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NOMBRE: YESSENIA BOADA

CURSO: CA4-7

                                 EJERCICIOS DE PROBABILIDAD
  1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 3 monedas?




  2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7 al lanzar 2 dados

1,1        2,1        3,1        4,1        5,1        6,1
1,2        2,2        3,2        4,2        5,2        6,2
1,3        2,3        3,3        4,3        5,3        6,3
1,4        2,4        3,4        4,4        5,4        6,4
1,5        2,5        3,5        4,5        5,5        6,5
1,6        2,6        3,6        4,6        5,6        6,6
       1          1          1          1          1          1
      36         36         36         36         36         36
Evento A: salga 7
A= [1,6:2,5: 3,4: 4,3 : 5,2:6,1 }

P(A)= 1/36+1/36+1/36+ 1/36+1/36+1/36= 6/36= 1/6                    probabilidad de que
salga 7




  3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 11 cuando se lanza 2 dados?

Espacio:

1,1         2,1         3,1         4,1        5,1           6,1
1,2         2,2         3,2         4,2        5,2           6,2
1,3         2,3         3,3         4,3        5,3           6,3
1,4         2,4         3,4         4,4        5,4           6,4
1,5         2,5         3,5         4,5        5,5           6,5
1,6         2,6         3,6         4,6        5,6           6,6
                                                         1          1
                                                     36            36


Evento A: salga 11
A= [5,6: 6,5]
P(A)= 1/36+1/36= 2/36= 1/18               probabilidad
de que sea un 11
4. Se saca una carta de una baraja de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de
      que la carta elegida sea una negara o un rey?

Espacio: 52 cartas

26 cartas negras        2 cartas negras pueden

  4 reyes                     ser reyes

Evento A : 26 negras; 26/52

Evento B: 4 reyes: 4/52

Relación: P(AUB): 2/52

P (AUB) = P (A) +P (B) - P (AUB)

P (AUB) = 26/52+ 4/52 – 2/52 = 28/52

P (AUB) = 7/13 probabilidad de que sea un rey o una carta negra.



   5. Se lanza un dado no cargado ¿Cuál es la probabilidad de obtener como
      resultado un número par o divisible para 3?

Espacio:{ 1, 2, 3, 4, 5 ,6}

Evento A: resultado par

Evento B: resultado divisible para 3

Evento A: {2, 4, 6}= 3/6

Evento B: {3,6} = 2/6

A ∩B= 6

P (AUB) = P (A) +P (B) - P (AUB)

P (AUB) = 3/6+2/6-1/6 = 2/3 probabilidad.
6. Determinar la probabilidad de obtener un 4 o un 5 al lanzar un dado no
      cargado

Espacio: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

       = {1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6 = 6/6 = 1

Eventos:

A = salga un 4 = 1/6

B = salga un 5 = 1/6

P (AUB)= P(A)+ P (B)

P (AUB)= 1/6+ 1/6 = 1/3 Probabilidad.



   7. Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un As
      o un Rey?

Espacio: 52 cartas

Evento A: salga un As = 4= 4/52

Evento B: salga un rey = 4= 4/52

P (AUB) = P (A) + P (B)

P (AUB) = 4/52+ 4/52 = 8/52 = 2/13 Probabilidad.

   8. Se lanza un dado no cargado, dado que el resultado es un numero par
      ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3?

Espacio: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento A: resultados pares {2, 4, 6}

Evento B: resultado mayores que 3 {4,5, 6}

AUB: resultado par mayores que 3 {4, 6}

Como el dado no está cargado asignamos a cada punto de la muestra una probabilidad
de 1/6 en consecuencia:

P(A)= 3/6
P(A ∩ B)= 2/6

P (B/A) = (2/6)/(3/6) = 2/3 Probabilidad.

  9. Se lanza 2 dados ¿cual será la probabilidad de que caiga 2 números
     iguales con la condición de que su suma sea mayor que 9?

Espacio:

1,1   2,1   3,1   4,1   5,1   6,1
1,2   2,2   3,2   4,2   5,2   6,2
1,3   2,3   3,3   4,3   5,3   6,3
1,4   2,4   3,4   4,4   5,4   6,4
1,5   2,5   3,5   4,5   5,5   6,5
1,6   2,6   3,6   4,6   5,6   6,6


Evento A: sea mayor que 9: {4,6: 5,5: 5,6: 6,4. 6,5: 6,6} = 6/36

Evento B: sean iguales: {1,1: 2,2: 3,3: 4,4: 5,5: 6,6} = 6/36

AUB: {5, 5: 6, 6} = 2/36

P (A/B) = P (A ∩ B)/ P (B)

P (A/B) = (2/36)/ (6/36) = 2/6 = 1/3 probabilidad.



