Este documento describe los métodos de regresión lineal múltiple para analizar la asociación entre una variable dependiente y múltiples variables independientes. Explica cómo se pueden incluir variables cuantitativas y cualitativas en un modelo de regresión, y cómo se estiman los parámetros del modelo usando el método de mínimos cuadrados. También describe cómo organizar los datos en matrices para facilitar la resolución de las ecuaciones de regresión.
Este documento contiene exámenes resueltos de la asignatura Matemáticas para Economistas IV de los años 2000 a 2009. Incluye problemas sobre álgebra lineal (formas cuadráticas), análisis convexo (convexidad, diferenciabilidad y convexidad/concavidad), optimización y convexidad (propiedades extremales de funciones convexas/cóncavas, programación no lineal y lineal). Cada examen presenta los problemas sin resolver y luego las soluciones completas para que los estudiantes puedan autoevaluarse.
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Este documento presenta un resumen de los conceptos de máximos y mínimos de funciones de varias variables. Explica criterios como el de la segunda derivada y la matriz hessiana para determinar extremos locales de funciones. También cubre temas de máximos y mínimos sujetos a restricciones usando los métodos de multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Este documento describe varias distribuciones estadísticas como la distribución de Fisher, la distribución t de Student y la distribución chi-cuadrada. Explica sus características, cómo se usan sus tablas y algunos ejemplos de aplicaciones como comparar varianzas, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.
Este documento presenta una introducción al álgebra lineal. En el capítulo 1 se define la noción de matriz y se estudian sus propiedades algebraicas. Se analizan también los sistemas de ecuaciones lineales y las operaciones elementales sobre matrices. Los capítulos siguientes tratan conceptos como determinantes, espacios vectoriales, transformaciones lineales, autovalores y autovectores. El objetivo general es iniciar al estudiante en los fundamentos del álgebra lineal.
Semana 1. introduccion a las ecuaciones diferencialesnidia maldonado
1) Este documento introduce las ecuaciones diferenciales, explicando qué son, cómo se clasifican y notaciones comunes. 2) Una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Se clasifican por tipo, orden y linealidad. 3) Las ecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de variables dependientes de una sola variable independiente, mientras que las parciales contienen derivadas parciales de variables dependientes de dos o más variables independientes.
1) El documento presenta tres ejemplos de espacios vectoriales: Rn, el espacio de los polinomios de grado ≤ 2 (P2), y el conjunto G de polinomios de grado exactamente 3. Rn y P2 cumplen las propiedades de un espacio vectorial, mientras que G no lo es debido a que la suma de dos elementos puede dar como resultado un polinomio de grado distinto a 3.
Construccion de graficas y ecuaciones empiricasJhonás A. Vega
El documento resume tres experimentos realizados en la Universidad Nacional del Santa sobre la construcción de gráficas y ecuaciones empíricas. El primer experimento estudia la ley de Hooke y muestra una relación lineal entre la deformación de un resorte y el peso aplicado. El segundo analiza la caída libre de los cuerpos y encuentra una relación potencial entre el tiempo y la distancia recorrida. El tercer experimento examina la descarga de un condensador y determina una relación exponencial entre el tiempo de descarga y la diferencia de potencial.
Este documento contiene exámenes resueltos de la asignatura Matemáticas para Economistas IV de los años 2000 a 2009. Incluye problemas sobre álgebra lineal (formas cuadráticas), análisis convexo (convexidad, diferenciabilidad y convexidad/concavidad), optimización y convexidad (propiedades extremales de funciones convexas/cóncavas, programación no lineal y lineal). Cada examen presenta los problemas sin resolver y luego las soluciones completas para que los estudiantes puedan autoevaluarse.
Máximos y Mínimos de una función de varias variableslobi7o
Este documento presenta un resumen de los conceptos de máximos y mínimos de funciones de varias variables. Explica criterios como el de la segunda derivada y la matriz hessiana para determinar extremos locales de funciones. También cubre temas de máximos y mínimos sujetos a restricciones usando los métodos de multiplicadores de Lagrange y condiciones de Kuhn-Tucker.
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Este documento describe varias distribuciones estadísticas como la distribución de Fisher, la distribución t de Student y la distribución chi-cuadrada. Explica sus características, cómo se usan sus tablas y algunos ejemplos de aplicaciones como comparar varianzas, intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.
Este documento presenta una introducción al álgebra lineal. En el capítulo 1 se define la noción de matriz y se estudian sus propiedades algebraicas. Se analizan también los sistemas de ecuaciones lineales y las operaciones elementales sobre matrices. Los capítulos siguientes tratan conceptos como determinantes, espacios vectoriales, transformaciones lineales, autovalores y autovectores. El objetivo general es iniciar al estudiante en los fundamentos del álgebra lineal.
Semana 1. introduccion a las ecuaciones diferencialesnidia maldonado
1) Este documento introduce las ecuaciones diferenciales, explicando qué son, cómo se clasifican y notaciones comunes. 2) Una ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Se clasifican por tipo, orden y linealidad. 3) Las ecuaciones diferenciales ordinarias contienen derivadas de variables dependientes de una sola variable independiente, mientras que las parciales contienen derivadas parciales de variables dependientes de dos o más variables independientes.
1) El documento presenta tres ejemplos de espacios vectoriales: Rn, el espacio de los polinomios de grado ≤ 2 (P2), y el conjunto G de polinomios de grado exactamente 3. Rn y P2 cumplen las propiedades de un espacio vectorial, mientras que G no lo es debido a que la suma de dos elementos puede dar como resultado un polinomio de grado distinto a 3.
Construccion de graficas y ecuaciones empiricasJhonás A. Vega
El documento resume tres experimentos realizados en la Universidad Nacional del Santa sobre la construcción de gráficas y ecuaciones empíricas. El primer experimento estudia la ley de Hooke y muestra una relación lineal entre la deformación de un resorte y el peso aplicado. El segundo analiza la caída libre de los cuerpos y encuentra una relación potencial entre el tiempo y la distancia recorrida. El tercer experimento examina la descarga de un condensador y determina una relación exponencial entre el tiempo de descarga y la diferencia de potencial.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Sea X un solo valor que se muestrea de una población normal con media m. Si se conoce la desviación estándar s, entonces un intervalo de confianza de nivel 100(1-α)% para m es X ± zα/2s.
Este documento presenta 8 ejercicios de prueba de hipótesis realizados por un estudiante. Cada ejercicio describe un escenario de ingeniería e incluye datos de una o más muestras para probar hipótesis sobre medias poblacionales usando pruebas Z e intervalos de confianza.
Este documento define la ecuación de Cauchy-Euler como una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de derivación. Explica tres métodos para resolverla dependiendo si las raíces son reales distintas, reales iguales o complejas. Incluye ejemplos ilustrativos de cada caso.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales que preservan las operaciones de suma y multiplicación por escalares. El método de Gauss-Jordán permite resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación de la matriz correspondiente a una forma reducida. El núcleo de una transformación lineal contiene los vectores cuya imagen es el vector nulo, mientras que la imagen contiene las imágenes de los puntos del dominio.
tarea 1, ejercicios de probabilidad con respuestasIPN
Este documento presenta 19 ejercicios sobre probabilidad y teoría de conjuntos. Los ejercicios involucran la definición y descripción de espacios muestrales y eventos, así como el cálculo de intersecciones y uniones de eventos. Algunos ejercicios piden listar los elementos de diferentes eventos, mientras que otros solicitan diagramas de Venn o árboles para ilustrar las relaciones entre eventos. El documento proporciona múltiples ejemplos detallados sobre cómo modelar problemas probabilísticos utilizando la teor
Este documento presenta preguntas y ejercicios sobre diseño de experimentos. Explica las ventajas del diseño de experimentos sobre prueba y error, define conceptos como variable de respuesta y factor estudiado, y describe etapas clave como la planeación del experimento. También cubre temas como aleatorización, bloqueo, y análisis de varianza para el análisis de datos experimentales.
