RESISTENCIA DE MATERIALES, MECANICA DE MATERIALES PROBLEMAS DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS Y FATIGA

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
INTRODUCCIÓN
Esta separata de Problemas de Concentración de esfuerzos y Fatiga, está
dirigido para los alumnos de Resistencia de Materiales II de la Facultad de
Ingeniería Mecánica de la Universidad Nacional del Callao, y puede ser
consultado por estudiantes de ingeniería de las ramas Civil, Mecánica,
Mecatrónica, Energía, Automotriz, Aeronáutica, Naval , Ciencias e Institutos
Superiores de la especialidad y otros.
El material de los problemas resueltos en esta separata ha sido seleccionado de
los problemas propuestos en los libros de Mecánica de Materiales, Mecánica
de Sólidos y Resistencia de Materiales de diferentes autores como: Bedford &
Liechti, Beer & Johnston, Bickford, Boresi & Schmidt& Sidebottom,
Hibbeler, Mott, Pytel & Singer, Popov, Riley & Sturges y Morris, Miroliubov,
cuya bibliografía completa figura en los referenciales de la separata. La
mayoría de los libros de estos autores se encuentran en la Biblioteca
Especializada de la FIME.
Para la selección de los problemas se ha tenido en cuenta la especialidad, la
aplicación, el grado de dificultad y referencialidad para guía de otros
problemas similares. Para la solución se utiliza el método de análisis de
esfuerzo plano y triaxial, según caso. Su contenido abarca únicamente
problemas de concentración de esfuerzos y fatiga y complementa a las
separatas de Problemas de Deflexiones en Estructuras y Problemas de Vigas
Curvas y Pandeo de Columnas así como teoría de rotura y cilindros de pared
gruesa, anteriormente publicada.
J. A. Bravo F.
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1 PROBLEMAS DE CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS
CARGA AXIAL
1.1. Un miembro de sección rectangular tiene muesca semicircular como se muestra
en la figura P 1.1. El espesor del miembro es 40 mm. el miembro está hecho de un
material dúctil que tiene un σy = 350 MPa, determine la carga de falla estática.
(Boresi, p 604, 1993 )
Figura P 1.1
Solución:
La concentración de esfuerzos en la sección con entalla se determina como:
6.1.......
25,0
40
10
5.1
40
60
=⇒





==
==
tk
h
r
h
H
Cálculo del esfuerzo máximo.
kNP
x
P
x
A
P
kk ytnomt
350.....350
4040
6.1
..
max
max
=⇒==
===
σ
σσσ
1.2 La probeta de aluminio mostrada en la figura P 1.2 está sometida a dos fuerzas
axiales iguales y opuestas P. (a) Sabiendo que E = 70 GPa y σadm = 200 MPa, halle el
máximo valor admisible de P y el alargamiento total correspondiente de la probeta.
(b) Resuelva la parte a si se ha remplazado la probeta por una barra de aluminio de
igual longitud pero de sección uniforme rectangular de 60 por15 mm.(Beer Johnston,
p 100, 2001)
Figura P 1.2
2

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Solución:
(a) La concentración de esfuerzos en la sección con entalla se determina como:
8.1.......
1,0
60
6
25.1
60
75
=⇒





==
==
tk
h
r
h
H
Cálculo del esfuerzo máximo.
kNP
P
x
P
x
A
P
kk admtnomt
100.....200
5001560
8.1
..
max
max
=⇒===
===
σ
σσσ
( )
( )
( )
( )∑ =+== mm
xxEA
Pl
857.0
157570000
300100000
156070000
150100000
2δ
(b) barra de sección constante de 60x15 mm
( )
( )
mm
EA
Pl
kNP
x
P
A
P
admnom
71.1
90070000
600180000
180.....200
1560
........max
===
=⇒=→===
δ
σσσ
1.3. Un miembro a tensión de acero (E = 200 GPa) de 100 mm de diámetro tiene una
ranura semicircular con profundidad igual a un radio de 5 mm como de ve en la
figura P 1.3. Un extensómetro eléctrico de longitud corta esta cementada en la parte
baja de la ranura y en el miembro ubicado a 100 mm de la ranura. Una carga axial
produce deformaciones axiales cuya lectura son de 0.00100 en la ranura y 0.00032
cerca de la ranura. Asumiendo que el material tiene comportamiento elástico
determine el factor de concentración de esfuerzos para la ranura y la magnitud de la
carga axial P. Asume que el estado de esfuerzo en el fondo de la ranura es uniaxial.
(Boresi, p 607, 1993)
Figura P 1.3
Solución:
El miembro tiene concentración de esfuerzos en la ranura.
Los esfuerzos en la sección de la ranura y otro alejado a ésta determinamos mediante
la ley de Hooke:
En la ranura:
( ) MPaE 20000100.0200000.max === εσ
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En una sección sin ranura:
( ) MPaEnom 64000320.0200000. === εσ
El factor de concentración de esfuerzos es:
125.3
64
200max
===
nom
tk
σ
σ
Debido a la geometría de la concentración de esfuerzos:
5.2.......
056,0
90
5
11.1
90
100
=⇒





==
==
tk
d
r
d
D
( )( )
( )( ) kNAP
A
P
kN
k
A
P
A
P
k
nomnom
t
t
6.5025064.......
9.508
5.2
45.200.
.....
2
2
max
max
===→=
===→=
πσσ
πσ
σ
Luego la carga es P = 502.6 kN
1.4. Un miembro a tensión indicado en la figura P 1.4 tiene sección transversal
rectangular de 20 mm de espesor. Si P = 80 kN, determine el máximo esfuerzo
normal en la sección del agujero y en la sección base del filete. .(Boresi, p 607, 1993)
Figura P 1.4
Solución:
El miembro tiene dos secciones de concentración de esfuerzos: agujero y filete.
En el agujero:
6.2......1667.0
120
202
=→== tk
H
r
( )( )
MPa
A
P
kk tnomt 104
2020120
80000
6.2.max =
−
=== σσ
En el filete:
4

