Calculo diferencial e integral (Nivel 2) MAT150 V(2022) .pdf

Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM ( Pág.
1 )
PRESENTACION:
S1 - ARITMETICA S2-ALGEBRA
UNIDAD No1: CONOCIMIENTOS PREVIOS MAT100 (Nivel 1)
S3 CONJUNTOS
S1 – Producto
Carteciano
S2-Relaciones
en te Ay B
UNIDAD No1: RELACIONES Y FUNCIONES MAT100 (Nivel 1)
S3 Análisis
de Funciones
S3 Funciones
entre dos conjuntos
ALUMNO: _________________________________________________________________
ALUMNO:

GUIA DE EJERCICIOS PRACTICOS GESTION
CALCULO I MAT 150
Ing. José Morón Rossel; Docente titular “B” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas ( PAG 2 )
PRESENTACION:
Con el beneplácito de mantener una continuidad anual por más de 20 años, lanzamos la versión No V21
de esta “GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS” para las materias de “Calculo Diferencial e Integral”
Nivel I y Nivel II.
El propósito de la presente Guía es que sirva como material de apoyo bibliográfico a los Estudiantes de
las Facultades de Contaduría Pública y Ciencias Económicas, y del mismo modo a los estimados colegas
que han visto en este medio una herramienta más para el desempeño eficiente en la parte práctica del
proceso de enseñanza que imparten.
Esta Guía; cada año nutre con la recepción de numerosas sugerencias, e ideas respecto al contenido,
de la materia por parte de profesores y alumnos, con el propósito de lograr una mejora continua para
tratar de lograr un consenso de uniformidad mínimo de los contenidos en el momento de impartir las
materias de referencia.
El modelo de la presente GUIA, consiste en plantear por cada unidad, programática, una serie de
secciones, que a su vez tienen lecciones con temática específica y ejemplos y ejercicios propuestos de
distintos tipos.
A los estimados alumnos respetuosamente se les pide:
✓ Ser tolerantes es sus observaciones
✓ Colaborar en el proceso de mejoramiento de la presente guía.
DOCENTES QUE APOYAN Y COLABORAN EN LA EDICION:
 Ing. José Morón R
 Ing. Jorge Antelo
 Ing. Osvaldo Koller.
 Ing. Víctor Hugo Vaca D.
 Lic. Ramiro Limón. (Vgde).
 Ing. Fernando Amelunge Martínez
 Lic. Jaime Velasco.
 Lic. Víctor Romero
 Lic. Alfredo M. Osinaga C
 Lic. Mario Limón.
 Lic. Roberto castro
Contactos: Correo: josemoron@uagrm.edu.bo
Web.: https://jmoronr.wordpress.com
Canal en telegram.og para estudiantes uagrm: https://t.me/Estudiantes_uagrm
ALUMNO: ________________________________________________________ GRUPO: ____
SANTA CRUZ - BOLIVIA

CALCULO I MAT 150
UNIVERSIDAD AUTONOMA: “GABRIEL RENÉ MORENO”
FACULTAD: “CONTADURÍA PUBLICA”
FACULTAD: CIENCIAS ECONOMICAS Y FINANCIERAS
PROGRAMA ANALITICO
GESTION 2021:
IDENTIFICACIÓN:
CARRERA: CICLO COMUN FACULTATIVO
GRADO ACADEMICO: LICENCIATURA
NOMBRE DE LA MATERIA: CALCULO II
SIGLA DE MATERIA: MAT 150
PRERREQUISITOS: MAT 100
SE DICTA EN EL: 2do SEMESTRE
No DE CREDITOS: 5
No DE HORAS SEMANALES: 4 HT + 2HP
Contactos: Correo: josemoron@uagrm.edu.bo
Web.: https://jmoronr.wordpress.com
Canal en telegram.og para estudiantes uagrm: https://t.me/Estudiantes_uagrm
SANTA CRUZ - ENERO - 2021

CALCULO I MAT 150
CONTENIDO MINIMO:
Derivadas, Análisis y aplicación de funciones en dos variables – Derivadas, Análisis y
aplicaciones de funciones con más de dos variables – Integración, análisis y aplicación de
funciones con dos variables, Sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones.
OBJETIVOS GENERALES:
Al finalizar el curso el estudiante será capaz de aplicar los conceptos, herramientas y técnicas
de matemáticas para:
- Analizar y graficar funciones poli nómicas complejas en dos variables.
- Analizar y graficar, y de funciones con más de dos variables.
- Integrar funciones básicas con dos variables.
- Hacer aplicaciones a las ciencias económicas con derivadas y con integrales.
METODOLOGÍA Y MEDIOS DE ENSEÑANZA:
- Se empleará la clase magistral y prácticas grupales.
- Los medios a emplear serán la pizarra, el marcador y la vos.
JUSTIFICACIÓN DE LA MATERIA:
La materia constituye la segunda parte de las herramientas básicas del cálculo diferencial e
integral, para el desarrollo y formación de los estudiantes en la carrera de Contaduría Pública.
EVALUACIÓN:
• PARTE “PRACTICA”.- Por cada capítulo se tomaran practicas grupales u otra modalidad con
una calificación de 25 puntos. La ponderación será el resultado de la suma total de las pruebas
del semestre. En esta calificación se considerará la asistencia para efectos de notas finales.
• PARTE “EXAMENES PARCIALES”. - Se evaluarán tres exámenes parciales:
o El 1ro de las unidades uno
o El 2do de las unidades dos
o El 3ro de la unidad tres con aplicación de conceptos de las unidades anteriores.
PONDERACIÓN:
Exámenes % Obs.
Exámenes prácticos 25 Practicas grupales
Exámenes parciales 50 Unid. 1, 2, Und. 3(2doEP)
Exámenes Final 25 Unid. 4
CRONOGRAMA TENTATIVO PARA UN SEMESTRE ACADEMICO MAT 150
(16 semanas académicas)

CALCULO I MAT 150
DESARROLLO DE LAS UNIDADES PROGRAMATICAS:
UND. No 1
“CONOCIMIENTOS PREVIOS – Funciones derivadas” TIEMPO 18 Horas - aula
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al finalizar el tema el alumno deberá:
- Saber el concepto e interpretación de una función derivada.
- Saber que una funcione derivada en un punto es la razón (pendiente), de cambio de la variable
Y por unidad de X.
- Saber calcular e interpretar el valor de las funciones derivadas en un punto
- Saber relacionar la derivada como un concepto marginal aplicado a las funciones Económicas
CONTENIDO:
1.0.0 Introducción.
1.0 Objetivos
1.1 Definiciones
1.2 Conceptos previos
1.3 Definiciones
1.1.0 Introducción.
1. Derivadas por definición, y propiedades
2. Derivadas aplicando formulas básicas
1.2.0 Funciones derivadas con fórmulas estándar.
1. Derivada de una función exponencial tipo: 𝑦 = 𝑈𝑛
2. Derivada de una función exponencial tipo: 𝑦 = 𝑎𝑈
3. Derivada de una función logarítmica tipo: 𝑦 = log𝑏(𝑎)
4. Derivada de un producto de dos funciones tipo: 𝑦 = 𝑈 × 𝑉
5. Derivada de un cociente de dos funciones tipo: 𝑦 =
𝑈
𝑉
6. Derivada de una función exponencial tipo: 𝑦 = 𝑈𝑉
7. Derivadas tipo misceláneas.
1.3.0 Derivadas de segundo orden y Aplicaciones básicas de las derivadas a las CCEE
1. Derivadas de segundo orden
2. Funciones de oferta y demanda marginal
3. Función Ingreso marginal
4. Función costo
5. Función Utilidad
BIBLIOGRAFÍA (1)
1. WEBER, JEAN,; 1984, MATEMATICAS PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIA, Editorial.
Harla, México D.F.
2. CHUNGARA, Victor , 1995, CALCULO I, Editorial UMSA.
S1 S2 S3
U1
U2
Derivadas
Básicas
Derivadas
Estándar
Aplicaciones
básicas a las CCEE
CONOCIMIENTOS
PPREVIOS.
Funciones derivadas

CALCULO I MAT 150
DESARROLLO DE LA UNIDAD PROGRAMATICA
(S0-U1) Sección: Introducción y definiciones
Introducción y definiciones
4.0.0 FUNCIONES DERIVADAS.
Objetivo. - En este capítulo el alumno aprenderá el concepto y la determinación de
funciones derivada como una herramienta para hacer análisis y aplicaciones básicas a las
Ciencias Económicas administrativas y Financieras.
1.) Definición y notación del concepto de la Función Derivada.
Definición. - Una función derivada se interpreta como un
coeficiente genérico (pendiente), que mide la variación de (y)
por unidad de cambio en (x), a partir de un punto.
Notación: Dada la función: y = f(x), entonces la función
derivada, se la designa como:
𝒚′
= 𝒇′(𝒙) = 𝒎(𝒙) = 𝒕𝒂𝒈(𝜶) =
𝒅𝒙
𝒅𝒚
=
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝑨𝒅𝒚𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆
2.) Definición geométrica. - Es la pendiente de una recta
tangente en un punto cualquiera de una curva o función:
𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥);  𝑦′
= 𝑓′(𝑥) = 𝑚 = 𝑡𝑎𝑔(𝛼) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ᴧ𝑥→0
[
𝑓(𝑥 + ᴧ𝑥) − 𝑓(𝑥)
ᴧ𝑥
] =?
Donde: ᴧ𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1, incremento de X
𝑦1 = 𝑓(𝑥) función original 𝑦2 = 𝑓(𝑥 + ᴧ𝑥) función incrementada
3.) Afirmaciones respecto a la función derivada 𝒇′(𝒙) . –
- Es una nueva función a partir de una primitiva 𝑓(𝑥).
- Es un límite aplicado a la pendiente del triángulo generado por una recta secante entre dos
puntos P1 y P2
- En una función, pendiente 𝑚(𝑥) de una recta tangente en un punto de una curva.
- La aplicación en un punto es un coeficiente numérico que se interpreta como: “la variación
de Y por cada unidad incrementada de X”;
o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐾 Se interpreta como la derivada de Y respecto a X
o P/ ejemplo si:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= +2, se interpreta que, por cada unidad adicional
aumentada en X, entonces la variable Y AUMENTA 2 unidades.
𝑥1 𝑥2
𝑦1
𝑦2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝛼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=2
𝑑𝑦=2
𝑑𝑥=1
∝

CALCULO I MAT 150
(S1-U1) Sección: Funciones derivadas aplicando la definición Geométrica
La competencia que el alumno debe saber es:
- Determinar funciones derivadas aplicando las fórmulas básicas.
- Hacer aplicaciones para determinar el valor de la función derivadas en un punto indicado.
𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥); 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠: 𝑦′
= 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ᴧ𝑥→0
[
𝑓(𝑥 + ᴧ𝑥) − 𝑓(𝑥)
ᴧ𝑥
] =?
Ejemplo 1. Derivadas aplicando formulas básicas (Por definición geométrica)
Ejp.1) Dada la función: 𝑦1 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 ; Hallar la función derivada Aplicando la definición
geométrica:
- La función incrementada es: 𝑌2 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑥 + ∆𝑥
- Reemplazando en la definición de límite:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ᴧ𝑥→0
[
𝑥+∆𝑥−𝑥)
ᴧ𝑥
];
- Simplificando:
𝑥+∆𝑥−𝑥)
ᴧ𝑥
=
∆𝑥
ᴧ𝑥
= 1
- Limite equivalente:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ᴧ𝑥→0
[1] = 1
- Conclusión: La función derivada es: 𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
∴ 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥;  𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
Ejp.2) Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥2
; Hallar la función derivada Aplicando la definición geométrica:
- La función incrementada es: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ᴧ𝑥→0
[
(𝑥+∆𝑥)2−𝑥2)
ᴧ𝑥
];
- Simplificando:
(𝑥+∆𝑥)2−𝑥2)
ᴧ𝑥
=
𝑥2+2𝑥(ᴧ𝑥)+(∆𝑥)2−𝑥2)
ᴧ𝑥
=
2𝑥(ᴧ𝑥))+(∆𝑥)2
ᴧ𝑥
=
(ᴧ𝑥)(2𝑥+(ᴧ𝑥))
ᴧ𝑥
= 2𝑥 + (ᴧ𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ᴧ𝑥→0
[2𝑥 + ∆𝑥] = 2𝑥 + (0) = 2𝑥
- Conclusión: La función derivada es: 𝒚′ =
𝒅𝒙
𝒅𝒚
= 𝟐𝒙
∴ 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2
→ 0;  𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
Ejp.3) Dada la función: 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
; Hallar la función derivada Aplicando la definición geométrica:
- La función incrementada es: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) =
1
𝑥+ᴧ𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ᴧ𝑥→0
[
1
𝑥+ᴧ𝑥
−
1
𝑥
ᴧ𝑥
];
- Simplificando:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ᴧ𝑥→0
[
1
𝑥(𝑥+ᴧ𝑥)
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ᴧ𝑥→0
[
1
𝑥(𝑥+ᴧ𝑥)
] =
1
𝑥(𝑥+(0))
= −
1
𝑥2
- Conclusión: La función derivada es: 𝒚′ =
𝒅𝒙
𝒅𝒚
= −
𝟏
𝒙𝟐
∴ 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
;  𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
𝑥2
NOTA: El resto de funciones derivada se determina de la misma manera, pero en este curso
solamente se dará por demostradas las derivadas de las funciones básicas

CALCULO I MAT 150
4.) Propiedades básicas: Dadas las funciones y = f(x)  y=g(x), y una constante K; entonces
se consideran necesarias la aplicación de las siguientes propiedades.
i) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝐾𝑓(𝑥)  𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐾𝑓′(𝑥)
𝑠𝑖 𝑦 = 2𝑥  𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2(1) = 2
𝑠𝑖 𝑦 =
8
𝑥
= 8 (
1
𝑥
)  𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8 (−
1
𝑥2
) = −
8
𝑥2
Cuando de deriva el producto de una
función por una constante, solo se
deriva la función
ii) 𝑆𝑖 𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝐾
 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑓′(𝑥)
𝐾
=
1
𝐾
𝑓′(𝑥)
𝑆𝑖 𝑦 =
𝑥2
16
 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥
16
=
𝑥
8
Cuando de deriva el cociente de una
función entre una, solo se deriva la
función
iii) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥);  𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)
𝑦 = 3𝑥 − 2𝑥2
;  𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(1) − 2(2𝑥) = 3 − 4𝑥
Cuando de deriva la suma o resta de
dos funciones, se deriva cada función
independientemente.
T1>(S1-U1) Lección: Funciones derivadas aplicando formulas Básicas
5.) Funciones Derivadas aplicando formulas Básicas (por definición):
Se las denomina así a todas aquellas funciones derivadas que son el resultado de aplicar la
definición geométrica, y que consiste en determinar la pendiente o tangente genérica de una
recta en un punto cualquiera de la curva.
En esta sección se considera una formula básica a aquella que se aplica a un solo termino
algebraico (monomio).
FORMULAS BÁSICAS PARA DERIVACIÓN
i) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑘;  𝑦′
= 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 ii) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥;  𝑦′
= 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
iii) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥2
;  𝑦′
= 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥 iv) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
;  𝑦′
= 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
𝑥2
v) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥);  𝑦′
= 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥
vi) 𝑆𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
;  𝑦′
= 𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥
Nota: Todas pueden ser demostrables aplicando la definición de derivada.

