grua

1. Problema 3
El sistema de referencia representado, S {O, x, y, z} es solidario a la cabina C, estando el eje z situado sobre el eje
de giro de la cabina y siendo además coincidente en dirección y sentido con z1 del sistema ligado al suelo S1 .
La cabina C de la grúa gira en torno a la vertical con velocidad angular ω1 (t)k1 , al mismo tiempo la pluma o
aguilón A, se levanta respecto a la cabina con una velocidad angular ω2 (t)i y se consideran en reposo las orugas o
tren de desplazamiento de la grúa.
El anclaje de la pluma a la cabina en el punto Q, está situado a una distancia del eje de giro de la cabina y la
longitud de la pluma es L.
I) Se piden, expresadas en S:
1) Velocidad angular ωA/S1 y aceleración angular αA/S1 de la pluma respecto de la referencia S1 .
II) En esta segunda parte se considera la situación:
Reposos de las orugas o tren de desplazamiento de la grúa.
Rotaciones ω1 (t) = cte. = ω1 y ω2 (t) = cte. = ω2 .
Ángulo de la pluma con la horizontal = β.
Se piden las siguientes magnitudes ex-
presándolas en S.
2) Velocidad y aceleración del punto
Q, extremo de apoyo de la pluma,
respecto al suelo (S1 ), vQ/S 1 y aQ/S 1 .
3) Velocidad del punto P, extremo de la
pluma, respecto al suelo (S1 ), vP/S 1 .
4) Aceleración del punto P respecto al
suelo (S1 ), aP/S 1 .
5) Velocidad y aceleración del punto P
respecto a la cabina (S), vP/S y aP/S .
Considerando el movimiento de A respecto a S1 descompuesto en los movimientos de A respecto a C y de C
respecto a S1 , determine las siguientes magnitudes expresándolas en S.
6) Velocidad y aceleración de arrastre del punto P.
7) Aceleración de Coriolis del punto P.
8) Compruebe que la solución de los apartados 3) y 4) coincide con la obtenida a partir de los apartados 5), 6)
y 7).
III) En esta tercera y última parte, el gancho de amarre que pende del cable de sustentación está a distancia h de P
y tiene masa m.
9) Siendo ω1 = ω2 = 0, el carro avanza rectilíneamente con aceleración constante de valor a. Determine el
ángulo constante γ (por medio de su tangente, tg γ) que forma la vertical con el cable, y su tensión, en
condiciones de movimiento estacionario.
10) Siendo ω2 = 0 y ω1 = cte. y estando el carro parado, determine el ángulo constante γ (por medio de su
tangente, tg γ) que forma la vertical con el cable, y su tensión, en condiciones de movimiento estacionario,
facilitando las ecuaciones que proporcionan tg γ y T en función de datos del enunciado.

2. Resolución
En la figura 1 se representa un esquema en alzado de la grúa con los movimientos básicos.
Fig. 1: Esquema de los movimientos de la grúa
1) Componiendo los movimientos de la pluma respecto a la cabina y de ésta respecto al suelo,
ωA/S1 = ωA/S + ωS/S1 = ω2 i + ω1 k ωA/S1 = ω2 i + ω1 k
La aceleración angular se obtiene derivando la velocidad angular, teniendo en cuenta que k es constante y
que i es un vector de módulo constante, es decir
di
αA/S 1 = ωA/S 1 = ω2 i + ω1 k + ω2
˙ ˙ ˙ = ω2 i + ω1 k + ω2 ω1 × i
˙ ˙ αA/S 1 = ω2 i + ω1 ω2 j + ω1 k
˙ ˙
dt
2) El punto Q describe uniformemente una circunferencia horizontal de centro O y radio . Por tanto
vQ/S 1 = −ω1 i aQ/S 1 = −ω2 j
1
3) Como los puntos Q y P pertenecen al mismo sólido rígido (la pluma A) sus velocidades y aceleraciones
están relacionadas.
i j k
vP/S1 = vQ/S1 + ωA/S1 × QP = (−ω1 , 0, 0) + ω2 0 ω1
0 L cos β L sen β
vP/S 1 = −ω1 ( + L cos β) i − ω2 L sen β j + ω2 L cos β k
4) Análogamente para la aceleración, teniendo en cuenta que ω2 = ω1 = 0, ecir
˙ ˙
aP/S1 = aQ/S1 + ωA/S1 × QP + ωA/S1 × (ωA/S1 × QP)
˙
i j k i j k
aP/S1 = (0, −ω2 , 0) +
1 0 ω1 ω2 0 + ωA/S1 × ω2 0 ω1
0 L cos β L sen β 0 L cos β L sen β
i j k i j k
aP/S1 = (0, −ω2
1 , 0) + 0 ω1 ω2 0 + ω2 0 ω1
0 L cos β L sen β −ω1 L cos β −ω2 L sen β ω2 L cos β
aP/S 1 = 2ω1 ω2 L sen β i − ω2 ( + L cos β) + ω2 L cos β j − ω2 L sen β k
1 2 2

