Un método numérico es un procedimiento para obtener aproximaciones a soluciones de problemas mediante cálculos aritméticos y lógicos. El teorema de Taylor permite obtener aproximaciones polinómicas de funciones mediante series de Taylor y estimar el error. Existen diferentes formas de expresar el término residual como el valor medio, integral o acotado.

1. ¿Qué es un método numérico?
Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi
siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando
cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales,
cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.).
Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que
especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que
producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica)
o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en
parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características
especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En
general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados
de redondeo.
Serie de Taylor
En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico,
Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque
previamente James Gregory lo había descubierto en 1671.1 Este teorema permite
obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto
en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error
obtenido mediante dicha estimación.
Caso de una variable
la versión más básica del teorema es como sigue:
Sea k ≥ 1 un entero y la función f : R → R diferenciable k veces en el punto a ∈ R.
Entonces existe una función Hk : R → R tal que:
Y
Esta es la llamada forma de Peano del resto.

2. El polinomio que aparece en el teorema de Taylor se denomina polinomio de
Taylor de orden k.
de la función f en el punto a. El polinomio de Taylor es el único polinomio que
"mejor aproxima en forma asintótica" en el sentido de que existe una
función hk : R → R y un polinomio p de orden k tal que
entonces p = Pk. El teorema de Taylor describe el comportamiento asintótico del
término del resto
el cual es el error de aproximación cuando se aproxima f con su polinomio de
Taylor. Utilizando la notación o el teorema de Taylor se puede expresar de la
siguiente forma:
Fórmulas explícitas para el resto
Existen diferentes formas de expresar Rk(x) que se mencionan a continuación:
Forma de valor medio del resto. Sea f : R → R diferenciable k + 1 veces en
el intervalo abierto con f(k) continua en el intervalo cerrado entre a y x. Entonces:
para algún número real ξL entre a y x. Esta es la forma de Lagrange del resto.
Similarmente,

3. Para algún número real ξC entre a y x. Esta es la forma de Cauchy del resto.
Usualmente, esta refinación del teorema de Taylor, se demuestra con el teorema
del valor medio, de ahí su nombre. También se pueden hallar expresiones
similares. Por ejemplo, si G(t) es continua en el intervalo cerrado y diferenciable
con derivadas no nulas en el intervalo abierto entre a y x, entonces
para algún número ξ entre a y x. Esta versión generaliza las formas de Lagrange y
Cauchy del resto, que son tomadas como casos especiales, y se demuestran
usando el teorema del valor medio de Cauchy.
En el caso de la forma integral del resto, se requieren conceptos de la teoría
integral de Lebesgue para una generalidad completa. Sin embargo, se mantiene el
concepto que provee la integral de Riemann donde la derivada (k + 1)-ésima de f
es continua en el intervalo cerrado [a,x].
Forma integral del resto. Sea f(k), continua absolutamente en el intervalo
cerrado entre a y x. entonces
Debido a la continuidad absoluta de f(k) en el intervalo cerrado entre a y x su
derivada f(k+1) existe como una función L1, y el resultado puede probarse con un
cálculo formal usando el teorema fundamental del cálculo e integración por partes.
Para algunas funciones F(x), se puede probar que el resto, Rn(F) se aproxima a
cero cuando n se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas
como Series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto a y son
denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con Rn(F) expresado de la segunda forma es también válido
si la función F tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una
variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

4. Acotación del resto
Suele ser muy útil en la práctica acotar el término del resto de la aproximación de
Taylor, en lugar de tener la fórmula exacta de este. Suponiendo que f es
continuamente diferenciable k+1 veces en un intervalo I que contiene a a.
Suponemos que hay constantes q y Q tal que
en el intervalo I. Entonces el término del resto satisface la desigualdad
Si x>a, y similarmente si x<a. Esta es una consecuencia simple de la forma de
Lagrange del resto. En particular, si
sobre un intervalo I=(a-r,a+r) con algún r>0, entonces
Para todo x€ (a-r,a+r). A la segunda desigualdad se la llama acotación uniforme,
porque permanece uniformemente para todo x sobre el intervalo (a-r,a+r).
Ejemplo
Suponiendo que se desea aproximar la función f(x) = ex en el intervalo [−1,1] con
un error no mayor a 10−5. Este ejemplo necesita que se conozcan las siguientes
propiedades de la función exponencial:
De estas propiedades se tiene que f(k)(x) = ex para todo k, y en particular, f(k)(0) =
1. Entonces el polinomio de Taylor de orden k de f en 0 y su resto bajo la forma de
Lagrange son:

5. Donde ξ es algún número entre 0 y x. Ya que ex es creciente (*), podemos usar
simplemente que ex ≤ 1 para x ∈ [−1, 0] para acotar el resto sobre el subintervalo
[−1, 0]. Para obtener una cota superior para el resto en [0,1], usamos la propiedad
eξ<ex para 0<ξ<x para acotar
Usando la expansión de Taylor de segundo orden. Entonces resolvemos ex para
deducir que
simplemente maximizando el numerador y minimizando el denominador.
Combinando estas acotaciones para ex vemos que
así se alcanza la precisión requerida, donde
(ver factorial o calcular manuelmente los valores 9!=362 880 y 10!=3 628 800.)
Como conclusión, el teorema de Taylor permite la aproximación
Luego, esta aproximación nos da la expresión decimal e ≈ 2.71828, correcta hasta
cinco dígitos decimales.

6. Demostración
Sea
Donde, como dice en el enunciado del teorema de Taylor,
Es suficiente mostrar que
La demostración de (1) se basa en la aplicación repetida de la regla de L'Hôpital.
Se observa que, para cada j = 0,1,...,k−1, f^(j).(a)=P^(j). De aquí que cada una de
los primeras k−1 derivadas del numerador en hk(x) se anula en x=a, y lo mismo
sucede con el denominador. También, ya que la condición de que la función f sea
k veces diferenciable en un punto requiere diferenciabilidad de orden k−1 en un
entorno de dicho punto (esto es así, porque la diferenciabilidad requiere una
función definida en un entorno del punto), el numerador y sus k − 2 derivadas son
diferenciables en un entorno de a. Claramente, el denominador también satisface
dicha condición, y adicionalmente, no se anula a menos que x=a, por lo tanto se
satisfacen todas las condiciones para la regla de L'Hopital, y así se justifica su
utilización. Por lo tanto
Donde queda la anteúltima igualdad por la definición de la derivada en x = a.

7. Obtención de la forma de valor medio del resto
Sea G una función real, continua sobre un intervalo cerrado entre a y x y
diferenciable con derivadas no nulas sobre el intervalo abierto entre a y x, y la
función que se define como
Entonces, por el teorema del valor medio de Cauchy,
Para algún ξ sobre el intervalo abierto entre a y x. Se observa que el
numerador F(x) − F(a) = Rk(x) es exactamente el resto del polinomio de Taylor
para f(x). Calculando
reemplazando en (*) y reorganizando los términos para hallar que
Esta es la forma del término que mencionamos como "resto" después enunciamos
el teorema de Taylor con el resto bajo la forma del valor medio. La forma de
Lagrange del resto puede obtenerse haciendo G(t)= (t-x)^k+1 y la forma de
Cauchy haciendo G(t)=t-a
Observación. Usando este método también se puede recurrir a la forma integral
del resto haciendo

8. pero los requerimientos de f necesitados para usar el teorema del valor medio son
más fuertes, si se tiene el objetivo de probar el caso en que f(k) es
únicamente continua absolutamente. Sin embargo, si se usa la integral de
Riemann en vez de la integral de Lebesgue, los requerimientos no pueden ser tan
débiles.
Obtención de la forma integral del resto
Debido a la continuidad absoluta de f(k) sobre el intervalo cerrado entre a y x su
derivada f(k+1) existe como una función L1, y se usa el teorema fundamental del
cálculo y la integración por partes. Esta misma demostración se aplica para
la integral de Riemann teniendo en cuenta que f(k) es continua sobre el intervalo
cerrado y diferenciable sobre el intervalo abierto entre a y x, y esto permite llegar
al mismo resultado que cuando se utilizó el teorema del valor medio.
El teorema fundamental del cálculo dice que
A partir de aquí se usa la integración por partes y se usa una vez más el teorema
fundamental del cálculo para ver que
que es exactamente el teorema de Taylor con resto en la forma integral para el
caso k=1. La enunciación general se demuestra usando la inducción. Suponiendo
que
Integrando el término del resto por partes se llega a que

9. Substituyendo esto en la fórmula in (*) se muestra que si se tiene para el valor k,
debe obtenerse también para el valor k + 1. Por lo tanto, ya que se tiene para
k = 1, se tiene para cualquier valor entero positivo k.