Logica

1. Universidad Nacional de Salta
Facultad de Ciencias Exactas
CILEU 2008
Algunas Nociones de Lógica
Etimológicamente, la palabra “lógica” proviene del término griego “logos” que se
traduce por “palabra”, “razón”, “discurso”.El lenguaje empleado por la lógica es preciso
y no es ambiguo, te ayudará a entender la estructura de un razonamiento o argumento.
Con las nociones de lógica que trataremos podrás identificar en el enunciado de
propiedades, teoremas, etc., formas o estructuras similares.
Ya en el siglo IV a.C., Aristóteles alude a la lógica como una teoría de la forma de
razonamiento cierto. Algunos de los textos que abordan el estudio de la lógica
coinciden en la siguiente aseveración:
“Lógica es una ciencia formal a la que concierne la determinación de la validez de los
razonamientos”
A medida que avancemos en el tratamiento de las nociones lógicas, lograrás interpretar
el verdadero significado de la expresión anterior.
En general el razonamiento se manifiesta a través de ciertas afirmaciones como por
ejemplo:
“Hoy a las 17 hs vence el plazo de inscripción para el taller de música, puedo llegar
recién a la 18hs. Por lo tanto no podré inscribirme”.
“El producto de dos números enteros es par, entonces alguno de los números es par”.
Podemos decir de ambos enunciados que son válidos en tanto que el siguiente
razonamiento no lo es.
“Todos los alumnos de la Licenciatura en Análisis de Sistemas, cursan Introducción a
la Matemática. Todos los alumnos del Profesorado en Matemática cursan Introducción
a la Matemática. Por lo tanto todos los alumnos de LAS estudian PM”.
Para justificar el por qué un razonamiento es válido y otro no lo es, bastaría con analizar
la forma o estructura de los enunciados dados, pero para ello, es necesario precisar
algunos términos.
Proposición y Valor de verdad
Una proposición es una oración declarativa de la cual tiene sentido decir que es
verdadera (V) o falsa (F).
Ejercicio: Las siguientes son proposiciones. Indica el valor de verdad de cada una.
La capital de Argentina es Buenos Aires.
El cuadrado de tres es seis
16
1
33 =
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 360º

2. El Ing. Norberto Bonini es el actual decano de la facultad de Ciencias Exactas de
la UNS.a.
La raíz cuadrada de –1 no es un número real.
Π= 3,14
132
1
)( 2
+−
=
xx
xP es un polinomio de grado 2
En cambio, de las siguientes oraciones no tiene sentido decir que son verdaderas o
falsas, es decir, no son proposiciones.
Por ejemplo.
¡Qué calor!
¿Podrás llegar a tiempo?
Compra una bicicleta
Más vale pájaro en mano, que cien volando
Podemos designar una proposición y su valor verdad del siguiente modo:
Sea la proposición
p: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 360º
cuyo valor de verdad es:
v (p)=F
Por convención usaremos las letras minúsculas p, q, r, s, t,….para representar
proposiciones.
Negación de una Proposición
Siendo p: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 360º, su negación se
puede expresar del siguiente modo:
~ p: No es cierto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea 360º
~ p: La suma de los ángulos interiores de un triángulo no es 360º
~ p: No es verdad que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea 360º
~ p: Es falso que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea 360º
Los valores de verdad de p y ~ p son opuestos, en el ejemplo anterior tenemos, v (p)=F
y v(~ p)=V.
Podemos entonces decir que, dada cualquier proposición p, se pueden considerar dos
casos.
p ~ p
V F
F V
La anterior es una tabla de verdad y en ella se consideran todos los casos posibles de
acuerdo a los distintos valores de verdad de la o las proposiciones consideradas.

3. Ejercicio: Escribe una proposición y su negación indicando el valor de verdad de cada
una.
Ejercicio: Niega las siguientes proposiciones y determina su valor de verdad
p: El agua en Salta hierve a menos de 100 ºC.
q: 743169169 =+=+=+
r: 3 > -1
Disyunción
Siendo p: Voy a ver la película Juno; q: Voy al recital de Calle 13, tiene sentido la
siguiente expresión:
Voy a ver la película Juno o voy al recital de Calle 13
En esta expresión tenemos dos proposiciones vinculadas mediante el conectivo “o” y se
puede simbolizar por p∨ q. Hemos obtenido una proposición compuesta.
Ahora nos preguntamos: ¿Cuál es el valor de verdad de esta nueva proposición?
Esta proposición compuesta se denomina disyunción y representa una alternativa.
Resulta verdadera si alguna de las dos proposiciones se cumple o se cumplen las dos.
En la tabla de verdad correspondiente a esta operación de disyunción hay que considerar
cuatro casos:
p q p∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Observa que el único caso en que la disyunción resulta falsa es cuando ambas
proposiciones son falsas.
Por ejemplo, la siguiente proposición compuesta “2 < 3 o 2 > 3” es verdadera dado que
2 < 3 es una afirmación verdadera.
La proposición “x2
< 0 o (-2)2
< 0” es falsa dado que las dos proposiciones que la
componen son falsas.
Ejercicio: Enuncia una disyunción verdadera tal que las dos proposiciones
componentes sean verdaderas.
Se puede demostrar construyendo una tabla de verdad, que la proposición p∨ ~ p es
siempre verdadera sin importar quien sea la proposición p, ni su valor de verdad.

