Investigacion de operaciones Rodolfo valentin

Investigación
deoperaciones
00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd I00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd I 02/03/11 01:53 PM02/03/11 01:53 PM

00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd II00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd II 02/03/11 01:53 PM02/03/11 01:53 PM

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK
SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL
NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
Rodolfo Valentín Muñoz Castorena
Centro Universitario de Ciencias Económico y Administrativas
Universidad de Guadalajara
María Bernardett Ochoa Hernández
Manuel Morales García
Investigación
deoperaciones
00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd III00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd III 02/03/11 01:53 PM02/03/11 01:53 PM

Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Jesús Mares Chacón
Coordinadora editorial: Marcela Rocha Martínez
Editora de desarrollo: Karen Estrada Arriaga
Supervisor de producción: Zeferino García García
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Primera edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2011, respecto de la primera edición por:
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.
A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.
Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A,
Pisos 16 y 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,
Delegación Álvaro Obregón
C.P. 01376, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN: 978-607-15-0598-9
All rights reserved
1098765432 1098765432101
Impreso en México Printed in Mexico
00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd IV00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd IV 02/03/11 01:53 PM02/03/11 01:53 PM

Acerca de los autores........................................................................................ VII
Introducción............................................................................................... VIII
UNIDAD 1 ¿Qué es la investigación de operaciones? ......................... 1
1.1 Origen de la investigación de operaciones................................................... 2
1.2 Modelo............................................................................................................ 2
Clasificación de los modelos ........................................................................ 3
Ventajas y desventajas del empleo de modelos matemáticos................... 4
1.3 Optimización.................................................................................................. 4
Problemas de optimización .......................................................................... 5
Unidad II Programación lineal..................................................................... 7
2.1 Concepto de programación lineal ................................................................ 7
2.2 Planteamiento de problemas en términos de programación lineal ........... 7
2.3 Estructura general de un modelo de programación lineal.......................... 9
2.4 Método gráfico............................................................................................... 13
2.5 Teoría del método símplex............................................................................ 19
2.6 Dualidad......................................................................................................... 32
Unidad III Transporte y asignación............................................................ 35
3.1 Modelos de transporte.................................................................................. 35
3.1.1 Método de la esquina noroeste ......................................................... 38
3.1.2 Método del costo menor..................................................................... 42
3.1.3 Método Vogel ...................................................................................... 46
3.2 Método de cruce de arroyo o de piedra rodante.......................................... 53
Pasos para resolver el método de arroyo .................................................... 54
3.3 Modelo de asignación ................................................................................... 61
Pasos para aplicar el método húngaro......................................................... 62
COntEnidO
V
00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd V00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd V 02/03/11 01:54 PM02/03/11 01:54 PM

Unidad IV Modelos de optimización de redes.......................................... 67
4.1 Modelos de redes........................................................................................... 67
Ruta................................................................................................................ 68
Lazo dirigido .................................................................................................. 68
4.2 Algoritmo de la ruta más corta ..................................................................... 70
Algoritmo de Dijkstra..................................................................................... 70
Algoritmo de Floyd......................................................................................... 70
4.3 Modelo de flujo máximo................................................................................ 71
4.3.1 Características del modelo de flujo máximo..................................... 71
Algoritmo de la trayectoria de aumento en el caso del problema
de flujo máximo............................................................................................. 71
4.4 CPM y PERT .................................................................................................... 71
Representación de las redes PERT y CPM.................................................... 72
Cálculo de la ruta crítica (CPM).................................................................... 74
Ejercicios ............................................................................................................... 77
Problema 1............................................................................................................. 77
Problema 2............................................................................................................. 77
Problema 3............................................................................................................. 78
Problema 4............................................................................................................. 79
Problema 5............................................................................................................. 79
Problema 6............................................................................................................. 80
Glosario ...................................................................................................... 81
Bibliografía ................................................................................................ 82
Índice ......................................................................................................... 83
ContenidoVI
00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VI00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VI 02/03/11 01:54 PM02/03/11 01:54 PM

VII
Mtro. Rodolfo Valentín Muñoz Castorena
Es maestro en Tecnologías de Información por la Universidad de Guadalajara; actual-
mente cursa el Doctorado en Educación en la misma institución.
Es profesor de asignatura A en el Centro Universitario de Ciencias Económico
Administrativas (CUCEA), así como del Departamento de Métodos Cuantitativos y asis-
tente del Programa de Formación Docente en el CUCEA.
Además, desde el 2005 se desempeña como Secretario y Presidente de la Academia
de Optimización.
Mtra. María Bernardett Ochoa Hernández
Es licenciada en Economía por la Universidad de Guadalajara, maestra en Investiga-
ción Educativa por el Centro de Estudios Pedagógicos y Sociales de la Secretaría de
Educación Jalisco y actualmente cursa estudios de Doctorado en Educación en dicha
universidad.
Se desempeña como profesor investigador titular B de tiempo completo en el Cen-
tro Universitario de Ciencias Económico Administrativas (CUCEA).
Ha sido Presidente de la Academia de Investigación y Desarrollo del Departamento
de Administración por ocho años consecutivos (desde el 2003 hasta el 2010). Actual-
mente es profesora de los Departamentos de Administración y Métodos Cuantitativos y
Responsable del Programa de Formación Docente en el CUCEA.
En tres ocasiones ha contado con el perfil PROMEP y es autora de diversos libros
y artículos en revistas internacionales, además ha dirigido tesis a nivel licenciatura y
maestría.
Mtro. Manuel Morales García
Es licenciado en Economía por la Universidad de Guadalajara y maestro en Economía
y Administración de Empresas por el ESADE en Barcelona, España.
Hasta mayo del 2010 se desempeñó como Jefe del Departamento de Métodos Cuan-
titativos de la División de Economía y Sociedad del CUCEA. Actualmente es profesor
Titular B del Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas.
De 2001 a 2007 se desempeñó como Secretario de la Dirección de Finanzas de la
Universidad de Guadalajara. Además participó como miembro del Gabinete Econó-
mico Universitario, del Consejo Técnico de Planeación Universitario y del Comité de
Calidad de la Dirección de Finanzas.
Actualmente funge como titular del Órgano Técnico de Hacienda Pública de la
Comisión de Hacienda y Presupuestos en la LIX Legislatura del Congreso de Jalisco.
AcErcA dE lOs AutOrEs
00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VII00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VII 02/03/11 01:54 PM02/03/11 01:54 PM

VIII
El objetivo principal de este trabajo es servir como libro de consulta para el curso de
Investigación de operaciones, el cual se orienta a estudiantes de licenciatura y, funda-
mentalmente, a las áreas de estudio como Negocios internacionales, Administración y
Marketing. Los prerrequisitos son álgebra lineal, matemáticas y estadística.
El texto proporciona suficiente material para el curso, tratando de desarrollar en
cada unidad numerosos ejemplos basados en la realidad para una mejor comprensión
de los contenidos de esta disciplina.
Si se analizan los ejemplos, el lector adquirirá capacidad para resolver problemas
matemáticos y conocerá las principales áreas que componen la Investigación de opera-
ciones (desde el análisis del problema, la recopilación de la información, la formula-
ción del modelo y el análisis de resultados).
Esta última etapa se destaca por su importancia, por lo que se expondrán en forma
amplia temas como el de análisis de sensibilidad.
INtrOducciÓN
00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VIII00 Munoz UNIDAD PRELIMINARES.indd VIII 02/03/11 01:54 PM02/03/11 01:54 PM

¿Qué es la investigación
de operaciones?
Unidad
I
Al finalizar el estudio de esta unidad, se espera que el lector sea capaz de:
explicar qué se entiende por investigación de operaciones.
describir qué es un modelo.
mencionar algunas aplicaciones de la investigación de operaciones.
explicar los diferentes tipos de modelos.
diseñar modelos para casos específicos.
1
Unidad
I
La investigación de operaciones (IO) es la disciplina que enfrenta un problema
concreto, lo divide en pequeñas partes, lo cual facilita el análisis de cada una de
ellas, para obtener un problema abstracto o, mejor aún, un modelo, todo ello
mediante una investigación del sistema donde ocurre el problema, con el fin de
ofrecer acciones o alternativas de solución.
[…]La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios,
del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones
o sistemas (hombre-máquina), a fin de producir soluciones que sirvan mejor a los
objetivos de la organización…1
Algunos autores utilizan el término ciencias de la administración como sinónimo de inves-
tigación de operaciones.2
La IO se define como un conjunto de modelos matemáticos aplicables a la solución de ciertos proble-
mas orientados a la toma de decisiones, en los que se involucran variables de decisión en los cuales
se desea optimizar:
1. El uso de los recursos para lograr un determinado fin cuantificable.
2. Los problemas más o menos complejos que se presentan en una organización social cuya solución
empírica resulta demasiado costosa e inadecuada.
1
Francisco J., González Hernández, Breve introducción a la investigación de operaciones, pp. 7 y 8.
2
Hillier y Lieberman, Investigación de operaciones, pp. 2 y 3.
Investigación de operaciones (IO).
Disciplina que divide un problema con-
creto en pequeñas partes que analiza
para obtener un problema abstracto
o un modelo y así ofrecer acciones o
alternativas de solución.
01 Munoz UNIDAD 1.indd 101 Munoz UNIDAD 1.indd 1 02/03/11 01:55 PM02/03/11 01:55 PM

UNIDAD I ¿Qué es la investigación de operaciones?2
1.1 Origen de la investigación de operaciones
Los primeros esfuerzos por estructurar esta disciplina se realizaron durante la Segunda Guerra
Mundial en Gran Bretaña, donde la administración militar convocó a un grupo de científicos
de distintas áreas del conocimiento para que estudiaran y ofrecieran soluciones viables a pro-
blemas tácticos y estratégicos asociados con la defensa del país.
Aparentemente, la investigación de operaciones (IO) fue bautizada así debido a que el
equipo realizaba una investigación de operaciones militares.
Un grupo importante de administradores militares de Estados Unidos inició algunas in-
vestigaciones similares, motivados por los resultados alentadores que obtuvieron los equipos
británicos. Para llevarlas a cabo, reunieron a varios especialistas, quienes lograron resultados
tan sorprendentes que obligaron a concentrar la atención en este nuevo enfoque científico. En
sus estudios se incluyeron problemas logísticos complejos, tales como la planeación de minas
en el mar y la eficaz utilización de equipo electrónico.
Al término de la guerra y atraídos por los éxitos que consiguieron los estrategas militares,
algunos administradores industriales comenzaron a aplicar esta herramienta para resolver los
problemas que originaban el tamaño y la complejidad de las industrias.
En un principio se acreditó a Gran Bretaña el mérito de haber utilizado la IO como una
nueva disciplina, pero Estados Unidos tomó pronto el liderazgo en este campo creciente. La
primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio fue el método
símplex de programación lineal, desarrollado en 1947 por el matemático esta-
dounidense George B. Dantzig. Desde entonces, se han incorporado nuevas téc-
nicas y otras se han perfeccionado gracias al esfuerzo y cooperación de expertos
interesados tanto en el área académica como en la industrial.
En el progreso impresionante de la investigación de operaciones fue deter-
minante el desarrollo de la computadora digital, que con sus enormes capacida-
des de velocidad de cómputo, almacenamiento y recuperación de información,
permitió a los tomadores de decisiones actuar con rapidez y precisión. De no haber sido por la
computadora digital, esta disciplina que plantea grandes problemas de computación no hubie-
ra crecido hasta el nivel en el que se encuentra hoy en día.
En la actualidad, la IO se aplica a distintas actividades, que trascienden los ámbitos milita-
res e industriales, para incluir actividades tales como la salud pública, instituciones financieras,
bibliotecas, planeación urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercialización.3
Cabe mencionar que la IO ha sido un factor de primera importancia en el mejoramiento de
la eficiencia de numerosas organizaciones alrededor del mundo, y su aplicación ha contribuido
en gran medida al incremento de la productividad de la economía de algunos países.
1.2 Modelo
Un modelo se define como una representación simplificada o idealizada de una
parte de la realidad; o, según el Diccionario de la lengua española es:
[…]un esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una
realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para facilitar su compren-
sión y el estudio de su comportamiento[…].4
Los modelos, que se definen como una función objetivo y restricciones que se expresan en
términos de las variables alternativas de decisión del problema (véase figura 1.1), deben conte-
ner los siguientes tres elementos:
Método símplex de programación
lineal. Primer procedimiento matemáti-
co ampliamente aceptado en la inves-
tigación de operaciones, basado en la
iteración para ir mejorando la solución
a cada paso.
Modelo. Representación simplificada o
idealizada de una parte de la realidad.
3
Op. cit., p. 3.
4
RealAcademiaEspañola,Diccionariodelalenguaespañola,vigésimasegundaedición,http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_
BUS=3&LEMA=modelo, consultado el 4 de octubre de 2010.

