Este documento introduce conceptos básicos de lógica matemática como proposiciones lógicas, conectivos lógicos, tablas de verdad, implicación, doble implicación, equivalencia lógica, leyes lógicas, razonamientos deductivos y reglas de inferencia. Explica estos conceptos y provee ejemplos para ilustrarlos. El objetivo es proporcionar una guía conceptual sobre lógica matemática para estudiantes de álgebra.

1. I.S.F.D. Albino Sánchez BarrosProfesorado de MatemáticaALGEBRA I Profesores: Mónica Aballay - Alejandro NietoAño 2010

2. Introducción a la Lógica Matemática A través de esta presentación vamos a transitar nuevamente un recorrido conceptual que, sin duda, Uds. ya han recorrido durante, casi, este primer mes de estudio en este espacio de ÁLGEBRA I. Ha sido necesario construir un lenguaje, propio de la lógica, y redactar un conjunto de reglas que sean perfectamente claras y definidas y que estén libres de las ambigüedades que pueden hallarse en nuestro lenguaje corriente.

3. Qué necesitamos conocer?Proposiciones lógicasConectivos lógicos ó términos de enlace de proposicionesOperaciones lógicas. Tablas de verdad. Tipos de resultados de las operaciones lógicas.Equivalencia lógicaLeyes lógicasCondicionales asociados a uno que se considera directo.Razonamientos deductivos. Reglas de InferenciaMétodos de demostración matemáticaCuantificadores.

4. Proposiciones lógicasToda oración a la cual le podamos asignar un valor de verdad puede ser considerada una proposición lógicaHoy es lunesEl jueves pasado no hubo clasesUn cuadrilátero es una figura que tiene cuatro ladosTres es el menor de los números primos.Cada una de ellas simbólicamente podrá ser simbolizada mediante una letra: p, q, r, s, etc.Y mediante un término de enlace se pueden unir o conectar proposiciones simples o atómicas y obtener proposiciones compuestas o moleculares.Por ejemplo: se puede decir Hoy es lunes y el jueves pasado no hubo clases.Simbólicamente escribiríamos: p ^ q

5. Más proposiciones moleculares ó compuestas – TABLAS DE VERDADp v q disyunción o suma lógicap -> q implicación o condicional~ p negaciónp ↔ q doble implicación o bicondicional

6. IMPLICACIÓN O CONDICIONALLas proposiciones p y q se llaman antecedente y consecuente, respectivamente, de la implicación o condicional y no es necesario que el consecuente se derive del antecedente.Por ejemplo: “ Si me pagan el sueldo, ENTONCES pago las deudas” (1)Este enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es obvio que si p es F, es decir, si no cobro el sueldo, quedo liberado del compromiso, y pague o no las deudas la proposición (1) será V. Por lo tanto si el antecedente es F, la implicación es V.Si p es V, en cuyo caso cobro el sueldo, y no pago las deudas, el compromiso no se cumple, y la proposición (1) es entonces F. Si p y q son V, entonces la implicación es V porque el compromiso se cumple.De este modo, la implicación sólo es falsa si el antecedente es V y el consecuente es F.

7. DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONALLa doble implicación sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.La doble implicación puede definirse como la conjunción entre una implicación y su recíproca.

8. Veamos algunos ejemplosabc es triángulo equilátero si y sólo sí es equiángulo.243 es divisible por 3 sí y sólo si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.3-4-5 es una terna pitagórica si y sólo si corresponden a los lados de un triángulo rectángulo. 3 5 4

9. CONDICIONES NECESARIAS Y SUFICIENTESVolvamos a la tabla de valores de verdad de la implicación: Vemos en la misma que hay tres casos en los quees V, y entre ellos hay uno en el que p es V, en el cual resulta q también V. Es evidente que nos referimos a la primera fila de la tabla, y ocurre que si es V y p es V, entonces q es V. Diremos entonces que p es condición suficiente para q.En cambio, si p es F, nada podemos decir acerca de q, porque puede ser V ó F y la implicación seguirá siendo V. Es más cuando q es V, p puede ser V ó F, pero para que sea V siendo p V ¿ qué necesitamos? … que q también lo sea. En ese caso, diremos que q es condición necesaria para p.Por ejemplo: “ Si abc es triángulo equilátero, entonces es isósceles” ( p es condición suficiente para q y q es necesario para p)“ abc es equilátero si y sólo si es equilátero”. En este caso cualquiera de las dos proposiciones es condición necesaria y suficiente para la otra.

