Derivación defunciones de una variable

1. DERIVACIÓN DE FUNCIONES
DE UNA VARIABLE
Licenciado. Ysmael González

2. Definición de derivada
La función f es derivable en a si:
lim
푓 푎 + ℎ − 푓(푎)
h->0 ℎ
En este caso, el límite se designa por f’(a) y recibe el nombre
de derivada de f en a (Decimos también que f es derivable si f
es derivable en a para todo a del dominio de f)

3. Sentido geométrico de la derivada

4. Sentido geométrico de la derivada

5. Sentido Físico de la derivada

6. Reglas del cálculo de las derivadas
푆푖 푓 푥 = 푐 → 푓′ 푥 = 0
푆푖 푓 푥 = 푐 (푔 푥 ) → 푓′ 푥 = 푐(푔′ 푥 )
푆푖 푓 푥 = 푚푥 + 푏 → 푓′ 푥 = 푚
푆푖 푓 푥 = 푔 푥 + ℎ 푥 → 푓′ 푥 = 푔′ 푥 + ℎ′(푥)
푆푖 푓 푥 = 푔 푥 − ℎ 푥 → 푓′ 푥 = 푔′ 푥 − ℎ′(푥)
푆푖 푓 푥 = 푔 푥 . ℎ 푥 → 푓′ 푥 = 푔′ 푥 . ℎ 푥 + 푔 푥 . ℎ′ 푥
푆푖 푓 푥 =
푔 푥
ℎ 푥
→ 푓′ 푥 =
푔′ 푥 . ℎ 푥 − 푔 푥 . ℎ′ 푥
(푔(푥))2
푆푖 푓 푥 = 푥푛 → 푓′ 푥 = 푛. 푥푛−1

7. Reglas del cálculo de las derivadas
(ejemplos)
푆푖 푓 푥 = 5 → 푓′ 푥 = 0
푆푖 푓 푥 = 4푥 + 6 → 푓′ 푥 = 4
푆푖 푓 푥 = 3푥2 → 푓′ 푥 = 6푥
푆푖 푓 푥 = 3푥2 + 4푥 + 6 → 푓′ 푥 = 6푥 + 4

8. Derivada de una función compuesta
Si la función g es diferenciable en x, y la función f
es diferenciable en g(x), entonces la función
compuesta f(g(x)) es diferenciable en x, y:
[풇 품 풙 ]′ = 풇′ 품 풙 . 품′(풙)

9. Derivada de una función compuesta
풉 풙 = (
ퟐ
풙 − ퟏ
)ퟓ
Con 풇 풙 = 풙ퟓ y 품 풙 =
ퟐ
풙−ퟏ
Se cumple:
풇′ 풙 = ퟓ풙ퟒ y g’ (x)= −
ퟐ
(풙−ퟏ)ퟐ
Luego:
풉′(풙) = ퟓ
ퟐ
풙−ퟏ
ퟒ
. −
ퟐ
(풙−ퟏ)ퟐ = −
ퟏퟔퟎ
(풙−ퟏ)ퟔ

10. Teorema del valor medio
Dada cualquier función f continua en [a,b] y
diferenciable en (a,b), entonces existe al menos un
punto c en el intervalo (a,b) en que la tangente a la
curva en c es paralela a la secante que une (a,f(a)) y
(b,f(b)).
퐟 퐛 − 퐟(퐚)
퐛 − 퐚
= 풇′(풄)

11. Teorema del valor medio
Dada la función 푓(푥) =
푥2
4
Hallar la recta tangente que
tiene la misma pendiente que la recta que pasa por
(-4,f(4)) y (6,f(6)):
풇 −ퟒ = ퟒ 풇 ퟔ = ퟗ
푓(푥) =
푥2
4

12. Teorema del valor medio
La pendiente viene dada por:
푚 =
9−4
6− −4
= ½
Luego la recta tangente es: 푡 =
1
2
x + b
Como t corta a f(x):
푥2
4
=
1
2
x + b
Resolviendo: 푥2 − 2푥 − 4푏 = 0

13. Teorema del valor medio
Por lo tanto:
x= 1 ± 1 + 4푏
Como x sólo puede tomar un valor por cortar t a f(x) en un
sólo punto (ya que t es tangente, no secante) :
1 + 4푏 = 0 luego:
푏 = −
1
4 푡 =
1
2
x – ¼

