual al
producto de extremos”
d
c
b
a
a · d = b · c
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD
La constante de proporcionalidad es el resultado de dividir el valor del consecuente
entre el valor del antecedente.
Ejemplo: La tabla muestra la relación entre número de pasajeros, x; y el coste del
viaje, y.
Cantidad de Pasajeros (x)
antecedente
1 2 3 4 5
Coste viaje € (y)
consecuente
1,20 2,40 3,60 4,80 6,00
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 20
Si dividimos cada consecuente, fila segunda de la tabla, entre su antecedente, fila
primera obtenemos el valor de la constante de proporcionalidad:
1,20
5
6,00
4
4,80
3
3,60
2
2,40
1
1,20
En nuestro ejemplo, la constante de proporcionalidad es 1,20 que es el precio de un
billete.
Definimos constante de proporcionalidad, k, dadas dos variables x, e y relacionadas
directamente proporcional como el resultado de dividir la variable dependiente, y,
entre la variable independiente, x.
k = y/x
CUARTO PROPORCIONAL
Cuarto proporcional es el término desconocido de una razón. La letra equis, x, se
utiliza para indicar el cuarto proporcional.
Ejemplo: La proporción
60
x
12
2
relaciona número de personas y la cantidad que
pagan por una entrada de cine.
La x, cuarto proporcional, es el número de personas que corresponde a la cantidad
de 60 euros:
Calculo del cuarto proporcional
Para calcular el cuarto proporcional de una proporción procedemos de la forma
siguiente:
1. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:
12 · x = 2 · 60
2. Despejamos la x:
x = 10
12
60·2
personas
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 21
PROPORCIONALIDAD DIRECTA. APLICACIONES
Dos magnitudes de una razón son directamente proporcionales si al aumentar el
valor del antecedente; aumenta el valor de su consecuente. Y si al disminuir el
valor del antecedente disminuye el valor del consecuente.
REGLA DE TRES SIMPLE
La regla de tres simple nos permite solucionar problemas en los que intervienen dos
razones. La regla de tres la resolvemos siguiendo tres pasos:
1. Planteamos la proporción.
2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones.
3. Despejamos la x: calculamos el cuarto proporcional
Ejemplo 1: Calcule el coste de 12 botellas de agua si 3 botellas cuestan 0,90 €.
1. Planteamos la proporción, la razón que tiene el término que se va a calcular, x
se coloca en primer lugar; es decir a la izquierda del signo igual:
3 botellas → 0,90 €
→
12
3
x
0,90
12 botellas → x
2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:
3x = 0,90 · 12
3. Despejamos la x:
€3,60
3
12·0,90
x
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 22
PORCENTAJES
Porcentaje es una forma de medir partes de un todo representado por 100.
El porcentaje nos permite comparar conjuntos con diferente cantidad de elementos.
Ejemplo 1: El 20% de los 70 coches vendidos durante este mes son de color blanco.
¿Cuántos coches blancos se han vendido?
1. Planteamos la proporción, la razón primera es la tiene el término x:
100 vendidos → 20 blancos
70 vendidos → x
→ 70
100
x
20
2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones : 100x = 20 · 70
3. Despejamos la x:
14
100
1400
100
70·20
x coches blancos
Ejemplo 2: Si 6 de los 30 alumnos de la clase tienen ojos azules. Calcula el tanto por
ciento de niños que tienen ojos azules en una clase.
1. Planteamos la proporción, la razón primera es la tiene el término x:
Si de 30 alumnos → 6 tienen ojos azules
→
100
30
x
6
Si fueran 100 → x tendrán ojos azules
2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 30x = 6· 100
3. Despejamos la x
20
30
6·100
x → 20% tienen ojos azules
El porcentaje se puede calcular utilizando el sistema de reducción a la unidad
dividimos la parte entre el todo y multiplicamos el resultado por 100.
20100·
30
6
x %
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 23
Ejemplo 3: Mil ochocientas personas, que equivalen al 60% de los participantes de una
prueba, obtuvieron calificación positiva. Calcula el número total de personas que
tomaron parte en la prueba.
El 60% 1 800
Todos: 100% x 100
60
x
1800
3000
60
100·1800
x personas
Ejemplo 4: En una votación participan 600 personas. ¿Qué tanto por ciento de los
votos obtuvo un candidato que recibió 120 votos?
600 participantes 120 votos
100 “ x 100
600
x
120
%20
600
100·120
x
Solución utilizando el sistema de reducción a la unidad:
20%100·
600
120
x
Ejemplo 5: He pagado 158 euros después de hacerme un 20% de descuento ¿Cuál
era el precio inicial del artículo?
80 precio final 100 precio inicial
158
80
x
100
€197,50
80
158x100
x
158 x
Ejemplo 6: Juan colocó 225 cajas de las 500 que tenía que colocar. Pedro colocó 264
de las 600 que le correspondían. ¿Cuál de los dos trabajó más eficazmente?
Razónalo.
Calculamos el porcentaje de cajas que ha colocado cada uno.
45%100·
500
225
Juan
44%100·
600
264
Pedro.
Juan colocó el 45% y Pedro, el 44 %. El porcentaje nos indica cuántas cajas hubiera
colocado si hubieran tenido que colocar 100 cada uno.
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 24
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO EL % DE IVA
Calcular precio final de un artículo después de aplicarle el IVA.
Ejemplo: El precio de una tele es 700 € más el 21% de IVA. Calcular el precio final.
Primera interpretación del IVA: Por cada 100 €, precio inicial, se paga 21 € de IVA.
Por 100 pago 21 € de IVA
Por 700 x 700
100
x
21
100
21·700
x = 147 €
700 + 147 = 847,00 € precio final
Segunda interpretación del IVA: Si el precio inicial es de 100 €, el precio final, su
precio después de aplicar el IVA, será 121 €.
Precio inicial Precio final
700
100
x
121
100
700·121
x = 847 €100 → 121 €
700 → x
NOTA: el precio final de un artículo se puede calcular sin hacer la regla de tres,
multiplicando el precio inicial por 1,00 + % IVA.
Calcular el precio inicial conocido el precio final y el IVA aplicado.
Ejemplo: Hemos pagado 1089 € por un artículo después de aplicarle el 21% de IVA
Calcula el precio inicial y lo que supuso el IVA.
Precio final Precio inicial
→ €900
121
1089·100
x precio inicial121 € → 100 €
1089 → x
Precio final – precio inicial = 1.089 – 900 = 189 € supuso el IVA
NOTA: el precio inicial de un artículo, conocido su precio final, se calcula sin hacer la
regla de tres dividiendo el precio final entre 1,00 + % IVA.
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 25
REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Ejemplo 1: Juan y Manuel colaboraron en el desarrollo de un proyecto. Los beneficios
obtenidos se repartieron proporcionalmente al número de horas que cada uno dedicó a
su realización. Si ganaron 15.000 €, ¿cuánto cobró cada uno teniendo en cuenta que
Juan utilizó 240 horas y Manuel, 260 horas?
 Solución empleando el método de reducción a la unidad:
240 + 260 = 500 horas se trabajaron en total
15.000 : 500 = 30 € por hora
Juan: 240 x 30 = 7.200 €
Manuel: 260 x 30 =7800 €
 Solución usando la regla de tres.
Total de horas trabajadas: 240 + 260 = 500 horas
500 horas trabajada → 15.000 €
240 h Juan → x
€7200
500
00015·240
x
500 horas trabajada → 15.000 €
260 h Manuel → x
€7800
500
00015·260
x
 Una tercera forma de resolver el problema es aplicando las propiedades de las
proporciones. En nuestro ejemplo procedemos de la forma siguiente:
500
00015
260
Manuel
240
Juan
7200
500
00015240
J 7800
500
00015260
M
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 26
PORCENTAJES: TABLAS ESTADÍSTICAS
El porcentaje nos permite comparar situaciones en las que la cantidad de elementos
de los conjuntos a relacionar son diferentes.
Ejemplo 1: En la tabla siguiente aparecen los lanzamientos y encestes de 3
jugadores. Comparamos su efectividad utilizando el porcentaje de aciertos.
Lanzamientos Encestes frecuencia relativa %
Jugador 1 8 5 5 : 8 = 0,625 0,625 x 100 = 62,5 %
Jugador 2 20 8 8 : 20 = 0,4 0,4 x 100 = 40 %
Jugador 3 15 9 9 : 15 = 0,6 0,6 x 100 = 60 %
Dividimos la cantidad de aciertos de cada uno, parte, entre las veces que ha lanzado a
cesta, todo. El resultado es el tanto por uno o frecuencia de aciertos relativa al
número de tiros.
Si la frecuencia relativa la multiplicamos por 100, obtenemos el tanto por ciento.
Ejemplo 2: En la tabla siguiente aparece el resultado de preguntar el color de coche
preferido a 50 personas:
Color nº Personas frecuencia relativa %
Blanco 4 4 : 50 = 0,08 0,08 x 100 = 8 %
Negro 19 19: 50 = 0,38 0,38 x 100 = 38 %
Rojo 15 15: 50 = 0,30 0,3 x 100 = 30 %
Verde 12 12 : 50 = 0, 24 0’24 x 100 = 24 %
Total = 50
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 27
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
La relación entre dos magnitudes es inversamente proporcional cuando al multiplicar
del valor de la antecedente la consecuente queda dividida; o si al dividir la
antecedente, la consecuente queda multiplicada.
Dicho de forma: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando a un
aumento o disminución de una le corresponde una disminución o aumento de la
magnitud relacionada con ella: “A más le corresponde menos y a menos, más.”
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Ejemplo: Dos trabajadores tardan 24 días en hacer una tapia. ¿Cuánto tardarán en
hacer el mismo trabajo 6 trabajadores?
Plantemos la regla de
tres
1. Proporción
2. Propiedad
fundamental
3. Despejamos la x
Inversa
2
6
x
24
→ 6 · x = 24 · 2 días8
6
48
6
2•24
x2 trabaj. → 24 días
6 “ → x
Observa que la razón inversa, que no tiene la x, se invierte.
REGLA DE TRES COMPUESTA
En la regla de tres compuesta intervienen más de dos magnitudes proporcionales.
SOLUCIÓN MEDIANTE PROPORCIONES:
Ejemplo: Cuatro personas pagan 2.400 euros por un viaje que dura 10 días. Calcule
cuánto pagarán 6 personas por el mismo viaje si lo amplían 5 días.
Directa Directa
4 personas → 10 días → 2400 euros
6 “ → 15 “ → x “
 Comparamos las razones de dos en dos: Relacionamos cada razón con la razón
que contiene la incógnita, x, para determinar si su relación es inversa o
directamente proporcional. En nuestro ejemplo, procedemos de la forma siguiente:
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 28
“Seis personas son más que 4, luego a más personas más dinero a pagar”: la
relación entre personas y precio a pagar es directamente proporcional.
“Quince días son más días que 10, luego a más días más precio a pagar.”: la
relación entre días y precio a pagar es directamente proporcional”.
IMPORTANTE: como comparamos las razones de dos en dos, no tenemos en cuenta
los valores de las otras razones que intervienen en la regla de tres compuesta. Es
decir, a más personas siempre pagamos más y no tenemos en cuenta si los días
aumentan o disminuyen.
 Una vez analizada la relación entre las razones, procedemos de forma semejante
a como se hace en el proceso de resolución de una regla de tres simple:
1. Planteamos la razón:
15•6
10•4
x
2400
→
90
40
x
2400
Observa que se hacen los productos para que quede una proporción con dos
razones, una de ellas contiene la incógnita
2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:
40x = 2400 · 90
3. Despejamos la x;
€5400
40
90·2400
x
SOLUCIÓN UTILIZANDO EL SISTEMA DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD:
Distribuimos los datos en forma de tabla. En la primera fila, colocamos los datos
iniciales que nos da el enunciado del problema. El procedimiento tiene dos fases:
reducción a la unidad y solución.
Fase de reducción a la unidad:
Dividimos cada dato inicial entre su valor para obtener 1. Y hacemos los mismo con el
dato conocido de la razón que tiene la incógnita, x. En nuestro ejemplo: dividimos
entre 4 que es el valor inicial de la razón personas y los 2400 valor inicial de la razón
euros.
Dividimos entre 10 la razón de los días, y el resultado obtenido anteriormente de dividir
la razón que contiene la incógnita entre 4.
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 29
Fase de solución:
Multiplicamos cada 1 obtenido en el proceso de reducción a la unidad por los nuevos
valores. La cantidad obtenida durante proceso de reducción en la columna que
contiene la x, se multiplica también por el nuevo valor de cada razón si la relación es
directamente proporcional.
Datos =
Directa Directa
4 personas 10 días 2400 euros
Reducción a la unidad
4 : 4 = 1 2 400 : 4 = 600
10 : 10 = 1 600 : 10 = 60
Solución
1 · 6 60 · 6 = 360
1 · 15 360 · 15 = 5400 euros
Ejemplo 2: Seis obreros trabajando 8 horas diarias terminan una obra en 15 días.
Calcula cuántos días emplearán 10 obreros trabajando 4 horas diarias para realizar la
misma tarea.
Analizamos la relación entre las magnitudes que intervienen en la regla de tres:
Inversa Inversa
6 obreros → 8 horas → 15 días
10 → 4 “ → x “
1. Planteamos la razón. Las razones inversas se invierten:
8•6
4•10
x
15
→
48
40
x
15
2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones
40x = 15 · 48
3. Despejamos la x
días18
40
48·15
x
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 30
Solución utilizando el método de reducción a la unidad:
Datos =
Inversa Inversa
6 obreros 8 horas 15 días
Reducción a la unidad
6 : 6 = 1 15 x 6 = 90
8 : 8 = 1 90 x 8 = 720
Solución
1 · 10 720 : 10 = 72
1 · 4 72 : 4 = 18
Fase de reducción a la unidad: en este caso la relación entre las magnitudes de las
razones es inversamente proporcional.
Observa, que los valores situados en la columna de la incógnita se han multiplicado. Si
la relación entre magnitudes es inversa, en la fase de reducción a la unidad se
multiplican los valores situados en la columna de la incógnita.
Fase de solución: multiplicamos el 1 obtenido en el proceso de reducción a la unidad
por los nuevos valores de cada razón que se indican en el enunciado del problema.
Observa: los datos situados en la columna días se dividen en lugar de multiplicarlos.
Recuerda que cuando la relación entre las magnitudes es inversamente proporcional,
aplicamos la operación opuesta en la columna que contiene la incógnita.
Ejemplo 3: Si 5 máquinas en 6 horas confeccionan 60 jerséis, ¿cuántas máquinas se
necesitarían para hacer 100 jerséis en 5 horas?
Inversa Directa
5 máquinas → 6 horas → 60 jerséis
x → 5 “ → 100 “
Analizamos la relación entre las magnitudes de las razones respecto a la razón que
contiene la x tomadas de dos en dos.
“Cien jerséis son más que 60, a más jerséis más máquinas se necesitarán”. La
relación es directamente proporcional.
“Cinco horas son menos que 6, a menos horas trabajando necesitamos más
máquinas funcionado”. La relación es inversamente proporcional.
Una vez analizada de relación entre las razones, planteamos la proporción:
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 31
 La razón que contiene la x es la que se escribe a la izquierda del igual.
 El antecedente de la razón situada a la derecha del igual es el producto de
todos los antecedentes de las razones que no contienen la equis; y el
consecuente, el producto de sus consecuentes.
MUY IMPORTANTE: los términos de las razones inversas se invierten al hacer
la proporción.
100•6
60•5
x
5
1. Hacemos los productos para plantear la proporción:
600
300
x
5
2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 300 x = 5 · 600
3. Despejamos la x:
máquinas10
300
600•5
x
Solución utilizando el método de reducción a la unidad:
Datos =
Directa Inversa
60 jerséis 6 horas 5 maquinas
Reducción a la unidad
60 : 60 = 1 5 : 60
6 : 6 = 1
60
5
· 6
Solución
1 · 100 6·
60
5
· 10
1 · 5 )6·100·
60
5
( : 5 = 10
Observa, que en la fase de reducción a la unidad de la relación entre horas y
cantidad de máquinas es inversamente proporcional; por lo tanto, multiplicamos el
valor conocido de la razón que contiene la incógnita, máquinas.
En la fase de solución multiplicamos la razón inversa, horas, por el valor dado en el
enunciado y dividimos en la columna que contiene la incógnita, máquinas.
Se pueden facilitar los cálculos si se hacen todas las operaciones al final del proceso.
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 32
REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES:
Repartir una cantidad inversamente proporcional respecto a unos números consiste en
que al mayor número le debe corresponder la menor cantidad y al mayor, la menor
cantidad.
Ejemplo: Repartir inversamente proporcional 4200 € al tiempo empleado por los tres
primeros clasificados en una prueba. Los tiempos de los tres primeros clasificados
fueron los siguientes: a) 3 horas; b) 5 horas y c) 6 horas.
1er
Clasificado 2º Clasificado 3er
Clasificado
3 horas 5 horas 6 horas
Para que al menor número le corresponda la mayor cantidad y al mayor le
corresponda la menor, repartimos sobre el inverso de cada número inicial.
El inverso de un número entero es la fracción que tiene como numerador 1, y de
denominador el número entero. Luego los inversos de 3, 5 y 6 son los siguientes:
3
1
5
1
6
1
Reducimos a común denominador: utilizamos el sistema de productos cruzados.
90
30
90
18
90
15
Una vez reducidas las fracciones a común denominador, procedemos a hacer el
reparto utilizando sólo los numeradores. (Si es posible, simplificamos las fracciones).
Se procede a repartir sobre los denominadores siguiendo los mismos pasos que
cuando se hacen repartos directamente proporcionales.
1er
clasificado = €2000
63
420030
2ª Clasificado = €1200
63
4200·18
3er
clasificado = €1000
63
20015
NOTA: si los números sobre los que se hace el reparto son fracciones, se repartirá a la
fracción inversa. Es decir, si la fracción es 2/3 repartimos a 3/2
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 33
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
En la tabla siguiente tenemos la relación entre el número lápices que compramos, x;
con el precio a pagar, y. El precio de cada lápiz es de 2 €.
Número de lápices (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Precio a pagar (y) 2 € 4 € 6 € 8 € 10 € 12 € 14 € 16 € 18 € 20 €
La cantidad de lápices, x, la llamaremos variable independiente.
La cantidad de euros, y, es la variable dependiente.
Si dividimos la variable dependiente entre la variable independiente, obtenemos el
valor de la constante de proporcionalidad. En nuestro ejemplo: 2/1; 4/2; 6/3; 8/4…
y/x = k , k = constante de proporcionalidad.