4. p ~ p p ∨∨∨∨ ~ p
V F V
F V V
Conjunción
También podemos conectar las dos proposiciones anteriores mediante “y” resultando:
Voy a ver la película Juno y voy al recital de Calle 13
Es una proposición compuesta llamada conjunción. Se simboliza por p ∧ q y se lee “p y
q”.
¿Cuándo la conjunción de dos proposiciones es verdadera?
Veamos la tabla de verdad para la conjunción:
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
Observamos que la conjunción de dos proposiciones es verdadera solo si ambas
proposiciones son verdaderas.
La conjunción “2 es par y 2 es número primo” es verdadera pues la proposición “2 es
par” es verdadera, y la proposición “2 es un número primo” también es verdadera.
Ejercicio: Sea “4 es número par y 4 es un número primo”. ¿Cuál es el valor de verdad
de la conjunción?
Ejercicio: Demuestra construyendo una tabla de verdad que la conjunción p ∧ ~ p es
siempre falsa independientemente del valor de verdad de p.
Implicación o Condicional
En la expresión “Si 2 es un número primo entonces tiene dos divisores positivos”
pueden identificarse dos proposiciones simples.
p: 2 es un número primo
q: 2 tiene dos divisores positivos.
Es decir la expresión tiene la forma, “Si p entonces q” por lo que la proposición se llama
proposición condicional o también implicación, donde p se llama antecedente y q
consecuente. Se simboliza p ⇒ q y se puede leer de diversos modos, algunos de ellos
son:

5. a) Si p entonces q
b) Si p, q
c) p implica q
d) q si p
e) p sólo si q
Es decir la proposición
a) “Si 2 es un número primo entonces tiene dos divisores positivos”,
se puede enunciar también de distintos modos, pero la simbolización es la misma
p ⇒ q.
b) “Si 2 es un número primo, tiene dos divisores positivos”
c) “Que 2 sea un número primo implica que tiene dos divisores positivos”
d) “2 tiene dos divisores positivos, si 2 es un número primo”
e) “2 es un número primo sólo si tiene dos divisores positivos”
Para analizar el valor de verdad de la implicación o condicional consideremos los
siguientes enunciados:
“Si el área del cuadrado es 9 cm2
, entonces su perímetro es de 12 cm.”
“Si 24 es impar entonces el cuadrado de -3 es negativo”
“Si 24 es impar entonces 24 es un número compuesto”
“Si el cuadrilátero es un rectángulo entonces la suma de los ángulos interiores es
240º”
La primera implicación es verdadera pues efectivamente del hecho que el área mida 9
cm2
se deduce que el lado mide 3 cm. y por lo tanto el perímetro 12 cm.
La segunda y tercera implicación resultan verdaderas pues si partimos de una
proposición falsa es lógico pensar que podemos llegar una conclusión correcta o no.
La cuarta implicación es falsa pues si el antecedente es verdadero no es posible
concluir algo falso.
La tabla de verdad para la implicación o condicional es:
p q p⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Observe que la implicación es falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso.

6. Ejercicio: La implicación “2 es par entonces 2+1 es impar “ es verdadera ¿Porqué?
Implicaciones Asociadas
Si la implicación dada es p ⇒ q, a quien también podemos llamar directa, las
implicaciones asociadas con ella son:
p ⇒ q Dada o directa
q ⇒ p Recíproca
∼ q ⇒ ∼ p Contrarrecíproca
∼ p ⇒ ∼ q Contraria
Si la implicación dada o directa es:
“Si el área del cuadrado es 9 cm2
, entonces su perímetro es de 12 cm.”
Llamando p: el área del cuadrado es 9 cm2
; q: el perímetro del cuadrado es 12 cm.”
Se simboliza p ⇒ q y las implicaciones asociadas serían:
p ⇒ q Dada o directa Si el área del cuadrado es 9 cm2
, entonces su perímetro es de 12 cm
q ⇒ p Recíproca Si el perímetro de un cuadrado es 12 cm entonces el área del cuadrado es 9 cm2
∼ q ⇒ ∼ p Contrarrecíproca Si el perímetro de un cuadrado no es 12 cm entonces el área del cuadrado no es 9 cm2
∼ p ⇒ ∼ q Contraria Si el área del cuadrado no es 9 cm2
, entonces su perímetro no es 12 cm
Ejemplo: Si la implicación dada es ∼ q ⇒ p las implicaciones asociadas con ella son:
∼ q ⇒ p Dada o directa
p ⇒ ~ q Recíproca
∼ p ⇒ ∼( ~ q ) Contrarrecíproca
~(∼ q ) ⇒ ~ p Contraria
Puede reemplazar ~(∼∼∼∼ q ) por q dado que sus valores de verdad coinciden.
Compruébelo usted mismo mediante una tabla de verdad.
Doble Implicación, Bicondicional o Equivalencia
La doble implicación es la proposición p ⇔ q que se lee “p si y solo sí q”.
La doble implicación es verdadera solo cuando ambas proposiciones tienen el mismo
valor de verdad es decir, son ambas verdaderas o ambas falsas.
Su tabla de verdad es:

7. p q p ⇔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
p ⇔ q puede también definirse como ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p)
Ejemplos:
“Un triángulo es equilátero si y sólo sí sus tres lados son congruentes”
“3x3 = 6 ⇔ 2.2 = 4”
“-22
= 4 ⇔ -32
= 9
“x=0 ⇔ x2
=0”
“x2
=1⇔ x=1”
La negación, disyunción, conjunción, implicación puede usarse para formar
proposiciones compuestas como la siguiente:
~ p ∧ q ⇒ r ∨ t
Pero para precisar la jerarquía de las operaciones (disyunción, conjunción, etc.), se hace
necesario el uso de paréntesis y corchetes:
~ (p ∧ q) ⇒ (r ∨ t) es una implicación
~ [(p ∧ q) ⇒ (r ∨ t)] es una negación
~ [(p ∧ q) ⇒ r] ∨ t es una disyunción
(~ p) ∧ [q ⇒ ( r ∨ t )] es una conjunción
Observe que en todos los casos, por haber colocado en diferentes posiciones los
paréntesis y los corchetes, se obtienen distintas proposiciones compuestas.
Proposiciones lógicamente equivalentes
Observa la tabla de verdad de la proposición (p ∧ q )⇔ (q ∧ p )
p q (p ∧∧∧∧ q ) (q ∧∧∧∧ p ) (p ∧ q )⇔ (q ∧ p )
V V V V V
V F F F V
F V F F V
F F F F V

8. La tercera y cuarta columna ponen en evidencia que (p ∧ q ) tiene igual valor de verdad
que (q ∧ p ), por lo tanto (p ∧ q ) ⇔ (q ∧ p ) es siempre verdadera . Podemos decir
entonces que (p ∧ q ) es lógicamente equivalente a (q ∧ p ), es decir tienen el mismo
valor de verdad.
Otras proposiciones equivalentes de mucha utilidad son ( p ⇒ q ) con ( ~ q ⇒ ~ p ) ,
es decir, la implicación directa es lógicamente equivalente con la contrarrecíproca.,
tienen el mimo valor de verdad. Se demuestra con la siguiente tabla de valores:
p ~ p q ~ q ( p ⇒⇒⇒⇒ q ) ( ~ q ⇒⇒⇒⇒ ~ p ) ( p ⇒ q )⇔ ( ~ q ⇒ ~ p )
V F V F V V V
V F F V F F V
F V V F V V V
F V F V V V V
Método Directo de Demostración
En este método se asume la verdad del antecedente y se prueba la verdad del
consecuente para que la implicación resulte verdadera (recuerde de la tabla asociada a la
implicación que esta era verdadera cuando tanto antecedente como consecuente son
verdaderos)
Demostremos el siguiente enunciado
La suma de dos números impares es un número par.
Para identificar claramente antecedente y consecuente podemos enunciar así
Si x e y son dos números impares entonces x+y es par
Recordando que un número par se puede simbolizar con 2n, 2p,…, y un número impar
con 2m+1, 2s+1,…resulta:
x = 2n+1 con n є Z, y = 2m+1 con m є Z ⇒ x+y = 2p con p є Z
Demostración:
Partimos del antecedente
Si x = 2n+1 con n є Z, y = 2m+1 con m є Z
Podemos sumar miembro a miembro
x = 2n+1
y = 2m+1
resulta x+y = 2n+1+2m+1 = 2n + 2m + 2
y por propiedad distributiva x+y = 2( n +m + 1)
se demuestra que x+y = 2p con p = n+m+1 є Z ( el consecuente )

9. Bibliografía
“Elementos de lógica simbólica”. Nudler, Telma. Editorial Kapelusz
“Con un poco de lógica”. Bueno María. UPSA
Notas de Introducción a la Matemática. Hibbard, Puga, Valdez. UNSa.
.Algebra I. Rojo Armando Editorial El Ateneo.