El documento describe la evolución del arte fractal desde sus inicios hasta la actualidad. Explica que las primeras imágenes fractales eran muy simples debido a las limitaciones técnicas, pero que ahora son mucho más complejas y elaboradas gracias a nuevos programas y artistas. También discute si las imágenes fractales pueden considerarse verdaderas obras de arte o si son solo representaciones matemáticas, concluyendo que cuando un artista aporta su visión creativa al proceso, el resultado puede ser arte fractal.
O documento descreve o estilo Art Nouveau, que surgiu no final do século XIX na França e Bélgica. A Arte Nova revolucionou as artes visuais através de novos materiais como ferro e vidro e influenciou a arquitetura, pintura, ourivesaria e outros campos. Embora tenha chegado mais tarde, a Arte Nova também teve impacto em Portugal, principalmente nas fachadas e azulejos de edifícios.
O movimento das artes e ofícios e o art nouveauVIVIAN TROMBINI
O documento discute o Movimento das Artes e Ofícios e a Art Nouveau, que defendiam a originalidade da forma e a rejeição de formas meramente funcionais, ressaltando nomes como Gaudí, Horta e Alphonse Mucha.
La unidad 1 introduce el concepto de arquitectura y explica por qué se considera a la vez ciencia, técnica y arte. Define la arquitectura como la disciplina que se encarga de la planificación, diseño y construcción de edificaciones. Explica que se considera ciencia porque utiliza métodos científicos para resolver problemas, técnica porque aplica procedimientos constructivos, y arte porque busca crear obras estéticas.
Identificación de Elementosdel Estilo Neoclásico, Neogótico y ExóticoStephanie Marie
El documento resume elementos arquitectónicos del estilo neoclásico, neogótico y exótico a través de obras representativas. Brevemente describe cuatro obras neoclásicas como La Puerta de Alcalá en Madrid, el Panteón de París, el Museo del Prado y la Gliptoteca de Múnich, destacando su simetría, uso de columnas y frontones. También resume cuatro obras neogóticas como las basílicas del Voto Nacional en Quito, Santa Clotilde en París y la Votivkirche en Viena
El documento presenta una propuesta para un museo de arte urbano a lo largo de la Avenida Libertador en cuatro tramos. Cada tramo incluirá obras de arte estables e itinerantes, áreas verdes, ciclovías, y equipamiento urbano como paradas de transporte público. El objetivo es integrar el arte y la cultura en el espacio público para beneficio de peatones y conductores.
O documento descreve o projeto do novo World Trade Center em Nova York após os ataques de 11 de setembro de 2001. O projeto prevê a construção de quatro novas torres, incluindo a Torre da Liberdade de 541 metros, além de um memorial e museu. O novo complexo foi projetado para lembrar o ataque sem manter a mesma configuração geométrica das torres gêmeas originais.
El documento describe las cuatro etapas del proceso arquitectónico: programación, diseño, construcción y evaluación. Se enfoca en la primera etapa de programación, la cual incluye las fases de información, donde el arquitecto obtiene datos sobre el objeto, sujeto y medio, y la formulación del programa, en la cual ordena dicha información. Explica los aspectos que debe cubrir la información recopilada sobre cada uno de estos elementos para generar un programa completo.
El documento describe el Centro Cultural Gabriela Mistral, un proyecto arquitectónico ubicado en Santiago de Chile. El centro cultural ocupa el antiguo Edificio Diego Portales y cuenta con 44.000 metros cuadrados. Su ubicación cercana al metro y zonas culturales lo hace accesible. Además, aprovecha elementos de la estructura original y recicla su programa para adaptarse a las necesidades actuales.
O documento descreve o estilo Art Nouveau, que surgiu no final do século XIX na França e Bélgica. A Arte Nova revolucionou as artes visuais através de novos materiais como ferro e vidro e influenciou a arquitetura, pintura, ourivesaria e outros campos. Embora tenha chegado mais tarde, a Arte Nova também teve impacto em Portugal, principalmente nas fachadas e azulejos de edifícios.
O movimento das artes e ofícios e o art nouveauVIVIAN TROMBINI
O documento discute o Movimento das Artes e Ofícios e a Art Nouveau, que defendiam a originalidade da forma e a rejeição de formas meramente funcionais, ressaltando nomes como Gaudí, Horta e Alphonse Mucha.
La unidad 1 introduce el concepto de arquitectura y explica por qué se considera a la vez ciencia, técnica y arte. Define la arquitectura como la disciplina que se encarga de la planificación, diseño y construcción de edificaciones. Explica que se considera ciencia porque utiliza métodos científicos para resolver problemas, técnica porque aplica procedimientos constructivos, y arte porque busca crear obras estéticas.
Identificación de Elementosdel Estilo Neoclásico, Neogótico y ExóticoStephanie Marie
El documento resume elementos arquitectónicos del estilo neoclásico, neogótico y exótico a través de obras representativas. Brevemente describe cuatro obras neoclásicas como La Puerta de Alcalá en Madrid, el Panteón de París, el Museo del Prado y la Gliptoteca de Múnich, destacando su simetría, uso de columnas y frontones. También resume cuatro obras neogóticas como las basílicas del Voto Nacional en Quito, Santa Clotilde en París y la Votivkirche en Viena
El documento presenta una propuesta para un museo de arte urbano a lo largo de la Avenida Libertador en cuatro tramos. Cada tramo incluirá obras de arte estables e itinerantes, áreas verdes, ciclovías, y equipamiento urbano como paradas de transporte público. El objetivo es integrar el arte y la cultura en el espacio público para beneficio de peatones y conductores.
O documento descreve o projeto do novo World Trade Center em Nova York após os ataques de 11 de setembro de 2001. O projeto prevê a construção de quatro novas torres, incluindo a Torre da Liberdade de 541 metros, além de um memorial e museu. O novo complexo foi projetado para lembrar o ataque sem manter a mesma configuração geométrica das torres gêmeas originais.
El documento describe las cuatro etapas del proceso arquitectónico: programación, diseño, construcción y evaluación. Se enfoca en la primera etapa de programación, la cual incluye las fases de información, donde el arquitecto obtiene datos sobre el objeto, sujeto y medio, y la formulación del programa, en la cual ordena dicha información. Explica los aspectos que debe cubrir la información recopilada sobre cada uno de estos elementos para generar un programa completo.
El documento describe el Centro Cultural Gabriela Mistral, un proyecto arquitectónico ubicado en Santiago de Chile. El centro cultural ocupa el antiguo Edificio Diego Portales y cuenta con 44.000 metros cuadrados. Su ubicación cercana al metro y zonas culturales lo hace accesible. Además, aprovecha elementos de la estructura original y recicla su programa para adaptarse a las necesidades actuales.