La expresión matemática que relaciona la cantidad de lápices y su coste es la
expresión analítica o algebraica de la función de proporcionalidad.
La relación entre la cantidad de lápices y el precio a pagar viene indicada por la
expresión algebraica: y = 2x.
La función de proporcionalidad directa se suele representar por una expresión
algebraica que tiene la forma siguiente:
y = mx
O también:
y = mx + b
m es el valor de la constante de proporcionalidad, k. En nuestro ejemplo, el valor
de m es 2.
La expresión algebraica y = 2x indica que tenemos que multiplicar por 2 la cantidad
de lápices que compramos, variable dependiente, x.
Un ejemplo de la expresión algebraica y = mx + b puede el siguiente: la cantidad que
tenemos que pagar a un técnico que cobra 16 € la salida y 30 € por hora trabajada. En
este caso la expresión algebraica es y = 30x + 16.
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 34
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD
DIRECTA
Ejemplo 1: Representamos gráficamente la función que relaciona el número de lápices
y el importe que pagamos si el precio de cada lápiz es de 2 ,00 €.
Número de lápices (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Precio a pagar (y) 2 € 4 € 6 € 8 € 10 € 12 € 14 € 16 € 18 € 20 €
Datos de una función representados en una tabla:
En la primera fila aparecen los valores de la variable independiente, x,
En la segunda fila de la tabla, aparecen los valores de la variable dependiente, y,
estos valores se colocan en el eje vertical del gráfico.
Datos de una función representados en un gráfico:
En el eje horizontal, x, se coloca la cantidad de lapiceros que se compran. El cantidad
de lápices se representa con la letra x, variable independiente.
En el eje vertical, y, se coloca el importe que se paga según el número de lápices que
se compran. Los costes, valores y, dependen del número de lápices que compramos,
por lo que reciben el nombre de variable dependiente.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Euros:ejey;variabladependiente
Número de lápices: eje x, variable independiente
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 35
Cuando la variable independiente sólo puede tomar valores expresados con
números naturales o enteros, los puntos no se unen.
Las variables independientes que toman como valores sólo números naturales o
enteros reciben el nombre de variables discretas. Ejemplos: cantidad de llamadas
telefónicas que hacemos al día, el número de hermanos, cantidad de libros, etc.
Los gráficos que representan estas situaciones utilizan puntos o columnas
Ejemplo 2: En la tabla se indica la relación entre cantidad y lo que se paga por chorizo
cuyo precio por kilo es 10 €. La expresión analítica o algebraica de la función es la
siguiente: y = 10x
Cantidad, x - kg 0 0,5 0,75 1 1,5 1,75 2 2,25 2,50
Precio, y - € 0 5 7,5 10 15 17,5 20 22,5 25
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
17,5
20
22,5
25
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
Variabledependiente-y,
Cantiidad en kilos: x ; variable independiente
La variable independiente puede tomar valores expresados con números decimales.
Las variables independientes que toman como valores números decimales reciben el
nombre de variables continuas.
Los gráficos que representan funciones cuyo dominio es una variable continua
suelen ser rectas, puntos unidos, histogramas: rectángulos unidos.
Proporcionalidad aritmética
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 36
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
En la tabla siguiente aparece la relación entre el número de personas y el tiempo,
utilizado para realizar una determinada tarea. El tiempo se expresa en minutos.
Cantidad de personas (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (y) 60 30 20 15 12 10 8,6 7,5 6,7 6
Al aumentar la cantidad de personas que intervienen, variable independiente,
disminuye el tiempo en desarrollar la tarea, variable dependiente. La relación entre
las dos magnitudes, personas y tiempo, es inversamente proporcional.
La expresión analítica de la función es la siguiente:
x
60
y
No unimos los puntos para indicar que los valores del eje x pueden expresarse sólo
con números enteros: x es una variable discreta.
La función de proporcionalidad inversa suele tener una expresión analítica o
algebraica del tipo
x
a
y , donde a representa a un número racional y x a la variable
independiente.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Variabledependiente:y=tiempo
Variable independiente, y, = número de personas
y = 60/x
Proporcionalidad geométrica
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 37
PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA
Semejanza de figuras planas
Dos figuras son semejantes si sus lados correspondientes, u homólogos, son
proporcionales y sus ángulos iguales. Es decir; tienen "la misma forma" y sólo se
diferencian en su tamaño.
Si los dos triángulos son semejantes sus lados son proporcionales:
FD
CA
FE
CB
ED
BA
Suponemos que cada lado del triángulo menor mide 8 m, 10 m, 6 m. y la razón de
semejanza entre los lados de los dos triángulos es 2. De acuerdo con la definición de
semejanza podemos escribir la siguiente proporción:
2
6
AC
10
CB
8
BA
FD
CA
FE
CB
ED
BA
Luego los lados del triángulo mayor miden 16 m, 20 m y 12 m para que se cumpla la
proporción en la que la constante de proporcionalidad es 2:
2
6
12
10
20
8
16
FD
CA
FE
CB
ED
BA
El número fijo por el que multiplicamos para obtener una figura mayor; o dividimos
para obtener una figura menor, es la razón de semejanza.
A
a
B
a
C
a F
a
a
E
a
D
a
Proporcionalidad geométrica
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 38
APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS.
Escalas
La semejanza de figuras nos permite hacer representaciones de objetos reales a un
tamaño más grande (ampliaciones) o más pequeño (reducciones).
Escala es la relación entre la dimensión dibujada y la dimensión real medidas
utilizando la misma unidad. Las escalas se expresan en forma de cociente.
realdimensión
dibujadadimensión
Escala
La escala se indica utilizando dos cantidades separadas por dos puntos (:). El primer
elemento de la escala suele ser el 1, que se refiere a la dimensión dibujada. El
segundo elemento, indica la cantidad de cm o mm reales que corresponden a 1 cm
o mm en la representación, plano o mapa.
En las representaciones de objetos la razón de semejanza recibe el nombre de factor
de escala. Ejemplo, 1:250
En la escala, 250 es la razón de semejanza o factor de escala. En un plano a escala
1:250, cada centímetro o mm del plano equivale a 250 centímetros o mm en la
realidad.
Ejemplo 1: Calcular la longitud real de un local representado en un plano hecho a
escala 1:250. La longitud en el plano es de 10 cm. Expresar el resultado en metros.
1 cm. en plano 250 cm. en realidad
10 cm en plano x cm. en realidad
cm.5002
1
10•250
x;
10
1
x
250
2500 cm = 25 metros
El problema se puede solucionar sin necesidad de utilizar la regla de tres. Para ello
aplicamos el siguiente procedimiento:
Si 1 cm en el plano = 250 cm en la realidad; 10 cm del plano será igual a 10 veces
más en la realidad:
10 x 250 cm = 2500 cm = 25 m
Proporcionalidad geométrica
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 39
Ejemplo 2: En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 5 centímetros. Teniendo
en cuenta que la distancia en la realidad entre las dos ciudades es de 400 km.
Calcula la escala que se utilizó para dibujar el mapa.
 Solución mediante una regla de tres simple: 400 km = 40.000.000 cm
Plano/mapa Realidad
1
500000040
x
→
0000008
5
1·00000040
x
La escala es 1 : 8 000 000
5 cm → 40 000 000 cm
1 cm → x
 Solución utilizando el concepto de escala: se divide la distancia real, expresada
en cm o mm, entre la distancia dibujada.
5 cm → 400 km = 40 000 000 centímetros.
realdimensión
dibujadadimensión
Escala
00000040
5
x
1
5x = 1 · 40 000 000
0000008
5
00000040·1
x
La escala es 1 : 8 000 000
Ejemplo 3: La distancia real entre dos ciudades es de 4,48 km. Calcula la escala que
se ha utilizado en un mapa si las dos ciudades están a una distancia de 5,6 cm
4,48 km = 448 000 cm
Si 5,6 cm en el mapa representan 448 000 cm reales, cada cm en el plano equivale a:
00080
5,6
000448
cm reales
La escala es 1 : 80 000
Proporcionalidad geométrica
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 40
Ejemplo 4: En una representación a escala 1:50, ¿qué medidas tendrá una mesa
rectangular de 8 m x 6 m?
8 m = 800 cm
6 m = 600 cm
800 : 50 = 16 cm en el plano
600 : 50 = 12 cm en el plano
16 cm x 12 cm, medidas en el plano.
Utilizando una regla de tres el problemas se plantea de la forma siguiente:
50 cm reales → 1 en el plano
→ → 50x = 1 · 800 →
800 “ “ → x
8 m reales = 16 cm en el plano
50 cm reales →1 en el plano → → 50x = 1 · 600 →
600 “ “ → x
6 m reales = 12 cm en el plano
Cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra.
Ejemplo: Calcula la altura del muro teniendo en cuenta el valor de la altura de la
estaca, 50 cm y de la sombra que proyecta, 80 cm. Sombra muro = 6 m
Para solucionar el problema utilizamos el centímetro como unidad de longitud.
6 m
8 m
50 cm
80 cm
6 m
x m
Proporcionalidad geométrica
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 41
Aplicando la propiedad de la semejanza, escribimos la proporción que relaciona los
lados homólogos de las figuras semejantes. La altura del edificio, x, será uno de los
términos de la proporción.
80
600
50
x
→ 80x = 50 · 600 → m3,75cm375
80
600·50
x
TEOREMA DE TALES
Si tres rectas paralelas, a, b, y c, cortan a otras dos rectas r y s, los segmentos que
determinan son proporcionales.
CB
BC
BA
AB
CA
AC
CB
BC
BA
AB
CA
AC
BA
AB
La proporción anteriores expresan el teorema de Tales.
La razón de dos segmentos es el resultado de dividir sus longitudes
TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES
Los triángulos ACE y BCD comparten el ángulo C, están encajados. Los lados
opuestos al ángulo C son paralelos. En estos casos se dice que los dos triángulos
están en posición de Tales. Cuando dos triángulos se pueden colocar en posición de
Tales, sus lados son proporcionales:
BD
AE
CD
CE
BC
AC
A
E
D
B C
Proporcionalidad geométrica
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 42
APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES
Dividir un segmento en partes iguales
El Teorema de Tales nos permite dividir un segmento en partes iguales (cinco en el
ejemplo).
.Ejemplo 1: Divide el segmento AB en 5 partes iguales
Se traza una semirrecta a partir de A. Sobre ella se marcan, con el compás, 5
segmentos iguales con la longitud que se quiera. Se une la última marca con B y se
trazan paralelas, una por cada marca de la semirrecta.
Ejemplo 2: Divide el segmento AB en dos partes de manera que la segunda parte sea
el triple de la primera.
Procedemos como en el ejemplo anterior. Los segmentos dibujados en la recta r, no
tendrán la misma medida: si el valor del primero es d; el valor del segundo segmento
será 3d.
BA
3d
d
Proporcionalidad geométrica
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 43
TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras se enuncia de la forma siguiente:
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos
Si llamamos a la hipotenusa, a y a los catetos, b y c, el teorema de Pitágoras se
expresa matemáticamente de la forma siguiente:
a
2
= b
2
+ c
2
De la fórmula anterior se deducen las tres siguientes:
 Fórmula que nos permite calcular la hipotenusa conocida la longitud de los
catetos:
cb=a 22
 Fórmulas para calcular uno de los catetos conocida la longitud de la hipotenusa
y la del otro cateto:
ca=b 22
ba=c 22
Hipotenusa = a
Proporcionalidad geométrica
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 44
6 m
3,6 m
h
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS
Calcular la altura de una escalera:
Una escalera de 6 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera
dista 3,6 m de la pared.
a) ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared?
m4,823,0412,96363,66h 22
Cálculo de la diagonal de un rectángulo.
m10100643686x 22
Cálculo de la apotema de un hexágono regular
Calculamos la apotema de un hexágono que tiene 10 m de lado.
Teniendo en cuenta que el radio del hexágono es igual al lado:
m8,667525100510a 22
8 m
6 m
x
10 m
5 cm
a
10 m
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 45
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
EXPERIMENTOS ALEATORIOS
Aleatorios: al realizar un experimento aleatorio no podemos predecir el resultado
que se obtendrá: depende del azar. Ejemplo: si tiramos una moneda no podemos
predecir qué cara va a quedar visible
Deterministas: sí se puede predecir el resultado que se va a producir. Ejemplo si
hoy es lunes, podemos predecir que mañana será martes.
SUCESOS: ESPACIO MUESTRAL
Suceso elemental.
Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio es un suceso
elemental. Ejemplo: el resultado de lanzar una moneda al aire tiene dos sucesos
elementales: {cara, cruz}
Suceso compuesto
Un suceso es compuesto cuando contiene dos o más sucesos elementales.
Ejemplo: que salga un número par cuando lanzamos un dado. S = {2, 4, 6}
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los sucesos elementales. Se representa con la letra E.
Ejemplos:
Experimento lanzar un dado:
Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Sucesos elementales → {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}
Sucesos compuestos: → Obtener un número par = {2, 4, 6}
Obtener un número mayor que 3 = {4, 5, 6},
Lanzar una moneda y anotar el número de caras:
Espacio muestral → E = {cara, cruz}
Sucesos elementales → {cara}, {cruz}
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 46
FRECUENCIAS
La frecuencia de un suceso elemental es el número de veces que ocurre al realizar un
experimento. Diferenciamos la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa.
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta correspondiente a un suceso de un experimento es el
número de veces que ocurre dicho suceso al realizar el experimento.
Ejemplo: He lanzado un dado 20 veces los resultados obtenidos son los siguientes que
se han representado en una tabla de frecuencias:
1 2 2 2 2 2 3 3 4 4
5 5 5 5 5 5 6 6 6 6
Para representar los resultados obtenidos en un experimento en una tabla de
frecuencias se procede de la forma siguiente:
 Columna 1ª: se colocan todos los posibles valores de cada suceso
elemental, xi. En el ejemplo, los posibles valores que se suceden al tirar el
dado de seis caras: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 Columna 2ª: aparece la frecuencia absoluta que indica el número de veces
que un valor ha ocurrido al tirar el dado. La frecuencia se representa por fi
La frecuencia absoluta de un suceso xi se
representa por fi
La frecuencia del número dos al tirar el
dado la podemos expresar de la forma
siguiente:
f2 = 5
Frecuencia del suceso salir un número par
A = {2, 4, 6} es igual a la suma de la
frecuencia de cada uno de los sucesos
elementales:
FA = f2 + f4 + f6 = 5 + 2 + 4 = 11
Observa que la suma de la frecuencia absoluta de todos los posibles valores es igual
al número de veces que se ha lanzado el dado:
Numero lanzamientos = N = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6
Tabla de frecuencias
Valores suceso
xi
Frecuencia absoluta
fi
1 1
2 5
3 2
4 2
5 6
6 4
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 47
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa de un suceso es el cociente de su frecuencia absoluta entre
el número de veces que se realiza el experimento. La frecuencia relativa de un
suceso, xi, se representada por hi
Después de lanzar 20 veces un dado hemos obtenido los resultados que se muestran
en la tabla siguiente:
Suceso elemental
xi
Frecuencia absoluta
fi
Frecuencia relativa
hi
1 1 1: 20 = 0,05
2 5 5 : 20 = 0,25
3 2 2 : 20 = 0,10
4 2 2 : 20 = 0,10
5 6 6 : 20 = 0,30
6 4 4 : 20 = 0,20
Total lanzamientos = N 20
PROBABILIDAD
La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 que indica la
posibilidad de que ocurra dicho suceso.
Si la probabilidad de un suceso es igual a 1, decimos que es un suceso seguro
porque siempre ocurre.
Si la probabilidad de un suceso es 0, decimos que es un suceso imposible porque
nunca ocurre.
FRECUENCIA Y PROBABILIDAD
La probabilidad de un suceso se considera equivalente a la frecuencia relativa de
dicho suceso.
La regla de Laplace afirma que la probabilidad de un suceso es igual al número de
casos favorables que contiene el suceso dividido entre el número total de sucesos
posibles.
Ejemplo. Tiramos un dado: la probabilidad de que salga 5, será 1/6, La probabilidad de
que salga un número par será 3/6,
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 48
ESTADÍSTICA
Estadística es la ciencia encargada de recopilar y ordenar datos referidos a diversos
fenómenos para su posterior análisis e interpretación.
Población es el conjunto de elementos en los que se estudia un determinado aspecto
o característica.
 Muestra es una parte de la población. Es importante escoger correctamente la
muestra: deber ser representativa, es decir, dar una información similar a la
obtenida si estudiásemos toda la población.
VARIABLES ESTADÍSTICAS: CLASIFICACIÓN
Variable estadística, xi, es toda característica o aspecto de los elementos de una
población o muestra que se puede estudiar.
Clasificación de las variables estadísticas:
 Variables cualitativas: Se expresan con palabras. Ejemplos color de pelo,
deporte favorito, etc.
 Variables cuantitativas: los valores que pueden tomar son números. Pueden ser
discretas o continuas.
Variables cuantitativas discretas: sus valores son números naturales o
enteros. Ejemplo: número de personas que asisten a un evento, veces que
vamos al cine, cantidad de coches o teles, etc.
Variables cuantitativas continuas: pueden tomar cualquier valor entero,
decimal, fraccionario. Ejemplos: peso, altura, tiempo que se tarda en realizar
una tarea
LAS TABLAS ESTADÍSTICAS
Las tablas estadísticas sirven para organizar los datos de una variable estadística y
estudiarlos con mayor facilidad.
Tablas: variables cuantitativas discretas y cualitativas
En la primera columna se colocan los diferentes valores de la variable. Los valores
de la variable cualitativa o cuantitativa discreta o continua se representan por xi.
En la segunda columna, se colocan los valores de la frecuencia absoluta, fi. La
frecuencia absoluta es el número de veces que aparece cada uno de los valores de la
variable.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 49
Ejemplo: En la tabla siguiente vemos los deportes que practican una muestra formada
por 40 personas. La variable es cualitativa.
Deportes
xi
Frecuencia absoluta
fi
Frecuencia relativa
hi
Atletismo 8 8 : 40 = 0,20
Futbol 12 12 : 40 = 0,30
Tenis 6 6 : 40 = 0,15
Baloncesto 10 10 : 40 = 0,25
Balonmano 4 4 : 40 = 0,10
Total, N = 40
Columna 1ª: se colocan los valores de la variable, xi. La variable es cualitativa, se
expresa con palabras.