Tarea 10 de probabilidad y estadistica con respuestaIPN
TEMAS: PROBABILIDAD DISCRETA (DISTRIBUCION GEOMETRICA Y DISTRIBUCION BINOMIAL, DISTRIBUCION DE POISSON Y NEGATIVA) Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
Este documento presenta información sobre transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Define una transformación lineal como una función entre espacios vectoriales que transforma un espacio en otro. Explica conceptos clave como núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal. También incluye ejemplos y teoremas sobre propiedades de transformaciones lineales.
1. The document contains a table of critical values for the F distribution with an alpha value of 0.05.
2. The table lists the critical values across different degrees of freedom for the numerator and denominator.
3. Critical values range from 161.4 to 249.3 depending on the degrees of freedom.
El propósito del análisis de regresión es estudiar la dependencia de una variable (variable dependiente) respecto a una o más variables (variables independientes) y cuantificar la relación entre ellas. En un análisis de regresión, la variable dependiente es aquella cuyos valores cambian en función de los valores de las variables independientes, mientras que las variables independientes son aquellas que producen cambios en la variable dependiente. El análisis de regresión utiliza el método de mínimos cuadrados para ajustar una línea a los datos y predecir valores de
Este documento presenta un resumen de los temas de probabilidad y estadística básica para ingenieros. Incluye conceptos como estadística descriptiva, teoría de probabilidad, variables aleatorias discretas y continuas, distribuciones de probabilidad, estadística inferencial y regresión lineal. El objetivo es proporcionar las herramientas estadísticas y probabilísticas fundamentales para el análisis de datos en ingeniería.
Este documento presenta un módulo sobre Estadística Descriptiva diseñado para estudiantes de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD). El módulo contiene dos unidades: la primera cubre conceptos preliminares y medidas de tendencia central, mientras que la segunda cubre medidas de dispersión y estadísticas bivariantes. Cada unidad incluye objetivos, contenidos teóricos con ejemplos, ejercicios y actividades de autoevaluación.
Resolución de Ecuaciones Diferenciales; Metodo de Variacion de ParametrosKaris
Este documento describe el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior. Explica que este método asume que la solución general de la ecuación homogénea se conoce y usa esta solución para determinar funciones que resuelven el sistema no homogéneo. Luego, detalla los pasos del proceso, incluyendo calcular la forma estándar, resolver la ecuación homogénea, calcular el wronskiano, y determinar e integrar funciones para obtener la solución particular y general. Finalmente, provee
libro de calculo james stewart calculo de una variable es un libro muy comun y muy utilizado para aprender todos los principios del calculo y sus diversas variaciones y aplicaciones que llega tener esta en los problemas matematicos
Prueba de hipotesis sobre la media con varianza desconocidaKarina Ruiz
Este documento describe las pruebas de hipótesis, incluyendo: (1) la definición de una prueba de hipótesis y las hipótesis nula y alternativa; (2) los errores tipo I y II y cómo controlarlos; (3) ejemplos comunes de hipótesis sobre medias; y (4) procedimientos para probar hipótesis sobre una media y comparar dos medias cuando las varianzas son desconocidas.
Lab 2 f 2 analisis de graficos virtual 2020-ii fisica iiGIANELLAMOLINARIOS
Este documento presenta los procedimientos para realizar un experimento de física sobre oscilaciones de un péndulo y analizar los resultados obtenidos mediante gráficos. Se describen las etapas del experimento, las tablas para registrar datos, y los pasos para generar una ecuación empírica que represente la relación entre el período y la longitud del péndulo usando el método de mínimos cuadrados. El objetivo es familiarizar a los estudiantes con el análisis de gráficos para obtener relaciones matemáticas a partir
Este documento presenta los conceptos clave de la regresión y correlación simple. Explica cómo utilizar diagramas de dispersión para visualizar la relación entre dos variables, y ecuaciones de regresión lineal para predecir valores futuros en función de la relación encontrada. Además, introduce los conceptos de error estándar de estimación y análisis de correlación para describir cuán fuertemente dos variables están relacionadas de forma lineal.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Sea X un solo valor que se muestrea de una población normal con media m. Si se conoce la desviación estándar s, entonces un intervalo de confianza de nivel 100(1-α)% para m es X ± zα/2s.
Este documento presenta 8 ejercicios de prueba de hipótesis realizados por un estudiante. Cada ejercicio describe un escenario de ingeniería e incluye datos de una o más muestras para probar hipótesis sobre medias poblacionales usando pruebas Z e intervalos de confianza.
Este documento define la ecuación de Cauchy-Euler como una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de derivación. Explica tres métodos para resolverla dependiendo si las raíces son reales distintas, reales iguales o complejas. Incluye ejemplos ilustrativos de cada caso.
Este documento trata sobre campos vectoriales y sus propiedades. Introduce conceptos como campos vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional, integrales de línea y superficie. Explica cómo calcular integrales de línea y superficie para campos escalares y vectoriales. Además, define campos conservativos y presenta teoremas como el de Green y Stokes. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular diferentes tipos de integrales y aplicar los teoremas mencionados.
Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales que preservan las operaciones de suma y multiplicación por escalares. El método de Gauss-Jordán permite resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación de la matriz correspondiente a una forma reducida. El núcleo de una transformación lineal contiene los vectores cuya imagen es el vector nulo, mientras que la imagen contiene las imágenes de los puntos del dominio.
tarea 1, ejercicios de probabilidad con respuestasIPN
Este documento presenta 19 ejercicios sobre probabilidad y teoría de conjuntos. Los ejercicios involucran la definición y descripción de espacios muestrales y eventos, así como el cálculo de intersecciones y uniones de eventos. Algunos ejercicios piden listar los elementos de diferentes eventos, mientras que otros solicitan diagramas de Venn o árboles para ilustrar las relaciones entre eventos. El documento proporciona múltiples ejemplos detallados sobre cómo modelar problemas probabilísticos utilizando la teor
Este documento presenta preguntas y ejercicios sobre diseño de experimentos. Explica las ventajas del diseño de experimentos sobre prueba y error, define conceptos como variable de respuesta y factor estudiado, y describe etapas clave como la planeación del experimento. También cubre temas como aleatorización, bloqueo, y análisis de varianza para el análisis de datos experimentales.
Tarea 10 de probabilidad y estadistica con respuestaIPN
TEMAS: PROBABILIDAD DISCRETA (DISTRIBUCION GEOMETRICA Y DISTRIBUCION BINOMIAL, DISTRIBUCION DE POISSON Y NEGATIVA) Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD
Este documento presenta información sobre transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Define una transformación lineal como una función entre espacios vectoriales que transforma un espacio en otro. Explica conceptos clave como núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal. También incluye ejemplos y teoremas sobre propiedades de transformaciones lineales.
