Algebra de Boole

1. Capítulo 2 - 3
ÁLGEBRA DE BOOLE
Arquitectura de
Computadores

2. • POSTULADOS
• TEOREMAS
• FUNCIONES
• REPRESENTACIÓN
• SIMPLIFICACIÓN
• PROBLEMAS
ALGEBRA DE BOOLE

3. 3
ALGEBRA DE BOOLE
• Son las matemáticas de los sistemas
digitales
• Definición:
– Es una estructura algebraica (B, +, *) formada
por un conjunto B de variables binarias y dos
operaciones definidas sobre B (suma y
producto) que cumplen con unos
determinados postulados

4. POSTULADOS

5. 5
POSTULADOS
1) Ambas operaciones son conmutativas
1.1) a + b = b + a
1.2) a * b = b * a
2) Existen dos elementos neutros, el cero (0)
y el uno (1)
2.1) a + 0 = a
2.2 ) a * 1 = a
a
b
a
a
a
b
b
b
=
=
a
a
0
1 a
a
=
=

6. 6
POSTULADOS
3) Cada operación es distributiva
respecto a la otra
3.1) a * ( b + c ) = a * b + a * c
3.2) a + ( b * c ) = a + b * a + c
4) Para cada elemento “a” del álgebra
existe un único elemento “a”
(complemento) tal que
4.1) a + a = 1
4.2) a * a = 0
a
a
b
b
a
a
b
c
c
c
a
a
b c
=
=
a
a
a
a =
=
1
0

7. TEOREMAS

8. 8
TEOREMAS
1. Obsérvese que los postulados se presentan en pares. Si se les
examina cuidadosamente, se observa que en cada caso, un
postulado del par se puede obtener a partir del otro, intercambiando
ceros por unos y suma por producto
a + 0 = a
a * 1 = a
2. Para cada elemento del álgebra se verifica que :
a + 1 = 1
a * 0 = 0
3. Para cada elemento a del álgebra se verifica que :
a + a = a
a * a = a

9. 9
4. Las operaciones suma y producto son asociativas:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = a + b + c
a * ( b * c ) = ( a * b ) * c = a * b * c
5. Para cada par de elementos a y b del álgebra de Boole se verifica que:
a + ( a * b ) = a  Absorcion
a * ( a + b ) = a
6. Para todo complemento de a se verifica que “
a = a  Involucion
7. En el álgebra de Boole se verifica que :
a + b + c + d + ...... = a * b * c * d * .....  Ley Morgan
a * b * c * d * ...... = a + b + c + d + .....
TEOREMAS

10. FUNCIONES

11. 11
FUNCIONES
Una variable booleana es la que representa
cualquier elemento del conjunto B sobre el que
se ha definido el álgebra de Boole
Una función es una variable binaria cuyo valor
depende de una expresión algebraica en la que
se relacionan entre si variables binarias por
medio de operaciones básicas, suma, producto
e inversión. La representación es de la forma
F (a,b,c,..) donde a, b, c, ... son variables
binarias que cumplen con el álgebra de Boole.

12. 12
En el álgebra de Boole:
B = { 0 , 1 }
+ => Suma lógica (OR)
* => Producto lógico (AND)
a b a+b a*b
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 1
FUNCIONES

13. 13
Termino canónico : todo producto o suma en la que aparecen mencionadas
todas las variables de la función, ya sea en su forma directa o inversa
suma canónica de las variables a,b,c ==> a + b + c
producto canónico de las variables a,b,c ==> a * b * c
El numero máximo de sumas o productos será de 2n, siendo n el numero de
variables. Para mayor facilidad de representación, se representa el termino
canónico mediante un numero decimal equivalente al binario obtenido
de sustituir las variables por 0 y 1 según algún criterio.
d * c * b * a ==> 0 1 1 0 ==> 610
d + c + b + a ==> 1 0 1 0 ==> 1010
De esta manera la función lógica
F (a,b,c) = a * b * c + a * b * c + a * b * c
Se puede expresar como F(a,b,c) = ∑ ( 2, 3, 5 )
Y la función lógica
F (a,b,c) = a + b + c * a + b + c * a + b + c
Se puede expresar como F(a,b,c) = π ( 4, 2, 7 )
Los símbolos ∑ y π representan suma de productos en el primer caso y
producto de sumas para el segundo.
FUNCIONES