Columna 2ª: está el número de personas que practican cada deporte, la frecuencia
absoluta de cada variable, fi.
Columna 3ª: se coloca la frecuencia relativa.
La frecuencia relativa se calcula dividiendo el valor fi entre 40, el total de personas
que intervinieron en la encuesta, N. La frecuencia relativa se expresa aproximada a las
centésimas.
La frecuencia relativa es equivalente a la probabilidad.
A la vista de los datos de la tabla podemos afirmar que la probabilidad de que al
preguntar a un miembro de la muestra elija el futbol como su deporte favorito es de
0,30; y que elija baloncesto, de 0,25.
La probabilidad de que un miembro de la muestra elija como sus dos deportes
favoritos son tenis y baloncesto es de: 0,15 + 0,25 = 0,40
La probabilidad de que los tres deportes favoritos de los miembros de la muestra sean
futbol, tenis y baloncesto es de 0,30 + 0,15 + 0,25 = 0,70.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 50
Tablas: variables cuantitativas continuas
Cuando la variable estadística es cuantitativa continua, los valores se suelen
agrupar en intervalos de igual amplitud.
Para realizar cálculos se utiliza el valor medio de cada intervalo que se llama marca
de clase. Para calcular la marca de clase de cada intervalo, sumamos sus extremos y
dividimos entre dos. Ejemplo: (170 + 180)/2 = 175.
Para calcular la marca de clase podemos dividir la amplitud de los intervalo entre 2 y
sumar su resultado al extremo de la izquierda de cada intervalo. Ejemplo: 10 : 2 = 5;
170 + 5 = 175; 180 + 5 = 185 …
Ejemplo: En la tabla aparecen los datos obtenidos respecto a la estatura de 200
jugadores de baloncesto.: marca de clase, frecuencias absolutas y relativas.
Estatura en cm
xi
marca de clase
Frecuencia absoluta
fi
Frecuencia relativa
hi
[170 - 180) 175 32 0,16
[180 - 190) 185 45 0,225
[190 - 200) 195 41 0,205
[200 - 210) 205 47 0,235
[210 - 220) 215 23 0,115
[220 - 230) 225 12 0,06
200 1
La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de jugadores y la suma de
las frecuencias relativas es igual a 1.
TIPOS DE INTERVALOS:
Abierto, (2, 5) contiene todos los puntos entre 2 y 5, no incluye a ambos.
Cerrado, [2, 5] contiene todos los puntos entre 2 y 5, sí incluye a ambos.
Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, (2, 5] contiene todos los puntos
entre 2 y 5, y no contiene a 2 pero sí a 5.
Cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, [2, 5) contiene todos los puntos
entre 2 y 5, y sí contiene a 2 pero no a 5.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 51
FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA
Frecuencia absoluta, fi, de un conjunto de datos es el número de veces que se repite
cada valor de la variable, xi.
Frecuencia relativa, hi, es igual a la frecuencia absoluta de cada variable dividida
entre el número total de datos (N)
N
h if
i
 La frecuencia relativa es siempre un número comprendido entre 0 y 1
 La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, N.
 La suma de las frecuencias relativas es 1.
Porcentaje (%) es el resultado de multiplicar la frecuencia relativa por 100
TABLA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Y PORCENTAJES VARIABLE DISCRETA:
En la tabla siguiente aparecen los resultados obtenidos al preguntar a 50 alumnos,
cuántos hermanos tiene cada uno:
xi
Frecuencia absoluta
fi
Frecuencia relativa
hi
Porcentaje
%
0 6 6 : 50 = 0,12 0,12 x 100 = 12
1 16 16 : 50 = 0,32 0,32 x 100 = 32
2 15 15 : 50 = 0,30 0,30 x 100 = 30
3 10 10 : 50 = 0,20 0,20 x 100 = 20
4 3 3 : 50 = 0,06 0,06 x 100 = 6
∑fi = N = 50 100 %
La variable xi, es el número de hermanos. Toma valores discretos: 0, 1, 2…
La frecuencia absoluta, fi de cada valor de la variable es el número de alumnos que
respondieron que tienen 0, 1, 2,… hermanos. Es decir f3 = 10
La frecuencia relativa, hi es el resultado de cada valor fi entre 50, total de alumnos, N.
%: tanto por ciento que se obtiene al multiplicar la frecuencia relativa por 100.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 52
TABLA DE FRECUENCIAS Y PORCENTAJES VARIABLES CONTINUAS
Los resultados de un test de inteligencia aplicad a una muestra de 25 personas se
indican en la tabla:
Primera columna: los valores de la variable, se distribuyen en 6 intervalos.
Segunda columna: están los valores de la marca de clase de cada intervalo.
La marca de clase se obtiene dividiendo entre dos la suma de los extremos del
intervalo.
Tercera columna: se indica el número de veces que aparece cada dato,
frecuencia absoluta.
Cuarta columna: se calcula el cociente entre la frecuencia absoluta de cada
dato y la cantidad de elementos de la muestra: 25. El resultado de la división es
el valor de la frecuencia relativa.
Quinta columna: se obtiene el porcentaje, que es el resultado de multiplicar la
frecuencia relativa por 100.
Intervalo Marca de clase xI fi hi %
[65, 75) 70 5 0,20 20
[75, 85) 80 4 0,16 16
[85, 95) 90 4 0,16 16
[95, 105) 100 6 0,24 24
[105, 115) 110 4 0,16 16
[115, 125) 120 2 0,08 8
N = ∑fi = 25 100 %
La expresión N = ∑fi significa que el total de los miembros de la muestra, N, es igual a
la suma de todas las frecuencias absolutas., fi
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 53
FRECUENCIAS ACUMULADAS.
Frecuencia absoluta acumulada, Fi, de un valor xi, es la suma de las frecuencias fi
de todos los valores menores o iguales que él.
Frecuencia relativa acumulada, Hi de un valor xi es el cociente entre la frecuencia
absoluta acumulada y el número total de datos:
N
F
H i
i
Ejemplo: Las edades, en años, de 20 jóvenes que han participado en un determinado
estudio aparecen en la tabla.
Observa que los datos xi se han ordenado de mayor a menor.
FRECUENCIAS
DATOS
xi
Absoluta
fi
Absoluta acumulada
Fi
Relativa
hi
Relativa acumulada
HI
13 6 6 0,30 0,30
14 7 13 0,35 0,65
15 4 17 0,20 0,85
16 3 20 0,15 1
N = 20
GRÁFICOS
Los gráficos que se utilizan para representar los datos dependen del tipo de variable:
Para representar variables discretas se utilizan gráficos de barras, columnas,
polígonos de frecuencias, puntos
Las variables continuas se representan con histogramas, polígonos de frecuencias,
rectas.
VARIABLES DISCRETAS
Diagrama de barras:
Se usan para representar datos cualitativos o cuantitativos discretos.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 54
Los valores de la variable, xi, se colocan sobre el eje horizontal, eje x, y se levantan
barras de altura igual a la frecuencia representada. Los valores de la frecuencias se
colocan en el eje vertical, eje y.
Eje horizontal xi Fútbol Baloncesto Tenis Atletismo Natación
Eje vertical fi 18 12 6 10 4
Ejemplo: Diagrama de barras se utiliza para representar datos cualitativos o
cuantitativos discretos.
18
12
6
10
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Futbol Baloncesto Tenis Atletismo Natación
Frecuenciaabsoluta;fi
Valores de la variable, xi
Gráfico: frecuencia absoluta
Polígono de frecuencias:
Es una línea poligonal que se obtiene a partir del diagrama de barras.
VARIABLES CONTINUAS
Histograma:
Los valores de variables cuantitativas continuas se representan con histogramas.
Sobre el eje horizontal se señalan los extremos de los intervalos y se levantan
rectángulos de altura igual a la frecuencia representada.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 55
Ejemplo: representamos en un histograma los datos de la tabla siguiente:
Estatura
cm
Marca de clase
xi
Número de alumnos
fi
[140, 150) 145 15
[150, 160) 155 35
[160, 170) 165 50
[170, 180) 175 65
[180, 190) 185 30
[190, 200) 195 5
N = 200
Polígono de frecuencias:
Se obtiene al unir los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos del
histograma.
15
35
50
65
30
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
[140, 150) [150, 160) [160, 170) [170, 180) [180, 190) [190, 200)
Frecuencias:ejey
Valores de la variable: eje x
Histograma: variables continuas
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 56
DIAGRAMA DE SECTORES
El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable.
 Los datos se representan en un círculo, dividido en sectores. Cada sector
representa un valor de la variable.
 La amplitud de un sector, su ángulo, es proporcional a la frecuencia del dato que
representa. Ángulo del sector circular = hi · 360º. Si conocemos el porcentaje, el
ángulo es igual al porcentaje · 360º/100
Ejemplo: La tabla recoge los datos obtenidos de preguntar a 40 personas sobre su
deporte favorito. El resultado se representa en un diagrama de sectores:
Deportes fi hi % Ángulo
Fútbol 22 0,55 55% 0,55 · 360º = 198º
Baloncesto 12 0,3 30% 0,3 · 360º = 108º
Tenis 6 0,15 15% 0,15 · 360º = 54º
N = 40
Fútbol
55%
Baloncesto
30%
Tenis
15%
Gráfico de sectores
Otros gráficos que pueden utilizarse son los siguientes:
Cartograma1
. Cuando el estudio estadístico se hace en una zona geográfica, la
representación gráfica se puede hacer sobre un mapa, coloreando con distintos
colores cada una de las regiones representadas en el estudio.
Pictograma2
. Consiste en la representación gráfica del estudio realizado utilizando
dibujos alusivos a los distintos valores de la variable estadística.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 57
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN
Media aritmética :
Ejemplo 1: Calculamos la media aritmética de las notas que ha obtenido un grupo de
10 alumnos:
4 4 5 5 5 5 6 7 7 9
5,7
10
57
10
9776555544
x
Distribuyendo los datos en una tabla:
Calificaciones
xi
Nº alumnos
fi
fi · xi
4 2 8
5 4 20
6 1 6
7 2 14
9 1 9
N = 10 57
Aplicamos la fórmula para calcular la media aritmética:
medianota5,7
10
57
N
x·Σf
x ii
Observa que el uso de tablas facilita los cálculos.
∑fi· xi es la expresión matemática que indica que se debe sumar todos los productos
obtenidos al multiplicar el valor de la variable por su frecuencia. En nuestro ejemplo, la
calificación por el número de alumnos que la han obtenido.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 58
Ejemplo 2. En la tabla aparecen el número de hijos de 50 personas que trabajan en
una determinada empresa.
Nº Hijos
xi
Nº trabajadores
fi
fi · xi
0 10 0
1 25 25
2 10 20
3 4 12
4 1 4
N = 50 61
La media aritmética es la siguiente: hijos22,1
50
61
N
x·Σf
x ii
Columna 1: valores de la variable. En nuestro ejemplo, cantidad de hijos que tiene
cada trabajador entrevistado.
Columna 2: valores de la frecuencia absoluta de cada variable. Número de
trabajadores que no tienen o tienen uno o más hijos.
Celda inferior, columna 2: sumatoria de todas las frecuencias absolutas. La suma
coincide con el número total de trabajadores que respondieron: cantidad de elementos
de la muestra o población.
Columna 3: producto del valor de cada variable por su frecuencia absoluta.
Columna 3, celda inferior: suma de los resultados obtenidos al multiplicar el valor de la
variable por su frecuencia.
Ejemplo 3: Cálculo de la media aritmética cuando la variable xi es continua.
Para calcular la media aritmética cuando los valores de la variable están distribuidos
en intervalos se utiliza la marca de clase.
La marca de clase es el punto medio de cada intervalo.
Observa que en la cuarta columna cuya cabecera es fI · xI aparece el resultado de
multiplicar la marca de clase por su frecuencia.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 59
En la celda inferior de la cuarta columna aparece la suma de todos los productos
obtenidos al multiplicar la frecuencia absoluta por la marca de clase.
Intervalos
Marca de clase
xi
Frecuencia
fi
fI · xI
[45, 55) 50 6 300
[55, 65) 60 10 600
[65, 75) 70 19 1 330
[75, 85) 80 11 880
[85, 95) 90 4 360
N = 50 3 470
Media aritmética = 69,4
50
3470
N
x·Σf
x ii
Mediana
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están
ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me. La mediana se puede hallar sólo para variables
cuantitativas.
Ejemplo: calculamos la mediana de los datos obtenidos en una encuesta sobre una
variable en la que los resultados obtenidos son los siguientes: 1, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 8,
1º. Ordenamos los datos de menor a mayor.
1, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8
2º. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación
central de la misma.
1, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8 Me = 7
Ejemplo 2: Los resultados obtenidos en otro estudio forman una serie tiene un número
par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Me = (7 + 8)/2 = 7,5
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 60
Calcular la mediana cuando la variable estadística es discreta
Si la variable es discreta, para calcular Me, ponemos las frecuencias acumuladas Fi:
Hijos
xi
Frecuencia absoluta
fi
Frecuencia acumulada
Fi
1 6 6
2 5 11
3 2 13
4 1 14
N = 14
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 4
Dividimos entre dos para calcular el valor medio. En el ejemplo da 7. El valor de la
mediana será el valor xi que coincide con una frecuencia acumulada con valor
inmediato superior a 7.
hijos2Me11F7
2
14
i
En el ejemplo, la frecuencia acumulada inmediata superior a 7 es 11. La frecuencia
acumulada 11 corresponde al valor de la variable, xi = 2 hijos. Por lo tanto, la mediana
es 2 hijos.
Cálculo de la mediana si los valores están agrupados en intervalos.3
La mediana de una variable estadística con datos agrupados en intervalos, es la
marca de clase el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor
que la mitad del número de datos. Es decir, xi que corresponde a Fi > N/2
Ejemplo: En la tabla aparece el tiempo que 30 personas tardan en recorrer cierta
distancia fija.
La mitad del número de datos es 30 : 2 = 15
La mediana estará en el intervalo con una frecuencia acumulada inmediatamente
superior al resultado de dividir N/2. En el ejemplo es el valor 19.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 61
El valor de la mediana es xi = 9,5 minutos situado en la Fi = 19.
Tiempos
Marca de clase
xi
Nº atletas
(fi)
Frecuencias acumuladas
Fi
[8 – 9) 8,5 11 11
[9 – 10) 9,5 8 19
[10 – 11) 10,5 5 24
[11 – 12) 11,5 1 25
[12 – 13) 12,5 3 28
[13 – 14) 13,5 0 28
[14 – 15) 14,5 2 30
N = 30
Moda, Mo
Es el valor que más se repite; es decir, el dato que tiene mayor frecuencia. Si la
variable es continua, hablamos de intervalo modal.
Ejemplo: Una encuesta realizada a 10 pilotos en la que se les preguntaba sobre el
número de vuelos semanales muestra los datos representados en la tabla siguiente:
Nº vuelos xi
Frecuencia absoluta
fi
Frecuencia acumulada
Fi
fI · xI
0 2 2 0
1 4 6 4
2 3 9 6
3 1 10 3
N = 10 ∑fi · xi = 13
La media aritmética es: vuelos,31
10
3·12·31·40·2
x
O de otra forma: 1,3
10
13
N
x·Σf
x ii
Moda: la frecuencia mayor es 4, que corresponde a 1 vuelo: Mo = 1 vuelo
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 62
Mediana: Ordenados los datos: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3. Me = ovuel1
2
11
Ejemplo: En una fiesta asisten 35 amigos. Se les pregunta por su edad (en años) se
anotan los datos en la tabla siguiente:
Edad
xi
Frecuencia absoluta
fi
Frecuencia acumulada
Fi
fi · xi
19 6 6 114
20 7 13 140
21 9 22 189
22 7 29 154
23 5 34 115
24 1 35 24
N = 35 ∑fi · xi = 736
Media aritmética:
x = ,0321
35
736
35
1·245·237·229·217·206·19
De otra forma:
21,03
35
736
N
x·Σf
x ii
Mediana: 21 (35: 2 = 17,5; frecuencia acumulada mayor 17,5 es 22 que
corresponde al valor xi = 21
Moda = 21, es el valor más repetido.
La moda puede tener más de un valor. Si la moda tiene más de un valor de la variable,
la distribución de se llama bimodal, trimodal o multimodal.
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 63
1
Ejemplo de cartograma
2
Ejemplo de pictograma
60
30
20
15
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4
TIEMPO
Probabilidad y estadística
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 64
3
FORMA DE CALCULAR EL VALOR MÁS EXACTO DE LA MEDIANA, Me
Como la mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega
hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas, para calcularla debemos
utilizar los datos siguientes:
Tiempos
Minutos:
Marca de clase
tiempos (minutos)
xi
Nº atletas
(fi)
Frecuencias acumuladas
Fi
[8 – 9) 8,5 11 11
[9 – 10) 9,5 8 19
[10 – 11) 10,5 5 24
[11 – 12) 11,5 1 25
[12 – 13) 12,5 3 28
[13 – 14) 13,5 0 28
[14 – 15) 14,5 2 30
N = 30
 Hallamos el intervalo donde se encuentra la mediana: dividimos entre 2, la
suma de todas las frecuencias absolutas que corresponden a cada intervalo de
valores xi: 30/2 = 15. El valor 15 está en el intervalo [9, 10) que corresponde a
la Fi = 19
 Los datos que tenemos que utilizar para calcular la mediana son los
siguientes:
El límite inferior del intervalo que contiene la mediana es 9
El valor de la frecuencia acumulada del intervalo anterior: Fi = 11
El valor de la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra la
mediana es fi = 8
La amplitud de los intervalos en los que están distribuidas los valores de la
variable xi = 1.
 Aplicamos la fórmula siguiente:
9,51·
8
1115
9Me
Números enteros, Z
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 65
NÚMEROS ENTEROS
MAGNITUDES ABOLUTAS Y RELATIVAS
Magnitudes absolutas su cantidad se expresa sin necesidad de indicar el sentido.
Ejemplo, el peso de una persona.
Magnitudes relativas son magnitudes en las que es necesario hacer referencia al
sentido en que se toman. Las magnitudes relativas se expresan utilizando números
enteros.
Altitud respecto a un punto origen; fechas: antes o después de nuestra era.
Temperaturas: sobre o bajo cero; sótanos de un edificio, altitud respecto al mar.
NÚMEROS ENTEROS, Z
Los números enteros tienen signo, positivo,+ o negativo, –, para indicar el sentido de
la magnitud respecto a un punto tomado como origen, 0. Los números naturales se
toman siempre como números enteros positivos. Ejemplo 4 = + 4.
