funciones

1. Matemática Básica
2022-1
Semana 1
UPN, PASIÓN POR TRANSFORMAR VIDAS
Función Real de Variable Real
Módulo 1
Videoconferencia 2

2. Motivación
Negocio de transporte.
Un grupo de estudiantes de Negocios de la UPN, decide emprender un negocio turístico. Invierten en una movilidad para
trasladar 40 personas o más. De acuerdo a sus cálculos, el modelo que aseguraría una tarifa justa para cada usuario (en soles)
está dada por la función:
Donde n es la cantidad de usuarios. Escribe la función del ingreso al trasladar n personas
¿Cuánto sería el ingreso económico que recibirían el grupo de estudiantes de UPN, al trasladar 60 personas?
𝑻𝒂𝒓𝒊𝒇𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒔𝒖𝒂𝒓𝒊𝒐 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓 𝒏 − 𝟒𝟎 , 𝒏 ≥ 40
https://www.powtoon.com/s/bMrR7BHLAX2/1/m
Mira el siguiente video, o haz click en la imagen para
reproducir.

3. Saberes previos
Suponga que un hombre de 82 Kilogramos bebe cuatro
cervezas, una tras otra. Se sabe que su concentración de
alcohol en la sangre, CAS, primero se elevará y después
disminuirá y regresará en forma paulatina hasta cero.
Supongamos que nosotros tenemos la posibilidad de evaluar
la concentración de alcohol en la sangre por hora, y
obtenemos los siguientes resultados:
x
y
Porcentaje de concentración de alcohol en la sangre
(CAS).
¿Cómo se llama la magnitud que está en el eje
horizontal x? Tiempo.
¿Cómo se llama la magnitud que está en el eje
vertical y?
¿Cómo están relacionadas la magnitud del eje x con
el eje y? A través de una función.
¿Cuánto es el CAS, en el tiempo 3h, 5h?
En 3h es 0.05% y en 5h es 0.02%
¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el CAS
sea aproximadamente cero?
Aproximadamente 6.5 h

4. Logro
Al finalizar la sesión, el estudiante
resuelve ejercicios y problemas a
través de la definición de función;
determina el dominio y rango de
funciones en forma gráfica;
siguiendo una secuencia lógica e
interpretando sus resultados.
Aprendizaje esperado

5. Tema: Función Real de Variable Real
III. Modelación de situaciones contextualizadas.
II. Dominio, rango y gráfica de una función
I. Función real de variable real
IV. Reto: resolver el problema planteado en la motivación
V. Ejercicio de aplicación para el estudiante
VI. Conclusiones
VII. Material adicional
VIII. Bibliografía
TEMARIO:

6. I. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Definición:
Una función es una regla que asigna a cada elemento del conjunto de partida un único elemento en el conjunto
de llegada. Ejemplo:
El conjunto de partida está formado por las preguntas contestadas por los estudiantes de UPN, en el examen del
curso de Matemática Básica. Y el conjunto de llegada representa la nota obtenida.
0.
1.
2.
3.
4.
5.
0.
4.
8.
12.
16.
20.
Conjunto de números de entrada Conjunto de números de salida
Regla de correspondencia
F(x)= 4.x
Dominio de la función Rango de la función
F(0)= 4(0)=0
F(1)= 4(1)=4
F(2)= 4(2)=8
F(3)= 4(3)=12
F(4)= 4(4)=16
F(5)= 4(5)=20
x Y= f(x)

7. I. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
0.
1.
2.
3.
4.
5.
0.
4.
8.
12.
16.
20.
Dominio
Variable independiente
Número de preguntas
respondidas
Rango
Variable dependiente
Puntaje alcanzado
x Y= f(x)
F(x)= 4.x
Gráfico 1: Diagrama de Venn Euler Gráfico 2: Gráfica en el plano cartesiano de F
Rango
Y=F(X)
Variable
dependiente
Puntaje
alcanzado
Dominio “X”
Variable independiente
Número de preguntas respondidas

8. I. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
¿Será lo siguiente, la representación de una función?
0.
1.
2.
3.
5.
0.
4.
8.
12.
16.
20.
x Y= f(x)
No es función