  10. De 300 estudiantes de esta facultad 100 cursan auditoria y 80
      administración de empresas, estas cifras incluyan a 30 estudiantes que
      siguen ambas carreras ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante,
      curse auditoria o administración o ambas?

Espacio: 300 estudiantes

Evento A. 100 cursan auditoria

Evento B: 80 cursan Administración

A ∩ B 30 siguen ambas carreras

P (AUB)= P(A) + P (B) – P(A ∩ B)

P (AUB)= 100/300+ 80/300 – 30/300 = 150/300

P (AUB)= ½ probabilidad
11. En quito la probabilidad de que llueva el 1 de noviembre es de 0.50 y la
      probabilidad de que llueva el 1 y el 2 de noviembre es de 0.40 dado que
      llovió el 1 de noviembre¿ cuál es la probabilidad de que llueva el día
      siguiente 2 de noviembre?

Evento A: probabilidad de que llueva = 0.50 – 1 de noviembre

Evento B: probabilidad de que llueva = 0,40 – 1 y 2 de noviembre

P(B/A) = P (A)* P(B)/ P(A)

P(B/A)= P(B)/P(A) = 0.40/ 0.50 = 0.80 probabilidad .




   12. Se sacan 2 cartas sin sustitución de una baraja ¿cuál es la probabilidad de
       que ambas sean Ases?

    Evento A: suceso de que la primera sea As

    Evento B: suceso de que la segunda sea As

    P(A ∩ B)= P(A)* P (B)

    P(A) = 4/52

    P (B) = 3/ 51

    P(A∩ B) = P(A) * P(A/B) = 4/52 * 3/51 = 12/ 2652 probabilidad.

   13. Determinar la probabilidad de obtener 2 caras si se lanza sucesivamente 2
       veces una moneda.

Espacio: { c,c: c,s: s,s: s,c}

P (c1 ∩ c2) = Pc1* Pc2

P (c1∩ c2) = ½* ½ = ¼ probabilidad
14. Determinar la probabilidad de obtener un 6 y un 5 sucesivamente al
       lanzar un dado 2 veces.

   Espacio:

1,1   2,1    3,1   4,1   5,1   6,1
1,2   2,2    3,2   4,2   5,2   6,2
                                        Total 36
1,3   2,3    3,3   4,3   5,3   6,3
1,4   2,4    3,4   4,4   5,4   6,4
1,5   2,5    3,5   4,5   5,5   6,5
1,6   2,6    3,6   4,6   5,6   6,6


P (6 ∩ 5) = P (6) * P (5)

P (6 ∩ 5) = 1/6 * 1/6 = 1/36

   15. Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras. Se extrae 2 bolitas
       sucesivamente y sin restitución:
    1. ¿cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean blancas?
    2. ¿de qué la 1° sea blanca y la 2° negra?
    3. ¿cuál es la probabilidad de que 1° negra y la 2° blanca?
    4. ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?

Espacio:

6 blancas

4 negras

10 bolitas

Evento A: ambas sean blancas

   1. 1° blanca = 6/10
   2. 2° blanca = 5/9


P (1∩ 2) = P (1) * P (2)

P (1∩ 2) = 6/10 * 5/9 = 30/90

Evento B: 1° blanca y 2° negra

       1. 1era blanca = 6/10
       2. 2da negra = 4/9
P (1∩ 2) = P (1) * P (2)

P (1∩ 2) = 6/10 * 6/9 = 24/90

Evento C: 1era negra y 2da negra

   1. 1era negra = 4 /10
   2. 2da negra = 6/9

P (1∩ 2) = P (1) * P (2)

P (1∩ 2) = 4/10 * 6/9 = 24/90

Evento D: ambas sean negras

   1. 1 era Negra
   2. 2da Negra

P (1∩ 2) = P (1) * P (2)

P (1∩ 2) = 4/10 * 3/9 = 12/90



  16. La urna A contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la urna B contiene 3 Bolitas
      verdes y 7 rojas. Se extrae una bolita de cada urna ¿Cuál es la probabilidad
      de que sean del mismo color?

