pfm

2. Concepto: Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a
una de esas variables manteniendo las otras como constantes. La derivada de orden superior
comprende las derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se efectúa derivando tantas
veces como se indique. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría
diferencial.
Representación:

3. Utilidad:
Para graficar una función tridimensional y encontrar los puntos críticos se determina:

4. Teorema de schwarz (igualdad de las derivadas mixtas).

5. Ejercicios de aplicación:
Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden y muestre que las
derivadas mixtas son iguales:
Función:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2
Derivada de orden superior respecto de x.

6. Solución:
Paso 1: Derivar parcialmente la función en primer orden respecto de x.
Solución:
Paso 1: Derivar parcialmente la función en primer orden respecto de x.
Siendo
𝑢 =
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2
Simplificar

7. Paso 2: Derivar parcialmente la función a segundo orden
respecto de x.
El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la
función (𝑓(𝑥;𝑦)) en x,
“(𝑓𝑥𝑥)” es:

8. Derivada de orden superior respecto de y.
Solución:
Paso 1: Derivar la función de primer orden respecto de y.
Paso 2: Derivar la función de segundo orden respecto y.

9. El resultado de la derivada parcial de segundo orden de la
función (𝑓(𝑥;𝑦)) en y,
“(𝑓𝑦𝑦)” es:
Derivada de orden superior mixta (𝑓𝑥𝑦):
Función:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2

10. Paso 2: Derivar parcialmente la función
respecto y.
El resultado de la derivada parcial de
segundo orden de la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en xy,
“(𝑓𝑥𝑦)” es:
Derivada de orden superior mixta (𝑓𝑦𝑥):

11. Solución:
Paso 1: Derivar la función respecto
de y.
Paso 2: Derivar la función respecto de X.
El resultado de la derivada parcial de segundo orden de
la función (𝑓(𝑥;𝑦)) en yx,
“(𝑓𝑦𝑥)” es:
Finalmente, tomando en cuenta las derivadas parciales
de orden superior mixtas, se puede afirmar que son
iguales. Lo que se comprueba el teorema de schwarz
siendo la función continua.
𝑓𝑦𝑥 = 𝑓𝑥𝑦