Este documento describe los cuatro tipos principales de gramáticas formales: gramáticas de tipo 0 (no restringidas), de tipo 1 (sensibles al contexto), de tipo 2 (libres de contexto) y de tipo 3 (regulares). Cada tipo de gramática genera una jerarquía de lenguajes formales, donde los lenguajes generados por gramáticas de un tipo están contenidos en los lenguajes de tipos superiores. Las gramáticas de tipo 3, también llamadas regulares, son las más restrictivas y generan los lenguajes regulares.

1. Tipos de Lenguaje Formal
Zaraos Vázquez Jorge Alejandro
aleh.kz@hotmail.com
Resumen
En este reporte se introducirá los conceptos
teóricos necesarios sobre la teoría de lenguajes
formales el conjunto finito o infinito de cadenas finitas
de símbolos primitivos formadas por un alfabeto y una
gramática especificada, así como los diferentes tipos
de las jerarquías gramaticales regulares,
recursivamente enumerables, independiente y
dependiente del contexto estos divididos en jerarquías.
1. Cuerpo
1.1. Definiciones previas
El lenguaje L(G) generado por una gramática G es
el conjunto de todas las sentencias que puede generar
G. Es decir expresado formalmente.
L(G) = {η ϵ VT*/S → η}
Una sentencia pertenece a L(G) si:
-está compuesta de símbolos terminales.
-la sentencia puede derivarse del símbolo inicial S
aplicando las reglas de producción de la gramática. [1]
1.1.1. Propiedad. Dos gramáticas son equivalentes si
ambas generan el mismo lenguaje.
y son equivalentes si L( )= L( )
1.1.2. Alfabeto. Conjunto finito de símbolos, no vacio.
Para definir que un símbolo a pertenece a un alfabeto V
se utiliza notación a ϵ V. Los alfabetos se definen por
enumeración de los símbolos que contienen. Así como
por ejemplo:
= {A, B, C, D, E, F,…, X, Y, Z}
= {a, b c, d, 0, 1, 2, *, #, +}
= {if, then, end, a, b, =, >} [4]
1.1.3. Gramática. Conjunto finito de reglas para
formar cadenas finitas juntando símbolos del alfabeto,
es una cuádrupla G = (NT, T, S, P).
NT = {conjunto finito de símbolos no terminales}
T = {conjunto finito de símbolos terminales}
S = {es el símbolo inicial y pertenece a NT}
P = {conjunto de producciones o reglas de derivación}
1.2. Jerarquía de las gramáticas
Es una clasificación jerárquica de distintos tipos
de gramáticas formales que generan lenguajes
formales. Hay 4 distintos tipos de gramáticas en
función de la forma de las derivaciones de P. [2]
1.2.1. Gramática de tipo 0. Llamada también
gramática no restringida o recursivamente enumerable,
es un lenguaje formal para el cual existe una máquina
de Turing que acepta y se detiene con
cualquier cadena del lenguaje, pero que puede parar y
rechazar, o bien iterar indefinidamente, con una cadena
que no pertenece al lenguaje, en contraposición a
los lenguajes recursivos en cuyo caso se requiere que la
máquina de Turing pare en todos los casos. Las reglas
de derivación son de la forma: α → β
Siendo α ϵ (NT ∪ T y β ϵ (NT ∪ T)*, es decir la
única restricción es que no puede haber reglas de la
forma
ƛ → β donde ƛ es la cadena vacía. [6]
Los lenguajes recursivamente enumerables son
cerrados con las siguientes operaciones. Esto es, si L y
P son dos lenguajes recursivamente enumerables,
entonces los siguientes lenguajes son recursivamente
enumerables también: [3]
Cierre estrella L* de L, concatenación LP de L y P,
la unión L ∪ P de L y P, la intersección L ᴖ Pde L y P.