   Espacio:

Urna A        Urna B       Total
6 verdes      3 verdes     9 verdes
4 rojas       7 rojas      11 rojas


P (mismo color)

   1. P(ambas sean verdes)
   2. P(ambas sean rojas)



P (mismo color)= P (ambas sean verdes)+ P (ambas sean rojas)

P (mismo color)= P (v1∩V2) + P (R1∩ R2)

P (mismo color)= p(v1)*P(v2)+ P(R1)*P(R2)
P (mismo color)= 6/10*3/10+ 4/10* 7/10

P (mismo color)= 18/100 + 28/100 = 46/100 probabilidad

  17. Un dispositivo consiste de 3 componentes A,B,C el dispositivo se
      considera defectuoso si uno o más de los componentes lo son la
      probabilidad de que A sea el defectuoso es de 1% de que B sea el
      defectuoso 2% y de que sea defectuoso es el 10% .
   1. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso?
   2. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso debido solo
       a una falla del componente C?
   1. Sea:

P(A): probabilidad de que A sea defectuoso

P (A1): probabilidad de que A no sea defectuoso

P (B): probabilidad de que B sea defectuoso

P (B1): probabilidad de que B no sea defectuoso

P(C): probabilidad de que C sea defectuoso

P (C1): probabilidad de que C no sea defectuoso

Calculemos: P (A1): P (B1): P (C1)

P (A1): 1- P (A) = 1-0, 01 = 0, 99

P (B1): 1 – P (B) = 1-0, 02= 0, 98

P (C1): 1- p(C) = 1- 0, 10 = 0, 90

El dispositivo está bien y sus componentes:

P (dispositivo bueno) = P (A1) ∩ P (B1) ∩ P (C1)

P (dispositivo bueno) = P (A1) * P (B1) * P (C1)

P (dispositivo bueno) = 0.99* 0,98*0,90 = 0,87318

P (dispositivo defectuoso) = 1 – dispositivo bueno

P (dispositivo defectuoso) = 1- 0,87318 = 0,12682

   2. Probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso debido a solo una falla
      de C
P (A1) ∩ P (B1) ∩ P (C) = P (A1) * P (B1) *P (C)

P (A1) ∩ P (B1) ∩ P (C) = 0, 99* 0, 98* 0, 10 = 0, 09702



  18. Suponga que se lanzan 2 dados balanceados 2 veces. Encuentre la
      probabilidad de obtener un total de 7 en el 1er lanzamiento y un total de
      12 en el otro

   Espacio:

1,1            2,1            3,1           4,1            5,1      6,1
1,2            2,2            3,2           4,2            5,2      6,2
1,3            2,3            3,3           4,3            5,3      6,3
1,4            2,4            3,4           4,4            5,4      6,4
1,5            2,5            3,5           4,5            5,5      6,5
1,6            2,6            3,6           4,6            5,6      6,6


Evento A: que salga 7 en el primer lanzamiento

P(A) = 1/36 +1/36 +1/36 + 1/36 +1/36 +1/36 = 6/36 = 1/6 Probabilidad.

Evento B: que salga 12 en el 2do lanzamiento

P(B): 1/36 probabilidad.

  19. Encuentre la probabilidad de obtener el mismo número en 3 lanzamientos
      de un dado.



1,1,1          2,1,2          3,1,3         4,1,4          5,1,5    6,1,6
1,2,1          2,2,2          3,2,3         4,2,4          5,2,5    6,2,6
1,3,1          2,3,2          3,3,3         4,3,4          5,3,5    6,3,6
1,4,1          2,4,2          3,4,3         4,4,4          5,4,5    6,4,6
1,5,1          2,5,2          3,5,3         4,5,4          5,5,5    6,5,6
1,6,1          2,6,2          3,6,3         4,6,4          5,6,5    6,6,6


1/216          1/216           1/216          1/216        1/216    1/216
P(A) = 1/216 + 1/216 + 1/216 +1/216 +1/216 +1/216 = 6/216 = 1/36 Probabilidad



  20. Se seleccionan 3 cartas de manera aleatoria y con reemplazo de una
      baraja ordinaria de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de escoger 3
      reyes.



Espacio: 52 cartas

Reyes: 4cartas: 4/52

P(A) = 1/52 + 1/52 + 1/52 = 3/ 52 Probabilidad

                             TEOREMA DE BAYES
   1. Tenemos 2 urnas A1 tiene 8 bolitas blancas y 2 Negras y la urna A2 tiene
      3 bolitas blancas y 7 negras. Se elige una urna al azar y se saca una bolita
      de la urna elegida, si obtenemos un premio de 2.000 cuando la bolita es
      blanca ¿cuál es la probabilidad de ganar?