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8.1.......
1,0
100
10
2.1
100
120
=⇒





==
==
tk
h
r
h
H
MPa
xA
P
kk tnomt 72
20100
80000
8.1..max ==== σσ
TORSIÓN
1.5. Si se sabe que el eje escalonado que se muestra en la figura P 1.5 transmite un
par de torsión de magnitud T = 2.5. kips.pulg, determine el esfuerzo cortante máximo
en el eje cuando el radio del filete es a) r = 1/8 pulg, b) r = 3/16 pulg. .(Beer J DM, p
148, 2014)
Figura P 1.5
Solución:
El eje escalonado tiene 1 sección con concentración de esfuerzos en el filete:
a) para r = 1/8 pulg.:
42.1.......
0833.0
5.1
8/1
33.1
5.1
2
=⇒





==
==
tk
d
r
d
D
( )
( )
ksi
J
rT
kk tnomt 71.10
5.1
3250.2
42.1
.
.. 3max ====
π
ττ
b) para r = 3/16 pulg.:
33.1.......
125.0
5.1
16/3
33.1
5.1
2
=⇒





==
==
tk
d
r
d
D
( )
( )
ksi
J
rT
kk tnomt 035.10
5.1
3250.2
33.1
.
.. 3max ====
π
ττ
1.6. La flecha de salida de una transmisión automotriz tiene la configuración que se
muestra en la figura P 1.6. Si transmite 105 kW a 220 rad/s, calcule el máximo
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esfuerzo cortante torsional en la flecha. Tenga en cuenta la concentración de esfuerzo
en el lugar donde se localiza el engrane del velocímetro. (Mott. p178, 1996)
Figura P 1.6
Solución:
El eje escalonado tiene concentración de esfuerzos en el filete de engrane del
velocímetro:
2.1.......
15.0
40
6
75.1
40
70
=⇒





==
==
tk
d
r
d
D
( )
( )
MPa
x
J
rT
kk
mN
xP
TTP
tnomt 0.49
40
161027.477
2.1
.
..
.27.477
220
10105
.......
3
3
max
3
====
===→=
π
ττ
ω
ω
1.7. La figura P 1.7 muestra segmentos de flecha de un equipo de transmisor de
potencia. Calcule el par de torsión cíclico máximo que se podría aplicar con
seguridad a la flecha si tienen que ser de acero AISI 1141 OQT 1100. (Mott. p178,
1996)
Figura P 1.7
6

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Solución:
El acero AISI 1141 OQT 1100 tiene ksisy 97= . Para el par de torsión cíclico:
ksi
N
sy
dadm 125.12
8
97
2
====ττ
El eje escalonado tiene cuatro puntos de concentración de esfuerzos: dos cuñeros y
dos en el filete:
- Para el tipo de cuñero de extremo 6.1=tk
( )
( )
.lg.906.2......
25.1
16
6.1125.12.......
.
.. 3max puklbT
T
J
rT
kk tnomtd =→=→===
π
τττ
- Para el primer escalón:
3.1.......
15.0
25.1
188.0
6.1
25.1
2
=⇒





==
==
tk
d
r
d
D
( )
( )
.lg.58.3......
25.1
16
3.1125.12.......
.
.. 3max puklbT
T
J
rT
kk tnomtd =→=→===
π
τττ
- Para el tipo de cuñero de perfil: 0.2=tk
( )
( )
.lg.52.9......
2
16
0.2125.12.......
.
.. 3max puklbT
T
J
rT
kk tnomtd =→=→===
π
τττ
- Para el segundo escalón:
37.1.......
094.0
2
188.0
5.1
2
3
=⇒





==
==
tk
d
r
d
D
( )
( )
.lg.9.13......
2
16
37.1125.12.......
.
.. 3max puklbT
T
J
rT
kk tnomtd =→=→===
π
τττ
Luego, el torque requerido es T = 2906 lb.pulgada.
1.8. La figura P 1.8 muestra segmentos de flecha de un equipo de transmisor de
potencia. Calcule el par de torsión cíclico máximo que se podría aplicar con
seguridad a la flecha si tienen que ser de acero AISI 1141 OQT 1100. (Mott. p178,
1996)
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Figura P 1.8
Solución:
El acero AISI 1141 OQT 1100 tiene MPasy 669= . Para el par de torsión cíclico:
MPa
N
sy
dadm 625.83
8
669
2
====ττ
El eje escalonado tiene tres puntos de concentración de esfuerzos: una ranura circular,
un escalón y un agujero pasante:
- Para la sección de ranura circular:
66.1.......
06.0
25
50.1
2.1
25
30
=⇒





==
==
tk
d
r
d
D
( )
( )
..18.154553......
25
16
66.1625.83.......
.
.. 3max mmNT
T
J
rT
kk tnomtd =→=→===
π
τττ
- Para la sección escalón:
47.1.......
075.0
20
50.1
5.1
20
30
=⇒





==
==
tk
d
r
d
D
( )
( )
..1.89539......
20
16
47.1625.83.......
.
.. 3max mmNT
T
J
rT
kk tnomtd =→=→===
π
τττ
- Para la sección con agujero pasante:
8.3............2.0
20
4
=⇒== tkCcurvalay
D
d
( )
( )
..85.34567......
20
16
8.3625.83.......
.
.. 3max mmNT
T
J
rT
kk tnomtd =→=→===
π
τττ
Luego, la sección crítica es la del agujero pasante y el torque requerido es T = 34.57
N.m
FLEXIÓN
1.9. Es necesario maquinar ranuras semicirculares con radio r en los lados de un
elemento de acero como se muestra en la figura P 1.9. Utilizando un esfuerzo
permisible de 60 MPa, determine el momento flector máximo que puede aplicarse al
elemento cuando a) r = 9 mm, b) r = 18 mm.(Beer J. p 148. 2014)
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Figura P 1.9
Solución:
La concentración de esfuerzos en la sección con entalla se determina como:
a) para r = 9mm
81.1.......
1,0
90
9
2.1
90
108
=⇒





