1) El documento presenta varios conceptos relacionados con la resolubilidad de problemas computacionales como el problema de la parada, el problema de correspondencia de Post y lenguajes independientes del contexto. 2) Explica que existen problemas algorítmicamente irresolubles que no pueden resolverse mediante una secuencia determinista de operaciones. 3) Proporciona detalles sobre el problema de la parada y el problema de correspondencia de Post, incluyendo su definición e irresolubilidad.

1. Resolubilidad
Presentado por:
Rafael Brito 16-0847
Junior Peña 16-0846

2. Contenido
 Límites maquinas de Turing
 El problema de la parada (Halting Problem)
 El problema de correspondencia de Post
 Irresolubilidad y Lenguajes independientes del contexto

3. Límites de las MT (no computable o no recursivo)
Existen problemas que no se pueden resolver como una secuencia determinista
de operaciones elementales. Estos problemas son llamados algorítmicamente
irresolubles. Ramón Brena establece que esto es lo esencial de las MT, probar
que un problema es indecidible.

4. El problema de la parada (Halting Problem)
Problema irresoluble que históricamente tuvo mucha
importancia, fue el primer problema que se probó
irresoluble.
Una vez que se cuenta con un primer problema
irresoluble, la prueba de que otros problemas son
irresolubles consiste en probar que ´estos pueden ser
reducidos al problema de referencia. Este primer
problema irresoluble es el del paro de la MT.

5. Video instructivo
En el siguiente enlace, pueden encontrar un video instructivo
acerca del problema de la parada para un mejor
entendimiento:
https://www.youtube.com/watch?v=92WHN-pAFCs

6. El problema de correspondencia de Post
Un caso del PCP se llama sistema de
correspondencia de Post y está compuesto
por tres elementos: un alfabeto X y dos
conjuntos A y B, de cadenas de ∑+
, donde
ambos tienen el mismo número de cadenas.
Supongamos que 𝐴 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑘} y B =
{𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑘} . Una solución para este caso
(es decir, una solución para el problema de
correspondencia de Post) es una secuencia
de índices 𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖 𝑛 , para los cuales
𝑢𝑖1, 𝑢𝑖2 … 𝑢𝑖𝑛 = 𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2, … , 𝑣𝑖𝑛.

7. Resolver
Considere el Problema de la Correspondencia de Post (PCP)
planteado sobre los siguientes pares:
𝒘 𝟏, 𝒙 𝟏 = 𝟏𝟎, 𝟏 𝒚 𝒘 𝟐 𝒙 𝟐 = (𝟏𝟏𝟎, 𝟎𝟏)
a) No puede saberse si tiene respuesta afirmativa o negativa en
este caso, porque es un problema indecible
b) Tiene solución negativa para esta instancia

8. Requisitos
1.- ¿Problema de Correspondencia de POST?
2.- Indecibilidad
3.- Solución Positiva
4.- Solución Negativa

9. Problema Indecible
Decibilidad:
Existencia de una Máquina de Turing que siempre pare, diciendo SI o
NO.
Indecibilidad:
En teoría de la computabilidad y en teoría de la complejidad
computacional, un problema indecidible es un problema de decisión
para el cual es imposible construir un algoritmo que siempre conduzca
a una respuesta de sí o no correcta.

10. ¿Solución Afirmativa?
1
URI
R
2
ST
TU
3
A
AS
4
AS
IAS
Solución: 3, 2, 1, 4
𝑊 = 𝑋
∃ 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎
W:
X:
A
AS
ST
TU
URI
R
AS
IAS

11. ¿Solución Negativa?
𝟏
10
1
𝟐
110
01
Solucion: 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 1,…
𝑊 > 𝑋
∃ 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
W:
X:
10
1
110
01
10
1
110
01
Considere el Problema de la Correspondencia de Post (PCP)
planteado sobre los siguientes pares:
𝒘 𝟏, 𝒙 𝟏 = 𝟏𝟎, 𝟏 𝒚 𝒘 𝟐, 𝒙 𝟐 = (𝟏𝟏𝟎, 𝟎𝟏)
110
01
10
1
110
01
10
1

12. Ejercicio
𝟏
abb
bba
𝟐
aa
aaa
Solucion: 2, 1, 3
𝑾 = 𝑿
∃ 𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒂
W:
X:
aa
aaa
abb
bba
aaa
aa
Hallar si la siguiente lista contiene una solución de
correspondencia de Post:
𝑴 = 𝒂𝒃𝒃, 𝒂𝒂, 𝒂𝒂𝒂 y 𝑵 = 𝒃𝒃𝒂, 𝒂𝒂𝒂, 𝒂𝒂
𝟑
aaa
aa