2. 1.2.2. Gramática de tipo 1. Llamada gramática
sensible al contexto es equivalente a una máquina de
Turing no determinista linealmente acotada, también
llamado Autómata linealmente acotado. Se trata de
una máquina de Turing no determinista con una cinta
de sólo kn posiciones, donde n es el tamaño de la
entrada y k es la constante asociada a la máquina. Esto
significa que cada lenguaje formal que puede ser
decidido por una máquina es un lenguaje sensible al
contexto en ellas las reglas de producción son de la
forma: αAβ → αγβ
Estas gramáticas tienen reglas de la forma αAβ →
αγβ con A un no terminal y α, β y γ cadenas de
terminales y no terminales. Las cadenas α y β pueden
ser vacías, pero γ no puede serlo. La regla S → ϵ está
permitida si S no aparece en la parte derecha de
ninguna regla. Los lenguajes descritos por estas
gramáticas son exactamente todos aquellos lenguajes
reconocidos por una máquina de Turing determinista
cuya cinta de memoria está acotada por un cierto
número entero de veces sobre la longitud de entrada,
también conocidas como autómatas linealmente
acotados.[3]
Siendo A ϵ NT; α, β ϵ (NT ∪ T)* y γ ϵ (VN ∪ VT .
Estas gramáticas se llaman sensibles al contexto,
pues se pueden reemplazar A por γ siempre que estén
en el contexto α…β.
La unión, intersección, y concatenación de dos
lenguajes sensibles al contexto es un lenguaje sensible
al contexto. El complemento de un lenguaje sensible al
contexto es en sí mismo sensible al contexto.
Cada gramática libre de contexto es un lenguaje
sensible al contexto. Ejemplo: La gramática G = ({a,
b}, {A, S}, S, P) donde P son las producciones
siguientes: [2]
S → aS
S → aA
A → bA
A → b
1.2.3. Gramática de tipo 2. Llamada también de
contexto libre. Sus reglas tan solo admiten tener un
símbolo no terminal en su parte izquierda, es decir son
de la forma: A → α Siendo A ϵ NT y α ϵ (NT ∪ T .
Si cada regla se representa como un par ordenado
(A, α), el conjunto P es un subconjunto del conjunto
cartesiano NT x ({T ∪ NT} . La denominación
contexto libre se debe a que se puede cambiar A por α,
independientemente del contexto que aparezca A. [5]
Las reglas son de la forma A → α con A un no
terminal y α una cadena de terminales y no terminales.
Estos lenguajes son aquellos que pueden ser
reconocidos por un autómata con pila. [1]
El término libre de contexto se refiere al hecho de
que el no terminal A puede siempre ser sustituido por α
sin tener en cuenta el contexto en el que ocurra.
Un lenguaje formal es libre de contexto si hay una
gramática libre de contexto que lo genera.
Una de las definiciones alternativas y equivalentes
de lenguaje libre de contexto emplea autómatas no
deterministas, un lenguaje puede ser también modelado
como un conjunto de todas las secuencias de
terminales aceptadas por la gramática, la unión y
concatenación de dos lenguajes libres de contexto, el
inverso de un lenguaje libre de contexto, los lenguajes
regulares, la intersección de un lenguaje libre de
contexto y un lenguaje regular es libre de contexto, la
intersección no tiene por qué serlo, para demostrar que
un lenguaje dado no es libre de contexto, se puede
emplear el Lema del bombeo para lenguajes libres de
contexto. Ejemplo: La gramática G = ({S, A, B}, {a,
b}, S, P,) cuyas producciones P serán las siguientes:[4]
S → aB A → bAA
S → bA B → b
A → a B → bS
A → aS B → aBB
1.2.4. Gramática de tipo 3. Las gramáticas de tipo 3
también denominadas regulares o gramáticas lineales.
Estas gramáticas se restringen a aquellas reglas que
tienen en la parte izquierda un no terminal, y en la
parte derecha un solo terminal, posiblemente seguido
de un no terminal. La regla S → ϵ también está
permitida si S no aparece en la parte derecha de
ninguna regla. Estos lenguajes son aquellos que pueden
ser aceptados por un autómata finito. También esta
familia de lenguajes pueden ser obtenidas por medio
de expresiones regulares, es decir de la forma:
A → aB
A → a
Donde A, B ϵ NT y α ϵ T. Satisface las siguientes
propiedades, los lenguajes más sencillos que se
considerarán son los lenguajes regulares, es decir, los
que se pueden generar a partir de los lenguajes básicos,
con la aplicación de las operaciones de unión,
concatenación y * de Kleene un número finito de
veces. [5]

3. Puede ser reconocido por un autómata finito
determinista, un autómata finito no determinista,
un autómata de pila, un autómata finito alterno,
una máquina de Turing de solo lectura. Es generado
por, una gramática regular, una gramática de prefijos.
