Este documento introduce los conceptos básicos de los fractales. Explica que un fractal exhibe autosimilitud a cualquier escala y puede ser generado mediante procesos iterativos. Describe algunos fractales clásicos como el polvo de Cantor y el triángulo de Sierpinski, y cómo se pueden generar mediante iteración. También discute las diferencias entre la geometría euclidiana y la geometría fractal.

2. INTRODUCCION
El término fractal, aparece con bastante frecuencia en
diversas publicaciones técnicas y científicas. Y, es que estos
objetos han pasado de ser meras curiosidades matemáticas a
convertirse en herramientas muy válidas para la descripción
de determinadas situaciones del entorno real.
La geometría fractal, que se encarga del estudio de los
objetos fractales, es una disciplina relativamente moderna,
ya que se establece a finales de los setenta con los trabajos
de B. Mandelbrot .El propio término fractal, fue acuñado por
este matemático franco-polaco, a partir del adjetivo latino
‘fractus’ que significa roto o irregular.

3. I. DEFINICION DE FRACTAL
Un fractal es un objeto que exhibe recursividad, o autosimilitud, a cualquier escala.
En otras palabras, si enfocamos una porción cualquiera de un objeto fractal
(imaginemos que utilizamos un magnificador, o hasta un microscopio, para ello),
notaremos que tal sección resulta ser una réplica a menor escala de la figura
principal.
Del cual para ser más analíticos los fractales deterministas constituyen un nuevo
tipo de Geometría: la Geometría Fractal que es, ante todo, un nuevo lenguaje.
Mientras que los elementos de nuestra bien conocida Geometría Euclidiana son
líneas, círculos, esferas, etc., los elementos de la Geometría Fractal escapan a la
percepción directa. Ello se debe a que son algoritmos que solamente la
computadora puede convertir en formas y estructuras. El principio de auto-
semejanza se presenta aproximadamente en la naturaleza: en líneas costeras y en
cuencas de ríos, en la formación de nubes y en el crecimiento de árboles, en el flujo
turbulento de fluidos y en la organización jerárquica de sistemas vivos.
II. DIFERENCIA ENTRE GEOMETRÍA EUCLIDIANA Y GEOMETRÍA
FRACTAL
EUCLIDIANA FRACTAL
TRADICIONAL. MÁS DE
2000 AÑOS.
MODERNA. FRACTALES: 1980
"MONSTRUOS" A COMIENZOS
DEL SIGLO XX
SIMETRÍAS SIMPLES.
ROTACIONES.
SIMETRÍAS
HOMEOMÉTRICAS
AUTO-SEMEJANZA
(ESTADÍSTICA)
OBJETOS CON
MAGNITUDES
CARACTERÍSTICAS
IRREGULARIDAD EN TODAS
LAS MAGNITUDES
ADECUADA PARA
DESCRIBIR OBJETOS
FABRICADOS POR EL
HOMBRE
ADECUADA PARA DESCRIBIR
PROCESOS NO
LINEALES EN LA
NATURALEZA
DESCRIPTA POR
FÓRMULAS
ALGEBRAICAS
DESCRITA POR ALGORITMOS
RECURSIVOS
IDEALES PARA UNA
COMPUTADORA

4. III. POLVO DE CANTOR
Probablemente, el primer objeto fractal puro en la
historia, el polvo de Cantor, fue descrito por el
matemático alemán Georg Cantor—inventor de la
teoría de los conjuntos—alrededor de 1872. A pesar
de ser una figura extremadamente sencilla, recoge
todos los atributos discutidos sobre los fractales hasta
el momento: presenta autosimilitud a cualquier escala
y su dimensión es fraccionaria, con valor aproximado
de 0,630929753571457437099527114 (log 2/log 3, si
utilizamos una expresión más adecuada). Igualmente, podemos basarnos en él para
introducir otra característica general de este tipo de objeto: son producidos por
procesos de iteración.
La iteración puede describirse como un mecanismo de retroalimentación, que se
repite un número n de veces. Esto se refiere, por ejemplo, al acto de utilizar un
valor inicial en el cálculo de cierta función, y luego tomar el producto, o resultado,
como valor inicial para el próximo cálculo de esa misma función. Dicha operación
puede repetirse indefinidamente (incluso infinitamente), produciendo una iteración.
Cualquier proceso semejante tendrá como resultado un fractal.
El polvo de Cantor se inicia con un segmento lineal (justamente, conocido como el
iniciador); éste se divide en tres segmentos menores de la misma longitud, el
central de los cuales se extrae. Este proceso (denominado, usualmente, como el
generador) se repite indefinidamente, al final de lo cual—si tiene final— se habrá
producido el polvo de Cantor.
POLVO DE CANTOR
ITERACIÓN DEL POLVO DE
CANTOR