   Si se elige la urna 1

   P (A∩B) = P(A).P (B/A)

   P (A∩B) = 1/2* 8/10 = 8/20

   Si se elige la urna 2

   P (A∩B) = P (A).P (B/A)

   P (A∩B) = ½* 3/10 = 3/20

   2. La urna A1 tiene 8 bolitas blancas y 2 Negras y la urna A2 tiene 3 bolitas
      blancas y 7 negras y la urna 3 tiene 5 bolitas blancas y 5 negras. E lanza
      un dado, si el resultado es 1, 2,3 se saca una bola de la urna A1 si resulta
      4 o 5 la bolita se saca de la urna A2 y final mente si resulta 6 se saca de la
      urna A3. Dado que la bolita extraída fue blanca ¿cuál es la probabilidad
      de que ella provenga de la urna A2?
P (A1) = 3/6 = 8 blancas       P (B/A1) = 8/10             A = 1, 2, 3 = 3/6

                2 negras                                   B = 4, 5 = 2/6

P (A2) = 2/6 = 3 blancas       P (B/A2) = 3/10             C = 6 = 1/6

               7 negras

P (A3) = 1/6 = 5 blancas     P (B/A3) = 5/10

              5 negras

P(A/B) = P (A∩B)/P (B)

P (A/B) = P (A2) * p (B/A2)/ P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2)

P (A/B) = (2/6* 3/10)/ (3/6*8/10) + (2/6 *3/10)+(1/6* 5/10)

P (A/B) = (6/50)/(35/60) = 6/35



   3. La urna A contiene 6 bolitas grises y 4 rojas, la urna B contiene 2 bolitas
      grises y 7 rojas. Se saca una bolita de una urna A y se coloca en la B en
      seguida se saca una bolita de la urna B dado que la bolita extraída de B es
      gris ¿cuál es la probabilidad de que la bolita extraída de a también haya
      sido gris?

P (G1): probabilidad de que la bola sea gris cuando se saca de A

P (G2): probabilidad de que la bola sea roja cuando se saca de A

P (G3): probabilidad de que la bola sea roja cuando se saca de B

P (A/G) = P (G1). P (G2/G3)/ P (G)

P (A/G) = (6/100 * 3/100)/ 26/100 = (18/100)/(28/100)

P (A/G) = 18/26

   4. En una empresa se sabe que hay 3 secciones que producen diariamente
      1.200, 800, y 1.000 cajas de radios transitorios, además se conoce que la
      primera sección produce el 10% de radios defectuosos, la segunda
      sección el 5% y la 3 sección el 8% .de la producción, de un día se elige al
      azar una caja y de ella se extrae un radio que resulta defectuosa ¿ cuál es
      la probabilidad de que provenga de la tercera sección?
SECCIONES     PRODUCCION      DEFECTUOSOS
1    A             1.200           10%         120
2    B             800             5%          40
3    C             1.00            8%          80
                   3000                        240


P (A/B) = P (A2) * p (B/A2)/ P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2)

P (A/B) = (1000/3000* 80/1000)/ (1200/3000* 120/1200* 800/3000*40/800 +
1000/3000* 80/1000)

P (A/B) = (80/3000)/ (240/3000)

P (A/B) = 80/240 = 1/3

    5. 2 bolsas idénticas la bolsa 1 y la bolsa 2 están sobre una tabla, la bolsa 1
       contiene un caramelo Rojo y otro Negro. La bolsa 2 contiene 2 caramelos
       rojos se selecciona una bolsa al azar y de esta se toma un caramelo de
       manera aleatoria. El caramelo es rojo ¿Cuál es la probabilidad que el otro
       caramelo dentro de la bolsa seleccionada sea roja?