Sótano planta número tres: Planta – 3.
Temperatura de 15 grados centígrados bajo cero: − 15.
Saldo negativo en cuenta, números rojos, de doscientos euros: – 200 €.
Z= {...− 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3,+ 4, + 5...}
El conjunto de los números enteros¸ conjunto Z, (positivos y negativos) surge ante la
necesidad de ampliar el conjunto de los números, N, naturales (positivos). Los
números enteros nos permiten expresar el resultado de la sustracción o resta cuando
el minuendo es menor que el sustraendo. Ejemplo: 4 – 9 = – 5
El conjunto de números enteros, Z, está formados por tres clases de números: enteros
positivos, coinciden con los naturales, N; enteros negativos y cero.
Z{0}ZZ 
Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números
naturales son un subconjunto, están incluidos dentro del conjunto de los números
enteros.
ZN
Números enteros, Z
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 66
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS SOBRE LA RECTA
Tomamos un punto de la recta como origen y lo designamos con el número 0.
Dividimos en segmentos de igual longitud a la izquierda y derecha del punto origen
A la derecha del cero, ponemos todos los números naturales, enteros positivos: + 1,
+ 2, + 3, + 4, + 5, + 6,...
A la izquierda del 0, colocamos los números negativos − 1, − 2, − 3, − 4, − 5, − 6...
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
El valor absoluto de un número entero es el valor numérico del número sin tener en
cuenta el signo. El valor absoluto en una recta numérica es la distancia entre el
número y el cero. Se expresa siempre con un número natural, sin signo.
La expresión matemática, /– 8/ = 8, se lee: “valor absoluto de menos 8 es igual a 8”
ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Cuando comparamos números enteros debemos aplicar los siguientes criterios:
Si los números son positivos: el mayor será el que tenga mayor valor sin
tener en cuenta el signo. Se ordenan como los naturales. Ejemplo: + 50 > + 5.
Se lee “+50 es mayor que + 5”
Si los números son negativos: el mayor será el que tenga menor valor
absoluto, valor prescindiendo del signo. Ejemplo: − 50 < − 5. Se lee: “− 50 es
menor que − 5”
Si uno es positivo y otro negativo: un número positivo siempre es mayor
que un número negativo. Ejemplo: + 5 > − 500
Todos los números enteros negativos son menores que cero, 0.
NÚMEROS OPUESTOS
El opuesto de un número entero tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo.
El opuesto de un número entero es su simétrico respecto al cero, 0. Ejemplo: el
opuesto de + 5 es el número – 5. Los números opuestos tienen el mismo valor
absoluto y si se suman dan como resultado cero. Es decir, /− 5/ = /+ 5/ = 5
Números enteros, Z
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 67
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS.
La suma de dos números del mismo signo
Se suman los valores absolutos de los números y se pone el signo que tienen todos
los números.
Ejemplo 1: (+ 7) + (+ 5) = + 7 + 5 = +12
Ejemplo 2: – 7 + (– 5) = –12
Los paréntesis se utilizan para separar el signo del número del signo de la operación.
Cuando sumamos números enteros positivos, podemos prescindir del signo del
número. Ejemplo:
(+ 7) + (+ 5) =, se puede escribir de la forma siguiente: 7 + 5 =
La suma de dos números enteros de distinto signo
Se restan sus valores absolutos y colocamos el signo del número que tiene mayor
valor absoluto.
Ejemplo 1: 3 + (– 8) = – 5
Ejemplo 2 = – 2 + 7 = + 5
Resumiendo:
Signo de los
sumandos
Signo del
resultado
Operación que
hacemos
Ejemplos
Dos
positivos
Positivo suma (+ 3) + (+ 4) = + 7
Dos
negativos
Negativo suma (− 3) + (− 5) = − 8
diferente signo
El signo del
número con mayor
valor absoluto
resta
(– 5) + (+ 9) = + 4
(+ 4) + (− 7) = − 3
Números enteros, Z
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 68
Suma y resta de más de dos números enteros
Para sumar varios números enteros procedemos de la forma siguiente
1. Quitamos paréntesis aplicando la regla se los signos.
2. Si después de quitar paréntesis tenemos números con diferente signo,
sumamos por una parte todos los positivos y, por otra, todos los negativos.
3. El signo del resultado será más (+) si la cantidad de positivos obtenidos en el
paso dos es mayor que la de negativos. El signo del resultado será menos (–)
si la cantidad de negativos obtenida en el paso segundo es mayor que la de
los positivos.
4. Restamos al valor al número con mayor absoluto el menor valor absoluto.
Regla de los signos para quitar paréntesis
Signo antes paréntesis Signo del resultado Ejemplos
+ por + Positivo + +(+ 12) = +12
– por – Positivo + − (− 9) = + 9
+ por – Negativo – (− 8) = − 8
– por + Negativo – − (+ 5) = − 5
Ejemplo: 5 + 8 + (−3) + 5 + (−6) + (−9) + 3 + 6 + (−14) =
1. Quitamos paréntesis aplicando la regla se los signos.
= 5 + 8 − 3 + 5 − 6 − 9 + 3 + 6 − 14 =
2. Sumamos los positivos por una parte y los negativos por otra, lo expresamos
matemáticamente de la siguiente forma:
= + 27 − 32 =
3. Determinamos el signo del resultado: el signo del resultado de nuestro ejemplo
es negativo porque en el paso dos se obtuvieron más negativos que positivos.
4. Restamos el número al mayor valor absoluto el menor. 32 – 27 = +5
ATENCIÓN: Si después de quitar paréntesis todos los números obtenidos tienen el
mismo signo, simplemente se suman y se pone el signo que tienen todos los números.
Ejemplo 1: −1 + (− 2) − (+ 3) − (+ 4) = − 1 − 2 − 3 − 4 = − 10
Ejemplo 2: − (−3 ) + (+ 2) − (−1) = + 3 + 2 + 1 = + 6
Números enteros, Z
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 69
RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Para restar números enteros procedemos de la forma siguiente: quitamos paréntesis y
luego procedemos como si fuera una suma.
Observarás que dependiendo del signo de los números que intervienen en la
operación se debe sumar para obtener la solución de la resta.
Ejemplo: (+ 5) − (+ 18) =
Quitamos paréntesis:
(+ 5) − (+18) = + 5 − 18 =
Procedemos como si estuviéramos sumando:
= + 5 − 18 = – 13
Ejemplo: (– 5) – (+ 9) =
Quitamos paréntesis aplicando la regla de los signos:
(− 5) − (− 9) = − 5 − 9 =
Procedemos de forma semejante a la suma: − 5 − 9 = −14
Sumamos para obtener el resultado final porque después de quitar paréntesis todos
los números tienen el mismo signo.
SUMAS Y RESTAS COMBINADAS
1. Se quitan los paréntesis aplicando la regla de los signos.
2. El signo más delante de un paréntesis no cambia el signo de los números que
están dentro del paréntesis. El signo menos delante de un paréntesis cambia el
signo a todos los números que están dentro del paréntesis.
Regla de los signos aplicadas a paréntesis
+ ( … ) =
Se quitan los paréntesis dejando el mismo signo de todos los
números que están dentro del paréntesis. Ejemplo:
− 3 + (7 − 5 + 2) = − 3 + 7 − 5 + 2 = − 8 + 9 = + 1
– ( … ) =
Cambiamos los signos de todos los números que están dentro del
paréntesis. Ejemplo:
7 − (3 − 4 + 2) = 7 − 3 + 4 − 2 = + 11 − 5 = + 6
Números enteros, Z
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 70
Una vez quitados todos los paréntesis, Se suman los positivos por una parte y los
negativos por otra.
Se restan los resultados poniendo el signo del número de mayor valor absoluto.
Ejemplo: 15 − (− 2) + (− 8) – (17 – 23) + (8 − 33) =
Quitamos paréntesis
15 + 2 – 8 – 17 + 23 + 8 – 33 =
Si al quitar los paréntesis tenemos números positivos y negativos, sumamos positivos
por una parte y los negativos por otra.
Determinamos el signo del resultado. El signo es negativo porque obtuvimos más
negativos que positivos.
= + 48 – 58 = –
Una vez determinado el signo restamos del mayor valor absoluto el menor: 58 – 48
= + 48 – 58 = – 10
Ejemplo: si al quitar paréntesis todos los números tienen el mismo signo, se suman los
valores absolutos y el signo será el obtenido al quitar paréntesis.
(−3) + (− 4 − 5) − (6 + 1 + 3) − 5 =
= − 3 − 4 − 5 − 6 − 1 − 3 = −22
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Siempre que multiplicamos números enteros se aplica la regla de los signos. En la
tabla aparece la regla de los signos y ejemplos de multiplicaciones de dos números
enteros.
Regla de los signos para la multiplicación
Signo factores Signo del resultado Ejemplos
+ por + + Positivo (+ 4) · (+ 8) = + 32
– por – + Positivo (– 5) · (–7 ) = + 35
+ por – – Negativo (+ 7) · (– 4) = − 28
– por + – Negativo (–3 ) · (+ 5) = − 15
Números enteros, Z
Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 71
DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS
El resultado de una división exacta de números enteros otro número entero. La regla
de los signos se aplica para solucionar divisiones exactas.
Las divisiones no exactas tienen como resultado un número decimal o racional.
Ejemplos:
30 : 6 = + 5 18 : (− 3) = − 6 (− 72) : (− 8) = + 9
30 = 6 · (+ 5) 18 = (− 3) · (− 6) (− 72) = (− 8) · (+ 9)
El resultado de la división (+ 7) : (+ 3) = no es un número entero.
POTENCIACIÓN
La potenciación indica en forma abreviada el producto de un número por sí mismo.
Ejemplo: 3 · 3 · 3 · 3 = 34
.
Los términos de la operación potenciación son los siguientes:
Base: es el número que se multiplica.
Exponente: indica la cantidad de veces que se multiplica la base.
Ejemplo: en la potencia, 2
5
, 2 es la base de la potencia y el 5 es el exponente.
2
5
se lee: “dos elevado a cinco o dos elevado a la quinta”.
Si el exponente es 2, se lee elevado al cuadrado o, simplemente, al cuadrado.
Si el exponente es 3, se dice elevado al cubo.
Si el exponente es 4, se dice elevado a la cuarta.
Si es 5, 6… se leerán a la quinta, sexta… y así sucesivamente.
Propiedades de la potenciación
 El resultado de elevar un número entero positivo o negativo a un exponente par
siempre es un número entero positivo.
Ejemplos: (–3)
4
= (– 3) · (– 3) · (– 3) · (– 3) = + 81
(– 1)8
= + 1
¡ATENCIÓN!: – 14
= – 1
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  • 1. Departamento del Ámbito Científico – Tecnológico ESPA/ESPAD MATEMÁTICAS Nivel 1.2 Centro de Educación de Personas Adultas – GIJÓN
  • 2. Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 2 POLIEDROS ............................................................................................................................................7 ELEMENTOS DE UN POLIEDRO ..........................................................................................................................7 POLIEDROS CÓNCAVOS Y CONVEXOS .................................................................................................................8 PRISMAS................................................................................................................................................8 ELEMENTOS DE UN PRISMA: ............................................................................................................................8 CLASES DE PRISMAS .......................................................................................................................................9 DESARROLLO DEL PRISMA ...............................................................................................................................9 ÁREAS Y VOLUMEN DE UN ORTOEDRO................................................................................................10 Áreas del ortoedro .............................................................................................................................10 Volumen del ortoedro........................................................................................................................10 PRISMAS: ÁREAS Y VOLUMEN .............................................................................................................11 Áreas de un prisma ............................................................................................................................11 PIRÁMIDES ..........................................................................................................................................12 ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE: .....................................................................................................................12 CLASES DE PIRÁMIDES ..................................................................................................................................12 DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE .....................................................................................................................12 PIRÁMIDE: ÁREAS Y VOLUMEN........................................................................................................................13 Áreas de la pirámide..........................................................................................................................13 Volumen de la pirámide.....................................................................................................................13 CUERPOS DE REVOLUCIÓN...................................................................................................................13 CILINDRO...................................................................................................................................................13 Elementos del cilindro........................................................................................................................14 Desarrollo del cilindro........................................................................................................................14 CILINDRO: ÁREAS Y VOLUMEN.............................................................................................................15 Áreas del cilindro ...............................................................................................................................15 Volumen de un cilindro ......................................................................................................................15 CONO...................................................................................................................................................15 ELEMENTOS DEL CONO.................................................................................................................................15 DESARROLLO DEL CONO................................................................................................................................16 CONO: ÁREAS Y VOLUMEN.............................................................................................................................16 Áreas del cono....................................................................................................................................16 Volumen de un cono ..........................................................................................................................16 LA ESFERA..................................................................................................................................................17 Elementos de la esfera.......................................................................................................................17 ESFERA: ÁREA Y VOLUMEN..................................................................................................................17 Área de la esfera................................................................................................................................17 Volumen de la esfera .........................................................................................................................17 UNIDADES DE VOLUMEN .....................................................................................................................18 RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD ............................................................................18 PROPORACIONALIADAD ARITMÉTICA..................................................................................................19 RAZÓN Y PROPORCIÓN..................................................................................................................................19
  • 3. Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 3 PROPORCIÓN..............................................................................................................................................19 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES............................................................................................19 CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD...............................................................................................................19 CUARTO PROPORCIONAL ..............................................................................................................................20 Calculo del cuarto proporcional.........................................................................................................20 PROPORCIONALIDAD DIRECTA. APLICACIONES...................................................................................21 REGLA DE TRES SIMPLE .................................................................................................................................21 PORCENTAJES .............................................................................................................................................22 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO EL % DE IVA.......................................................................................24 Calcular precio final de un artículo después de aplicarle el IVA........................................................24 Calcular el precio inicial conocido el precio final y el IVA aplicado. ...................................................24 REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES....................................................................................................25 PORCENTAJES: TABLAS ESTADÍSTICAS .................................................................................................26 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES ..............................................................................27 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA .....................................................................................................................27 REGLA DE TRES COMPUESTA ...............................................................................................................27 SOLUCIÓN MEDIANTE PROPORCIONES: ............................................................................................................27 SOLUCIÓN UTILIZANDO EL SISTEMA DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD:..........................................................................28 REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES:...................................................................................32 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA........................................................................................33 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA...........................................................34 Datos de una función representados en una tabla:...........................................................................34 Datos de una función representados en un gráfico: ..........................................................................34 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA .......................................................................................36 PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA.....................................................................................................37 Semejanza de figuras planas .............................................................................................................37 APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS....................................................................................................38 Escalas ...............................................................................................................................................38 Cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra. ......................................................40 TEOREMA DE TALES.....................................................................................................................................41 TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES ................................................................................................41 APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES............................................................................................................42 Dividir un segmento en partes iguales...............................................................................................42 TEOREMA DE PITÁGORAS..............................................................................................................................43 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS.....................................................................................................44 Calcular la altura de una escalera: ....................................................................................................44 Cálculo de la diagonal de un rectángulo............................................................................................44 Cálculo de la apotema de un hexágono regular ................................................................................44 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ............................................................................................................45 EXPERIMENTOS ALEATORIOS..........................................................................................................................45 SUCESOS: ESPACIO MUESTRAL .......................................................................................................................45 Suceso elemental. ..............................................................................................................................45 Suceso compuesto .............................................................................................................................45 Espacio muestral................................................................................................................................45
  • 4. Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 4 FRECUENCIAS .............................................................................................................................................46 Frecuencia absoluta...........................................................................................................................46 Frecuencia relativa.............................................................................................................................47 PROBABILIDAD............................................................................................................................................47 FRECUENCIA Y PROBABILIDAD ........................................................................................................................47 ESTADÍSTICA...............................................................................................................................................48 VARIABLES ESTADÍSTICAS: CLASIFICACIÓN.........................................................................................................48 Clasificación de las variables estadísticas:.........................................................................................48 LAS TABLAS ESTADÍSTICAS .............................................................................................................................48 Tablas: variables cuantitativas discretas y cualitativas.....................................................................48 Tablas: variables cuantitativas continuas..........................................................................................50 TIPOS DE INTERVALOS: .................................................................................................................................50 FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA.................................................................................................................51 TABLA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Y PORCENTAJES VARIABLE DISCRETA: ................................................................51 TABLA DE FRECUENCIAS Y PORCENTAJES VARIABLES CONTINUAS...........................................................................52 FRECUENCIAS ACUMULADAS..........................................................................................................................53 GRÁFICOS..................................................................................................................................................53 VARIABLES DISCRETAS............................................................................................................................53 Diagrama de barras:..........................................................................................................................53 Polígono de frecuencias:....................................................................................................................54 VARIABLES CONTINUAS..........................................................................................................................54 Histograma:.......................................................................................................................................54 Polígono de frecuencias:....................................................................................................................55 DIAGRAMA DE SECTORES ..............................................................................................................................56 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN.......................................................................................................................57 Media aritmética :...........................................................................................................................57 Mediana.............................................................................................................................................59 Calcular la mediana cuando la variable estadística es discreta.........................................................60 Cálculo de la mediana si los valores están agrupados en intervalos. ...............................................60 Moda, Mo ..........................................................................................................................................61 NÚMEROS ENTEROS ............................................................................................................................65 MAGNITUDES ABOLUTAS Y RELATIVAS..............................................................................................................65 NÚMEROS ENTEROS, Z.................................................................................................................................65 REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS SOBRE LA RECTA............................................................................66 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO ......................................................................................................66 ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS.................................................................................................................66 NÚMEROS OPUESTOS...................................................................................................................................66 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS...........................................................................................................67 SUMA DE NÚMEROS ENTEROS........................................................................................................................67 La suma de dos números del mismo signo ........................................................................................67 La suma de dos números enteros de distinto signo ...........................................................................67 Suma y resta de más de dos números enteros...................................................................................68 RESTA DE NÚMEROS ENTEROS........................................................................................................................69 SUMAS Y RESTAS COMBINADAS ......................................................................................................................69 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS .........................................................................................................70 DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS.....................................................................................................71 POTENCIACIÓN ...........................................................................................................................................71 Propiedades de la potenciación .........................................................................................................71 OPERACIONES CON POTENCIAS..............................................................................................................72
  • 5. Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 5 OPERACIONES COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS ..........................................................................................73 ÁLGEBRA..............................................................................................................................................75 EXPRESIÓN ALGEBRAICA ...............................................................................................................................75 EL LENGUAJE ALGEBRAICO.....................................................................................................................75 ECUACIÓN..................................................................................................................................................76 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ........................................................................................................................76 Ecuaciones del tipo ax = b..................................................................................................................76 Ecuaciones en las que los miembros tienen varios términos ............................................................76 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS .........................................................................................................................77 FUNCIONES..........................................................................................................................................79 COORDENADAS CARTESIANAS ........................................................................................................................79 CONCEPTO DE FUNCIÓN ...............................................................................................................................80 FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN ..............................................................................................................81 Mediante un texto: ............................................................................................................................81 Mediante una tabla: ..........................................................................................................................81 Mediante un gráfico: .........................................................................................................................82 Mediante una fórmula o expresión algebraica:.................................................................................82 FUNCIÓN: DOMINIO Y RECORRIDO...................................................................................................................84 FUNCIONES DISCONTINUA Y CONTINUA............................................................................................................85 FUNCIÓN: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO......................................................................................................86 MÁXIMOS Y MÍNIMOS..................................................................................................................................86 FUNCIONES PERIÓDICAS................................................................................................................................88 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA.......................................................................................................88 FUNCIÓN AFÍN............................................................................................................................................89 EJEMPLOS DE INTERPRETACIÓN GRÁFICAS.........................................................................................................90 Máximos, mínimos, crecimiento y decrecimiento..............................................................................90 ANÁLISIS DEL DOMINIO O RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN......................................................................................90 Dominio y recorrido ...........................................................................................................................91 Crecimiento y decrecimiento .............................................................................................................92 Continuidad y discontinuidad ............................................................................................................92
  • 6. Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 6
  • 7. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 7 POLIEDROS Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma de polígonos. ELEMENTOS DE UN POLIEDRO Los elementos de un poliedro son los siguientes: Caras: son los polígonos que limitan y cierran el espacio ocupado por el poliedro. Aristas: son las líneas donde coinciden por pares las caras. Vértices: son los puntos donde coinciden tres o más caras. Ángulo diedro: es el ángulo formado por dos caras. Ángulo poliedro: es el ángulo formado por tres o más caras, con un punto común, el vértice. Desarrollo plano de un poliedro: es la superficie que resulta al extenderlo sobre un plano:
  • 8. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 8 POLIEDROS CÓNCAVOS Y CONVEXOS Poliedros convexos son poliedros en los que al prolongar cualquiera de sus caras, estas no cortan al poliedro. Poliedros cóncavos son poliedros que tienen alguna cara que al prolongarla corta el poliedro. PRISMAS Un prisma es un poliedro que tiene dos caras iguales y paralelas entre sí, llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. ELEMENTOS DE UN PRISMA: Bases o caras básicas: son dos polígonos iguales situados en planos paralelos. Caras laterales: son paralelogramos. Aristas básicas: son los lados de los polígonos de las bases. Aristas laterales: son los lados de las caras laterales que unen las bases. Vértices: son los puntos donde se cortan las aristas. Altura: es la distancia entre las bases.
