Teoria Preeliminar de las ecuaciones diferenciales

1. Universidad Autónoma de Baja California UABC
Facultad de Ingeniería Mexicali
1.2 Teoría Preeliminar
DEFINICION Solución de una ecuación diferencial
Cualquier función φ definida en un intervalo I que posee al menos n derivadas continuas
en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n reduce la
ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo.
Solución explícita
Una solución en que la variable dependiente se expresa tan sólo en términos de la
variable independiente y constantes se llama Solución explícita.
Ejemplo 1
dy
Demuestre que ϕ ( x) = e 3 x es una solución explícita de = 3y
dx
Ejemplo 2
2
Demuestre que ϕ ( x) = x 2 – x –1 es una solución explícita de y ′′( x) – y ( x) = 0
x2
Solución Implícita
Se dice que una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de la ecuación
⎛ dy dny⎞
F ⎜ x, y, ,.... n ⎟ en el intervalo I, si define una o más soluciones explícitas.
⎜
⎝ dx dx ⎟
⎠
Ejemplo:
Demuestre que:
dy 3 x 2
y 2 – x 3 + 8 = 0 es una solución implícita de = en el intervalo (2, α )
dx 2 y
Problema de valor inicial
Un problema de valor inicial de una ecuación diferencial de enésimo orden
⎛ dy dny⎞
F ⎜ x, y, ,.... n ⎟
⎜
⎝ dx dx ⎟
⎠
Significa: encontrar una solución de la ecuación diferencial en un intervalo I que
satisfaga en Xo las n condiciones iniciales.
y ( x0 ) = y 0
dy
( x0 ) = y1
dx
.
.
d n –1 y
( x0 ) = y n –1
dx n –1
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donde x0 ,pertenece a I; y y 0 , y1 ,…… y n –1 son constantes dadas.
Nota: El término de condiciones iniciales proviene de la mecánica, en donde y ( x0 ) = y 0 normalmente
representa la ubicación de un objeto en el tiempo; dy ( x0 ) = y proporciona la velocidad del objeto en el
1
dx
mismo tiempo.
Ejemplo:
Demuestre que ϕ ( x) = sen( x) – cos( x) es una solución del problema de valor inicial
d2y
+ y = 0;
dx 2
y (0) = –1
y ′(0) = 1
Por lo común, una ecuación diferencial posee infinidad de soluciones. En contraste, hay
teoremas que aseguran que existe una solución única para ciertos problemas de valor
inicial en los cuales se requiere encontrar una solución de la ecuación diferencial
satisfaga condiciones iniciales dadas.
Ejemplo:
La función ϕ ( x) = c1e – x + c 2 e 2 x es una solución de:
d 2 y dy
– – 2y = 0
dx 2 dx
Determine las constantes c1 y c2 de tal manera que se cumplan las condiciones
iniciales:
y (0) = 2
dy
(0) = –3
dx
dϕ
Solución: Para determinar las constantes c1 y c2, primero se calcula , de tal manera
dx
que obtenemos:
dϕ
= – c1e – x + 2c 2 e 2 x
dx
La sustitución en las condiciones iniciales da como resultado el siguiente sistema de
ecuaciones:
ϕ (0) = c1e 0 + c 2 e 0 = 2 c1 + c 2 = 2
dϕ da las sig. Ecs.
(0) = – c1e + 2c 2 e = –3
0 0
– c1 + 2c 2 = –3
dx
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Por lo que finalmente la solución es c1= y c2= –
3 3
TEOREMA Existencia y unicidad de una solución.
Dado el problema de valor inicial
dy
= f ( x, y ), y y ( x0 ) = y 0
dx
∂f
Supóngase que f ( x, y ) y son funciones continuas en un rectángulo
dy
R = {( x, y ) : a < x < b, c < y < d }
que contienen al punto (xo,yo). Entonces el problema de valor inicial tiene una solución
única ϕ (x) en algún intervalo xo–h < x < xo+h, donde h es un número positivo.
Ejemplo:
Para el problema de valor inicial:
dy
= x 2 – xy 3 y (1) = 6
dx
Implica el teorema anterior la existencia de una solución única?
∂f
En este caso f ( x, y ) = x 2 – xy 3 y = –3 xy 2 . Puesto que ambas funciones son
∂x
continuas en cualquier rectángulo que contenga al punto (1,6), se cumplen las hipótesis
del teorema anterior. Entonces, de el teorema de existencia y unicidad se deduce que el
problema de valor inicial posee una solución única en un intervalo con centro x=1 de la
forma (1–h, 1+h), donde h es algún número positivo.
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