10. Leyes lógicas o tautologíasInvolución : ~ (~ p) p Idempotencia: Conmutativa: Asociativa: Distributiva:

11. Más leyes lógicasLeyes de De Morgan:Ley de definición de condicional: Ley del tercero excluido:Ley de simplificación: Leyes de neutralidad: Leyes de absorción:

12. Equivalencia LógicaUna equivalencia lógica puede ser demostrada mediante la construcción de una tabla en la que los resultados ,PARCIALES, de un miembro y otro del equivalente (doble implicación) son equivalentes. Y el resultado FINAL es una TAUTOLOGÍADada la proposición: 1º Result 2º resultado parcial parcial RESULT. FINAL

13. EQUIVALENCIA LÓGICATambién podríamos demostrar la equivalencia lógica mediante las leyes lógicas:(1) (2) (3) (4)De (1) llegamos a (2) por ley de definición de condicionalDe (2) llegamos a (3) por ley de De MorganDe (3) llegamos a (4) por ley de involución.

14. Implicaciones asociadasrecíprocosContra recíprocoscontrariosContra recíprocoscontrariosrecíprocosSea el condicional considerado como un condicional directo, en conexión con él, se presentan otros tres, llamados sus asociados. Los cuales son obtenidos por permutaciones o negaciones del antecedente y consecuente:.Es muy importante tener presente, a partir de este cuadro, que los condicionales contra recíprocos son equivalentes y esto se puede demostrar por los métodos ya analizados.

15. La lógica ¿De qué se trata?La lógica y la matemática han estado estrechamente relacionadas. A partir del siglo XVII y especialmente a mediados del siglo XIX, debido a los progresos de la matemática, la lógica fue adoptando los métodos de aquella (el simbolismo, el cálculo, la axiomatización). A fines del siglo XIX, la relación se invirtió y la lógica matemática pasó a ser concebida como la disciplina que permite inspeccionar los propios procedimientos matemáticos. La lógica deductiva actual proporciona los recursos para justificar la mayor parte de los razonamientos de la matemática que son formalmente correctos.

16. RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOSLa lógica (la llamada lógica deductiva) ofrece herramientas para distinguir los argumentos –razonamientos- que son válidos de los que no lo son.En matemática interesa el tipo de razonamiento llamado deductivo. Llamamos R. D. a un par ordenado donde la primera componente es un conjunto finito de proposiciones, llamadas premisas, y q una proposición, llamada conclusión, la cual deriva de las premisas. Que un razonamiento sea válido quiere decir que, si todas sus premisas son verdaderas, su conclusión no puede ser falsa.

17. Reglas de InferenciaLlamamos regla de inferencia, a todo esquema válido de razonamiento. Toda regla de inferencia es tautológica.modus ponendo ponens modus tollendo tollens silogismo hipotéticomodus tollendo ponens silogismo disyuntivo

18. DemostraciónUn razonamiento deductivo es válido si el condicional cuyo antecedente es la conjunción de las premisas, y el consecuente es la conclusión, es tautológico.Veamos esto usando el modus tollendo tollens:La disposición que utilizaríamos entre las premisas y la conclusión para demostrarlo sería:

19. Veamos algunos enunciados:Pueden también llamarse argumentos:Siempre que se acercan las elecciones, se intensifican las campañas proselitistas de los candidatos. Estamos próximos a las elecciones. Por lo tanto se intensifican las campañas proselitistas de los candidatos. Si la Argentina baja su tasa de desempleo, entonces mejora la calidad de vida de su población. Es cierto que la Argentina baja su tasas de desempleo. A su vez, la distribución de la riqueza en la argentina es inequitativa. En consecuencia, en la Argentina mejora la calidad de vida de la población, pero la distribución de la riqueza es inequitativa.

20. Bibliografía:Rojo, Armando, Algebra I, capítulo I, 21º edición, editoriales magister eos y estudio sigma, Bs. As. 2006.Suppes P. , Hill S., Introducción a la lógica matemática, Edición económica, edit. Reverté, México, 2004.Revista Novedades Educativas Nº 226, La lógica ¿De qué se trata?, octubre 2009.