CALCULO I MAT 150
E(1)-T1>(S1-U1) Ejemplo de seguimiento. Derivadas aplicando formulas básicas
E(1)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥2
− 2𝑥 Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟐) =?
Hallar la derivada, luego su valor e interpretación en el punto indicado.
Procedimiento:
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓(𝑥) = (0) + 3(2𝑥) − 2(1)
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙 − 𝟐
Aplicación: Para x=2 𝑓′(𝑥 = 2) = 6(2) − 2 ; 𝒇′(𝟐) = +𝟏𝟎
Aplicación: Para x=-2 𝑓′(𝑥 = −2) = 6(−2) − 2 ; 𝒇′(𝟐) = −𝟏𝟒
Interpretación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= +𝟏𝟎, Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 10
unidades
E(2)- Dada la función: 𝑓(𝑥) =
4
𝑥
− 𝑒𝑥
+ 5𝑙𝑛(𝑥) Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟏) =?
Hallar la derivada, su valor e interpretación en el punto indicado.
Procedimiento:
Función equivalente: 𝑓(𝑥) = 4 (
1
𝑥
) − 𝑒𝑥
+ 5𝑙𝑛(𝑥)
Derivada aplicando formulas básicas: 𝒇′(𝒙) = 4 [−
1
𝑥2] − 𝑒𝑥
+ 5 [
1
𝑥
]
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = −
𝟒
𝒙𝟐 − 𝒆𝒙
+
𝟓
𝒙
Aplicación: Para x=1 𝑓′(1) = −
4
(1)2
− 𝑒(1)
+
5
(1)
= +1 − 𝑒;
𝒇′(𝟐) = −𝟏. 𝟕𝟐
𝑒 = 2.7281 base del logaritmo natural
Interpretación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝟏. 𝟕𝟐, Por cada unidad que aumente X, entonces Y
disminuye 1.72 unidades
E(3)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑥)2
Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟐) =?
Procedimiento:
Función equivalente: (resolviendo el cuadrado perfecto) 𝑓(𝑥) = 9 − 6𝑥 + 𝑥2
Derivada aplicando formulas básicas: 𝒇′(𝒙) = (0) − 6(1) + (2𝑥)
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = −𝟔 + 𝟐𝒙
Aplicación: Para x=2 𝑓′(2) = −6 + 2(2) ;
𝑓′(2) = −𝟐
Interpretación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝟐 Por cada unidad que aumente X, entonces Y disminuye 2
unidades.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=2
𝑑𝑦
=2
𝑑𝑥=1
∝
𝑑𝑦
=
-1.72
𝑑𝑥=1
∝
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= - 2
𝑑𝑦
=
-
2
𝑑𝑥=1
∝

CALCULO I MAT 150
E(4)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (1 −
4
𝑥
) (3𝑥 + 𝑥2) Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟐) =?
Procedimiento:
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑥2
− 12 − 4𝑥
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = 3(1) + (2𝑥) − (0) − 4 (1)
Función derivada: (simplificando) 𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏
Aplicación: Para x=2 𝑓′(2) = 2(2) − 1 ; 𝑓′(2) = +𝟑
Interpretación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= +𝟑 Por cada unidad que aumente X, entonces Y
Aumenta 3 unidades
6+5𝑥3
2𝑥
Hallar: 𝒇′(𝒙 = −𝟏) =?
Procedimiento:
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) =
3
𝑥
−
5𝑥2
2
= 3 (
1
𝑥
) −
5
2
(𝑥2)
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = 3 (−
1
𝑥2) −
5
2
(2𝑥)
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = −
𝟑
𝒙𝟐
− 𝟓𝒙
Aplicación: Para x=-1 𝑓′(−1) = −
3
(−1)2 − 5(−1) = −3 + 5 ;
𝑓′(−1) = +𝟐
Interpretación: :
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= +𝟐 Por cada unidad que aumente X, entonces Y
Aumenta 2 unidades
E(6)- Ejemplo 6) Dada la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2
indicar cual afirmación es
verdadera.
𝒇′(𝒙 = 𝟐) = −𝟐 𝒇′(𝒙 = 𝟐) = −𝟑 𝒇′(𝒙 = 𝟏) = −𝟏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= + 2
𝑑𝑦
=
+
2
𝑑𝑥=1
∝
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= + 3
𝑑𝑦
=
+
3
𝑑𝑥=1
∝

CALCULO I MAT 150
E(7)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥2
indicar cuál es la función derivada
verdadera.
𝒇′(𝒙) = 𝟐 − 𝟐𝒙 𝒇′(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒇′(𝒙) = 𝟐 + 𝟐𝒙
EP-T1>(S1-U1) Ejercicios propuestos Derivadas aplicando formulas básicas
Aplicando las fórmulas básicas, estudiadas por definición (Ver formulario de la presente guía),
se pide determinar las funciones derivadas, su valor e interpretación en el punto indicado.
1a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2𝑥2
1b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 𝑥
2a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥(1 + 2𝑥) 2b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥(2𝑥 − 1)
3a) 𝑓(𝑥) = (1 − 2𝑥)(2𝑥 − 3) 3b) 𝑓(𝑥) = (2 − 3𝑥)(2𝑥 − 1)
4a) 𝑓(𝑥) = (3 − 2𝑥)2
4b) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3)2
5a) 𝑓(𝑥) =
3−2𝑥2
𝑥
5b) 𝑓(𝑥) =
3𝑥2−2
2𝑥
6a) 𝑓(𝑥) = (
1
𝑥
− 3𝑥) (2𝑥 +
3
2
) 6b) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 −
3
2
) (
1
𝑥
+ 3𝑥)
7a) 𝑓(𝑥) = 𝑒(𝑥−1)
−
4
𝑥
7b) 𝑓(𝑥) = 𝑒(1−𝑥)
+
4
𝑥
8a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) − 2𝑥 8b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) − 3𝑥
9a) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 3) (
4
𝑥
) 9b) 𝑓(𝑥) = (
2
𝑥
− 3) (3𝑥)
10a) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥
− 2𝑥(1 − 𝑥) 10b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥(1 − 𝑥) −
2
𝑥

CALCULO I MAT 150
(S2-U1) Sección: Funciones dderivadas aplicando formulas estándar
Funciones derivadas aplicando las tablas estandar: (ver formulario adjunto):
El objetivo en esta sección es aplicar formulas estándar, (De uso común para todos los
estudiantes); para la determinación de funciones derivadas donde la función original
tiene características no básicas o un relativo grado de complejidad.
La competencia en esta sección es que el estudiante debe saber:
Hallar la función derivada
Hacer la aplicación en un punto cualquiera.
Nota: El nivel del presente curso está planificado para que el alumno le sea necesario
únicamente estas seis formulas estándar, pudiendo independientemente hacer derivadas de
funciones trigonométricas y otras; resultado de las anteriores.
FORMULAS ESTANDAR PARA DERIVAR
Función exponencial (Exponente constante)
𝑓(𝑥) = 𝑈𝑛
𝑓′
(𝑥) = 𝑛𝑈𝑛−1
U′
La derivada total es igual al producto del
exponente por la base elevada al exponente
menos uno, y multiplicado por la derivada de
la base.
Función Exponencial (base constante)
𝑓(𝑥) = 𝐾𝑈
𝑓′
(𝑥) =
U′
𝐾𝑈
ln (𝑘)
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑈
𝑓′
(𝑥) = U′
𝐾𝑒𝑈
La derivada total es igual al producto de la
derivada del exponente por la base elevada a
su exponente, y multiplicado por el logaritmo
natural de la base
Función Logarítmica,
𝑓(𝑥) = lg (𝑈) 𝑓′
(𝑥) =
U′
𝑈
lg (𝑒)
𝑓(𝑥) = lg (𝑈) 𝑓′
(𝑥) =
U′
𝑈
La derivada total es igual a la derivada del
argumento dividido el argumento sin derivar, y
multiplicado por el logaritmo con base 10 de
(e)
Función producto de otras dos:
𝑓(𝑥) = 𝑈 × 𝑉 𝑓′(𝑥) = U′
V + 𝑈V′
La derivada total es igual a la suma de la
derivada de la 1er (U) función por la 2da (V)
sin derivar, más la 1er (U) función sin derivar
por la derivada de la 2da (V).
5) Función cociente de otras dos:
𝑓(𝑥) =
𝑈
𝑉
𝑓′(𝑥) =
U′V−𝑈V′
𝑉2
La derivada total es igual al cociente, entre la
diferencia entre la derivada del numerador por
el denominador sin derivar, menos el
numerados sin derivar por la derivada del
denominador, todo dividido entre el
denominador al cuadrado.
6) Función exponencial (base y exponente son funciones)
𝑓(𝑥) = 𝑈𝑉
𝑓′(𝑥) = 𝑉𝑈𝑣−1
U′
− V′
𝐾𝑉
ln (𝑈)
La derivada total es igual a la suma producto de el exponente por la base elevada al exponente menos
un, y multiplicado por la derivada del exponente menos el producto de la derivada del exponente por
la función, y multiplicada por el logaritmo natural de la función base.

CALCULO I MAT 150
T2>(S2-U1) Lección: Derivada de funciones exponenciales . TIPO 𝒚 = 𝑼𝒏
Formula F1.- 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑼𝒏
;  𝒚´
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝑼𝒏−𝟏
𝑼′
La derivada total es igual al producto del exponente por la base elevada al exponente menos
uno, y multiplicado por la derivada de la base.
E(0)-T2>(S2-U1) Ejemplo de seguimiento. Derivada. TIPO 𝒚 = 𝑼𝒏
E(0)-1 Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥4
Hallar: 𝒇′(𝒙 = −𝟏) =?
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑼𝒏
;  𝒚´
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝑼𝒏−𝟏
𝑼′
Procedimiento:
Función equivalente para derivar: 𝑓(𝑥) = 𝑥4
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = 4(𝑥4−1) × (𝑥)′
𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 × (1)
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑
Aplicación: Para x=-1 𝑓′(𝑥 = −1) = 𝟒(−1)𝟑
; 𝑓′(−1) = −𝟒
Interpretación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝟒 Por cada unidad que aumente X, entonces Y disminuye 4 unidades
E(1)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑥)4
Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟒) =?
Solución: con cambio de variable.
Procedimiento: Si: 𝑈 = 3 − 𝑥 ; entonces su derivada :𝑈′
= −1; n=4
Aplicando la fórmula, se tiene: 𝑓(𝑥)′
= 𝑛𝑈𝑛−1
𝑈′
: 𝑓(𝑥) = 4 (3 − 𝑥)4−1(−1)
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = −4 (3 − 𝑥)3
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = −4 (3 − 𝑥)3
Aplicación: Para x=4 𝑓′(4) = −𝟒[3 − (4)]𝟑
; ➔ 𝑓′(4) = +𝟒
Interpretación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= +𝟒 , Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 4 unidades
Solución (2): directamente
Procedimiento: Aplicando la fórmula, se tiene: 𝑓(𝑥)′
= 𝑛𝑈𝑛−1
𝑈′
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓(𝑥)′
= 4 (3 − 𝑥)4−1(−1)
𝑓′(𝑥) = −4 (3 − 𝑥)3
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = −4 (3 − 𝑥)3
Aplicación: Para x=4 𝑓′(4) = −𝟒[3 − (4)]𝟑
; ➔ 𝑓′(4) = +𝟒
Interpretación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= +𝟒 , Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 4 unidades
y=4
x=1
m=4
y=4
x=1