Este documento presenta una cronología de los principales proyectos del arquitecto brasileño Oscar Niemeyer entre 1940 y 2007. Incluye detalles sobre el Conjunto Pampulha de 1940-1944 que incluía un casino, club de yates, casa de baile y capilla; el proyecto de Brasilia iniciado en 1938 e inaugurado en 1960 con edificios gubernamentales como el Congreso Nacional, Palacio Planalto y Palacio de Justicia; y otros proyectos como el Conjunto Ibirapuera en Sao Paulo, el Aeropuerto de
La reconstrucción del Centro Histórico de Varsovia después de la Segunda Guerra Mundial se basó en documentar meticulosamente cada edificio antes de la guerra a través de fotografías, planos y pinturas para utilizarlos como base de referencia. El objetivo era reproducir fielmente la estructura y organización del casco antiguo para recuperar la memoria colectiva del pueblo polaco y conectar con el pasado, reconstruyendo los edificios "cómo eran y dónde estaban". Este enfoque culturalista radical se centró
A arte bizantina refere-se às manifestações artísticas do Império Bizantino entre os séculos V-XV. Recebeu influências da cultura greco-romana e oriental, caracterizando-se pelo uso de diversas cores e temas religiosos. Destacou-se na arquitetura de igrejas com cúpulas e no mosaico e afrescos com imagens religiosas.
Este documento resume la arquitectura paleocristiana y bizantina. La paleocristiana se divide en dos etapas, la primera incluye catacumbas y criptas donde se enterraban cristianos antes del Edicto de Milán. La segunda etapa presenta las primeras basílicas de planta rectangular, en cruz griega u octogonal. La arquitectura bizantina se desarrolla bajo la influencia romana y otras culturas, dividiéndose en tres edades de oro dominadas por Santa Sofía de Constantinopla, San Marcos de
El documento describe el movimiento expresionista en arquitectura que surgió a finales del siglo XIX en Alemania como reacción al funcionalismo imperante. Se caracterizó por el uso de formas orgánicas y distorsionadas inspiradas en la naturaleza, así como nuevos materiales como el vidrio y el acero. Grupos como la Deutscher Werkbund y Der Ring promovieron esta arquitectura vanguardista.
El documento describe los principios del minimalismo arquitectónico, incluyendo la reducción de diseños a lo esencial y funcional sin elementos decorativos, el uso de formas puras y colores monocromáticos, y la importancia de la legibilidad. También discute al pionero del minimalismo arquitectónico Mies van der Rohe y su énfasis en materiales como el vidrio y el acero, y el uso de diseños simples para lograr elegancia.
O documento descreve a arte bizantina entre 330-1453 d.C., quando o cristianismo se tornou a religião oficial do Império Romano. Produções importantes incluíam mosaicos com temas religiosos em igrejas e ícones de santos em locais de culto. Embora os ícones tenham sido banidos brevemente, eles ganharam importância como representações da Virgem Maria e Jesus após o cristianismo ser oficializado.
Los fractales son objetos matemáticos que exhiben autosimilitud a cualquier escala. Fueron descubiertos por Benoit Mandelbrot y se caracterizan por tener una dimensión fraccionaria. Los fractales se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como montañas, árboles y costas, y también se usan en arte, ciencia y tecnología.
Este documento describe la geometría fractal y su aplicación en el arte. Explica que las fractales son formas geométricas complejas que surgen de procesos iterativos simples y que se asemejan a patrones encontrados en la naturaleza. También describe cómo los artistas pueden crear obras de arte fractal mediante el uso de fórmulas matemáticas y algoritmos de color en computadoras. Finalmente, destaca que las fractales proporcionan un marco para modelar formas naturales complejas y simular fenómenos del mundo real.
Este documento describe la geometría fractal y su aplicación en el arte. Explica que los fractales son formas geométricas que se repiten a diferentes escalas y tienen una dimensión fraccional. También describe cómo los artistas usan fórmulas matemáticas y algoritmos de color para crear imágenes fractales complejas a partir de procesos simples. Finalmente, señala que los fractales pueden modelar patrones naturales y han llevado a un nuevo género artístico basado en la ciencia.
Este documento describe fractales, incluyendo su definición, quien los descubrió, tipos de fractales y sus aplicaciones. Benoit Mandelbrot acuñó el término "fractal" para describir objetos matemáticos que exhiben autosimilitud a cualquier escala y tienen dimensiones fraccionarias. Los fractales se encuentran comúnmente en la naturaleza, el arte y la ciencia, y tienen aplicaciones en compresión de imágenes y diseño de antenas.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Explica que los fractales tienen detalles en escalas arbitrariamente pequeñas y son demasiado irregulares para describirse con geometría tradicional. También señala que muchos objetos naturales como helechos y copos de nieve tienen formas parecidas a fractales y que los fractales a menudo se usan para crear paisajes visuales complejos.
Este documento describe fractales, incluyendo su definición como objetos que exhiben autosimilitud a cualquier escala y dimensión fraccionaria. Explica que Benoit Mandelbrot acuñó el término "fractal" y es conocido por su trabajo pionero en este campo. También resume los diferentes tipos de fractales, sus aplicaciones comunes en la naturaleza, el arte y la ciencia, como compresión de imágenes.
Los fractales son objetos matemáticos que exhiben una estructura recurrente a cualquier escala. Fueron descubiertos por el matemático Benoit Mandelbrot en los años 1970 y se encuentran comúnmente en la naturaleza, como montañas, árboles y costas. Los fractales también se usan en el arte, las ciencias y las telecomunicaciones.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Los fractales tienen propiedades como una complejidad infinita y una dimensión fraccional. Son generados mediante métodos iterativos y se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como helechos y copos de nieve. El documento también cubre el historial de los fractales y sus aplicaciones visuales.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Los fractales tienen propiedades como una complejidad infinita y una dimensión fraccional. Son generados mediante métodos iterativos y se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como helechos y copos de nieve. El documento también discute el historial de los fractales y sus aplicaciones visuales.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Los fractales tienen propiedades como una complejidad infinita y una dimensión fraccional. Son generados mediante métodos iterativos y se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como helechos y copos de nieve. El documento también discute el desarrollo histórico de los fractales y sus aplicaciones visuales.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos que se repiten a diferentes escalas y son demasiado irregulares para describirse con geometría tradicional. Muchas estructuras naturales como montañas, nubes y sistemas circulatorios tienen propiedades fractales. Los fractales también se usan en arte, literatura y arquitectura para crear patrones complejos y realistas.
Este documento introduce los conceptos básicos de los fractales. Explica que un fractal exhibe autosimilitud a cualquier escala y puede ser generado mediante procesos iterativos. Describe algunos fractales clásicos como el polvo de Cantor y el triángulo de Sierpinski, y cómo se pueden generar mediante iteración. También discute las diferencias entre la geometría euclidiana y la geometría fractal.