1. The document contains a table of critical values for the F distribution with an alpha value of 0.05.
2. The table lists the critical values across different degrees of freedom for the numerator and denominator.
3. Critical values range from 161.4 to 249.3 depending on the degrees of freedom.
El propósito del análisis de regresión es estudiar la dependencia de una variable (variable dependiente) respecto a una o más variables (variables independientes) y cuantificar la relación entre ellas. En un análisis de regresión, la variable dependiente es aquella cuyos valores cambian en función de los valores de las variables independientes, mientras que las variables independientes son aquellas que producen cambios en la variable dependiente. El análisis de regresión utiliza el método de mínimos cuadrados para ajustar una línea a los datos y predecir valores de
Este documento presenta un resumen de los temas de probabilidad y estadística básica para ingenieros. Incluye conceptos como estadística descriptiva, teoría de probabilidad, variables aleatorias discretas y continuas, distribuciones de probabilidad, estadística inferencial y regresión lineal. El objetivo es proporcionar las herramientas estadísticas y probabilísticas fundamentales para el análisis de datos en ingeniería.
Este documento presenta un módulo sobre Estadística Descriptiva diseñado para estudiantes de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD). El módulo contiene dos unidades: la primera cubre conceptos preliminares y medidas de tendencia central, mientras que la segunda cubre medidas de dispersión y estadísticas bivariantes. Cada unidad incluye objetivos, contenidos teóricos con ejemplos, ejercicios y actividades de autoevaluación.
Resolución de Ecuaciones Diferenciales; Metodo de Variacion de ParametrosKaris
Este documento describe el método de variación de parámetros para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior. Explica que este método asume que la solución general de la ecuación homogénea se conoce y usa esta solución para determinar funciones que resuelven el sistema no homogéneo. Luego, detalla los pasos del proceso, incluyendo calcular la forma estándar, resolver la ecuación homogénea, calcular el wronskiano, y determinar e integrar funciones para obtener la solución particular y general. Finalmente, provee
libro de calculo james stewart calculo de una variable es un libro muy comun y muy utilizado para aprender todos los principios del calculo y sus diversas variaciones y aplicaciones que llega tener esta en los problemas matematicos
Prueba de hipotesis sobre la media con varianza desconocidaKarina Ruiz
Este documento describe las pruebas de hipótesis, incluyendo: (1) la definición de una prueba de hipótesis y las hipótesis nula y alternativa; (2) los errores tipo I y II y cómo controlarlos; (3) ejemplos comunes de hipótesis sobre medias; y (4) procedimientos para probar hipótesis sobre una media y comparar dos medias cuando las varianzas son desconocidas.
Lab 2 f 2 analisis de graficos virtual 2020-ii fisica iiGIANELLAMOLINARIOS
Este documento presenta los procedimientos para realizar un experimento de física sobre oscilaciones de un péndulo y analizar los resultados obtenidos mediante gráficos. Se describen las etapas del experimento, las tablas para registrar datos, y los pasos para generar una ecuación empírica que represente la relación entre el período y la longitud del péndulo usando el método de mínimos cuadrados. El objetivo es familiarizar a los estudiantes con el análisis de gráficos para obtener relaciones matemáticas a partir
Este documento presenta los conceptos clave de la regresión y correlación simple. Explica cómo utilizar diagramas de dispersión para visualizar la relación entre dos variables, y ecuaciones de regresión lineal para predecir valores futuros en función de la relación encontrada. Además, introduce los conceptos de error estándar de estimación y análisis de correlación para describir cuán fuertemente dos variables están relacionadas de forma lineal.
10 regresion y correlacion lineal multipleAnniFenty
Este documento presenta un resumen de los conceptos de regresión y correlación lineal múltiple. Explica cómo calcular el plano de regresión para una variable dependiente en función de dos o más variables independientes, así como los coeficientes de regresión, error estándar y correlación múltiple. También cubre cómo realizar pruebas de hipótesis e intervalos de confianza para los parámetros de regresión y estimaciones individuales. Finalmente, incluye un ejemplo ilustrativo con datos sobre dureza de acero en función del contenido de cobre
contiene una amplia explicacion a temas complicados para algunos estudiates, eniendo ejemplos que ayudan a que se tengauna mejor comprension de los temas asi como de sus aplicaciones
Este documento presenta un curso básico de econometría. Cubre temas como regresión lineal simple y múltiple, índices numéricos y series temporales. Explica el modelo de regresión lineal y el método de mínimos cuadrados ordinarios para estimar los parámetros. También describe cómo evaluar la bondad del ajuste del modelo a través del coeficiente de determinación y cómo realizar inferencia estadística sobre los estimadores mediante intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.
Este documento introduce el tema de la aproximación de funciones. Explica que la aproximación discreta implica encontrar la función que mejor se ajusta a un conjunto finito de puntos de datos, mientras que la aproximación continua aproxima una función continua en un intervalo dado mediante otra función de una clase dada. Además, distingue entre aproximación lineal, donde la función depende linealmente de sus parámetros, y no lineal. Finalmente, describe el método de mínimos cuadrados para la aproximación discreta lineal, que minimiza la
1) El documento introduce los conceptos de regresión lineal y no lineal para ajustar ecuaciones a datos experimentales. 2) Explica que la modelización matemática busca ecuaciones que describan el comportamiento de sistemas de forma empírica o teórica. 3) Finalmente, detalla los procedimientos de regresión lineal y no lineal por mínimos cuadrados para encontrar los parámetros óptimos que ajusten mejor las ecuaciones a los datos.
Este documento describe el método de diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Explica cómo aproximar derivadas con diferencias finitas y obtener una ecuación de diferencias que puede resolverse algebraicamente. Además, presenta un ejemplo de aplicar el método a una ecuación de difusión unidimensional, resolviéndola de forma explícita paso a paso y analizando la estabilidad numérica del método.
El documento habla sobre los sistemas de ecuaciones, que son conjuntos de ecuaciones. Explica que el grado de un sistema depende del exponente más alto de las incógnitas. Luego describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: igualación, reducción y sustitución. Finalmente, introduce conceptos como determinantes y funciones cuadráticas.
El documento habla sobre los sistemas de ecuaciones, que son conjuntos de ecuaciones. Explica que el grado de un sistema depende del exponente más alto de las incógnitas. Luego describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones: igualación, reducción y sustitución. Finalmente, introduce conceptos sobre determinantes y funciones cuadráticas.
Ecuaciones y sist de ecuaciones no linealesRonny Malpica
El documento trata sobre sistemas de ecuaciones no lineales. Explica que estos sistemas no siguen el principio de superposición como los sistemas lineales. Luego describe métodos para resolver este tipo de sistemas, incluyendo la iteración de punto fijo, el método de Newton y el método del descenso más rápido. Finalmente, introduce conceptos como valores y vectores propios de una matriz, así como aproximaciones de valores propios para matrices simétricas.
Este documento presenta una introducción a los métodos numéricos, describiendo que son técnicas que permiten formular problemas matemáticos de forma que se puedan resolver usando operaciones aritméticas para encontrar soluciones aproximadas. Explica tres métodos numéricos principales y su importancia en áreas como la ingeniería. También cubre conceptos como cifras significativas, errores, y series de Taylor para aproximar funciones mediante términos polinomiales, ilustrando con ejemplos de cálculo numérico.