    Eventos:

    B1: selección de bolsa 1

    B2: selección de bolsa 2

    R: selección caramelo Rojo

    P(R/B1) = ½ y P(R/B2)= 1

P (B2/R) = P (B2) * p (R/B2)/ P (B1). P (R/B1) + P (B2). P (R/B2)

P (B2/R) = (1/2)(1)/(1/2)(1/2)+ (1/2)(1)

P (B2/R)= ¾
EJERCICIO

                                        DEL EXAMEN




           Un almacén está considerando cambiar su política de otorgamiento de
           crédito para reducir el número de clientes que finalmente no pagan
           sus cuentas.
           El gerente de crédito sugiere que en el futuro el crédito le sea
           cancelado a cualquier cliente que se demore una semana o más en sus
           pagos en 2 ocasiones distintas la sugerencia del gerente se basa en el
           hecho de que en el pasado el 90% de todos los clientes que finalmente
           no pagaron sus cuentas se habían demorado en sus pagos es por lo
           menos 2 ocasiones
           Suponga que de una investigación independiente encontramos que el
           2% de todos los clientes (con crédito) finalmente no pagan sus
           cuentas y que de aquellas que finalmente si las pagan el 45% han
           demorado por lo menos 2 ocasiones.
           Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro por lo
           menos 2 ocasiones finalmente no pague su cuenta y son la
           información obtenida. Analice la política que han sugerido el gerente
           de ventas.