13. Irresolubilidad y Lenguajes independientes
del contexto
Los lenguajes independientes del contexto son aquellos que pueden ser
reconocidos por un autómata de pila determinístico o no determinístico.
Como toda gramática se definen mediante una cuádrupla G = (V, T, P,
S), siendo:
- V es un conjunto finito de variables o símbolos no terminales. Sus
elementos se suelen representar con letras mayúsculas.
- T es el alfabeto; es un conjunto finito de símbolos terminales. Sus
elementos se suelen representar con letras minúsculas. V ∩ T = ∅
- P es un conjunto de pares (𝜶, 𝜷), llamados reglas de producción,
donde 𝜶, 𝜷 en 𝑽 ∪ 𝑻 ∗
y 𝜶 contiene, al menos un símbolo de V. El par
(𝜶, 𝜷) se suele representar como (𝜶 → 𝜷)
- S es un elemento de V, llamado símbolo de partida o inicial.
S ∉ (V ∪ T)

14. Propiedades
Sea 𝐿 un Lenguaje Libre de Contexto sobre ∑. Existe un numero
natural 𝒎 (dependiente del lenguaje 𝐿) tal que para todo 𝑤 en 𝑳 si
|𝑊| ≥ 𝑚, existen 𝒖, 𝒗, 𝒙, 𝒚, 𝒛 en ∑∗
tales que 𝑊 = 𝒖𝒗𝒙𝒚𝒛 y donde:
1. 𝒗𝒙𝒚 ≤ 𝑚
2. 𝒗𝒚 ≥ 1
3. Para todo 𝒊 ≥ 0, 𝒖𝒗𝒊 𝒙𝒚𝒊 𝒛 en 𝐿
Condición necesaria para que un lenguaje sea libre de contexto:
todo LLC tienen esta propiedad

15. Propiedades
Si una cadena de 𝐿 es suficientemente larga, siempre hay dos
subcadenas cortas (𝑣, 𝑦) lo suficientemente cerca que pueden
ser bombeadas el mismo numero de veces.
𝑆 → 𝑢𝐴𝑧
𝐴 → 𝑣𝐴𝑦 | 𝑥
𝑆 → 𝑢𝐴𝑧 → 𝑢𝑣𝐴𝑦𝑧 → 𝑢𝑣𝑥𝑦𝑧 en 𝐿
𝑆 → 𝑢𝐴𝑧 → 𝑢𝑣𝐴𝑦𝑧 → 𝑢𝑣𝑣𝐴𝑦𝑦𝑧 → 𝑢𝑣𝑣𝑣𝐴𝑦𝑦𝑦𝑧 → ⋯ →
𝑢𝑣 𝑖
𝐴𝑦 𝑖
𝑧 → 𝑢𝑣 𝑖
𝑥𝑦 𝑖
𝑧 en 𝐿 para 𝑖 ≥ 0

16. Ejemplo 1
Dada la siguiente gramática donde 𝑆 es el símbolo inicial de la gramática:
• 𝑆 → 𝑎𝐴𝐴 𝑏𝐵 𝑎𝐴𝐵𝑏
• 𝐴 → aA | C
• B → bB | C
• C → λ
Considere 𝐿 el lenguaje que genera. Indicar cual de las siguientes
afirmaciones es verdadera:
a) 𝐿 = 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
𝑛 > 0}
b) 𝐿 puede representarse mediante la expresión regular 𝑎∗ 𝑏∗
c) 𝐿 puede representarse mediante la expresión regular 𝑎𝑎∗
𝑏𝑏∗
d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera

17. Solución
Dada la siguiente gramática donde 𝑆 es el símbolo inicial de la
gramática:
• 𝑆 → 𝑎𝐴𝐴 𝑏𝐵 𝑎𝐴𝐵𝑏
• 𝐴 → aA | C
• B → bB | C
• C → λ
𝑺 → 𝒂𝑨𝑨
𝑨 → 𝐚𝐀
𝑨 → 𝐂
𝐂 → 𝝀
𝐀 → 𝝀
{𝒂 𝒏
| 𝒏 > 𝟎}
𝑺 → 𝒃𝑩
𝐁 → 𝐛𝐁
𝐁 → 𝐂
𝐂 → 𝝀
𝐁 → 𝝀
{𝒃 𝒎
| 𝒎 > 𝟎}
𝑺 → 𝒂𝑨𝑩𝒃
𝑨 → 𝐚𝐀
𝐁 → 𝐛𝐁
𝐀 → 𝝀
𝐁 → 𝝀
{𝒂 𝒄 𝒃 𝒅| 𝒄, 𝒅 > 𝟎}