  • 9. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 9 CLASES DE PRISMAS Para nombrar un prisma hacemos referencia a los polígonos de las bases. Prismas rectos: son prismas cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados. Prismas oblicuos: son prismas cuyas caras laterales son romboides o rombos. Prismas regulares: son los prismas cuyas bases son polígonos regulares. Prismas irregulares: son los prismas cuyas bases son polígonos irregulares. Prismas paralelepípedos: son prismas que tienen todos sus lados paralelogramos. Ortoedros: son prismas cuyas caras son todas rectángulos. DESARROLLO DEL PRISMA El desarrollo plano de un prisma recto está formado por los dos elementos siguientes: - Los dos polígonos de las bases. - Un rectángulo compuesto de sus caras laterales, cuya altura es la altura del prisma y el largo el perímetro de la base. El desarrollo plano de un prisma oblicuo está compuesto por un romboide y los dos polígonos de la base.
  • 10. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 10 ÁREAS Y VOLUMEN DE UN ORTOEDRO a = largo b= profundo c = altura El área lateral del ortoedro es igual al área de las caras laterales sin las bases. El área total es el área lateral más el área de las dos bases. Las fórmulas siguientes indican cómo calcular área lateral y total de un ortoedro: Áreas del ortoedro Área lateral = 2ac + 2bc Área total: 2ab + 2ac + 2bc Las áreas del ortoedro se pueden expresar de la forma siguiente: Área lateral = perímetro base · altura Área total = área lateral + 2 · área base El área se expresa en m2 y sus múltiplos y divisores. Volumen del ortoedro Volumen = a · b · c Volumen = largo · ancho · alto Volumen = área de la base por altura El volumen se expresa en m3 o en sus múltiplos y divisores. a c b
  • 11. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 11 PRISMAS: ÁREAS Y VOLUMEN Áreas de un prisma Área lateral = Perímetro base · altura Área total = Área lateral + 2 · Área base Se expresa en m2 , sus múltiplos y divisores. Volumen de un prisma Volumen prisma = Área base · altura El volumen se expresa en m3 o sus múltiplos y divisores.
  • 12. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 12 PIRÁMIDES La pirámide regular es un poliedro limitado por un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base. ELEMENTOS DE UNA PIRÁMIDE: Base: es un polígono cualquiera. Caras laterales: son triángulos que concurren en un punto llamado vértice de la pirámide. Aristas básicas y aristas laterales: son las aristas de la base y de las caras laterales. Altura: es el segmento perpendicular trazado desde el vértice a la base. Las pirámides se nombran añadiendo a la palabra pirámide el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular). CLASES DE PIRÁMIDES Pirámide recta: se caracteriza porque todas sus caras laterales con triángulos isósceles. Si no es así, decimos que la pirámide es oblicua. Pirámide regular: es la que además de ser recta, su base es un polígono regular. Si no cumple estas dos condiciones, la pirámide se denomina irregular. Apotema de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales. DESARROLLO DE UNA PIRÁMIDE El desarrollo de una pirámide está formado por tantos triángulos isósceles como lados tenga la base y el polígono de la base.
  • 13. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 13 PIRÁMIDE: ÁREAS Y VOLUMEN El área lateral de una pirámide es igual al perímetro de la base por la apotema dividido entre dos: Áreas de la pirámide Área lateral = 2 pirámideapotemaxbaseladePerímetro Área total = Área lateral + área de la base Volumen de la pirámide Volumen = 3 alturabaseArea CUERPOS DE REVOLUCIÓN Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico obtenido a partir de una figura plana que gira alrededor de un eje. El cono, el cilindro y la esfera no son poliedros porque no están limitados por polígonos. CILINDRO Un cilindro es un cuerpo geométrico engendrado a partir de un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
  • 14. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 14 Elementos del cilindro Eje del cilindro: es el lado sobre el que gira el rectángulo que genera el cilindro. Altura: es la longitud del eje. Generatriz: es la longitud del lado opuesto al eje, o el lado que genera la superficie lateral del cilindro. Bases: son dos círculos iguales y paralelos que se generan al girar los lados perpendiculares al eje. Radio: es el radio de la base, o la longitud de los lados perpendiculares al eje. Desarrollo del cilindro El desarrollo de un cilindro está formado por dos figuras geométricas planas:  Un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base y su altura es la altura del cilindro.  Dos círculos iguales que constituyen las bases.
  • 15. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 15 CILINDRO: ÁREAS Y VOLUMEN El área lateral del cilindro es igual al área del rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base: Áreas del cilindro Área lateral = 2 rh Área total = Área lateral + 2 · área de la base = 2πrh + 2 r2 Volumen de un cilindro Volumen = r2 h CONO El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos. ELEMENTOS DEL CONO Eje del cono: es el cateto sobre el que gira el triángulo. Altura: es la longitud del eje. Generatriz: es la longitud de la hipotenusa del triángulo. Base: es el círculo generado al girar el cateto perpendicular al eje. Radio: es el radio de la base o la longitud del cateto perpendicular al eje.
  • 16. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 16 DESARROLLO DEL CONO El desarrollo de un cono está formado por los dos siguientes elementos: - Un sector circular con longitud 2πr, siendo r el radio de la base, y radio del sector coincide con generatriz del cono g. - Un círculo con radio r. CONO: ÁREAS Y VOLUMEN Áreas del cono Área lateral = πrg Área total = área lateral + área de la base = πrg + πr 2 Volumen de un cono Volumen = 3 hrπ 3 alturabaseArea 2
  • 17. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 17 LA ESFERA La esfera es un cuerpo en revolución engendrado por un semicírculo que gira en torno a su diámetro. Elementos de la esfera Eje de la esfera: es el diámetro sobre el que gira el semicírculo. Centro: es el centro del semicírculo. Radio: es el radio del semicírculo. La esfera no tiene desarrollo plano. No se diferencia el área lateral y área total: ESFERA: ÁREA Y VOLUMEN Área de la esfera Área de la esfera = 4πr2 Volumen de la esfera Volumen esfera =
  • 18. Cuerpos geométricos Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 18 UNIDADES DE VOLUMEN El metro cúbico es la medida del volumen de un cubo que tiene 1 m de arista. UNIDADES DE VOLUMEN NOMBRE SÍMBOLO MULTIPLOS miriámetro cúbico mam 3 kilómetro cúbico km 3 hectómetro cúbico hm 3 decámetro cúbico dam 3 UNIDAD metro cúbico m3 DIVISORES decímetro cúbico dm 3 centímetro cúbico cm 3 milímetro cúbico mm3 RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD La relación entre las unidades de volumen, capacidad y masa es la siguiente: 1m3 = 1kl = tonelada (t) 1 dm3 = 1litro (L) = kg 1 cm3 = 1mL = 1g Ejemplos: VOLUMEN CAPACIDAD MASA 59 dm3 = 59 l = 59 kg 35 m3 = 35 kl = 35 t 250 cm3 = 250 mL = 250 g
  • 19. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 19 PROPORACIONALIADAD ARITMÉTICA RAZÓN Y PROPORCIÓN La razón es la relación entre dos magnitudes. La razón se expresa como cociente entre las dos magnitudes. Una razón se escribe de la forma siguiente: b a → “a es a b” → econsecuent eantecedent . PROPORCIÓN Una proporción es la igualdad entre razones. d c b a “a es b, como c es a d” Los términos a y d se llaman extremos; los términos b y c, medios. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES Toda proporción cumple la siguiente propiedad: “El producto de medios es igual al producto de extremos” d c b a a · d = b · c CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD La constante de proporcionalidad es el resultado de dividir el valor del consecuente entre el valor del antecedente. Ejemplo: La tabla muestra la relación entre número de pasajeros, x; y el coste del viaje, y. Cantidad de Pasajeros (x) antecedente 1 2 3 4 5 Coste viaje € (y) consecuente 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00
  • 20. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 20 Si dividimos cada consecuente, fila segunda de la tabla, entre su antecedente, fila primera obtenemos el valor de la constante de proporcionalidad: 1,20 5 6,00 4 4,80 3 3,60 2 2,40 1 1,20 En nuestro ejemplo, la constante de proporcionalidad es 1,20 que es el precio de un billete. Definimos constante de proporcionalidad, k, dadas dos variables x, e y relacionadas directamente proporcional como el resultado de dividir la variable dependiente, y, entre la variable independiente, x. k = y/x CUARTO PROPORCIONAL Cuarto proporcional es el término desconocido de una razón. La letra equis, x, se utiliza para indicar el cuarto proporcional. Ejemplo: La proporción 60 x 12 2 relaciona número de personas y la cantidad que pagan por una entrada de cine. La x, cuarto proporcional, es el número de personas que corresponde a la cantidad de 60 euros: Calculo del cuarto proporcional Para calcular el cuarto proporcional de una proporción procedemos de la forma siguiente: 1. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 12 · x = 2 · 60 2. Despejamos la x: x = 10 12 60·2 personas
  • 21. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 21 PROPORCIONALIDAD DIRECTA. APLICACIONES Dos magnitudes de una razón son directamente proporcionales si al aumentar el valor del antecedente; aumenta el valor de su consecuente. Y si al disminuir el valor del antecedente disminuye el valor del consecuente. REGLA DE TRES SIMPLE La regla de tres simple nos permite solucionar problemas en los que intervienen dos razones. La regla de tres la resolvemos siguiendo tres pasos: 1. Planteamos la proporción. 2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones. 3. Despejamos la x: calculamos el cuarto proporcional Ejemplo 1: Calcule el coste de 12 botellas de agua si 3 botellas cuestan 0,90 €. 1. Planteamos la proporción, la razón que tiene el término que se va a calcular, x se coloca en primer lugar; es decir a la izquierda del signo igual: 3 botellas → 0,90 € → 12 3 x 0,90 12 botellas → x 2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 3x = 0,90 · 12 3. Despejamos la x: €3,60 3 12·0,90 x
  • 22. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 22 PORCENTAJES Porcentaje es una forma de medir partes de un todo representado por 100. El porcentaje nos permite comparar conjuntos con diferente cantidad de elementos. Ejemplo 1: El 20% de los 70 coches vendidos durante este mes son de color blanco. ¿Cuántos coches blancos se han vendido? 1. Planteamos la proporción, la razón primera es la tiene el término x: 100 vendidos → 20 blancos 70 vendidos → x → 70 100 x 20 2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones : 100x = 20 · 70 3. Despejamos la x: 14 100 1400 100 70·20 x coches blancos Ejemplo 2: Si 6 de los 30 alumnos de la clase tienen ojos azules. Calcula el tanto por ciento de niños que tienen ojos azules en una clase. 1. Planteamos la proporción, la razón primera es la tiene el término x: Si de 30 alumnos → 6 tienen ojos azules → 100 30 x 6 Si fueran 100 → x tendrán ojos azules 2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 30x = 6· 100 3. Despejamos la x 20 30 6·100 x → 20% tienen ojos azules El porcentaje se puede calcular utilizando el sistema de reducción a la unidad dividimos la parte entre el todo y multiplicamos el resultado por 100. 20100· 30 6 x %
  • 23. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 23 Ejemplo 3: Mil ochocientas personas, que equivalen al 60% de los participantes de una prueba, obtuvieron calificación positiva. Calcula el número total de personas que tomaron parte en la prueba. El 60% 1 800 Todos: 100% x 100 60 x 1800 3000 60 100·1800 x personas Ejemplo 4: En una votación participan 600 personas. ¿Qué tanto por ciento de los votos obtuvo un candidato que recibió 120 votos? 600 participantes 120 votos 100 “ x 100 600 x 120 %20 600 100·120 x Solución utilizando el sistema de reducción a la unidad: 20%100· 600 120 x Ejemplo 5: He pagado 158 euros después de hacerme un 20% de descuento ¿Cuál era el precio inicial del artículo? 80 precio final 100 precio inicial 158 80 x 100 €197,50 80 158x100 x 158 x Ejemplo 6: Juan colocó 225 cajas de las 500 que tenía que colocar. Pedro colocó 264 de las 600 que le correspondían. ¿Cuál de los dos trabajó más eficazmente? Razónalo. Calculamos el porcentaje de cajas que ha colocado cada uno. 45%100· 500 225 Juan 44%100· 600 264 Pedro. Juan colocó el 45% y Pedro, el 44 %. El porcentaje nos indica cuántas cajas hubiera colocado si hubieran tenido que colocar 100 cada uno.
  • 24. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 24 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO EL % DE IVA Calcular precio final de un artículo después de aplicarle el IVA. Ejemplo: El precio de una tele es 700 € más el 21% de IVA. Calcular el precio final. Primera interpretación del IVA: Por cada 100 €, precio inicial, se paga 21 € de IVA. Por 100 pago 21 € de IVA Por 700 x 700 100 x 21 100 21·700 x = 147 € 700 + 147 = 847,00 € precio final Segunda interpretación del IVA: Si el precio inicial es de 100 €, el precio final, su precio después de aplicar el IVA, será 121 €. Precio inicial Precio final 700 100 x 121 100 700·121 x = 847 €100 → 121 € 700 → x NOTA: el precio final de un artículo se puede calcular sin hacer la regla de tres, multiplicando el precio inicial por 1,00 + % IVA. Calcular el precio inicial conocido el precio final y el IVA aplicado. Ejemplo: Hemos pagado 1089 € por un artículo después de aplicarle el 21% de IVA Calcula el precio inicial y lo que supuso el IVA. Precio final Precio inicial → €900 121 1089·100 x precio inicial121 € → 100 € 1089 → x Precio final – precio inicial = 1.089 – 900 = 189 € supuso el IVA NOTA: el precio inicial de un artículo, conocido su precio final, se calcula sin hacer la regla de tres dividiendo el precio final entre 1,00 + % IVA.