P(c) 0, 98 -------- P (D/C) = 0, 45 = 0, 44

P(c) 0, 98 -------- P (D´/C) = 0, 55 = 0,593

P (C´) 0, 02 --------P (D/C) = 0, 90 = 0, 18

P (C´) 0, 02 -------- P (D´/C´) = 0, 10 = 0, 02

P (C´/D) = 0, 018 = 0,018 = 0, 0392 = 3, 92%

          = 0, 018+ 0, 44= 0,459

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  • 1. NOMBRE: YESSENIA BOADA CURSO: CA4-7 EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 3 monedas? 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7 al lanzar 2 dados 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 1 1 1 1 1 1 36 36 36 36 36 36
  • 2. Evento A: salga 7 A= [1,6:2,5: 3,4: 4,3 : 5,2:6,1 } P(A)= 1/36+1/36+1/36+ 1/36+1/36+1/36= 6/36= 1/6 probabilidad de que salga 7 3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 11 cuando se lanza 2 dados? Espacio: 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 1 1 36 36 Evento A: salga 11 A= [5,6: 6,5] P(A)= 1/36+1/36= 2/36= 1/18 probabilidad de que sea un 11
  • 3. 4. Se saca una carta de una baraja de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de que la carta elegida sea una negara o un rey? Espacio: 52 cartas 26 cartas negras 2 cartas negras pueden 4 reyes ser reyes Evento A : 26 negras; 26/52 Evento B: 4 reyes: 4/52 Relación: P(AUB): 2/52 P (AUB) = P (A) +P (B) - P (AUB) P (AUB) = 26/52+ 4/52 – 2/52 = 28/52 P (AUB) = 7/13 probabilidad de que sea un rey o una carta negra. 5. Se lanza un dado no cargado ¿Cuál es la probabilidad de obtener como resultado un número par o divisible para 3? Espacio:{ 1, 2, 3, 4, 5 ,6} Evento A: resultado par Evento B: resultado divisible para 3 Evento A: {2, 4, 6}= 3/6 Evento B: {3,6} = 2/6 A ∩B= 6 P (AUB) = P (A) +P (B) - P (AUB) P (AUB) = 3/6+2/6-1/6 = 2/3 probabilidad.
  • 4. 6. Determinar la probabilidad de obtener un 4 o un 5 al lanzar un dado no cargado Espacio: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6 = 6/6 = 1 Eventos: A = salga un 4 = 1/6 B = salga un 5 = 1/6 P (AUB)= P(A)+ P (B) P (AUB)= 1/6+ 1/6 = 1/3 Probabilidad. 7. Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un As o un Rey? Espacio: 52 cartas Evento A: salga un As = 4= 4/52 Evento B: salga un rey = 4= 4/52 P (AUB) = P (A) + P (B) P (AUB) = 4/52+ 4/52 = 8/52 = 2/13 Probabilidad. 8. Se lanza un dado no cargado, dado que el resultado es un numero par ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3? Espacio: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento A: resultados pares {2, 4, 6} Evento B: resultado mayores que 3 {4,5, 6} AUB: resultado par mayores que 3 {4, 6} Como el dado no está cargado asignamos a cada punto de la muestra una probabilidad de 1/6 en consecuencia: P(A)= 3/6
  • 5. P(A ∩ B)= 2/6 P (B/A) = (2/6)/(3/6) = 2/3 Probabilidad. 9. Se lanza 2 dados ¿cual será la probabilidad de que caiga 2 números iguales con la condición de que su suma sea mayor que 9? Espacio: 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 Evento A: sea mayor que 9: {4,6: 5,5: 5,6: 6,4. 6,5: 6,6} = 6/36 Evento B: sean iguales: {1,1: 2,2: 3,3: 4,4: 5,5: 6,6} = 6/36 AUB: {5, 5: 6, 6} = 2/36 P (A/B) = P (A ∩ B)/ P (B) P (A/B) = (2/36)/ (6/36) = 2/6 = 1/3 probabilidad. 10. De 300 estudiantes de esta facultad 100 cursan auditoria y 80 administración de empresas, estas cifras incluyan a 30 estudiantes que siguen ambas carreras ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante, curse auditoria o administración o ambas? Espacio: 300 estudiantes Evento A. 100 cursan auditoria Evento B: 80 cursan Administración A ∩ B 30 siguen ambas carreras P (AUB)= P(A) + P (B) – P(A ∩ B) P (AUB)= 100/300+ 80/300 – 30/300 = 150/300 P (AUB)= ½ probabilidad
  • 6. 11. En quito la probabilidad de que llueva el 1 de noviembre es de 0.50 y la probabilidad de que llueva el 1 y el 2 de noviembre es de 0.40 dado que llovió el 1 de noviembre¿ cuál es la probabilidad de que llueva el día siguiente 2 de noviembre? Evento A: probabilidad de que llueva = 0.50 – 1 de noviembre Evento B: probabilidad de que llueva = 0,40 – 1 y 2 de noviembre P(B/A) = P (A)* P(B)/ P(A) P(B/A)= P(B)/P(A) = 0.40/ 0.50 = 0.80 probabilidad . 12. Se sacan 2 cartas sin sustitución de una baraja ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean Ases? Evento A: suceso de que la primera sea As Evento B: suceso de que la segunda sea As P(A ∩ B)= P(A)* P (B) P(A) = 4/52 P (B) = 3/ 51 P(A∩ B) = P(A) * P(A/B) = 4/52 * 3/51 = 12/ 2652 probabilidad. 13. Determinar la probabilidad de obtener 2 caras si se lanza sucesivamente 2 veces una moneda. Espacio: { c,c: c,s: s,s: s,c} P (c1 ∩ c2) = Pc1* Pc2 P (c1∩ c2) = ½* ½ = ¼ probabilidad