1.2 Modelo 3
1. Alternativas de decisión, de las cuales se hace una selección.
2. Restricciones, para excluir alternativas no factibles.
3. Criterios para evaluar y clasificar las alternativas factibles.5
Al resolver el problema simplificado o modelo, se obtiene una solución, la cual puede
tomarse del problema original o modificar nuestro modelo hasta que nos arroje los resultados
deseados.
Clasificación de los modelos
Los modelos pueden clasificarse según el siguiente criterio:
• Modelos mentales.
• Modelos a escala.
• Modelos matemáticos.
Los modelos matemáticos son aquellos que se construyen mediante símbo-
los matemáticos que sirven para representar los diferentes comportamientos del
problema. No todos son complejos; por ejemplo, podemos elaborar un modelo
matemático simple para determinar el ingreso por comisión que reciben Z pro-
motores de ventas que obtienen $200 por cada operación que efectúen.
Para crear este modelo, debe establecerse una relación función entre el
número de ventas y el ingreso total del promotor.
Sea x = número de ventas que realiza cada promotor
y = ingreso total del promotor
Ello genera una función relación ventas-ingreso:
y = 200x
donde, si el promotor llevara a cabo 3 ventas (x = 3), su ingreso total (y) sería de
Ingreso total del promotor = 200 (3) = $600
Ahora bien, los modelos matemáticos se clasifican en tres tipos generales:
1. Modelo descriptivo: Es el que representa la realidad mediante una relación funcional;
sin embargo, este tipo no indica ninguna evolución durante el transcurso del tiempo ni
los cursos de acción que se deben seguir. Por ejemplo, un organigrama es un modelo
descriptivo.
2. Modelo predictivo: Tiene mayor alcance que el modelo anterior, pues, además de describir
la realidad, señala cuál será la situación futura; por ejemplo, una función exponencial nos
puede indicar cuál será la población en México en el año 2015.
3. Modelo normativo (decisión, prescriptivo): Además de ser descriptivo y predictivo nos in-
duce a elegir un curso de acción para obtener un objetivo establecido, es decir, señala el
curso de acción que debe seguirse para lograr un objetivo definido (este tipo de modelos
también se denomina de optimización).
Figura 1.1 Proceso de construcción del modelo.
Abstracto
Analiza Llega
Problema concreto Problema simplificado Modelo
5
Juan Pilar Tormos, Investigación operativa para ingenieros, España, Ed. Universidad Politécnica de Valencia, p. 33.
Modelo matemático. Se construyen
mediante símbolos matemáticos que
representan diferentes comporta-
mientos del problema; no todos son
complejos.

UNIDAD I ¿Qué es la investigación de operaciones?4
Además de la clasificación anterior, existen otras que son independientes de los modelos
matemáticos que se mencionaron y que pueden agruparse bajo la perspectiva de uno o varios
de los términos que aparecen en la tabla 1.1.
Tabla 1.1 Términos de los modelos matemáticos
Tabla 1.2 Ventajas y desventajas de los modelos matemáticos
Término Definición
Modelos físicos Se representan a escala y se construyen con base en problemas concretos.
Modelos abstractos Se les denomina así debido a que es impredecible usar expresiones simbólicas
para representar el comportamiento del sistema; es decir, se construyen mediante
el empleo de gran cantidad de símbolos.
Modelos estáticos Representan la realidad en una determinada unidad de tiempo.
Modelos dinámicos Interpretan la evolución de una parte de la realidad en un tiempo determinado.
Modelos determinísticos Representan un fenómeno que se comporta regularmente a intervalos iguales y,
por consiguiente, es factible predecir su comportamiento con un cierto margen de
error aceptable o tolerable.
Modelos aleatorios Describen un fenómeno que se comporta regularmente en intervalos diferentes;
por lo tanto, predecir su comportamiento es muy difícil.
Ventajas Desventajas
Permiten apreciar cuáles son las variables importan-
tes del problema y cómo se relacionan entre sí.
Pueden llevar a simplificaciones exageradas o excesivas
si se pretende que el modelo se aplique a situaciones
muy diversas, lo que puede provocar la omisión de
variables que puedan ser importantes.
Ayudan a operacionalizar las variables con base en
ciertos patrones o indicaciones.
Su implementación puede ser demasiado costosa o
compleja.
Suministran una base cuantitativa para la toma de
decisiones.
Optimizar. Logro de mayores beneficios
con una mínima inversión de recursos.
Es necesario destacar que, a pesar de la existencia de otras importantes clases de modelos,
el objetivo principal de esta sección es el estudio de los modelos matemáticos.
Ventajas y desventajas del empleo de modelos matemáticos
Cuando se utilizan modelos matemáticos para representar el comportamiento de una situación
en particular, se presentan las ventajas y desventajas de la tabla 1.2.
1.3 Optimización
Se considera que optimizar es la función de lograr mayores beneficios con la
mínima cantidad de recursos invertidos; es decir, buscar la mejor manera de
realizar una actividad.
Arsham Hosseim, experto en el tema, explica que la
…también denominada programación matemática, sirve para encontrar la respuesta que proporcio-
na el mejor resultado, la que obtiene mayores ganancias, mayor producción o felicidad o la que logra
el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, estos problemas implican utilizar de la mane-
ra más eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc. Los

Actividades de la unidad I 5
El problema: Minimizar: Z = x1
+ x2
Sujeto a: x1
– x2
= 3
x2
≥ 2
Maximizar Z = 4x1
+ 5x2
Sujeto a: 3x1
+ 2x2
≤ 15
2x1
+ 3x2
≤ 4
x1
, x2
≥ 0
Cabe señalar que la última restricción, de no negatividad, indica que las variables que se utilizaron en
el modelo deben ser positivas o ceros puesto que, si se deseara producir, por ejemplo, dulces, no se podrían
producir –4 dulces.
1
1. Construya su propia definición de investigación de operaciones.
2. Relacione la investigación de operaciones con las materias del contenido curricular de su carrera o nivel
educativo. Conteste:
a) ¿Cómo se relaciona?
b) ¿Para qué sirve?
2
6
Arsham Hosseim. Modelos deterministas: optimización lineal, http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/spanishD.htm#rop,
consultado el 4 de octubre de 2010.
problemas de optimización generalmente se clasifican en lineales y no lineales, según las relaciones
del problema sean lineales con respecto a las variables…6
Problemas de optimización
En un problema se trata de maximizar o minimizar una cantidad específica llamada objetivo,
la cual depende de un número finito de variables de entrada. Éstas pueden ser independientes
entre sí o relacionarse a través de una o más restricciones.
Éste es un problema de optimización del objetivo z, en el que las variables de entrada son x1
y x2
. Se desean obtener valores de las variables de entrada que minimicen el objetivo principal,
sujetos a las limitaciones impuestas por las restricciones.
Un programa matemático como el del ejemplo anterior es lineal si f(x1
, x2
, …, xn
) y cada
gi
(x1
, x2
, …, xn
) donde (i = 1, 2, …, m) se dan como funciones matemáticas y como ilaciones
funcionales (como sucede en el primer ejemplo).

7
Programación
lineal
Unidad
II
explicar qué entiende por programación lineal.
exponer los pasos para plantear un problema dado.
explicar cómo se forman las restricciones y la función objetivo.
mencionar la estructura general de un modelo de programación lineal.
resolver e interpretar problemas mediante el empleo del concepto de método gráfico.
resolver e interpretar problemas mediante el empleo del concepto de método símplex.
2.1 Concepto de programación lineal
La programación lineal, que es un procedimiento matemático que ayuda a asig-
nar de manera óptima los recursos escasos, consta de una o más funciones obje-
tivo, un conjunto de restricciones y una restricción de no negatividad.
Esta herramienta es una técnica de modelado matemático diseñada para
optimizar el empleo de los recursos limitados. Se aplica con éxito en el ejército,
la agricultura, la industria, el transporte, la economía, los sistemas de salud e,
incluso, en las ciencias conductuales y sociales.1
2.2 Planteamiento de problemas en términos de programación lineal
Los modelos de programación lineal son normativos y poseen tres conjuntos básicos de elemen-
tos, a saber:
• Variables de decisión y parámetros
• Conjunto de restricciones
• Una o más funciones objetivos
1
Hamdy A. Taha, Investigación de operaciones, 7a. ed., p. 11.
Programación lineal. Procedimiento
matemático con una o más funciones
objetivo, un conjunto de restricciones y
una restricción de no negatividad para
determinar la asignación óptima de
recursos escasos.

UNIDAD II Programación lineal8
Variables de decisión. Cantidades que
se desconocen y que deben determi-
narse en la solución de un problema
cuyo modelo se plantea.
Recurso
básico
Mano de obra
Escritorios
Mesas
Figura 2.1 Distribución de mano de obra.
Parámetros. Valores que especifican
la relación entre las variables de
decisión.
Producto Horas laboradas Operación
Total de horas a la
semana
Mesa 6 6x1
+ 8x2
≤ 80
Escritorio 8
Tabla 2.1 Reunión de datos importantes de una restricción
Conjunto de restricciones. Son las limi-
taciones que restringen las variables
de decisión que consumirán valores
permisibles en el modelo.
Las variables de decisión son las cantidades desconocidas que deben deter-
minarse en la solución de un problema cuyo modelo se plantea. Un ejemplo
para definir una variable de decisión podría ser la cantidad de un determinado
producto que debe fabricarse en una operación de producción que involucra
diversos productos a partir de un mismo recurso básico (véase figura 2.1).
En la figura 2.1 se indica que, a partir de un recurso básico, que en este ejemplo es la mano
de obra, pueden fabricarse diversos productos (escritorios y mesas).
Los parámetros son los valores que describen la relación entre las variables
de decisión y que permanecen constantes en cada problema, pero varían en
problemas distintos. Por ejemplo, las horas de mano de obra que se requieren
para elaborar cada uno de estos productos. Supongamos que en la producción
de cada mesa se emplean 6 horas y en la de cada escritorio, 8 horas; en conse-
cuencia, la relación función de mano de obra es la siguiente:
Mano de obra para fabricar los productos 6x1
+ 8x2
lo cual nos da el tiempo total que se consume en el proceso de fabricación.
Conjunto de restricciones. Para incluir las limitaciones que se presentan en
el problema cuyo modelo se plantea, éste debe contener cualquiera de las res-
tricciones que limiten las variables de decisión que consumirán valores permisi-
bles. Por ejemplo, supongamos que el departamento de fabricación de mesas y
escritorios trabaja 80 horas por semana; entonces, la restricción correspondien-
te a esta limitante sería:
6x1
+ 8x2
≤ 80 horas
Si reunimos toda la información descrita en una tabla, ésta tendría la forma y los conteni-
dos siguientes:
La función objetivo define la eficacia del modelo en función de las variables de
decisión. Por ejemplo, si el objetivo debe definir éstas en términos de las varia-
bles de decisión en forma matemática indica que se obtiene una utilidad de 210
unidades monetarias por cada mesa y una utilidad de 360 por cada escritorio
que se fabrique y se venda.
Función objetivo. Define la eficacia del
modelo en función de las variables de
decisión.