  • 25. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 25 REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Ejemplo 1: Juan y Manuel colaboraron en el desarrollo de un proyecto. Los beneficios obtenidos se repartieron proporcionalmente al número de horas que cada uno dedicó a su realización. Si ganaron 15.000 €, ¿cuánto cobró cada uno teniendo en cuenta que Juan utilizó 240 horas y Manuel, 260 horas?  Solución empleando el método de reducción a la unidad: 240 + 260 = 500 horas se trabajaron en total 15.000 : 500 = 30 € por hora Juan: 240 x 30 = 7.200 € Manuel: 260 x 30 =7800 €  Solución usando la regla de tres. Total de horas trabajadas: 240 + 260 = 500 horas 500 horas trabajada → 15.000 € 240 h Juan → x €7200 500 00015·240 x 500 horas trabajada → 15.000 € 260 h Manuel → x €7800 500 00015·260 x  Una tercera forma de resolver el problema es aplicando las propiedades de las proporciones. En nuestro ejemplo procedemos de la forma siguiente: 500 00015 260 Manuel 240 Juan 7200 500 00015240 J 7800 500 00015260 M
  • 26. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 26 PORCENTAJES: TABLAS ESTADÍSTICAS El porcentaje nos permite comparar situaciones en las que la cantidad de elementos de los conjuntos a relacionar son diferentes. Ejemplo 1: En la tabla siguiente aparecen los lanzamientos y encestes de 3 jugadores. Comparamos su efectividad utilizando el porcentaje de aciertos. Lanzamientos Encestes frecuencia relativa % Jugador 1 8 5 5 : 8 = 0,625 0,625 x 100 = 62,5 % Jugador 2 20 8 8 : 20 = 0,4 0,4 x 100 = 40 % Jugador 3 15 9 9 : 15 = 0,6 0,6 x 100 = 60 % Dividimos la cantidad de aciertos de cada uno, parte, entre las veces que ha lanzado a cesta, todo. El resultado es el tanto por uno o frecuencia de aciertos relativa al número de tiros. Si la frecuencia relativa la multiplicamos por 100, obtenemos el tanto por ciento. Ejemplo 2: En la tabla siguiente aparece el resultado de preguntar el color de coche preferido a 50 personas: Color nº Personas frecuencia relativa % Blanco 4 4 : 50 = 0,08 0,08 x 100 = 8 % Negro 19 19: 50 = 0,38 0,38 x 100 = 38 % Rojo 15 15: 50 = 0,30 0,3 x 100 = 30 % Verde 12 12 : 50 = 0, 24 0’24 x 100 = 24 % Total = 50
  • 27. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 27 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES La relación entre dos magnitudes es inversamente proporcional cuando al multiplicar del valor de la antecedente la consecuente queda dividida; o si al dividir la antecedente, la consecuente queda multiplicada. Dicho de forma: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando a un aumento o disminución de una le corresponde una disminución o aumento de la magnitud relacionada con ella: “A más le corresponde menos y a menos, más.” REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Ejemplo: Dos trabajadores tardan 24 días en hacer una tapia. ¿Cuánto tardarán en hacer el mismo trabajo 6 trabajadores? Plantemos la regla de tres 1. Proporción 2. Propiedad fundamental 3. Despejamos la x Inversa 2 6 x 24 → 6 · x = 24 · 2 días8 6 48 6 2•24 x2 trabaj. → 24 días 6 “ → x Observa que la razón inversa, que no tiene la x, se invierte. REGLA DE TRES COMPUESTA En la regla de tres compuesta intervienen más de dos magnitudes proporcionales. SOLUCIÓN MEDIANTE PROPORCIONES: Ejemplo: Cuatro personas pagan 2.400 euros por un viaje que dura 10 días. Calcule cuánto pagarán 6 personas por el mismo viaje si lo amplían 5 días. Directa Directa 4 personas → 10 días → 2400 euros 6 “ → 15 “ → x “  Comparamos las razones de dos en dos: Relacionamos cada razón con la razón que contiene la incógnita, x, para determinar si su relación es inversa o directamente proporcional. En nuestro ejemplo, procedemos de la forma siguiente:
  • 28. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 28 “Seis personas son más que 4, luego a más personas más dinero a pagar”: la relación entre personas y precio a pagar es directamente proporcional. “Quince días son más días que 10, luego a más días más precio a pagar.”: la relación entre días y precio a pagar es directamente proporcional”. IMPORTANTE: como comparamos las razones de dos en dos, no tenemos en cuenta los valores de las otras razones que intervienen en la regla de tres compuesta. Es decir, a más personas siempre pagamos más y no tenemos en cuenta si los días aumentan o disminuyen.  Una vez analizada la relación entre las razones, procedemos de forma semejante a como se hace en el proceso de resolución de una regla de tres simple: 1. Planteamos la razón: 15•6 10•4 x 2400 → 90 40 x 2400 Observa que se hacen los productos para que quede una proporción con dos razones, una de ellas contiene la incógnita 2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 40x = 2400 · 90 3. Despejamos la x; €5400 40 90·2400 x SOLUCIÓN UTILIZANDO EL SISTEMA DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD: Distribuimos los datos en forma de tabla. En la primera fila, colocamos los datos iniciales que nos da el enunciado del problema. El procedimiento tiene dos fases: reducción a la unidad y solución. Fase de reducción a la unidad: Dividimos cada dato inicial entre su valor para obtener 1. Y hacemos los mismo con el dato conocido de la razón que tiene la incógnita, x. En nuestro ejemplo: dividimos entre 4 que es el valor inicial de la razón personas y los 2400 valor inicial de la razón euros. Dividimos entre 10 la razón de los días, y el resultado obtenido anteriormente de dividir la razón que contiene la incógnita entre 4.
  • 29. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 29 Fase de solución: Multiplicamos cada 1 obtenido en el proceso de reducción a la unidad por los nuevos valores. La cantidad obtenida durante proceso de reducción en la columna que contiene la x, se multiplica también por el nuevo valor de cada razón si la relación es directamente proporcional. Datos = Directa Directa 4 personas 10 días 2400 euros Reducción a la unidad 4 : 4 = 1 2 400 : 4 = 600 10 : 10 = 1 600 : 10 = 60 Solución 1 · 6 60 · 6 = 360 1 · 15 360 · 15 = 5400 euros Ejemplo 2: Seis obreros trabajando 8 horas diarias terminan una obra en 15 días. Calcula cuántos días emplearán 10 obreros trabajando 4 horas diarias para realizar la misma tarea. Analizamos la relación entre las magnitudes que intervienen en la regla de tres: Inversa Inversa 6 obreros → 8 horas → 15 días 10 → 4 “ → x “ 1. Planteamos la razón. Las razones inversas se invierten: 8•6 4•10 x 15 → 48 40 x 15 2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones 40x = 15 · 48 3. Despejamos la x días18 40 48·15 x
  • 30. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 30 Solución utilizando el método de reducción a la unidad: Datos = Inversa Inversa 6 obreros 8 horas 15 días Reducción a la unidad 6 : 6 = 1 15 x 6 = 90 8 : 8 = 1 90 x 8 = 720 Solución 1 · 10 720 : 10 = 72 1 · 4 72 : 4 = 18 Fase de reducción a la unidad: en este caso la relación entre las magnitudes de las razones es inversamente proporcional. Observa, que los valores situados en la columna de la incógnita se han multiplicado. Si la relación entre magnitudes es inversa, en la fase de reducción a la unidad se multiplican los valores situados en la columna de la incógnita. Fase de solución: multiplicamos el 1 obtenido en el proceso de reducción a la unidad por los nuevos valores de cada razón que se indican en el enunciado del problema. Observa: los datos situados en la columna días se dividen en lugar de multiplicarlos. Recuerda que cuando la relación entre las magnitudes es inversamente proporcional, aplicamos la operación opuesta en la columna que contiene la incógnita. Ejemplo 3: Si 5 máquinas en 6 horas confeccionan 60 jerséis, ¿cuántas máquinas se necesitarían para hacer 100 jerséis en 5 horas? Inversa Directa 5 máquinas → 6 horas → 60 jerséis x → 5 “ → 100 “ Analizamos la relación entre las magnitudes de las razones respecto a la razón que contiene la x tomadas de dos en dos. “Cien jerséis son más que 60, a más jerséis más máquinas se necesitarán”. La relación es directamente proporcional. “Cinco horas son menos que 6, a menos horas trabajando necesitamos más máquinas funcionado”. La relación es inversamente proporcional. Una vez analizada de relación entre las razones, planteamos la proporción:
  • 31. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 31  La razón que contiene la x es la que se escribe a la izquierda del igual.  El antecedente de la razón situada a la derecha del igual es el producto de todos los antecedentes de las razones que no contienen la equis; y el consecuente, el producto de sus consecuentes. MUY IMPORTANTE: los términos de las razones inversas se invierten al hacer la proporción. 100•6 60•5 x 5 1. Hacemos los productos para plantear la proporción: 600 300 x 5 2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 300 x = 5 · 600 3. Despejamos la x: máquinas10 300 600•5 x Solución utilizando el método de reducción a la unidad: Datos = Directa Inversa 60 jerséis 6 horas 5 maquinas Reducción a la unidad 60 : 60 = 1 5 : 60 6 : 6 = 1 60 5 · 6 Solución 1 · 100 6· 60 5 · 10 1 · 5 )6·100· 60 5 ( : 5 = 10 Observa, que en la fase de reducción a la unidad de la relación entre horas y cantidad de máquinas es inversamente proporcional; por lo tanto, multiplicamos el valor conocido de la razón que contiene la incógnita, máquinas. En la fase de solución multiplicamos la razón inversa, horas, por el valor dado en el enunciado y dividimos en la columna que contiene la incógnita, máquinas. Se pueden facilitar los cálculos si se hacen todas las operaciones al final del proceso.
  • 32. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 32 REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES: Repartir una cantidad inversamente proporcional respecto a unos números consiste en que al mayor número le debe corresponder la menor cantidad y al mayor, la menor cantidad. Ejemplo: Repartir inversamente proporcional 4200 € al tiempo empleado por los tres primeros clasificados en una prueba. Los tiempos de los tres primeros clasificados fueron los siguientes: a) 3 horas; b) 5 horas y c) 6 horas. 1er Clasificado 2º Clasificado 3er Clasificado 3 horas 5 horas 6 horas Para que al menor número le corresponda la mayor cantidad y al mayor le corresponda la menor, repartimos sobre el inverso de cada número inicial. El inverso de un número entero es la fracción que tiene como numerador 1, y de denominador el número entero. Luego los inversos de 3, 5 y 6 son los siguientes: 3 1 5 1 6 1 Reducimos a común denominador: utilizamos el sistema de productos cruzados. 90 30 90 18 90 15 Una vez reducidas las fracciones a común denominador, procedemos a hacer el reparto utilizando sólo los numeradores. (Si es posible, simplificamos las fracciones). Se procede a repartir sobre los denominadores siguiendo los mismos pasos que cuando se hacen repartos directamente proporcionales. 1er clasificado = €2000 63 420030 2ª Clasificado = €1200 63 4200·18 3er clasificado = €1000 63 20015 NOTA: si los números sobre los que se hace el reparto son fracciones, se repartirá a la fracción inversa. Es decir, si la fracción es 2/3 repartimos a 3/2
  • 33. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 33 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA En la tabla siguiente tenemos la relación entre el número lápices que compramos, x; con el precio a pagar, y. El precio de cada lápiz es de 2 €. Número de lápices (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Precio a pagar (y) 2 € 4 € 6 € 8 € 10 € 12 € 14 € 16 € 18 € 20 € La cantidad de lápices, x, la llamaremos variable independiente. La cantidad de euros, y, es la variable dependiente. Si dividimos la variable dependiente entre la variable independiente, obtenemos el valor de la constante de proporcionalidad. En nuestro ejemplo: 2/1; 4/2; 6/3; 8/4… y/x = k , k = constante de proporcionalidad. La expresión matemática que relaciona la cantidad de lápices y su coste es la expresión analítica o algebraica de la función de proporcionalidad. La relación entre la cantidad de lápices y el precio a pagar viene indicada por la expresión algebraica: y = 2x. La función de proporcionalidad directa se suele representar por una expresión algebraica que tiene la forma siguiente: y = mx O también: y = mx + b m es el valor de la constante de proporcionalidad, k. En nuestro ejemplo, el valor de m es 2. La expresión algebraica y = 2x indica que tenemos que multiplicar por 2 la cantidad de lápices que compramos, variable dependiente, x. Un ejemplo de la expresión algebraica y = mx + b puede el siguiente: la cantidad que tenemos que pagar a un técnico que cobra 16 € la salida y 30 € por hora trabajada. En este caso la expresión algebraica es y = 30x + 16.
  • 34. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 34 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA Ejemplo 1: Representamos gráficamente la función que relaciona el número de lápices y el importe que pagamos si el precio de cada lápiz es de 2 ,00 €. Número de lápices (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Precio a pagar (y) 2 € 4 € 6 € 8 € 10 € 12 € 14 € 16 € 18 € 20 € Datos de una función representados en una tabla: En la primera fila aparecen los valores de la variable independiente, x, En la segunda fila de la tabla, aparecen los valores de la variable dependiente, y, estos valores se colocan en el eje vertical del gráfico. Datos de una función representados en un gráfico: En el eje horizontal, x, se coloca la cantidad de lapiceros que se compran. El cantidad de lápices se representa con la letra x, variable independiente. En el eje vertical, y, se coloca el importe que se paga según el número de lápices que se compran. Los costes, valores y, dependen del número de lápices que compramos, por lo que reciben el nombre de variable dependiente. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Euros:ejey;variabladependiente Número de lápices: eje x, variable independiente
  • 35. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 35 Cuando la variable independiente sólo puede tomar valores expresados con números naturales o enteros, los puntos no se unen. Las variables independientes que toman como valores sólo números naturales o enteros reciben el nombre de variables discretas. Ejemplos: cantidad de llamadas telefónicas que hacemos al día, el número de hermanos, cantidad de libros, etc. Los gráficos que representan estas situaciones utilizan puntos o columnas Ejemplo 2: En la tabla se indica la relación entre cantidad y lo que se paga por chorizo cuyo precio por kilo es 10 €. La expresión analítica o algebraica de la función es la siguiente: y = 10x Cantidad, x - kg 0 0,5 0,75 1 1,5 1,75 2 2,25 2,50 Precio, y - € 0 5 7,5 10 15 17,5 20 22,5 25 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 Variabledependiente-y, Cantiidad en kilos: x ; variable independiente La variable independiente puede tomar valores expresados con números decimales. Las variables independientes que toman como valores números decimales reciben el nombre de variables continuas. Los gráficos que representan funciones cuyo dominio es una variable continua suelen ser rectas, puntos unidos, histogramas: rectángulos unidos.
  • 36. Proporcionalidad aritmética Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 36 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA En la tabla siguiente aparece la relación entre el número de personas y el tiempo, utilizado para realizar una determinada tarea. El tiempo se expresa en minutos. Cantidad de personas (x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (y) 60 30 20 15 12 10 8,6 7,5 6,7 6 Al aumentar la cantidad de personas que intervienen, variable independiente, disminuye el tiempo en desarrollar la tarea, variable dependiente. La relación entre las dos magnitudes, personas y tiempo, es inversamente proporcional. La expresión analítica de la función es la siguiente: x 60 y No unimos los puntos para indicar que los valores del eje x pueden expresarse sólo con números enteros: x es una variable discreta. La función de proporcionalidad inversa suele tener una expresión analítica o algebraica del tipo x a y , donde a representa a un número racional y x a la variable independiente. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Variabledependiente:y=tiempo Variable independiente, y, = número de personas y = 60/x
  • 37. Proporcionalidad geométrica Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 37 PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA Semejanza de figuras planas Dos figuras son semejantes si sus lados correspondientes, u homólogos, son proporcionales y sus ángulos iguales. Es decir; tienen "la misma forma" y sólo se diferencian en su tamaño. Si los dos triángulos son semejantes sus lados son proporcionales: FD CA FE CB ED BA Suponemos que cada lado del triángulo menor mide 8 m, 10 m, 6 m. y la razón de semejanza entre los lados de los dos triángulos es 2. De acuerdo con la definición de semejanza podemos escribir la siguiente proporción: 2 6 AC 10 CB 8 BA FD CA FE CB ED BA Luego los lados del triángulo mayor miden 16 m, 20 m y 12 m para que se cumpla la proporción en la que la constante de proporcionalidad es 2: 2 6 12 10 20 8 16 FD CA FE CB ED BA El número fijo por el que multiplicamos para obtener una figura mayor; o dividimos para obtener una figura menor, es la razón de semejanza. A a B a C a F a a E a D a
  • 38. Proporcionalidad geométrica Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 38 APLICACIONES DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS. Escalas La semejanza de figuras nos permite hacer representaciones de objetos reales a un tamaño más grande (ampliaciones) o más pequeño (reducciones). Escala es la relación entre la dimensión dibujada y la dimensión real medidas utilizando la misma unidad. Las escalas se expresan en forma de cociente. realdimensión dibujadadimensión Escala La escala se indica utilizando dos cantidades separadas por dos puntos (:). El primer elemento de la escala suele ser el 1, que se refiere a la dimensión dibujada. El segundo elemento, indica la cantidad de cm o mm reales que corresponden a 1 cm o mm en la representación, plano o mapa. En las representaciones de objetos la razón de semejanza recibe el nombre de factor de escala. Ejemplo, 1:250 En la escala, 250 es la razón de semejanza o factor de escala. En un plano a escala 1:250, cada centímetro o mm del plano equivale a 250 centímetros o mm en la realidad. Ejemplo 1: Calcular la longitud real de un local representado en un plano hecho a escala 1:250. La longitud en el plano es de 10 cm. Expresar el resultado en metros. 1 cm. en plano 250 cm. en realidad 10 cm en plano x cm. en realidad cm.5002 1 10•250 x; 10 1 x 250 2500 cm = 25 metros El problema se puede solucionar sin necesidad de utilizar la regla de tres. Para ello aplicamos el siguiente procedimiento: Si 1 cm en el plano = 250 cm en la realidad; 10 cm del plano será igual a 10 veces más en la realidad: 10 x 250 cm = 2500 cm = 25 m
  • 39. Proporcionalidad geométrica Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 39 Ejemplo 2: En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 5 centímetros. Teniendo en cuenta que la distancia en la realidad entre las dos ciudades es de 400 km. Calcula la escala que se utilizó para dibujar el mapa.  Solución mediante una regla de tres simple: 400 km = 40.000.000 cm Plano/mapa Realidad 1 500000040 x → 0000008 5 1·00000040 x La escala es 1 : 8 000 000 5 cm → 40 000 000 cm 1 cm → x  Solución utilizando el concepto de escala: se divide la distancia real, expresada en cm o mm, entre la distancia dibujada. 5 cm → 400 km = 40 000 000 centímetros. realdimensión dibujadadimensión Escala 00000040 5 x 1 5x = 1 · 40 000 000 0000008 5 00000040·1 x La escala es 1 : 8 000 000 Ejemplo 3: La distancia real entre dos ciudades es de 4,48 km. Calcula la escala que se ha utilizado en un mapa si las dos ciudades están a una distancia de 5,6 cm 4,48 km = 448 000 cm Si 5,6 cm en el mapa representan 448 000 cm reales, cada cm en el plano equivale a: 00080 5,6 000448 cm reales La escala es 1 : 80 000