  • 7. 14. Determinar la probabilidad de obtener un 6 y un 5 sucesivamente al lanzar un dado 2 veces. Espacio: 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 Total 36 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 P (6 ∩ 5) = P (6) * P (5) P (6 ∩ 5) = 1/6 * 1/6 = 1/36 15. Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras. Se extrae 2 bolitas sucesivamente y sin restitución: 1. ¿cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean blancas? 2. ¿de qué la 1° sea blanca y la 2° negra? 3. ¿cuál es la probabilidad de que 1° negra y la 2° blanca? 4. ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean negras? Espacio: 6 blancas 4 negras 10 bolitas Evento A: ambas sean blancas 1. 1° blanca = 6/10 2. 2° blanca = 5/9 P (1∩ 2) = P (1) * P (2) P (1∩ 2) = 6/10 * 5/9 = 30/90 Evento B: 1° blanca y 2° negra 1. 1era blanca = 6/10 2. 2da negra = 4/9
  • 8. P (1∩ 2) = P (1) * P (2) P (1∩ 2) = 6/10 * 6/9 = 24/90 Evento C: 1era negra y 2da negra 1. 1era negra = 4 /10 2. 2da negra = 6/9 P (1∩ 2) = P (1) * P (2) P (1∩ 2) = 4/10 * 6/9 = 24/90 Evento D: ambas sean negras 1. 1 era Negra 2. 2da Negra P (1∩ 2) = P (1) * P (2) P (1∩ 2) = 4/10 * 3/9 = 12/90 16. La urna A contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la urna B contiene 3 Bolitas verdes y 7 rojas. Se extrae una bolita de cada urna ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? Espacio: Urna A Urna B Total 6 verdes 3 verdes 9 verdes 4 rojas 7 rojas 11 rojas P (mismo color) 1. P(ambas sean verdes) 2. P(ambas sean rojas) P (mismo color)= P (ambas sean verdes)+ P (ambas sean rojas) P (mismo color)= P (v1∩V2) + P (R1∩ R2) P (mismo color)= p(v1)*P(v2)+ P(R1)*P(R2)
  • 9. P (mismo color)= 6/10*3/10+ 4/10* 7/10 P (mismo color)= 18/100 + 28/100 = 46/100 probabilidad 17. Un dispositivo consiste de 3 componentes A,B,C el dispositivo se considera defectuoso si uno o más de los componentes lo son la probabilidad de que A sea el defectuoso es de 1% de que B sea el defectuoso 2% y de que sea defectuoso es el 10% . 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso debido solo a una falla del componente C? 1. Sea: P(A): probabilidad de que A sea defectuoso P (A1): probabilidad de que A no sea defectuoso P (B): probabilidad de que B sea defectuoso P (B1): probabilidad de que B no sea defectuoso P(C): probabilidad de que C sea defectuoso P (C1): probabilidad de que C no sea defectuoso Calculemos: P (A1): P (B1): P (C1) P (A1): 1- P (A) = 1-0, 01 = 0, 99 P (B1): 1 – P (B) = 1-0, 02= 0, 98 P (C1): 1- p(C) = 1- 0, 10 = 0, 90 El dispositivo está bien y sus componentes: P (dispositivo bueno) = P (A1) ∩ P (B1) ∩ P (C1) P (dispositivo bueno) = P (A1) * P (B1) * P (C1) P (dispositivo bueno) = 0.99* 0,98*0,90 = 0,87318 P (dispositivo defectuoso) = 1 – dispositivo bueno P (dispositivo defectuoso) = 1- 0,87318 = 0,12682 2. Probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso debido a solo una falla de C
  • 10. P (A1) ∩ P (B1) ∩ P (C) = P (A1) * P (B1) *P (C) P (A1) ∩ P (B1) ∩ P (C) = 0, 99* 0, 98* 0, 10 = 0, 09702 18. Suponga que se lanzan 2 dados balanceados 2 veces. Encuentre la probabilidad de obtener un total de 7 en el 1er lanzamiento y un total de 12 en el otro Espacio: 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 Evento A: que salga 7 en el primer lanzamiento P(A) = 1/36 +1/36 +1/36 + 1/36 +1/36 +1/36 = 6/36 = 1/6 Probabilidad. Evento B: que salga 12 en el 2do lanzamiento P(B): 1/36 probabilidad. 19. Encuentre la probabilidad de obtener el mismo número en 3 lanzamientos de un dado. 1,1,1 2,1,2 3,1,3 4,1,4 5,1,5 6,1,6 1,2,1 2,2,2 3,2,3 4,2,4 5,2,5 6,2,6 1,3,1 2,3,2 3,3,3 4,3,4 5,3,5 6,3,6 1,4,1 2,4,2 3,4,3 4,4,4 5,4,5 6,4,6 1,5,1 2,5,2 3,5,3 4,5,4 5,5,5 6,5,6 1,6,1 2,6,2 3,6,3 4,6,4 5,6,5 6,6,6 1/216 1/216 1/216 1/216 1/216 1/216