CALCULO I MAT 150
E(2)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
= 𝑥
1
3 Hallar: 𝒇′(𝒙 = −𝟖) =?
Procedimiento:
Función equivalente para derivar: 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) =
1
3
𝑥(
1
3
−1)
× (𝑥)′ =
1
3
𝑥−
2
3 × (1)
Función derivada: 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝟑
𝒙−
𝟐
𝟑 ➔ 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝟑
(√𝒙
𝟑
)
−𝟐
Aplicación: Para x=-8 𝑓′(−8) =
𝟏
𝟑
(−8)−
𝟐
𝟑 =
𝟏
𝟑
(−2)−𝟐
; ➔ 𝑓′(−8) =
𝟏
𝟏𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟖
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y Aumenta 1/12 unidades
E(3)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 𝑥2)4
Hallar: 𝒇′(𝒙 = −𝟐) =?
Procedimiento:
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 𝑥2)4
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = 4(3𝑥 + 𝑥2)3(3𝑥 + 𝑥2)′
𝑓′(𝑥) = 4(3𝑥 + 𝑥2)3(3 + 2𝑥)
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = 𝟒(𝟑𝒙 + 𝒙𝟐)𝟑(𝟑 + 𝟐𝒙)
𝒇′(𝒙) = (𝟑𝒙 + 𝒙𝟐)𝟑(𝟏𝟐 + 𝟖𝒙)
Aplicación: Para x=-2 𝑓′(−2) = [𝟑(−2) + (−2)𝟐]𝟑[𝟏𝟐 + 𝟖(−2)] = (−8) × (−4);
𝑓′(−2) = 𝟑𝟐
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y Aumenta 32 unidades
E(4)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥2
3
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
Procedimiento:
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = (5 − 𝑥2)
1
3
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) =
1
3
(5 − 𝑥2)
1
3
−1
(5 − 𝑥2)
′
𝟏
𝟑
(𝟓 − 𝒙𝟐)−
𝟐
𝟑(𝟐𝒙)
Aplicación: Para x=2 𝑓′(2) =
1
3
[5 − (2)2]−
2
3[2(2)] ➔ 𝒇′(𝟐) =
𝟒
𝟑
= 𝟏. 𝟑𝟑
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 1.33 unidades

CALCULO I MAT 150
E(5)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (
4
𝑥−3
)
2
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
Procedimiento:
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) =
16
(𝑥−3)2
= 16(𝑥 − 3)−2
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = 16(−2)(𝑥 − 3)−2−1(𝑥 − 3)′
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = −𝟑𝟐(𝒙 − 𝟑)−𝟑(𝟏)
Aplicación: Para x=2 𝑓′(2) = −32[(2) − 3]−3
➔ 𝒇′(𝟐) = 𝟑𝟐
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y disminuye 16 unidades
E(6)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 8
3
indicar cuál es la función derivada verdadera.
𝒂) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = +𝟐
Solución
𝒃) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = −𝟐 𝒄) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = −𝟏
EP-T2>(S2-U1) Ejercicios propuestos Derivada de funciones exponenciales . TIPO 𝒚 = 𝑼𝒏
Determinar la función derivada y su respectivo valor o aplicación en el punto indicado.
11a) Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥3
; Hallar: 𝑓′(−1) =? 11b) Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥3
− 4𝑥; Hallar: 𝑓′(−1) =?
12a) Si 𝑓(𝑥) = 2(1 − 𝑥)2
; Hallar: 𝑓′(−2) =? 12b) Si 𝑓(𝑥) = (4 − 𝑥)2
; Hallar: 𝑓′(−2) =?
13a) Si 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 𝑥2)4
; Hallar: 𝑓′(−2) =? 13b) Si 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑥2)3
; Hallar: 𝑓′(−2) =?
14a) Si 𝑓(𝑥) = 2√−𝑥
3
; Hallar: 𝑓′(−8) =? 14b) Si 𝑓(𝑥) = 2√𝑥
3
; Hallar: 𝑓′(−2) =?
15a) Si 𝑓(𝑥) = (√2 − 𝑥)
3
; Hallar: 𝑓′(−7) =? 15b) Si 𝑓(𝑥) = (√3 − 𝑥
3
)
2
; Hallar: 𝑓′(−2) =?
16a) Si 𝑓(𝑥) =
4
√1−3𝑥
3 ; Hallar: 𝑓′(3) =? 16b) Si 𝑓(𝑥) =
2
√1−𝑥
3 ; Hallar: 𝑓′(−7) =?
17a) Si 𝑓(𝑥) = (
4
𝑥−3
)
2
; Hallar: 𝑓′(2) =? 17b) Si 𝑓(𝑥) = (
2
3−𝑥
)
3
; Hallar: 𝑓′(4) =?

CALCULO I MAT 150
T3>(S2-U1) Lección: Derivada de funciones exponenciales . TIPO 𝒚 = 𝑲𝑼
Formula F2.- {
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑲𝑼
;  𝒚 ′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝑼′(𝑲𝑼)𝒍𝒏(𝒌)
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒆𝑼
;  𝒚 ′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝑼′
𝒆𝑼
La derivada total es igual al producto de la derivada del exponente por la base elevada a su
exponente, y multiplicado por el logaritmo natural de la base.
E(1)-T3>(S2-U1) Ejemplo de seguimiento. Derivada. TIPO 𝒚 = 𝑲𝑼
E(1)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 32𝑥
Hallar: 𝒇′
(𝒙 = −
1
2
) =?
Procedimiento:
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = 32𝑥
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = (2𝑥)′
32𝑥
𝑙𝑛(3)
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = (𝟐)𝟑𝟐𝒙
𝒍𝒏(𝟑)
Aplicación: Para 𝒙 = −
1
2
𝑓′
(−
1
2
) = (2)3
2(
1
2
)
𝑙𝑛(3) ; ➔ 𝒇′
(−
𝟏
𝟐
) = 𝟔𝒍𝒏(𝟑) = 𝟔. 𝟓𝟗
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y Aumenta 6.59 unidades.
E(2)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (5)5𝑥−2𝑥2
Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟐) =?
Procedimiento: (solución 1) cambiando variable
: 𝑈 = 5𝑥 − 2𝑥2
entonces su derivadas es: ➔ 𝑈′
= 5 − 4𝑥
Como vera en este estado ya tenemos U y su derivada, entonces es cuestión de reemplazar en la formula
estándar.
Derivada aplicando formulas Estándar 𝒚 ′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝑼′
𝑲𝑼
𝒍𝒏(𝒌)
F. derivada: 𝒚 ′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = (5 − 4𝑥)𝟓(5𝑥−2𝑥2)
𝒍𝒏(𝟓)
Aplicación: Si x=2;
entonces. 𝑓′(2) = [5 − 4(2)](5)[5(2)−2(2)2]
ln(5) = (−3)(5)2
ln(5)
𝑓′(𝑥 = 2) = −75 ln(5), o 𝑓′(𝑥 = 2) = −120.70
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y Disminuye 120.70

CALCULO I MAT 150
E(3)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 3√2𝑥
3
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +4) =?
Procedimiento: (solución 1) cambiando variable
Operación Auxiliar: Porque el exponente no se deriva con fórmulas básicas, por lo tanto,
hacemos un cambio de variable inicial (Mientras se adquiere el respectivo mecanismo de
derivadas)
: 𝑈 = √2𝑥
3
= (2𝑥)
1
3 entonces su derivada es: ➔ 𝑈′
= (
1
3
) (2𝑥)−
2
3(2) = (
2
3
) (2𝑥)−
2
3
Como vera en este estado ya tenemos U y su derivada, entonces es cuestión de reemplazar en la formula
estándar.
Derivada aplicando formulas Estándar 𝒚 ′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = 𝑼′
𝑲𝑼
𝒍𝒏(𝒌)
F. derivada: 𝒇′(𝒙) = [(
2
3
) (2𝑥)−
2
3] 3√2𝑥
3
𝒍𝒏(𝟑)
Aplicación: Si x=4;
Entonces. 𝑓′(4) = [(
2
3
) [2(4)]−
2
3] 3√2(4)
3
𝒍𝒏(𝟑) = (
2
3
) (
1
4
) (9)ln(3)
𝑓′(𝑥 = 4) = (
3
2
) ln(3) , ➔ 𝑓′(𝑥 = 4)1.65
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y Aumenta 1.65 unidades
E(4)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑒(3−2𝑥)3
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟏) =?
Procedimiento:
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = 𝑒(3−2𝑥)3
derivadas)
Si: 𝑈 = (3 − 2𝑥)3
; Entonces: 𝑈′
= 3(3 − 2𝑥)3−1(3 − 2𝑥)′
𝑈′
= 3(3 − 2𝑥)2(−2) = (−6)(3 − 2𝑥)2
Derivada aplicando formulas estándar (2da): 𝑓′(𝑥) = 𝑈′
𝑒𝑈
Reemplazando 𝑓′(𝑥) = [(−6)(3 − 2𝑥)2]3(3−2𝑥)3
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = [(−6)(3 − 2𝑥)2]𝑒(3−2𝑥)3
Aplicación: Para 𝒙 = +𝟏; 𝑓′(+1) = [(−6){3 − 2(+1)}2]𝑒[3−2(+1)]3
= [(−6)(1)2]𝑒(1)3
;
𝑓′(𝑥 = 1) = [−𝟔]𝑒1
; 𝑓′(𝑥 = 1) − 16.31;
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y Disminuye 16.31 unidades.

CALCULO I MAT 150
E(51)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑒
(𝑥2−
6
𝑥
)
2
Hallar: 𝒇′(𝒙 = −𝟏) =?
Procedimiento:
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = 𝑒
(𝑥2−
6
𝑥
)
3
derivadas)
Si: 𝑈 = (𝑥2
−
6
𝑥
)
3
; Entonces: 𝑈′
= 3 (𝑥2 −
6
𝑥
)
2
(𝑥2 −
6
𝑥
)
′
= 3 (𝑥2 −
6
𝑥
)
2
(2𝑥 +
6
𝑥2)
Derivada aplicando formulas estándar (2da): 𝑓′(𝑥) = 𝑈′
𝑒𝑈
Reemplazando 𝑓′(𝑥) = [3 (𝑥2
−
6
𝑥
)
2
(2𝑥 +
6
𝑥2)] 3
(𝑥2−
6
𝑥
)
3
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = [3 (𝑥2
−
6
𝑥
)
2
(2𝑥 +
6
𝑥2)] 𝑒
(𝑥2−
6
𝑥
)
3
Aplicación: Para 𝒙 = −𝟏;
Entonces: 𝑓′(2) = [3 {(2)2
−
6
(2)
}
2
{2(2) +
6
(2)2}] 𝑒
[(2)2−
6
(2)
]
3
= [3(1)2
(
11
2
)]𝑒(1)3
𝑓′(2) = [
33
2
] 𝑒1
➔ 𝒇′(𝒙 = 𝟐) ≅ 𝟒𝟒. 𝟖𝟓
Interpretación:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 44.85➔ Por cada unidad que aumente X, entonces Y Disminuye 44.85 unidades.
Otras alternativas. Muy válida siempre y cuando se quiera resultados de aplicación.
Aplicando a las expresiones de las nuevas variables: (U): para x=2, entonces: 𝑼(𝟐) = 𝟏 𝑼′(𝟐) =
𝟑𝟑
𝟐
Demostración: 𝑈 = ((2)2
−
6
(2)
)
3
= 𝟏; ➔ 𝑈′
= 3 [(2)2 −
6
(2)
]
2
[2(2) +
6
(2)2] = 3(1)2 (
11
2
) =
𝟑𝟑
𝟐
Aplicación de la derivada: 𝑓′(𝑥) = 𝑈′
𝑒𝑈
➔ 𝒇′(𝒙 = 𝟐) ≅ (
𝟑𝟑
𝟐
) 𝒆𝟏
= 𝟒𝟒. 𝟖𝟓
E(6)-Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑒√𝑥2−8
3
indicar cuál es la función derivada verdadera.
𝒂) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = +𝟐𝒆
Solución
𝒃) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = −𝟐𝒆 𝒄) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = −𝟑𝒆

CALCULO I MAT 150
EP-T3>(S2-U1) Ejercicios propuestos Derivada. TIPO 𝒚 = 𝑲𝑼
18a) 𝑓(𝑥) = 2−𝑥
Hallar: 𝑓′(−1) =? 18b) 𝑓(𝑥) = 3−2𝑥
Hallar: 𝑓′(1) =?
19a) 𝑓(𝑥) = 22𝑥−𝑥2
Hallar: 𝑓′(2) =? 19b) 𝑓(𝑥) = 23−𝑥2
20a) 𝑓(𝑥) = 3(1−2𝑥)2
Hallar: 𝑓′(1) =? 20b) 𝑓(𝑥) = 2(3−2𝑥)2
21a) 𝑓(𝑥) = 𝑒(3−2𝑥)2
Hallar: 𝑓′(2) =? 21b) 𝑓(𝑥) = 𝑒(2−2𝑥)2
22a) 𝑓(𝑥) = 𝑒3−√𝑥
Hallar: 𝑓′(4) =? 22b) 𝑓(𝑥) = 𝑒2− √𝑥
3
Hallar: 𝑓′(−8) =?
23a) 𝑓(𝑥) = 𝑒 √4+𝑥2
3
Hallar: 𝑓′(−2) =? 23b) 𝑓(𝑥) = 𝑒√𝑥2−5
T4 >(S2-U1) Lección: Derivada de funciones. TIPO 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈(𝑼)
.
Formula F3.- {
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈(𝑼);  𝒚 ′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) = (
𝑼 ′
𝑼
) 𝒍𝒐𝒈(𝒆)
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏(𝑼);  𝒚 ′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) =
𝑼 ′
𝑼
La derivada total es igual al cociente (división) de la derivada del argumento(U), entre el
argumento sin derivar, y multiplicado por el logaritmo (base 10) de la base (e).
Se el caso especial de la derivada de un logaritmo natural, en este caso es igual a excepción
del producto por el logaritmo
E(1)-T4>(S2-U1) Ejemplo de seguimiento. Derivada. TIPO 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈(𝑼)
E(1)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = log(4 − 3𝑥) Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟏) =?
Procedimiento1(1) aplicando cambio de variables.
Formula estándar: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑈); 𝑦 ′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′(𝑥) =
𝑈 ′
𝑈
𝑙𝑜𝑔(𝑒) ,
Obs. Operación Auxiliar: el argumento se deriva con fórmulas básicas.
donde: {𝑈(𝑥) = 4 − 3𝑥 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠. 𝑈′(𝑥) = −3
Remplazando en la formula estándar. 𝒇′(𝒙) =
−𝟑
(𝟒−𝟑𝒙)
𝒍𝒐𝒈(𝒆)
−𝟑
(𝟒−𝟑𝒙)
𝒍𝒐𝒈(𝒆)
Aplicación: Para 𝒙 = +𝟏
Entonces: 𝑓′(𝑥 = 1) =
−𝟑
(𝟒−𝟑(1))
𝒍𝒐𝒈(𝒆) = −𝟑 𝒍𝒐𝒈(𝒆); ➔ 𝒇′(𝒙 = 𝟏) = −𝟏. 𝟑𝟎;
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, entonces Y disminuye 1.30 unidades