==
==
tk
h
r
h
H
Cálculo del esfuerzo máximo.
( )
( )
mmNM
M
x
I
yM
kk ytnomt
.9.805524.....60
12
9018
45
81.1
.
..
3max
max
=⇒==
===
σ
σσσ
b) para r = 18mm
45.1.......
25,0
72
18
5.1
72
108
=⇒





==
==
tk
h
r
h
H
Cálculo del esfuerzo máximo.
( )
( )
mmNM
M
x
I
yM
kk ytnomt
.0.643531.....60
12
7218
36
45.1
.
..
3max
max
=⇒==
===
σ
σσσ
1.10. La viga en la figura P 1.10 está hecha de acero (E = 200 GPa), tiene un
diámetro de 60 mm a lo largo de la longitud de 600 mm, y tiene un escalón con
mayor diámetro. La magnitud del factor de la concentración de esfuerzos kt para el
escalón es determinada por la lectura de deformación del strain gage encima de la
viga sobre el escalón. Una lectura de deformación de 0.00080 fue grabada cuando P
= 3.00 kN. Cual es la magnitud de kt para el escalón?. (Boresi, p 605. 1993).
Figura P 1.10
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Solución:
Los esfuerzos nominal y máximo en la entalla son:.
( )( )
( )
( )
89.1
88.84
160
.16000080.010200.
88.84
64
60
306003000.
max
3
max
4
===
===
===
nom
t
nom
k
MPaxE
MPa
x
I
yM
σ
σ
εσ
π
σ
1.11. La figura P 1.11 muestra una flecha circular de una transmisión. En los puntos
A, C y E se montan los engranes. En B y D van los cojinetes de apoyo. Se muestran
las fuerzas transmitidas por los engranes a la flecha, todas dirigidas hacia abajo.
Calcule el esfuerzo máximo causado por flexión en la flecha, teniendo en cuenta las
concentraciones de esfuerzo. (Mott, p 318. 1996)
Figura P 1.11
Solución:
Las concentraciones de esfuerzos se presentan en la secciones con entalla y en los
cuñeros y se determinan como:
- para la entalla en B de radio r = 2 mm
0.2.......
044,0
45
2
22.1
45
55
=⇒





==
==
tk
h
r
h
H
Cálculo del esfuerzo máximo.
( )( )
( )
MPa
x
x
I
yM
kk tnomt 05.176
64
45
5.2215010500
2
.
.. 4max ====
π
σσ
- para el cuñero de perfil en C, kt = 2.0 :
( ) ( ) mmkNM C .5.6373005.1015075.16 −=−=
( )( )
( )
MPax
I
yM
kk tnomt 06.78
64
55
5.27637500
2
.
.. 4max ====
π
σσ
El esfuerzo máximo se produce en B.
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1.12. Encuentre el valor del radio r del filete a la izquierda en la figura P 1.12 si el
esfuerzo ahí debe ser el mismo que en el filete a la derecha. (Spotts, p 167. 1998)
Figura P 1.12
Solución:
Determinación de las reacciones en los apoyos:
( ) ( )
klbAAF
klbBBM A
400..........0560960.........0
560.......04828960......0
=⇒=+−→=∑
=⇒=−→=∑
Determinación de momentos en ambas secciones:
( )
( ) lg.480012400
lg.672012560
puklbM
puklbM
izq
der
==
==
Determinación de r:
- para la entalla derecha de radio r = 0.5
36.1.......
25,0
2
5.0
5.1
2
3
=⇒





==
==
tk
d
r
d
D
Al ser la geometría y los esfuerzos iguales en ambas secciones, se cumple:
( ) ( ) 904.1......672036.14800...... =⇒=→= titidtditi kkMkMk
Del gráfico y para D/d = 1.5 se tiene: r/d =0.07
( ) 14.0207.0 ==r
Se considera r = 0.15
CARGA MULTIAXIAL
1.13. La barra redonda mostrada en la figura P 1.13 está montada como una viga en
voladizo y tiene una ranura como se indica. El material tiene σyp =60000 psi y Nfs =
2.5. A) ¿Qué puntos en la barra son críticos los esfuerzos? , b) En cada punto crítico,
11

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determine si la parte fallará según la teoría de la energía de distorsión máxima de
falla. (Spotts, p 171, 1998)
Figura P 1.13
Solución:
a) las secciones críticas son el empotramiento y la entalla.
b) En el empotramiento:
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
resiste
N
psi
J
rT
psi
x
I
yM
A
P
y
adm
......2400099.18755.......
5.2
60000
96.5092311.16552...
3
96.5092
32
1
5.01000.
11.16552
64
1
5.010100
4
1
5000.
22
22
4
42
∴≤






≤+→






=≤+
===
=+=+=
σ
στσ
π
τ
ππ
σ
En la entalla:
4.1......7.1...,..9.1.......
125,0
8.0
1.0
25.1
8.0
1
===⇒





==
==
tstftt kykk
d
r
d
D
( )
( )( )
( )
( )
( )
psix
J
rT
k
psi
x
xx
I
yM
k
A
P
k
ts
ttt
06.13926
32
8.0
4.01000
4.1
.
86.35809
64
8.0
4.05100
7.1
4
8.0
5000
9.1
.
.
4max
42max
===
=+=+=
π
τ
ππ
σ
12

13. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
( ) ( )
resisteno
N
y
adm
......2400082.43175.......
5.2
60000
06.13926386.35809...
3
22
22
∴≥