Es descrito por una expresión regular. [6]
Los lenguajes regulares son cerrados con las
siguientes operaciones, de modo que si L y P son
lenguajes regulares los siguientes lenguajes también
serán regulares: El complemento “L” de L, la clausura
o estrella de Kleene L*
de L, el homomorfismo φ(L)
de L, la concatenación L'P de L y P, la
unión L ∪ P de L y P, la intersección L ∩ P de L y P, y
la diferencia L P de L y P, el reverso LR
de L.
Ejemplo: La gramática G=({a, b}, {A, S}, S, P) donde
P son las producciones que se muestran a continuación.
S → aS
S → aA
S → bA
S → b
1.2.5. Relación de inclusión. Se denomina lenguaje
tipo 0 al generado por una gramática de tipo 0. De la
misma forma, se denomina lenguajes de tipo 1, 2 y 3, a
los generados por las gramáticas de tipo 1, 2 y 3,
respectivamente. [3]
Si los lenguajes generados por los distintos tipos de
gramáticas se relacionan entre sí con respecto a la
relación de inclusión se obtiene: [1]
{L( )} ⊂ {L( )} ⊂ {L( )} ⊂ {L( )}
Figura 1. Relación de inclusión entre los distintos tipos
de gramáticas.
2. Conclusión
Los cuatro tipos de gramáticas estudiados
anteriormente (tipo 0, tipo 1, tipo 2, y tipo 3), cada una
de ellas tiene restricciones más fuertes que las
anteriores. Las gramáticas de tipo 0, contienen a todas
las demás. Las de tipo 1 contienen alas de tipo 2 y tipo
3, y por último las de tipo 2 contienen alas de tipo 3, es
decir, una gramática de tipo 3 es de tipo 2, tipo 1 y 0.
Por lo tanto se define una jerarquía de gramáticas
respecto de la relación de inclusión de ahí el nombre de
jerarquías.
Tomando como referencia un lenguaje formal, la
gramática de tipo 3 que es la que es incluida en cada
tipo es el lenguaje más simple dentro de la jerarquía,
esta se suele expresar en diferentes formas como las
expresiones regulares. Todo lenguaje formal finito
constituye a un regular, las gramáticas regulares sólo
pueden generar a los lenguajes regulares de manera
similar a los autómatas finitos y las expresiones
regulares, son las gramáticas más restrictivas el lado
derecho de una producción debe contener un símbolo
terminal y, como máximo, un símbolo no terminal
Un ejemplo de estas son todas las cadenas sobre el
alfabeto {a, b} que contienen un número par de a o el
lenguaje que consiste en varias a seguidas de varias b.
Referencias
[1] Aho A.V. y Ullman J.D., 1973 The Theory of Parsing,
Translation and Com-pilin, Vol. II: Compiling, Prentice-Hall.
[2] Juan Manuel cueva Lovelle, lenguajes gramáticas y
autómatas, Universidad de Oviedo (España), 2 Edición,
Noviembre 2011.
[3] Alfonseca M., Sancho J. y Martínez Orga M., 1987,
Teoría de lenguajes gramáticas y autómatas, Ediciones
Universidad y Cultura.
[4] Chomsky N., 1962, Context-free grammars and
pushdown storage. Quarterly Prog. Rept. No. 65, pp. 187-
194, MIT REs. Lab. Elect., Cambridge, Mass.
[5] Joaquín Aranda, Natividad Duro, José Luis Fernández,
José Jiménez, Fernando Morilla, "Fundamentos de Lógica
Matemática y Computación", Sanz y Torres, 2006.
[6] Sipser, M. (1996), Introduction to the Theory of
Computation, PWS Publishing Co.