Mecanismos de 4 Barras

1. ANALISIS
CINEMATICO DE
MECANISMOS
Presenta: Dr. Ing. Ángel Francisco Villalpando Reyna
Ingeniería Mecatronica
Tema 8. Análisis de Velocidad (Método Analitico)

2. CENTROS INSTANTÁNEOS DE VELOCIDAD*
Un centro instantáneo de velocidad se define como un
punto común a dos cuerpos en movimiento plano que tiene
la misma velocidad instantánea en cada cuerpo. Los centros
instantáneos en ocasiones también se denominan centros o
polos. Puesto que se requieren dos cuerpos o eslabones
crear un centro instantáneo (IC, por sus siglas en ingles), se
puede predecir con facilidad la cantidad de centros
instantáneos que se puede esperar en cualquier conjunto
eslabones.

3. La formula para la combinación de n cosas tomadas de
r a la vez es:
𝐶 =
𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … . (𝑛 − 𝑟 − 𝑙)
𝑟!

4. Aqui r = 2 y se reduce a:
Por la ecuación 6.8b, se puede ver que un mecanismo
de cuatro barras tiene 6 centros instantáneos, uno de
seis tiene 15 y uno de ocho tiene 28.
𝐶 =
𝑛 (𝑛 − 1)
2

5. La figura 6-5 (p. 252) muestra un mecanismo de cuatro
barras en una posición arbitraria. También muestra una
gráfica lineal que es útil para rastrear los centros
instantáneos encontrados. Esta grafica particular
puede crearse al trazar un circulo en el cual se marcan
tantos puntos como eslabones hay en el ensamble.

6. Luego se traza una línea entre los puntos que
representan pares de eslabones cada vez que se
encuentra un centro instantáneo. La grafica lineal
resultante es el conjunto de líneas que conectan
puntos. No incluye el circulo, que se utilizo solo para
colocar los puntos.

7. Algunos centros instantáneos son encontrados por
inspección con solo la definición del centro
instantáneo. Observe en la figura 6-5a que cada una
de las cuatro juntas de pasador satisface la definición.
Claramente deben tener la misma velocidad en ambos
eslabones en todo momento

8. Estos han sido
rotulados I1,2, I2,3, I3,4 e
I1,4. El orden de los
subíndices no importa.
El centro instantáneo
I2,1 es el mismo que I1,2.

10. Estos centros instantáneos de junta de pasador en
ocasiones se denominan centros instantáneos
“permanentes”, ya que permanecen en el mismo
lugar en todas las posiciones del mecanismo. En
general, los centros instantáneos se moverán a nuevas
ubicaciones conforme el mecanismo cambia de
posición, de ahí el adjetivo de instantáneo.

11. Regla de Kennedy:
Tres cuerpos cualesquiera en movimiento plano
tendrán exactamente tres centros instantáneos, y
quedarán en la misma línea recta.

12. ANÁLISIS DE VELOCIDAD CON CENTROS
INSTANTÁNEOS
Una vez que se encuentran los centros instantáneos,
pueden utilizarse para realizar un análisis grafico muy
rápido de la velocidad del mecanismo. Observe que,
según la posición particular del mecanismo que se va
analizar, algunos de los centros instantáneos pueden
estar muy alejados de los eslabones.

13. Observe que, según la posición particular del
mecanismo que se va a analizar, algunos de los centros
instantáneos pueden estar muy alejados de los
eslabones.

14. Por ejemplo, si los eslabones 2 y 4 son casi paralelos,
sus líneas extendidas se cortaran en un punto muy
alejado y desde un punto de vista practico no estará
disponible para el análisis de la velocidad.

15. ANÁLISIS DE VELOCIDAD CON CENTROS
INSTANTÁNEOS
La figura 6-9 muestra el mismo mecanismo de la
6-5 (p. 252) con I1,3 localizado y rotulado. De
con la definición de centro instantáneo, ambos
eslabones que comparten el centro instantáneo
tendrán velocidad idéntica en ese punto.