≤+→






=≤+
σ
στσ
1.14. La flecha vertical mostrada en la figura P 1.14 dispone de dos poleas
impulsadas por correas. Se muestran las fuerzas de tensión en las correas en
operación. Además, la flecha soporta una carga de compresión axial de 6.2 Kn.
Considerando esfuerzos de torsión, flexión y de compresión axial, calcule es esfuerzo
cortante máximo con la ecuación ( ) 22
max 2/ τστ += .(Mott. P427. 1996)
Figura P 1.14
Solución:
Determinación de las reacciones en los apoyos A y D:
( ) ( ) ( )
NADAF
NDDM A
352..........04801200.........0
368.......06004004802001200......0
=⇒=++−→=∑
=⇒=−−→=∑
Determinación de momentos en ambas secciones:
( )
( ) mmNM
mmNM
C
B
.73600200368
.70400200352
==
==
Para flexión y torsión se toma para cuñeros de perfil k = 2.0.
En la sección B:
13

14. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
( )
( )( )
( )
( )
( )
MPax
J
rT
k
MPax
I
yM
k
A
P
ts
t
84.27
32
28
1460000
0.2
.
40.75
64
28
1470400
0.2
4
28
6200.
.
4max
42max
===
=−−=−−=
π
τ
ππ
σ
( ) .87.4684.27
2
40.75
2
2
2
2
2
max MPaB =+





=+





= τ
σ
τ
En la sección C:
( )
( )( )
( )
( )
( )
MPax
J
rT
k
MPax
I
yM
k
A
P
ts
t
84.27
32
28
1460000
0.2
.
37.78
64
28
1473600
0.2
4
28
6200.
.
4max
42max
===
−=−−=−−=
π
τ
ππ
σ
( ) ( ) .07.4884.27
2
37.78
2/
2
2
22
max MPaC =+





=+= τστ
2 PROBLEMAS DE FATIGA DE MATERIALES
14

15. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
CARGA AXIAL
2.1. La placa de la figura P 2.1 tiene 1 pulgada de espesor. La carga varía de 50000 a
30000 lb. Si el factor de seguridad es 2, σy = 40300 lb/pulg2
y σe = 28000 lb/pulg2
,
encuentre un valor adecuado para d usando q = 1.0 y la ecuación de Soderberg.
( Spotts, p161, 1998 )
Figura P 2.1
Solución:
La concentración de esfuerzos en la sección con entalla se determina como:
6.1.......
25.0
25.0
5.1
5.1
=⇒





==
==
tk
d
d
d
r
d
d
d
D
6.1...1 ==⇒= et kkq
Cálculo de esfuerzos máximo, mínimo, medio y alterno debido las cargas pulsatorias.
d
d
d
d
ddA
P
ddA
P
a
m
20000
2
2/30000/50000
2
40000
2
2/30000/50000
2
.
30000
1.
30000
50000
1.
50000
.
minmax
minmax
min
min
max
max
=
−
=
−
=
=
+
=
+
=
===
===
σσ
σ
σσ
σ
σ
σ
Aplicando Soderberg:
.lg27.4......
2
40300
7
602400
28000
4030020000
6.1
40000
pud
dd
x
d
fs
k
eq
y
adm
e
y
aemeq
=→==





+=
==+=
σ
σ
σ
σ
σ
σσσ
2.2. Una parte está diseñada como se muestra en la figura P 2.2. Revise el diseño
usando la ecuación de Soderberg en el agarre y en el filete. ¿Es segura la parte para
una operación continua?. La carga varía de 12000 a 2000 lb. Para el material, σy =
41000 lb/pulg2
y σe = 28500 lb/pulg2
y q = 0.8. la placa tiene espesor de 7/16” y
factor de seguridad 1.5. ( Spotts, p161, 1998 )
15

16. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
Figura P 2.2
Solución:
La parte tiene dos secciones de concentración de esfuerzos: agarre y filete.
Cálculo de ke, esfuerzos máximo y mínimo debido las cargas pulsatorias:
En el agarre:
( ) ( ) 984.1123.28.0111
23.2......4.0
5
2
8
7
1
4/32
=−+=−+=
=→===
te
t
kqk
k
D
r
psi
A
P
psi
A
P
49.4063
16
7
4
3
8
15
2000
95.24380
16
7
4
3
8
7
1
12000
.
min
min
max
max
=












−
==
=












−
==
σ
σ
En el filete:
( ) ( ) 384.1148.18.0111
48.1.......
182.0
8/11
4/1
364.1
8/11
8/15
=−+=−+=
=⇒





==
==
te
t
kqk
k
h
r
h
H
16

17. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
68.3324
16
7
8
11
2000
05.19948
16
7
8
3
1
12000
.
min
min
max
max
=






==
=






==
A
P
A
P
σ
σ
Se determinó que los mayores esfuerzos máximo, mínimo y el coeficiente efectivo de
concentración de esfuerzos se generan en la sección de agarre, luego ésta es la
sección crítica:
Determinación de los esfuerzos medio y alterno en la sección de agarre:
psi
psi
a
m
73.10158
2
49.406395.24380
2
22.14222
2
49.406395.24380
2
.
minmax
minmax
=
−
=
−
=
=
+
=
+
=
σσ
σ
σσ
σ
Aplicando Soderberg:
( ) 33.27333
5.1
41000
13.25820
28500
41000
49.4063984.122.14222 =≤=





+=
==+=
eq
y
adm
e
y
aemeq
fs
k
σ
σ
σ
σ
σ
σσσ
Luego el diseño es seguro.
2.3. Una parte de máquina de espesor constante que se usará para transmitir
carga axial cíclica debe tener las dimensiones mostradas en la figura P 2.3.
Seleccione el espesor necesario en el miembro para transmitir una carga
axial de 12 kN con el fin de limitar el esfuerzo máximo a 80 MPa. Obtenga los
factores de concentración de esfuerzos con ayuda de la figura, (b) ¿Dónde
podría ocurrir la fractura potencial?. ( Spotts, p161, 1998 )
Figura P 2.3
Solución:
La parte tiene tres secciones de concentración de esfuerzos: agarre y 2 filetes.
Cálculo de ke, el esfuerzo máximo y mínimo debido las cargas pulsatorias:
En el agarre:
17

18. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
23.2......4.0
50
202
=→== tk
H
r
( )
( )
mmt
t
k
tttA
P
ttA
P
aemeq
a
m
.65.11......80
400
.33.20.
400
2
0
2
400
.2050
12000
400
.2050
12000
.
minmax
minmax
min
min
max
max
=→=+=+=
=
−
=
=
+
=
→







−=
−
−==
=
−
==
σσσ
σσ
σ
σσ
σ
σ
σ
En el filete (1):
5.1.......
571.0
35
20
429.1
35
50
1
1
=⇒






==
==
tk
h
r
h
H
mmt
t
k
tttA
P
ttA
P
aemeq
a
m
43.6......80
7
2400
..5.10.
7
2400
2
0
2
7
2400
.35
12000
7
2400
.35
12000
.
minmax
minmax
min
min
max
max
=→=+=+=
=
−
=
=
+
=
→






−=−=−=
===
σσσ
σσ
σ
σσ
σ
σ
σ
En el filete (2):
6.1.......
3.0
20
6
75.1
20
35
2
2
1
=⇒






==
==
tk
h
r
h
h
18

19. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
mmt
t
k
tttA
P
ttA
P
aemeq
a
m
12......80
600
.6.10.
600
2
0
2
600
.35
12000
600
.20
12000
.
minmax
minmax
min
min
max
max
=→=+=+=
=
−
=
=
+
=
→






−=−=−=
===
σσσ
σσ
σ
σσ
σ
σ
σ
Se determinó que los mayores esfuerzos máximo, mínimo y el coeficiente efectivo de
concentración de esfuerzos se generan en la sección de agarre, luego ésta es la
sección crítica:
Determinación de los esfuerzos medio y alterno en la sección de agarre:
psi
psi
a
m
73.10158
2
49.406395.24380
2
22.14222
2
49.406395.24380
2
.
minmax
minmax
=
−
=
−
=
=
+
=
+
=
σσ
σ
σσ
σ
Aplicando Soderberg:
( ) 33.27333
5.1
41000
13.25820
28500
41000
49.4063984.122.14222 =≤=





+=
==+=
eq
y
adm
e
y
aemeq
fs
k
σ
σ
σ
σ
σ
σσσ
Luego el diseño es seguro.
TORSION
2.4. La figura P 2.4 muestra una flecha y el esfuerzo nominal fluctuante (en el centro
de la sección de 50 mm) al cual está sujeta. La flecha es de acero que tiene σu =
700 MPa, σy = 450 MPa, σ-1 = 0,5σu y uττ 5.01 =− . Calcular el factor de seguridad
con respecto a la falla con el tiempo a la fatiga si los esfuerzos son de torsión..
( Juvinall, p754, 2002 )
Figura P 2.4
19

20. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
Solución:
La concentración de esfuerzos en la sección con entalla se determina como:
4.2......35.1.......
03.0
50
5.1
1.0
50
5
2.1
50
60
==⇒









==
==
==
tsts kyk
d
r
d
r
d
D
La concentración de esfuerzos en la sección con garganta se determina como:
83.1.......
1.0
50
5
2.1
50
60
=⇒





==
==
tsk
d
r
d
D
E l mas crítico es el de menor radio de curvatura, luego kt = 2.4
4.2...1 ==⇒= et kkq
Cálculo de esfuerzos medio y alterno debido las cargas cíclicass.
Cálculo del esfuerzo máximo.
MPa
MPa
16
80
min
max
−=
=
τ
τ
( )
( ) MPa
MPa
a
m
48
2
1680
2
32
2
1680
2
.
minmax
minmax
=
−−
=
−
=
=
−+
=
+
=
ττ
τ
ττ
τ
Aplicando Soderberg:
( ) 25.1......
225
175
225
484.232...... =⇒=





+→=+= FS
FS
k adm
e
y
aemeq τ
τ
τ
τττ
2.5. La figura P 2.5 muestra el extremo de la flecha vertical de una podadora de pasto
rotatoria. Calcule el esfuerzo cortante torsional máximo en la flecha si tiene que
transmitir 7.5 hp a las cuchillas cuando gira a 2200 rpm. Especifique un acero
adecuado para la flecha y determine el FS. (Mott, p 175, 1996)
20

21. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
Figura P 2.5
Solución:
Se tienen dos secciones de concentración de esfuerzos: el cuñero de perfil ( kt = 2.0) y
la sección con entalla se determina como:
54.1.......
067.0
75.0
05.0
67.1
75.0
25.1
=⇒





==
==
tsk
d
r
d
D
La sección crítica es donde está ubicado el cuñero de perfil.
Determinación del torque:
( ) .lg.8.214
2200
5.763000
......... pulb
P
TTP ===→=
ω
ω
Cálculo de esfuerzos cortantes máximo, mínimo, medio y alterno debido al torque.
( )
( )
psi
J
rT
1.2593
75.0
8.21416.
3minmax ====
π
ττ
0
2
1.2593
2
.
minmax
minmax
=
−
=
=
+
=
ττ
τ
ττ
τ
a
m psi
Aplicando Soderberg:






=+=+=
FS
k
y
e
y
aemeq
τ
τ
τ
τττ 01.2593
2.6. La figura P 2.6 muestra una flecha escalonada sometida a la carga de: a) torsión
cíclica pulsatorias de 0 a T, b) ) torsión cíclica pulsatorias de 0.5T a T y c) torsión
alternada simétrica de –T a T. La sección de mayor diámetro tiene un agujero que la
atraviesa de lado a lado. Si la barra es de acero AISI 1020 estirado en frío, calcule el
valor de T que genere un esfuerzo igual a su resistencia a la fluencia a cortante, para
las condiciones indicadas. . (Mott, p 175, 1996)
21

22. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
Figura P 2.6
Solución:
El material tiene σu = 75 ksi, σy = 64 ksi, luego τy = σy/2 = 32 ksi y τ-1 = 19ksi.
La concentración de esfuerzos en la sección escalón se determina como:
55.1.......
053.0
50.1
08.0
33.1
50.1
00.2
=⇒





==
==
tsk
d
r
d
D
Cálculo de esfuerzos cortantes máximo, mínimo, medio y alterno debido al torque.
a) Para la carga pulsatorias de 0 a T
( )
0
51.1
5.1
16
2
min
3max
=
===
τ
π
τ T
T
S
T
T
T
a
m
7545.0
2
7545.0
2
.
minmax
minmax
=
−
=
=
+
=
ττ
τ
ττ
τ
Aplicando Soderberg:
( ) .lg.75.11.....32
19
32
7545.055.17545.0 pulbTTTk
e
y
aemeq =→=+=+=
τ
τ
τττ
b) Para la carga pulsatorias de 0.5T a T
( )
( )
( )
T
T
S
T
T
T
S
T
755.0
5.1
165.0
2
5.0
51.1
5.1
16
2
3min
3max
===
===
π
τ
π
τ
T
T
a
m
3775.0
2
1325.1
2
.
minmax
minmax
=
−
=
=
+
=
ττ
τ
ττ
τ
Aplicando Soderberg:
( ) .lg.11.15.....32
19
32
3775.055.11325.1 pulbTTTk
e
y
aemeq =→=+=+=
τ
τ
τττ
c) Para la carga alternada simétrica de -T a T
22

23. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
( )
T
S
T
T
T
S
T
51.1
2
51.1
5.1
16
2
min
3max
−=−=
===
τ
π
τ
Ta
m
51.1
2
0
2
.
minmax
minmax
=
−
=
=
+
=
ττ
τ
ττ
τ
Aplicando Soderberg:
( ) .lg.12.8.....32
19
32
51.155.10 pulbTTk
e
y
aemeq =→=+=+=
τ
τ
τττ
La carga mas crítica es la pulsatoria de 0.5T a T.
FLEXION
2.7. Suponga que una barra de acero al níquel sirve como una parte de máquina sometido
a la fuerza cíclica P como se muestra en la figura P 2.7. Determine la magnitud admisible
de P si para el requisito impuesto, el esfuerzo admisible es de 500 MPa. Considere t = 5
mm. ( Spotts, p161, 1998 )
Figura P 2.7
Solución:
La concentración de esfuerzos en la sección con entalla se determina como:
52.1.......
2.0
10
2
2
10
20
=⇒





==
==
tk
h
r
h
H
6.1...1 ==⇒= et kkq
Cálculo de esfuerzos máximo, mínimo, medio y alterno debido las cargas pulsatorias.
Cálculo del esfuerzo máximo.
23

24. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
( )
( )
P
P
P
I
yM
018.0
018.0
12
105
55.7.
maxmin
3max
−=−=
===
σσ
σ
( ) P
PP
a
m
018.0
2
018.0018.0
2
0
2
.
minmax
minmax
=
−−
=
−
=
=
+
=
σσ
σ
σσ
σ
Aplicando Soderberg:
( ) kNPPk adm
e
y
aemeq 27.18......500018.052.10...... =⇒=+→=+= σ
σ
σ
σσσ
2.8. Determine la intensidad de la carga pulsatoria (de 0.2F a F) que actúa en la
sección C de la viga indicada en la figura P 2.8. El material es acero σy = 360 MPa, σ-
1 = 220 MPa, q = 0.82, FS = 1.8. . ( Spotts, p161, 1998 )
Figura P 2.8
Solución:
Determinación de las reacciones en los apoyos A y E debido a F:
( ) ( )
FAFFAF
FEEFM A
375.0..........0625.0.........0
625.0.......0400250......0
=⇒=+−→=∑
=⇒=−→=∑
Determinación de momentos máximos en ambas secciones debido a F:
( )
( ) FFM
FFM
D
B
5.62100625.0
25.56150375.0
==
==
Determinación de las reacciones en los apoyos A y E debido a 0.2F:
24

25. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
( ) ( )
FAFFAF
FEEFM A
075.0..........0125.02.0.........0
125.0.......04002502.0......0
=⇒=+−→=∑
=⇒=−→=∑
Determinación de momentos mínimos en ambas secciones debido a 0.2F:
( )
( ) FFM
FFM
D
B
5.12100125.0
25.11150075.0
==
==
La concentración de esfuerzos en la sección con entalla se determina como:
48.1.......
167.0
12
2
67.1
12
20
=⇒





==
==
tk
h
r
h
H
6.1...1 ==⇒= et kkq
Cálculo de esfuerzos máximo, mínimo, medio y alterno debido las cargas pulsatorias.
Cálculo del esfuerzo máximo.
( )
( )
( )
( )
F
F
F
F
I
yM
039.0
12
1212
625.11
195.0
12
1212
625.56.
3min
3max
==
===
σ
σ
( ) F
FF
F
FF
a
m
078.0
2
039.0195.0
2
117.0
2
039.0195.0
2
.
minmax
minmax
=
−
=
−
=
=
+
=
+
=
σσ
σ
σσ
σ
Aplicando Soderberg:
( ) NFFFk adm
e
y
aemeq 8.653......
8.1
360
220
360
078.048.1117.0...... =⇒=+→=+= σ
σ
σ
σσσ
2.9. Un cilindro de pared delgada es de aleación de aluminio 2024-T4 (σu = 430 MPa,
σy = 330 MPa, σam = 190 MPa para N = 106
)El cilindro tiene un diámetro interior de
300 mm y un espesor de pared de 8.00 mm. los extremos son resistentes tal que se
asume que la fatiga ocurre lejos de estos. La presión en el cilindro es cíclico hasta 106
veces entre pmin = -2.00MPa y pmax = 7.00 MPa. Cual es el factor de seguridad contra
la falla por fatiga si el diseño es basado en la relación de Soderberg?. (Boresi, p650,
1993)
Solución:
El cilindro está sometido a esfuerzo plano, pero los mayores esfuerzos se generan en
dirección tangencial (circunferencial) trp /.1 =σ
Determinación de los esfuerzos medio y alterno:
25