92.3 Estructura general de un modelo de programación lineal
Una fábrica de muebles se especializa en la producción de dos tipos de comedores; cada uno requiere de
un tiempo de construcción y otro diferente de pintura. Un comedor tipo 1 demanda 6 horas de producción y
8 horas de pintura; en la construcción de un comedor tipo 2 se emplean 12 horas y 4 horas para la pintura.
El departamento de construcción cuenta con 120 horas diarias disponibles mientras que el de pintura sólo
dispone de 64 horas. La compañía desea determinar el número de unidades de cada tipo de comedor que
debe producir por día, de tal manera que las utilidades totales sean máximas.
La compañía logra una utilidad de $2 000 por cada comedor tipo 1 y $2 400 por cada comedor tipo 2.
Plantee el modelo de programación lineal (MPL) correspondiente.
Solución:
Primero deben definirse las variables de decisión que se emplearán.
Sea x1
= número de comedores tipo 1 que se deben producir
Sea x2
= número de comedores tipo 2 que se deben producir
Cuando se definen las variables debe tomarse en cuenta que, en la mayoría de los casos, son numéri-
cas, por lo que es importante especificar cuáles son las cantidades que se deben producir.
En el momento en que nos indican costos o utilidades, es indispensable precisar cuántas variables se
van a utilizar en el problema.
1
Entonces se genera la función objetivo 210x1
+ 360x2
= Z,
cuyo propósito principal es maximizar las utilidades que genera la fabricación de mesas y escri-
torios.
A continuación se muestra la estructura que debe presentar un modelo de programación lineal
para su mejor comprensión y aplicación:
Función objetivo Optimizar z = c1
x1
+ c2
x2
+…+ cn
xn
Sujeta a las siguientes restricciones:
a11
x1
+ a12
x2
+…+ a1n
xn
<, =, > b1
a21
x1
+ a22
x2
+…+ a2n
xn
<, =, > b2
. .
. .
. .
am1
x1
+ am2
x2
+…+ amn
xn
>, =, > bm
x1
, x2
,…, xn
> 0 (restricción de no negatividad)
Los pasos básicos que se deben dar para plantear un problema en términos de un modelo
de programación lineal (MPL) son los siguientes:
1. Identificar las variables importantes del problema (variables de decisión) y seleccionar una
notación adecuada para ellas.
2. Plantear la función objetivo en términos de las variables de decisión.
3. Identificar los recursos limitantes para, de esta manera, plantear cada una de las restricciones.
4. Formular el modelo de acuerdo con la estructura general.

Lafrase“Lacompañíaobtieneunautilidadde$2 000porcadacomedortipo1y$2 400porcadacomedor
tipo 2” refleja con claridad cuántas variables de decisión se usarán y, a su vez, cuál será la función objetivo.
Otro aspecto que debe definirse con claridad es el objetivo del problema que se va a resolver; en este
caso, se tiene:
Objetivo = maximizar utilidades
Por lo tanto, las utilidades totales se obtienen mediante la siguiente ecuación:
2 000x1
+ 2 400x2
sujeta a las restricciones de tiempo disponible para construcción y pintura.
En el caso de la construcción de comedores existe la siguiente restricción:
6x1
+ 12x2
≤ 120
Para la pintura, la restricción es:
8x1
+ 4x2
≤ 64
Luego de reunir todos los datos y de acuerdo con la estructura general de un MPL, se obtiene lo siguiente:
Maximizar z = 2 000x1
+ 2 400x2
Sujeto a: 6x1
+ 12x2
≤ 120
8x1
+ 4x2
≤ 64
x1
, x2
≥ 0
Una compañía de zapatos, especialista en la fabricación de botas, no vende en forma directa al público, sino
que lo hace a través de tiendas al menudeo. Según las fluctuaciones de los costos de la materia prima la
empresa ha observado que el costo de producción varía de un mes a otro.
Debido a esas variaciones y a que el costo unitario del manejo y almacenamiento es de $11.00 por
mes, la compañía considera que resulta conveniente fabricar pares de botas demás en algunos meses para
venderlos en meses posteriores.
Los administradores han pronosticado la demanda y los costos de producción de los siguientes 8 me-
ses. Además, desean programar la producción de este periodo para minimizar los costos totales de produc-
ción y almacenamiento, como se muestra en la tabla 2.2.
2
Mes Costo proyectado por par Demanda pronosticada
1 360 150 000
2 420 110 000
3 380 180 000
4 400 100 000
5 350 200 000
6 390 180 000
7 370 110 000
8 410 170 000
Tabla 2.2 Costos proyectados por mes

Plantee el modelo de programación lineal correspondiente.
Solución:
En primer término , deben definirse las variables de decisión.
Sea:
xij
= pares de botas que se fabrican en el mes i y se venden en el mes j.
Después, debe tenerse bien delimitado el objetivo del problema.
Objetivo: Minimizar costos de fabricación y almacenamiento.
Min z = 360x1, 1
+371x1,2
+382x1,3
+393x1,4
+404x1,5
+415x1,6
+426x1,7
+437x1,8
+420x2,2
+431x2,3
+442x2,4
+453x2,5
+464x2,6
+475x2,7
+486x2,8
+380x3,3
+391x3,4
+402x3,5
+413x3,6
+424x3,7
+435x3,8
+400x4,4
+411x4,5
+422x4,6
+433x4,7
+444x4,8
+350x5,5
+361x5,6
+372x5,7
+383x5,8
+390x6,6
+401x6,7
+412x6,8
+370x7,7
+381x7,8
+410x8,8
En este caso, tomemos, por ejemplo, el 360x1,1
donde i = 1 y j = 1, es decir, el costo de las botas fabrica-
das en el mes 1 y vendidas en el mes 1 es de $360.00 Bajo el supuesto de que en ese mes no se vendan
todas las botas, las tendrán que vender en el mes 2 con un costo adicional de $11.00 por almacenamiento,
lo cual significa que las botas fabricadas en el mes 1 y vendidas en el mes 2 tendrán un costo total de $371,
esto es, $360 + $11, lo que da como resultado la variable “371x1, 2
”.
Una vez que hayamos determinado la función objetivo, tendremos que definir las restricciones a las
cuales se encuentra sujeta.
Sujeta a:
x1,1
≥ 150 000
x1,2
+ x2,2
≥ 110 000
x1,3
+ x2,3
+ x3,3
≥ 180 000
x1,4
+ x2,4
+ x3,4
+ x4,4
≥ 100 000
x1,5
+ x2,5
+ x3,5
+ x4,5
+ x5,5
≥200 000
x1,6
+ x2,6
+ x3,6
+ x4,6
+ x5,6
+ x6,6
≥ 180 000
x1,7
+ x2,7
+ x3,7
+ x4,7
+ x5,7
+ x6,7
+ x7,7
≥ 110 000
x1,8
+ x2,8
+ x3,8
+ x4,8
+ x5,8
+ x6,8
+ x7,8
+ x8,8
≥ 170 000
xi,j
≥ 0
Para obtener dichas restricciones se tomaron en cuenta las siguientes consideraciones:
Por ejemplo, en el mes 2, la restricción es:
x1,2
+ x2,2
≥ 110 000
Esta restricción indica que las botas que no se vendieron en el mes 1 y se guardaron para venderse en
el mes 2 (x1,2
) se suman a las que se fabricaron en el mes 2 (x2,2
), con lo cual tenemos:
x1,2
+ x2,2
Ahora, si en el mes 2 la demanda pronosticada es de 110 000 pares, se obtiene la restricción de ese mes:
x1,2
+ x2,2
≥ 110 000
Es así como se obtuvieron las restricciones de este problema.

En su proceso de producción, una pequeña empresa que elabora diversos productos químicos utiliza 3 ma-
teriales para elaborar 2 productos, un aditivo y un disolvente.
El aditivo se vende a empresas petroleras y se emplea en la producción de diesel y otros combustibles
similares. El disolvente se vende a empresas químicas para elaborar productos de limpieza industrial y para
el hogar. Para formar el aditivo y el disolvente se mezclan las tres materias primas en forma específica.
La tabla 2.3 muestra que una tonelada de aditivo se obtiene mezclando 3
7
de 1 000 kg de la materia
prima 1; y 4
7
de 1 000 kg de la materia prima 3; una tonelada de disolvente se logra con la mezcla de 1
4
de
1 000 kg de la materia prima 1, 2
5
de 1 000 kg de la materia prima 2 y 7
20
de 1 000 kg de la materia prima 3.
Debido al deterioro y a la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se use
para la producción actual debe desecharse. La utilidad asciende a $4 000.00 por cada tonelada de aditivo y
a $3 000.00 por cada tonelada de disolvente. Después de un análisis de la demanda potencial, la administra-
ción de la empresa ha concluido que cuenta con las siguientes cantidades de materia prima:
Plantee el modelo de programación lineal correspondiente.
Solución:
Antes que nada, se extraen los datos del problema para tener la información de una forma clara y conci-
sa, con la cual se puede generar la tabla 2.4.
Una vez elaborada la tabla 2.4 se deben definir las variables de decisión que se utilizarán:
Sea: x1
= 1 000 kg de aditivo que se producirán
x2
= 1 000 kg de disolvente que se producirán
Proceso de restricciones:
En el caso de la materia prima 1, la restricción es:
3
7
x1
+ 1
4
x2
≤ 20 000 kilogramos
En el de la materia prima 2 existe la siguiente restricción:
2
5
x2
3
Materia prima Cantidades disponibles para la producción
Materia prima 1 20 000.00 kg
Tabla 2.3 Cantidad de kilogramos disponibles de cada materia prima
Producto Materia prima 1 Materia prima 2 Materia prima 3
Aditivo
3
7
0
4
7
Disolvente
1
4
2
5
7
20
Tabla 2.4 Extracción de información importante del problema

132.4 Método gráfico
La materia prima 3, padece la siguiente restricción:
4
7
x1
+ 7
20
x2
El propósito de la empresa es maximizar las utilidades. Por ello, obtiene la función objetivo siguiente:
Max Z = 4 000x1
+ 3 000x2
La expresión anterior significa que va a ganar $4 000 por cada tonelada de aditivo y $3 000 por cada
tonelada de disolvente.
Por último, agregamos la restricción de no negatividad:
x1
, x2
≥ 0
El método gráfico se utiliza para solucionar problemas de programación lineal
mediante la representación geométrica de las restricciones, condiciones técni-
cas y objetivos.
El modelo puede resolverse en forma gráfica si sólo posee dos variables; en el
caso de modelos con tres o más variables, resulta impráctico o imposible de aplicar.
Cuando los ejes se relacionan con las variables del problema, el método se
conoce como método gráfico en actividad. Cuando lo hacen con las restriccio-
nes tecnológicas se denomina método gráfico en recursos.
Se recomienda el empleo del método gráfico sólo en el caso de modelos
que incluyan dos variables de decisión; sin embargo, este método muestra los
conceptos fundamentales que se emplean para desarrollar las técnicas algebrai-
cas necesarias para resolver modelos de programación lineal.
El propósito del método gráfico no es proporcionar un método práctico
para resolver problemas lineales, pues la mayoría de éstos incluyen un gran número de varia-
bles. Para entender la forma de operar de los modelos de programación lineal en su forma
general, es necesario conocer los siguientes conceptos:
Solución factible. Es aquella con más de m componentes positivos donde
m es el rango o número de restricciones. Si una solución básica factible tie-
ne exactamente m componentes positivos, se dice que es no degenerada; por el
contrario, si tiene menos de m componentes positivos, es una solución factible
degenerada.
Puede decirse que una solución factible con más de m componentes positi-
vos es no básica.
Al conjunto de todas las soluciones factibles se le denomina espacio de solu-
ciones factibles, pero también es conocido como región factible.
Cabe señalar que existe la posibilidad de que un problema no tenga solu-
ciones factibles.
Los pasos básicos que se deben seguir para resolver un problema lineal por
medio del método gráfico son los siguientes:
1. Después de elaborar el modelo correspondiente, el siguiente paso consiste en determinar
el conjunto de soluciones de cada una de las restricciones, propósito que se logra mediante
la graficación de cada una en el plano cartesiano R2.
2. Identificar la región factible, esto es, la intersección del conjunto solución de cada una de
las restricciones.
3. Marcar los puntos que intersecan en la frontera de la región factible.
Método gráfico. Se emplea para resol-
ver problemas de programación lineal
mediante la representación geométrica
de restricciones, condiciones técnicas
y objetivos.
Método gráfico en actividad. Se aplica
cuando los ejes se relacionan con las
variables del problema.
Método gráfico en recursos. Se utiliza
cuando los ejes se vinculan con las
restricciones tecnológicas.
Solución factible degenerada. Es la que
cuenta con más de m componentes
positivos donde m es el rango o núme-
ro de restricciones.
Espacio de soluciones factibles o
región factible. Conjunto de todas las
soluciones factibles.

