1. Aplicaciones Chi-Cuadrado

5. χ2

10. Caso: Bernoulli

16. cinco

19. Caso: Multinomial
Mientras que en el contraste de independencia se medían dos
características de una misma muestra, ahora se elijen k muestras
de tamaños predeterminados (y no necesariamente iguales) y se
quiere comprobar si todas ellas pueden provenir de la misma
población. Es decir, el objetivo es contrastar si la variable X se
distribuye de igual manera dentro de cada muestra.
La hipótesis nula H0 es entonces que las k muestras son
homogéneas y la forma de operar es la misma que la vista para el
contraste de la independencia.

20. Es decir se puede construir una tabla de contingencia y definir un
estadístico χ2 como el dado en el test de independencia. Ahora k
es el número de muestras y m el número de valores posibles, o
intervalos, de la variable.
Entonces, la hipótesis H0 de homogeneidad se acepta con un
nivel de significación α cuando

21. Ejemplo

22. Solución
Hipótesis
Ho: Existe homogeneidad en las muestras
Podemos calcular las frecuencias esperadas utilizando
De tal forma que podemos añadir a la tabla las frecuencias esperadas así
calculadas (números entre paréntesis):

23. El estadístico para el contraste se calcula mediante

33. Ejemplo

34. Solución
Primero estimaremos por el método de máxima verosimilitud
el valor del parámetro θ:
n
L(x1,...,xn , θ ) = ∏ f ( xi , θ ) =
i =1
Ln L(x1,...,xn , θ ) = − nLnθ −
1
θ
1
n
e
−
1
θ
n
∑x
θ
i =1
i
∑ xi

35. Duración
0-200 200-300 300-400 400-500 500-600
# bombillas ni 40
xi
15
6
6
250
100
8
350
450
550
El valor estimado de θ será:
θˆ =
∑n x
∑n
i i
= 220.67
i
Ahora calculamos las probabilidades esperadas:
1 − x / θˆ
ˆ
ˆ
−a /θ
−b / θ
e dx = e
−e
a ˆ
θ
ˆ
pi = P(a < x < b) = ∫
b
Por ejemplo :
1
e − x / 220.67 dx =
0
220.67
= 0.59
ˆ
p1 = P (0 < x < 200) = ∫
e −0 / 220.67 − e − 200 / 220.67
200

36. Duración
0-200 200-300 300-400 400-500 500-600
# bombillas ni
40
15
8
6
xi
100
150
350
450
550
ˆ
pi
0.59
0.15
0.09
0.06
0.04
6
Aquí la probabilidad
será de 500 a infinito.
Y a partir de ellas podemos calcular los valores esperados de las
muestras:
ˆ
ˆ
Ei = npi
Por ejemplo :
ˆ
ˆ
E1 = n p1 = ( 40 + 15 + 8 + 6 + 6 ) ⋅ 0 . 59 = 44 . 70

37. Duración
0-200 200-300 300-400 400-500 500-600
# bombillas ni
40
15
8
6
xi
100
150
350
450
550
ˆ
pi
ˆ
ˆ
Ei = npi
0.59
0.15
0.09
0.06
0.04
44.70
11.04
7.02
4.46
2.84
6

38. 12
Duración
0-200 200-300 300-400 400-500 500-600
# bombillas ni
40
15
8
6
100
150
350
450
550
ˆ
pi
0.59
0.15
0.09
0.06
0.04
ˆ
ˆ
Ei = npi
44.70
11.04
7.02
4.46
2.84
xi
6
7.30
ˆ
(ni − Ei ) 2 (40 − 44.70) 2
(12 − 7.30) 2
χ2 = ∑
=
+ ... +
= 5.08
ˆ
44.70
7.30
Ei
i =1
4

39. Nuestro estimador chi-cuadrado vale:
El estimador se distribuye como:
0.05
2
χ 2,0.05 = 5.99
χ 2 = 5.08
2
2
χ k2−1−ν = χ 4−1−1 = χ 2
Esta es la diferencia
fundamental con el caso
anterior. Al número de
clases k hay que restarle 1
y el número de parámetros
que previamente hemos
estimado. En este caso:
ν = 1.
χ 2 = 5.08 < 5.99 ⇒ No podemos rechazar H 0