9. Método gráfico
Dominio de una función 𝑫𝒐𝒎(𝒇): se obtiene proyectando sobre el eje x cada uno de los puntos de la
gráfica.
Rango de una función 𝑹𝒂𝒏(𝒇): se obtiene proyectando sobre el eje y cada uno de los puntos de la gráfica.
II. DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Ejemplo 1 : Determinar el dominio y rango de la siguiente función
𝑫𝒐𝒎 𝒇 = < −𝟏 ; 𝟏 >
𝑹𝒂𝒏 𝒇 = [ 𝟎 ; 𝟏 >

10. Determinar el dominio y rango de la siguiente función:
2
EJERCICIO DE APLICACIÓN 04
Dom f = [ -4 ; 2 ] Ran f = [ -1 ; 3 ]
¿ Cuánto es f(0), f(-2), f(2) ?
f(0) = 2 ; f(-2)=0 ; f(2) =0
¿ Cuánto es f(-3), f(-1), f(2) ?
f(-3) = 2 ; f(-1)=-1 ; f(2) =3

11. EJERCICIO DE APLICACIÓN 04
a. Determinar el dominio y rango de la siguiente función:
b. Cuán es el valor de f(-2) , f(2):

12. EJERCICIO DE APLICACIÓN 02
a. Determinar el dominio y rango de la siguiente función:
b. Cuán es el valor de f(0) , f(2):
Dom f = [ -1 ; 5 >
Ran f = [ -3 ; 3 ]
f(0) = 3
f(2)= -3

13. EJERCICIO DE APLICACIÓN 02
a. Determinar el dominio y rango de la siguiente gráfica:
b. Cuánto es el número de contagiado hasta el 09 de marzo:
c. Cuánto es el número de contagiado hasta el 14 de marzo:
Dom f = [ 6 ; 14 ]
Ran f = [ 0 ; 45 ]
b) 10 contagiados
c) 43 contagiados
a) Dominio y rango

14. III. MODELACIÓN DE SITUACIONES CONTEXTUALIZADAS
2.Relaciona
las variables
con los datos
3.Procesa la
información
4.Plantea el
modelo
matemático
5.Responde e
Interpreta el
resultado
1.Identifica
datos

15. EJERCICIO DE APLICACIÓN 04
Sara, vendedora de coches, tiene un sueldo fijo de $ 1 000 cada mes, más una comisión por cada coche que venda de $ 250.
a) Halla la función que expresa el sueldo de Sara en un mes que haya vendido “x” coches y dibuja su gráfica.
b) Cuánto será el sueldo de Sara si vende 4 coches.
c) Cuánto será el sueldo de Sara si vende 7 coches.

16. EJERCICIO DE APLICACIÓN 04
𝑆 𝑥 = 250𝑥 + 1000
a) Halla la función que expresa el sueldo de Sara en un mes que haya vendido “x” coches y dibuja su gráfica.
b) Cuánto será el sueldo de Sara si vende 4 coches.
c) Cuánto será el sueldo de Sara si vende 7 coches.
𝑆 4 = 250 4 + 1000 = 2000
𝑆 7 = 250 7 + 1000 = 2750
Sueldo fijo
Comisión

17. EJERCICIO DE APLICACIÓN 05
El costo de producir “n” aspiradoras, en dólares, es:
a) ¿Cuánto de dinero debo invertir para producir 100 aspiradoras?
𝐶 𝑛 = 1500 − 60𝑛 + 3𝑛2

18. EJERCICIO DE APLICACIÓN 05
El costo de producir “n” aspiradoras, en dólares, es:
a) ¿Cuánto de dinero debo invertir para producir 100 aspiradoras?
𝐶 𝑛 = 1500 − 60𝑛 + 3𝑛2
𝐶 100 = 1500 − 60(100) + 3(100)2
= $ 25500

19. EJERCICIO DE APLICACIÓN 05
GRÁFICA EN SOFTWARE GEOGEBRA
n
Y = C(n)
Número de aspiradoras
Costo
de
producción

20. La empresa GDOS produce ordenadores, y proyecta que por la producción de "𝑥" ordenadores, el costo de
producción es $ 350 por unidad; y además tiene un costo fijo de $10 700. Los ingresos que se obtienen por
las ventas son I 𝒙 = 10𝑥3 − 120𝑥.
a) Halle la función utilidad 𝑈(𝑥) que depende de 𝑥.
b) ¿Cuánto será la utilidad si se venden 70 ordenadores?
EJERCICIO DE APLICACIÓN 06

