Formulario de Lógica
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Formulario de lógica que presenta sus más importantes reglas. Es de utilidad para los estudiantes del área en los niveles bachillerato y universidad. Asimismo, para aquellos estudiantes que ingresarán al nivel superior.
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- 1. FORMULARIO Lógica GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada Proposición lógica simple (o atómica o primitiva) Es una oración que se puede calificar cómo falso o verdadero (pero no ambos). Valor de verdad de una proposición lógica Es la calificación de falso o verdadero, que recibe una proposición lógica. Proposición abierta Una proposición lógica es abierta cuando presenta una variable. No se puede conocer el valor de verdad de una proposición abierta, hasta conocer el valor de la variable. Se usan generalmente para expresar propiedades que cumplen solo ciertos valores de la variable. Proposición compuesta Una proposición compuesta es aquella que se compone de dos (o más) proposiciones simples, unidas por un conector lógico: ∧, ∨, ∨, →, ↔. Tablas de valor de verdad Proposiciones lógicas Conjunción Disyunción Disyunción Exclusiva Implicación Doble implicación ∧ ∨ ∨ → ↔ V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V Proposición lógica Negación ~ V F F V
- 2. FORMULARIO Lógica GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada Definición de Teorema Es una proposición que puede ser demostrada y se compone de Hipótesis y Tesis. Las hipótesis son los supuestos iniciales y la tesis es la conclusión. Teorema: Dos proposiciones son lógicamente equivalentes (o iguales), sí tienen tablas de verdad idénticas. Identidades lógicas Leyes idempotentes ∧ ≡ ∨ ≡ Leyes asociativas ∧ ∧ ≡ ∧ ∧ ∨ ∨ ≡ ∨ ∨ Leyes conmutativas ∧ ≡ ∧ ∨ ≡ ∨ Leyes distributivas ∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨ Leyes de identidad ∧ ≡ ∧ ≡ ∨ ≡ ∨ ≡ Ley de doble negación ~~ ≡ Leyes de complementos ∧ ~ ≡ ~ ≡ ∨ ~ ≡ ~ ≡ Leyes de absorción ∧ ∨ ≡ ∨ ∧ ≡ Leyes de DeMorgan ~ ∧ ≡ ~ ∨ ~ ~ ∨ ≡ ~ ∧ ~ Axiomas ∨ → → ∨ ∨ → ∨ → → ∨ → ∨
- 3. FORMULARIO Lógica GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada Tautologías Son proposiciones lógicas verdaderas para cualesquiera valores de verdad de sus variables. Contradicciones Son proposiciones falsas para cualesquiera valores de verdad de sus variables. Las tres leyes fundamentales del pensamiento Principio de identidad Principio de no contradicción Principio del tercero excluido Si cualquier enunciado es verdadero, entonces es verdadero. Este principio afirma que todo enunciado de la forma: ⊃ es verdadero, es decir, que todo enunciado semejante es una tautología. Ningún enunciado puede ser verdadero y falso a la vez. Este principio afirma que todo enunciado de la forma: ∧∼ es falso. Cualquier enunciado es, o bien verdadero, o bien falso. Este principio afirma que todo enunciado de la forma: ∨∼ es verdadero. Los axiomas y reglas de inferencia deben de cumplir las siguientes condiciones: Independencia Consistencia Plenitud Ninguno de los axiomas se debe poder derivar de los restantes, y además, ninguna de las reglas de inferencia se debe poder derivar de las restantes, en nuestro sistema axiomático. El cuadro de axiomas y las reglas de inferencia admitidas deben dar como resultado solo tautologías de cálculo. Se deben poder derivar todas las tautologías de cálculo a través del cuadro de axiomas y las reglas de inferencia admitidas. Silogismo Un silogismo es un argumento que consta de tres proposiciones, la última de las cuales se deduce necesariamente de las otras dos.