4. Ubicar el o los puntos factibles que den el mejor valor de la función objetivo.
A este punto se le conoce como punto óptimo.
Punto óptimo. Punto factible que
brinda el mejor valor de la función
objetivo.
Suponga que x1
es el número de sillas tipo 1 que se van a producir y que x2
es el número de sillas tipo 2 que
se elaborarán.
Sea el modelo lineal:
Max Z = 4x1
+ 3x2
Sujeto a: 2x1
+ 3x2
≤ 6
–3x1
+ 2x2
≤ 3
– 2x1
+ x2
≤ 4
– 2x1
, x2
≥ 0
Como primer paso, es necesario determinar el conjunto de soluciones de cada una de las restricciones.
Para obtener el conjunto de soluciones de una desigualdad en el plano cartesiano (R2
), primero debemos
considerarlo como una ecuación con objeto de graficar la recta que limitará al semiplano correspondiente a
la solución de la desigualdad.
Para la primera restricción 2x1
+ 3x2
≤ 6
Al quitar la desigualdad 2x1
+ 3x2
= 6
Despejamos a x1
sin tomar en cuenta el valor de x2
:
2x1
= 6 x1
=
6
2
expresión de la cual se obtiene que x1
= 3
Ahora, despejamos x2
:
3x2
= 6
6
3
, que significa que x2
= 2
Sepuedeobservarquex1
=3yx2
=2.Lagráficadelarestricciónquedaríacomosemuestraenlafigura2.2.
Figura 2.2 Primera restricción.
Va hacia la izquierda
Región factible
x1
x2
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5

Para saber dónde se ubica la región factible debe tomarse un valor antes y uno después del de x1
, si es
que existe; de no ser así, podemos tomar x2
; es decir, si en este caso el valor de x1
es de 3, se toma el valor de
2 y 4, respectivamente, y se sustituyen en la restricción 1.
Restricción 1 2x1
+ 3x2
≤ 6
Si x1
toma el valor de 2, al sustituirlo debemos cuestionarnos lo siguiente:
¿2 por el valor de x1
, que es 2, es menor que 6? Si la respuesta es afirmativa, la región factible de esa
restricción se encuentra hacia la izquierda y se desecha la siguiente suposición de que x1
tome el valor de 4;
pero, si es negativa, la región factible se localiza hacia la derecha.
Nota: Si se utiliza el valor de x1
, olvide el valor de x2
o supóngalo cero al sustituir los valores anteriormente
descritos.
En este punto terminamos la restricción 1.
En el caso de la restricción 2 se tiene lo siguiente:
Restricción 2 –3x1
+ 2x2
≤ 3
Al quitar la desigualdad –3x1
+ 2x2
= 3
Luego, despejamos x1
:
–3x1
= 3 x1
=
3
–3
y se obtiene x1
= –1
A continuación, despejamos x2
:
2x2
= 3
3
2
de lo que obtenemos x2
= 1.5
Observe que x1
= –1 y x2
= 1.5. La gráfica de la restricción quedaría como se muestra en la figura 2.3.
Figura 2.3 Segunda restricción.
Para saber hacia dónde se encuentra la región factible debe tomarse un valor antes y uno después del
valor de x1
, si es que existe x1
; si no se tiene x1
podemos tomar x2
, es decir, si en este caso el valor de x1
es de
–1, se toma el valor de –2 y 0, respectivamente, y se sustituyen en la restricción 2.
Restricción 2 –3x1
+ 2x2
≤ 3
x1
x2
1
2
3
2.5
1.5
1 2 3 4 5–5 –4 –3 –2 –1

Si x1
toma el valor de –2, al sustituirlo surge la siguiente pregunta:
¿–3 por el valor de x1
, que es –2, es menor que 3? Si la respuesta es positiva, la región factible de esa
tome el valor de 0;
pero, si es negativa, entonces la región factible se localiza hacia la derecha.
Nota: Si se utiliza el valor de x1
o supóngalo cero al sustituir los valores descritos.
En este punto terminamos con la restricción 2.
En el caso de la restricción 3 se tiene lo siguiente:
Restricción 3 2x1
+ x2
≤ 4
Eliminamos la desigualdad 2x1
+ x2
= 4
Luego despejamos x1
:
2x1
= 4 x1
=
4
2
y obtenemos que x1
= 2
Ahora, despejamos x2
:
x2
= 4 de lo cual resulta que x2
= 4
Observe que x1
= 2 y x2
= 4. Por lo tanto, la gráfica de la restricción quedaría como muestra la figura 2.4.
Figura 2.4 Tercera restricción.
Para saber hacia dónde se localiza la región factible, debe tomarse un valor antes y uno después del
valor de x1
, si es que existe x1
; si no es así podemos tomar x2
, es decir, si en este caso el valor de x1
es 2, se
toma el valor de 1 y 3, respectivamente, y se sustituyen en la restricción 3.
Restricción 3 2x1
+ x2
≤ 4
Si x1
adopta el valor de 1, al sustituirlo surge la pregunta siguiente:
¿2 por el valor de x1
, que es 1, es menor que 4? Si la respuesta es afirmativa, la región factible de esa
tome el valor de 3;
pero, si es negativa, la región factible se localiza hacia la derecha.
Nota: Si se emplea el valor de x1
o supóngalo cero al sustituir los valores descritos.
En este punto terminamos con la restricción 3.
Elsiguientepasoesunirlastresgráficasenunasolaeidentificarlaregiónfactiblequeeslaintersección
entre las tres áreas.
Para determinar en qué punto factible se alcanza el mejor valor de la función objetivo, nos apoyaremos
en las curvas de nivel o frontera de la región factible óptima, para lo cual será necesario evaluar los puntos
de intersección existentes dentro del cuadrante uno, como se observa en la figura 2.5.
x1
x2
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5

Figura 2.5 Unión de las 3 restricciones.
En la gráfica pueden observarse cuatro puntos óptimos posibles: A, B, C y D, de los cuales sólo se dedu-
cen A y D, ya que intersecan el eje x1
y el x2
; por otra parte, los valores de los puntos B y C los tenemos que
obtener por medio de un método de resolución de ecuaciones.
En nuestro ejemplo utilizaremos el método de suma y resta para obtener los valores de los puntos B y C. El
primerodeellosintersecaconlasrestricciones1y2,mientrasqueelsegundointersecalasrestricciones1y3.
El punto B tiene el siguiente sistema de ecuaciones, el cual resolveremos por el método de suma y resta:
2x1
+ 3x2
= 6 restricción 1
–3x1
+ 2x2
= 3 restricción 2
Como se puede observar sólo se tiene que multiplicar por 3 la restricción 1 y por 2 la restricción 2 para
poder eliminar una variable, a partir de lo cual se obtiene:
6x1
+ 9x2
= 18 (se multiplica por 3)
–6x1
+ 4x2
= 6 (se multiplica por 2)
Note que no es necesario multiplicar por un valor negativo puesto que ya lo tiene
Después de multiplicar la restricción 1 por 3 y la restricción 2 por 2, se tiene lo siguiente:
6x1
+ 9x2
= 18
–6x1
+ 4x2
= 6
13x2
= 24
De este resultado, si despejamos el valor de x2
: x2
=
24
13
Para encontrar el valor de x1
se sustituye x2
en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales. En este caso
sustituiremos el valor en la restricción 1, despejaremos la variable x1
y, por último, determinaremos el valor
del punto B.
2x1
+ 3x2
= 6
2x1
+ 3 (24
13)= 6
2x1
= 6 –
72
13
2x1
=
6
13
x1
=
3
13
Luego, el punto queda así: B (3
13
,
24
13)
1
x1
B
A
C
Región factible
D
x2
1
2
3
3
2
4
5
1.5
1 2 3 4 5–1 1.5

ElpuntoCtieneelsiguientesistemadeecuaciones,elcualresolveremosporelmétododesumayresta:
2x1
+ 3x2
= 6 restricción 1
2x1
+ x2
= 4 restricción 3
Como se puede observar, cualquier restricción debe multiplicarse por –1, puesto que los dos valores de
x1
son iguales.
2x1
+ 3x2
= 6
2x1
+ x2
= 4 (–1)
Luego de multiplicar la restricción 3 por –1, se logra lo siguiente:
2x1
+ 3x2
= 6
–2x1
– x2
= 4
2x2
= 2
De este resultado, despejamos el valor de x2
para obtener: x2
=
2
2
x2
= 1
Ahora, para encontrar el valor de x1
se sustituye x2
en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales. En
este caso, sustituiremos el valor en la ecuación 1, despejaremos la variable x1
y, finalmente, obtendremos
el valor del punto C.
2x1
+ 3x2
= 6
2x1
+ 3 (1) = 6
2x1
= 6 – 3
2x1
= 3
x1
= (3
2 )
Luego, el punto queda así: C (3
2
, 1)
Como ya determinamos los valores de los cuatro posibles puntos óptimos, procederemos a obtener la Z
final que satisfaga nuestras expectativas de maximizar utilidades.
Sustituyendo en la función objetivo los valores de los puntos A, B, C y D obtenemos:
Z = 4x1
+ 3x2
Entonces,
ZA
= 4(0) + 3(3
2 )=
9
2 )= 4.5
ZB
= 4(3
13)+ 3(24
13)=
84
13 )= 6.4615
ZC
= 4(3
2 )+ 3(1) = 9
ZD
= 4(2) + 3(0) = 8
І Z Max = 9 Punto óptimo
lo cual indica que se va a lograr una utilidad máxima de 9 si la fábrica produce 3
2
de sillas del tipo 1 y 1 del
tipo 2.

Suponga que usted produce galletas y que gana $6.00 por cada galleta cuadrada y $5.00 por cada galleta
redonda. El modelo del problema se resume a continuación:
Observe que x1
es el número de galletas cuadradas y x2
de galletas redondas unido a la ganancia de cada
galleta.
Max Z = 6x1
= + 5x2
Sujeto a: x1
+ x2
≤ 9
x1
– x2
≥ 1
x1
, x2
≥ 0
Para resolver este problema, en primer lugar debemos convertir la función objetivo a la forma estándar.
¿Cómo se lleva a cabo esta tarea?
La función objetivo Max Z = 6x1
+ 5x2
deberá cambiar de signo; es decir, si son valores negativos, la
función tomará valores positivos; y si son valores positivos, la función asumirá valores negativos, según sea
el caso. Así, tenemos:
Max Z = –6x1
– 5x2
Note el cambio de signo de positivo a negativo
Continuemos ahora con las restricciones. La primera restricción x1
+ x2
≤ 9 debe convertirse a la forma
estándar, el valor de x1
y x2
no cambia. Por lo tanto, queda x1
+ x2
= 9, pero tenemos que quitar la desigualdad
agregando una variable de holgura, la cual llamaremos s1
, tarea que se debe repetir con cada restricción; si
la desigualdad de la restricción es ≤, la variable de holgura tomará un signo positivo, es decir, se suma a la
restricción y queda de la siguiente forma:
x1
+ x2
+ s1
= 9
192.5 Teoría del método símplex
En los ejemplos anteriores puede apreciarse que, para encontrar la solución óptima de un mo-
delo lineal con la herramienta que se tiene hasta el momento, deben analizarse todos los puntos
posibles extremos, lo cual puede resultar una tarea bastante laboriosa. Por fortuna, George
Dantzig, el “padre de la programación lineal”, elaboró un método a finales de la década de
1940 que permite resolver un problema lineal sin necesidad de analizar de manera explícita el
valor de la función objetivo en cada punto extremo. Esta herramienta se conoce como método
símplex, cuya teoría veremos en seguida:
Considerando el modelo lineal en la forma conocida, el cual después de
añadir variables de holgura puede llevarse a la forma estándar, deben ponerse
tantas variables de holgura como restricciones existan en cada problema, y se
asigna una variable de holgura denominada Sn
en cada restricción:
Max Z = Cxi
+ Cxj
Sujeto a: xi
+ xj
≥ b1
xi
+ xj
≤ b2
xi
, xj
≥ 0
Max Z = – Cxi
– Cxj
Sujeto a: xi
+ xj
– s1
= b1
xi
+ xj
+ s2
= b2
xi
, xj
, s1
, s2
≥ 0
Método símplex. Método que permite
resolver un problema lineal sin necesi-
dad de analizar, a profundidad, el valor
de la función objetivo en cada punto
extremo.
Variable de holgura