21. Costos Fijos:
Son aquellos que siempre deberás pagar, independiente del nivel de producción de tu negocio o emprendimiento.
Puedes tener meses que no produzcas o vendas, pero en los que de todas formas deberás pagar.
Ejemplos:
Arriendo de oficinas o locales
Sueldos
Cuentas Básicas
Telefonía e Internet
Gastos de Oficina
Gastos de administración y ventas
Pago de obligaciones financieras
Pago de Seguros
Para nuestro problema el
Costo fijo: $10 700
EJERCICIO DE APLICACIÓN 06

22. Costos Variables:
Son aquellos que deberás pagar para producir tus productos o prestar tus servicios. Mientras mayor sea el
volumen de tu producción, más costos variables deberás pagar.
Ejemplos:
Materia Prima
Insumos
Mano de Obra
Costos de distribución
Comisiones por venta
Proveedores Externos para la producción
Para nuestro problema el
Costo variable:
(Costo de producción por unidad) . (cantidad)
350.X
EJERCICIO DE APLICACIÓN 06

23. FUNCIÓN COSTO: es la suma del COSTO FIJO más el COSTO VARIABLE.
Función costo = Costo fijo + Costo variable
𝑪 𝒙 = 𝟏𝟎𝟕𝟎𝟎 + 𝟑𝟓𝟎𝒙
EJERCICIO DE APLICACIÓN 06
INGRESOS: Cantidad que recibe una empresa por la venta de sus productos y/o servicios
Para nuestro problema el Ingreso es:
𝐈 𝒙 = 𝟏𝟎𝒙𝟑
− 𝟏𝟐𝟎𝒙

24. UTILIDAD: es la ganancia que se obtiene después de realizar los descuentos correspondientes.
Para nuestro problema la UTILIDAD es:
𝑼 𝒙 = 𝑰 𝒙 − 𝑪 𝒙
𝑼 𝒙 = 𝟏𝟎𝒙𝟑
− 𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟕𝟎𝟎 + 𝟑𝟓𝟎𝒙
𝑼 𝒙 = 𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟕𝟎𝟎 − 𝟑𝟓𝟎𝒙
𝑼 𝒙 = 𝟏𝟎𝒙𝟑
− 𝟒𝟕𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟕𝟎𝟎
EJERCICIO DE APLICACIÓN 06

25. a) Halle la función utilidad 𝑈(𝑥) que depende de 𝑥.
b) ¿Cuánto será la utilidad si se venden 70 ordenadores?
𝑼 𝒙 = 𝟏𝟎𝒙𝟑
− 𝟒𝟕𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟕𝟎𝟎
𝑼 𝒙 = 𝟏𝟎𝒙𝟑
− 𝟒𝟕𝟎𝒙 − 𝟏𝟎𝟕𝟎𝟎
𝑼 𝟕𝟎 = 𝟏𝟎(𝟕𝟎)𝟑
− 𝟒𝟕𝟎(𝟕𝟎) − 𝟏𝟎𝟕𝟎𝟎
𝑼 𝟕𝟎 = $ 𝟑 𝟑𝟖𝟔 𝟒𝟎𝟎
EJERCICIO DE APLICACIÓN 06

26. EJERCICIO DE APLICACIÓN 05
GRÁFICA EN SOFTWARE GEOGEBRA
Cantidad de ordenadores “X”
Función
utilidad
“U(x)”

27. IV. RETO: RESOLVER EL PROBLEMA PLANTEADO EN LA MOTIVACIÓN
Negocio de transportes.
Un grupo de estudiantes de Negocios de la UPN, decide emprender un negocio turístico. Invierten en una movilidad para
trasladar 40 personas o más. De acuerdo a sus cálculos, el modelo que aseguraría una tarifa justa para cada usuario (en soles)
está dada por la función:
Donde “n” es la cantidad de usuarios. Escribe la función del ingreso al trasladar “n” personas
¿Cuánto sería el ingreso económico que recibirían el grupo de estudiantes de UPN, al trasladar 60 personas?
𝑻𝒂𝒓𝒊𝒇𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒔𝒖𝒂𝒓𝒊𝒐 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓 𝒏 − 𝟒𝟎 , 𝒏 ≥ 40
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 = (𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑠𝑢𝑎𝑟𝑖𝑜). (𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑)
𝑺𝒖𝒈𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂

28. RETROALIMENTACIÓN
Negocio de transportes.
Un grupo de estudiantes de Negocios de la UPN, decide emprender un negocio turístico. Invierten en una movilidad
para trasladar 40 personas o más. De acuerdo a sus cálculos, el modelo que aseguraría una tarifa justa para cada
usuario (en soles) está dada por la función:
Donde n es la cantidad de usuarios. Escribe la función del ingreso al trasladar n personas
¿Cuánto sería el ingreso económico que recibirían el grupo de estudiantes de UPN, al trasladar 60 personas?
𝑻𝒂𝒓𝒊𝒇𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒔𝒖𝒂𝒓𝒊𝒐 = 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟓 𝒏 − 𝟒𝟎 , 𝒏 ≥ 40
𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 = (𝑡𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑠𝑢𝑎𝑟𝑖𝑜). (𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑)
𝐼 𝑛 = 10 + 0,5 𝑛 − 40 . 𝑛
𝐼 𝑛 = 0,5𝑛2
− 10𝑛
𝐼 60 = 0,5(60)2
−10 60 = 1200
Ingreso de trasladar 60 personas:
El ingreso de trasladar 60 personas es
de S/1200.
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔 𝑫𝒆𝒔𝒂𝒓𝒓𝒐𝒍𝒍𝒐 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐
𝑇𝑎𝑟𝑖𝑓𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑠𝑢𝑎𝑟𝑖𝑜 =
10 + 0,5 𝑛 − 40
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑛

29. V. EJERCICIO DE APLICACIÓN PARA EL ESTUDIANTE
ThermoMaster fabrica un termómetro para interiores y exteriores en su subsidiaria mexicana. La gerencia
estima que la utilidad (en dólares) obtenible por ThermoMaster por la fabricación y venta de x termómetros
por semana es:
𝑃 𝑥 = −0.001𝑥2
+ 8𝑥 − 5000
Encuentre la utilidad semanal de ThermoMaster si su nivel de producción es:
(a) 1000 termómetros por semana.
(b) 2000 termómetros por semana.
(c) Grafica en Geogebra la función utilidad P(x)

30. V: Verificación:

31. VI. CONCLUSIONES
Función
• Regla que asigna a cada elemento x ∈ A una única y ∈ B.
Prueba de la
recta vertical
• Todo gráfico que es interceptado por una vertical en un solo punto, se considera
función.
Dominio - Rango
• 𝑫𝒐𝒎(𝒇) se proyecta en x cada uno de los puntos de la gráfica.
• 𝑹𝒂𝒏(𝒇) se proyecta en y cada uno de los puntos de la gráfica.
Valor numérico
• “𝐱” es la variable independiente e “𝐲” es la variable dependiente.
• Se reemplaza x en f(x), obteniéndose el valor de y.
Dom y Ran
forma analítica
• Se determina los pares ordenados, tomando en cuenta las restricciones.
Modelo
matemático
• Identifica datos, relaciona las variables, procesa información, responde e
interpreta.

32. VII. MATERIAL ADICIONAL
https://www.youtube.com/watch?v=MkHDiQwJU_c
https://www.youtube.com/watch?v=RcHn_-HGCTM
https://www.youtube.com/watch?v=TVpNJ8LP8aY&list=PLfCNVXQvKVfzRWRvKZRVTh7bJdmTCMjIo&index=7

33. VIII. BIBLIOGRAFÍA
1. Haeussler, Ernest F. Matemáticas para administración y economía.
2. Frank S. Budnick. Matemáticas aplicada para administración, economía y ciencias sociales.
3. Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía.
4. Canal Tu ciencia 2.0. Youtube.
5. Software Geogebra.

34. • GEOGEBRA
https://www.geogebra.org/classic?lang=es
• Link para trabajar
online:
• Link para descargar el software. Elegir
GEOGEBRA CLÁSICO
https://www.geogebra.org/download?lang=es
GeoGebra es un Programa Dinámico para la Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas para educación en todos
sus niveles. Combina dinámicamente, geometría, álgebra , análisis y estadística en un único conjunto tan sencillo a
nivel operativo como potente. Es de uso gratuito.

35. Realice consultas a través del chat
o solicita al docente activar el
micrófono para participar.
También podrás enviar sus consultas a través de
Pregúntale al profesor y te responderé en 24 horas.
Consultas
Tema: Sistema de inecuaciones lineales con dos variables

36. GRACIAS