Este documento resume un trabajo práctico sobre fractales realizado por una estudiante para el sexto año de la escuela secundaria. Explica la definición de fractales, sus características como la autosimilitud y dimensiones fractales, e incluye ejemplos de aplicaciones de fractales en matemáticas, ciencia, tecnología, naturaleza y arte.
Este documento describe los fractales y su aplicación para modelar ciencias sociales y naturales. Explica que los fractales son figuras que se repiten a escalas decrecientes y que se usan para modelar fenómenos naturales como nubes, árboles y montañas. También señala que los fractales pueden usarse para modelar economías, sistemas circulatorios y más, dada su capacidad para representar la complejidad del mundo real.
Este documento presenta una cronología de los principales proyectos del arquitecto brasileño Oscar Niemeyer entre 1940 y 2007. Incluye detalles sobre el Conjunto Pampulha de 1940-1944 que incluía un casino, club de yates, casa de baile y capilla; el proyecto de Brasilia iniciado en 1938 e inaugurado en 1960 con edificios gubernamentales como el Congreso Nacional, Palacio Planalto y Palacio de Justicia; y otros proyectos como el Conjunto Ibirapuera en Sao Paulo, el Aeropuerto de
La reconstrucción del Centro Histórico de Varsovia después de la Segunda Guerra Mundial se basó en documentar meticulosamente cada edificio antes de la guerra a través de fotografías, planos y pinturas para utilizarlos como base de referencia. El objetivo era reproducir fielmente la estructura y organización del casco antiguo para recuperar la memoria colectiva del pueblo polaco y conectar con el pasado, reconstruyendo los edificios "cómo eran y dónde estaban". Este enfoque culturalista radical se centró
A arte bizantina refere-se às manifestações artísticas do Império Bizantino entre os séculos V-XV. Recebeu influências da cultura greco-romana e oriental, caracterizando-se pelo uso de diversas cores e temas religiosos. Destacou-se na arquitetura de igrejas com cúpulas e no mosaico e afrescos com imagens religiosas.
Este documento resume la arquitectura paleocristiana y bizantina. La paleocristiana se divide en dos etapas, la primera incluye catacumbas y criptas donde se enterraban cristianos antes del Edicto de Milán. La segunda etapa presenta las primeras basílicas de planta rectangular, en cruz griega u octogonal. La arquitectura bizantina se desarrolla bajo la influencia romana y otras culturas, dividiéndose en tres edades de oro dominadas por Santa Sofía de Constantinopla, San Marcos de
El documento describe el movimiento expresionista en arquitectura que surgió a finales del siglo XIX en Alemania como reacción al funcionalismo imperante. Se caracterizó por el uso de formas orgánicas y distorsionadas inspiradas en la naturaleza, así como nuevos materiales como el vidrio y el acero. Grupos como la Deutscher Werkbund y Der Ring promovieron esta arquitectura vanguardista.
El documento describe los principios del minimalismo arquitectónico, incluyendo la reducción de diseños a lo esencial y funcional sin elementos decorativos, el uso de formas puras y colores monocromáticos, y la importancia de la legibilidad. También discute al pionero del minimalismo arquitectónico Mies van der Rohe y su énfasis en materiales como el vidrio y el acero, y el uso de diseños simples para lograr elegancia.
O documento descreve a arte bizantina entre 330-1453 d.C., quando o cristianismo se tornou a religião oficial do Império Romano. Produções importantes incluíam mosaicos com temas religiosos em igrejas e ícones de santos em locais de culto. Embora os ícones tenham sido banidos brevemente, eles ganharam importância como representações da Virgem Maria e Jesus após o cristianismo ser oficializado.
Los fractales son objetos matemáticos que exhiben autosimilitud a cualquier escala. Fueron descubiertos por Benoit Mandelbrot y se caracterizan por tener una dimensión fraccionaria. Los fractales se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como montañas, árboles y costas, y también se usan en arte, ciencia y tecnología.
Este documento describe la geometría fractal y su aplicación en el arte. Explica que las fractales son formas geométricas complejas que surgen de procesos iterativos simples y que se asemejan a patrones encontrados en la naturaleza. También describe cómo los artistas pueden crear obras de arte fractal mediante el uso de fórmulas matemáticas y algoritmos de color en computadoras. Finalmente, destaca que las fractales proporcionan un marco para modelar formas naturales complejas y simular fenómenos del mundo real.
Este documento describe la geometría fractal y su aplicación en el arte. Explica que los fractales son formas geométricas que se repiten a diferentes escalas y tienen una dimensión fraccional. También describe cómo los artistas usan fórmulas matemáticas y algoritmos de color para crear imágenes fractales complejas a partir de procesos simples. Finalmente, señala que los fractales pueden modelar patrones naturales y han llevado a un nuevo género artístico basado en la ciencia.
Este documento describe fractales, incluyendo su definición, quien los descubrió, tipos de fractales y sus aplicaciones. Benoit Mandelbrot acuñó el término "fractal" para describir objetos matemáticos que exhiben autosimilitud a cualquier escala y tienen dimensiones fraccionarias. Los fractales se encuentran comúnmente en la naturaleza, el arte y la ciencia, y tienen aplicaciones en compresión de imágenes y diseño de antenas.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Explica que los fractales tienen detalles en escalas arbitrariamente pequeñas y son demasiado irregulares para describirse con geometría tradicional. También señala que muchos objetos naturales como helechos y copos de nieve tienen formas parecidas a fractales y que los fractales a menudo se usan para crear paisajes visuales complejos.
Este documento describe fractales, incluyendo su definición como objetos que exhiben autosimilitud a cualquier escala y dimensión fraccionaria. Explica que Benoit Mandelbrot acuñó el término "fractal" y es conocido por su trabajo pionero en este campo. También resume los diferentes tipos de fractales, sus aplicaciones comunes en la naturaleza, el arte y la ciencia, como compresión de imágenes.
Los fractales son objetos matemáticos que exhiben una estructura recurrente a cualquier escala. Fueron descubiertos por el matemático Benoit Mandelbrot en los años 1970 y se encuentran comúnmente en la naturaleza, como montañas, árboles y costas. Los fractales también se usan en el arte, las ciencias y las telecomunicaciones.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Los fractales tienen propiedades como una complejidad infinita y una dimensión fraccional. Son generados mediante métodos iterativos y se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como helechos y copos de nieve. El documento también cubre el historial de los fractales y sus aplicaciones visuales.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Los fractales tienen propiedades como una complejidad infinita y una dimensión fraccional. Son generados mediante métodos iterativos y se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como helechos y copos de nieve. El documento también discute el historial de los fractales y sus aplicaciones visuales.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Los fractales tienen propiedades como una complejidad infinita y una dimensión fraccional. Son generados mediante métodos iterativos y se encuentran comúnmente en la naturaleza en objetos como helechos y copos de nieve. El documento también discute el desarrollo histórico de los fractales y sus aplicaciones visuales.