Ahora, en el caso de la segunda restricción, la variable de holgura asumirá un valor negativo ya que la
desigualdad es ≥ y queda de la siguiente forma:
x1
– x2
– s2
= 1
En la figura 2.6 se muestra la conversión final del modelo a la forma estándar.
Forma original Forma estándar
Max Z = 6x1
+ 5x2
Genera Max Z = –6x1
– 5x2
Sujeto a: x1
+ x2
≤ 9 Sujeto a: x1
+ x2
+ s1
= 9
x1
– x2
≥ 1 x1
– x2
– s2
= 1
x1
, x2
≥ 0 x1
, x2
, s1
, s2
≥ 0
Figura 2.6 Conversión del modelo a la forma estándar.
El siguiente paso es introducir los valores del modelo de la forma estándar a la tabla símplex.
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1 1 1 0 9
s2
1 –1 0 –1 1
Z –6 –5 0 0 0
Ya con los valores en la tabla se debe resolver este problema de acuerdo con los siguientes pasos:
Paso 1. Elegir el valor de Z más negativo.
El valor de Z que se elija indicará la columna que se debe y se llamará columna pivote o columna de
entrada. En la siguiente tabla símplex se muestra cómo se llevó a cabo este paso.
Columna de entrada o pivote
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1 1 1 0 9
s2
1 –1 0 –1 1
Z –6 –5 0 0 0
Más negativo
En la tabla anterior puede observarse que x1
es la variable de entrada.
Paso 2. Se determina la variable de salida mediante la división de la columna solución de las restriccio-
nes entre la columna pivote o de entrada. Recuerde que este procedimiento sólo se aplica a las restricciones,
no a la función objetivo Z.
Nombre que se
les da:
Restricción 1
Restricción 2

A continuación se muestra cómo se realiza este paso.
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1 1 1 0 9
9 entre 1 = 9
x1
x2
s1
s2
Solución
s2
1 –1 0 –1 1
1 entre 1 = 1
Observe que los resultados son 9 y 1, por lo que se elige el valor positivo más pequeño sin tomar en
cuenta valores negativos o ceros.
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1 1 1 0 9 9/1 = 9
s2
1 –1 0 –1 1 1/1 = 1
Z –6 –5 0 0 0
Aquí se observa que s2
es la variable que debe salir y la que entra es x1
.
Paso 3. A la intersección entre la columna de entrada y el renglón de salida se le llama pivote.
x1
1 Pivote
s2
1 –1 0 –1 1
–6
Paso 4. Es muy importante que el pivote tome el valor 1; si éste no tiene dicho valor, conviértalo a 1
dividiendo todo el renglón entre el valor del pivote.
En este caso, el pivote ya es 1; por lo tanto, el renglón queda igual.
Paso 5. Hacer ceros los demás valores de la columna de entrada o pivote cambiado sólo el nombre de
la restricción de s2
a x1
.
x1
x2
s1
s2
Solución s1
1
s1
1 1 1 0 9 x1
Pivote
x1
–1 0 –1 1 Z –6
Z –6 –5 0 0 0
1
1
Pivote
Note el
cambio del
nombre de la
variable
Convertirlos
en ceros
÷
÷

En primer término, se tiene que multiplicar el renglón x1
por el inverso del valor que se hará cero y su-
márselo al renglón que desea convertirse; es decir, si queremos hacer cero al 1, multiplicamos al renglón x1
por –1, que es el inverso de 1 y el resultado se lo sumamos a s1
.
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1 1 1 0 9
x1
1 –1 0 –1 1
(–1)(pivote) Valor buscado
(–1)(1) = –1 + 1 = 0 Ingreso del valor a hacer cero
Ahora, en el caso de los demás valores:
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
0 2 1 1 8
x1
1 –1 0 –1 1
Ya es cero
(–1)(–1) = 1 + 1 = 2
(–1)(0) = 0 + 1 = 1
(–1)(–1) = 1 + 0 = 1
(–1)(1) = –1 + 9 = 8
Una vez terminado el renglón s1
, continuamos con el renglón Z multiplicando al renglón x1
por 6 ya que
es el inverso de –6. Además, el renglón x1
es el que tiene el pivote.
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1 –1 0 –1 1
Z –6 –5 0 0 0
Inverso de –6
6* 1 = 6 + (–6) = 0
6* –1 = –6 + (–5) = –11
6* 0 = 0 + 0 = 0
6*–1 = –6 + 0 = –6
6* 1 = 6 + 0 = 6
lo cual genera:
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1 –1 0 –1 1
Z 0 –11 0 –6 6
Si se resume la información se obtiene lo siguiente:
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
0 2 1 1 0
x1
1 –1 0 –1 1
Z 0 –11 0 –6 6
Multiplicar por 6
y sumar a Z
Note que ya
son ceros

Paso 6. Si en el renglón de Z aún existen valores negativos, regrese al paso 1, hasta que el renglón Z no
tenga valores negativos.
Como el renglón Z todavía tiene valores negativos, regresamos al paso 1, el cual indica que se tiene que
elegir el mayor valor negativo. En este caso, se tienen 2 valores, –11 y –6, y el valor que elegimos es –11.
La nueva columna entrante es:
Nueva columna de entrada o pivote
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
0 2 1 1 8 8
2
= 4
x2
1 –1 0 –1 1 1
–1
= –1
Z 0 –11 0 –6 6
Pivote
En este punto ya se han definido todas las variables; la variable que entra es x2
y la que sale es s1
. Aho-
ra, debemos realizar nuevamente las operaciones correspondientes y hacer que el renglón pivote tenga un
valor de 1 y los demás valores de la columna de entrada o pivote tengan valores de 0.
En primer lugar, debe convertirse el renglón pivote en 1. Se divide todo el renglón entre 2.
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 2 1 1 8
0/2 = 0
2/2 = 1
1
2
=
1
2
1
2
=
1
2
8
2
= 4
A continuación se introducen los valores que obtuvimos para ubicarlos en el renglón pivote, lo que genera:
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 1
1
2
1
2
4
Note que ya cambió a 1
Para convertir en ceros los valores de la columna de entrada o pivote, se debe emplear el pivote:
x2
Pivote
x1
–1
Z –11
En seguida, se debe multiplicar al renglón x2
por el inverso de cada valor que se convertirá en cero y
sumárselo al renglón que se desea convertir; es decir, si queremos hacer cero al –1, debemos multiplicar el
renglón x1
por 1 y sumárselo al renglón x1
.
No se toma en
cuenta ya que
es negativo
Renglón elegido
Cambió de s1
a x2
Valores a
convertir
en ceros
0
2
= 0
2
2
= 1
1
2
=
1
2
1
2
=
1
2
8
2
= 4

x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 1
1
2
1
2
4
x1
1 –1 0 –1 1
1* 0 = 0 + 1 = 1
1* 1 = 1 + (–1) = 0
1*
1
2
=
1
2
+ 0 =
1
2
1*
1
2
= –
1
2
+ (–1) = –
1
2
1* 4 = 4 + 1 = 5
lo que queda como sigue:
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 1
1
2
1
2
4
x1
1 0
1
2
–
1
2
5
Una vez terminado el renglón x1
, continuamos con el renglón Z multiplicando al renglón x2
por 11 ya que
es el inverso de –11.
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 1
1
2
1
2
4
Z 0 –11 0 –6 6
11* 0 = 0 + 0 = 0
11* 1 = 11+ (–11) = 0
11*
1
2
= 11
2
+ 0 = 11
2
11*
1
2
= 11
2
+ –6 = –
1
2
11* 4 = 44 + 6 = 50
operación que genera:
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 1
1
2
1
2
4
Z 0 0
11
2
–
1
2
50
Resumiendo la información se obtiene la tabla siguiente:
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 1
1
2
1
2
4
x1
1 0
1
2
–
1
2
5
Z 0 0
11
2
–
1
2
50
Multiplicarpor11
y sumárselo a Z
Note que ya
son ceros

Como podemos observar, aún tenemos valores negativos en el renglón Z; por lo tanto, tenemos que
realizar de nueva cuenta las operaciones correspondientes hasta lograr que el renglón Z no tenga ningún
valor negativo.
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 1
1
2
1
2
4 4/
1
2
= 8
x1
1 0
1
2
–
1
2
5 5/–
1
2
= –10
Z 0 0
11
2
–
1
2
50
Pivote
En principio, debemos ubicar las variables de entrada que, en este caso, es s2
, que tiene el valor de –
1
2
;
éste es el único valor negativo que queda en el renglón Z.
El renglón de salida es x2
y el pivote es
1
2
.
Con base en el reglón pivote, debemos hacer que el pivote tenga el valor 1 y los demás valores que
componen la columna de entrada o pivote obtengan valores de 0.
Para convertir el renglón pivote en 1 es necesario dividir el renglón pivote entre
1
2
. Queda como sigue:
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 1
1
2
1
2
4
0/
1
2
= 0
1/
1
2
= 2
1
2
/
1
2
= 1
1
2
/
1
2
= 1
4/
1
2
= 8
Después introducimos los valores que obtuvimos en el renglón pivote.
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0 2 1 1 8
Pivote
El siguiente paso implica convertir a ceros los valores de la columna de entrada o pivote utilizando el
pivote para hacerlo:
x2
Pivote
x1
–
1
2
Z –
1
2
No se toma en cuenta puesto que es negativo
Renglón
elegido
Valores a
convertir
en ceros
0
1
2
= 0
1
1
2
= 2
1
2
1
2
= 1
1
2
1
2
= 1
4
1
2
= 8

En seguida, debe multiplicarse al renglón x2
por el inverso de los valores que se harán cero y sumárselos
al renglón que se convertirá; es decir, si queremos hacer cero al
1
2
, entonces debemos multiplicar el renglón
x2
por
1
2
y sumarlo a x1
.
x1
x2
s1
s2
Solución
s2
0 2 1 1 8
x1
1 0
1
2
–
1
2
5
1
2
* 0 = 0 + 1 = 1
1
2
* 2 = 1 + 0 = 1
1
2
* 1 =
1
2
+
1
2
= 1
1
2
* 1 =
1
2
+ (–
1
2
)= 0
1
2
* 8 = 4 + 5 = 9
Luego del paso anterior queda como sigue:
x1
x2
s1
s2
Solución
s2
0 2 1 1 8
x1
1 1 1 0 9
Ya terminado el renglón x1
, continuamos con el renglón Z multiplicando el renglón x2
por
1
2
ya que es el
inverso de –
1
2
.
x1
x2
s1
s2
Solución
s2
0 2 1 1 8
Z 0 0
11
2
–
1
2
50
1
2
* 0 = 0 + 0 = 0
1
2
* 2 = 1 + 0 = 1
1
2
*1 =
1
2
+ 11
2
= 6
1
2
*1 =
1
2
+ (–
1
2
) = 0
1
2
*8 = 4 + 50 = 54
Aquí se genera:
x1
x2
s1
s2
Solución
s2
0 2 1 1 8
Z 0 1 6 0 54
Multiplicar por
1
2
y sumar a x1
Multiplicar por
1
2
y sumar a Z

Luego de reunir toda la información se obtiene la siguiente tabla símplex:
x1
x2
s1
s2
Solución
s2
0 2 1 1 8
x1
1 1 1 0 9
Z 0 1 6 0 54
Como se puede observar esta tabla símplex no incluye valores negativos en Z, lo cual indica que el
problema ha sido resuelto.
Cuandonoapareceunadelasvariablesbásicas(x1
yx2
)enlatablasímplexfinal,sesuponequeesigual
a cero. Ahora, sólo nos queda resumir los resultados que obtuvimos y dar una conclusión:
x1
= 9
x2
= 0
Z = 54
Como conclusión, puede decirse que deben fabricarse 9 galletas de tipo cuadrada y 0 de tipo redonda,
pues esas cantidades generan una utilidad máxima de $54.00.
Para asegurarnos de que realizamos las operaciones adecuadas, puede hacerse una comprobación en
cualquiera de las ecuaciones del problema. Vamos a llevarla a cabo en la función objetivo original para verificar.
Max Z = 6x1
+ 5x2
54 = 6 * 9 + 5 * 0
54 = 54
Hemos finalizado todo el procedimiento por el método símplex.
2
Forma estándar
Max Z = 5x1
+ 2x2
Max Z = –5x1
– 2x2
Sujeto a: 6x1
+10x2
≤ 30 Sujeto a: 6x1
+ 10x2
+ s1
= 30
10x1
+ 4x2
≤ 20 10x1
+ 4x2
+ s2
= 20
x1
, x2
≥0 x1
, x2
, s1
, s2
≥ 0
Los valores debemos ubicarlos en una tabla símplex, de esta manera:
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
6 10 1 0 30
s2
10 4 0 1 20
Z –5 –2 0 0
El valor más negativo del renglón Z es –5, por lo cual ésa será la columna entrante.
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
6 10 1 0 30
30
6
= 5
s2
10 4 0 1 20
20
10
= 2
Z –5 –2 0 0 0
Renglón
elegido
Columna
de entrada
o pivote
Pivote