CALCULO I MAT 150
Procedimiento (2): directamente
Formula estándar: 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈(𝑼); 𝒚 ′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) =
𝑼 ′
𝑼
𝒍𝒐𝒈(𝒆) ,
Solución: La derivada es igual al cociente entre la derivada del argumento del logaritmo entre
el argumento sin derivar, multiplicado por el logaritmo con base diez con argumento €.
Derivada aplicando formulas básica al numerador. 𝑓′(𝑥) =
(4−3𝑥)′
(4−3𝑥)
log(𝑒)
−𝟑
(𝟒−𝟑𝒙)
𝒍𝒐𝒈(𝒆)
Entonces: 𝑓′(𝑥 = 1) =
−𝟑
(𝟒−𝟑(1))
𝒍𝒐𝒈(𝒆) = −𝟑 𝒍𝒐𝒈(𝒆) ; ➔ 𝒇′(𝒙 = 𝟏) = −𝟏. 𝟑𝟎;
Interpretación:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝟏. 𝟑𝟎, Por cada unidad que aumente X, entonces Y disminuye 1.30
unidades
E(2)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = log(4 − 3𝑥2)3
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟏) =?
Procedimiento: log(𝑢)𝑛
= 𝑛 log(𝑢)
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = 3 log(4 − 3𝑥2)
Obs. Operación Auxiliar: aplicando propiedades del log.
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = 3 [
(4−3𝑥2)
′
(4−3𝑥2)
] log(𝑒)
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = 𝟑 [
−𝟔𝒙
(𝟒−3𝑥2)
] 𝒍𝒐𝒈(𝒆) = 𝒇′(𝒙) =
−𝟏𝟖𝒙
(𝟒−3𝑥2)
𝒍𝒐𝒈(𝒆)
Entonces: 𝑓′(2) =
−𝟏𝟖(1)
[𝟒−𝟑(1)2]
𝒍𝒐𝒈(𝒆) = −𝟏𝟖 𝒍𝒐𝒈(𝒆) ; 𝒇′(+𝟏) = −𝟕. 𝟖𝟐;
Interpretación:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝟕. 𝟖𝟐 Por cada unidad que aumente X, entonces Y disminuye 7.82
unidades
E(3)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (
1
5−2𝑥
) Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
Procedimiento:
Función equivalente: aplicar la propiedad de los logaritmos: 𝑙𝑛 (
𝑎
𝑏
) = 𝑙𝑛(𝑎) − 𝑙𝑛(𝑏)
Formula del logaritmo con base natural: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒏(𝑼);  𝒚 ′
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇′(𝒙) =
𝑼 ′
𝑼
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = −𝑙𝑛(5 − 2𝑥)

CALCULO I MAT 150
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = −
(5−2𝑥)′
(5−2𝑥)
= −
−2
(5−2𝑥)
𝟐
(𝟓−𝟐𝒙)
Aplicación:
Para 𝒙 = +𝟏 𝑓′(2) =
𝟐
[𝟓−𝟐(2)]
= 𝟐 ; ➔ 𝒇′(+𝟏) = 𝟐;
Interpretación:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐 Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 2 unidades
E(3*)-T4>(S2-U1) Ejemplo de seguimiento. Derivada. TIPO 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈(𝑼)
E(3*)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑔 (
1
5−2𝑥
) Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
Procedimiento: (En caso del que el logaritmo sea con base 10
Obs. Operación Auxiliar:
Primero debe aplicar la propiedad de los logaritmos: 𝑙𝑔 (
𝑎
𝑏
) = −𝑙𝑔 (
𝑏
𝑎
) = 𝑙𝑔(𝑎) − 𝑙𝑔(𝑏)
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = −𝑙𝑔(5 − 2𝑥)
Derivada aplicando formulas básicas: 𝑓′(𝑥) = −
(5−2𝑥)′
(5−2𝑥)
log(𝑒) = −
−2
(5−2𝑥)
log(𝑒)
𝟐
(𝟓−𝟐𝒙)
𝒍𝒐𝒈(𝒆)
Aplicación:
Para 𝒙 = +𝟏 𝑓′(2) =
𝟐
[𝟓−𝟐(2)]
𝒍𝒐𝒈(𝒆) = 𝟐 𝒍𝒐𝒈(𝒆) ; 𝒇′(+𝟏) = 𝟎. 𝟖𝟕;
Interpretación:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟎. 𝟖𝟕 Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 0.87 unidades
E(4)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (
7−2𝑥
𝑥2−8
) Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟑) =?
Procedimiento:
Obs. Operación Auxiliar: aplicando propiedades del log. 𝑙𝑔 (
𝑎
𝑏
) = 𝑙𝑔(𝑎) − 𝑙𝑔(𝑏)
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(7 − 2𝑥) − 𝑙𝑛(𝑥2
− 8)
Derivada aplicando formulas estándar y básicas: 𝑓′(𝑥) =
(7−2𝑥)′
(7−2𝑥)
−
(𝑥2−8)
′
(𝑥2−8)

CALCULO I MAT 150
−𝟐
(𝟕−𝟐𝒙)
−
𝟐𝒙
(𝒙𝟐−𝟖)
Aplicación: Para 𝒙 = +𝟑 𝑓′(3) =
−𝟐
[𝟕−𝟐(3)]
−
+𝟐(3)
[(3)𝟐−𝟖]
=
−𝟐
𝟏
−
+𝟔
𝟏
; 𝒇′(+𝟑) = −𝟖;
Interpretación:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝟖 Por cada unidad que aumente X, entonces Y disminuye 8 unidades
E(5)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛[√𝑥2 − 8
3
] = (
1
3
) 𝑙𝑛[𝑥2
− 8] indicar cuál es la función
derivada verdadera.
𝑓′(𝑥) = (
1
3
) (
2𝑥
𝑥2−8
) = [
2𝑥
3(𝑥2−8)
] ➔ 𝑓′(𝑥 = 3) = (
1
3
) (
2(3)
(3)2−8
) = 2
𝒂) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = +𝟐
Solución
𝒃) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = −𝟐 𝒄) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = +𝟒
EP-T4>(S2-U1) Ejercicios propuestos Derivada. TIPO 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈(𝑼)
24a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑔(5𝑥) Hallar: 𝑓′(2) =? 24b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑔(2𝑥) Hallar: 𝑓′(5) =?
25a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑔(2𝑥 + 4) Hallar: 𝑓′(3) =? 25b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑔(6 − 2𝑥); Hallar: 𝑓′(−2) =?
26a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑔 (
1
2𝑥+4
) Hallar: 𝑓′(1) =? 26b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑔 (
1
5−2𝑥
); Hallar: 𝑓′(2) =?
27a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(6𝑥 − 2𝑥2) Hallar: 𝑓′(2) =? 27b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥2
− 3𝑥); Hallar: 𝑓′(−1) =?
28a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(√2𝑥 + 𝑥2
3
) Hallar: 𝑓′(2) =? 28b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(√3𝑥 + 𝑥2); Hallar: 𝑓′(1) =?
29a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (
7−2𝑥
𝑥2−8
) Hallar: 𝑓′(3) =? 29b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (
5−𝑥2
3𝑥−5
); Hallar: 𝑓′(2) =?

CALCULO I MAT 150
T5>(S2-U1) Lección: Derivada de funciones. TIPO 𝒚 = 𝑼 × 𝑽
Función derivada, igual al producto de dos funciones.
Formula F4.- 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑼. 𝑽;  𝒚 ´
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇´(𝒙) = 𝑼 ´
. 𝑽 + 𝑼. 𝑽 ´
La derivada del producto entre dos funciones U y V, es igual a la suma producto de la
derivada de la 1er función (U) por la 2da función (V), sin derivar, más la 1er función sin
derivar por la derivada de la 2da función.
E(1)-T5>(S2-U1) Ejemplo de seguimiento. Derivada. TIPO 𝒚 = 𝑼 × 𝑽
E(1)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (8 − 𝑥2)(2𝑥 − 5)3
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
Procedimiento: (1) cambiando variable.
Obs. Operación Auxiliar: notamos que los dos factores el argumento se deriva con fórmulas
básicas.
Entonces: {
𝑈 = 8 − 𝑥2
𝑉 = (2𝑥 − 5)3 ➔ : {
𝑈′
= −2𝑥
𝑉′
= 3 (2𝑥 − 5)2 (2) = 6 (2𝑥 − 5)2
Formula estándar: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑼. 𝑽;  𝒇´(𝒙) = 𝑼 ´
. 𝑽 + 𝑼. 𝑽 ´
Reemplazando en la relación: 𝑓′(𝑥) = [−2𝑥][(2𝑥 − 5)3] + [8 − 𝑥2][6 (2𝑥 − 5)2]
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = [−2𝑥][(2𝑥 − 5)3] + [8 − 𝑥2][6 (2𝑥 − 5)2]
Nota: usted estimado alumno puede hacer simplificaciones al nivel que prefiera
antes de la aplicación.
Aplicación: es importante que sepan que saber derivar es distinto de saber simplificar y
aplicar. En este caso están viendo que no es determinante la simplificación sino la aplicación
Para 𝒙 = +𝟐 𝑓′(2) = [−2(2)][(2(2) − 5)3] + [8 − (2)2][6{2(2) − 5}2]
𝑓′(2) = [−4][−1] + [4][6] ; 𝒇′(𝒙 = 𝟐) = 𝟐𝟖;
Interpretación: :
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐𝟖 Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 28 unidades
Estimado Alumno: Si usted adquiere el mecanismo optimo puede evitar muchos pasos.

CALCULO I MAT 150
E(2)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (5 − 𝑥2) (2𝑥 −
4
𝑥
) Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
básicas.
Si 𝑓(𝑥) = (5 − 𝑥2) (2𝑥 −
4
𝑥
) , entonces: {
𝑈 = 5 − 𝑥2
𝑉 = 2𝑥 −
4
𝑥
➔ : {
𝑈′
= 2𝑥
𝑉′
= 2 +
4
𝑥2
Formula estándar: 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝑼. 𝑽;  𝒚 ´
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇´(𝒙) = 𝑼 ´
. 𝑽 + 𝑼. 𝑽 ´
Función derivada: (reemplazando). 𝒇′(𝒙) = [2𝑥] [2𝑥 −
4
𝑥
] + [5 − 𝑥2] [2 +
4
𝑥2
]
Para 𝒙 = +𝟐 𝑓′(2) = [2(2)] [2(2) −
4
(2)
] + [5 − (2)2] [2 +
4
(2)2
] = [4][2] + [1][3] ;
𝒇′(𝒙 = 𝟐) = 𝟏𝟏;
Interpretación: :
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏𝟏 Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 11 unidades
Estimado alumno:
Si usted llega a adquirir el mecanismo adecuado y óptimo, para derivar entonces puede evitar
muchos pasos que lo hacemos por didáctica
Procedimiento: (2) aplicando las definiciones directamente.
Función equivalente para derivar con básicas: 𝑓(𝑥) = (5 − 𝑥2) (2𝑥 −
4
𝑥
)
básicas.
Reemplazando en la relación: 𝑓′(𝑥) = [(5 − 𝑥2)′] [2𝑥 −
4
𝑥
] + [5 − 𝑥2] [(2 +
4
𝑥2
)
′
]
Reemplazando en la relación: 𝑓′(𝑥) = [2𝑥] [2𝑥 −
4
𝑥
] + [5 − 𝑥2] [2 +
4
𝑥2]
Aplicación:
Para 𝒙 = 𝟐 𝑓′(2) = [2(2)] [2(2) −
4
(2)
] + [5 − (2)2] [2 +
4
(2)2] = [4][2] + [1][3] ;
𝒇′(𝒙 = 𝟐) = 𝟏𝟏;
Interpretación: :
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏𝟏 Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 11 unidades

CALCULO I MAT 150
E(3)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = √𝑥 ln(𝑥) Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟏) =?
básicas.
Si 𝑓(𝑥) = (5 − 𝑥2) (2𝑥 −
4
𝑥
) , entonces: { 𝑈 = 𝑥
1
2
𝑉 = ln(𝑥)
➔ : {
𝑈′
=
1
2
𝑥−
1
2
𝑉′
=
1
𝑥
Reemplazando en la relación: 𝑓′(𝑥) = [
1
2
𝑥−
1
2] [ln(𝑥)] + [√𝑥] [
1
𝑥
]
Función derivada: 𝒇′(𝒙) = [
1
2
𝑥−
1
2] [ln(𝑥)] +
√𝑥
𝑥
Para 𝒙 = +𝟏 𝑓′(2) = [
1
2
(1)−
1
2] [𝑙𝑛(1)] +
√(1)
(1)
= [
1
2
] [0] + [1] ; ➔ 𝒇′(𝒙 = 𝟏) = 𝟏;
Interpretación: :
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏 Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 1 unidades
E(4)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 𝑥3)(2𝑥2
− 𝑒𝑥) Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟏) =?
Procedimiento y solución (1):
Función equivalente. : 𝑓(𝑥) = (2𝑥 − 𝑥3)(2𝑥3
− 𝑒𝑥) ;  𝒚 = 𝑼 × 𝑽
Separando en dos funciones
simples y Derivando
parcialmente.
U= 2𝑥 − 𝑥3
;  𝑈′
= 2 − 3𝑥2
V= 2𝑥2
− 𝑒𝑥
; ;  𝑉′
= 2(2𝑥) − 𝑒𝑥
Reemplazando en la fórmula:
F4
𝑦 ´
= 𝑈 ´
. 𝑉 + 𝑈. 𝑉 ´
𝑓′(𝑥) = [2 − 3𝑥2][2𝑥2 − 𝑒𝑥] + [2𝑥 − 𝑥3][4𝑥 − 𝑒𝑥]
Aplicación: para x=1
El resultado e la pendiente de la
recta tangente en el lugar x=2
𝑓′(𝑥) = [2 − 3(1)2][2(1)2 − 𝑒(1)
] + [2(1) − (1)3][4(1) − 𝑒(1)
]
Resolviendo por paréntesis:
𝑓′(1) = [−1][2 − 𝑒] + [1][4 − 𝑒] ;  𝒇′
(𝟏) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟐
Interpretación Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 2 unidades
Estimado alumno: si usted adquiere el mecanismo optimo, puede evitar muchos pasos