Este documento describe los fractales, objetos geométricos que se repiten a diferentes escalas y son demasiado irregulares para describirse con geometría tradicional. Muchas estructuras naturales como montañas, nubes y sistemas circulatorios tienen propiedades fractales. Los fractales también se usan en arte, literatura y arquitectura para crear patrones complejos y realistas.
Este documento introduce los conceptos básicos de los fractales. Explica que un fractal exhibe autosimilitud a cualquier escala y puede ser generado mediante procesos iterativos. Describe algunos fractales clásicos como el polvo de Cantor y el triángulo de Sierpinski, y cómo se pueden generar mediante iteración. También discute las diferencias entre la geometría euclidiana y la geometría fractal.
Este documento resume un trabajo práctico sobre fractales realizado por una estudiante para el sexto año de la escuela secundaria. Explica la definición de fractales, sus características como la autosimilitud y dimensiones fractales, e incluye ejemplos de aplicaciones de fractales en matemáticas, ciencia, tecnología, naturaleza y arte.
Este documento describe los fractales y su aplicación para modelar ciencias sociales y naturales. Explica que los fractales son figuras que se repiten a escalas decrecientes y que se usan para modelar fenómenos naturales como nubes, árboles y montañas. También señala que los fractales pueden usarse para modelar economías, sistemas circulatorios y más, dada su capacidad para representar la complejidad del mundo real.
funciones trigonométricas fractales NUM COM 3B.pptxdayana45276
El documento habla sobre el arte fractal y su relación con las matemáticas. Explica que los fractales se basan en patrones geométricos que se repiten de manera autoafín hasta el infinito. Menciona que existen tres tipos de fractales y que se pueden observar en la naturaleza en elementos como hojas de árboles y flores. Además, señala que el matemático Mandelbrot estudió patrones de repetición que podrían generar fractales.
Este documento proporciona una introducción a los fractales, incluyendo una breve historia, la dimensión fractal, ejemplos como las curvas de Koch y el triángulo de Sierpinski, y tipos como funciones iteradas, atractores caóticos y fractales aleatorios.
Este documento habla sobre los fractales y su presencia en la naturaleza. Explica que los fractales son objetos geométricos que muestran autosimilitud a cualquier escala y que se pueden encontrar fractales en la naturaleza como en las nubes, montañas, árboles y plantas. También resume la historia de los fractales y algunos de los científicos clave en su estudio.
El documento describe la obra "Razón Áurea" de Salvador Dalí y cómo representa el número de oro a través de una sucesión de rectángulos áureos que conforman una espiral áurea. También explica cómo las dimensiones del cuadro están en proporción áurea y cómo el "anexo inexplicable" del título en realidad es explicable al prolongar el cuadro hacia arriba basado en esta proporción.
Trabajo Investigación Fractales Entorno vistos desde el cieloDe Mates Na
Trabajo Investigación sobre Fractales en nuestro entorno vistos desde el cielo realizado por los alumnos de 4º de ESO Diego Mayordomo y Hanna Badri.
Trabajo original lo puedes encontrar en la web De Mates... ¿Ná?: http://centros5.pntic.mec.es/sierrami/dematesna/
Este documento describe los fractales, incluyendo su definición como objetos geométricos que repiten el mismo patrón a diferentes escalas, sus características como la bifurcación y la autosimilitud, y los diferentes tipos como los lineales, complejos, autómatas celulares y órbitas caóticas. También resume las aplicaciones de los fractales en matemáticas, la naturaleza, el cuerpo humano, el arte, la música, la comunicación e informática y la física.
En la ciudad de Pasto, estamos revolucionando el acceso a microcréditos y la formalización de microempresarios informales con nuestra aplicación CrediAvanza. Nuestro objetivo es empoderar a los emprendedores locales proporcionándoles una plataforma integral que facilite el acceso a servicios financieros y asesoría profesional.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
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1. Mayo 2005 • 2005ko Maiatza 99
SIGMA
26ARTE FRACTAL. LAS MATEMÁTICAS MÁS HERMOSAS
Javier Barrallo (*)
¿QUÉ SON LOS FRACTALES?
Esta pregunta tan simple no puede ser respondida sin una respuesta larga y compleja. En
realidad, tendríamos que explicar el concepto de dimensión de Hausdorff-Besicovitch para
comprender que existen conjuntos fuera del ámbito de la Geometría Euclidea, cuya dimensión
no tiene porqué ceñirse al conjunto de los números enteros, y allí es donde encontraríamos a
los conjuntos fractales.
Este tipo de definición no ayuda mucho, pues requiere un alto grado de jerga matemática que
muy poca gente puede llegar a comprender. Podemos definir un fractal de forma mucho más
fácil e intuitiva como un conjunto, objeto o forma (elija usted el concepto que le resulte más
sencillo) el cual al ser observado en una pequeña porción mantiene un aspecto similar (aunque
no necesariamente idéntico) al que presenta al ser observado de forma completa.
Tomemos por ejemplo una montaña de naturaleza rocosa. Desde la distancia el perfil escar-
pado de la montaña será muy parecido al de sus rocas. A su vez las pequeñas rocas tienen una
geometría muy similar a las grandes rocas y por tanto a la montaña en su conjunto. El mismo
ejemplo puede aplicarse a una coliflor, que parece estar a su vez compuesta de pequeñas
coliflores, a una nube, cuyos fragmentos parecen mostrar la misma estructura que la nube en
su globalidad o de un árbol cuyo ramaje parece repetirse a menor escala cada vez que las
ramas se bifurcan.
Esta propiedad, denominada autosemejanza, es la que define de modo práctico los fractales y que
debe ser empleada en su enseñanza cuando no exista un alto grado de especialización matemática.
FRACTALES Y ORDENADORES
Todos los que hemos trabajado con Sistemas Dinámicos, la rama de la Matemática en la que se
encuadran las imágenes fractales somos conscientes de que la representación de un conjunto
fractal requiere del empleo de la informática. Una pequeña imagen, por ejemplo de 640x480
píxeles, contiene 307.200 puntos que deben ser calculados. Cada uno de estos puntos puede
requerir ser calculado por la fórmula que determina el fractal unas 1.000 veces. Esto implica que
la fórmula ha de ser calculada más de 300 millones de veces. Y esto sólo para una imagen de
pequeñas dimensiones. Algunas de las imágenes de gran formato que he elaborado para exposi-
ciones han requerido más de un billón de cálculos y, consecuentemente, varios días de cálculo.
Para calcular una imagen a partir de una fórmula se sigue el método conocido como iteración.
Este proceso consiste en calcular una fórmula repetidas veces a partir de un valor inicial. En el
caso de los fractales este valor inicial estará relacionado con cada punto del plano o del espa-
cio que necesitemos calcular y vendrá dado en función de su posición geométrica. Una vez
calculada la fórmula por primera vez, tomamos el valor resultante y volvemos a introducirlo
en la fórmula. El nuevo resultado se vuelve a calcular y así sucesivamente. Esto es lo que se
conoce como iteración.
