Este documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo: 1) Ecuaciones diferenciales exactas, donde la expresión es la derivada de una función f(x,y). 2) Ecuaciones exactas por factor integrante, donde un factor μ hace que la expresión sea exacta. 3) Ecuaciones diferenciales lineales, que pueden resolverse como la suma de soluciones homogéneas y particulares. 4) El método general para resolver ecuaciones lineales involucra identificar el factor integrante epx(

1. 2253615205105<br />Ecuaciones Diferenciales de primer ordenExactas, Factor integrante, Lineales y de Bernoulli 04/03/2011Centro de Enseñanza Técnica IndustrialLeón G. Luis AngelNo. Registro: 10310209Salón: B 212<br />Ecuaciones Diferenciales Exactas<br />Introducción:<br />Si bien la ecuación simple de primer orden ydx+xdy=0 es separable, se puede resolver la ecuación de una manera alternativa reconociendo que la expresión del lado izquierdo de la igualdad es la diferencial de la función fx,y=xy ; es decir,dxy=ydx+xdy. En esta sección se examinan ecuaciones de primer orden en la forma diferencial Mx,ydx+Nx,ydy=0 . Al aplicar una prueba simple a M y N, se determina si Mx,ydx+Nx,ydy es una diferencial de una función fx,y. Si la respuesta es afirmativa, f se construye mediante integración parcial.<br />Sea la expresión:<br />//forma ordinaria<br />Mx,ydx+Nx,ydy=0<br />Se dice que es exacta si:<br />//la derivada parcial de M respecto a y es igual a la derivada de N respecto a x.<br />∂M∂y=∂N∂x<br />Existen varios procesos algebraicos para resolver la ecuación exacta, se resume mediante la expresión matemática:<br />fx,y=Mx,ydx+[Nx,y-∂∂yMx,ydx]dy<br />Ejemplo:Solución de una ED Exacta <br />2xydx+x2-1dy=0<br />//la derivada parcial de M respecto a y es 2x<br />∂M∂y2xy=2x<br /> //la derivada parcial de N respecto a x es 2x∂N∂xx-1=2x<br />//por lo tanto si es exacta<br />∂y∂x=∂y∂x<br />//sustituimos Mx,y y N(x,y) en la fórmula<br />fx,y=2xydx+x2-1-∂∂y2xydx]dy<br />//resolvemos la primera y la última Integración (que si nos damos cuenta, es la misma) <br />fx,y=x2y+[(x2-1)-∂∂y(x2y)]dy<br /> //realizamos la derivada parcial del resultado de la última integración<br />x2y+x2-1-x2dy<br />//simplificamos <br />x2y-dy <br />//integramos y este es el resultado<br />x2y-y+c<br />Ecuaciones Diferenciales Exactas por factor integrante<br />Sea la expresión:<br />//forma ordinaria<br />Mx,ydx+Nx,ydy=0 <br /> <br />//no es exacta<br />∂M∂y≠∂N∂x<br />μ(x,y) sea el factor que le permita a la expresión ser exacta.<br />μ=epxdx ó μ=epxdx<br />px=My-NxN px=Ny-MxM<br />Ejemplo:Solución de una ED Exacta por factor integrante<br />//forma ordinaria<br />3x2ydx+ydy=0<br />//donde<br />Mx,y=3x2y<br />Nx,y=y<br />//obtenemos la derivada parcial de M respecto a y∂M∂x3x2y=3x2<br />//obtenemos la derivada parcial de N respecto a x<br />∂N∂xy=0<br />//observamos que ambas derivadas no son iguales o que la expresión no es exacta<br />∂M∂y≠∂N∂x<br /> <br />//Ahora nos enfocaremos a obtener el factor integrante aplicando la primera formula, pero nos damos cuenta de que no nos sirve, debido a que el resultado debe estar, en este caso, en términos sólo de x.<br />px=3x2-0y=3x2y<br />//aplicando la segunda fórmula, nos damos cuenta de que efectivamente nos sirve, porque en este caso el resultado está en términos de y como debe serlo.<br />py=0-3x23x2y=-1y<br />//Obtenemos el factor integrante con su respectiva fórmula<br />μ=e-dyy=e-lny=elny-1=y-1=1y<br />//multiplicamos toda la expresión por el factor integrante<br />1y(3x2ydx+ydy=0)<br />//simplificando<br />3x2+dy=0<br />//derivamos parcialmente a M respecto a y,<br />//derivamos parcialmente N respecto a x<br />//nos damos cuenta de que el factor integrante permitió a la expresión ser exacta <br />∂M∂x3x2=0<br />∂N∂x1=0<br />//aplicamos la formula (es la misma fórmula que la de las exactas)<br />fx,y=3x2dx+[1-∂∂y3x2dx]dy<br />//resolvemos la primera y la ultima integral (que, como habíamos dicho anteriormente, se trata de la misma integral)<br />fx,y=x3+[1-∂∂yx3]dy<br />//derivamos parcialmente a x3 respecto a y fx,y=x3+dy<br />//integramos y listo<br />fx,y=x3+y+c<br />Ecuaciones Diferenciales Lineales<br />Introducción: <br />Al examinar las ecuaciones lineales se continúa con la búsqueda de las soluciones de las ED de primer orden. Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia en particular “amigable” de ecuaciones diferenciales en el sentido que, dad una ecuación lineal, ya sea de primer orden o de orden superior, siempre hay una buena probabilidad de que se pueda encontrar algún tipo de solución de la ecuación que se pueda considerar.<br />Definición:<br />Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma<br />a1xdydx+a0xy=gx (1) <br />es una ecuación lineal en la variable dependiente y.<br />Cuando g(x) = 0, se dice que la ecuación lineal (1) es homogénea; de lo contrario, es no homogénea.<br />Forma estándar:<br />Al dividir ambos lados de (1) entre el coeficiente principal a1(x), se obtiene una forma más útil, la forma estándar, de una ecuación lineal:<br />dydx+Pxy=fx (2)<br />Se busca una solución de (2) en un intervalo I para el cual ambas funciones coeficiente P y f son continuas.<br />En la descripción que se hace a continuación se ilustra una propiedad y un procedimiento y se termina con una fórmula que representa la forma que debe tener toda solución de (2). Pero más que una fórmula, la propiedad y el procedimiento son importantes, porque estos dos conceptos llevan a las ecuaciones lineales de orden superior.<br />Propiedad:<br />La ecuación diferencial (2) tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones: y=yc+yp donde yc es una solución de la ecuación homogénea afín<br />dydx+Px=0 3<br />y yp es una solución particular de la ecuación no homogénea (2). Para ver esto, observe que <br />ddxyc+yp+Pxyc+yp=dycdx+P(x)yc+dypdx+Pxyp=f(x)<br /> 0f(x)<br />Ahora la ecuación no homogénea (3) también es separable. Este hecho permite encontrar yc al escribir la ecuación (3) como<br />dydx+Pxdx=0<br />e integrar. Resolviendo para y, se obtiene yc=ce-pxdx. Por conveniencia se escribirá yc=cy1(x), donde y1=e-pxdx. El hecho de que dy1dx+Pxy1=0se usará a continuación para determinar yp.<br />Procedimiento<br />Ahora se puede hallar una solución particular de la ecuación (2) mediante un procedimiento que se conoce como variación de parámetros. La idea básica en este caso es encontrar una función µ de modo que yp=μxy1x=μ(x)e-pxdx sea una solución de (2). En otras palabras, la suposición para yp es la misma que yc=cy1(x) excepto que c se sustituye por el “parámetro variable” µ. Al sustituiryp=μy1 en (2), se obtiene<br />Regla del producto<br />μdy1dx+y1dudx+Pxμy1=f(x)<br />ó<br /> cero<br />μdy1dx+P(x)y1+y1dudx=f(x)<br />por tanto y1dudx=f(x)<br />Luego de separar variables e integrar, se obtiene <br />du=f(x)y1(x)dx y μ=f(x)y1(x)dx<br />Como y1x=e-pxdx, se ve que 1y1(x)=epxdx. Por consiguiente,<br />yp=μy1=f(x)y1(x)dxe-pxdx=e-pxdxepxdxfxdx,<br />y<br />y=ce-pxdx+e-pxdxepxdxfxdx (4)<br /> yc yp<br />Por consiguiente, si (2) tiene una solución, ésta debe ser de la forma (4). Por el contrario, es un ejercicio directo en la diferenciación comprobar que (4) constituye una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (2).<br />No debe memorizar la fórmula que se proporciona en (4). Sin embargo, deberá recordar el término especial<br />epxdx (5)<br />porque se emplea en una forma equivalente pero más fácil de resolver (2). Si la ecuación (4) se multiplica por la ecuación (5),<br />epxdxy=c+epxdxfxdx (6)<br />y luego se deriva la ecuación (6)<br />ddxepxdxy=epxdxfx (7)<br />se obtiene<br />epxdxdydx+Pxepxdxy=epxdxfx (8)<br />Al dividir el último resultado entre epxdx, se obtiene la ecuación (2).