Este documento presenta una introducción a los métodos numéricos, describiendo que son técnicas que permiten formular problemas matemáticos de manera que se puedan resolver usando operaciones aritméticas para encontrar soluciones aproximadas. Explica tres métodos numéricos principales y su importancia en áreas como la ingeniería. También cubre conceptos como cifras significativas, errores y redondeo.
Este documento describe diferentes métodos para representar datos experimentales, incluyendo métodos gráficos, de promedios y mínimos cuadrados. Explica cómo usar el método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales representando las ecuaciones como rectas en un plano cartesiano. También describe cómo usar el método de promedios para encontrar raíces iterativamente dividiendo intervalos, y el método de mínimos cuadrados para determinar los parámetros de una recta de mejor ajuste a datos experimentales. Finalmente, discute funciones potenciales
Este documento resume los capítulos 3, 4 y 5 de un libro sobre programación en Python para ciencias computacionales. Explica qué es Python y para qué sistemas operativos está disponible, además de por qué es útil para programar. También describe cómo calcular conversiones de temperatura en Python, cómo usar funciones como "eval" y "string", y los errores más comunes en Python. Finalmente, introduce conceptos matemáticos como listas, matrices, vectores, secuencias y ecuaciones de diferencias.
Este documento presenta información sobre regresión lineal simple. Explica conceptos como variable dependiente, variable independiente, diagrama de dispersión, coeficientes de regresión, error y método de mínimos cuadrados. Incluye un ejemplo para calcular la recta de regresión y predecir valores usando datos reales sobre edad y presión sanguínea.
Este documento presenta un resumen del plan de estudios de álgebra para el primer bimestre impartido por la profesora Germania Rodríguez. Incluye temas como teoría de conjuntos, sistemas de números reales, exponentes y radicales, expresiones algebraicas, ecuaciones y desigualdades, funciones y gráficas. El plan de estudios cubre conceptos fundamentales de álgebra así como funciones polinomiales, racionales y exponenciales entre otros temas.
Este documento presenta el método de los mínimos cuadrados para determinar la ecuación empírica de una relación entre dos variables a partir de datos experimentales. Explica cómo transformar una ecuación no lineal en una lineal mediante logaritmos para luego aplicar el método analítico de mínimos cuadrados y calcular los parámetros de la ecuación empírica linealizada. Finalmente, proporciona un ejemplo de datos experimentales y los resultados al aplicar el método.
1. El documento describe los conceptos y técnicas del análisis de regresión, incluyendo la regresión lineal simple, múltiple y polinomial. Se usa para relacionar una variable dependiente con una o más variables independientes.
2. La regresión lineal simple ilustra un ejemplo de la relación entre la dureza y la temperatura de templado de un material. El modelo resultante es estadísticamente significativo.
3. Se explican las pruebas y estadísticas usadas para evaluar la significancia de un modelo de regresión,
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
El curso de Texto Integrado de 8vo grado es un programa académico interdisciplinario que combina los contenidos y habilidades de varias asignaturas clave. A través de este enfoque integrado, los estudiantes tendrán la oportunidad de desarrollar una comprensión más holística y conexa de los temas abordados.
En el área de Estudios Sociales, los estudiantes profundizarán en el estudio de la historia, geografía, organización política y social, y economía de América Latina. Analizarán los procesos de descubrimiento, colonización e independencia, las características regionales, los sistemas de gobierno, los movimientos sociales y los modelos de desarrollo económico.
En Lengua y Literatura, se enfatizará el desarrollo de habilidades comunicativas, tanto en la expresión oral como escrita. Los estudiantes trabajarán en la comprensión y producción de diversos tipos de textos, incluyendo narrativos, expositivos y argumentativos. Además, se estudiarán obras literarias representativas de la región latinoamericana.
El componente de Ciencias Naturales abordará temas relacionados con la biología, la física y la química, con un enfoque en la comprensión de los fenómenos naturales y los desafíos ambientales de América Latina. Se explorarán conceptos como la biodiversidad, los recursos naturales, la contaminación y el desarrollo sostenible.
En el área de Matemática, los estudiantes desarrollarán habilidades en áreas como la aritmética, el álgebra, la geometría y la estadística. Estos conocimientos matemáticos se aplicarán a la resolución de problemas y al análisis de datos, en el contexto de las temáticas abordadas en las otras asignaturas.
A lo largo del curso, se fomentará la integración de los contenidos, de manera que los estudiantes puedan establecer conexiones significativas entre los diferentes campos del conocimiento. Además, se promoverá el desarrollo de habilidades transversales, como el pensamiento crítico, la resolución de problemas, la investigación y la colaboración.
Mediante este enfoque de Texto Integrado, los estudiantes de 8vo grado tendrán una experiencia de aprendizaje enriquecedora y relevante, que les permitirá adquirir una visión más amplia y comprensiva de los temas estudiados.
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
Inteligencia Artificial para Docentes HIA Ccesa007.pdf
2. reg.lin.multiple
1. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
230
REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE:
1.1. INTRODUCCIÓN:
En los trabajos de Investigación es necesario emplear técnicas
estadísticas que permitan interpretar los resultados y de estas
forma poder llegar a conclusiones valederas que permitan al
investigador aceptar o rechazar Hipótesis planteadas
inicialmente e inclusive formular nuevas hipótesis, una de esas
técnicas de gran utilidad es el análisis de regresión que
permite estudiar la asociación entre dos o más variables.
REGRESIÓN: Consiste en determinar una relación funcional
entre las variables con el fin de que se pueda predecir el valor
de una variable (dependiente) en base a otra(s) variables
(independientes).
CORRELACIÓN: Consiste en determinar la variación conjunta
de las variables, su grado de relación y su sentido (positivo o
negativo).
Los modelos para un análisis de regresión múltiple son similares
a los de regresión lineal simple, excepto que contienen más
términos y pueden servir para proponer relaciones más
complejas que una línea recta en lugar de usar un modelo de
línea recta E(y) =β0 + β1 X , para modelar el componente
determinístico podríamos emplear el modelo cuadrático E(y)
=β0 + β1X + β2X2
También conocido como modelo de segundo
orden se representa gráficamente como una parábola en
contraste con los modelos de línea recta o modelos de primer
orden.
Si por añadidura pensamos incluir en el modelo otra variable
una gráfica de E(y) como función de X1, X2 describe una
superficie de respuesta en el plano (X1,X2) y el modelo de
primer orden es: E(y) =β0 + β1 X1 + β1X2 (describe una
superficie plana) sin embargo en la mayor parte de las
aplicaciones de la vida real esperaríamos una curvatura en la
superficie de respuesta y utilizaríamos un modelo de tercer
orden: 3
25
2
1421322110E(y) XXXXXX para modelar
la relación.
Estos modelos e denominan modelos lineales generales porque
E(y) es función lineal de los PARÁMETROS desconocidos
β0, β1, β2...