(*) Profesor de E.T.S. Arquitectura. Universidad del País Vasco.
2. Si se continúa este proceso, basta con observar que ocurre y asignar un color en función de
los resultados. En algunas ocasiones los números parecen “explotar” en la fórmula y avanzan
rápidamente hacia el infinito, en otros casos convergen hacia un valor finito y otras veces se
estabilizan en ciclos que se repiten con una periodicidad dada. Pues bien, basta colorear cada
punto en función del comportamiento mostrado durante la iteración. Un punto cuyo valor
asociado tiende hacia infinito será coloreado con una determinada paleta de color, general-
mente con diferentes tonalidades en función de la rapidez con la que diverge. Un punto que
converge hacia un valor finito con mayor o menor velocidad será coloreado de la misma forma
y, en la mayoría de los casos, con una paleta de color diferente.
Sin embargo lo más interesante no es el proceso de iteración en sí mismo, sino las fórmulas y
las regiones del plano o el espacio sobre las que aplicamos este proceso. En algunas ocasiones,
y esto es lo que hace fascinante la exploración fractal, el comportamiento de dos puntos muy
próximos es radicalmente opuesto (por ejemplo uno diverge hacia infinito y otro converge
hacia un valor dado). Visualmente los colores pueden variar drásticamente formando espira-
les, arborescencias y otras complicadas formas. Las regiones del plano en las que se da este
cambio abrupto de color son las que definen la forma del fractal.
Sin embargo, para los exploradores fractales, el proceso no ha hecho sino empezar. Al aumen-
tar una región del conjunto fractal aparecen ante nuestros ojos nuevos diseños, que se tornan
diferentes al continuar sumergiéndonos dentro del conjunto. Un único conjunto fractal, como
el famoso Conjunto de Mandelbrot, nos permite explorarlo ilimitadamente obteniendo siem-
pre giros y cambios inesperados pese a mantener un aspecto familiar durante toda la explora-
ción –recordar el concepto de similitud que caracteriza a los fractales–.
100
Javier Barrallo
SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.
The Joy of Life. Esta imagen,
obra de Mark Townsend
muestra claramente las
nuevas tendencias seguidas
por el Arte Fractal: algoritmos
de color, transformaciones,
texturas y efectos de
iluminación se combinan
hasta obtener el efecto
deseado, muy lejos de las
primeras imágenes fractales
3. Mayo 2005 • 2005ko Maiatza 101
Arte Fractal. Las matemáticas más hermosas
Con los ordenadores y programas actuales es muy fácil aumentar un fractal y tener práctica-
mente la certeza de que nunca nadie ha estado allí antes, pues la enorme rapidez con la que
nos sumergimos en la imagen nos permite disponer con sólo unas pocas pulsaciones del ratón
de una extensión para explorar mayor que nuestro sistema solar.
SI, ES BONITO. PERO ¿ES REALMENTE ARTE?
Las imágenes fractales están basadas en matemáticas, calculadas mediante algoritmos mate-
máticos, coloreadas empleando procedimientos matemáticos, pero no están determinadas
por las matemáticas.
Casi todas las expresiones del Arte dependen de las herramientas empleadas en su creación
y ejecución: pinceles y brochas, cámaras fotográficas, instrumentos musicales, martillo y
cincel, etc. son imprescindibles en la creación artística de su correspondiente disciplina. De
la misma manera, el ordenador sólo debe considerarse como una herramienta en el proceso
de creación de una imagen fractal.
Podríamos incluso decir que el ordenador es un mero instrumento, necesario para organi-
zar las ecuaciones, parámetros, algoritmos y transformaciones empleados para sintetizar
el Arte Fractal. Pero jamás un ordenador podría ser responsable de una obra de arte sin
el respaldo de una mente humana que supervise la toma de decisiones en cada fase del
proceso.
La matemática por sí misma no es capaz de combinar los elementos necesarios para crear
una imagen fractal de relevancia, pero aunque por azar lo fuera, no tendría potencial para
evaluar su valor artístico. Veamos el siguiente ejemplo: una imagen de 800 x 600 puntos
contiene 480.000 píxeles o puntos de pantalla que pueden combinarse en una imagen de
103467865 formas diferentes, esto es, un 10 seguido de más de tres millones de ceros. Un
ordenador no posee la capacidad de seleccionar imágenes de entre esta inmensa colección
y determinar las que son bellas o no lo son. En contraposición, el cerebro humano es excep-
cionalmente rápido y poderoso reconociendo patrones geométricos y es capaz de determinar
el valor estético de las imágenes que percibe. No en vano discernir la belleza es una caracte-
rística netamente humana que aún no ha podido ser trasladada satisfactoriamente al ámbito
de los sistemas expertos.
La polémica sobre la catalogación de las imágenes fractales como Arte o como mera repre-
sentación gráfica tiene su origen durante la creación de las primeras obras entre los años
1980 y 1995. La simplicidad de los algoritmos (la mayoría de los autores sólo utilizaban uno:
el denominado algoritmo de tiempo de escape), la sencillez de las primeras paletas de 16
y 256 colores además de las limitaciones técnicas en los ordenadores de la época hicieron
muy poco creíbles las imágenes fractales como obras de Arte.
Personalmente siempre me opuse a la consideración de Arte para estas primeras imágenes
fractales, extremadamente elementales y con una mínima elaboración más allá de los cálcu-
los meramente técnicos.
A estas consideraciones hay que añadir que cada obra fractal es puramente digital y puede
reproducirse sin pérdida de calidad ilimitadamente. Sólo existe un Guernica de Picasso, un
David de Miguel Ángel, pero pueden coexistir un número ilimitado de copias de cualquier
obra maestra fractal sin poder discernir cual de entre todas es la original. En este aspecto, el
Arte Fractal guarda similitudes con la Fotografía, una disciplina cuyo reconocimiento como
Arte también se vio rodeada de escepticismo en sus inicios.
4. 102
Javier Barrallo
SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.
Cubist, de Jane Parke. La llegada de una nueva generación de programadores y
artistas impulsó la exploración de formas artísticas aparentemente antagónicas
a la Geometría Fractal, como en este caso el Cubismo Abstracto
Sin embargo, desde la llegada de una nueva generación de programadores, creadores y artistas
fractales todo parece haber cambiado. Las obras son radicalmente diferentes entre sí. Cada
autor imprime un sello personal en su obra, que alcanza cotas de complejidad y elaboración
inimaginables hace sólo una década.
Es paradójico que algunos de los mejores artistas fractales, creadores de obras de gran belleza,
apenas pueden explicar la matemática que emplean en sus obras. Otros más innovadores se
dedican sin embargo a la experimentación y creación de nuevas formas y efectos sin ninguna
ambición artística en sus creaciones.