16. La figura 6-9 muestra el mismo mecanismo de la
figura 6-5 (p. 252) con I1,3 localizado y rotulado. De
acuerdo con la definición de centro instantáneo,
ambos eslabones que comparten el centro instantáneo
tendrán velocidad idéntica en ese punto.

18. La velocidad del punto A se muestra en la figura 6-9.
La magnitud de VA puede calcularse con la ecuación
6.7 (p. 248). Su dirección y sentido se determinan
mediante inspección como se hizo en el ejemplo 6-1
(p. 248). Observe que el punto A también es el centro
instantáneo I2,3. Tiene la misma velocidad como parte
del eslabón 2 y como parte del eslabón 3.

19. Como el eslabón 3 gira de hecho en torno a I1,3 en este
instante, la velocidad angular w3 se encuentra al
reacomodar la ecuación 6.7:
𝜔3 =
𝑣 𝐴
(𝐴𝐼1,3)

20. Una vez que se conoce w3, la magnitud de VB también
se encuentra con la ecuación 6.7:
Una vez que se conoce VB, w4 se encuentra con la
ecuación 6.7:
𝑣 𝐵 = 𝐵𝐼1,3 𝜔3
𝜔4 =
𝑣 𝐵
(𝐵𝑂4)

21. Por ultimo, la magnitud de VC (o la velocidad de
cualquier otro punto en el acoplador) se encuentra con
la ecuación 6.7:
𝑣 𝐶 = 𝐶𝐼1,3 𝜔3

22. ANÁLISIS DE VELOCIDAD DE
DESLIZAMIENTO
Cuando existe una junta deslizante entre dos
eslabones y ninguno es el eslabón de bancada, el
análisis de la velocidad es más complicado.

23. La figura 6-18 muestra una inversión del mecanismo
de cuatro barras manivela-corredera en el cual la junta
deslizante es flotante, es decir, no está conectada a la
bancada.

25. En general se puede encontrar la velocidad de por lo
menos uno de estos puntos directamente con la
información de entrada conocida y la ecuación 6.7 (p.
248). Ésta y la ecuación 6.6 es todo lo que se requiere
para determinar todo el resto. En este ejemplo, el
eslabón 2 es el motriz y q 2 y w2 se dan para la
posición de “marco congelado” mostrada.

26. 1 Comience en el extremo del mecanismo del cual
tenga la máxima información. Calcule la magnitud de
la velocidad del punto A como parte del eslabón 2 (A2)
con la ecuación escalar 6.7 (p. 248).
vA2 = (AO2 )ω2 (a)

28. 2 Trace el vector de velocidad VA2 a una escala
conveniente y con su raíz en el punto A y su dirección
perpendicular al radio AO2. Su sentido es el mismo que
el de w2 como se muestra en la figura 6-18.

30. 3 Trace el eje de deslizamiento y el eje de transmisión
por el punto A.

32. 4 Proyecte VA2 sobre el eje de deslizamiento y sobre
el eje de transmisión para crear las componentes
VA2desl y Vtrans de VA2 sobre los ejes de deslizamiento
transmisión, respectivamente. Observe que la
componente de transmisión es compartida por todos
los vectores de velocidad verdaderos en este punto, ya
que es la única componente que puede transmitir a
través de la junta.

34. 5 Observe que el eslabón 3 está conectado por medio
de pasador al eslabón 2, de modo que VA3 = VA2.

36. 6 Observe que la dirección de la velocidad del punto
VA4 es predecible puesto que todos los puntos del
eslabón 4 están en rotación pura alrededor del punto
O4. Trace la línea p/p por el punto A perpendicular al
eslabón efectivo 4, AO4. La línea pp es la dirección de
la velocidad VA4.

38. 7 Construya la magnitud del vector de velocidad VA4 y
prolongue la proyección de la componente de
transmisión Vtransm hasta que corte la línea p/p.

40. 8 Proyecte VA4 sobre el eje de deslizamiento para crear
la componente de deslizamiento VA4desl.

42. 9 Escriba la ecuación vectorial de la velocidad relativa
6.6 (p. 246) para las componentes de deslizamiento del
punto A2 contra el punto A4.