CALCULO I MAT 150
E(5)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥[√𝑥2 − 8
3
] indicar cuál es la función derivada verdadera.
Función equivalente. : 𝑓(𝑥) = (𝑥)(𝑥2
− 8)
1
3 ;  𝒚 = 𝑼 × 𝑽
simples y Derivando
parcialmente.
U= 𝑥 ;  𝑈′
= 1
V= (𝑥2
− 8)
1
3; ;  𝑉′
=
1
3
(𝑥2
− 8)
−2
3 (2𝑥) =
(𝑥2
− 8)
−2
3 (
2
3
𝑥)
F4
𝑦 ´
= 𝑈 ´
. 𝑉 + 𝑈. 𝑉 ´
𝑓′(𝑥) = [1] [√𝑥2 − 8
3
] + [𝑥] [(𝑥2 − 8)
−2
3 (
2
3
𝑥)]
𝑓′(𝑥 = 3) = [1] [√(3)2 − 8
3
] + [(3)] [{(3)2 − 8}
−2
3 (
2
3
(3))]
𝑓′(3) = [1][1] + [3][2] ;  𝒇′
(𝟏) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟕
Interpretación Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 7 unidades
E(6)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥[√𝑥2 − 8
3
] indicar cuál es la función derivada
verdadera.
𝒂) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = +𝟕
Solución
𝒃) 𝒇′(𝒙 = −𝟑) = −𝟑 𝒄) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = +𝟓
Ejp.
5
E(6)-T5(S2-U4).- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑥[√𝑥2 − 8
3
] ; el valor de la función
derivada en 𝒙 = −𝟐; es?
Entonces: {
𝑈 = 7 − 3𝑥
𝑉 = ln(𝑥2
− 3)
➔ : {
𝑈′
= −3
𝑉′
=
2𝑥
(𝑥2−3)
𝑓′(𝑥) = [1] [√𝑥2 − 8
3
] + [𝑥] [(𝑥2 − 8)
−2
3 (
2
3
𝑥)]
𝑓′(𝑥 = 3) = [1] [√(3)2 − 8
3
] + [(3)] [{(3)2 − 8}
−2
3 (
2
3
(3))] = [1][1] + [(3) ][2] = 7
𝑓′(𝑥 = −3) = [1] [√(−3)2 − 8
3
] + [(−3)] [{(−3)2 − 8}
−2
3 (
2
3
(−3))] = [1][1] + [(−3) ][−2] = 5
𝒇′(𝒙 = +𝟑) = 𝟕 𝒇′(𝒙 = −𝟑) = −𝟑 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = +𝟓

CALCULO I MAT 150
EP-T5>(S2-U1) Ejercicios propuestos Derivada. TIPO 𝒚 = 𝑼 × 𝑽
30a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)(1 − 2𝑥2); Hallar: 𝑓′(−1) =? 30b) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)(3 − 𝑥2); Hallar: 𝑓′(2) =?
31a) 𝑓(𝑥) = (𝑒2−𝑥)(3 − 2𝑥); Hallar: 𝑓′(2) =? 31b) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 2𝑥2)(𝑒𝑥+2); Hallar: 𝑓′(−2) =?
32a) 𝑓(𝑥) = (7 − 3𝑥)𝑙𝑛(𝑥2
− 3); Hallar: 𝑓′(2) =? 32b) 𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 3𝑥)𝑙𝑛(3 − 𝑥); Hallar:𝑓′(2) =?
33a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1√8 − 𝑥2; Hallar: 𝑓′(2) =? 33b) 𝑓(𝑥) = √5 − 2𝑥(3 − 𝑥)2
; Hallar:𝑓′(2) =?
34a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
√𝑥 − 1; Hallar: 𝑓′(2) =? 34b) 𝑓(𝑥) = √3 − 𝑥√3 − 𝑥
3
35a) 𝑓(𝑥) = (
2
𝑥
− 2) (3𝑥 −
4
𝑥
); Hallar: 𝑓′(2) =? 35b) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 −
1
𝑥
) (3 −
4
𝑥
); Hallar: 𝑓′(1) =?
T6>(S2-U1) Lección: Derivada de funciones . TIPO 𝒚 =
𝑼
𝑽
Formula F5.- 𝒚 = 𝒇(𝒙) =
𝑼
𝑽
;  𝒚 ´
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇´(𝒙) =
𝑼 ′.𝑽−𝑼.𝑽 ′
𝑽𝟐
La derivada del cociente entre dos funciones U y V, es igual a un nuevo cociente entre
numerador y denominador como sigue:
El numerador total, es igual a la derivada del numerador (U), por el denominador (V) sin
derivas, menos el numerador (U) sin derivar, por la derivada del denominador (V).
El denominador total es igual al denominador original (V), elevado al cuadrado.
E(1)-T6>(S2-U1) Ejemplo de seguimiento. Derivada. TIPO 𝒚 =
𝑼
𝑽
(2𝑥−𝑥2)
(5−2𝑥)
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟑) =?
Función equivalente. : 𝑓(𝑥) =
(2𝑥−𝑥2)
(5−2𝑥)
;  𝒚 = 𝑼 × 𝑽
simples y Derivando
parcialmente.
U= 2𝑥 − 𝑥2
;  𝑈′
= 2 − 2𝑥
V= 5 − 2𝑥; ;  𝑉′
= 2
F4 𝑦 ´
=
𝑈 ´.𝑉−𝑈.𝑉 ´
𝑉2
𝑓′(𝑥) =
[2 − 2𝑥][5 − 2𝑥] − [2𝑥 − 𝑥2][2]
[5 − 2𝑥]2
𝑓′(𝑥) =
[2 − 2(3)][5 − 2(3)] − [2(3) − (3)2][2]
[5 − 2(3)]2

CALCULO I MAT 150
𝑓′(1) =
[−4][−1]−[−3][2]
[1]2
;  𝒇′
(𝟑) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −𝟐
Interpretación Por cada unidad que aumente X, entonces Y disminuye 2 unidades
𝑼
𝑽
(5−2𝑥)2
(3−𝑥2)
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
Función equivalente. : 𝑓(𝑥) =
(5−2𝑥)2
(3−𝑥2)
;  𝒚 =
𝑼
𝑽
simples y Derivando
U= (5 − 2𝑥)2
;  𝑈′
= 2(5 − 2𝑥)1(−2)
V= 3 − 𝑥2
; ;  𝑉′
= −2𝑥
F4
𝑦 ´
=
𝑈 ´
. 𝑉 − 𝑈. 𝑉 ´
𝑉2
𝑓′(𝑥) =
[−4(5 − 2𝑥)1][3 − 𝑥2] − [(5 − 2𝑥)2][−2𝑥]
[3 − 𝑥2]
2
𝑓′(𝑥) =
[−4(5 − 2(2))
1
] [3 − (2)2] − [(5 − 2(2))
2
] [−2(2)]
[3 − (2)2]
2
𝑓′(1) =
[−4][−1]−[1][−4]
[−1]2
;  𝒇′
(𝟑) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= +𝟖
Interpretación Por cada unidad que aumente X, entonces Y Aumenta 8 unidades
𝑼
𝑽
2𝑥−
4
𝑥
5−𝑥2
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
Función equivalente.
: 𝑓(𝑥) =
2𝑥−
4
𝑥
5−𝑥2
;  𝒚 =
𝑼
𝑽
simples y Derivando
U= 2𝑥 −
4
𝑥
;  𝑈′
= 2 +
4
𝑥2
V= 5 − 𝑥2
; ;  𝑉′
= −2𝑥
F4 𝑦 ´
=
𝑈 ´.𝑉−𝑈.𝑉 ´
𝑉2
𝑓′(𝑥) =
[2 +
4
𝑥2] [5 − 𝑥2] − [2𝑥 −
4
𝑥] [−2𝑥]
[5 − 𝑥2]2

CALCULO I MAT 150
𝑓′(𝑥) =
[2 +
4
(2)2] [5 − (2)2] − [2(2) −
4
(2)
] [−2(2)]
[5 − (2)2]2
𝑓′(1) =
[3][1]−[2][−4]
[1]2
;  𝒇′
(𝟑) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= +𝟏𝟏
Interpretación Por cada unidad que aumente X, entonces Y Aumenta 8 unidades
𝑼
𝑽
25−2𝑥
√5−𝑥
3 Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
: 𝑓(𝑥) =
25−𝑥2
√3−𝑥
3 ;  𝒚 =
𝑼
𝑽
Separando en dos
funciones simples y
Derivando
U= 25−𝑥2
;  𝑈′
= (−2𝑥)25−𝑥2
V= (3 − 𝑥)
1
3; ;  𝑉′
= −
1
3
(3 − 𝑥)−
2
3
Reemplazando en la
fórmula: F4 𝑓′(𝑥) =
[(−2𝑥)25−𝑥2
][√3 − 𝑥
3
] − [25−𝑥2
] [−
1
3
(3 − 𝑥)−
2
3]
[√3 − 𝑥
3
]
2
El resultado e la pendiente
de la recta tangente en el
lugar x=2
𝑓′(2) =
[{−2(2)}25−(2)2
] [√3 − (2)
3
] − [25−(2)2
] [−
1
3
{3 − (2)}−
2
3]
[√3 − (2)
3
]
2
𝑓′(2) =
[8][1]−[2][−
1
3
]
[1]2 ;  𝒇′(𝟑) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= +
𝟐𝟐
𝟑
Interpretación Por cada unidad que aumente X, entonces Y Aumenta 7.33 unidades
𝑼
𝑽
(2𝑥−5)2
4−𝑥
indicar cuál es la función derivada falsa.
Solución:
Derivada: 𝑓′(𝑥) =
[2(2𝑥−5)1(2)][4−𝑥]−[(2𝑥−5)2][(−1)]
[4−𝑥]2
Aplicación: 𝑓′(3) =
[4][1]−[1][−1]
[1]2 = 4 + 1 = 5
𝑓′(2) =
[−4][2] − [1][−1]
[2]2
=
−𝟖 + 𝟏
𝟒
= −
𝟕
𝟒
Una ves que se determina la derivada se debe elegir la respuesta verdadera.
𝒂) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = −𝟓
Solución
𝒃) 𝒇′(𝒙 = 𝟑) = +𝟓 𝒄) 𝒇′(𝒙 = 𝟐) = −
𝟕
𝟒
𝒂) 𝑵𝒊𝒏𝒈𝒖𝒏𝒐

CALCULO I MAT 150
EP-T6>(S2-U1) Ejercicios propuestos Derivada. TIPO 𝒚 =
𝑼
𝑽
36a) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
2−𝑥
; Hallar: 𝑓′(3) =? 36b) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
4−5𝑥
; Hallar: 𝑓′(1) =?
37a) 𝑓(𝑥) =
3
2𝑥+3
; Hallar: 𝑓′
(−
1
2
) =? 37b) 𝑓(𝑥) =
3
2+2𝑥
; Hallar: 𝑓′
(−
1
2
) =?
38a) 𝑓(𝑥) =
3𝑥−2
5−𝑥2
; Hallar: 𝑓′(2) =? 38b) 𝑓(𝑥) =
3𝑥+2
3−𝑥2
; Hallar:𝑓′(−2) =?
39a) 𝑓(𝑥) =
2𝑥2−3
𝑥2
; Hallar: 𝑓′(1) =? 39b) 𝑓(𝑥) =
8−𝑥2
𝑥2
; Hallar:𝑓′(−2) =?
40a) 𝑓(𝑥) =
√7−3𝑥
3
√7−3𝑥
; Hallar: 𝑓′(2) =? 40b) 𝑓(𝑥) =
√3−2𝑥
√3−2𝑥
3 ; Hallar:𝑓′(1) =?
41a) 𝑓(𝑥) = √
3𝑥−1
𝑥2−1
3
; Hallar: 𝑓′(3) =? 41b) 𝑓(𝑥) = √
5−3𝑥
9𝑥2−1
3
; Hallar:𝑓′(−1) =?
T7>(S2-U1) Lección: Derivada de funciones exponenciales . TIPO 𝒚 = 𝑼𝑽
Formula F6.- 𝒇(𝒙) = [𝑼(𝒙)]
𝑽(𝒙)
;  𝒇´(𝒙) = 𝒗. 𝒖𝒗−𝟏
. 𝒖´
+ 𝒗´
. 𝒖𝒗
. 𝒍𝒏(𝒖)
La derivada del exponencial entre dos funciones U y V, la suma de dos termino como sigue:
El primero resultado de multiplicar el exponente sin derivar por la base elevada al
exponente menos 1y luego multiplicado por la derivada de la base;
El segundo igual al producto de la derivada del exponente por la base elevada exponente sin
derivar y luego multiplicado por el logaritmo natural de la base.
E(1)-T7>(S2-U1) Ejemplo de seguimiento. Derivada. TIPO 𝒚 = 𝑼𝑽
E(1)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (7 − 2𝑥)(4−𝑥)
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟑) =?
Función equivalente. : 𝑓(𝑥) = (7 − 2𝑥)(4−𝑥)
;  𝒚 = 𝑼𝑽
simples y Derivando
U= 7 − 2𝑥 ;  𝑈′
= −2
V= 4 − 𝑥; ;  𝑉′
= −1
Reemplazando en la fórmula: F6
𝑓′(𝑥) = [4 − 𝑥][(7 − 2𝑥)(4−𝑥)−1
][−2] + [−1][(7 − 2𝑥)(4−𝑥)
][𝑙𝑛(7 − 2𝑥)]o
𝑓′(3) = [4 − (3)] [(7 − 2(3))
(4−(3))−1
] [−2] + [−1] [(7 − 2(3))
(4−(3))
] [𝑙𝑛(7 − 2(3))]

