Este documento presenta una unidad sobre series. Explica conceptos como series finitas e infinitas, criterios de convergencia como el de D'Alembert y Cauchy, series de potencias, series de Taylor y su uso para representar funciones y calcular integrales. Incluye ejemplos de series como la exponencial y coseno.

1. UNIDAD 4:
SERIES
PROFESOR: TOMAS RAMIREZ
FLORES
ALUMNO: SAENZ TORRES OSCAR
GRADO Y GRUPO: 2*B
INGENIERIA INDUSTRIAL

3. 4.1 Definición de serie
 Una serie aritmética es la suma de una sucesión de
términos.
 Por ejemplo, una serie interesante que aparece en
muchos problemas en ciencia, ingeniería, y
matemática es la serie
geométrica r + r2 + r3 + r4 +... donde ... indica que la
serie continúa indefinidamente.
,
Donde n es el número de términos, a1 es el primer término y r es
la relación común.

4.  Carácter de una serie.
 Convergente: Cuando la suma es un número real.
 Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.
 Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.

6. 4.1.1 SERIE FINITA
En matemáticas, una serie es la suma de los términos
de una sucesión. Se representa una serie con
términos an como donde n es el índice final de
la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma
el valor de absolutamente todos los números
naturales, es decir, .
Las series finitas son las que constan de un determinado, o
finito número de términos, cuya suma extrae
exactamente el valor de una cantidad.

7. Serie aritmética:
Serie geométrica:

8. 4.1.2 SERIE INFINITA
Haciendo la división, que indica esta expresión a+b / a2 –
½ b, el cociente tendrá muchos términos separados unos
de otros con dichos signos, por consiguiente será una
serie. Si prosiguiendo la división siempre hubiese un
residuo que dividir, es decir, que no exista un elemento
que al multiplicarlo por divisor no haya resta que realizar,
el cociente que saldría sería una serie infinita, o que jamás
se acabaría, por lo tanto jamás se podría llegar a una
expresión del todo exacta, de la fracción, o del cociente.
 Si 𝑈 𝑛 es una sucesión y 𝑠 𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢 𝑛
 Entonces 𝑆 𝑛 es una sucesión de sumas parciales
denominada serie infinita y se denota por 𝑛−1
+∞
𝑢 𝑛 = 𝑢1 +
𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢 𝑛 + ⋯
 Los números 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ + 𝑢 𝑛 + ⋯ son los términos
de la serie infinita.

10. 4.2 SERIE NUMERICA Y CONVERGENCIA PRUEBA DE LA
RAZON (CRITERIO DE D’ALEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAIZ
(CRITERIO DE CAUCHY).
 Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o
eventos). Como un conjunto, que contiene los
miembros (también llamados elementos o términos ), y
el número de términos (posiblemente infinita) se llama
la longitud de la secuencia. A diferencia de un
conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos
elementos pueden aparecer varias veces en diferentes
posiciones en la secuencia. Una secuencia es una
discreta función.

11.  Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
 Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
 Si existe
 con , el Criterio de D'Alembert establece que:
 § si L < 1, la serie converge.
 § si L > 1, entonces la serie diverge.
 § si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
 En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.
 Criterio de Cauchy (raíz enésima)
 Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que
existe
 , siendo
 Entonces, si:
 § L < 1, la serie es convergente.
 § L > 1 entonces la serie es divergente.
 § L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de
Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

12. CRITERIO DE D’ALEMBERT:
CRITERIO DE CAUCHY:

13. 4.3 SERIE DE POTENCIAS
 Derivando o integrando una serie de potencias, cuya suma
analítica conozcamos, podemos llegar a una expresión que,
por substitución de la variable, corresponda a la serie
numérica cuya suma buscamos. De esta forma podemos
conseguir determinar la suma numérica indirectamente. Estas
operaciones de derivación e integración sólo son posibles
dentro del radio de convergencia de las serie de potencias.
Aquí radica la importancia de determinar con exactitud el
radio de convergencia.
 𝑎0 + 𝑎1(𝑥 − 𝑎) + 𝑎2(𝑥 − 𝑎)2
+𝑎3(𝑥 − 𝑎)3
+ ⋯ +
𝑎 𝑛(𝑥 − 𝑎) 𝑛
+ ⋯

15. 4.4 RADIO DE CONVERGENCIA
 En muchos casos podemos determinar el intervalo de
convergencia de una serie de potencias con la ayuda del
criterio de convergencia de d’Alembert. A dicho efecto,
construimos —en primer lugar— la serie compuesta por los
valores absolutos de los términos de la serie, que será una serie
de números reales positivos:

17. 4.5 SERIE DE TAYLOR
 La serie de Taylor de una función f de números reales
o complejos que es infinitamente diferenciable en
un entorno de números reales o complejos a, es la
serie de potencias:
 Que puede ser escrito de una manera más
compacta como:
 Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-
ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero
de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son
ambos definidos como uno.

19. 4.6 REPRESENTACION DE
FUNCIONES MEDIANTE SERIE DE
TAYLOR
 En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x)
infinitamente derivable (real o compleja) definida en un
intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente
suma:
 Aquí, n! es el factorial de n y f (n)(a) indica la n-ésima
derivada de f en el punto a.

20. Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x,
entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.
Función e
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una
de tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones
empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la
función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0
se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
f(x)=e(x).... f(o)=1
Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una
idea de como se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la
función se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie

21. La función cumple para todo y
todo .Tomamos
y deducimos que
para todo . Ahora bien,
luego en la serie solo aparecen los sumandos con n = 2k+1 y
queda
para todo . El mismo razonamiento con la función coseno
prueba que
para todo . También se puede obtener derivando el desarrollo
de la función seno.

22. 4.7 CALCULO DE INTEGRALES DE
FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE
DE TAYLOR
 Este teorema permite obtener aproximaciones poli nómicas de una
función en un entorno de cierto punto en que la función sea
diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido
mediante dicha estimación.
 La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que
es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o
complejos a, es la serie de potencias:
 Si Rn (f) es expresado de la primera forma, se lo denomina Término
complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se
expone como una generalización del Teorema del valor medio o
Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra
al teorema como una generalización del Teorema fundamental del
cálculo integral.

24. Bibliografía
1. Unidad 4: Series .Instituto Tecnológico de Tepic. Ingeniero
Roberto Oramos Bustillos.
http://oramasseries.blogspot.com/2011/05/411-serie finita.html
2. Cálculo Integral, Unidad 4.Ing. José Enrique Márquez Eloísa
http://micahga.blogspot.com/2011/06/411-definicion-de-serie-
finita.html
3. Thomas Cerda Lecciones de Matemáticas: Elementos
generales de aritmética y algebra. Impresor de la real
academia de buenas letras de Barcelona. Primera edición.273
paginas.
http://calculointegralchris.blogspot.mx/2012/07/unidad-iv-
series.html
http://es.scribd.com/doc/34238135/Sucesiones-y-Series
http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/48
00/6/7419.pdf