44. 10 Las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4
son idénticas porque comparten la junta deslizante y
deben girar juntas. Se calculan con la ecuación 6.7 (p.
282):

45. Análisis gráfico de la velocidad de un mecanismo de
leva y seguidor

46. Construya el radio efectivo de la leva R2efect en el punto
de contacto instantáneo con el seguidor en esta
posición (punto A en la figura). Su longitud es la
distancia O2A. Calcule la magnitud de la velocidad del
punto A como parte del eslabón 2 (A2) con la ecuación
escalar 6.7 (p. 248).

47. 2 Trace el vector de velocidad VA2 con su longitud
igual a su magnitud νA2 a una escala conveniente y con
su raíz en el punto A y su dirección perpendicular al
radio O2A. Su sentido es el mismo que el de w2 como
se muestra en la fi gura 6-19.

48. 3 Construya el eje de deslizamiento (tangente común a
la leva y seguidor) y su normal, el eje de transmisión,
como se muestra en la figura 6-19.

49. 4 Proyecte VA2 sobre el eje de transmisión para crear la
componente Vtransm. Observe que la componente de
transmisión es compartida por todos los vectores de
velocidad verdaderos en este punto, ya que es la única
componente que puede transmitir a través de la junta.

50. 5 Proyecte VA2 sobre el eje de deslizamiento para crear
la componente de deslizamiento VA2desl.

51. 6 Observe que la dirección de la velocidad del punto
VA3 es predecible puesto que todos los puntos del
eslabón 3 están en rotación pura alrededor del punto
O3. Construya el radio efectivo del seguidor R3efect en
el punto de contacto instantáneo con el seguidor en
esta posición (punto A en la fi gura). Su longitud es la
distancia O3A.

52. 7 Construya una línea en la dirección de VA3
perpendicular a R3efect. Construya la magnitud
verdadera del vector de velocidad VA3 prolongando la
proyección de la componente de transmisión Vtransm
hasta que corte la línea VA3.

53. 8 Proyecte VA3 sobre el eje de deslizamiento para crear
la componente de deslizamiento VA3desl.

54. 9 La velocidad de deslizamiento total en A es la
diferencia vectorial entre las dos componentes de
deslizamiento. Escriba la ecuación vectorial de
velocidad relativa 6.6 (p. 246) para las componentes de
deslizamiento del punto A3 contra el punto A2.
𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙32 = 𝑉𝐴3𝑑𝑒𝑠𝑙 − 𝑉𝐴2𝑑𝑒𝑠𝑙

55. 10 La velocidad angular del eslabón 3 se calcula con la
ecuación 6.7:
𝜔3 =
𝑉𝐴3
𝐴𝑂3

61. Relación de velocidad angular
La relación de velocidad angular mV se define como
la velocidad angular de salida dividida entre la
velocidad angular de entrada. Para un mecanismo de
cuatro barras esta se expresa como:
𝑚 𝑉 =
𝜔4
𝜔2

62. Esta relación se deriva para cualquier mecanismo al construir
un par de eslabones efectivos como se muestra en la figura
6-10a (p. 260). La definición de pares de eslabón efectivos
es dos líneas, mutuamente paralelas, trazadas por los pivotes
fi jos que cortan el acoplador extendido. Estas se muestran
como O2A′ y O4B′ en la figura 6-10a. Observe que existe una
infinidad de posibles pares de eslabones efectivos. Deben ser
paralelos entre si pero pueden formar cualquier ángulo con el
eslabón 3.

63. La componente de la velocidad VA′ queda a lo largo del
eslabón AB. Igual que con un miembro sometido a dos
fuerzas en el cual una fuerza aplicada en un extremo
transmite solo su componente que queda a lo largo del
eslabón hasta el otro extremo, esta componente de velocidad
se transmite a lo largo del eslabón hasta el punto B.

64. Esto en ocasiones se llama principio de transmisibilidad.
Entonces se pueden igualar estas componentes en uno u otro
extremo del eslabón.

66. La figura 6-10b muestra el mismo mecanismo de la
figura 6-10a, pero ahora se trazaron los eslabones
efectivos de modo que no solo son paralelos sino
colineales, por lo que quedan en la parte superior uno
de otro. Ambos cortan el acoplador extendido en el
mismo punto, el cual es el centro instantáneo I2,4.

