1. CÁLCULO NUMÉRICO

TEMAS

Teoría de errores.

Solución numérica de ecuaciones no lineales.

Solución de ecuaciones lineales.

Interpolación.

Derivación e Integración numérica.

Solución numérica de ecuaciones diferenciales.

2. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función.

Función continua.

Límite de una sucesión.

Continuidad de una función y convergencia de una
sucesión.

Continuidad de una función y convergencia de una
sucesión.

Derivada de una función.

Diferenciabilidad y continuidad.

3. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema de Rolle.

Teorema del valor medio.

Teorema del valor extremo.

Integral del Rieman.

Teorema del valor medio ponderado.

Teorema del valor intermedio.

Teorema de Taylor

4. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función f en x0.
f
L+ε
ε
L es límite de f en x0 porque por muy
pequeño que sea ε, siempre hay δ>0
tal que para todo x en (x0- δ, x0+δ) se
tendrá que f(x0) estará en (L- ε, L+ ε).
L
ε
L-ε
δ
δ
x0

5. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función f en x0.
f
L+ε
L-ε
L es límite de f en x0 porque por muy
pequeño que sea ε, siempre hay δ tal
que para todo x en (x0- δ, x0+δ) se
tendrá que f(x0) estará en (L- ε, L+ ε).
ε
Lε
δδ
x0

6. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función.
L no es límite de f en x0 porque
hay un ε para el cual no habrá
δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε)
para todo x de (x0- δ, x0+ δ).
ε
L ε
δ δ
x0

7. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función.
L no es límite de f en x0 porque
hay un ε para el cual no habrá
δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε)
para todo x de (x0- δ, x0+ δ).
ε
L ε
δδ
x0

8. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una función.
L no es límite de f en x0 porque
hay un ε para el cual no habrá
δ>0 tal f(x) esté en (L- ε, L+ ε)
para todo x de (x0- δ, x0+ δ).
ε
L
ε
δδ
x0

9. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Función continua en z.
Sea f : X → R
La función f es continua en z ∈ X si lim f ( x) = f ( z ).
x→ z
La función f es continua en X si es continua en todo x ∈ X .
L+ε
ε
Lε
L-ε
f
δδ
z

10. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Límite de una sucesión.
La sucesión infinita de números reales { an } converge a un
número L, llamado el límite de la sucesión, si para todo ε>0
existe un entero N0 tal que para todo n > N0 se cumple |an-L|< ε. El
límite se denota por { an } → L.
Ejemplo :
1
1 1 1
1
{ } = 1, , , , ...., ,....
n
2 3 4
n
1
lim{ } = 0
n →∞ n
Dado ε = 10 −5 , para todo n > N 0 = 10 5 se tiene que
1
− 0 < ε = 10 −5.
n

11. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Continuidad de una función y convergencia de
sucesiones.
La función f : X → R es continua en z ∈ X si y sólo si para toda
sucesión infinita { xn } que converge a z se cumple que
f(x1)
x1
y1
x2
y2
f(y1)
{ f(xn ) } → f(z0).
f(x2)
f(x3)
f(y2)
f(xn) …
f(y3)
x3
f(yn) …
xn …
y3
yn
…
z
f(z)

12. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Derivada de una función.
f ( x + h) − f ( x )
f ( x) = lim
h→ 0
h
'
f(x+h)
f(x)
x
x+h
La derivada de f en x es el límite
de la razón de variación de la función
con respecto a la variación de la
variable alrededor de x; el límite es
tomado cuando la variación tiende
a 0.
Geométricamente, la derivada es la
pendiente de la tangente a la
curva en x.

13. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Diferenciabilidad y continuidad.
Si la función f es diferenciable en x, entonces f es continua en x.

14. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema de Rolle.
Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b]
y diferenciable sobre el intervalo abierto (a,b); Si
f(a)=f(b), entonces existe en (a, b) el valor c tal que f
'(c)=0.
f(a)=f(b)
a
c1
c2
b

15. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema del valor medio.
Sea f la función definida sobre el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b); entonces existe en (a, b) el valor c
tal que f ' (c) = f (b) − f (a) .
b−a
a
c
b

16. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema del valor extremo.
Si f es una función continua definida en [a, b], existen dos
valores de xmin, xmax de [a,b] tales que f(xmin)≤ f(x) ≤ f(xmax) para
todo x de [a,b]. Si f es además diferenciable en [a, b], xmin y xmax
coinciden con a, o b, o los puntos donde f ' es 0.
a xmin
xmax
b
a
xmax
xmin
b

17. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Integral de Rieman.
∫
b
a
b−a n
f ( x) dx = lim
∑ f (xi )
n →∞
n i =1
x0 x1 x2
a
x3
xi = a + i
b−a
n
xn
b

18. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Integral de Rieman.
∫
b
a
b−a n
f ( x) dx = lim
∑ f (xi )
n →∞
n i =1
xi = a + i
x0 x1 x2
a
x3
xn
b
b−a
n

19. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema del valor medio ponderado.
Sea f una función continua definida en [a, b]. Existe un valor x p en
[a, b] tal que
∫
b
a
f ( x)dx = (b − a ) f ( x p )
f(xp)
a
xp
b

20. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema del valor intermedio.
Si f es una función continua definida en [a, b] y si h es un valor tal que
f(a)<h< f(b), entonces existe en (a, b) un valor x h tal que f(xh)= h.
f(b)
h
f(a)
a
xh
b

21. CÁLCULO NUMÉRICO
 CONCEPTOS MATEMÁTICOS BÁSICOS

Teorema de Taylor
Sea f una función continúa derivable n veces en [x, x+h]
y f (n+1) existe en (x, x+h), entonces
f (1) ( x )h f ( 2) ( x )h 2 f ( 3) ( x)h 3
f ( n ) ( x)h n
f ( x + h) = f ( x ) +
+
+
+ ...... +
+ R (ε ),
1!
2!
3!
n!
f ( n ) (ε )h n +1
siendo R (ε ) =
, para algún valor ε entre x y x + h.
( n + 1)!

22. CÁLCULO NUMÉRICO
 TEORÍA DE ERRORES

Error
El error al usar un valor aproximado x en vez un de valor
ideal ó exacto X es la diferencia entre X y x.
Se dice que el error de x es ∆x=X-x.
Error por defecto y error por exceso.
Si x<X se dice que x es una aproximación por defecto;
si x>X se dice que x es una aproximación por exceso.
Error absoluto
El error absoluto de la aproximación x con respecto al
valor exacto X es ∆= |X-x|.

23. CÁLCULO NUMÉRICO
 TEORÍA DE ERRORES
Cota del error absoluto
En la práctica no se conoce el valor exacto X; por lo tanto,
tampoco se conoce el error absoluto del valor aproximado
x. Sólo es posible estimar un límite superior para el error
absoluto de x; este límite recibe el nombre de cota del
error absoluto de x y es representado por ∆ x :
∆= |X-x| ≤ ∆ x .
Si X>x , resulta X-x ≤ ∆ x y X ≤ x+∆x ;
si X<x , resulta x-X ≤ ∆ x y x- ∆x ≤ X ,
de donde
x- ∆x ≤ X ≤ x+∆x , que es denotado por
X= x ± ∆ x
.

24. CÁLCULO NUMÉRICO
 TEORÍA DE ERRORES
Error relativo
El error relativo de un valor aproximado x con respecto a
un valor exacto X es
∆
δ=
|X|
de donde se deduce
∆=δ|X |

25. CÁLCULO NUMÉRICO
 TEORÍA DE ERRORES
Cota del error relativo
Una cota del error relativo de un valor aproximado x, con
respecto a un valor exacto X es un valor δ x tal que
∆
∆
∆x
δ=
≤ δ x de donde resulta que
≤
= δx
|X|
|X| |X|
Normalmente X es desconocido, y x es muy cercano a X ;
entonces se puede escribir ∆ x = |x| δ x.
La última igualdad implica x(1 - δ x )≤ X ≤ x(1 + δ x ),
relación que se representa por X = x(1± δ x ).

26. CÁLCULO NUMÉRICO
TEORÍA DE ERRORES
Fuentes de errores

Error de método
Los modelos son aproximaciones, y por tanto introducen errores.
Error
residual
Cuando el valor es calculado con una parte de un proceso infinito.

Error de redondeo
Cuando el valor requiere más dígitos de los que se puede usar.

Error de operación
Cuando los operandos de una operación son valores aproximados.