14. 14
 Tabla de verdad de una función lógica:
es una forma de representación de la misma, en la cual
se indican los valores que toma la función para cada una
de las combinaciones posibles.
 Ejemplo
F(a,b) = a * b + a * b = ∑ ( 0, 2 )
F(a,b) = (a + b) * (a + b) = π ( 1, 3 )
a b F
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 0
FUNCIONES

15. REPRESENTACIÓN

16. 16
– Suma de productos:
• Buscar los grupos de ‘1’ contiguos (no incluir ‘0’)
El numero de ‘1’ en un grupo es 2n
Se permiten filas columnas o rectángulos
Se puede conectar por los bordes
• Tomar primero el grupo con mas unos
• Los demás grupos deben tomar al menos un ‘1’
nuevo, aunque haya solapes
• En cada grupo las variables que cambian son las
que desaparecen al simplificar
– Producto de suma:
• Ídem al anterior pero con los ‘0’
Representación de funciones

17. SIMPLIFICACIÓN

18. 18
– Reducción algebraica
• Aplicando los teoremas del algebra de boole
– Mapas de Karnaugh
• Método grafico, aplicable a funciones de hasta 6
variables
Simplificación de funciones

19. 19
Método de reducción algebraica
F(a,b,c) = a * b * c + a * b * c + a * b * c + a * b * c
= a * b * ( c + c ) + a * b * c + a * b * c
Aplicando propiedad asociativa
= a * b * 1 + a * b * c + a * b * c
= a * b + a * b * c + a * b * c Nótese que el termino
c que se encontraba en
su forma directa e inversa
se puede eliminar
Simplificación de funciones

20. 20
Mapa de Karnaugh : método de simplificación
grafico
Numero de celdas: equivale al numero de
términos de la tabla de verdad
Codificación: dos celdas adyacentes no
pueden variar en mas de 1 bit
B
A
0 1
0 0 1
1 2 3
BC
A
00 01 11 10
0 0 1 3 2
1 4 5 7 6
2 variables
3 variables
Solo cambia
el bit b
1 --> 0
Simplificación de funciones

21. BC
A
00 01 11 10
0 0
1
1
1
3 2
1 4
1
5 7 6
1 21
Representación de funciones en el mapa
Asignar un ‘1’ a las celdas correspondientes al
código de cada termino al resto asignar ‘0’
Ejemplo:
F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C + A B C
0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0
Simplificación de funciones

22. 22
FUNCIONES EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE
ab
cd 00 01 11 10
00 1 1 1
01 1 1
11 1 1
10 1
Este
grupo
no
aporta
nuevos
‘1’

23. 23
FUNCIONES EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE
Expresión como suma de productos
Expresión como productos de suma
ab
cd 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 0 0
11 1 1 1 1
10 1 1 1 1
ab
cd 00 01 11 10
00 1 0 0 1
01 0 1 0 0
11 1 1 1 1
10 1 1 1 11
F(a,b,c,d) = Σ(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)
F = c + a b d + b d
F = (b + c + d)(a + c + d)(b + c + d)

24. 24
FUNCIONES EN EL ÁLGEBRA DE BOOLE
Funciones incompletamente especificadas
ab
C 00 01 11 10
0 1 1 0 0
1 1 x 0 0
F(a,b,c,d) = Σ( 0, 1, 2, 4 )
Considerando la x como ‘0’
F = a c + a b
a b c F
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 X
1 0 0 0
1 0 1 0
. . . 0
Considerando la x como ‘1’
F = a
ab
C 00 01 11 10
0 1 1 0 0
1 1 x 0 0

25. PROBLEMAS