El modelo
X
yE 1
0)(
no es un modelo lineal porque E(y)
no es función lineal de los parámetros β0 + β1
2. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
231
Podemos incluir variables cuantitativas y cualitativas en el modelo, éstas
variables son denominadas ficticias, dicotomas o de índice. Ejemplo:
Si E(y): Tiempo medio para ejecutar un trabajo
X : Día de la semana en que se ejecuta en trabajo
X1= 1 Si la observación se hace en domingo
0 Si no es así.
X2= 1 Si la observación se hace en lunes
0 Si no es así.
X3= 1 Si la observación se hace en martes
0 Si no es así.
X4= 1 Si la observación se hace en miércoles
0 Si no es así.
X5= 1 Si la observación se hace en jueves
0 Si no es así.
X6= 1 Si la observación se hace en viernes
0 Si no es así.
Podemos escribir el modelo:
6655443322110E(y) XXXXXX
Las variables ficticias introducen al parámetro β apropiado ( de que
puede ser positivo o negativo) dependiendo del día de la semana. Así:
En domingo X1= 1, X2 = X3, ...., = X6 = 0 y el valor medio de Y es:
E(y) =β0 + β1(1)
E(y) =β0 + β1
En lunes E(y) =β0 + β2
En martes E(y) =β0 + β3
En miércoles E(y) =β0 + β4
En jueves E(y) =β0 + β5
En viernes E(y) =β0 + β6
En sábado se asigna 0 a todas las variables ficticias y el valor medio de Y
es: E(y) =β0
Se recomienda seleccionar el modelo de regresión apropiado para una
situación en particular. Ningún método estadístico puede compensar una
mala selección del modelo. Propondremos un análisis más profundo al
respecto en una próxima sesión. En el presente su pondremos que se ha
seleccionado un modelo razonable para la situación y nos
concentraremos en el procedimiento de ajuste del modelo a un conjunto
de datos y en los métodos asociados de inferencia estadística.
Después de haber seleccionado una porción determinística de un modelo
de regresión, esto es para E(y) agregamos un componente ε a fin de
compensar el error aleatorio, de modo que se tiene:
3. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
232
Y = E(y) + ε
Componente
aleatorio
Componente
Deterministico
El componente aleatorio ε debe obedecer los supuestos del modelo de
regresión lineal:
Tenga distribución normal con media 0 y varianza σ2
. Esto implica
que la media de Y equivale al componente deterministico
kk XX ...E(y) 110
Para todos los valores de las variables independientes X1, X2,
X3,..., Xk la varianza de ε es constante.
La distribución de probabilidad de ε es normal.
Los errores aleatorios asociados a cualquier par de Y son
independientes (en sentido probabilístico).
1.2. DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS Y DEL MODELO:
Los datos consisten de n observaciones sobre una variable independiente
o respuesta Y y de K variables independientes:
X1, X2, X3, ..., Xk. Si kn y Xij es la ij-ésima observación o nivel de la
variable Xj , donde i=1,2,3,...,n; j=1,2,3,..,k.
Las observaciones usualmente son presentadas de la siguiente
manera:
Observaciones Y X1 X2 X3 ... Xk
1 Y1 X11 X12 X13 ... X1K
2 Y2 X21 X22 X23 ... X2K
3 Y3 X31 X32 X33 ... X3K
. . . . . ... .
. . . . . ... .
. . . . . ... .
n Yn Xn1 Xn2 Xn3 … Xnk
4. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
233
Las relaciones entre la variable Y con las variables X1, X2, X3, ..., Xk,
donde cada observación (Xi1 Xi2 Xi3 ... Xik , Y) satisface el
modelo lineal general de regresión siguiente:
iikkiii XXXX ...Y 3322110i
Cada modelo describe un hiperplano en el espacio k-dimensional
formado por {Xi }
Donde:
Yi: Variable dependiente ( respuesta)
X1, X2, X3, ..., Xk: variables independientes. Podrían en realidad
representar los cuadrados cubos productos
cruzados u otras funciones (sen, log. Etc.)
de las variables de predicción. Lo esencial
es que se pueden medir sin error cuando se
observe un valor de Y y que no intervengan
parámetros desconocidos.
βj: Parámetros de la regresión .
constantes desconocidas. Expresan el
incremento en la variable respuesta Y que
se corresponde a una unidad de
incremento en Xj cuando otras variables Xi
ji se mantienen constantes.
εi: Vector aleatorio de errores supuestos.
Los coeficientes βj : 0,k son estimados por el método de mínimos
cuadrados, así:
El modelo:
iikkiii XXXX ...Y 3322110i
Despejando εi y elevando al cuadrado ambos miembros:
(εi)2
=
2
3322110i ))...((Y ikkiii XXXX
5. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
234
Aplicando el operador de sumatoria en ambos miembros de la igualdad:
2
3322110i
11
2
))...((Y ikkiii
n
i
n
i
i XXXX
Derivando parcialmente con respecto a βj e igualando a cero buscamos
minimizar la suma de los cuadrados del error aleatorio:
SSEYi
n
i
n
i
i
2
i
11
2
)ˆ(Y
Obteniéndose un sistema de ecuaciones lineales simultaneas llamadas
ecuaciones normales de mínimos cuadrados del modelo:
0
0
SSE
0
1
SSE
0
2
SSE
.
.
.
0
k
SSE
Examinemos la primera ecuación:
Si tomamos la primera derivada parcial de SSE con respecto a β0
obtenemos:
)1))(...((Y2 3322110i
10
ikkiii
n
i
XXXX
SSE
6. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
235
Introduciendo el operador SUMATORIA e Igualando a cero, queda:
0)...(Y 3322110i ikkiii XXXXn
Osea: (despejando e intercambiado miembros):
iikkiii YXXXXn ...3322110
Esta es una ecuación lineal en los β parámetros. Las ecuaciones de
mínimos cuadrados restantes todas lineales en los β parámetros son:
iiikikiiii YXXXXXXX 11212
2
1110 ...
iiikikiiii YXXXXXXX 22
2
2212120 ...
.
.
.
iikikkiikiikik YXXXXXXX 2
22110 ...
Luego el sistema es:
iikkiii YXXXXn ...3322110
iiikikiiii YXXXXXXX 11212
2
1110 ...
iiikikiiii YXXXXXXX 22
2
2212120 ...
.
.
.
iikikkiikiikik YXXXXXXX 2
22110 ...
El sistema tiene p = k +1 ecuaciones e incógnitas
7. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
236
Como puede verse, escribir k+1 ecuaciones lineales de mínimos
cuadrados ya cuesta trabajo, resolverlos simultáneamente a mano es
todavía más difícil. Una forma fácil de expresar las ecuaciones y
resolverlos es mediante el álgebra de Matrices y obtener fórmulas
para las estimaciones de los coeficientes de regresión lineal de mínimos
cuadrados, SSE, estadísticas de prueba, intervalos de confianza y de
predicción.
1.2.1. ECUACIONES DE MINIMOS CUADRADOS Y SU
RESOLUCION: ENFOQUE MATRICIAL.
Es preciso acomodar los datos en matrices siguiendo un patrón
específico:
Supondremos que el modelo es:
Y = βo + β1X1 + β2X2 + β3 X3 +…+βk Xk + ε
Donde:
X1 X2 X3 … Xk: Variables de predicción
ε : error aleatorio
p = k +1: número de parámetros del modelo
k: Número de variables de predicción
Supongamos que se tiene una muestra de tamaño n ( kn ) que se
denota así:
Valor Variables explicatorias Error
de aleatorio
Datos Y X1 X2 X3... Xk ε
1 Y1 X11 X12 X13...X1K ε1
2 Y2 X21 X22 X23...X2K ε2
3 Y3 X31 X32 X33...X3K ε3
. . . . . ....
