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1. Ingeniería Civil
Pregrado Pregrado
INCREMENTO Y DIFERENCIAL DE UNA
FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

2. Ingeniería Civil
Pregrado
En esta sesión de clase aprenderás
• Calcular el incremento de una función en dos variables,
mostrando orden y claridad en el manejo de la información.
• Determinar el diferencial de una función de dos variables,
mostrando una actitud participativa.

3. Ingeniería Civil
Pregrado
Contenidos:
 Saberes básicos.
 Incremento de una función en dos variables.
 Diferencial de una función en dos variables.

4. Ingeniería Civil
Pregrado
Caso aplicativo
La tensión 𝑇 en la cuerda del yo-yo que
se muestra en la figura es
𝑇 = 𝑚𝑔
𝑅
2𝑟2 + 𝑅2
donde 𝑚𝑔 es su peso constante.
Determine el cambio aproximado en la
tensión si 𝑅 y 𝑟 se incrementa de 4 cm y
0.8 cm a 4.1 cm y 0.9 cm,
respectivamente.

5. Ingeniería Civil
Pregrado
Saberes previos:
 Para una función de una variable 𝑦 = 𝑓 𝑥 el incremento en la
variable dependiente está dado por:
∆𝑦 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑎
 Si 𝑓 es una función diferenciable en 𝑎, entonces la diferencial de
la variable dependiente 𝑦 se representa por:
𝑑𝑦 = 𝑓′ 𝑎 ∆𝑥 = 𝑓′ 𝑎 𝑑𝑥

6. Ingeniería Civil
Pregrado
Interpretación geométrica

7. Ingeniería Civil
Pregrado
Incremento y diferencial de una función en dos
variables
 Para una función de dos variables z = 𝑓 𝑥, 𝑦 el incremento de
la variable dependiente 𝑧 está dado por:
∆𝑧 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑓 𝑥, 𝑦
 Sea 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 una función para la cual las primeras derivadas
parciales 𝑓𝑥 y 𝑓𝑦 existen, entonces la diferencial de la variable
dependiente 𝑧 se representa por:
𝑑z = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

8. Ingeniería Civil
Pregrado
Interpretación geométrica

9. Ingeniería Civil
Pregrado
Ejemplo 1
a) Determine ∆𝑧 y 𝑑𝑧 para la función polinomial 𝑧 = 𝑥2 −𝑥𝑦.
b) ¿Cuál es el cambio en la función de 1, 2 a 1.2, 0.7 ?

10. Ingeniería Civil
Pregrado
Ejemplo 2
Determine ∆𝑤 y 𝑑𝑤 para la función polinomial w= 𝑥2 + 2𝑦3 +
3𝑧4.

11. Ingeniería Civil
Pregrado
Ejemplo 3
La diferencial total de la función 𝑧 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛4𝑦 es:

12. Ingeniería Civil
Pregrado Ingeniería Civil
Ejercicios de reforzamiento
Compare los valores de ∆𝑧 y 𝑑𝑧 para la función dada cuando
𝑥, 𝑦 varía del primero al Segundo punto

13. Ingeniería Civil
Pregrado Ingeniería Civil
Resolver el siguiente caso aplicativo

14. Ingeniería Civil
Pregrado Ingeniería Civil
¡Ojo! Recuerda que debes
resolver los ejercicios de la
hoja de trabajo de la sesión
2 que esta en blackboard en
la carpeta de nombre
actividades de evaluación;
esto te ayudará a enriquecer
los temas vistos en clase.

15. Ingeniería Civil
Pregrado Ingeniería Civil