Este es uno de los aspectos más fantásticos de los programas fractales de última generación: el
hecho de que aunque estos programas se basen en complejos algoritmos matemáticos, la sim-
plicidad de sus interfaces permiten utilizarlos sin llegar a entender totalmente la matemática
que subyace. Las fórmulas y algoritmos pueden intercambiarse mediante menús, el color y los
parámetros se modifican en intuitivas ventanas y la región del plano a representar se manipula
con cómodos movimientos de ratón.
UNA NUEVA GENERACIÓN DE CREADORES FRACTALES
Al ser las ecuaciones fractales el elemento matemático más obvio, el principal objetivo para
los primeros programadores fue la creación y experimentación con nuevas fórmulas, intro-
duciendo rápidamente centenares de nuevos tipos fractales. Durante los años posteriores la
mayor parte de la energía creativa se dedicó a elegir cuidadosamente parámetros para refinar
el color, la forma y el encuadre. El progresivo incremento en la calidad de los resultados y
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Arte Fractal. Las matemáticas más hermosas
la respuesta entusiasta por parte de la comunidad científica introdujeron de forma pionera el
concepto de Arte Fractal.
Sin embargo, ya en 1995 prácticamente se había agotado la posibilidad de crear nuevos tipos
fractales de especial relevancia. La imaginería fractal era incapaz de sorprender con imágenes
novedosas y, sobre todo, la capacidad de expresión artística estaba muy limitada al recurrirse
reiteradamente a las formas espirales y filamentos típicos de las primeras imágenes fractales.
La mayor innovación se produce entonces no al buscar nuevas ecuaciones fractales, ya prác-
ticamente agotadas, sino al crear nuevas formas de colorear las ecuaciones ya existentes. Es
la creación de los algoritmos de color el elemento clave y fundamental en el desarrollo de lo
que hoy denominamos Arte Fractal.
La idea consiste en diseñar algoritmos que permitan colorear una misma fórmula de diferentes
modos. No se calculan nuevos valores, simplemente se buscan nuevas formas de transformar
en colores los resultados obtenidos. Ante una biblioteca de fórmulas fractales extenuada, se
abre entonces un mundo de algoritmos de color que permiten reinterpretar estas fórmulas
creando figuras increíbles nunca vistas anteriormente y, ante todo, se dota al programador de
una fantástica libertad para elaborar sus cuadros.
A medida que estos nuevos algoritmos de coloreado se hacen más complejos, los artistas y
programadores regresan a las ecuaciones fractales más simples, ya que la flexibilidad de estos
nuevos algoritmos de color, cada vez más sofisticados, proporcionan en sí mismos mayor ver-
satilidad y posibilidad de expresión artística personal.
Imágenes de la exposición The Frontier between Art and Science
En 1995 la exposición de Arte Fractal por parte del grupo The Frontier between Art and Science
en la prestigiosa Galería RioCentro en Río de Janeiro presenta una exposición rompedora con
el pasado, basada en los nuevos algoritmos de color. Esta exposición conmociona la forma
de diseñar imágenes fractales y se consolida como la más importante jamás realizada en su
género, con exhibiciones en España, Francia, Japón, Austria, Yugoslavia, Alemania, Argentina,
Brasil y Bélgica. La muestra contiene obras de gran formato realizadas por Linda Allison (EE.
UU.), Domenick Annuzzi (EE.UU.), Javier Barrallo (España), Michael Field (EE.UU.), Sylvie
Gallet (Francia), Earl Hinrichs (EE.UU.), Damien Jones (EE.UU.), Klaus-Peter Kubik (Alemania),
Daniel Kuzmenka (Ucrania), Mario Markus (Chile), Kerry Mitchell (EE.UU.), Samuel Monnier
(Suiza), Luke Plant (Inglaterra), Janet Parke (EE.UU.), Iñigo Quilez (España), Frederik Slijkerman
(Holanda), Mark Townsend (Australia) y Sharon Webb (EE.UU.)
Muchas veces me pregunto como evolucionará el Arte Fractal en la próxima década. La sofis-
ticación en los últimos años ha sido tan increíble que incluso las obras que se presentan en
este artículo parecen ya antiguas tan sólo un par de años después de haber sido creadas. Sin
duda la tendencia futura ensalzará las obras que logren el equilibrio de tres características
intrínsecamente humanas: creatividad, expresividad e inteligencia y que constituirán la base
del Arte Fractal de la próxima generación.
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Javier Barrallo
SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.
LOS ALGORITMOS DE COLOR
Cada fórmula fractal produce por iteración una secuencia de valores de variable compleja
z0, z1, z2, z3,...zn para cada punto computado. Las imágenes fractales se crean generando una
de estas secuencias para cada píxel que aparece en la imagen. Posteriormente, el algoritmo de
color es el encargado de interpretar la secuencia numérica para producir un color final.
Ejemplo de una paleta de color utilizando curvas Spline como elemento interpolador del
espacio RGB (Red Green Blue), cuyos ejes se corresponden con los colores Rojo, Verde y Azul
Típicamente, el algoritmo de color produce un único valor para cada píxel. Dado que el color
es interpretado en los ordenadores como un espacio tridimensional RGB (Red Green Blue–Rojo,
Verde Azul), este valor unidimensional debe ser expandido para poder producir un color. El
método más común es la creación de una paleta, una secuencia de valores de color 3D, defini-
dos por un línea (denominada gradiente) que recorre el espacio tridimensional.
La selección del gradiente es una de las decisiones artísticas más críticas al crear una imagen
fractal. Un gradiente de color puede enfatizar partes de la imagen u ocultar otras. En casos
extremos, dos imágenes fractales con los mismos parámetros pero diferentes esquemas de
color pueden parecer completamente diferentes.
Podemos efectuar una primera división entre los algoritmos de color: los que producen valores
discretos y los que producen valores continuos. Los valores discretos muestran saltos o bandas en
la transición el color. Hasta hace unos años esto no era importante, ya que las tarjetas gráficas de
8 bits producían, en cualquier caso, un escalonado en la imagen. Sin embargo la llegada masiva
de las tarjetas gráficas de 24 bits hizo que los algoritmos continuos cobraran una especial prepon-
derancia, ya que permiten interpolar un color cualquiera del gradiente con la precisión deseada.
La creciente importancia de los algoritmos de color en las imágenes fractales ha dado lugar a cen-
tenares de nuevos tipos, de entre los que podemos destacar los que se detallan a continuación.
ALGORITMO DE TIEMPO DE ESCAPE
El algoritmo de tiempo de escape es, probablemente, el algoritmo de color más antiguo y
para muchos programas fractales la única opción disponible. Su simplicidad lo convierte en
el favorito de los que se inician en la programación fractal, sin embargo, desde el punto de
vista artístico se considera menos importante, dado que produce valores discretos y se ha visto
ampliamente superado por los algoritmos de color continuos.