Hasta este momento hemos definido todas las variables; la que entra es x1
y la que sale es s2
. Ahora
tenemos que realizar de nueva cuenta las operaciones correspondientes y hacer que el renglón pivote tenga
un valor de 1 y los demás valores de la columna de entrada o pivote posean valores de 0.
Para empezar, debemos convertir el renglón pivote en 1 mediante la división de todo el renglón entre 10,
que es el mismo valor del pivote.
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
10 4 0 1 20
10
10
= 1
4
10
= 2
5
0
10
= 0
1
10
= 1
10
20
10
= 2
A continuación, introducimos los valores que obtuvimos para ubicarlos en el renglón pivote, con lo cual
la tabla queda así:
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1
2
5
0
1
10
2
Luego convertimos a ceros los valores de la columna de entrada o pivote usando el pivote para hacerlo:
s1
6
x1
Pivote
Z –5
A continuación debe multiplicarse el renglón x1
por el inverso de cada valor que se transformará en cero
y sumarlo al renglón que se convertirá.
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
6 10 1 0 30
x1
1
2
5
0
1
10 2
–6 * 1 = –6 + 6 = 0
–6 *
2
5
= – 12
5
+ 10 = 38
5
–6 * 0 = 0 + 1 =1
–6 *
1
10
= –
3
5
+ 0 = –
3
5
–6 * 2 = –12 + 30 = 18
Cambió de s2
a x1
Note que ya
cambió a 1
Valores a
convertir
en ceros
Multiplicar por –6
y sumar a s1

El resultado es el siguiente:
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
0
38
5
1 –
3
5
18
x1
1
2
5
0
1
10
2
Una vez que hemos resuelto el renglón x1
, continuamos con el renglón Z. Ahora debemos multiplicar el
renglón x2
por 11 ya que es la inversa de –11.
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1
2
5
0
1
10
2
Z –5 –2 0 0 0
5 * 1 = 5 + (–5) = 0
5 *
2
5
= 2+ (–2) = 0
5 * 0 = 0 + 0 = 0
5 *
1
10
=
1
2
+ 0 =
1
2
5 * 2 = 10 + 0 = 10
Esta operación genera:
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
1
2
5
0
1
10
2
Z 0 0 0
1
2
10
Resumiendo la información se obtiene lo siguiente:
x1
x2
s1
s2
Solución
x2
0
38
5
1 –
3
5
18
x1
1
2
5
0
1
10
2
Z 0 0 0
1
2
10
Como se puede ver, esta tabla símplex no tiene valores negativos en el renglón Z, lo cual nos indica que
hemos terminado. Ahora sólo nos queda resumir los resultados que obtuvimos:
s1
= 18; x1
= 2; s2
= 0; x2
= 0 y Z = 10.
A continuación, podemos hacer una comprobación en cualquiera de las ecuaciones del problema para
asegurarnos de que efectuamos las operaciones adecuadas. Para llevarla a cabo vamos a verificar la función
objetivo original.
Max Z = 5x1
+ 2x2
10 = 5(2) + 2(0)
10 = 10
Hemos finalizado todo el procedimiento por el método símplex.
Multiplicar por 5
y sumarlo a Z
Note que ya
son ceros

3
Forma estándar
Max Z = 3x1
+ x2
Max Z = –3x1
– x2
Sujeto a: 2x1
+ x2
≤ 8 Sujeto a: 2x1
+ x2
+ s1
= 8
2x1
+ 3x2
≤ 12 2x1
+ 3x2
+ s2
= 12
x1
, x2
≥ 0 x1
, x2
, s1
, s2
≥ 0
Debemos ubicar los valores en una tabla símplex, de esta manera:
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
2 1 1 0 8
s2
2 3 0 1 12
Z –3 –1 0 0 0
El valor más negativo del renglón Z es –3, por lo cual ésa será la columna entrante.
x1
x2
s1
s2
Solución
s1
2 1 1 0 8 8
2
= 4
s2
2 3 0 1 12 12
2
= 6
Z –3 –1 0 0 0
Hasta este punto hemos definido todas las variables: la que entra es x1
y la que sale es s1
; ahora debe-
mos efectuar de nuevo las operaciones correspondientes y hacer que el renglón pivote tenga un valor de 1 y
los demás valores de la columna de entrada o pivote tengan valores de 0.
Para empezar debemos convertir el renglón pivote en 1 mediante la división de todo el renglón entre 2,
que es el mismo valor del pivote.
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
2 1 1 0 8
2
2
= 1
1
2
=
1
2
1
2
=
1
2
0
2
= 0
8
2
= 4
Luego de la división, introducimos los valores que obtuvimos para ubicarlos en el renglón pivote, activi-
dad que genera la siguiente tabla:
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1
1
2
1
2
0 4
Renglón
elegido
Columna
de entrada
o pivote
Pivote
Cambió de s1
a x1

Para convertir a ceros los valores de la columna de entrada o pivote, utilizamos el pivote:
x1
Pivote
s2
2
Z –3
A continuación debe multiplicarse el renglón x1
por el inverso de cada valor que se transformará en cero
y sumarlo al renglón que se convertirá.
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1
1
2
1
2
0 4
s2
2 3 0 1 12
–2 * 1 = –2 + 2 = 0
–2 *
1
2
= –1 + 3 = 2
–2 *
1
2
= –1 + 0 = –1
–2 * 0 = 0 + 1 = 1
–2 * 4 = –8 + 12 = 4
La tabla que se obtiene será:
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1
1
2
1
2
0 4
s2
0 2 –1 1 4
Una vez resuelto el renglón x1
continuamos con el renglón Z multiplicando al renglón x1
por 3, ya que es
el inverso de –3.
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1
1
2
1
2
0 4
Z –3 –1 0 0 0
3 * 1 = 3 + (–3) = 0
3 *
1
2
=
3
2
+ (–1) =
1
2
3 *
1
2
=
3
2
+ 0 =
3
2
3 * 0 = 0 + 0 = 0
3 * 4 = 12 + 0 = 12
Valores a
convertir
en ceros
Multiplicar por –2
y sumar a s2
Multiplicar por 3
y sumar a Z

Esta operación genera:
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1
1
2
1
2
0 4
Z 0
1
2
3
2
0 12
Si resumimos la información podemos ordenarla en la siguiente tabla:
x1
x2
s1
s2
Solución
x1
1
1
2
1
2
0 4
s2
0 2 –1 1 4
Z 0
1
2
3
2
0 12
Como podemos observar, en esta tabla símplex no hay ningún valor negativo en el renglón Z, lo cual nos
indica que hemos concluido. Ahora, sólo nos queda resumir los resultados que obtuvimos, a saber:
s1
= 0; x1
= 4; s2
= 4; x2
= 0 y Z = 12.
Ahora podemos hacer una comprobación en cualquiera de las ecuaciones del problema para asegurarnos
de que efectuamos las operaciones adecuadas; para verificar, nos enfocaremos en la función objetivo original.
Max Z = 3x1
+ x2
12 = 3(4) + 0
12 = 12
Hemos finalizado todo el procedimiento que señala el método símplex.
2.6 Dualidad
El término dualidad señala la existencia de dos fenómenos o caracteres diferentes en un mismo
estado. En este sentido, las nociones del bien y el mal son un ejemplo de dualidad; la filosofía
china también cuenta con los conceptos del yin y el yang para resumir la dualidad de todo lo
que existe en el universo.
Dentro de la investigación de operaciones, el concepto de dualidad desempeña un papel
importante tanto en la teoría como en la práctica. Todo modelo de programación lineal está
asociado a otro modelo llamado modelo dual; al modelo de programación inicial también se le
conoce como modelo primal.
Entre otras cosas, las estructuras duales permiten:
• Resolver problemas lineales que tienen más restricciones que actividades. Por ejemplo, el
grado de dificultad para resolver un programa lineal por medio de una computadora que
está en función del número de filas de la matriz A y no en el número de columnas, al aplicar
la dualidad a un problema primario donde m > n, se obtiene otro problema lineal donde
el número de columnas m < n. Una vez que se resuelve el problema primario, de manera
automática se soluciona su correspondiente dual o viceversa.
• Hacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los problemas de programa-
ción lineal.

332.6 Dualidad
• Concebir nuevos algoritmos para solucionar problemas de redes de optimización.
• Generar métodos como el dual símplex para realizar análisis de sensibilidad de los progra-
mas de programación lineal.
Para poder entender el concepto de dualidad debemos referirnos al tema de matriz trans-
puesta.
Podemos decir que la matriz A transpuesta, que se conoce con la simbología AT
, es aquella
en donde las columnas se transforman en filas o viceversa.
Ejemplo: Si tenemos la siguiente matriz:
A =
a b c
1 15 20 25
2 10 30 40
Cuestiones importantes que se deben tomar en cuenta:
Cuestión 1. Si el primal es un problema de maximización, su dual será un problema de mi-
nimización o viceversa.
Max Min
Cuestión 2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los
coeficientes del vector de disponibilidad del problema dual.
Cuestión 3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten
en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) del problema dual.
Cuestión 4. Los coeficientes de las restricciones del problema primal serán la matriz de co-
eficientes del dual.
Cuestión 5. Los signos de desigualdad del problema dual son contrarios a los del primal.
Cuestión 6. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y
m variables. Así, las variables xn
del primal se convierten en nuevas variables ym
del dual.
Primal Dual
Max Z = Cx Min G = BT
y
Sujeto a: Ax ≤ B Sujeto a : AT
y > CT
x ≥ 0 y > 0
Donde:
C = constante
x = variable
Cx = función objetivo
En la figura 2.7 se ilustra quién es A; B; C para, posteriormente, convertirse en su dual.
Figura 2.7 Estructura de un problema dual.
Primal C
Max Z = 5x1
+ 12x2
+ 4x3
B
Sujeto a: 1x1
+ 2x2
+ 1x3
≤ 10
1x1
– 1x2
+ 3x3
≥ 8
A
x1
≥ 0
AT
=
a b
1 15 10
2 20 30
3 25 40
Genera

1. Resuelva los siguientes ejercicios con el empleo del método gráfico:
a) Max Z = 3x1
+ 2x2
Sujeto a:
7x1
+ 3x2
≤ 15
3x1
+ x2
≤ 20
x1
+ x2
≤ 5
x1
, x2
≥ 0
2. Resuelva los siguientes ejercicios por medio del método símplex:
a) Max Z = 3x1
+ 2x2
+ 5x3
Sujeto a:
7x1
+ 3x2
– x3
≤ 15
2x1
– 2x2
+ 3x3
≤ 20
x1
+ x2
+ x3
≤ 5
x1
, x2
, x3
≥ 0
3. Convierta a su forma dual los siguientes modelos primales:
a) Min Z = 3x1
+ 2x2
Sujeto a:
3x1
+ 2x2
≤ 30
x1
+ 2x2
≥ 20
x1
, x2
≥ 0
b) Max Z = 6x1
– 2x2
+ 3x3
Sujeto a:
2x1
– x2
+ 2x3
≤ 2
x1
+ 4x3
≤ 4
x1
, x2
, x3
≥ 0
b) Max Z = 2x1
+ 3x2
Sujeto a:
x1
+ 3x2
≤ 9
3x1
+ 2x2
≤ 12
x1
, x2
≥ 0
b) Min Z = 6x1
+ 7x2
Sujeto a:
x1
+ x2
≥ 2
5x1
+ x2
≥ 4
x1
, x2
≥ 0
c) Max Z = 2x1
+ x2
+ 2x3
Sujeto a:
4x1
+ 3x2
+ 8x2
≤ 12
4x1
+ x2
+ 12x3
≤ 8
4x1
– x2
+ 3x3
≤ 8
x1
, x2
, x3
≥ 0
c) Max Z = 20x1
+ 30x2
Sujeto a:
2x1
+ 2x2
≤ 150
x1
+ 2x2
≤ 120
x1
, x2
≥ 0
Dual
Max J = 7y1
+ 12y2
+ 5y3
Sujeto a: 3y1
+ 2y2
– 2y3
≥ 1
–y1
– 4y2
+ 3
/2
y3
≤ 3
2y1
+ 4y3
≥ 2
yi
≥ 0
Primal
Min Z = x1
+ 3x2
+ 2x3
Sujeto a: 3x1
– x2
+ 2x3
≤ 7
2x1
– 4x2
≥ 12
–2x1
+ 3
/2
x2
+ 4x3
≤ 5
xi
≥ 0
Cabe destacar que, una vez solucionados el dual como el primal por medio del método símplex, la solu-
ción es la misma.
2
Primal
Min Z = 15x1
+ 12x2
Sujeto a: x1
+ 2x2
≥ 3
2x1
– 4x2
≤ 5
xi
≥ 0
Note que xi
= x1
, x2
, …, xn
según las variables utilizadas
Dual
Max G = 3y1
+ 5y2
Sujeto a: y1
+ 2y2
≤ 15
2y1
– 4y2
≥ 12
yi
≥ 0