CALCULO I MAT 150
𝑓′(3) = [1][1][−2] + [−1][1][𝑙𝑛{1}] ;  𝒇′(𝟑) = −𝟐
El resultado es la pendiente de la recta tangente en el lugar x=2
E(2)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (5 − 𝑥2)(2−𝑥)
Hallar: 𝒇′(𝒙 = +𝟐) =?
Función equivalente. : 𝑓(𝑥) = (5 − 𝑥2)(3−𝑥)
;  𝒚 = 𝑼𝑽
simples y Derivando
U= (5 − 𝑥2) ;  𝑈′
= −2𝑥
V= (3 − 𝑥); ;  𝑉′
= −1
Reemplazando en la fórmula: F6
𝑓′(𝑥) = [3 − 𝑥][(5 − 𝑥2)(3−𝑥)−1
][−2𝑥] + [−1][(5 − 𝑥2)(3−𝑥)
][𝑙𝑛(5 − 𝑥2)]
𝑓′(𝑥) = [3 − (2)][(5 − (2)2){3−(2)}−1
][−2(2)] + [−1][{5 − (2)2}{3−(2)}
][𝑙𝑛{5 − (2)2}]
𝑓′(2) = [1][(1)(0)
][−4] + [−1][1][𝑙𝑛(1)] = −4 + 0 ;  𝒇′(𝟐) = −𝟒
Estimado alumno: Si usted adquiere el mecanismo optimo, puede evitar muchos pasos
E(3)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (10 − 𝑥2)(𝑥2−3𝑥)
Hallar la función derivada, luego su valor
en el punto x=2, y su respectiva interpretación.
Función equivalente. : 𝑓(𝑥) = (10 − 𝑥2)(𝑥2−3𝑥)
;  𝒚 = 𝑼𝑽
Separando en dos funciones simples y Derivando
U= 10 − 𝑥2
; ;  𝑈′
= −2𝑥
V= 𝑥2
− 2𝑥; ;  𝑉′
= 2𝑥 − 2
Aplicación: para x=3 (Por razones que se hace muy voluminoso el desarrollo)
𝑈(3) = 10 − (𝟑)2
= 1 ;  ; 𝑈′(3) = −2(𝟑) = −6
V(3) = (𝟑)2
− 2(𝟑) = 3 ;  ; 𝑉′(3) = 2(𝟑) − 2 = 4

CALCULO I MAT 150
Reemplazando los resultados, en la fórmula: F6
𝑓´(𝑥) = 𝑣. 𝑢𝑣−1
. 𝑢´
+ 𝑣´
. 𝑢𝑣
. 𝑙𝑛(𝑢)
𝑓′(3) = [3][(1){3}−1
][−6] + [4][(1){3}
][𝑙𝑛(1)] ;  𝒇′
(𝟑) = −𝟏𝟖
EP-T7>(S2-U1) Ejercicios propuestos Derivada. TIPO 𝒚 = 𝑼𝑽
42a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2𝑥2)−2𝑥
; Hallar: 𝑓′(1) =? 42b) 𝑓(𝑥) = (2𝑥2
+ 𝑥)−2𝑥
; Hallar: 𝑓′(−1) =?
43a) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥
3 (9−𝑥2)
; Hallar: 𝑓′(3) =? 43b) 𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥2
3 (6+3𝑥)
; Hallar: 𝑓′(−2) =?
44a) 𝑓(𝑥) = (
2
𝑥
−
3
2
)
√1−𝑥
; Hallar: 𝑓′(−2) =? 44b) 𝑓(𝑥) = (3 − 𝑥2)𝑙𝑛(3−𝑥)
T8>(S2-U1) Lección: Derivada de funciones especiales . TIPO Misceláneas
Miscelánea: En esta serie de ejercicios el alumno deberá:
Analizar el tipo de fórmula que aplicará.
Hallar la función derivada, luego hallar el valor de la primera derivada en el punto indicado.
NOTA IMPORTANTE: Dado que en las anteriores secciones se trataba de que el alumno
aprenda el mecanismo específico para derivar con una determinada formula estándar, en esta
última sección te toca ahora decidir cuál es la fórmula más adecuada para determinar la
función derivada. Pueden ser preguntas de examen.
E(0)-T8>(S2-U1) Ejemplo de seguimiento. Derivada. Tipo misceláneas
E(0)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (√𝑥 −
3
𝑥
) (
3
𝑥
+ √𝑥) Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟏) =?
: 𝑓(𝑥) = (√𝑥)
2
− (
3
𝑥
)
2
= 𝑥 −
9
𝒙𝟐
;  𝒚 = 𝑼𝑽
simples y Derivando
U= 𝑥 ;  𝑈′
= 1
V=
9
𝒙𝟐
; ;  𝑉′
= −
18
𝒙𝟑
Reemplazando en la fórmula: F6 ➔ 𝑓′(𝑥) = [1] − [−
18
𝒙𝟑
]
𝑓′(1) = [1] − [−
18
(1)𝟑
] = 1 + [18] = 19 ➔ 𝒇′(𝟑) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏𝟗
Interpretación
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟏𝟗 Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 19 unidades

CALCULO I MAT 150
E(2)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (
4
𝑥
) − (
2
𝑥
− 𝑥2
)
3
Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟏) =?
: 𝑓(𝑥) = (
4
𝑥
) − (
2
𝑥
− 𝑥2
)
3
;  𝒚 = 𝑼𝑽
simples y Derivando U= {
𝑈 =
4
𝑥
𝑉 = (
2
𝑥
− 𝑥2
)
3 U= {
𝑈′
= −
4
𝑥2
𝑉 = 3 (
2
𝑥
− 𝑥2
)
2
(−
2
𝑥2 − 2𝑥)
Reemplazando en la fórmula: F 𝑓′(𝑥) = [−
4
𝑥2
] − [3 (
2
𝑥
− 𝑥2
)
2
(−
2
𝑥2
− 2𝑥)]
𝑓′(1) = [−
4
(1)2
] − [3 (
2
(1)
− (1)2
)
2
(−
2
(1)2
− 2(1))] = −4 − [3(−4)] ➔ 𝒇′(𝟏) = 𝟖
Interpretación
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝟖 Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 8 unidades
E(3)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (√
2𝑥−5
10−𝑥2
3
) Hallar: 𝒇′(𝒙 = 𝟑) =?
Función equivalente.  𝑓(𝑥) ==
1
3
[𝑙𝑛(2𝑥 − 5) − 𝑙𝑛(10 − 𝑥2)]
simples y Derivando
= {
𝑈 =
𝑉 =
= {
𝑈′
=
𝑈′
=
Derivada Reemplazando en la fórmula: F ➔ 𝑓′(𝑥) =
1
3
[(
2𝑥
(2𝑥−5)
) − (
−2𝑥
10−𝑥2
)]
➔ 𝑓′(𝑥 = 3) =
1
3
[(
2
(2(3)−5)
) − (
−2(3)
10−(3)2
)] =
1
3
[(2) − (−6)] =
1
3
[8] =
8
3
➔ 𝒇′(𝟑) =
8
3
Interpretación
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 2.67 Por cada unidad que aumente X, entonces Y aumenta 2.67 unidades

CALCULO I MAT 150
EP-T8>(S2-U1) Ejercicios propuestos Derivada. Tipo Miscelánea
45a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2𝑥2
+ 1) (
2
𝑥
);
45b) 𝑓(𝑥) = (
2
𝑥
) (𝑥 − 2𝑥2
+ 1);
46a) 𝑓(𝑥) = (
4
𝑥
− 𝑥2
)
3
+
4
𝑥
;
46b) 𝑓(𝑥) = (
4
𝑥
) − (
2
𝑥
− 𝑥2
)
3
;
47a) 𝑓(𝑥) = √(2 − 3𝑥)2
3
;
47b) 𝑓(𝑥) = √(4 − 3𝑥)2
3
;
48a) 𝑓(𝑥) = (
2
𝑥
) 𝑙𝑛(3 − 2𝑥2);
48b) 𝑓(𝑥) = (
𝑥2
2
) 𝑙𝑛(𝑥2
− 8);
49a) 𝑓(𝑥) = (
2
√𝑥
− 𝑥) (𝑥 +
2
√𝑥
);
49b) 𝑓(𝑥) = (√𝑥 −
3
𝑥
) (
3
𝑥
+ √𝑥);
50a) 𝑓(𝑥) =
3+𝑥
√1−𝑥
;
50b) 𝑓(𝑥) =
√5−𝑥2
5−𝑥2
;
51a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(4 − 𝑥)(2𝑥 − 5);
51b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(2𝑥 − 3)(3 − 𝑥);
52a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (√
𝑥2+4
2𝑥−3
3
);
52b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (√
2𝑥−5
1−𝑥2
3
);
53a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(4 − 𝑥)(2𝑥−5)
;
53b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(2𝑥 − 3)(3−𝑥)
;
54a) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 −
6
𝑥
)
√2𝑥−3
;
54b) 𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 2𝑥)√3−2𝑥;
55a) 𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥2 × √5 − 𝑥2
3
;
55b) 𝑓(𝑥) = √3𝑥2 − 2 × √3𝑥2 − 2
3
;

CALCULO I MAT 150
(S3-U4) Sección: Derivadas especiales y aplicaciones.
En esta sección se consideran las lecciones:
Derivadas de orden superior.
𝑆𝑖: 𝑦 = 𝑓(𝑥); 𝑦′
= 𝑓′(𝑥); Es la primera derivada de y respecto a x.
𝑦′′
= 𝑓′′(𝑥); Es la segunda derivada de y respecto a x.
… … … … … … .. ……………………………………………
𝑦𝑛
= 𝑓𝑛(𝑥); Es la n-cima derivada de y respecto a x.
La competencia que el alumno debe aprender en esta sección es:
Identificar el tipo de fórmula que aplicara para hallar la función derivada.
Hallar la segunda función derivada que está en función de otra que ya fue derivada por
usted mismo.
Hacer la respectiva aplicación en el punto indicado. -
Aplicaciones de las funciones derivadas a las Ciencias Económicas. -
El objetivo es relacionar e interpretar académicamente una función algebraica con su
derivada, para resolver casos de aplicación a las ciencias económicas:
En este nivel, el cálculo e interpretación de la función marginal (derivada), es la
primera aplicación de una función económica.
A continuación, se presentan las funciones Económicas de más aplicación.
FUNCIÓN ORIGINAL FUNCIÓN DERIVADA
Función oferta ( )
y O x
= Función Oferta marginal ( )
mg
y O x
 =
Función Demanda ( )
y D x
= Función Demanda marginal ( )
mg
y D x
 =
Función Ingreso. ( )
y I x
= Función Ingreso marginal ( )
mg
y I x
 =
Función Costo. ( )
y C x
= Función Costo marginal ( )
mg
y C x
 =
Función Utilidad o beneficio. ( )
y U x
= Función Utilidad marginal ( )
mg
y U x
 =
Definición. - La función marginal se interpreta como la variación del valor de la
función por unidad de cambio en la cantidad o el precio.
Convencionalmente se considerará a la variable (y) como dependiente de la cantidad (x) y
además con una unidad de medida en (unidades monetarias); $, Bs. etc.

CALCULO I MAT 150
T9>(S3-U1) Lección de seguimiento Funciones derivadas Especiales de segundo orden
5.1.0.- Derivadas de orden superior.
𝑆𝑖: 𝑦 = 𝑓(𝑥); 𝑦′
= 𝑓′(𝑥); Es la primera derivada de y respecto a x.
𝑦′′
= 𝑓′′(𝑥); Es la segunda derivada de y respecto a x.
… … … … … … .. ……………………………………………
𝑦𝑛
= 𝑓𝑛(𝑥); Es la n-cima derivada de y respecto a x.
E(1)-T9>(S3-U1) Ejemplo de seguimiento
E(1)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (3 − 2𝑥)5
Hallar segunda derivada, luego su valor en el punto x=2, y su respectiva interpretación.
Procedimiento y solución
Primera derivada: 𝑉𝑛
𝑓′(𝑥) = 5(3 − 2𝑥)5−1(0 − 2)
𝒇′(𝒙) = −𝟏𝟎(𝟑 − 𝟐𝒙)𝟒
Segunda derivada: 𝑉𝑛
, de 𝑓′(𝑥) = −10(3 − 2𝑥)4
𝑓′′(𝑥) = −40(3 − 2𝑥)3(0 − 2)
𝒇′′(𝒙) = 𝟖𝟎(𝟑 − 𝟐𝒙)𝟑
Aplicación para x=2: 𝑓′′(𝑥)
= 80(3 − 2(2))
3
= 80(−1)3
Valor de la función 2da derivada, en x=2 ➔ 𝑓(𝑥) = −80
E(2)-T9>(S3-U1) Pregunta de seguimiento
3−2𝑥
𝑥−2
1er derivada
Aplicando 𝑈
𝑉
𝑓(𝑥) =
[−2][𝑥 − 3] − [3 − 2𝑥][1]
[𝑥 − 3]2
𝑓(𝑥) =
3
[𝑥 − 3]2
= 3 ∗ [𝑥 − 3]−2
2da derivada
Aplicando la fórmula: 𝑈
𝑉
𝑓′′(𝑥) =
[0][(𝑥 − 3)2] − [3][2(𝑥 − 3)]
[𝑥 − 3]4
=
−6
[𝑥 − 3]3
Aplicación: Para x=2
𝑓′′(2) =
−6
[(2) − 3]3
Valor de la función 2da derivada,
en x=2
𝒇′′(𝟐) = +𝟔