5. IV. TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
De la misma manera, podemos producir un triángulo de Sierpinski, una figura
inventada por el matemático polaco Waclaw Sierpinski en 1915:
Para éste, se comienza con un triángulo equilátero. En su interior, se traza otro
triángulo equilátero, cuyas puntas, o esquinas, deben coincidir con los puntos
medios de cada lado del triángulo mayor. Esta nueva figura tendrá una orientación
invertida con respecto a la primera. Seguido, se retira, o se elimina, de la figura ese
nuevo triángulo invertido, tal que solamente se conserven los tres triángulos
equiláteros menores y similares que se observan dentro del grande. Luego,
realizamos el mismo procedimiento (de iteración) para cada triángulo pequeño,
obteniéndose, como resultado, un triángulo de Sierpinski.
Hay que tener en cuenta que cuando decimos que se elimina ese nuevo triángulo no
solamente significa que quitaremos ese triángulo del medio y nos olvidamos de él,
sino que los puntos contenidos en esa área, específicamente, no pertenecen al
conjunto de puntos comprendidos en el triángulo de Sierpinski; o dicho de otro
modo, esa sección no pertenece al conjunto.
Aunque la existencia de los fractales se conoce desde fines del siglo XIX (cuando
eran considerados, simplemente, como curiosidades matemáticas), su verdadera
identidad no fue plenamente expresada hasta las décadas de 1960 y 1970, gracias a
los importantes estudios de Benoît Mandelbrot y otros científicos.
TRIÁNGULO DE SIERPINSKI. ITERACIÓN DE UN TRIÁNGULO DE
SIERPINSKI.

6. V. EXPLICACION DE LAS IMÁGENES DE LOS FRACTALES SEAN TAN
COLORIDAS Y EXTRAÑAS
Las imágenes de los fractales obtienen sus formas y colores cuando le asignamos
un rango determinado de colores a una serie de puntos, dependiendo de su
comportamiento matemático mientras se resuelve la función, con la ayuda
indispensable de un ordenador (la computadora). En efecto, esa es la única manera
de captarlos visualmente. Existen varias posibilidades al momento de asignar los
valores que determinarán los colores:
 Si el resultado se aproxima a cero (en cuyo caso, pertenece al conjunto),
 Si escapa al infinito (y por tal, no pertenece al conjunto),
 Si oscila entre varios estados,
 Si no exhibe ningún patrón discernible.
En primer caso ocurre dentro de los límites que comprenden la figura fractal; el
segundo, fuera de sus límites; y los tercero y cuarto ocurren en la frontera.
Si no fuera por esa asignación artificial de colores, los fractales lucirían como
cualquier otra gráfica poco atractiva.
Representación sencilla del
conjunto de Mandelbrot.

7. VI. DEFINICION MATEMATICA
Según la definición dado, una dimensión (1D, 2D, 3D) tiene la facultad de
subdividirse en más; sin embargo no tendrá una dimensión realmente
fraccionario; vale decir no tendrá un comportamiento de fractal; sin embargo una
de las condiciones para que se llame fractal tiene la siguiente ecuación.
DONDE:
N (ε) es el numero de subdivisiones que puede lograr el fractal
ε Es el ancho del espacio fraccionario
D son las dimensiones y k es una constante de proporcionalidad.
D es el número de dimensiones para que sea un fractal.
𝑁(𝜀)𝛼
𝐾
𝜀 𝐷 𝑁(𝜀) =
𝐾
𝜀 𝐷
𝐷 =
log(𝐾) − log⁡( 𝑁(𝜀))
log⁡( 𝜀)
𝐷 =
log⁡(
𝑁(𝜀)
𝐾 )
log (
1
𝜀)

8. VII. OBJETIVOS :
La dimensión de las configuraciones vistas en clase, y mostrar si es un
fractal.
Graficar el comportamiento de un fractal ayudándonos de las herramientas de
un graficador.
VIII. PROCEDMIENTO:
Tenemos que tener en cuenta que debemos de incluir una función del cual
nos de la dimensión del fractal del cual incluiremos la siguiente ecuación:
IX. CODIFICACION
𝑓( 𝑥) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑋 𝑛+1 = 𝑟𝑥 𝑛(1 − 𝑥 𝑛)
PROGRAM DIMENSION_FRACCIONARIA_DE_UN_FRACTAL
IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)
REAL*8 XNUM(10000)
OPEN (2,FILE='DIMENSIONFRACTAL.TXT')
XN=0.251
R=3.5699456
DO 100 I=-4000,10000
XNM1=R*XN*(1.0-XN)
IF(I.GE.1)XNUM(I)=XNM1
XN=XNM1
100 CONTINUE
DO 700 IE=1,500
EPS=0.1/FLOAT(IE)
IMAX=1+1.0/EPS
SUMNN=0.0
DO 300 I=1,IMAX
XI=FLOAT(I-1)*EPS
XF=FLOAT(I)*EPS
DO 350 J=1,10000
XTST=XNUM(J)
IF(XI.LT.XTST.AND.XTST.LT.XF) GOTO 400
350 CONTINUE
SUMNN=SUMNN+1
400 CONTINUE
300 CONTINUE
XLE=LOG(1.0/EPS)
XLN=LOG(IMAX-SUMNN)
WRITE(2,*) XLE,XLN
700 CONTINUE
END

9.  La codificación lo guardaremos en el disco ‘’d’’ del cual tendremos la salida
de datos para poder graficarlos.
 Tendremos :

10. X. GRAFICA
Realizaremos la gráfica en el programa OriginPro.8 del cual tendremos
Para hallar la pendiente veremos en el recuadro, del cual tomaremos con el
valor de la pendiente a ‘’VALUE’’

11. XI. CONCLUSIONES:
La ecuación de la recta propiamente dicha es la misma
anterior.
El valor de la dimensión logística seria 0.54139 para
453 datos proporcionados en Excel

12. Bibliografía
o *Para descargar el programa Origin:
 http://www.4shared.com/postDownload/AH6YIGAb/Origin_80.html
 http://labellateoria.blogspot.pe/2006/07/fractales-algo-de-historia.html
 http://www.ub.edu/matefest_infofest2011/triptics/fractal.pdf