35
Transporte
y asignación
Unidad
III
explicar qué entiende por modelos de transporte.
desarrollar los pasos para resolver problemas de transporte.
resolver problemas por el método de la esquina noroeste.
solucionar problemas por medio del método de costo menor.
resolver problemas por medio del método Vogel.
exponer el modelo de asignación.
solucionar problemas de asignación por medio del método húngaro.
3.1 Modelos de transporte
El modelo de transporte es una clase especial de programación lineal que abor-
da la situación en la cual se envía un bien desde los puntos de origen (por ejem-
plo, fábricas) hasta los puntos de destino (bodegas). El objetivo es determinar
las cantidades que se deben enviar desde cada punto de origen hasta cada punto
de destino que minimicen el costo total del envío y que, al mismo tiempo, satisfa-
gan tanto los límites de la oferta como los requisitos de la demanda (figura 3.1).
Modelo de transporte. Clase especial
de programación por medio del cual se
minimizan los costos del transporte
de personas o productos desde los
puntos de origen hasta los puntos de
destino.
Figura 3.1 Forma de enviar un bien de un origen a un destino.
a1
a2
am
c11
x11
cmn
xmn
Oferta
Demanda
1
2
m
1 b1
b2
bn
2
n

UNIDAD III Transporte y asignación36
El modelo supone que el costo de envío por una ruta específica es directamente proporcio-
nal al número de unidades enviadas (por esa ruta). En general, el modelo de transporte puede
ampliarse a otras áreas, entre ellas el control de inventarios, horarios de empleo y asignación
de personal.
A partir de la figura 3.1 se deduce que:
xij
= Cantidad enviada
cij
= Constante.
La función objetivo se obtiene de la siguiente forma:
Min Z = c11
x11
+ c12
x12
+…+ cij
xij
Una fábrica de autos cuenta con 3 plantas fabriles, una en Guanajuato, otra en Michoacán y otra en Nayarit.
También posee 2 centros de distribución principales, uno en México y otro en Guadalajara. Las capacida-
des de producción de las 3 plantas durante el próximo trimestre son de 2 000, 2 400 y 3 000 automóviles,
mientras que la demanda durante el mismo periodo de los 2 centros de distribución será de 4 600 y 2 800
automóviles.
Latabla3.1proporcionaladistanciaenkilómetrosqueexisteentrelasplantasyloscentrosdedistribución.
La compañía encargada del transporte de los automóviles cobra 16 centavos por kilómetro por auto.
Para obtener el costo de envío por cada ruta, debe multiplicarse la distancia por el costo de transporte
que, en este caso, será de 16 centavos por kilómetro.
Origen Destino México (en kilómetros) Guadalajara (en kilómetros)
Guanajuato 2 000 5 380
Michoacán 2 500 2 700
Nayarit 2 550 1 700
Origen Destino México Guadalajara
Guanajuato 2 000 ؋ 0.16 5 380 ؋ 0.16
Michoacán 2 500 ؋ 0.16 2 700 ؋ 0.16
Nayarit 2 550 ؋ 0.16 1 700 ؋ 0.16
Origen Destino México Guadalajara
Guanajuato 320 860.8
Michoacán 400 432
Nayarit 408 272
Tabla 3.1 Distancia entre plantas y centros de distribución
En resumen, de la tabla anterior se obtienen los siguientes costos:
Dado que la tabla de costos puede resolverse por medio del método símplex, elabore el modelo de pro-
gramación lineal correspondiente al problema (véase figura 3.2).

Sea xij
= Número de automóviles enviados del origen (i) al destino (j).
Donde:
i = Origen (Guanajuato, Michoacán, Nayarit)
j = Destino (México, Guadalajara)
Origen Destino México Guadalajara Oferta
Guanajuato 320 x11
860.8 x12
2 000 2 000 +
Michoacán 400 x21
432 x22
3 000 3 000 +
Nayarit 408 x31
272 x32
2 400 2 400 =
Demanda 4 600 2 800 7 400 7 400
4 600 + 2 800 = 7 400
Figura 3.2 Formas de enviar automóviles desde la fábrica hasta los puntos de venta.
Min Z = 320 x11
+ 860.8x12
+ 400x21
+ 432x22
+ 408x31
+ 272x32
Sujeto a:
x11
+ x12
≤ 2 000
x21
+ x22
≤ 3 000 Oferta
x31
+ x32
≤ 2 400
x11
+ x21
+ x31
= 4 600
Demanda
x12
+ x22
+ x32
= 2 800
xij
≥ 0
Guanajuato
Michoacán
México
Guadalajara
Nayarit
272x32
408x31
432x22
400x21
860.8x12
320x11
1
2
3
1
2
Nótese que la demanda
es igual a la oferta
El modelo de programación lineal puede resolverse con el método símplex; sin embargo, la
estructura especial de las restricciones nos permite solucionarlo de una manera más convenien-
te con ayuda de la tabla símplex de transporte que se muestra a continuación:
Origen Destino México Guadalajara Oferta
Guanajuato 320 860.8 2 000
Michoacán 400 432 3 000
Nayarit 408 272 2 400
Demanda 4 600 2 800 7 400

Determinación de la solución inicial
Un modelo de transporte general con m puntos de origen y n puntos de destino posee m + n
ecuaciones de restricción, una para cada punto de origen y destino; no obstante, debido a que
el modelo de transporte siempre está equilibrado, una de estas ecuaciones debe ser redundan-
te. Así, el modelo tiene m + n – 1 variables básicas.
La estructura especial del modelo de transporte admite una solución básica inicial no arti-
ficial empleando uno de los tres métodos:
• Método de la esquina noroeste
• Método del costo menor
• Método de aproximación de Vogel
La diferencia entre los tres métodos es la calidad de la solución básica inicial, pues cuando
ésta es más precisa da un valor objetivo más pequeño. Desde este punto de vista general, el mé-
todo de Vogel aporta la mejor solución básica inicial y el método de la esquina noroeste, la peor.
La ventaja es que el método de la esquina noroeste implica menor cálculo.
3.1.1 Método de la esquina noroeste
El método de la esquina noroeste empieza en el cuadro (ruta) de la esquina noroeste de la tabla
símplex (variable x11
) (véase figura 3.3).
Figura 3.3 Esquina noroeste de la tabla símplex.
Pasos para aplicar el método de la esquina noroeste
A continuación desglosaremos los pasos para aplicar este método:
Paso 1. Asigne tanto como sea posible al cuadro seleccionado y ajuste las cantidades asocia-
das de oferta y demanda; luego, reste la cantidad asignada.
Paso 2. Tache el renglón o la columna con 0 oferta o demanda para indicar que no pueden
hacerse asignaciones adicionales en ese renglón o columna. Si tanto el renglón como la colum-
na, de manera simultánea, dan 0, tache sólo uno de ellos y deje una oferta o demanda de 0 en
el renglón o columna no tachado.
Paso 3. Si queda sin tachar un renglón o una columna, deténgase; de lo contrario, avance
al siguiente cuadro a la derecha si acaba de tachar una columna o al inferior si ha tachado un
renglón. Regrese al paso 1.
Esquina
noroeste
Tenemos 3 granjas de pollos (A, B, C) con una oferta de 120, 130 y 250 pollos cada una, que deben cubrir la
demanda de 3 rosticerías (1, 2, 3) que es de 150, 130 y 220 pollos.
Los costos de envío de la granja A a las rosticerías 1, 2 y 3 son de 10, 15 y 18 pesos por pollo; los de la
granja B son de 1, 5 y 3 pesos y los de la granja C son de 7, 11 y 9 pesos, respectivamente, por pollo.
Elabore el modelo de programación lineal correspondiente y determine cuántos pollos se deben enviar
desde las granjas (A, B, C) a las rosticerías (1, 2, 3).
2

Granjas
Rosticería 1 2 3 Oferta (pollos)
A 10 15 18 120
B 1 5 3 130
C 7 11 9 250
Demanda (pollos) 150 130 220 500
Nota: La oferta no puede ser mayor que lo que se tiene en la demanda.
Por lo tanto, como la oferta es igual a la demanda, se dice que la tabla está en equilibrio.
Paso 1. Para resolver este problema, en primer lugar se debe asignar tanto como sea posible al cuadro de la
esquina noroeste seleccionado (en este caso sería A, 1) y ajustar las cantidades asociadas de oferta y demanda
mediante la resta de la cantidad asignada.
Granjas
A 10 15 18 120
B 1 5 3 130
C 7 11 9 250
Los recuadros representan las siguientes referencias:
Cuadro seleccionado (esquina noroeste)
Oferta de la granja A: 120 pollos
Demanda de la rosticería 1: 150 pollos
Enviamos 120 pollos a la rosticería 1 que pide 150, con lo cual sólo quedan por satisfacer 30 pollos.
Observe que, al entregar 120 pollos, la granja A ya no puede vender más, por lo que se cancelan los demás
espacios.
Paso 2. Tache el renglón o la columna con 0 oferta o demanda para indicar que no pueden hacerse asigna-
ciones adicionales en ese renglón o columna. Si tanto el renglón como la columna, de manera simultánea, dan 0,
tache sólo uno de ellos y deje una oferta o demanda de 0 en el renglón o columna no tachados.
Granjas
A 10 120 15 18 120 – 120 = 0
B 1 5 3 130
C 7 11 9 250
Demanda (pollos) 150 – 120 = 30 130 220 380

Granjas
A 10 120 15 18 120 – 120 = 0
B 1 5 3 130
C 7 11 9 250
Demanda (pollos) 150 – 120 = 30 130 220 380
Paso 3. Si queda sin tachar un renglón o una columna, deténgase; de lo contrario, avance al siguiente
cuadro a la derecha si acaba de tachar una columna o al inferior si ha tachado un renglón. Regrese al paso 1.
Como se tachó el renglón de la granja A, avanzamos a la siguiente esquina noroeste para satisfacer los
30 pollos que solicita la rosticería 1.
Granjas
A 10 120 15 18 120 – 120 = 0
B 1 5 3 130
C 7 11 9 250
Demanda (pollos) 150 – 120 = 30 130 220 380
Cuadro seleccionado (esquina noroeste)
Granjas
A 10 120 15 18 0
B 11 30 5 3 130 – 30 = 100
C 7 11 9 250
Demanda (pollos) 30 – 30 = 0 130 220 350
Ahora, la granja A no tiene pollos para vender y la rosticería 1 cubrió su demanda. Se avanza a la si-
guiente rosticería (2) y se le asigna lo más que se pueda a la granja B.
Granjas
A 10 120 15 18 0
B 11 30 5 100 3 100 – 100 = 0
C 7 11 9 250
Demanda (pollos) 0 130 – 100 = 30 220 250
Se tacha porque se
agota la oferta de la
granja A
Se tacha porque se
granja A
Se tacha porque
satisface la
demanda de la
rosticería 1
Se le asignan 30
ya que la rosticería
1 sólo pide 30 y la
granja B tiene 30
disponibles
100 pollos
disponibles
que oferta la
granja B
Se tacha
porque se
agota la
oferta de la
granja B

La rosticería 2 aún necesita 30 pollos, que deben ser proporcionados por la granja C ya que la B agotó
su oferta.
Granjas
A 10 120 15 18 0
B 11 30 5 100 3 0
C 7 11 30 9 250 – 30 = 220
Demanda (pollos) 0 30 – 30 = 0 220 220
Granjas
A 10 120 15 18 0
B 11 30 5 100 3 0
C 7 11 30 9 250 – 30 = 220
Debido a que la demanda de la rosticería 2 ya fue satisfecha, se tacha y se avanza a la siguiente rosticería.
Granjas
A 10 120 15 18 0
B 11 30 5 100 3 0
C 7 11 30 9 220 220 – 220 = 0
Demanda (pollos) 0 0 220 – 220 = 0
En este ejemplo, la solución óptima es:
La granja A debe enviar 120 pollos a la rosticería 1; la granja B, 30 pollos a la rosticería 1 y 100 al 2; la
granja C, 30 pollos al 2 y 220 al 3 (figura 3.4).
Los costos de envío de pollos de las granjas son:
Min Z = 10 (120) + 1 (30) + 5 (100) + 11 (30) + 9 (220) = 4 040 pesos
І El costo de envío será de 4 040 pesos.
Siguiente esquina
noroeste
No tiene demanda Se tacha porque se satisface la demanda
de la rosticería 2
Siguiente esquina noroeste
No tienen
oferta
Demanda satisfecha
Oferta
satisfecha
Granjas de
pollos Rosticerías
220
30
100
30
120
A
B
C
1
2
3
Figura 3.4 Diagrama de distribución de pollos.
Este punto
es donde se
satisface por
completo la
demanda con la
oferta