CALCULO I MAT 150
1
6
𝑙𝑛(√5 − 𝑥2
3
)
Función equivalente: 𝑓(𝑥) = (
1
6
) (
1
3
) 𝑙𝑛(5 − 𝑥2)
1er derivada Aplicando la fórmula 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑈);  𝑦′
=
𝑈′
𝑈
𝑓′(𝑥) = (
1
18
)
[−2𝑥]
[5−𝑥2]
𝑓(𝑥) = − (
1
9
) (
𝑥
5−𝑥2)
2da derivada Aplicando la fórmula: 𝑈
𝑉
𝑓′′(𝑥) = − (
1
9
) [
[1][5−𝑥2]−[𝑥][−2𝑥]
[5−𝑥2]2 ] = − (
1
9
) [
5−𝑥2+2𝑥2
[5−𝑥2]2 ] 𝒇′′(𝒙) = − (
𝟏
𝟗
)
𝟓+𝒙𝟐
[𝟓−𝒙𝟐]
𝟐
Aplicación: Para x=2 𝑓′′(2) = − (
1
9
)
5+(2)2
[5−(2)2]
2 = − (
1
9
) [
9
1
]
Valor de la función 2da derivada, en x=2 𝒇′′(𝟐) = −𝟏
E(4)- Dada la función: 𝑓(𝑥) = (5 − 2𝑥2) ∗ (3𝑥 − 9)
Función equivalente: 𝑓(𝑥) = 15𝑥 − 100 − 6𝑥3
+ 18𝑥2
1er derivada: 𝑓′(𝑥) = 15 − 18𝑥2 + 36𝑥
2da derivada: 𝑓′′(𝑥) = −36𝑥 + 36
Aplicación: 𝑓′′(𝑥) = −36(1) + 36
𝑓′′(𝑥) = 0
Valor de la función 2da derivada, en x=1
EP-T9>(S2-U1) Ejercicios propuestos Derivada, de segundo orden
Hallar la segunda derivada de las funciones y su valor en lugar indicado.
56a) 𝑓(𝑥) = (5 − 2𝑥)3
; Hallar: 𝑓′′(2) =? 56b) 𝑓(𝑥) = (5 − 𝑥2)3
; Hallar: 𝑓′′(2) =?
57a) 𝑓(𝑥) =
3−2𝑥
𝑥−2
; Hallar: 𝑓′′(2) =? 57b) 𝑓(𝑥) =
1−3𝑥
1−2𝑥
; Hallar: 𝑓′′(1) =?
58a) 𝑓(𝑥) = 𝑒2−3𝑥
; Hallar: 𝑓′′(1) =? 58b) 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥+2
; Hallar: 𝑓′′(−1) =?
59a) 𝑓(𝑥) =
1
6
𝑙𝑛(√5 − 𝑥2
3
);
Verificar: 𝑓′′(2) = −1
59b) 𝑓(𝑥) =
1
6
𝑙𝑛(√9 + 𝑥3);
Verificar: 𝑓′′(−2) = −13
60a) 𝑓(𝑥) =
4
9
√4 − 3𝑥3;
Verificar: 𝑓′′(1) = −13
60b) 𝑓(𝑥) = 6√𝑥 − 2𝑥2
3
;
Verificar: 𝑓′′(1) = 4

CALCULO I MAT 150
T10>(S3-U1) Lección de seguimiento | Aplicaciones oferta marginal
Función Oferta O(x):
S 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑂(𝑥); Es función de Oferta, que depende de la cantidad x; Entonces se
define:
La función Oferta marginal
Derivada de la función Oferta 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑂𝑚𝑔(𝑥) = 𝑘 > 0; para x>0
Interpretación de la Oferta marginal: Por cada unidad adicional Ofertada el precio de
la Oferta aumenta k unidades monetarias.
Una función con grafica creciente o pendiente positiva.
E(1)- Dada la función de Oferta: 𝑓(𝑥) = 𝑂(𝑥) = 2 + 𝑙𝑛(𝑥 + 1);
Hallar: 𝑂𝑚𝑔(𝑥 = 1) =? Hallar la función oferta
marginal, luego su valor en el punto x=1, y su respectiva
interpretación.
Procedimiento y solución (1): Aplicando:  𝒚 = 𝒍𝒏(𝑼)
Función derivada: 𝑂𝑚𝑔(𝑥) =
1
𝑥+1
Aplicación: para x=0 𝑂𝑚𝑔(1) =
1
(1)+1
= 0.5 ➔ 𝑶𝒎𝒈(𝒙) = 𝟎. 𝟓 > 𝟎
Interpretación : Por cada unidad adicional ofertada, entonces el precio de oferta aumenta 0.5 u.m
E(2)- Dada la función de Oferta:𝑓(𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑂(𝑥) =
[7𝑥+1]
[𝑥+1]
Hallar la función oferta marginal, luego su valor en el punto x=1, y su
respectiva interpretación.
Procedimiento y solución (1): Aplicando:  𝒚 =
𝑼
𝑽
Función derivada: 𝑂𝑚𝑔(𝑥) =
[7][𝑥+1]−[7𝑥+1][1]
[𝑥+1]2 =
6
[𝑥+1]2
Aplicación: para x=1 𝑂𝑚𝑔(1) =
6
[(1)+1]2
➔ 𝑶𝒎𝒈(𝒙) =
𝟔
𝟒
= 𝟏. 𝟓 > 𝟎
Interpretación : Por cada unidad adicional ofertada, entonces el precio de oferta aumenta 1.5 u.m.
y=1.5
x=1

CALCULO I MAT 150
E(3)- Dada la función de Oferta: 𝑂(𝑥) = (𝑥 + 1)2
+ 2
Hallar la función oferta marginal, luego su valor en el punto x=0, y su respectiva
interpretación.
Procedimiento y solución (1): Aplicando:  𝒚 = 𝑼𝒏
Función derivada: 𝑂𝑚𝑔(𝑥) = 2 ∗ (𝑥 + 1)2−1(1) = 2(𝑥 + 1)
Aplicación: para x=0 𝑂𝑚𝑔(0) = 2((0) + 1) = 2 ➔ 𝑶𝒎𝒈(𝒙) = 𝟐 > 𝟎
Interpretación: Por cada unidad adicional ofertada, entonces el precio de oferta aumenta 2um.
EP-T10>(S2-U4) Ejercicios propuestos Función oferta marginal
Con las siguientes funciones de oferta se pide:
a).- Hacer la respectiva grafica
b).- Determinar e interpretar el valor de la oferta marginal en los puntos indicados.
61a) Si 𝑂(𝑥) = 1 + 𝑥;
Hallar: 𝑂𝑚𝑔(𝑥 = 2) =?
61b) Si 𝑂(𝑥) = 2 +
𝑥
2
;
62a) Si 𝑂(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 + 2
62b) Si 𝑂(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 + 1;
63a) Si 𝑂(𝑥) = 1 + 𝑙𝑛(𝑥 + 1)
63b) Si 𝑂(𝑥) = 2 + 𝑙𝑛(𝑥 + 1);
64a) Si 𝑂(𝑥) =
7𝑥+1
𝑥+1
64b) Si 𝑂(𝑥) =
3𝑥+1
𝑥+1
;

CALCULO I MAT 150
T11>(S3-U1) Lección de seguimiento Aplicaciones demanda marginal
Función Demanda D(x):
Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝐷(𝑥), Es Función Demanda que depende de la cantidad; Entonces se define:
La función Demanda marginal
Derivada de la función demanda 𝑦′
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐷𝑚𝑔(𝑥) = 𝑘 < 0; para x>0
Interpretación de la demanda marginal: Por cada unidad adicional demandada el
precio de la demanda disminuye k unidades monetarias, o viceversa.
E(1)-T11>(S3-U1) Ejemplo de seguimiento Función Demanda
E(1)- Dada la función de Demanda:
𝑓(𝑥) = 𝐷(𝑥) = 1 + 𝑙𝑛(4 − 𝑥);
Hallar la función demanda marginal, luego su valor para
x=1, y su respectiva interpretación.
Procedimiento y solución (1): Aplicando: 
𝒚 = 𝒍𝒏(𝑼)
Función derivada: 𝐷𝑚𝑔(𝑥) =
−1
4−𝑥
Aplicación: para x=3 𝐷𝑚𝑔(3) =
−1
4−(3)
=
−1
1
➔ 𝑫𝒎𝒈(𝒙) = −𝟏 < 𝟎
Interpretación: Por cada unidad adicional demandada, entonces el precio de demanda
disminuye 1um.
E(2)- Dada la función de Demanda: 𝐷(𝑥) = 1 +
4
𝑥+1
;
Hallar la función demanda marginal, luego su valor para x=1,
y su respectiva interpretación.
𝑼
𝑽
Función derivada: 𝐷𝑚𝑔(𝑥) =
−4
(𝑥+1)2
Aplicación: para x=1 𝐷𝑚𝑔(1) =
−4)
((1)+1)
2 =
−4
4
➔ 𝑫𝒎𝒈(𝒙) = −𝟏 < 𝟎
Interpretación: Por cada unidad adicional demandada, entonces
el precio de demanda disminuye 1 u.m.
AV:
x=-1
AH: y=-1

CALCULO I MAT 150
E(3)- Dada la función de Demanda: 𝐷(𝑥) = −
1
4
(𝑥2
− 24 + 2𝑥);
Hallar la función demanda marginal, luego su valor para x=1, y su
respectiva interpretación.
Procedimiento y solución (1): Aplicando:  𝒚 = 𝒃𝒂𝒔𝒊𝒄𝒂𝒔
Función derivada: 𝐷𝑚𝑔(𝑥) = −
1
4
(2𝑥 + 2)
Aplicación: para x=3 𝐷𝑚𝑔(1) = −
1
4
(2(3) + 2) = −
6
4
➔ 𝑫𝒎𝒈(𝒙) = −𝟏. 𝟓 < 𝟎
Interpretación: Por cada unidad adicional demandada, entonces el precio de demanda
disminuye 1.5 u.m.
EP-T11>(S3-U1) Ejercicios propuestos Función demanda marginal
Con las siguientes funciones de demanda se pide:
a). - Hacer la respectiva gráfica,
b). - Determinar e interpretar el valor de la demanda marginal en los puntos indicados.
65a) Si 𝐷(𝑥) = 5 − 2𝑥;
Hallar: 𝐷𝑚𝑔(𝑥 = 2) =?
65b) Si 𝐷(𝑥) = 8 − 2𝑥;
66a) Si 𝐷(𝑥) = 4 −
𝑥2
4
−
𝑥
2
;
66b) Si 𝐷(𝑥) =
1
4
(24 − 𝑥2
− 2𝑥);
67a) Si 𝐷(𝑥) = 1 + 𝑙𝑛(4 − 𝑥);
67b) Si 𝐷(𝑥) = 2 + 𝑙𝑛(3 − 𝑥);
68a) Si 𝐷(𝑥) =
2𝑥+8
𝑥+1
;
68b) Si 𝐷(𝑥) = 3 +
6
𝑥+1
;
:
y=-1
: x=+4

CALCULO I MAT 150
T12>(S3-U1) Lección de seguimiento Aplicaciones Ingreso marginal
Función ingreso I(x)
Básicamente se la define como el producto entre una cantidad vendida por el precio unitario de
demanda, es decir que el ingreso es nulo si no existe cantidad para vender.
Función ingreso: 𝐼(𝑥) = 𝑥𝑓𝑑(𝑥) Dónde: {
𝑥 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑏𝑖𝑒𝑛
𝑓𝑑(𝑥) 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎.
Función ingreso marginal: 𝐼𝑚𝑔(𝑥) =
𝑑𝐼
𝑑𝑥
Derivada del Ingreso
Interpretación de la demanda marginal en un punto: Por cada unidad adicional vendida el
monto del ingreso aumenta (+) ó disminuye (-); k unidades monetarias.
E(1)-T12>(S3-U1) Ejemplo de seguimiento Función Ingreso
E(1)- Dada la función de Ingreso:
𝑓(𝑥) = 𝐼(𝑥) =
1
3
(8𝑥 − 𝑥2);
Hallar la función Ingreso marginal, luego su valor para
𝒃𝒂𝒔𝒊𝒄𝒂𝒔
Función derivada: 𝐼𝑚𝑔(𝑥) =
1
3
[8 − 2𝑥]

Aplicación: para x=2 𝐼𝑚𝑔(𝑥) =
1
3
[8 − 2(3)] =
2
3
➔ 𝑰𝒎𝒈(𝒙) = 𝟎. 𝟔𝟕 > 𝟎
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, (cantidad vendida), entonces la Y (ingreso=I))
aumenta 0.67 u.m
𝐼(𝑥) = −
1
4
𝑥3
+ 3𝑥;
Procedimiento y solución (1): Aplicando: 𝒚 = 𝒃𝒂𝒔𝒊𝒄𝒂𝒔
Función derivada: 𝐼𝑚𝑔(𝑥) = −
3
4
𝑥2
+ 3 
Aplicación: para x=1 𝐼𝑚𝑔(𝑥) = −
3
4
(1)2
+ 3 =
9
4
➔ 𝑰𝒎𝒈(𝒙) = 𝟐. 𝟐𝟓 > 𝟎
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, (cantidad
vendida), entonces la Y (ingreso=I)) aumenta 2.25 u.m
:
y=-1
: x=+4
:
y=-1
: x=+4