  • 40. Proporcionalidad geométrica Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 40 Ejemplo 4: En una representación a escala 1:50, ¿qué medidas tendrá una mesa rectangular de 8 m x 6 m? 8 m = 800 cm 6 m = 600 cm 800 : 50 = 16 cm en el plano 600 : 50 = 12 cm en el plano 16 cm x 12 cm, medidas en el plano. Utilizando una regla de tres el problemas se plantea de la forma siguiente: 50 cm reales → 1 en el plano → → 50x = 1 · 800 → 800 “ “ → x 8 m reales = 16 cm en el plano 50 cm reales →1 en el plano → → 50x = 1 · 600 → 600 “ “ → x 6 m reales = 12 cm en el plano Cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra. Ejemplo: Calcula la altura del muro teniendo en cuenta el valor de la altura de la estaca, 50 cm y de la sombra que proyecta, 80 cm. Sombra muro = 6 m Para solucionar el problema utilizamos el centímetro como unidad de longitud. 6 m 8 m 50 cm 80 cm 6 m x m
  • 41. Proporcionalidad geométrica Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 41 Aplicando la propiedad de la semejanza, escribimos la proporción que relaciona los lados homólogos de las figuras semejantes. La altura del edificio, x, será uno de los términos de la proporción. 80 600 50 x → 80x = 50 · 600 → m3,75cm375 80 600·50 x TEOREMA DE TALES Si tres rectas paralelas, a, b, y c, cortan a otras dos rectas r y s, los segmentos que determinan son proporcionales. CB BC BA AB CA AC CB BC BA AB CA AC BA AB La proporción anteriores expresan el teorema de Tales. La razón de dos segmentos es el resultado de dividir sus longitudes TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES Los triángulos ACE y BCD comparten el ángulo C, están encajados. Los lados opuestos al ángulo C son paralelos. En estos casos se dice que los dos triángulos están en posición de Tales. Cuando dos triángulos se pueden colocar en posición de Tales, sus lados son proporcionales: BD AE CD CE BC AC A E D B C
  • 42. Proporcionalidad geométrica Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 42 APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES Dividir un segmento en partes iguales El Teorema de Tales nos permite dividir un segmento en partes iguales (cinco en el ejemplo). .Ejemplo 1: Divide el segmento AB en 5 partes iguales Se traza una semirrecta a partir de A. Sobre ella se marcan, con el compás, 5 segmentos iguales con la longitud que se quiera. Se une la última marca con B y se trazan paralelas, una por cada marca de la semirrecta. Ejemplo 2: Divide el segmento AB en dos partes de manera que la segunda parte sea el triple de la primera. Procedemos como en el ejemplo anterior. Los segmentos dibujados en la recta r, no tendrán la misma medida: si el valor del primero es d; el valor del segundo segmento será 3d. BA 3d d
  • 43. Proporcionalidad geométrica Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 43 TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras se enuncia de la forma siguiente: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos Si llamamos a la hipotenusa, a y a los catetos, b y c, el teorema de Pitágoras se expresa matemáticamente de la forma siguiente: a 2 = b 2 + c 2 De la fórmula anterior se deducen las tres siguientes:  Fórmula que nos permite calcular la hipotenusa conocida la longitud de los catetos: cb=a 22  Fórmulas para calcular uno de los catetos conocida la longitud de la hipotenusa y la del otro cateto: ca=b 22 ba=c 22 Hipotenusa = a
  • 44. Proporcionalidad geométrica Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 44 6 m 3,6 m h APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS Calcular la altura de una escalera: Una escalera de 6 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 3,6 m de la pared. a) ¿A qué altura se apoya la parte superior de la escalera en la pared? m4,823,0412,96363,66h 22 Cálculo de la diagonal de un rectángulo. m10100643686x 22 Cálculo de la apotema de un hexágono regular Calculamos la apotema de un hexágono que tiene 10 m de lado. Teniendo en cuenta que el radio del hexágono es igual al lado: m8,667525100510a 22 8 m 6 m x 10 m 5 cm a 10 m
  • 45. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 45 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EXPERIMENTOS ALEATORIOS Aleatorios: al realizar un experimento aleatorio no podemos predecir el resultado que se obtendrá: depende del azar. Ejemplo: si tiramos una moneda no podemos predecir qué cara va a quedar visible Deterministas: sí se puede predecir el resultado que se va a producir. Ejemplo si hoy es lunes, podemos predecir que mañana será martes. SUCESOS: ESPACIO MUESTRAL Suceso elemental. Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio es un suceso elemental. Ejemplo: el resultado de lanzar una moneda al aire tiene dos sucesos elementales: {cara, cruz} Suceso compuesto Un suceso es compuesto cuando contiene dos o más sucesos elementales. Ejemplo: que salga un número par cuando lanzamos un dado. S = {2, 4, 6} Espacio muestral Es el conjunto de todos los sucesos elementales. Se representa con la letra E. Ejemplos: Experimento lanzar un dado: Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Sucesos elementales → {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Sucesos compuestos: → Obtener un número par = {2, 4, 6} Obtener un número mayor que 3 = {4, 5, 6}, Lanzar una moneda y anotar el número de caras: Espacio muestral → E = {cara, cruz} Sucesos elementales → {cara}, {cruz}
  • 46. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 46 FRECUENCIAS La frecuencia de un suceso elemental es el número de veces que ocurre al realizar un experimento. Diferenciamos la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa. Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta correspondiente a un suceso de un experimento es el número de veces que ocurre dicho suceso al realizar el experimento. Ejemplo: He lanzado un dado 20 veces los resultados obtenidos son los siguientes que se han representado en una tabla de frecuencias: 1 2 2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 Para representar los resultados obtenidos en un experimento en una tabla de frecuencias se procede de la forma siguiente:  Columna 1ª: se colocan todos los posibles valores de cada suceso elemental, xi. En el ejemplo, los posibles valores que se suceden al tirar el dado de seis caras: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  Columna 2ª: aparece la frecuencia absoluta que indica el número de veces que un valor ha ocurrido al tirar el dado. La frecuencia se representa por fi La frecuencia absoluta de un suceso xi se representa por fi La frecuencia del número dos al tirar el dado la podemos expresar de la forma siguiente: f2 = 5 Frecuencia del suceso salir un número par A = {2, 4, 6} es igual a la suma de la frecuencia de cada uno de los sucesos elementales: FA = f2 + f4 + f6 = 5 + 2 + 4 = 11 Observa que la suma de la frecuencia absoluta de todos los posibles valores es igual al número de veces que se ha lanzado el dado: Numero lanzamientos = N = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 Tabla de frecuencias Valores suceso xi Frecuencia absoluta fi 1 1 2 5 3 2 4 2 5 6 6 4
  • 47. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 47 Frecuencia relativa La frecuencia relativa de un suceso es el cociente de su frecuencia absoluta entre el número de veces que se realiza el experimento. La frecuencia relativa de un suceso, xi, se representada por hi Después de lanzar 20 veces un dado hemos obtenido los resultados que se muestran en la tabla siguiente: Suceso elemental xi Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi 1 1 1: 20 = 0,05 2 5 5 : 20 = 0,25 3 2 2 : 20 = 0,10 4 2 2 : 20 = 0,10 5 6 6 : 20 = 0,30 6 4 4 : 20 = 0,20 Total lanzamientos = N 20 PROBABILIDAD La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. Si la probabilidad de un suceso es igual a 1, decimos que es un suceso seguro porque siempre ocurre. Si la probabilidad de un suceso es 0, decimos que es un suceso imposible porque nunca ocurre. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD La probabilidad de un suceso se considera equivalente a la frecuencia relativa de dicho suceso. La regla de Laplace afirma que la probabilidad de un suceso es igual al número de casos favorables que contiene el suceso dividido entre el número total de sucesos posibles. Ejemplo. Tiramos un dado: la probabilidad de que salga 5, será 1/6, La probabilidad de que salga un número par será 3/6,
  • 48. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 48 ESTADÍSTICA Estadística es la ciencia encargada de recopilar y ordenar datos referidos a diversos fenómenos para su posterior análisis e interpretación. Población es el conjunto de elementos en los que se estudia un determinado aspecto o característica.  Muestra es una parte de la población. Es importante escoger correctamente la muestra: deber ser representativa, es decir, dar una información similar a la obtenida si estudiásemos toda la población. VARIABLES ESTADÍSTICAS: CLASIFICACIÓN Variable estadística, xi, es toda característica o aspecto de los elementos de una población o muestra que se puede estudiar. Clasificación de las variables estadísticas:  Variables cualitativas: Se expresan con palabras. Ejemplos color de pelo, deporte favorito, etc.  Variables cuantitativas: los valores que pueden tomar son números. Pueden ser discretas o continuas. Variables cuantitativas discretas: sus valores son números naturales o enteros. Ejemplo: número de personas que asisten a un evento, veces que vamos al cine, cantidad de coches o teles, etc. Variables cuantitativas continuas: pueden tomar cualquier valor entero, decimal, fraccionario. Ejemplos: peso, altura, tiempo que se tarda en realizar una tarea LAS TABLAS ESTADÍSTICAS Las tablas estadísticas sirven para organizar los datos de una variable estadística y estudiarlos con mayor facilidad. Tablas: variables cuantitativas discretas y cualitativas En la primera columna se colocan los diferentes valores de la variable. Los valores de la variable cualitativa o cuantitativa discreta o continua se representan por xi. En la segunda columna, se colocan los valores de la frecuencia absoluta, fi. La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece cada uno de los valores de la variable.
  • 49. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 49 Ejemplo: En la tabla siguiente vemos los deportes que practican una muestra formada por 40 personas. La variable es cualitativa. Deportes xi Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi Atletismo 8 8 : 40 = 0,20 Futbol 12 12 : 40 = 0,30 Tenis 6 6 : 40 = 0,15 Baloncesto 10 10 : 40 = 0,25 Balonmano 4 4 : 40 = 0,10 Total, N = 40 Columna 1ª: se colocan los valores de la variable, xi. La variable es cualitativa, se expresa con palabras. Columna 2ª: está el número de personas que practican cada deporte, la frecuencia absoluta de cada variable, fi. Columna 3ª: se coloca la frecuencia relativa. La frecuencia relativa se calcula dividiendo el valor fi entre 40, el total de personas que intervinieron en la encuesta, N. La frecuencia relativa se expresa aproximada a las centésimas. La frecuencia relativa es equivalente a la probabilidad. A la vista de los datos de la tabla podemos afirmar que la probabilidad de que al preguntar a un miembro de la muestra elija el futbol como su deporte favorito es de 0,30; y que elija baloncesto, de 0,25. La probabilidad de que un miembro de la muestra elija como sus dos deportes favoritos son tenis y baloncesto es de: 0,15 + 0,25 = 0,40 La probabilidad de que los tres deportes favoritos de los miembros de la muestra sean futbol, tenis y baloncesto es de 0,30 + 0,15 + 0,25 = 0,70.
  • 50. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 50 Tablas: variables cuantitativas continuas Cuando la variable estadística es cuantitativa continua, los valores se suelen agrupar en intervalos de igual amplitud. Para realizar cálculos se utiliza el valor medio de cada intervalo que se llama marca de clase. Para calcular la marca de clase de cada intervalo, sumamos sus extremos y dividimos entre dos. Ejemplo: (170 + 180)/2 = 175. Para calcular la marca de clase podemos dividir la amplitud de los intervalo entre 2 y sumar su resultado al extremo de la izquierda de cada intervalo. Ejemplo: 10 : 2 = 5; 170 + 5 = 175; 180 + 5 = 185 … Ejemplo: En la tabla aparecen los datos obtenidos respecto a la estatura de 200 jugadores de baloncesto.: marca de clase, frecuencias absolutas y relativas. Estatura en cm xi marca de clase Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi [170 - 180) 175 32 0,16 [180 - 190) 185 45 0,225 [190 - 200) 195 41 0,205 [200 - 210) 205 47 0,235 [210 - 220) 215 23 0,115 [220 - 230) 225 12 0,06 200 1 La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al total de jugadores y la suma de las frecuencias relativas es igual a 1. TIPOS DE INTERVALOS: Abierto, (2, 5) contiene todos los puntos entre 2 y 5, no incluye a ambos. Cerrado, [2, 5] contiene todos los puntos entre 2 y 5, sí incluye a ambos. Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, (2, 5] contiene todos los puntos entre 2 y 5, y no contiene a 2 pero sí a 5. Cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, [2, 5) contiene todos los puntos entre 2 y 5, y sí contiene a 2 pero no a 5.
  • 51. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 51 FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA Frecuencia absoluta, fi, de un conjunto de datos es el número de veces que se repite cada valor de la variable, xi. Frecuencia relativa, hi, es igual a la frecuencia absoluta de cada variable dividida entre el número total de datos (N) N h if i  La frecuencia relativa es siempre un número comprendido entre 0 y 1  La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, N.  La suma de las frecuencias relativas es 1. Porcentaje (%) es el resultado de multiplicar la frecuencia relativa por 100 TABLA DE FRECUENCIAS RELATIVAS Y PORCENTAJES VARIABLE DISCRETA: En la tabla siguiente aparecen los resultados obtenidos al preguntar a 50 alumnos, cuántos hermanos tiene cada uno: xi Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi Porcentaje % 0 6 6 : 50 = 0,12 0,12 x 100 = 12 1 16 16 : 50 = 0,32 0,32 x 100 = 32 2 15 15 : 50 = 0,30 0,30 x 100 = 30 3 10 10 : 50 = 0,20 0,20 x 100 = 20 4 3 3 : 50 = 0,06 0,06 x 100 = 6 ∑fi = N = 50 100 % La variable xi, es el número de hermanos. Toma valores discretos: 0, 1, 2… La frecuencia absoluta, fi de cada valor de la variable es el número de alumnos que respondieron que tienen 0, 1, 2,… hermanos. Es decir f3 = 10 La frecuencia relativa, hi es el resultado de cada valor fi entre 50, total de alumnos, N. %: tanto por ciento que se obtiene al multiplicar la frecuencia relativa por 100.
  • 52. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 52 TABLA DE FRECUENCIAS Y PORCENTAJES VARIABLES CONTINUAS Los resultados de un test de inteligencia aplicad a una muestra de 25 personas se indican en la tabla: Primera columna: los valores de la variable, se distribuyen en 6 intervalos. Segunda columna: están los valores de la marca de clase de cada intervalo. La marca de clase se obtiene dividiendo entre dos la suma de los extremos del intervalo. Tercera columna: se indica el número de veces que aparece cada dato, frecuencia absoluta. Cuarta columna: se calcula el cociente entre la frecuencia absoluta de cada dato y la cantidad de elementos de la muestra: 25. El resultado de la división es el valor de la frecuencia relativa. Quinta columna: se obtiene el porcentaje, que es el resultado de multiplicar la frecuencia relativa por 100. Intervalo Marca de clase xI fi hi % [65, 75) 70 5 0,20 20 [75, 85) 80 4 0,16 16 [85, 95) 90 4 0,16 16 [95, 105) 100 6 0,24 24 [105, 115) 110 4 0,16 16 [115, 125) 120 2 0,08 8 N = ∑fi = 25 100 % La expresión N = ∑fi significa que el total de los miembros de la muestra, N, es igual a la suma de todas las frecuencias absolutas., fi
  • 53. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 53 FRECUENCIAS ACUMULADAS. Frecuencia absoluta acumulada, Fi, de un valor xi, es la suma de las frecuencias fi de todos los valores menores o iguales que él. Frecuencia relativa acumulada, Hi de un valor xi es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el número total de datos: N F H i i Ejemplo: Las edades, en años, de 20 jóvenes que han participado en un determinado estudio aparecen en la tabla. Observa que los datos xi se han ordenado de mayor a menor. FRECUENCIAS DATOS xi Absoluta fi Absoluta acumulada Fi Relativa hi Relativa acumulada HI 13 6 6 0,30 0,30 14 7 13 0,35 0,65 15 4 17 0,20 0,85 16 3 20 0,15 1 N = 20 GRÁFICOS Los gráficos que se utilizan para representar los datos dependen del tipo de variable: Para representar variables discretas se utilizan gráficos de barras, columnas, polígonos de frecuencias, puntos Las variables continuas se representan con histogramas, polígonos de frecuencias, rectas. VARIABLES DISCRETAS Diagrama de barras: Se usan para representar datos cualitativos o cuantitativos discretos.
  • 54. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 54 Los valores de la variable, xi, se colocan sobre el eje horizontal, eje x, y se levantan barras de altura igual a la frecuencia representada. Los valores de la frecuencias se colocan en el eje vertical, eje y. Eje horizontal xi Fútbol Baloncesto Tenis Atletismo Natación Eje vertical fi 18 12 6 10 4 Ejemplo: Diagrama de barras se utiliza para representar datos cualitativos o cuantitativos discretos. 18 12 6 10 4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Futbol Baloncesto Tenis Atletismo Natación Frecuenciaabsoluta;fi Valores de la variable, xi Gráfico: frecuencia absoluta Polígono de frecuencias: Es una línea poligonal que se obtiene a partir del diagrama de barras. VARIABLES CONTINUAS Histograma: Los valores de variables cuantitativas continuas se representan con histogramas. Sobre el eje horizontal se señalan los extremos de los intervalos y se levantan rectángulos de altura igual a la frecuencia representada.
  • 55. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 55 Ejemplo: representamos en un histograma los datos de la tabla siguiente: Estatura cm Marca de clase xi Número de alumnos fi [140, 150) 145 15 [150, 160) 155 35 [160, 170) 165 50 [170, 180) 175 65 [180, 190) 185 30 [190, 200) 195 5 N = 200 Polígono de frecuencias: Se obtiene al unir los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos del histograma. 15 35 50 65 30 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 [140, 150) [150, 160) [160, 170) [170, 180) [180, 190) [190, 200) Frecuencias:ejey Valores de la variable: eje x Histograma: variables continuas
  • 56. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 56 DIAGRAMA DE SECTORES El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable.  Los datos se representan en un círculo, dividido en sectores. Cada sector representa un valor de la variable.  La amplitud de un sector, su ángulo, es proporcional a la frecuencia del dato que representa. Ángulo del sector circular = hi · 360º. Si conocemos el porcentaje, el ángulo es igual al porcentaje · 360º/100 Ejemplo: La tabla recoge los datos obtenidos de preguntar a 40 personas sobre su deporte favorito. El resultado se representa en un diagrama de sectores: Deportes fi hi % Ángulo Fútbol 22 0,55 55% 0,55 · 360º = 198º Baloncesto 12 0,3 30% 0,3 · 360º = 108º Tenis 6 0,15 15% 0,15 · 360º = 54º N = 40 Fútbol 55% Baloncesto 30% Tenis 15% Gráfico de sectores Otros gráficos que pueden utilizarse son los siguientes: Cartograma1 . Cuando el estudio estadístico se hace en una zona geográfica, la representación gráfica se puede hacer sobre un mapa, coloreando con distintos colores cada una de las regiones representadas en el estudio. Pictograma2 . Consiste en la representación gráfica del estudio realizado utilizando dibujos alusivos a los distintos valores de la variable estadística.
  • 57. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 57 MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Media aritmética : Ejemplo 1: Calculamos la media aritmética de las notas que ha obtenido un grupo de 10 alumnos: 4 4 5 5 5 5 6 7 7 9 5,7 10 57 10 9776555544 x Distribuyendo los datos en una tabla: Calificaciones xi Nº alumnos fi fi · xi 4 2 8 5 4 20 6 1 6 7 2 14 9 1 9 N = 10 57 Aplicamos la fórmula para calcular la media aritmética: medianota5,7 10 57 N x·Σf x ii Observa que el uso de tablas facilita los cálculos. ∑fi· xi es la expresión matemática que indica que se debe sumar todos los productos obtenidos al multiplicar el valor de la variable por su frecuencia. En nuestro ejemplo, la calificación por el número de alumnos que la han obtenido.
