Este documento discute la completitud funcional de la verdad en lenguajes formales. Explica que un lenguaje es completamente funcional de la verdad si puede representar cualquier función lógica. Afirma que el lenguaje de la lógica proposicional es completamente funcional de la verdad porque los conectores básicos como la negación y la disyunción pueden definir cualquier otro conector lógico.

1. Truth-functional
completeness
Clase 27
Leonel Morales
leonel@ingenieriasimple.com
litomd@ufm.edu
29/Septiembre/2014

2. 2 de 11
Traducciones
 Truth-function
 Función veritativa
 Función de verdad
 Función lógica
 Se resuelve en falso o verdadero
 Truth-functional
 Referido a las funciones lógicas
 Truth-functional completeness
 ¿Completidad? ¿Completitud?
 Completitud respecto a las funciones lógicas

3. 3 de 11
Concepto
 Truth-functional completeness
 Un lenguaje formal
 Como el lenguaje de fórmulas lógicas
 Lenguaje de lógica proposicional
 Se dice completo respecto de las funciones lógicas
 Si: toda función lógica puede representarse en ese lenguaje
 También
 Truth-functional completeness es
 Capacidad de definir todo posible conector lógico

4. 4 de 11
Preguntas
 ¿Nuestro lenguaje de fórmulas lógicas es completo
respecto de las funciones lógicas?
 ¿Podemos definir todo posible conector en términos de los
ya conocidos?
 ¿Cuántos conectores hay?

5. 5 de 11
Cantidad de conectores
 Los básicos:
 ~, v, &
 Se podrían usar sólo dos
 (P & Q)  ~(~P v ~Q) por DeMorgan
 Los otros:
 , , , 
 Son definibles en términos de los básicos
 ¿Hay más?

6. 6 de 11
Cantidad de conectores
 Conectores unarios
 Un solo operando
P F1(P) F2(P) F3(P) F4(P)
0 1 1 0 0
1 1 0 1 0

7. 7 de 11
Cantidad de conectores
 Conectores binarios
 Dos operandos
P Q F01 F02 F03 F04 F05 F06 F07 F08 F09 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

8. 8 de 11
Cantidad de conectores
 Conectores ternarios
 Tres operandos
 Para un operando eran 4
 Para dos operandos son 16
 ¿Para tres serán?
 256
 En general: 22n
 Donde n es el número de operandos

9. 9 de 11
Teorema
 Cualquier función lógica puede expresarse con una
fórmula que contenga exclusivamente disyunciones
y negaciones
 Recordar:
 Cualquier conjunción puede expresarse como una
disyunción gracias a DeMorgan:
 (P & Q)  ~(~P v ~Q)

10. Truth-functional completeness
 Si cualquier función lógica se puede expresar
con negaciones y disyunciones entonces
 ¿Es la negación y la disyunción un sistema
completo para expresar funciones lógicas?
10 de 11
 Sí
 ¿Y la negación y la conjunción?

11. Truth-functional completeness
 La negación y la disyunción son un sistema
completo de expresión de funciones lógicas
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 Lo mismo que la negación y la conjunción
¿Es posible que exista un sistema completo de expresión
de funciones lógicas basado en un solo conector?
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