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
( ) ( )
( ) ( ) MPa
t
rp
MPa
pp
p
MPa
t
rp
MPa
pp
p
a
aa
m
mm
375.84
8
1505.4.
...5.4
2
27
2
875.46
8
1505.2.
...5.2
2
27
2
minmax
minmax
===→=
−−
=
−
=
===→=
−+
=
+
=
σ
σ
Aplicando Soderberg:
( ) 71.1......
330
190
330
375.840.1875.46...... =⇒=+→=+= FS
FS
k adm
e
y
aemeq σ
σ
σ
σσσ
ESFUERZO COMBINADO
2.10. La pieza de la figura P 2.10, tiene σu = 600 MPa, σy = 320 MPa, σ-1 = 250 MPa,
τy = 220 MPa, τ-1 = 150 MPa, D= 80 mm, d = 40 mm, ρ = 2 mm, l = 400 mm y a =
100 mm, P0 = 160 N y P que varía según el ciclo alternado de Pmax a Pmin = -Pmax.
Determinar Pmax para un FS = 1,8.(Miroliubov, p 300, 1979)
Figura P 2.10
Solución:
La concentración de esfuerzos en la sección con entalla se determina como:
75.1......1.2.......
05.0
40
2
2
40
80
==⇒





==
==
tst kyk
d
r
d
D
Cálculo de esfuerzos máximo, mínimo, medio y alterno debido las cargas pulsatorias.
Cálculo del esfuerzo máximo.
26

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FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
( )( )
( )
( )( )
( )
P
P
P
P
I
yM
00016.0025.0
64
40
20160
00016.0025.0
64
40
20160.
4min
4max
−=
−
=
+=
+
==
π
σ
π
σ
( ) P
FF
FF
a
m
00016.0
2
039.0195.0
2
025.0
2
039.0195.0
2
.
minmax
minmax
=
−
=
−
=
=
+
=
+
=
σσ
σ
σσ
σ
Aplicando Soderberg:
( ) PPxk adm
e
y
aemeq 00043.0025.0
250
320
00016.01.2025.0...... +=+→=+= σ
σ
σ
σσσ
Cálculo de esfuerzos medio y alterno debido las cargas cíclicas.
Cálculo del esfuerzo máximo.
( )( )
( )
P
P
P
J
rT
008.0
008.0
40
3220100.
min
4max
−=
===
τ
π
τ
Pa
m
008.0
2
0
2
.
minmax
minmax
=
−
=
=
+
=
ττ
τ
ττ
τ
Aplicando Soderberg:
( ) PPk
e
y
aemeq 01792.0
250
320
008.075.10...... =





+→+=
τ
τ
τττ
Aplicando la teoría de máximo esfuerzo cortante (Tresca).
( ) ( ) PPP
FS
y
eqeq
......
8.1
320
01792.0400043.0025.0......
.4
2
22
2
22
⇒





=++→






=+
σ
τσ
Se sugiere al lector la determinación de P
2.11. La pieza de la figura P 2.11, cuyo material tiene σy = 36 ksi, σ-1 = 28 ksi, τy = 18
ksi, τ-1 = 14 ksi, está sometido a una carga Q = 8 R y R que varía según el ciclo
pulsatorio de 0 a R. Determinar R para un FS = 2.(Riley, p 634, 2000)
27

28. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
Figura P 2.11
Solución:
Cálculo de esfuerzos máximo, mínimo, medio y alterno debido las cargas pulsatorias.
Cálculo del esfuerzo máximo.
( )
( )( )
( )
R
A
P
R
RR
I
yM
A
P
637.0
82.3
64
4
220
4
4
8.
min
42max
==
=+=+=
σ
ππ
σ
R
R
a
m
5915.1
2
2285.2
2
.
minmax
minmax
=
−
=
=
+
=
σσ
σ
σσ
σ
Aplicando Soderberg:
( ) RRRk
e
y
aemeq 2747.4
28
36
5915.12285.2...... =+→+=
σ
σ
σσσ
Cálculo de esfuerzos medio y alterno debido las cargas cíclicas.
Cálculo del esfuerzo máximo.
( )( )
( )
0
5915.1
4
32220.
min
4max
=
===
τ
π
τ R
R
J
rT
R
R
a
m
7958.0
2
7958.0
2
.
minmax
minmax
=
−
=
=
+
=
ττ
τ
ττ
τ
Aplicando Soderberg:
( ) RRRk
e
y
aemeq 819.1
28
36
7958.07958.0...... =





+→+=
τ
τ
τττ
Aplicando la teoría de máximo trabajo de distorsión (Von Mises).
( ) ( ) klbRRR
FS
y
eqeq 49.11......
2
36
819.132747.4...3
2
22
2
22
=⇒





=+→





=+
σ
τσ
2.12. El eje de la figura P 2.12 es soportado por cojinetes flexibles en A y D, y dos
engranes en B y C son fijadas al eje en las posiciones mostradas. Sobre los
engranes actúan fuerzas tangenciales como se observa. El eje está hecho de acero
SAE 1040 (σu = 830 MPa, σY = 660 MPa, σL =380 MPa). Si el eje rota bajo constante
28

29. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
carga y número indefinido de veces, determine el diámetro del eje para un factor de
seguridad FS =2. (Boresi. p 651, 1993)
Figura P 2.12
Solución:
Determinación de las reacciones en los apoyos A y D debido a las cargas:
( ) ( ) ( )
.4.5..........063.........0
.6.3.......075060063003......0
kNADAF
kNDDM A
=⇒=+−+→=∑
=⇒=+−→=∑
Determinación de momentos máximos en las secciones B y C debido a las cargas:
( )
( ) mmkNM
mmkNM
D
B
.5401506.3
..16203004.5
==
==
El momento torsor es:
( ) ( ) mmkNrFT .450750.61500.3. ====
Luego la sección crítica es la B.
Cálculo de los esfuerzos normales:
S
x
S
M 3
max
101620
==σ
S
x 3
maxmin
101620
−=−= σσ
S
x
S
x
k
S
x
L
Y
ameq
a
m
33
3
minmax
minmax
107.2813
380
660
.
101620
0....
101620
2
0
2
.
=+=+=






=
−
=
=
+
=
σ
σ
σσσ
σσ
σ
σσ
σ
Cálculo de los esfuerzos cortantes:
S
x 3
minmax
10450
==ττ
29

30. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
S
x
kS
x
e
y
aemeq
a
m 3
minmax
3
minmax
10450
......
0
2
10450
2
.
=+=→






=
−
=
=
+
=
τ
τ
τττ
ττ
τ
ττ
τ
Aplicando la teoría de máximo trabajo de distorsión (Von Mises).
( ) mmd
d
S
S
x
S
x
FS
y
eqeq
83.44
45.884732
........
32
.
45.8847...
2
66010450
3
107.2813
......3
3
3
22323
2
22
==⇒==→






=





+





→





=+
π
π
σ
τσ
REFERENCIAS
1. BEER, FERNAND P.; JOHNSTON,E. RUSSELL JR. Mecánica de
Materiales. Bogotá,Mc Graw Hill 2da
edición, 2001.
2. BORESI, ARTHUR P.; SCHMIDT, RICHARD J.; SIDEBOTTOM, OMAR
M. Advanced Mechanics of Materials. New York: John Wiley & Sons, INC.
Fifth Edition. 1993.
3. JUVINALL ROBERT C. Fundamentos de Diseño para Ingeniería
Mecánica. México, Limusa. 5ta
reimpresión, 2002.
4. MIROLIÚBOV, L. ENGÁLICHEV, S., SERGUIÉVSKI,F.,
ALMAMETOV N., KURISTIN K., SMIRNOV-VASILIEV L., YASHINA.
.Problemas de Resistencia de Materiales. Moscú. Editorial MIR. 4ta
Edición,
1981
5. MOTT ROBERT L., Resistencia DE Materiales Aplicada, México, Prentice
Hall Hispanoamericana S.A., 3ra
edición, 1996.
6. RILEY, WILLIAM E.; STURGES, LEROY D,; MORRIS, DON H.
Mecánica de Materiales. México: Limusa Wiley, 1ra
edición 2000
7. M.F.SPOTSS & T.E.SHOUP. Elementos de Máquinas, 7ma
ed.,México.
Printice Hall.1998
30

31. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
ANEXOS
A-1 FACTORES DE CONCENTRACION DE ESFUERZO POR FATIGA:
ROSCAS Y CUÑEROS
A.2. CURVAS DE SENSIBILIDAD
31

32. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
A.3. REDUCCIÓN DE RESISTENCIA A FATIGA POR ACABADO SUPERFICIAL.
Fuente:DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas.
México: CECSA, 9na
Reimpresión 1999.
A-4. COEFICIENTE TEORICO DE CONCENTRACION DE ESFUERZOS:
FLECHAS CON FILETE Y RANURADAS
32

33. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
Fuente:DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas.
México: CECSA, 9na
Reimpresión 1999.
A-5 COEFICIENTE TEORICO DE CONCENTRACION DE ESFUERZOS:
FLECHA CON AGUJERO RADIAL
33

34. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
A-5 COEFICIENTE TEORICO DE CONCENTRACION DE ESFUERZOS:
BARRA CON FILETE DE HOMBRO.
Fuente:DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas.
México: CECSA, 9na
Reimpresión 1999.
A-6. COEFICIENTE TEORICO DE CONCENTRACION DE ESFUERZOS
DE BARRA PLANA:
CON MUESCA CON AGUJERO EN EL CENTRO
34

35. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
Fuente:DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas.
México: CECSA, 9na
Reimpresión 1999.
A-7 COEFICIENTE TEORICO DE CONCENTRACION DE
ESFUERZO DE PLACA
CULATA EN T
35

36. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
CON AGUJERO EXCENTRICO
Fuente:DEUTCHMAN, AARON D.; MICHELS, W.; WILSON CH. E. Diseño de Maquinas.
México: CECSA, 9na
Reimpresión 1999.
Ciudad Universitaria 29 de marzo de 2014
36

37. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
Solicita: Cumplimiento de Separata
“Problemas de Concentración de
esfuerzos y Fatiga”
Señor Licenciado
NELSON ALBERTO DÍAZ LEIVA
jefe del Departamento Académico de Ingeniería Mecánica de la FIME
SR. JEFE:
Yo, JUAN ADOLFO BRAVO FELIX con documento de Identidad N°
08838107 Docente Nombrado de ésta Casa de Estudios Superiores y con domicilio
en calle 37 N° 312 Urbanización el Álamo- Comas, ante Ud. con el debido respeto
me presento y expongo:
Que siendo el Profesor de la Asignatura de Resistencia de Materiales II
y habiendo concluido la elaboración de la Separata “Problemas de de Concentración
de esfuerzos y Fatiga” aprobado por la Resolución Decanal N° 020 – 2014 – D –
FIME correspondiente a los capítulos VI al VII de la mencionada asignatura; solicito
a usted ordene a quien corresponda la revisión, aprobación y publicación
correspondiente de dicha separata.
.
Es gracia que espero alcanzar por ser de justicia
------------------------------------
Ing. Juan Adolfo Bravo Felix
DNI : 08838107
37