14. Teorema del valor medio
푓(푥) =
푥2
4
푡 =
푥
2
−
1
4

15. Regla de L’hopital
Sean f y g dos funciones definidas en [a,b] y y sean
f(c)=0 y g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g’(x)
diferente de 0 si x es diferente de c, si f y g son
derivables en (a, b), entonces si existe el límite f’/g’ en
c, existe el límite f/g en c igual al anterior.
퐥퐢퐦
풇(풙)
품(풙)
= 퐥퐢퐦
풇′(풙)
품′(풙)
x->c x->c

16. Regla de L’hopital
퐥퐢퐦
풔풆풏(풙)
풙
= 퐥퐢퐦
풔풆풏′(풙)
풙′
=
x->0
퐥퐢퐦
풄풐풔(풙)
ퟏ
= 1
x->0
x->0

17. Teorema de Taylor
Sea f una función con derivadas de orden n en el punto x=0,
entonces existe un polinomio único de grado menor o igual que
n que satisface:
풑 ퟎ = 풇 ퟎ , 풑′ ퟎ = 풇′ ퟎ , 풑′′ ퟎ = 풇′′ ퟎ 풑풌 ퟎ = 풇풌 ퟎ
Dado por:
풑(풙) =
풏
풌=ퟎ
풙(풌)
풌!
풙풌
Donde (k) es el orden de la derivada.

18. Teorema de Taylor
풔풆풏 풙 = 풙 −
풙ퟑ
ퟑ!
+
풙ퟓ
ퟓ!
−
풙ퟕ
ퟕ!
+ … + (−ퟏ)풏 풙ퟐ풏+ퟏ
(ퟐ풏+ퟏ)!
cos 풙 = ퟏ −
풙ퟐ
ퟐ!
+
풙ퟒ
ퟒ!
−
풙ퟔ
ퟔ!
+ … + (−ퟏ)풏 풙ퟐ풏
(ퟐ풏)!
풆풙 = ퟏ +
풙ퟐ
ퟐ!
+
풙ퟑ
ퟑ!
+
풙ퟒ
ퟒ!
+ … +
풙풏
풏!

19. Comportamiento y gráfica de
funciones

20. Valores máximos y mínimos
La función f tiene un máximo relativo en c, si
existe un intervalo abierto que contiene a c, en el que f
esta definida, tal que f(c)≥f(x) para todo x en ese
intervalo.
La función f tiene un mínimo relativo en c, si
existe un intervalo abierto que contiene a c, en el que f
esta definida, tal que f(c)≤f(x) para todo x en ese
intervalo.

21. Criterio de la 1° Derivada
Sea c un punto crítico de una función f continua en un
intervalo. Si f es derivable en ese intervalo, excepto
quizá en f(c) se clasifica:
1. Si f ’(x) cambia de – a +, f(c) es un mínimo relativo
de f.
2. Si f ’(x) cambia de + a -, f(c) es un máximo relativo
de f.

22. Criterio de la 1° Derivada
Si 푓 푥 = 푥2 − 5푥 + 6
Luego
푓′ 푥 = 2푥 − 5
El punto crítico donde f’(x)=0 es x=5/2:
Resolviendo:
Intervalo Valor de
prueba
f’(x) Signo
-∞ < x < 5/2 2 -1 -
(Decreciente)
5P/o2r <lox t a<n+to∞ x=5/23 es un mínimo rela1tivo de +f. (Creciente)

23. Criterio de la 1° Derivada
푓 푥 = 푥2 − 5푥 + 6
Min.

24. Criterio de la 2° Derivada
Sea c un punto crítico de una función f continua en un
intervalo, que cumple f’(c)=0 y existe la segunda
derivada de f en ese intervalo, se cumple que:
1. Si f ’’(c)>0 , f(c) es un mínimo relativo de f.
2. Si f ’’(c)<0 , f(c) es un máximo relativo de f.

25. Criterio de la 2° Derivada
Si
푓 푥 = 푥4 +
4
3
푥3 −4푥2
Luego
푓′ 푥 = 4푥3 + 4푥2 − 8푥
푓′′ 푥 = 12푥2 + 8푥 − 8
Los punto críticos donde f’(x)=0 son x=-2, x=0 y x=1 :
c f’’(c) Signo
-2 24 + Mínimo relativo
0 -8 - Máximo relativo
1 12 + Mínimo relativo

26. Criterio de la 2° Derivada
푓 푥 = 푥4 +
4
3
푥3 −4푥2
Max.
Min.