. . . . . ....
. . . . . ....
n Yn Xn1 Xn2 Xn3… Xnk εk
8. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
237
En notación matricial:
En forma desarrollada puede verse así:
1
3
2
1
1
2
1
0
npn3n2n1
3p333231
2p232221
1p131211
1n
3
2
1
.
.
.
.
.
..
XXXX1
......
......
......
X...XXX1
X...XXX1
X...XXX1
Y
.
.
.
Y
Y
Y
nxnpxk
nxp
nx
Ynx1 = Xnxp . βpx1 + ε nx1
Matriz de error
Matriz de parámetros coeficientes
De regresión
k: n°de variables X´s
p= k +1 n° de parámetros
Matriz de datos x´s
Matriz de los datos Y´s
OBSERVACIONES:
La primera columna de X es una columna de unos, es decir
estamos insertando un valor de X, específicamente X0 como
coeficiente de βo donde X0 es una variable que siempre toma
valores iguales a 1.
Hay una columna en la matriz X para cada parámetro β
Un punto de datos en particular se identifica mediante filas
específicas de las matrices Y y X. Ejemplo: el Valor de Y para el
punto de datos 3, osea y3 está en la tercera fila de la matriz Y y
sus valores correspondientes de X1 X2 X3 … Xk aparecen en la
tercera fila de la matriz X.
Con ésta notación el modelo lineal general se pude expresar en la
forma de matriz como: Y = Xβ + ε
9. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
238
La matriz β contiene a los parámetros βo, β1, β2, β3,…,βp de modo
que resolver el sistema nos dará como resultado, las estimaciones
de mínimos cuadrados de cada uno de ellos, denotados por:
'
3210 )ˆˆˆˆˆ(ˆ y el modelo de estimación es
YydondeXy ˆ,ˆ
Ahora bien:
ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS
Utilizamos las matrices de datos Y y X, sus transpuestas y la matriz
'
3210 )ˆˆˆˆˆ(ˆ , podemos escribir las ecuaciones de mínimos
cuadrados, así:
* El modelo: ˆXy
Despejando ε
ˆXy
Elevando al cuadrado en ambos miembros , en notación matricial
es multiplicar por la izquierda en cada miembro por su transpuesta
correspondiente:
)ˆ()'ˆ(' XyXy
))'ˆ(')(ˆ(' XyXy
ˆ)'ˆ()'ˆ()ˆ(''' XXyXXyyy
yXXy )'ˆ()ˆ('
ˆ)'ˆ()ˆ(')ˆ(''' XXXyXyyy
Se obtiene:
ˆ''ˆ)ˆ('2'' XXXyyy
Derivando con respecto a ˆ para minimizar ' que es la suma
de cuadrados del error:
ˆ'2'2
ˆ
'
XXyX
10. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
239
Igualando a cero:
0ˆ'2'2 XXyX
Obtenemos:
yXXX 'ˆ'
Para despejar ˆ multiplicamos en ambos miembros de la igualdad
por (X’X)-1
que es la inversa de la matriz X’X:
(X’X)-1
X’X ˆ = (X’X)-1
X’y
Por tanto:
PARA EL CÁLCULO, A PARTIR DE:
1
3
2
1
1
2
1
0
npn3n2n1
3p333231
2p232221
1p131211
1n
3
2
1
.
.
.
.
.
..
XXXX1
......
......
......
X...XXX1
X...XXX1
X...XXX1
Y
.
.
.
Y
Y
Y
nxnpxk
nxp
nx
SE ESCRIBE:
ˆ = (X’X)-1
X’y
11. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
240
nxppxn
XX
nkn3n2n1
3k333231
2k232221
1k131211
nk3k2k1k
n33313
n2322212
n1312111
XXXX1
......
......
......
X...XXX1
X...XXX1
X...XXX1
XXXX
.
XXXX
XXXX
XXXX
1111
' 23
El producto resulta:
pxpiki XX
XX
ikiniki32iki1ik
iki3
2
i3i3i2i3i1i3
iki2i3i2
2
i2i2i1i2
iki1i3i1i2i1
2
i1i1
iki3i2i1
XXXXXXX
XXXXXXXX
XX...XXXXXX
XX...XXXXXX
X...XXXn
'
X’X: Es una matriz no singular, es matriz cuadrada. El cálculo de su
inversa se realiza mediante:
(X’X)-1
= (1/|X’X|)adjunta(X’X)
12. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
241
1
33
22
11
1
1n
3
2
1
nk3k2k1k
n33313
n2322212
n1312111
Y
.
.
.
Y
Y
Y
XXXX
.
XXXX
XXXX
XXXX
1111
' 23
pxnik
i
i
i
i
nxpxn
YX
YX
YX
YX
Y
YX
Luego el vector de parámetros es:
K
YXXX
2
1
0
1
')'(ˆ
Y el modelo de regresión estimado es:
ˆˆ
,1,1;ˆˆˆ
1
0
XY
kjniXY ij
k
j
ji
1.3. CARACTERÍSTICAS DE LOS ESTIMADORES ˆ DE MINIMOS
CUADRADOS
a. ESPERANZA MATEMÁTICA DE ˆ
E( ˆ ) =
Demostración:
E( ˆ )= )(')'()')'( 11
XXXXEYXXXE
E( ˆ )= )')'(')'(( 11
XXXXXXXE
E( ˆ )= )(')'()( 1
EXXXE
14. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
243
c. Los errores estándar y la covarianza de los estimadores jˆ se
determinan mediante los elementos de la matriz (X’X)-1
cuya
notación es:
ij
pxpkkkkkk
k
k
k
c
ccccc
ccccc
ccccc
ccccc
XX
3210
223222120
113121110
003020100
1
)'(
Los elementos de la diagonal proporcionan los valores que se necesitan
para calcular los errores estándar de los estimadores. De modo que:
Var-cov( jˆ )= jjc2
Luego: Los errores estándar de los estimadores de jˆ son:
aleatorioerrordeldesviaciólaesDondecSE jjj ,)ˆ(
Los elementos que están fuera de la diagonal proporcionan valores
necesarios para calcular las covarianzas de los parámetros, digamos
jˆ , jiDondei ˆ
cov( ji ˆˆ )= jiij cc 22
Estas covarianzas son necesarias para determinar la varianza de la
ecuación de predicción, o cualquier otra función lineal de parámetros.
Desempeñan un papel el el establecimiento de un intervalo dre confianza
para E(y) y un intervalo de predicción para Y
15. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
244
ESTIMADOR DE
2
. VARIANZA DE EN EL MODELO DE
REGRESIÓN MÚLTIPLE
Las varianzas de los estimadores de los parámetros y de Yˆ dependen
del valor de
2
(varianza del error aleatorio ) que aparece en el
modelo y casi nunca se se le conoce por adelantado, debemos usar los
datos de la muestra para estimar su valor
pn
SSE
pn
YXYY
''ˆ'2
COMPONENTES DE LA SUMA DE CUADRADOS DEL TOTAL DE Y
SCT = SCR + SCE
Suma de cuadrados del total de Y.