  • 58. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 58 Ejemplo 2. En la tabla aparecen el número de hijos de 50 personas que trabajan en una determinada empresa. Nº Hijos xi Nº trabajadores fi fi · xi 0 10 0 1 25 25 2 10 20 3 4 12 4 1 4 N = 50 61 La media aritmética es la siguiente: hijos22,1 50 61 N x·Σf x ii Columna 1: valores de la variable. En nuestro ejemplo, cantidad de hijos que tiene cada trabajador entrevistado. Columna 2: valores de la frecuencia absoluta de cada variable. Número de trabajadores que no tienen o tienen uno o más hijos. Celda inferior, columna 2: sumatoria de todas las frecuencias absolutas. La suma coincide con el número total de trabajadores que respondieron: cantidad de elementos de la muestra o población. Columna 3: producto del valor de cada variable por su frecuencia absoluta. Columna 3, celda inferior: suma de los resultados obtenidos al multiplicar el valor de la variable por su frecuencia. Ejemplo 3: Cálculo de la media aritmética cuando la variable xi es continua. Para calcular la media aritmética cuando los valores de la variable están distribuidos en intervalos se utiliza la marca de clase. La marca de clase es el punto medio de cada intervalo. Observa que en la cuarta columna cuya cabecera es fI · xI aparece el resultado de multiplicar la marca de clase por su frecuencia.
  • 59. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 59 En la celda inferior de la cuarta columna aparece la suma de todos los productos obtenidos al multiplicar la frecuencia absoluta por la marca de clase. Intervalos Marca de clase xi Frecuencia fi fI · xI [45, 55) 50 6 300 [55, 65) 60 10 600 [65, 75) 70 19 1 330 [75, 85) 80 11 880 [85, 95) 90 4 360 N = 50 3 470 Media aritmética = 69,4 50 3470 N x·Σf x ii Mediana Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por Me. La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas. Ejemplo: calculamos la mediana de los datos obtenidos en una encuesta sobre una variable en la que los resultados obtenidos son los siguientes: 1, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 1º. Ordenamos los datos de menor a mayor. 1, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8 2º. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma. 1, 2, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8 Me = 7 Ejemplo 2: Los resultados obtenidos en otro estudio forman una serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 Me = (7 + 8)/2 = 7,5
  • 60. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 60 Calcular la mediana cuando la variable estadística es discreta Si la variable es discreta, para calcular Me, ponemos las frecuencias acumuladas Fi: Hijos xi Frecuencia absoluta fi Frecuencia acumulada Fi 1 6 6 2 5 11 3 2 13 4 1 14 N = 14 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 4 Dividimos entre dos para calcular el valor medio. En el ejemplo da 7. El valor de la mediana será el valor xi que coincide con una frecuencia acumulada con valor inmediato superior a 7. hijos2Me11F7 2 14 i En el ejemplo, la frecuencia acumulada inmediata superior a 7 es 11. La frecuencia acumulada 11 corresponde al valor de la variable, xi = 2 hijos. Por lo tanto, la mediana es 2 hijos. Cálculo de la mediana si los valores están agrupados en intervalos.3 La mediana de una variable estadística con datos agrupados en intervalos, es la marca de clase el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada es mayor que la mitad del número de datos. Es decir, xi que corresponde a Fi > N/2 Ejemplo: En la tabla aparece el tiempo que 30 personas tardan en recorrer cierta distancia fija. La mitad del número de datos es 30 : 2 = 15 La mediana estará en el intervalo con una frecuencia acumulada inmediatamente superior al resultado de dividir N/2. En el ejemplo es el valor 19.
  • 61. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 61 El valor de la mediana es xi = 9,5 minutos situado en la Fi = 19. Tiempos Marca de clase xi Nº atletas (fi) Frecuencias acumuladas Fi [8 – 9) 8,5 11 11 [9 – 10) 9,5 8 19 [10 – 11) 10,5 5 24 [11 – 12) 11,5 1 25 [12 – 13) 12,5 3 28 [13 – 14) 13,5 0 28 [14 – 15) 14,5 2 30 N = 30 Moda, Mo Es el valor que más se repite; es decir, el dato que tiene mayor frecuencia. Si la variable es continua, hablamos de intervalo modal. Ejemplo: Una encuesta realizada a 10 pilotos en la que se les preguntaba sobre el número de vuelos semanales muestra los datos representados en la tabla siguiente: Nº vuelos xi Frecuencia absoluta fi Frecuencia acumulada Fi fI · xI 0 2 2 0 1 4 6 4 2 3 9 6 3 1 10 3 N = 10 ∑fi · xi = 13 La media aritmética es: vuelos,31 10 3·12·31·40·2 x O de otra forma: 1,3 10 13 N x·Σf x ii Moda: la frecuencia mayor es 4, que corresponde a 1 vuelo: Mo = 1 vuelo
  • 62. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 62 Mediana: Ordenados los datos: 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3. Me = ovuel1 2 11 Ejemplo: En una fiesta asisten 35 amigos. Se les pregunta por su edad (en años) se anotan los datos en la tabla siguiente: Edad xi Frecuencia absoluta fi Frecuencia acumulada Fi fi · xi 19 6 6 114 20 7 13 140 21 9 22 189 22 7 29 154 23 5 34 115 24 1 35 24 N = 35 ∑fi · xi = 736 Media aritmética: x = ,0321 35 736 35 1·245·237·229·217·206·19 De otra forma: 21,03 35 736 N x·Σf x ii Mediana: 21 (35: 2 = 17,5; frecuencia acumulada mayor 17,5 es 22 que corresponde al valor xi = 21 Moda = 21, es el valor más repetido. La moda puede tener más de un valor. Si la moda tiene más de un valor de la variable, la distribución de se llama bimodal, trimodal o multimodal.
  • 63. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 63 1 Ejemplo de cartograma 2 Ejemplo de pictograma 60 30 20 15 0 10 20 30 40 50 60 70 1 2 3 4 TIEMPO
  • 64. Probabilidad y estadística Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 64 3 FORMA DE CALCULAR EL VALOR MÁS EXACTO DE LA MEDIANA, Me Como la mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas, para calcularla debemos utilizar los datos siguientes: Tiempos Minutos: Marca de clase tiempos (minutos) xi Nº atletas (fi) Frecuencias acumuladas Fi [8 – 9) 8,5 11 11 [9 – 10) 9,5 8 19 [10 – 11) 10,5 5 24 [11 – 12) 11,5 1 25 [12 – 13) 12,5 3 28 [13 – 14) 13,5 0 28 [14 – 15) 14,5 2 30 N = 30  Hallamos el intervalo donde se encuentra la mediana: dividimos entre 2, la suma de todas las frecuencias absolutas que corresponden a cada intervalo de valores xi: 30/2 = 15. El valor 15 está en el intervalo [9, 10) que corresponde a la Fi = 19  Los datos que tenemos que utilizar para calcular la mediana son los siguientes: El límite inferior del intervalo que contiene la mediana es 9 El valor de la frecuencia acumulada del intervalo anterior: Fi = 11 El valor de la frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra la mediana es fi = 8 La amplitud de los intervalos en los que están distribuidas los valores de la variable xi = 1.  Aplicamos la fórmula siguiente: 9,51· 8 1115 9Me
  • 65. Números enteros, Z Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 65 NÚMEROS ENTEROS MAGNITUDES ABOLUTAS Y RELATIVAS Magnitudes absolutas su cantidad se expresa sin necesidad de indicar el sentido. Ejemplo, el peso de una persona. Magnitudes relativas son magnitudes en las que es necesario hacer referencia al sentido en que se toman. Las magnitudes relativas se expresan utilizando números enteros. Altitud respecto a un punto origen; fechas: antes o después de nuestra era. Temperaturas: sobre o bajo cero; sótanos de un edificio, altitud respecto al mar. NÚMEROS ENTEROS, Z Los números enteros tienen signo, positivo,+ o negativo, –, para indicar el sentido de la magnitud respecto a un punto tomado como origen, 0. Los números naturales se toman siempre como números enteros positivos. Ejemplo 4 = + 4. Sótano planta número tres: Planta – 3. Temperatura de 15 grados centígrados bajo cero: − 15. Saldo negativo en cuenta, números rojos, de doscientos euros: – 200 €. Z= {...− 5, − 4, − 3, − 2, − 1, 0, + 1, + 2, + 3,+ 4, + 5...} El conjunto de los números enteros¸ conjunto Z, (positivos y negativos) surge ante la necesidad de ampliar el conjunto de los números, N, naturales (positivos). Los números enteros nos permiten expresar el resultado de la sustracción o resta cuando el minuendo es menor que el sustraendo. Ejemplo: 4 – 9 = – 5 El conjunto de números enteros, Z, está formados por tres clases de números: enteros positivos, coinciden con los naturales, N; enteros negativos y cero. Z{0}ZZ  Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto, están incluidos dentro del conjunto de los números enteros. ZN
  • 66. Números enteros, Z Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 66 REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS SOBRE LA RECTA Tomamos un punto de la recta como origen y lo designamos con el número 0. Dividimos en segmentos de igual longitud a la izquierda y derecha del punto origen A la derecha del cero, ponemos todos los números naturales, enteros positivos: + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6,... A la izquierda del 0, colocamos los números negativos − 1, − 2, − 3, − 4, − 5, − 6... VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO El valor absoluto de un número entero es el valor numérico del número sin tener en cuenta el signo. El valor absoluto en una recta numérica es la distancia entre el número y el cero. Se expresa siempre con un número natural, sin signo. La expresión matemática, /– 8/ = 8, se lee: “valor absoluto de menos 8 es igual a 8” ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS Cuando comparamos números enteros debemos aplicar los siguientes criterios: Si los números son positivos: el mayor será el que tenga mayor valor sin tener en cuenta el signo. Se ordenan como los naturales. Ejemplo: + 50 > + 5. Se lee “+50 es mayor que + 5” Si los números son negativos: el mayor será el que tenga menor valor absoluto, valor prescindiendo del signo. Ejemplo: − 50 < − 5. Se lee: “− 50 es menor que − 5” Si uno es positivo y otro negativo: un número positivo siempre es mayor que un número negativo. Ejemplo: + 5 > − 500 Todos los números enteros negativos son menores que cero, 0. NÚMEROS OPUESTOS El opuesto de un número entero tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo. El opuesto de un número entero es su simétrico respecto al cero, 0. Ejemplo: el opuesto de + 5 es el número – 5. Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto y si se suman dan como resultado cero. Es decir, /− 5/ = /+ 5/ = 5
  • 67. Números enteros, Z Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 67 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS SUMA DE NÚMEROS ENTEROS. La suma de dos números del mismo signo Se suman los valores absolutos de los números y se pone el signo que tienen todos los números. Ejemplo 1: (+ 7) + (+ 5) = + 7 + 5 = +12 Ejemplo 2: – 7 + (– 5) = –12 Los paréntesis se utilizan para separar el signo del número del signo de la operación. Cuando sumamos números enteros positivos, podemos prescindir del signo del número. Ejemplo: (+ 7) + (+ 5) =, se puede escribir de la forma siguiente: 7 + 5 = La suma de dos números enteros de distinto signo Se restan sus valores absolutos y colocamos el signo del número que tiene mayor valor absoluto. Ejemplo 1: 3 + (– 8) = – 5 Ejemplo 2 = – 2 + 7 = + 5 Resumiendo: Signo de los sumandos Signo del resultado Operación que hacemos Ejemplos Dos positivos Positivo suma (+ 3) + (+ 4) = + 7 Dos negativos Negativo suma (− 3) + (− 5) = − 8 diferente signo El signo del número con mayor valor absoluto resta (– 5) + (+ 9) = + 4 (+ 4) + (− 7) = − 3
  • 68. Números enteros, Z Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 68 Suma y resta de más de dos números enteros Para sumar varios números enteros procedemos de la forma siguiente 1. Quitamos paréntesis aplicando la regla se los signos. 2. Si después de quitar paréntesis tenemos números con diferente signo, sumamos por una parte todos los positivos y, por otra, todos los negativos. 3. El signo del resultado será más (+) si la cantidad de positivos obtenidos en el paso dos es mayor que la de negativos. El signo del resultado será menos (–) si la cantidad de negativos obtenida en el paso segundo es mayor que la de los positivos. 4. Restamos al valor al número con mayor absoluto el menor valor absoluto. Regla de los signos para quitar paréntesis Signo antes paréntesis Signo del resultado Ejemplos + por + Positivo + +(+ 12) = +12 – por – Positivo + − (− 9) = + 9 + por – Negativo – (− 8) = − 8 – por + Negativo – − (+ 5) = − 5 Ejemplo: 5 + 8 + (−3) + 5 + (−6) + (−9) + 3 + 6 + (−14) = 1. Quitamos paréntesis aplicando la regla se los signos. = 5 + 8 − 3 + 5 − 6 − 9 + 3 + 6 − 14 = 2. Sumamos los positivos por una parte y los negativos por otra, lo expresamos matemáticamente de la siguiente forma: = + 27 − 32 = 3. Determinamos el signo del resultado: el signo del resultado de nuestro ejemplo es negativo porque en el paso dos se obtuvieron más negativos que positivos. 4. Restamos el número al mayor valor absoluto el menor. 32 – 27 = +5 ATENCIÓN: Si después de quitar paréntesis todos los números obtenidos tienen el mismo signo, simplemente se suman y se pone el signo que tienen todos los números. Ejemplo 1: −1 + (− 2) − (+ 3) − (+ 4) = − 1 − 2 − 3 − 4 = − 10 Ejemplo 2: − (−3 ) + (+ 2) − (−1) = + 3 + 2 + 1 = + 6
  • 69. Números enteros, Z Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 69 RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Para restar números enteros procedemos de la forma siguiente: quitamos paréntesis y luego procedemos como si fuera una suma. Observarás que dependiendo del signo de los números que intervienen en la operación se debe sumar para obtener la solución de la resta. Ejemplo: (+ 5) − (+ 18) = Quitamos paréntesis: (+ 5) − (+18) = + 5 − 18 = Procedemos como si estuviéramos sumando: = + 5 − 18 = – 13 Ejemplo: (– 5) – (+ 9) = Quitamos paréntesis aplicando la regla de los signos: (− 5) − (− 9) = − 5 − 9 = Procedemos de forma semejante a la suma: − 5 − 9 = −14 Sumamos para obtener el resultado final porque después de quitar paréntesis todos los números tienen el mismo signo. SUMAS Y RESTAS COMBINADAS 1. Se quitan los paréntesis aplicando la regla de los signos. 2. El signo más delante de un paréntesis no cambia el signo de los números que están dentro del paréntesis. El signo menos delante de un paréntesis cambia el signo a todos los números que están dentro del paréntesis. Regla de los signos aplicadas a paréntesis + ( … ) = Se quitan los paréntesis dejando el mismo signo de todos los números que están dentro del paréntesis. Ejemplo: − 3 + (7 − 5 + 2) = − 3 + 7 − 5 + 2 = − 8 + 9 = + 1 – ( … ) = Cambiamos los signos de todos los números que están dentro del paréntesis. Ejemplo: 7 − (3 − 4 + 2) = 7 − 3 + 4 − 2 = + 11 − 5 = + 6
  • 70. Números enteros, Z Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 70 Una vez quitados todos los paréntesis, Se suman los positivos por una parte y los negativos por otra. Se restan los resultados poniendo el signo del número de mayor valor absoluto. Ejemplo: 15 − (− 2) + (− 8) – (17 – 23) + (8 − 33) = Quitamos paréntesis 15 + 2 – 8 – 17 + 23 + 8 – 33 = Si al quitar los paréntesis tenemos números positivos y negativos, sumamos positivos por una parte y los negativos por otra. Determinamos el signo del resultado. El signo es negativo porque obtuvimos más negativos que positivos. = + 48 – 58 = – Una vez determinado el signo restamos del mayor valor absoluto el menor: 58 – 48 = + 48 – 58 = – 10 Ejemplo: si al quitar paréntesis todos los números tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y el signo será el obtenido al quitar paréntesis. (−3) + (− 4 − 5) − (6 + 1 + 3) − 5 = = − 3 − 4 − 5 − 6 − 1 − 3 = −22 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Siempre que multiplicamos números enteros se aplica la regla de los signos. En la tabla aparece la regla de los signos y ejemplos de multiplicaciones de dos números enteros. Regla de los signos para la multiplicación Signo factores Signo del resultado Ejemplos + por + + Positivo (+ 4) · (+ 8) = + 32 – por – + Positivo (– 5) · (–7 ) = + 35 + por – – Negativo (+ 7) · (– 4) = − 28 – por + – Negativo (–3 ) · (+ 5) = − 15
  • 71. Números enteros, Z Nivel 1.2 – Matemáticas II Página | 71 DIVISIÓN EXACTA DE NÚMEROS ENTEROS El resultado de una división exacta de números enteros otro número entero. La regla de los signos se aplica para solucionar divisiones exactas. Las divisiones no exactas tienen como resultado un número decimal o racional. Ejemplos: 30 : 6 = + 5 18 : (− 3) = − 6 (− 72) : (− 8) = + 9 30 = 6 · (+ 5) 18 = (− 3) · (− 6) (− 72) = (− 8) · (+ 9) El resultado de la división (+ 7) : (+ 3) = no es un número entero. POTENCIACIÓN La potenciación indica en forma abreviada el producto de un número por sí mismo. Ejemplo: 3 · 3 · 3 · 3 = 34 . Los términos de la operación potenciación son los siguientes: Base: es el número que se multiplica. Exponente: indica la cantidad de veces que se multiplica la base. Ejemplo: en la potencia, 2 5 , 2 es la base de la potencia y el 5 es el exponente. 2 5 se lee: “dos elevado a cinco o dos elevado a la quinta”. Si el exponente es 2, se lee elevado al cuadrado o, simplemente, al cuadrado. Si el exponente es 3, se dice elevado al cubo. Si el exponente es 4, se dice elevado a la cuarta. Si es 5, 6… se leerán a la quinta, sexta… y así sucesivamente. Propiedades de la potenciación  El resultado de elevar un número entero positivo o negativo a un exponente par siempre es un número entero positivo. Ejemplos: (–3) 4 = (– 3) · (– 3) · (– 3) · (– 3) = + 81 (– 1)8 = + 1 ¡ATENCIÓN!: – 14 = – 1