- 4. FORMULARIO Lógica GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada Reglas de Inferencia Modus ponens → ∴ Modus tollens → ~ ∴ ~ Modus tollendo ponens ∨ ~ ∴ Ley de la conjunción ∴ ∧ Ley de simplificación ∧ ∴ (Nota: El resultado podría ser q) Ley de adición ∴ ∨ Donde q es una proposición cualquiera. Silogismo hipotético (regla de intercambio) → → ∴ → Dilema constructivo Dilema destructivo Forma 1 → → ∨ ∴ ∨ Forma 1 → → ∼ ∨ ∼ ∴ ∼ ∨ ∼ Forma 2 → ∧ → ∨ ∴ ∨ Forma 2 → ∧ → ∼ ∨ ∼ ∴ ∼ ∨ ∼ Leyes bicondicionales Disyunción exclusiva ↔ ↔ → ∧ → ↔ ↔ ∧ ∨ ~ ∧ ~ ↔ ↔ ~ ∨ ∨ ↔ ∧ ~ ∨ ~ ∧ ∨ ↔ →
- 5. FORMULARIO Lógica GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada Otras equivalencias lógicas ∧ ↔ ~ ∼ ∨∼ ~ ∼ ∨ ↔ ∧ ~ ~ ∨ ~ ∧ ↔ ~ ∧ ∧ ~ ~ ∧ ∧ ∧ ↔ ∧ ∨ ~ ∧ Dada la condicional… Su recíproca es… Su inversa es… Su contrapositiva es… → → ~ → ~ ~ → ~ CUANTIFICADORES FORMA UNIVERSAL EXISTENCIAL AFIRMATIVA Todos son Algunos son NEGATIVA Ninguno es Algunos no son Definición Un argumento es una afirmación de que una colección dada de proposiciones , , . . . , , llamadas premisas, dan como consecuencia a otra proposición , que se denomina conclusión. Un argumento se denota por: , , . . . , ⊣ Un argumento , , . . . , ⊣ se dice válido, si es verdadera, cuando todas las premisas , , . . . , , sean verdaderas. Un argumento que no es válido se denomina falacia. Teorema: El argumento , , . . . , ⊣ es válido si y sólo si la proposición ∧ ∧. . .∧ → es una tautología. Prueba formal de validez Consiste en deducir la conclusión de un argumento extenso, a partir de sus premisas, mediante una serie de argumentos elementales, cada uno de los cuales se conoce como válido.
- 6. FORMULARIO Lógica GERARDO IGNACIO BONILLA ALFONSO Lic. En Mat. con EME. y Magíster(c) en Estadística Aplicada Demostración de un Teorema Informalmente, podemos decir que una demostración de un teorema es un argumento lógico que le da validez al mismo. Consiste en una sucesión de premisas, tales que cada una de ellas va dando mayor justificación a su validez, siendo la última afirmación, la tesis que queremos demostrar. ESQUEMA DE LAS DEMOSTRACIONES Demostración Directa Demostración por Contrarrecíproca Demostración por Contradicción de una Proposición Proposición: Si p, entonces q. Demostración: Supongamos p. ⋮ Por lo tanto: q. ∎ Proposición: Si p, entonces q. Demostración: por Contrarrecíproca Supongamos ~q. ⋮ Por lo tanto: ~p. ∎ Proposición: P. Demostración: Por Contradicción Supongamos ~ . ⋮ Por lo tanto: r∧ ~r. ∎ Demostración por Contradicción de una Proposición Condicional Demostración de una Proposición Bicondicional Inducción Matemática Proposición: p ⇒ q. Demostración: Por contradicción Supongamos p y ~q. ⋮ Por lo tanto: r∧ ~r. ∎ Proposición: p ⇔ q. Demostración: Demuestre p ⇒ q usando una Demostración directa, por Contrarrecíproca o por Contradicción . Demuestre q ⇒ p usando una Demostración directa, por Contrarrecíproca o por Contradicción . ∎ Proposición: Las proposiciones P 1 , P 2 , P 3 , ..., P n , ... son todas verdaderas. Demostración: por Inducción 1 Se demuestra que P 1 es verdadera. 2 Dado k ≥ 1, se demuestra que P k ⇒ P k+1 es verdadera. Se sigue por Inducción Matemática que cada P n es verdadera. ∎