2
' YnYYSCT
Suma de cuadrados de la regresión
2
'ˆ YnYXSCR
Suma de cuadrados del error (residual)
YXYYSCT 'ˆ'
Varianza explicada SCR/n Varianza no explicada SCE/n-p
1.4. PRUEBA DE HIPÓTESIS EN LA REGRESIÓN LINEAL
MÚLTIPLE
16. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
245
a. Prueba para la significación de la regresión
Hipótesis
H0: β1= β2= β3=…=βK=0
H1: Por lo menos uno de los parámetros es distinto de cero
ANÁLISIS DE VARIANZA
Fuente de
Variación
Suma de
cuadrados
G. L. Cuadrados
medios
FC
REGRESIÓN SCR K CMR CMR/CME
ERROR SCE n-p CME
TOTAL SCT n-1
Donde: n es tamaño de la muestral o número de datos
k número de variables independiente
p número de parámetros
Rechazar H0 Si Fc es mayor que F(k, n-p)
El rechazo de H0 implica que al menos una de las variables de regresión
tienen una contribución significativa en el modelo.
b.PRUEBAS SOBRE LOS COEFICIENTES INDIVIDUALES DE
REGRESIÓN
Estas pruebas son útiles para determinar el valor potencial de cada una
de las variables de regresión del modelo, así el modelo puede ser mas
eficaz con la inclusión de variables adicionales o quizá con la eliminación
de una o más regresoras presentes en el modelo
Hipótesis
H0 : jˆ =0
H1 : jˆ ≠0
ESTADÍSTICA DE PRUEBA
17. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
246
jj
j
O
c
T
2
ˆ
ˆ
DECISIÓN:
Rechazar H0 si |To|> tn-p para un % de significación
CONCLUSIÓN
Si no se rechaza la hipótesis H0 indica que el regresor Xj puede
eliminarse del modelo
1.5. MEDIDAS DE ADECUACION DEL MODELO
a. Coeficiente de determinación múltiple
Es una medida de la magnitud de la reducción en la variabilidad de Y,
obtenida mediante el empleo de variables de regresión X1 X2 X3 … Xk.
10,1 22
R
SCT
SSE
SCT
SSR
R
R2
grande no necesariamente implica que el modelo de regresión sea
bueno, pues la adición de una variable al modelo siempre aumenta R2
sin
importar si la variable es o no estadísticamente significativa.
RR 2
Es el coeficiente de correlación múltiple entre Y y el
conjunto de variables de regresión X1 X2 X3 … Xk
R es una mediad de asociación lineal que existe entre Y y X1 X2 X3 …
Xk. Cuando k=1 tenemos el coeficiente de correlación simple entre Y y X
18. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
247
PROBLEMAS PROPUESTOS DE REGRESION LINEAL MULTIPLE
1. dados los siguientes datos: X1 X2 Y
1 4 6.4
3 3 4.3
4 2 2.2
Donde: X1: Precio en soles
X2: Ingreso en cientos de soles,
Y: Demanda de cuadernos en miles de unidades
a) Calcular la ecuación de la demanda e interpretar sus pendientes.
b) Si los errores estándar de 1 y 2 son respectivamente 0.006 y
0.005 en una muestra de tamaño n=10. Probar si es significativo
el aporte del ingreso al modelo. Como debería ser el modelo? (
Usar 5% de significancia)
2. En un estudio de 125 trabajadores expuestos a compuestos químicos
contaminados con dioxina (Y) en un trabajador (medido en partes
por millon) con variables independientes:
X1: Logaritmo de los años de exposición a la dioxina.
X2: Número de años de la primera exposición.
X3: Edad(en años).
X4: Índice de masa corporal.
Los resultados computarizados según Eviews se muestran en el
siguiente cuadro:
Variable coeficiente error estándar t-estadístico
C 1.721 0.770 2.24
X1 0.566 0.054 10.48
X2 -0.085 0.018 -4.72
X3 0.044 0.010 4.40
X4 0.075 0.021 3.57........
a) Probar la significación del modelo
b) Probar la significación de los parámetros de regresión e indicar el
efecto sobre el nivel de dioxina en un trabajador.
c) Describir el modelo de regresión lineal e interpretar el coeficiente
de correlación y determinación.
d) Qué aporte técnico consideraría Ud. respecto a los resultados
obtenidos en éste análisis.
3. Dados los siguientes datos: X1 X2 Y
2 1 1.1
3 2 2.2
1 1 1.2
Donde: X1: Precio en soles
X2: Ingreso en cientos de soles,
19. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
248
Y: Demanda de cuadernos en miles de unidades
a) Calcular la ecuación de la demanda e interpretar sus pendientes.
b) Si los errores estándar de 1 y 2 son respectivamente 0.006 y
0.005 en una muestra de tamaño n=15. Probar si es significativo
el aporte del ingreso al modelo. Como debería ser el modelo? (
Usar 1% de significancia)
3. En un estudio de 30 trabajadores expuestos a compuestos químicos
contaminados con dioxina (Y) en un trabajador (medido en partes
por millon) con 4 variables independientes:
X1: Logaritmo de los años de exposición a la dioxina.
X2: Número de años de la primera exposición.
X3: Edad(en años).
X4: Índice de masa corporal.
Los resultados computarizados según Eviews se muestran en el
siguiente cuadro:
Variable coeficiente error estándar t-estadístico
C 1.721 0.770 2.24
X1 0.566 0.054 10.48
X2 -0.085 0.018 -4.72
X3 0.044 0.010 4.40
X4 0.075 0.021 3.57........
a) Probar la significación del modelo
b) Probar la significación de los parámetros de regresión e indicar el
efecto sobre el nivel de dioxina en un trabajador.
c) Describir el modelo de regresión lineal e interpretar el coeficiente
de correlación y determinación.
d) Qué aporte técnico consideraría Ud. respecto a los resultados
obtenidos en éste análisis.
4. Se tiene la información sobre ventas, puntuaciones de prueba y
calificación de desempeño para una muestras de vendedores:
VENDEDOR VENTA PUNTUACIÓN CALIFICACIÓN DE
SEMANAL DE PRUEBA DESEMPEÑO
1 5 4 2
2 12 7 5
3 4 3 1
4 8 6 4
5 11 10 6
a) ¿Cuál es la ecuación de regresión múltiple?.
b) Supóngase que un solicitante de empleo en el departamento de
ventas tuvo una puntuación de 6.0 en la prueba y una
calificación de desempeño de 3.8 ¿Cuáles son las ventas
estimadas del solicitante.
20. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
249
c) Probar si existe regresión lineal múltiple entre las variables
ventas, puntuación y calificación, usar un nivel dignificancia de
1% y 5%.
d) Probar si la variable puntuación de la prueba mejora el modelo
una vez que la variable calificación de desempeño esta incluida
en el modelo y si la variable calificación de desempeño mejora
el modelo una vez que la variable puntuación esta incluida en el
modelo. Nivel significancia 5%.
e) Probar si existe efecto debido a la variable puntuación. Nivel de
significancia de 5% (prueba t).
f) Probar si la variable calificación de desempeño debe estar en el
modelo (usar los coeficientes de correlación parcial, con un
error del 5%.
g) Encontrar los intervalos de confianza 1 y 2, al 95% de
probabilidad.
5. Al ingeniero de control de calidad de una industria le interesa
pronosticar la resistencia a la fusión de un alambre de acero
fabricado, con base en su diámetro exterior y la cantidad de
molibdeno contenida en el metal. Como experimento, selecciona
cuatro tramos de alambre, mide a diámetro exterior y determina el
contenido de molibdeno. Después mide la resistencia a la tensión de
cada tramo de alambre. Los resultados son:
RESIST. A LA TENSION (psi) DIAM. EXTERIOR (cm) ANT. DE MOLIBD.