3.1.2 Método del costo menor
El método del costo menor permite encontrar una mejor solución inicial pues
se concentra en las rutas más económicas. En vez de empezar con el cuadro
noroeste, comienza por asignarle tanto como sea posible al cuadro con el costo
más bajo por unidad de toda la tabla; después, se tacha el renglón o la columna
satisfechos y se ajusta la cantidad de la oferta y de la demanda conforme a ello.
Si tanto un renglón como una columna se satisfacen de manera simultánea,
sólo se tacha uno de ellos; luego, se busca el cuadro no tachado con el menor
costo unitario y se repite el proceso hasta que, al final, queda exactamente un renglón o una
columna no tachados.
Pasos para aplicar el método del costo menor
A continuación desglosaremos los pasos para aplicar este método:
Paso 1. Asígnele tanto como sea posible al cuadro con el costo más bajo por unidad de toda
la tabla.
Paso 2. Tache el renglón o la columna con 0 oferta o demanda para indicar que no pueden
hacerse asignaciones adicionales en ellos. Si tanto el renglón como la columna dan 0 de manera
simultánea, tache sólo uno de ellos y deje una oferta o demanda de 0 en el renglón o columna
no tachado.
Paso 3. Si queda sin tachar un renglón o una columna, deténgase; de lo contrario, avance
al siguiente cuadro con el costo más bajo por unidad de la tabla no tachada. Regrese al paso 1.
Método del costo menor. Se concen-
tra en las rutas económicas. Asigna
el costo más bajo a cada unidad y
después se ajusta la cantidad de la
oferta y la demanda.
Paraestetema,retomaremoselejercicioquesetrabajóenlasecciónanterior(métododelaesquinanoroeste).
Tenemos 3 granjas (A, B, C), con una oferta de 120, 130 y 250 pollos, respectivamente, que deben cu-
brir la demanda de 3 rosticerías (1, 2, 3), que es de 150, 130 y 220 pollos.
Granjas
A 10 15 18 120
B 1 5 3 130
C 7 11 9 250
Paso 1. Asígnele tanto como sea posible al cuadro con el menor costo unitario de toda la tabla y ajuste
las cantidades asociadas de oferta y demanda mediante la resta de la cantidad asignada.
Granjas
A 10 15 18 120
B 1 5 3 130
C 7 11 9 250
Demanda (pollos) 150 130 220 500 – 130 = 370
3
Costos de envío de
pollos de las granjas
a las rosticerías
Ejemplo: de la granja
B a la rosticería 2, el
costo de envío por
pollo es de 5 pesos
Nota: La oferta
no puede ser
mayor que la
demanda

Paso 2. Tache el renglón o la columna con 0 oferta o demanda para indicar que no pueden hacerse asig-
naciones adicionales en ellos. Si tanto el renglón como la columna dan 0 de manera simultánea, tache sólo
uno de ellos y deje una oferta o demanda de 0 en el renglón o columna no tachados.
Granjas
A 10 15 18 120
B 1 130 5 3 130 – 130 = 0
C 7 11 9 250
Demanda (pollos) 150 – 130 = 20 130 220 500 – 130 = 370
Granjas
A 10 15 18 120
B 1 130 5 3 0
C 7 20 11 9 250 – 20 = 230
Demanda (pollos) 20 – 20 = 0 130 220 370 – 20 = 350
Granjas
A 10 15 18 120
B 1 130 5 3 0
C 7 20 11 9 220 230 – 220 = 10
Demanda (pollos) 0 130 220 – 220 = 0 350 – 220 = 130
Granjas
A 10 15 18 120
B 1 130 5 3 0
C 7 20 11 10 9 220 10 – 10 = 0
Demanda (pollos) 0 130 – 10 = 120 0 130 – 10 = 120
Se tacha porque se satisface la
demanda de la rosticería 1
Siguiente costo más bajo, se le asigna lo que pide
la rosticería 3 (220) quedando aún 10 pollos por
colocar de la granja C
Siguiente costo más bajo
Tomar en cuenta que la rosticería pide aún
20 pollos que va a satisfacer la granja C
Se tacha porque se
granja B
Se tacha porque satisface la demanda
de la rosticería 3
Siguiente costo más bajo sólo se le asigna 10 pollos ya
que la granja C sólo dispone de 10 y la rosticería 2 aún
requiere 10 pollos
Se tacha porque se
granja B

Paso 3. Si queda sin tachar un renglón o una columna, deténgase; de lo contrario, avance al siguiente
cuadro con el costo más bajo por unidad de la tabla no tachada. Regrese al paso 1.
Granjas
A 10 15 120 18 120 – 120 = 0
B 11 130 5 3 0
C 7 20 11 10 9 220 0
Demanda (pollos) 0 120 – 120 = 0 0 120 – 120 = 0
El costo total por el envío de los pollos es:
Min Z = 1 (130) + 7 (20) + 9 (220) + 11 (10) + 15 (120) = 4 160
Observe que el costo es mayor que en caso del método de la esquina noroeste, lo cual demuestra que
no siempre este método es mejor.
Último costo más bajo se le asigna
el total de pollos disponibles de la
granja A
Note que tanto la demanda como la oferta
quedaron satisfechas
Tres fábricas de calzado (1, 2, 3) con una oferta de 15, 25 y 10 mil pares de zapatos, respectivamente, deben
cubrir los pedidos de 4 tiendas (A, B, C, D), cuyas demandas ascienden a 5, 15, 15 y 15 mil pares de zapatos
cada una.
Elabore el modelo de programación lineal correspondiente y determine cuántos pares de zapatos se
van a enviar desde las fábricas (1, 2, 3) a cada una de las tiendas (A, B, C, D).
Fábrica
Tienda A B C D Oferta (miles)
1 10 2 15 20 11 15 – 15 = 0
2 12 7 9 20 25
3 4 14 16 18 10
Demanda 5 15 15 15 50 – 15 = 35
Fábrica
1 10 2 15 20 11 0
2 12 7 9 20 25
3 4 5 14 16 18 10 – 5 = 5
Demanda 5 – 5 = 0 0 15 15 35 – 5 = 30
Se elimina porque se abastece la demanda de la columna A.
4
La oferta de
la fila 1 llega
al límite

Fábrica
1 10 2 15 20 11 15 – 15 = 0
2 12 7 0 9 20 25
3 4 5 14 16 18 10
Demanda 0 15 – 15 = 0 15 15 30
Se elimina porque se abastece la demanda de la columna B
Cabe que recordar que no se puede eliminar al mismo tiempo una fila y una columna,
por eso se otorga 0 a B2 (note que no se eliminó desde la primera tabla)
Fábrica
1 10 2 15 20 11 0
2 12 7 0 9 15 20 25 – 15 = 10
3 4 5 14 16 18 10 – 5 = 5
Demanda 0 0 15 – 15 = 0 15 30 – 15 = 15
Se elimina porque se abastece la demanda de la fila C
Fábrica
1 10 2 15 20 11 10 15 – 15 = 0
2 12 7 9 15 20 25 – 15 = 10
3 4 5 14 16 18 5 5 – 5 = 0
Demanda 0 0 0 15 – 5 = 10 15 – 5 = 10
La oferta de la fila 3 llega al límite
Fábrica
1 10 2 15 20 11 10 0
2 12 7 0 9 15 20 10 – 10 = 0
3 4 5 14 16 18 5 0
Demanda 0 0 0 10 – 10 = 0 10 – 10 = 0
Se abastece la demanda de la columna D
Nota: En este punto se llega al abastecimiento de la demanda y se agota la oferta, lo que da como resultado:
Llega al límite
La oferta de la fila 3

Fábrica
1 10 2 15 20 11 10 0
2 12 7 0 9 15 20 0
3 4 5 14 16 18 5 0
Demanda 0 0 0 0 0
En este ejemplo la solución óptima es:
En este caso, para optimizar los costos de envío, de la fábrica 1 se deben enviar 15 000 pares de zapa-
tos a la tienda B y 10 000 pares a la tienda D; de la fábrica 2, 15 000 pares a la tienda C y, por último, 5 000
pares de la fábrica 3 a la tienda A y 5 000 a la tienda D.
Los costos de envío son:
Min Z = 2(15) + 4(5) + 7(0) + 9(15) + 5(18) + 20(10) = $ 475 000
І El costo de envío será de $ 475 000.
3.1.3 Método Vogel
Este método es una versión mejorada del de costo menor que, por lo regular, produce mejores
soluciones iniciales.
Pasos para aplicar el método de Vogel
A continuación detallamos los pasos a seguir para aplicar este método:
Paso 1. En el caso de cada renglón o columna con una oferta o una demanda estrictamente
positiva, determine una medida de penalidad restando el elemento del costo por unidad más
bajo del renglón o columna del siguiente elemento de menor costo.
Paso 2. Identifique el renglón o columna con penalidad más grande y asígnele tanto como
sea posible a la variable con el costo más bajo, ajuste la oferta y demanda y tache el renglón o
columna satisfechos; si se satisfacen de manera simultánea un renglón y una columna, sólo se
tacha uno de ellos.
Paso 3. Si queda un renglón o una columna sin tachar con 0 oferta y 0 demanda, deténgase. Si
queda sin tachar un renglón o una columna con una oferta o demanda positiva, precise las variables
básicas del renglón o columna por el método del costo menor; de lo contrario, regrese al paso 1.
Para explicar este tema se retomarán los ejercicios que se trabajaron en las dos secciones anteriores (mé-
todo de la esquina noroeste y método del costo menor) para, al final, poder hacer una comparación entre los
métodos que se utilizaron.
Tres granjas de pollos (A, B, C), con una oferta de 120, 130 y 250, respectivamente, deben cubrir la
demanda de 3 rosticerías (1, 2, 3) que es de 150, 130 y 220 pollos.
Granjas
Rosticería 1 2 3 Oferta pollos
A 10 15 18 120
B 1 5 3 130
C 7 11 9 250
5
Costos de envío de
pollos de las granjas
a las rosticerías

Costos más bajos
por renglón y
columna
Paso 1. En el caso de cada renglón o columna con una oferta o una demanda estrictamente positiva,
establezca una medida de penalidad mediante la resta del elemento de menor costo unitario del renglón o
columna del siguiente elemento de costo más bajo.
Granjas
Rosticería 1 2 3 Oferta (pollos) Penalidad 1
A 10 15 18 120 15 – 10 = 5
B 1 5 3 130 3 – 1 = 2
C 7 11 9 250 9 – 7 = 2
Penalidad 1 7 – 1 = 6 11 – 5 = 6 9 – 3 = 6
Paso 2. Identifique el renglón o columna con penalidad más grande y asígnele tanto como sea posible a
la variable con el costo más bajo. Ajuste la oferta y demanda y tache el renglón o columna satisfechos; si se
satisfacen de manera simultánea un renglón y una columna, sólo se tacha uno de ellos.
En esta tabla se puede observar que la mayor penalidad es 6 en 3 diferentes lugares; por ello, debemos
elegir sólo una de las tres posibilidades y buscar el costo menor de estas tres.
Se elige esta columna pues el costo menor elegido es 1, mientras
que los demás son 5 y 3, aunque las penalidades sean 6
Granjas
A 10 15 18 120 15 – 10 = 5
B 1 5 3 130 3 – 1 = 2
C 7 11 9 250 9 – 7 = 2
Penalidad 1 7 – 1 = 6 11 – 5 = 6 9 – 3 = 6
Después de elegir el costo menor (1), se le asigna lo más que se pueda al renglón elegido (B); en este
caso, 130 de los 150 pollos que se piden.
Granjas
A 10 15 18 120 15 – 10 = 5
B 1 130 5 3 130 3 – 1 = 2
C 7 11 9 250 9 – 7 = 2
Penalidad 1 7 – 1 = 6 11 – 5 = 6 9 – 3 = 6

Investigacion de operaciones Rodolfo valentin

Investigacion de operaciones Rodolfo valentin

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Investigacion de operaciones Rodolfo valentin

Similar a Investigacion de operaciones Rodolfo valentin (20)

Más de Jose Matos

Más de Jose Matos (20)

Último

Último (20)

Investigacion de operaciones Rodolfo valentin