<br />Método de solución<br />El método que se recomienda para resolver la ecuación (2) consiste en realidad en (6) a (8) resueltas en orden inverso. En otras palabras, si (2) se multiplica por la ecuación (5), se obtiene (8). El lado izquierdo de (8) se reconoce como la antiderivada del producto de epxdx y y. Esto da lugar a (7). A continuación se integran ambos lados de la ecuación (7) para obtener la solución (6). Debido a que la ecuación (2) se resuelve integrando después de multiplicar por epxdx, a esta función se le denomina factor integrante para la ecuación diferencial (este factor integrante se obtiene mediante otro procedimiento que aquí no se especifica). Por conveniencia se resume estos resultados, De nuevo se insiste en que no es necesario memorizar la fórmula (4) sino seguir cada vez el siguiente procedimiento.<br />Solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden<br />1.Escriba una ecuación lineal de la forma (1) en la forma estándar (2) <br />2.Identifique, a partir de la forma estándar, P(x) y luego determine el factor integrante epxdx<br />3.Multiplique la forma estándar de la ecuación por el factor integrante.<br />El lado izquierdo de la ecuación resultante es automáticamente la derivada del factor integrante y y:<br />ddxepxdx y=epxdx f(x)<br />4.Integre ambos lados de ésta última ecuación.<br />Ejemplo 1Solución de una ED lineal homogénea<br />Resuelva<br /> dydx-3y=0<br />Solución<br />Esta ecuación lineal puede resolverse por separación de variables. Por otro lado, como la ecuación ya está en la forma estándar (2), se observa que Px= -3y y, por tanto, el factor integrante es e(-3)dx=e-3x. Se multiplica la ecuación por este factor y se reconoce que<br />e-3xdydx-3e-3xy=0es lo mismo que ddxe-3xy=0<br />Al integrar ambos lados de la última ecuación se obtiene e-3xy=c. Al despejar y se obtiene la solución explícita y=ce3x, - ∞ < x < ∞.<br />Ejemplo 2Solución de una ED lineal no homogénea<br />Resuelva <br />dydx-3y=6<br />Solución:<br />596265398780La ecuación homogénea relacionada para ésta ED se resolvió en el ejemplo 1. De nuevo la ecuación ya está en la forma estándar (2), y el factor integrante aún es e-3dx=e-3x . Esta vez se multiplica la ecuación por este factor, y se obtiene<br />e-3xdydx-3e-3xy=6e-3x, que es lo mismo que ddxe-3xy=6e-3x<br />Al integrar ambos lados de la última ecuación, se obtiene e-3xy=-2e-3x+c, o bien, y=-2+ce-3x, - ∞ < x < ∞.<br />La solución final del Ejemplo 2 es la suma de las dos soluciones: y= yc+yp, donde yc=ce3x es la solución de la ecuación homogénea del Ejemplo 1 y yp=-2 es una solución particular de la ecuación no homogénea y'=-3y=6. No es necesario preocuparse acerca de su una ecuación lineal es homogénea o no homogénea; cuando se sigue el procedimiento de solución descrito antes, una solución de la ecuación no homogénea necesariamente resulta ser y= yc+yp. Sin embargo, la distinción entre resolver una ED lineal homogénea y una no homogénea cobra importancia cuando se resuelven ecuaciones lineales de orden superior.<br />Ecuaciones de Bernoulli<br />La ecuación diferencial<br />dvdx+Pxy=fxyn(1)<br />donde n es cualquier número real, se llama ecuación de Bernoulli. Observe que par n=0 y n=1 la ecuación (1) es lineal. Para n≠0 y n≠1 la sustitución μ=y1-n reduce cualquier ecuación de la forma (1) en una ecuación lineal.<br />EjemploSolución de una ED de Bernoulli<br />Resuelva <br />xdydx+y=x2y2<br />Solución:<br />Primero la ecuación se escribe de nuevo como<br />dydx+1xy=xy2<br />dividido por x. Con n = 2 tenemos u=y-1 o y=u-1. Entonces sustituimos<br />dydx=dydududx=-u-2dudx Regla de la cadena<br />en la ecuación dada y se simplifica. El resultado es<br />dudx-1xu=-x<br />