CALCULO I MAT 150
𝐼(𝑥) = 3.5𝑥 − 0.5𝑥2
;
x=2, y x=4, luego su respectiva interpretación.
Procedimiento y solución (1): Aplicando: 𝒚 = 𝒃𝒂𝒔𝒊𝒄𝒂𝒔
Función derivada: 𝐼𝑚𝑔(𝑥) = 3.5 − 𝑥 
Aplicación: (1) para x=2
𝐼𝑚𝑔(2) = 3.5 − (2) = 1.5 ➔ 𝑰𝒎𝒈(𝒙) = 𝟏. 𝟓 > 𝟎
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, (cantidad
vendida), entonces la Y (ingreso=I)) aumenta 1.5 u.m
Aplicación: (2) para x=4
𝐼𝑚𝑔(4) = 3.5 − (4) = −0.5 ➔ 𝑰𝒎𝒈(𝒙) = −𝟎. 𝟓 > 𝟎
Interpretación: Por cada unidad que aumente X, (cantidad vendida), entonces la Y (ingreso=I))
Disminuye 0.5 u.m
NOTA: la pregunta será: Cual es la respuesta falsa:
E
3
𝑰𝒎𝒈(𝟒) = −𝟏. 𝟓 < 𝟎 𝑰𝒎𝒈(𝟐) = 𝟏. 𝟓 > 𝟎 𝑰𝒎𝒈(𝟒) = −𝟎. 𝟓 < 𝟎
EP-T12>(S2-U1) Ejercicios propuestos Función ingreso marginal
Dadas las funciones de ingreso, se pide:
Graficar la función.
Hallar e interpretar el valor del ingreso marginal en los puntos indicados.
69a) Si 𝐼(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥2
; en x=1 
x=5
69b) Si 𝐼(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥2
; en x=1  x=3
70a) Si 𝐼(𝑥) = 𝑥(4 − 𝑥); en x=1  x=3 70b) Si 𝐼(𝑥) = 𝑥(3 − 𝑥); en x=1  x=4
71a) Si 𝐼(𝑥) =
𝑥
2
(4 − 𝑥); en x=1  x=3 711b) Si 𝐼(𝑥) = 𝑥 (3 −
𝑥
2
); en x=2 
x=4
72a) Si 𝐼(𝑥) = (𝑥 − 2)2
− 4; en x=1  x=3 72b) Si 𝐼(𝑥) =
1
3
(12𝑥 − 𝑥2); en x=2  x=9
:
y=-1
: x=+2

CALCULO I MAT 150
T13>(S3-U1) Lección de seguimiento Aplicaciones Costo y Costo promedio
Función costo: Costo total: y costo promedio. –
4.1) El costo total C(x).- Se define como la suma de dos componentes básicos en el proceso
productivo que son un costo fijo más un costo variable que depende de las unidades
producidas.
Función costo total: 𝐶𝑇(𝑥) = 𝐶𝑉 + 𝐶𝐹 Costo variable más costo fijo.
Función costo marginal: 𝐶𝑇𝑚𝑔(𝑥) =
𝑑𝐶𝑇(𝑥)
𝑑𝑥
ó Derivada del costo respecto a (x).
4.2) Función costo promedio Cp.(x).- Se define como el cociente entre el costo total y el número
de unidades producidas en un proceso.
Función costo promedio: 𝐶𝑃(𝑥) =
𝐶𝑇(𝑥)
𝑥
ó Costo total dividido la cantidad (x)
Función costo promedio marginal: 𝐶𝑃𝑚𝑔(𝑥) =
𝑑𝐶𝑃(𝑥)
𝑑𝑥
ó derivada del costo promedio.
Interpretación del costo promedio marginal: Por ejemplo: : 𝐶𝑃𝑚𝑔(𝑥) = 2
Por cada unidad adicional producida el monto del costo promedio o precio unitario de
aumenta 2 unidades monetarias.
E(1)-T13>(S3-U1) Ejemplo de seguimiento Función Costo total (CT)
E(1)- Dada la función de Costo total:
𝑓(𝑥) = 𝐶𝑇(𝑥) = 1 +
1
3
(𝑥 + 1)2
;
Hallar la función Costo marginal, luego su valor para x=2,
Función derivada: 𝐶𝑚𝑔(𝑥) =
2
3
(𝑥 + 1)
Costo marginal:  𝐶𝑚𝑔(𝑥) =
2
3
𝑥 +
2
3
Aplicación:
para x=2: 𝐶𝑚𝑔(2) =
2
3
(2) +
2
3
= 2 ➔ 𝑪𝒎𝒈(𝒙) = 𝟐 > 𝟎
Interpretación Por cada unidad de X, (cantidad producida),
entonces la Y (Costo total=C)) aumenta 2 unidades, monetarias.
:
y=-1
: x=+4

CALCULO I MAT 150
E(2)-T13>(S3-U1) Ejemplo de seguimiento Función Costo promedio.
E(2)- Dada la función de Costo total: 𝐶𝑇(𝑥) = 1𝑥 +
1
4
𝑥2
+ 1 ;
Hallar la función
Costo promedio y costo promedio marginal,
luego su valor para x=1, y x=3 y su respectiva interpretación.
Función costo promedio: 𝐶𝑃
∗(𝑥) =
𝐶𝑇
𝑥
=
1𝑥+
1
4
𝑥2+1
𝑥
𝐶𝑃
∗(𝑥) =
𝐶𝑇
𝑥
= 1 +
1
4
𝑥 +
1
𝑥
Costo promedio marginal 𝐶𝑃
𝑚𝑔(𝑥) =
1
4
−
1
𝑥2
Derivada del costo promedio
Aplicación: para x=1 𝐶𝑃
𝑚𝑔(1) =
1
4
−
1
(1)2
= −
3
4
𝑪𝑷𝒎𝒈(𝒙) = −𝟎. 𝟕𝟓 < 𝟎
Interpretación Por cada unidad que aumente X, (cantidad producida), entonces la Y (Costo
promedio=CP)) disminuye 0.75 u.m.
Aplicación: para x=3 𝐶𝑃
𝑚𝑔(3) =
1
4
−
1
(3)2
= +
5
36
𝑪𝑷𝒎𝒈(𝒙) = 𝟎. 𝟏𝟒 > 𝟎
E(3)-T13>(S3-U1) Ejemplo de seguimiento Función Costo promedio.
E(3)- Dada la función de Costo promedio : 𝐶𝑃(𝑥) =
2
3
+
1
3
𝑥 +
3
𝑥
Hallar la función
Costo promedio marginal, luego su valor para x=1, y x=3
Luego indicar cual respuesta es falsa.
Costo promedio marginal 𝐶𝑃
𝑚𝑔(𝑥) =
1
3
−
3
𝑥2
Derivada del
costo promedio
Aplicación: para x=1 𝐶𝑃𝑚𝑔(1) =
1
3
−
3
(1)2 =
1
3
− 3 = −
3
4
𝑪𝑷𝒎𝒈(𝟏) = −𝟎. 𝟕𝟓 < 𝟎
1
3
−
3
(3)2 =
1
3
−
1
3
= 0 𝑪𝑷𝒎𝒈(𝟑) = 𝟎 < 𝟎
1
3
−
3
(2)2 =
1
3
−
3
4
= −
6
12
𝑪𝑷𝒎𝒈(𝟑) = −𝟐 < 𝟎
: y=k
:
x=h
: y=k
:
x=h
y=k
x=h
: y=k
:
x=h
: y=k
:
x=h

CALCULO I MAT 150
EP-T13>(S2-U1) Ejercicios propuestos Función Costo promedio
Dadas las funciones de costo, se pide:
Hallar e interpretar el valor del costo marginal en los puntos indicados.
Hallar e interpretar el valor del costo promedio marginal en los puntos indicados.
73a) Si 𝐶𝑇(𝑥) = 2 + 2𝑥; en x=1 73b) Si 𝐶𝑇(𝑥) = 1 +
1
2
𝑥; en x=2
74a) Si 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑥 +
1
2
𝑥2
+ 1; en x=0 74b) Si 𝐶𝑇(𝑥) = 3 +
1
2
𝑥2
; en x=1
75a) Si 𝐶𝑇(𝑥) =
1
3
𝑥2
+ 1.5; en x=0 75b) Si 𝐶𝑇(𝑥) =
1
3
𝑥2
+ 2; en x=1
76a) Si 𝐶𝑇(𝑥) = 2 + 𝑥 +
1
2
𝑥2
; en x=0 76b) Si 𝐶𝑇(𝑥) = 4 +
1
2
𝑥2
; en x=1
77a) Si 𝐶𝑇(𝑥) =
1
4
(𝑥 + 1)2
; en x=0 77b) Si 𝐶𝑇(𝑥) =
(𝑥+1)2
4
; en x=1
78a) Si 𝐶𝑃(𝑥) = 1 +
1
4
𝑥 +
1
𝑥
; en: {
𝑥 = 1
𝑥 = 3
78b) Si 𝐶𝑃(𝑥) =
3
𝑥
+
1
3
𝑥; en {
𝑥 = 2
𝑥 = 4

CALCULO I MAT 150
T14>(S3-U1) Lección de seguimiento Aplicaciones Utilidad marginal
Función Beneficio o Utilidad U(x):
Se define como la diferencia de dos componentes básicos, es decir el ingreso menos costo
total, los mismos que dependen de las unidades vendidas y las unidades producidas
.
Función utilidad 𝑈(𝑥) = 𝐼(𝑥) − 𝐶𝑇(𝑥): función ingreso menos función costo total
Función utilidad marginal: 𝑈𝑚𝑔(𝑥) = 𝐼𝑚𝑔(𝑥) − 𝐶𝑚𝑔(𝑥) ingreso menos costo total
marginal.
Interpretación de la Utilidad o Beneficio marginal: Por cada unidad adicional producida y
vendida el monto de la utilidad o Beneficio aumenta (+), ó disminuye (-); k unidades
monetarias.
E(1)-T14>(S3-U1) Ejemplo de seguimiento Función Utilidad
𝑓(𝑥) = 𝑈(𝑥) = 5 − (𝑥 − 2)2
;
Hallar la función Ingreso marginal, luego su valor para x=2,
Función derivada: 𝑈𝑚𝑔(𝑥) = −2(𝑥 − 2)
Utilidad marginal: 𝑈𝑚𝑔(𝑥) = 4 − 2𝑥
Aplicación: Aplicación: 𝑈𝑚𝑔(𝑥) = 4 − 2(2)
Interpretación 𝑼𝒎𝒈(𝒙) = −𝟐 < 𝟎
𝑓(𝑥) = 𝑈(𝑥) = 3 − (
𝑥
2
− 2)
2
;
Función derivada: 𝑈𝑚𝑔(𝑥) = −2 (
𝑥
2
− 2) (
1
2
)
Utilidad marginal: 𝑈𝑚𝑔(𝑥) = −
𝑥
2
+ 2
Aplicación: Aplicación: 𝑈𝑚𝑔(2) = −
(2)
2
+ 2
Interpretación 𝑼𝒎𝒈(𝟐) = 𝟏 > 𝟎
y=k
x=+h
y=k
x=+h

CALCULO I MAT 150
E(3)- Dada la función de Ingreso, y costo:
{
𝐼(𝑥) = 8 − 2 (2 −
𝑥
2
)
2
𝐶(𝑥) = 2 +
𝑥
3
; 𝑒𝑛: {
𝑥 = 2
𝑥 = 3
Hallar la función utilidad marginal, luego su valor
para x=2, y su respectiva interpretación.
Función Utilidad: U=I-C
➔ 𝑈𝑚𝑔(𝑥) = [8 − 2 (2 −
𝑥
2
)
2
] − [2 +
𝑥
3
]
Utilidad marginal: 𝑈𝑚𝑔(𝑥) =
11
3
+ 𝑥
Aplicación: para x=2: 𝑈𝑚𝑔(2) =
11
3
− (2) =
5
3
➔ 𝑼𝒎𝒈(𝟐) = 𝟏. 𝟔𝟔 > 𝟎
Aplicación: para x=3: 𝑈𝑚𝑔(5) =
11
3
− (5) = −
4
3
➔ 𝑼𝒎𝒈(𝟐) = −𝟏. 𝟑𝟑 > 𝟎
EP-T13>(S2-U1) Ejercicios propuestos Función utilidad marginal.
Dadas las funciones de utilidad o beneficio se pide:
Hallar e interpretar el valor de la utilidad o beneficio marginal en los puntos indicados.
79a) 𝐵(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥2
− 1; 𝑒𝑛: {
𝑥 = 2
𝑥 = 4
79b) 𝐵(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥2
− 1; 𝑒𝑛: {
𝑥 = 1
𝑥 = 3
80a) 𝑈(𝑥) = 4 − (𝑥 − 4)2
; 𝑒𝑛: {
𝑥 = 3
𝑥 = 4
80b) 𝑈(𝑥) = 7 − (𝑥 − 4)2
; 𝑒𝑛: {
𝑥 = 4
𝑥 = 5
81a) 𝑈(𝑥) =
15
2
𝑥 −
1
2
𝑥2
− 1; 𝑒𝑛: {𝑥 = 5 81b) 𝑈(𝑥) = 2𝑥 −
1
3
𝑥2
− 1; 𝑒𝑛: {𝑥 = 3
Ejercicios Tipo T11 Aplicaciones: Función Utilidad (Especial)
Con las funciones de ingreso y costo total:
Hallar las Utilidades marginales en el punto. Indicado.
82a) {
𝐼(𝑥) = 7𝑥 − 𝑥2
𝐶(𝑥) = 𝑥 + 2
; 𝑒𝑛: {
𝑥 = 3
𝑥 = 5 82b) {
𝐼(𝑥) = 10𝑥 −
1
2
𝑥2
𝐶(𝑥) =
3
4
𝑥2
+ 2
; 𝑒𝑛: {
𝑥 = 3
𝑥 = 5
Recomendación: Dado que todas las funciones de aplicación planteadas son del tipo BASICO, se
recomienda trazar las respectivas gráficas.
y=k
x=+h

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