Algoritmo de tiempo de escape
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Arte Fractal. Las matemáticas más hermosas
Este algoritmo está basado en el número de iteraciones necesario para determinar si la secuen-
cia iterada por el sistema dinámico tiende a infinito o no. Puede demostrarse estrictamente que
cuando la órbita de cualquier valor z0, z1, z2, z3,...zn excede una región frontera R siempre
diverge hacia el infinito. La forma y el tamaño mínimo de la región R son diferentes para cada
fórmula fractal, por supuesto. La secuencia iterada es interrumpida tan pronto como zn rebasa
la región frontera R, entonces el valor de coloreado para el algoritmo de tiempo de escape es
simplemente la longitud de la secuencia, esto es n.
Tradicionalmente, R se define como un círculo, centrado en el origen y con radio 2. Este valor
se debe a que en el conjunto de Mandelbrot puede ser probado que tan pronto como |z|>2
la iteración diverge. Y aunque matemáticamente R debe definirse como un círculo de radio
2 para probar la divergencia de forma precisa, esto no ha impedido a algunos artistas experi-
mentar con diferentes radios.
Ejemplo de un algoritmo de color discreto (izquierda) y continuo (derecha). En
la actualidad prácticamente todos los algoritmos son continuos, pues evitan
las desagradables bandas de la imagen izquierda y proporcionan la suavidad
característica de la imagen derecha
ALGORITMO DE ESTIMACIÓN DE DISTANCIAS
El algoritmo de tiempo de escape puede ser considerado como una medida no Euclidea de la
distancia de un punto cualquiera z0 a la frontera del conjunto. El uso de un valor discreto (el
número de iteraciones es siempre un entero) produce una apariencia de bandas similar al de
un mapa topográfico.
Estimación de distancias
El uso creativo de los gradientes puede en algún caso sacar provecho de este efecto (también
denominado “rayado de tigre”) pero la mayoría de los artistas ha desarrollado algoritmos que
ocultan este efecto. Claramente, el objetivo final es desarrollar funciones continuas para medir
estas distancias. Aunque los algoritmos empleados no proporcionan una distancia Euclídea
exacta, si que proporcionan una aproximación aceptable utilizando valores continuos.
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Javier Barrallo
SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.
ALGORITMO DE ÁNGULO DE ESCAPE
Los algoritmos descritos anteriormente consideraban la magnitud del valor complejo z y la
cuenta de iteraciones. Si consideramos la magnitud z como una parte de las coordenadas
polares de zn, entonces parece lógico considerar también la otra parte –el ángulo de z– como
elemento para colorear. La familia de algoritmos de ángulo de escape cubre todos aquellos
algoritmos basados en el estudio del ángulo de zn.
Estimación de curvatura
El primer algoritmo sería la descomposición binaria. En este algoritmo, los valores de zn que
toman ángulos por encima del eje real (0º-180º) toman un determinado color, mientras que
los que toman valores por debajo del eje real (180º-360º) toman otro diferente.
Variaciones del esquema de la descomposición binaria pueden incrementar el número
de divisiones del plano Por ejemplo, una descomposición cuaternaria podría asignar un
color diferente a los ángulos de zn correspondientes a cada cuadrante. El incremento
del número de divisiones del plano incrementa, lógicamente, el número de colores a
emplear.
Otro aspecto de la secuencia z0, z1, z2, z3,...zn que puede ser medido es la curvatura entre
iteraciones consecutivas. Una estimación rápida puede hacerse utilizando los dos últimos
puntos de la iteración. Otras variantes permiten utilizar el radio de la circunferencia que pasa
por los valores de las tres últimas iteraciones o el área del triángulo formado por tres iteracio-
nes. Estas últimas variantes recogen no sólo la curvatura de las iteraciones, sino también la
distancia entre ellas.
ALGORITMO DE CAPTURA DE ÓRBITAS
Constituye sin duda la más versátil familia de algoritmos de color, dada la gran versatilidad
que muestra para la expresión artística. La idea básica consiste en elegir una región del plano
complejo (denotada por T) y estudiar la relación entre los valores de zn y T. T es definido
usualmente como una forma (generalmente de cálculo simple como un punto, línea, rectán-
gulo o círculo) y una distancia de tolerancia. Cualquier iteración dentro de la distancia de
tolerancia se considera “capturada”.
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Arte Fractal. Las matemáticas más hermosas
The Coral Reef (El Arrecife de Coral), de Linda Allison. Pocos cuadros han representado
como éste el potencial del algoritmo de captura de órbitas. La introducción de diversas
formas geométricas a modo de “trampas” para capturar las iteraciones permite a su autora
representar mediante formas fractales un arrecife de coral entre las corrientes marinas
Las implementaciones primitivas del algoritmo de captura de órbitas simplemente buscaban
cualquier zn que cayera dentro de la región T, también denominada “trampa” (en inglés orbit
trap). Cuando se producía esta circunstancia la iteración se finalizaba y se coloreaba el píxel
de acuerdo a la distancia al centro de la región T. De ahí el término “trampa”; una vez que la
órbita cae en T, ésta es “atrapada” y la iteración finalizada.
Captura de órhitas
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Javier Barrallo
SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.
Existen muchas variantes para este método. En primer lugar, la forma de la región T puede
variar y transformarse en figuras más complejas como elípses, astroides, hipérbolas, curvas
trigonométricas o polares como espirales o cardioides. Más lejos aún, estas trampas puedes
distorsionarse o rotarse, incluso incrementalmente con cada iteración.
Otro tipo de variantes trata la relación entre las distancias de cada valor zn respecto a T. La
implementación clásica, mencionada anteriormente, se detenía cuando un valor zn caía den-
tro de la distancia de tolerancia T. Pero otras variantes pueden utilizar el último valor zn en
caer en la trampa, o el más cercano, o el más lejano, etc. E incluso métodos más exóticos
pueden combinar varias de estas distancias simultáneamente, hasta el punto de hacer casi
imposible predecir qué tipo de resultados se obtendrán.
ALGORITMO DE LOS ENTEROS GAUSSIANOS
Un entero Gaussiano es un número complejo cuyo componente real e imaginario son ambos
enteros. El algoritmo calcula la distancia de cada zn al entero Gaussiano más cercano, y enton-
ces lo colorea basándose en la menor distancia obtenida en la iteración.
Algoritmo Enteros Gaussianos
Conceptualmente, este método es similar a una captura de órbitas, donde la trampa T (definida
como un punto) se repite a lo largo del plano complejo en una malla regular coincidente con
los enteros Gaussianos. Percibido de esta manera, es claro que esta técnica puede ser exten-
dida a cualquier otra forma T, con diferentes espaciados, e incluso mallas no rectangulares,
como las radiales o las triangulares.