67. Esto permite escribir una ecuación para la relación de
velocidad angular en función de las distancias de los
pivotes fijos al centro instantáneo I2,4.
𝑚 𝑉 =
𝜔4
𝜔2
=
𝑂2 𝐼2,4
𝑂4 𝐼2,4

68. La potencia P en un sistema mecánico se define como
el producto punto o escalar del vector de fuerza F y el
vector de velocidad V en cualquier punto:
𝑃 = 𝐅 ∙ 𝐕 = 𝐹𝑥 𝑉𝑥 + 𝐹𝑦 𝑉𝑦

69. En un sistema rotatorio, la potencia P se transforma en
el producto del par de torsión T y de la velocidad
angular w la que, en dos dimensiones, tiene la misma
dirección (z):
𝑃 = 𝑇𝜔

70. La potencia fluye a través de un sistema pasivo y:
𝑃𝑒𝑛𝑡 = 𝑃𝑠𝑎𝑙 + 𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠
La eficiencia mecánica se define como:
𝜀 =
𝑃𝑠𝑎𝑙
𝑃𝑒𝑛𝑡

71. Los sistemas de mecanismos articulados pueden ser
muy eficientes si están bien hechos con cojinetes de
baja fricción en todos los pivotes. Las perdidas con
frecuencia menores al 10%. Por simplicidad, en el
análisis siguiente se supondrá que las perdidas son
cero (es decir, un sistema conservador).

72. Entonces, si Tent y went representan par de torsión y
velocidad angular de entrada y Tsal y wsal representan
par de torsión y velocidad angular de salida, entonces:

74. Observe que la relación de par de torsión (mT = Tsal/Tent)es la inversa
de la relacion de la velocidad angular.
La ventaja mecánica (mA) se define como:
Si se supone que se aplican las fuerzas de entrada y salida con los
radios rent y rsal, perpendiculares a sus vectores de fuerza respectivos,

77. Método Analítico de análisis de Velocidades

78. Mecanismo de cuatro barras con juntas de pasador
En la sección 4.5 (p. 162) se derivaron las ecuaciones de
posición para el mecanismo de cuatro barras con juntas de
pasador. El mecanismo se mostro en la figura 4-6 (p. 164) y
muestra de nuevo en la figura 6-20 en la que también se
señala una velocidad angular de entrada w2 aplicada al
eslabón 2. Esta velocidad w2 puede ser una velocidad de
entrada variable con el tiempo. La ecuación de lazo vectorial
se muestra en las ecuaciones 4.5a y 4.5c repetidas aquí para
su conveniencia.

79. Como antes, se sustituyen los vectores por la notación
de numero complejo y se denotan sus longitudes
escalares como a, b, c, d como se muestra en la figura
6-20a.
Para obtener una expresión para la velocidad, se
diferencia la ecuación 4.5 con respecto al tiempo.

80. Pero,
Y
Observe que el termino q1 se elimina porque ese
ángulo es constante, y por lo tanto su derivada es cero.
Observe también que la ecuación 6.14 es, en realidad,
la velocidad relativa o ecuación de diferencia de
velocidad.

81. donde:
La estrategia de solución será la misma que para el
análisis de posición. En primer lugar, se sustituye la
identidad de Euler de la ecuación 4.4a (p. 165) en cada
termino de la ecuación 6.14c:

82. Se multiplica por el operador j:
Los términos coseno se vuelven imaginarios o
términos dirigidos hacia y y como j2 = –1, los términos
seno se vuelven reales o dirigidos hacia x.

83. Ahora es posible separar esta ecuación vectorial en sus
dos componentes reuniendo todos los términos reales
e imaginarios por separado:

84. Observe que las j se cancelaron en la ecuación 6.17e.
Se pueden resolver estas dos ecuaciones, 6.17d y
6.17e, simultáneamente mediante sustitución directa
para obtener:

85. Una vez que se resuelven para w3 y w4, entonces se
puede resolver para la velocidad lineal al sustituir la
identidad de Euler en las ecuaciones 6.15.