18. Resultado
Dada la siguiente gramática donde 𝑆 es el símbolo inicial de la gramática:
• 𝑆 → 𝑎𝐴𝐴 𝑏𝐵 𝑎𝐴𝐵𝑏
• 𝐴 → aA | C
• B → bB | C
• C → λ
Considere 𝐿 el lenguaje que genera. Indicar cual de las siguientes
afirmaciones es verdadera:
a) 𝐿 = 𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
𝑛 > 0} Incorrecto
b) 𝐿 puede representarse mediante la expresión regular 𝑎∗ 𝑏∗ Incorrecto
c) 𝐿 puede representarse mediante la expresión regular 𝑎𝑎∗
𝑏𝑏∗
Incorrecto
d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera Correcto

19. Ejercicio 1
Dada la siguiente gramática 𝐺 = ( 𝑆, 𝐴, 𝐵 , 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑃, 𝑆) donde 𝑆 es el
símbolo inicial de la gramática y 𝑃 el siguiente conjunto de producciones:
• 𝑆 → 𝑥𝐴𝑧
• 𝐴 → 𝑥𝐴𝑧
• 𝐴 → B
• B → yB
• B → 𝑦
Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA:
a) 𝐿 𝐺 = 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 𝑧 𝑚 𝑛, 𝑚 > 0}
b) 𝐿 𝐺 = 𝑥 𝑛
𝑦 𝑚
𝑧 𝑛
𝑛, 𝑚 > 0}
c) Ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera
𝑺 → 𝒙𝑨𝒛 → 𝒙𝑩𝒛 → 𝒙𝒚𝒛
𝑺 → 𝒙𝑨𝒛 → 𝒙𝒙𝑨𝒛𝒛 → 𝒙𝒙𝑩𝒛𝒛 → 𝒙𝒙𝒚𝒛𝒛
𝒙 𝒏 𝒚 𝒎 𝒛 𝒏 𝒎 > 𝟎, 𝒏 > 𝟎}
𝑺 → 𝒙𝑨𝒛 → 𝒙𝒙𝑨𝒛𝒛 → 𝒙𝒙𝑩𝒛𝒛 → 𝒙𝒙𝒚𝑩𝒛𝒛

20. Ejercicio 2
Sea 𝐿 el lenguaje que genera la siguiente gramática donde 𝐴 es el símbolo inicial de la
gramática:
• 𝑆 → 𝑥𝐴𝑦
• 𝑆 → 𝐵𝐶
• 𝐴 → 𝑥𝐴𝑦
• 𝐴 → 𝑥𝑦
• 𝐵 → 𝑥𝐵
• 𝐶 → 𝑦𝐶
• 𝐵 → 𝑥
• 𝐶 → 𝑦
Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA:
a) 𝐿 es regular
b) 𝐿 es independiente del contexto determinista no regular
c) 𝐿 es independiente del contexto no determinista no regular
d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera
𝑨 → 𝒙𝑨𝒚 → 𝒙𝒙𝒚𝒚
𝑳 = 𝒙 𝒏
𝒚 𝒏
𝒏 > 𝟎}
𝑨 → 𝒙𝑨𝒚 → 𝒙𝒙𝑨𝒚𝒚 → 𝒙𝒙𝒙𝒚𝒚𝒚

21. Ejercicio 2
𝒒 𝟎 𝒒 𝟏 𝒒 𝟐 𝒒 𝟑
𝜆, 𝑍; 𝑍
𝑥, 𝑥; 𝑥𝑥
𝑥, 𝑍; 𝑥𝑍
𝑦, 𝑥; 𝜆
𝑦, 𝑥; 𝜆
𝜆, 𝑍; 𝜆

22. Referencias consultadas
• https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_indecidible
• https://brilliant.org/wiki/halting-problem/
• https://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_incompletitud_de_G%C3%B6del
• https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_la_parada
• https://www.tutorialspoint.com/automata_theory/post_correspondence_problem.htm
• http://libroweb.alfaomega.com.mx/book/681/free/ovas_statics/cap9/Automatas%20de%
20Pila%20y%20Lenguajes%20independientes%20del%20contexto.%20Rincon,%20Lui
s.pdf
• http://webdiis.unizar.es/asignaturas/LGA/material_2003_2004/LIC_GIC.pdf