Big Bang, de Kerry
Mitchell. Los infinitos
atractores del algoritmo
de Enteros Gaussiano
crean esta sorprendente
imagen a caballo entre
la psicodelia de los años
70 y la fotografía de una
galaxia lejana
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Arte Fractal. Las matemáticas más hermosas
ALGORITMO DE ATRACTORES FINITOS
No todas las secuencias iteradas z0, z1, z2, z3,...zn tienden hacia infinito. Las órbitas que no
tienden hacia infinito a menudo convergen en un sólo punto o en un ciclo periódico. Aunque
la mayoría de las técnicas descritas anteriormente pueden aplicarse a estas secuencias conver-
gentes, requieren ciertas modificaciones.
El método más sencillo consiste en buscar un cambio decreciente en z. Así, cuando zn con-
verge hacia un punto fijo, la expresión |zn-zn-1| tiende hacia cero. Una vez que esta diferencia
rebasa una tolerancia establecida, consideramos que el punto ha convergido suficientemente
hacia el punto atractor y lo coloreamos (puede ser de acuerdo al número de iteraciones o
cualquier otro algoritmo visto anteriormente).
ALGORITMO DE EFECTO TRIDIMENSIONAL
Aunque las imágenes fractales son creadas típicamente con un aspecto bidimensional, es
posible crear una imagen con un aspecto tridimensional utilizando algunos efectos de progra-
mación. Esencialmente, éste método consiste en calcular varios puntos adyacentes siguiendo
la supuesta trayectoria de un rayo de luz. Una vez calculados, se genera una “altura” para cada
punto y se define un plano tangente a la superficie y un vector normal a la misma que deter-
mina de forma realista la cantidad de luz y sombra que debe administrarse a cada punto.
Si se utilizan otros esquemas de color diferente al RGB, por ejemplo el HSL (Hue,
Saturation, Luminace–Tonalidad, Saturación, Luminosidad) basta cambiar la luminosidad
para producir sombras en la imagen de forma muy sencilla. En caso contrario bastan unas
simples operaciones matemáticas.
ALGORITMO DE MOVIMIENTO BROWNIANO
El movimiento Browniano, ese movimiento pseudo caótico que se produce en las partículas de
polvo suspendidas en el aire o en el agua turbia, ha sido transportado al campo de los fractales con
gran éxito. Gracias a este movimiento se consiguen tramas y texturas de gran realismo que son profu-
samente utilizadas como fondo de las imágenes o como textura para los motivos en primer plano.
Casi todos los fractales de nueva generación utilizan de alguna variante de este algoritmo que
permite dotar a las imágenes de un aspecto más cálido y orgánico. Como curiosidad puede
señalarse que las texturas fractales generadas mediante este procedimiento han sido trasladas
profusamente al cine y al mundo de los videojuegos para producir imágenes realistas.
Weathered (Maduro), de
Daniel Kuzmenka. El uso de
los algoritmos de movimiento
Browniano contribuye a la
creación de texturas cálidas y
realistas
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Javier Barrallo
SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.
FRACTALES MULTICAPA
Hoy en día la técnica más relevante de creación artística consiste en combinar varios de los
algoritmos aquí descritos en capas que se superponen como si fueran transparencias a través
de la luz de un proyector. Al resultado lo denominamos fractales multicapa, y constituye la
vanguardia del arte fractal, con unas posibilidades de combinación prácticamente inagota-
bles. De hecho podríamos considerar cada combinación de algoritmos multicapa como un
nuevo algoritmo. La posibilidad de combinar distintos algoritmos de color e incluso diferentes
fórmulas o regiones del plano en una única imagen permite una libertad de composición y
expresión artística impensable antes de desarrollar esta técnica.
A estas posibilidades hay que añadir las que se derivan de la combinación de capas. Aunque
intuitivamente al superponer varias capas transparentes ante la luz se produce un único
resultado, no hay que olvidar que las capas de las que hablamos son imágenes digitales com-
puestas por colores con estructura vectorial (RGB–Rojo–Verde–Azul) y por tanto con infinidad
de combinaciones numéricas posibles: adición, sustracción, producto, media aritmética, des-
viación típica, módulo, ángulo y una larguísima lista de posibles operaciones con resultados
siempre sorprendentes.
Volcano, de Javier Barrallo. Las figuras superiores muestran las tres capas de las que se
compone la imagen. La primera resalta la elevación introduciendo luces y sombras, la
segunda establece la base de color y la tercera produce las texturas de fuego y humo
13. Mayo 2005 • 2005ko Maiatza 111
Arte Fractal. Las matemáticas más hermosas
Taupenski, de Janet Parke. Esta imagen fractal constituye un prodigio de elegancia y sen-
cillez utilizando una paleta de color en blanco y negro teñida de ligeros tonos sepia. Para
muchos expertos constituye la mejor imagen fractal jamás diseñada y, al igual que la mayo-
ría de las presentadas en este artículo, ha sido creada mediante el programa Ultrafractal
PARA COMENZAR A EXPLORAR
Sin duda alguna el software más completo que existe en la actualidad es Ultrafractal, programado
por Frederik Slijkerman, cuyo diseño ha contado con la colaboración de casi todos los miembros
del grupo The Frontier between Art and Science. Pese a la complejidad de sus funciones más
avanzadas, permite explorar los fractales más famosos, como el Conjunto de Mandelbrot, sin
ninguna dificultad. Puede descargarse una versión de demostración de este programa en:
www.ultrafractal.com
En cuanto a otros recursos en la World Wide Web, la página Fractalus, regentada por Damien
Jones es el punto de partida ideal, conteniendo suficiente material para saciar la curiosidad de
cualquier amante de las imágenes fractales. Su dirección es:
www.fractalus.com
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Javier Barrallo
SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.
Alien Blood (Sangre Extraterrestre), de Earl Hinrichs (arriba) y Faeries (Hadas),
de Domenick Annuzzi (abajo). La simetría y las tranformaciones sinusoidales
de esta última imagen permiten recrear un efecto de reflexión sobre el agua
15. Mayo 2005 • 2005ko Maiatza 113
Arte Fractal. Las matemáticas más hermosas
Hell Fire (Fuego Infernal), de Michel Field (arriba) y The Sea, (El Mar) de Samuel Monnier
(abajo). Aunque no es habitual, algunos autores rigidizan la estructura de sus cuadros uti-
lizando propiedades de Grupos de Simetría (Hell Fire)) o del Plano Hiperbólico (The Sea)
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Javier Barrallo
SIGMA Nº 26 • SIGMA 26 zk.
Spade (Pica), de Damien Jones. Una exuberante imagen en la que se percibe la composición
sobre diferentes capas de los motivos (azul, blanco y marrón) que la componen
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Arte Fractal. Las matemáticas más hermosas
Evening over San Francisco (Anochecer sobre San Francisco), de Sylvie Gallet. (Es la imagen de la cubierta)
Y esta es Sylvie