3. 5) La trayectoria del punto P respecto a la cabina (S) es una circunferencia en el plano Oyz, de centro Q y radio
L. Como Q también pertenece a S, vQ/S = 0 y aQ/S = 0. Por consiguiente
i j k
vP/S = vQ/S + ωA/S × QP = 0 + ω2 0 0 vP/S = −ω2 L sen β j + ω2 L cos β k
0 L cos β L sen β
La aceleración es
aP/S = aQ/S + ωA/S × QP + ωA/S × (ωA/S × QP) = 0 + 0 − ω2 L(cos β j + sen β k)
˙ 2
aP/S = −ω2 L(cos β j + sen β k)
2
6) El movimiento de arrastre de P es el que resulta de imaginar P ligado a la cabina C, es decir al sistema S.
Este movimiento es el producido por la rotación ω1 según Oz. Por tanto
vP arr = vP(S)/S1 = −ω1 ( + L cos β)i vP arr = −ω1 ( + L cos β) i
Análogamente
aP arr = aP(S)/S1 = −ω2 ( + L cos β)j
1 aP arr = −ω2 ( + L cos β) j
1
7)
i j k
aP Cor = 2ωarr × vP rel =2 0 0 ω1 aP Cor = 2ω1 ω2 L sen β i
0 −ω2 L sen β ω2 L cos β
8) La velocidad y aceleración del movimiento relativo de P, movimiento de P respecto a la cabina (sistema S),
se obtuvieron en 5). Por tanto
vP/S = vP rel + vP arr = −ω2 L sen β j + ω2 L cos β k − ω1 ( + L cos β) i
vP/S 1 = −ω1 ( + L cos β) i − ω2 L sen β j + ω2 L cos β k
aP/S 1 = aP rel + aP arr + aP Cor = −ω2 L(cos β j + sen β k) − ω2 ( + L cos β) j + 2ω1 ω2 L sen β i
2 1
aP/S 1 = 2ω1 ω2 L sen β i − ω2 ( + L cos β) + ω2 L cos β j − ω2 L sen β k
1 2 2
Ambas expresiones coinciden con las obtenidas en los apartados 3) y 4).
9) En situación estacionaria, la masa del gancho se mueve aceleradamente con la grúa permaneciendo en
reposo respecto de la misma, tal y como se indica en la figura 2.
Fig. 2: Rotaciones nulas y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de la grúa

4. La ecuación fundamental de la dinámica para el punto material de masa m se concreta en


T sen γ = ma 


a a2

tg γ = T = mg 1 + tg2 γ = mg 1 + 2


g g



T cos γ = mg 



a
tg γ = T = m g2 + a2
g
10) En situación estacionaria, la masa del gancho describe una circunferencia de radio + L cos β + h sen γ,
permaneciendo en reposo respecto de la cabina, tal y como se indica en la figura 3.
Fig. 3: Desplazamiento nulo y rotación ω1 uniforme de la cabina y pluma
La ecuación fundamental de la dinámica proporciona en este caso


T cos γ = mg









T sen γ = mω2 ( + L cos β + h sen γ) 


1 
Eliminando T entre las dos anteriores se obtiene la expresión para tg γ.
ω2 h tg γ ω2
tg γ − 1
= 1
( + L cos β)
g 1 + tg2 γ g
Obtenida tg γ la tensión es
T = mg 1 + tg2 γ