  • 11. P(A) = 1/216 + 1/216 + 1/216 +1/216 +1/216 +1/216 = 6/216 = 1/36 Probabilidad 20. Se seleccionan 3 cartas de manera aleatoria y con reemplazo de una baraja ordinaria de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de escoger 3 reyes. Espacio: 52 cartas Reyes: 4cartas: 4/52 P(A) = 1/52 + 1/52 + 1/52 = 3/ 52 Probabilidad TEOREMA DE BAYES 1. Tenemos 2 urnas A1 tiene 8 bolitas blancas y 2 Negras y la urna A2 tiene 3 bolitas blancas y 7 negras. Se elige una urna al azar y se saca una bolita de la urna elegida, si obtenemos un premio de 2.000 cuando la bolita es blanca ¿cuál es la probabilidad de ganar? Si se elige la urna 1 P (A∩B) = P(A).P (B/A) P (A∩B) = 1/2* 8/10 = 8/20 Si se elige la urna 2 P (A∩B) = P (A).P (B/A) P (A∩B) = ½* 3/10 = 3/20 2. La urna A1 tiene 8 bolitas blancas y 2 Negras y la urna A2 tiene 3 bolitas blancas y 7 negras y la urna 3 tiene 5 bolitas blancas y 5 negras. E lanza un dado, si el resultado es 1, 2,3 se saca una bola de la urna A1 si resulta 4 o 5 la bolita se saca de la urna A2 y final mente si resulta 6 se saca de la urna A3. Dado que la bolita extraída fue blanca ¿cuál es la probabilidad de que ella provenga de la urna A2?
  • 12. P (A1) = 3/6 = 8 blancas P (B/A1) = 8/10 A = 1, 2, 3 = 3/6 2 negras B = 4, 5 = 2/6 P (A2) = 2/6 = 3 blancas P (B/A2) = 3/10 C = 6 = 1/6 7 negras P (A3) = 1/6 = 5 blancas P (B/A3) = 5/10 5 negras P(A/B) = P (A∩B)/P (B) P (A/B) = P (A2) * p (B/A2)/ P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2) P (A/B) = (2/6* 3/10)/ (3/6*8/10) + (2/6 *3/10)+(1/6* 5/10) P (A/B) = (6/50)/(35/60) = 6/35 3. La urna A contiene 6 bolitas grises y 4 rojas, la urna B contiene 2 bolitas grises y 7 rojas. Se saca una bolita de una urna A y se coloca en la B en seguida se saca una bolita de la urna B dado que la bolita extraída de B es gris ¿cuál es la probabilidad de que la bolita extraída de a también haya sido gris? P (G1): probabilidad de que la bola sea gris cuando se saca de A P (G2): probabilidad de que la bola sea roja cuando se saca de A P (G3): probabilidad de que la bola sea roja cuando se saca de B P (A/G) = P (G1). P (G2/G3)/ P (G) P (A/G) = (6/100 * 3/100)/ 26/100 = (18/100)/(28/100) P (A/G) = 18/26 4. En una empresa se sabe que hay 3 secciones que producen diariamente 1.200, 800, y 1.000 cajas de radios transitorios, además se conoce que la primera sección produce el 10% de radios defectuosos, la segunda sección el 5% y la 3 sección el 8% .de la producción, de un día se elige al azar una caja y de ella se extrae un radio que resulta defectuosa ¿ cuál es la probabilidad de que provenga de la tercera sección?
  • 13. SECCIONES PRODUCCION DEFECTUOSOS 1 A 1.200 10% 120 2 B 800 5% 40 3 C 1.00 8% 80 3000 240 P (A/B) = P (A2) * p (B/A2)/ P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2) P (A/B) = (1000/3000* 80/1000)/ (1200/3000* 120/1200* 800/3000*40/800 + 1000/3000* 80/1000) P (A/B) = (80/3000)/ (240/3000) P (A/B) = 80/240 = 1/3 5. 2 bolsas idénticas la bolsa 1 y la bolsa 2 están sobre una tabla, la bolsa 1 contiene un caramelo Rojo y otro Negro. La bolsa 2 contiene 2 caramelos rojos se selecciona una bolsa al azar y de esta se toma un caramelo de manera aleatoria. El caramelo es rojo ¿Cuál es la probabilidad que el otro caramelo dentro de la bolsa seleccionada sea roja? Eventos: B1: selección de bolsa 1 B2: selección de bolsa 2 R: selección caramelo Rojo P(R/B1) = ½ y P(R/B2)= 1 P (B2/R) = P (B2) * p (R/B2)/ P (B1). P (R/B1) + P (B2). P (R/B2) P (B2/R) = (1/2)(1)/(1/2)(1/2)+ (1/2)(1) P (B2/R)= ¾
  • 14. EJERCICIO DEL EXAMEN Un almacén está considerando cambiar su política de otorgamiento de crédito para reducir el número de clientes que finalmente no pagan sus cuentas. El gerente de crédito sugiere que en el futuro el crédito le sea cancelado a cualquier cliente que se demore una semana o más en sus pagos en 2 ocasiones distintas la sugerencia del gerente se basa en el hecho de que en el pasado el 90% de todos los clientes que finalmente no pagaron sus cuentas se habían demorado en sus pagos es por lo menos 2 ocasiones Suponga que de una investigación independiente encontramos que el 2% de todos los clientes (con crédito) finalmente no pagan sus cuentas y que de aquellas que finalmente si las pagan el 45% han demorado por lo menos 2 ocasiones. Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro por lo menos 2 ocasiones finalmente no pague su cuenta y son la información obtenida. Analice la política que han sugerido el gerente de ventas. P(c) 0, 98 -------- P (D/C) = 0, 45 = 0, 44 P(c) 0, 98 -------- P (D´/C) = 0, 55 = 0,593 P (C´) 0, 02 --------P (D/C) = 0, 90 = 0, 18 P (C´) 0, 02 -------- P (D´/C´) = 0, 10 = 0, 02 P (C´/D) = 0, 018 = 0,018 = 0, 0392 = 3, 92% = 0, 018+ 0, 44= 0,459