11 3 6
9 2 5
16 4 8
12 3 7
a) ¿Cuál es la resistencia pronosticada a la tensión de un alambre
de acero que tenga un diámetro exterior de 3.5 cm. y 6.4
unidades de molibdeno.
b) Explique que significa el valor b1 y b2 en la ecuación.
c) Probar si existe regresión lineal múltiple entre la variable
resistencia a la tensión y las variables diámetro exterior.
Cantidad de molibdeno. Usar el nivel de significancia al 1% y
5%.
d) Calcular e interpretar el coeficiente de determinación.
e) Probar si la variable diámetro exterior mejora el modelo una
vez que la variable cantidad de molibdeno está incluida en el
modelo y si la variable cantidad de molibdeno mejora el modelo
una vez que la variable diámetro exterior está incluida en el
modelo. Usar un nivel de significancia del 5%.
f) Probar si existe efecto debido a la variable diámetro exterior.
Usar un nivel de significancia del 5%.
21. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
250
g) Probar si la variable cantidad de molibdeno debe estar en el
modelo de regresión. Usar los coeficientes de correlación
parcial. Usar el nivel significancia de 5%.
h) Encontrar los intervalos de confianza 1 y 2, con una
confianza del 5%.
i) Probar si la variable diámetro exterior debe estar en el modelo
de regresión. Usar los coeficientes de correlación parcial. Usar
el nivel de significancia de 5%.
6. El señor López es presidente de una organización de profesores en el
distrito de Rupa Rupa. Al prepararse para futuras negociaciones, al
señor López le gustaría investigar la estructura de sueldos de los
profesores del distrito. Considera que existe 2 factores que afectan
el sueldo de un profesor; año de experiencia y una calificación de la
efectividad de la enseñanza dada por el director. Una muestra de 8
profesores dio como resultado los datos que siguen.
SUELDO AÑOS DE EXPERIENCIA CALIFICACIÓN
(ciento de soles)
5.5 8 55
6.1 10 78
5.8 9 67
6.8 11 75
7.2 14 61
6.5 12 50
7.0 13 39
6.3 11 49
a) Qué sueldos estimaría usted para un profesor con 5 años de
experiencia una calificación del director de 72
b) Realice una prueba de hipótesis global para determinar alguno
de los coeficientes de regresión netos son diferentes de cero.
Margen de error de 5%.
c) Realice una prueba de hipótesis para los coeficientes
individuales de regresión ¿Considera usted eliminar cualquiera
de las variables independientes usar un nivel de significancia de
1% y 5%.
d) Determine los residuos.
e) Probar si la variable años de experiencia debe estar en el
modelo de regresión usar los coeficientes de correlación parcial,
con un error del 5%.
f) Encontrar los intervalos de confianza para 1 y 2, con 1% de
error.
7. El gerente de ventas distrital de un fabricante importante de
automóviles está estudiando las ventas. De manera específica le
gustaría determinar que factores afectan el número de automóviles
vendidos en una distribución. Para investigar selecciona al azar 12
22. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
251
distribuidores . De estos últimos obtiene el número de automóviles
vendidos el último mes los minutos de publicidad en la televisión
comprados el último mes y el número de vendedores de tiempo
completo empleados en la distribución. La información es como
sigue:
AUTOS VENDIDOS PUBLICIDAD FUERZA DE VENTA
127 18 10
138 15 15
159 22 14
144 23 12
139 17 12
128 16 12
161 25 14
180 26 17
102 15 7
163 24 16
106 18 10
149 25 11
a) Determine la ecuación de regresión ¿Cuántos automóviles
esperaría usted que se vendieran en una distribuidora con 20
vendedores y que paga 15 minutos de publicidad .ea
b) Realice una prueba global de hipótesis para determinar si
algunos de los coeficiente netos de regresión difiere de cero.
Error al 5%.
c) Realice una prueba de hipótesis para los coeficientes
individuales de regresión. ¿Consideraría eliminar algunas de la
variables independientes de error al 5%.
d) Calcular los coeficientes de correlación parcial.
e) Calcular e interpretar el coeficiente de correlación múltiple.
8. Un economista especializado en agricultura está estudiando la
relación entre el ingreso per cápita de un distrito y el porcentaje de la
población que se dedica a la agricultura y el número medio de años
de educación para las personas mayores de 25 años de edad. Se
seleccionan al azar 20 distritos rurales.
a) Determine la ecuación de regresión. El distrito “X” tiene 12%
de fuerza de trabajo dedicada a la agricultura y la media de
años de educación es 15 ¿Cuál es el ingreso estimado para el
distrito.
b) Realice una prueba global de hipótesis para determinar si
algunos de los coeficientes netos de regresión difiere de cero.
Error al 5%.
c) Realice una prueba de hipótesis para los coeficientes
individuales de regresión ¿Consideraría eliminar algunas de la
variables independientes de Error al 5%.
d) Determine los residuos.
23. Métodos Estadísticos para la investigación Ms. C. Elías A. Torres Armas
252
e) Encontrar e interpretar los intervalos de confianza para los
coeficientes de regresión parcial, con 99% de confianza.
f) Calcular e interpretar el coeficiente de determinar múltiple.
g) Calcular e interpretar los coeficientes de correlación parcial.
ING. PER CAPITA %DE PERSONAS EDUCACIÓN
(miles de soles)
1.96 10.2 10.6
1.94 13.4 16.9
1.60 10.2 15.1
1.98 10.8 14.9
2.18 10.3 15.0
1.82 13.3 16.0
1.82 11.3 16.0
2.14 10.3 15.1
1.52 12.7 12.9
2.48 8.5 10.1
2.14 12.6 16.0
1.92 12.8 10.4
2.64 9.7 13.7
2.58 9.5 14.0
2.02 10.5 10.2
1.98 10.6 13.0
2.48 8.4 15.2
1.33 9.6 13.8
9. Se desarrolla un modelo de regresión para predecir la capacidad de
un suelo para absorber contaminantes químicos. Para ello se toman
10 observaciones del índice de absorción del suelo (Y) y de dos
regresores: X1= cantidad de mineral de hierro que puede extraerse,
X2: cantidad de bauxita. Algunas cantidades necesarias para ajustar
el modelo son:
1.17991 -7.30982E-3 7.3006E-4
(X’X)-1
= -7.30982E-3 7.9799E-5 -1.237113E-4
7.3006E-4 -1.237113E-4 4.6576E-4
a) Estime los coeficientes de regresión del modelo
b) ¿Cuál el el valor predicho del índice de absorción Y, cuando X1=200 y
X2=50?
La suma de cuadrados del total para Y es 742.00
c) Pruebe la significancia de la regresión al 1%
d) Estime 2
e) Estime el error estándar del estimador de 1
f) Pruebe la significación de 1 al 1% ¿Qué conclusión puede obtenerse
sobre la utilidad de x1 como variable de regresión en este modelo?
g) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el coeficiente de
regresión 1
h) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el índice de
absorción promedio del suelo cuando X1=200 y X2=50.
i) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el índice de
absorción del suelo cuando X1=200 y X2=50.